MATEMATIKË 9 by Arsim Kasneci

Edmond Lulja Irena Tafani Menderes Gashi

MATEMATIKA 9

Për klasën

nëntë të arsimit

EdmondLuljaMsc.IrenaTafaniDr.sc.MenderesGashi BOTIME Prishtinë, 2022

9-vjeçar

Miratuar nga Ministria e Arsimit dhe e Sportit Korrik, 2015

BOTIME

Drejtoi botimin: Arlinda RRUSHI Recensentë të MASHTI-t: Prof. Ekrem ALIMI, Shqipe DOBRA, Valdet PLAKOLLI Redaktore: Aida BARO Korrektor: Arlon LIKO Paraqitja grafike dhe kopertina: Elvis BEJTJA Shtypi: Shtypshkronja Pegi, Lundër, Tiranë ISBN:

© Botime Pegi sh.p.k, dega në Kosovë, qershor 2022 Të gjitha të drejtat për këtë botim në gjuhën shqipe janë tërësisht të zotëruara nga Botime Pegi shpk. Ndalohet çdo riprodhim, fotokopjim, përshtatje, shfrytëzim ose çdo formë tjetër qarkullimi tregtar, pjesërisht ose tërësisht, pa miratimin paraprak nga botuesi.

Botime Pegi: cel: +355 069 40 075 02; e-mail: botimepegi@botimepegi.al; web: www.botimepegi.al Sektori i shpërndarjes: cel: +355 069 20 267 73; 069 40 106 88; e-mail: marketing@botimepegi.al Shtypshkronja Pegi: cel: +355 069 40 075 01; e-mail: shtypshkronjapegi@yahoo.com

Hyrje

Rreth këtij teksti

Ky tekst është hartuar për nxënësit e klasës së nëntë të arsimit të mesëm të ulët. Ai është në përputhje të plotë me programin e Matematikës së klasës së nëntë. Teksti është përgatitur nga një grup autorësh dhe mësuesish me shumë përvojë. Në të janë trajtuar kryesisht koncepte të përgjithshme matematikore, si: numri, funksioni dhe algjebra; forma, hapësira, matjet dhe gjeometria; të dhënat dhe probabiliteti. Disa nga pyetjet, ushtrimet dhe veprimtaritë në tekst përforcojnë zgjidhjen problemore, duke praktikuar kompetencat matematikore.

Rubrikat e librit

“Në fund të kësaj teme, nxënësi/ja...”: çdo temë paraqet rezultatet e të nxënit, në përputhje me programin e Matematikës për klasën e nëntë.

“Fjalët kyçe”: në këtë rubrikë jepen konceptet kryesore matematikore të temës përkatëse.

“A e dini se?...”: në këtë rubrikë paraqiten kuriozitete ose një vështrim i shkurtër mbi historinë e matematikës, që lidhet me subjektin e temës.

“A. Kërkoni dhe zbuloni”: çdo njësi mësimore fillon me një situatë problemore. Kërkimet dhe arsyetimet e nxënësve në lidhje me këtë situatë, do t’i nxisin ata të zbulojnë bazat e njohurive matematikore për të cilat do të mësojnë gjatë orës së mësimit.

“Punë në grup”: kjo rubrikë ndihmon të nxënit aktiv dhe bashkëpunues. Nëpërmjet saj, nxënësit nxiten të ndërtojnë disa njohuri matematikore në mënyrë të pavarur.

“B. Vrojtoni dhe mësoni”: kjo rubrikë përmban shpjegime teorike dhe shembuj, që shpalosin konceptet dhe njohuritë matematikore të njësisë mësimore.

“Mbani mend”: në këtë rubrikë theksohen njohuri shumë të rëndësishme, të cilat duhen mbajtur mend, për të formuar shprehi dhe shkathtësi të qëndrueshme.

“Shembull”: shembujt e zgjidhur japin zgjidhje model, të shoqëruara me komentet përkatëse. Ato ndihmojnë nxënësit të kuptojnë konceptet teorike.

“C. Ushtrohuni duke zbatuar”: zgjidhja e ushtrimeve dhe problemave të kësaj rubrike kërkon zbatimin e njohurive teorike, të paraqitura në rubrikën B.

“Ushtrime”: në këtë rubrikë gjenden ushtrime dhe problema, të cilat ndihmojnë në përforcimin e shprehive dhe të shkathtësive.

“Çfarë mësuam?”: në këtë njësi mësimore do të gjeni një përmbledhje të të gjitha rezultateve të të nxënit të temës. Secila prej tyre është e shoqëruar me ushtrime dhe problema, që nxitin nxënësit të provojnë shprehitë, shkathtësitë dhe aftësitë e tyre.

“Vlerësim”: kjo njësi, që gjendet në fund të çdo teme, ka për qëllim të ndihmojë nxënësit të testojnë dhe të vetëvlerësojnë njohuritë që kanë marrë gjatë temës.

BASHKËSITË NUMERIKE

1. Thyesat dhe numrat dhjetorë 8

2. Numra dhjetorë periodikë 10

3. Bashkësitë numerike 12

4. Veprime aritmetike në bashkësitë numerike 14

5. Numrat irracionalë 16

6. Bashkësia R e numrave realë 18

7. Paraqitja e numrave realë në boshtin numerik. Vlera absolute 20

8. Intervali dhe segmenti 22

9. Prerja dhe bashkimi i intervaleve numerike 24

10. Çfarë mësuam? (Përsëritje) 26

11. Vlerësim 28

SHPREHJET ME NDRYSHORE

1. Shprehje identike. Shndërrime identike të shprehjeve 30

2. Monomi, reduktimi i monomeve të ngjashme 32

3. Polinomi. Shuma dhe ndryshimi i polinomeve 34

4. Shumëzimi i monomit me polinom. Nxjerrja në dukje e faktorit të përbashkët 36

5. Shumëzimi i dy polinomeve 38

6. Faktorizimi me grupim 40

7. Katrori i binomit. Identiteti (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 42

8. Faktorizime me anë të formulës së katrorit të binomit 44

9. Ndryshimi i katrorëve. Faktorizime 46

10. Kubi i shumës dhe i ndryshimit 48

11. Faktorizime duke përdorur identitetet për a3 + b3; a3 – b3 50

12. Sh.m.v.p. i polinomeve

Çfarë mësuam? (Përsëritje)

Vlerësim

SHPREHJET ME NDRYSHORE (vazhdim)

1. Thyesat algjebrike racionale

2. Thjeshtimi i thyesave racionale

3. Mbledhja dhe zbritja e thyesave algjebrike

Shumëzimi dhe pjesëtimi i thyesave algjebrike

Shprehje me katër veprime

Çfarë mësuam? (Përsëritje)

EKUACIONET DHE INEKUACIONET LINEARE ME NJË NDRYSHORE

Ekuacione të njëvlershme me një ndryshore

Ekuacioni i fuqisë së parë me një ndryshore

Problema që zgjidhen me ndihmën e ekuacionit

Veçimi i një shkronje në një formulë

Ekuacioni i fuqisë së dytë me një ndryshore. Raste të veçanta

Ekuacione që sillen në trajtën (x – x1)(x – x2) = 0

me një ndryshore. Inekuacione të njëvlershme

i fuqisë së parë me një ndryshore

4 1

52 13.

54 14.

62 4.

64 5.

66 6.

68 7. Vlerësim 70

72 2.

74 3.

76 4.

78 5.

80 6.

82 7. Inekuacione

84 8. Inekuacioni

86 2 3 4

9. Inekuacione të dyfishtë 88

10. Inekuacione me vlera absolute 90

11. Çfarë mësuam? (Përsëritje) 92

12. Vlerësim 94

GJEOMETRIA NË RRAFSH

1. Kuptimet themelore dhe ato të nxjerra të gjeometrisë 96

2. Gjysmërrafshi, këndi 98

3. Kongruenca e segmenteve dhe këndeve 100

4. Përkufizimi. Aksioma. Teorema 102

5. Trekëndëshi. Veti të tij 104

6. Segmente në trekëndësh 106

7. Ndërtime trekëndëshash 109

8. Rasti I i kongruencës së trekëndëshave 111

9. Rasti II i kongruencës së trekëndëshave 113

10. Rasti III i kongruencës së trekëndëshave 115

11. Veti të trekëndëshit barakrahës 117

12. Zbatime të kongruencës së trekëndëshave 119

13. Konstruktimi i disa vendeve gjeometrike të pikave në rrafsh 121

14. Çfarë mësuam? (Përsëritje) 123

15. Vlerësim 125

PROPORCIONALITETI

1. Kuptimi i përpjesës 127

2. Përpjesëtimet 129

3. Veti të tjera të përpjesëtimeve 131

4. Gjetja e kufizës së panjohur në një përpjesëtim 133

5. Llogaritja e ndarjes dhe përzierjes 135

6. Varësia në përpjesëtim të drejtë 137

7. Paraqitja e objekteve me shkallë zvogëlimi apo zmadhimi 139

8. Varësia në përpjesëtim të zhdrejtë 142

9. Përqindja dhe promili 144

10. Interesi bankar (kamata) 146

11. Çfarë mësuam? (Përsëritje) 148

Vlerësim 150

EKUACIONET LINEARE ME DY NDRYSHORE DHE SISTEMET E TYRE

1. Sistemi kënddrejtë koordinativ. Koordinatat e pikës 152

2. Përcaktimi i pozitës së pikës në rrafshin koordinativ 155

3. Ekuacioni i fuqisë së parë me dy ndryshore. Grafiku i tij 157

Studimi i grafikut të ekuacionit linear y = ax + b 159

Përdorimi i ekuacioneve lineare

Sistemi i dy ekuacioneve të fuqisë së parë me dy ndryshore. Zgjidhja grafike e tij

Zgjidhja e sistemeve me metodën e zëvendësimit

Zgjidhja e sistemeve me metodën e eliminimit

Zbatime të sistemit të ekuacioneve lineare me dy ndryshore

Çfarë mësuam? (Përsëritje)

12.

161 6.

163 7.

165 8.

167 9.

169 10.

172 11. Vlerësim 174 7 5 6

VEKTORËT

1. Kuptimi i vektorit. Vektorë të barabartë apo të kundërt 176

2. Mbledhja e vektorëve 178

3. Shuma e disa vektorëve. Ndryshimi i vektorëve 180

4. Shumëzimi i vektorit me një numër 182

5. Raporti i dy vektorëve bashkëvizorë 184

6. Çfarë mësuam? (Përsëritje) 186

7. Vlerësim 188

NGJASHMËRIA DHE HOMOTETIA

1. Trekëndëshat e ngjashëm 190

2. Rasti i parë i ngjashmërisë së trekëndëshave 192

3. Rasti i dytë i ngjashmërisë së trekëndëshave 194

4. Rasti i tretë i ngjashmërisë së trekëndëshave 196

5. Zbatime të ngjashmërisë së trekëndëshave 198

6. Ngjashmëria e shumëkëndëshave 201

7. Teorema e Talesit 203

8. Kuptimi mbi homotetinë 205

9. Një veti karakteristike e homotetisë 207

10. Zbatime të homotetisë 209

11. Çfarë mësuam? (Përsëritje) 211

12. Vlerësim 213

TRIGONOMETRIA NË TREKËNDËSHIN KËNDDREJTË

1. Matja e këndeve dhe harqeve 215

2. Përkufizimet e funksioneve trigonometrike të këndit të ngushtë 217

3. Lidhjet ndërmjet funksioneve trigonometrike të këndit 219

Lidhjet ndërmjet funksioneve trigonometrike të këndeve komplementare 221

5. Vlerat e funksioneve trigonometrike të këndeve 30o; 45o dhe 60o 223

Vlerat e funksioneve trigonometrike të këndeve 0o–90o 225

7. Lidhjet ndërmjet brinjëve dhe këndeve në trekëndëshin kënddrejtë

mësuam? (Përsëritje)

TË DHËNAT DHE PROBABILITETI

Mbledhja dhe paraqitja e të dhënave

grafike

grafike (vazhdim)

e rezultateve dhe ngjarjet

i probabilitetit

e rezultateve të mundshme

statistikor

e probabilitetit

mësuam? (Përsëritje)

227 8. Çfarë

229 9. Vlerësim 231

234 2. Paraqitjet

237 3. Paraqitjet

240 4. Mesataret 243 5. Hapësira

246 6. Kuptimi

249 7. Renditja

251 8. Probabiliteti

253 9. Vetitë

255 10. Çfarë

257 PËRSËRITJE 260 8 10 9 11 12

BASHKËSITË NUMERIKE

Në fund të kësaj teme, nxënësi/ja:

• përkufizon vetitë e numrave natyrorë, të plotë, racionalë (bashkësive numerike N, Z, Q) dhe i përdor ato në zgjidhjet e detyrave;

• dallon numrat dhjetorë, që mund të shkruhen si numra thyesorë dhe ata që nuk mund të shkruhen si numra thyesorë;

• identifikon numrat irracionalë dhe i paraqet në boshtin numerik;

• përkufizon numrat realë, bashkësinë e numrave realë (R) dhe i paraqet në boshtin numerik;

• krahason dy numra realë;

• përkufizon vlerën absolute të numrave realë;

• kryen veprimet themelore me numra realë, duke përfshirë edhe fuqizimin dhe rrënjëzimin.

Fjalë kyçe: numër natyror, i plotë, thyesor, dhjetor, racional, irracional, numër real, bashkësi numerike, bosht numerik, vlerë absolute, interval, gjysminterval, segment, prerje, bashkim.

A E DINI SE?...

Numri pi, i cili zakonisht shënohet me germën e vogël të alfabetit grek π, është një konstante matematike nga më të rëndësishmet. Numri π mund të përkufizohet si herës (raport) i perimetrit të një rrethi me diametrin e tij. Vlera e tij e përafërt është 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50…

Numri π është një numër irracional, që do të thotë se ai nuk mund të shkruhet si thyesë apo si herës i dy numrave të plotë. Kjo do të thotë se shifrat e tij kurrë nuk përfundojnë, por edhe nuk përsëriten. Ky numër njihet edhe si konstantja e Arkimedit apo edhe si konstantja e Ludolfit.

Simboli π u vendos në vitin 1706, nga matematikani anglez Uilliam Xhons si germa e parë e fjalës greke περίμετρος (perimetros), domethënë përmasa përqark ose përreth. Gjatë historisë së matematikës, janë bërë përpjekje të shumta për ta kuptuar më mirë natyrën e këtij numri. Përdorimi i tij njihet që nga antikiteti dhe nuk e ka humbur asnjëherë rëndësinë. Përkundrazi, shumë formula nga matematika, apo fizika dhe inxhinieria përmbajnë numrin π. Koncepti i tij është sa i thjeshtë, aq edhe interesant. “Të eksplorosh π, është njësoj si të eksplorosh Universin.” (David Chudnovsky)

1.1 Thyesat dhe numrat dhjetorë

A Kërkoni dhe zbuloni

Punë në grup

Krahasoni 3 5 dhe 4 5 ; 5 7 dhe 5 8 ; 2,73 dhe 2,69. Argumentoni përgjigjen. Kujtoni rregullën për krahasimin e numrave thyesorë dhe dhjetorë.

B Vrojtoni dhe mësoni

Shembulli 1

Krahasoni thyesat 3 7 dhe 2 5 Së pari, është e nevojshme që thyesat e dhëna të kthehen në thyesa me emërues të njëjtë. Shumëfishi më i vogël i përbashkët (SH.V.P) i emëruesve është 35. Kemi:

7 = 3

5 = 15 35 dhe 2 5 = 2

7 = 14 35 Meqë 15 35 > 14 35 dhe 3 7 > 2 5

Shembulli 2

Krahasoni thyesat – 3 7 dhe – 2 5 . Kemi:

5 = 3

3 = 9 15 dhe 2 3 = 2 · 5

Shembulli

Mënyra

Shpeshherë,

raste,

MATEMATIKA 9 8

7 ·

5 ·

3 · 5 = 10 15 Meqë 9 15 > 10 15 (Pse?) del që 3 5 > 2 3

3 Krahasoni numrin dhjetor 0,7 me thyesën 3 4 Për këtë, ose numri dhjetor kthehet në thyesë, ose thyesa kthehet në numër dhjetor. Mënyra e parë: 0,7 = 7 10. Krahasojmë tani thyesat 7 10 dhe 3 4 . Shumëfishi më i vogël i përbashkët i 10 dhe 4 është 20. Kemi: 7 10 = 7 · 2 20 = 14 20; 3 4 = 3 · 5 20 = 15 20 14 20 < 15 20 ⇒ 7 10 < 3 4 ⇒ 0,7 < 3 4

e dytë: 3 4 = 0,75 ⇒ 0,75 > 0,7 ⇒ 3 4 > 0,7

ndeshemi me shprehje që përmbajnë edhe thyesa, edhe numra dhjetorë. Në këto

për gjetjen e vlerës së tyre duhet ndjekur radha e veprimeve.

1. BASHKËSITË NUMERIKE 9 Shembulli 4 Gjeni vlerën e shprehjes S = 2,3 · 5 ( 3 4 1 3 ) · 6. Kemi: S = 2,3 · 5 ( 3 4 1 3 ) · 6 = = 11,5 (3 · 3 4 · 1 12 ) 6 = = 11,5 5 12 · 6 = = 11,5 5 2 = 11,5 2,5 = 9 C Ushtrohuni duke zbatuar 1. Në vend të pikave, vendosni shenjat >; < ose =. a) 3 8 ... 5 16; 1 4 ... 2 5 ; b) 1,21 ... 2,07; 2,9 ... 2,09; c) 3 5 ... 0,6; 1 4 ... 0,6. USHTRIME 1 a) Si formohen thyesa të barabarta me një thyesë të dhënë? b) Shkruani tri thyesa të barabarta me thyesën 3 4 2 Thjeshtoni thyesat: 15 25; 22 33; 39 52; 24 20; 48 28; 124 250 . 3 Në vend të pikave, vendosni shenjat >; < ose =. a) 5 7 ... 3 4 ; 1 3 ... 4 12; b) 3,19 ... 3,190; 5,03 ... 5,1. c) 5 2 ... 2,4; 2,4 ... 5 2 4 Shkruani tri thyesa që të jenë ndërmjet thyesave: a) 3 11 dhe 7 11 ; b) 3 7 dhe 6 7 ; c) 1 3 dhe 1 4 5 Një çiklist përshkon 75 km në 2,5 orë. Sa është shpejtësia e çiklistit? 6 Largesa ndërmjet dy qyteteve është 20,5 km. Një udhëtar, orën e parë bëri 5,3 km, orën e dytë, 0,5 km më pak dhe orën e tretë, 0,2 km më shumë se orën e dytë. Sa km rrugë i mbetën për të bërë? 20,5 km

1.2 Numra dhjetorë periodikë

A Kërkoni dhe zbuloni

Jepen numrat thyesorë 3 25; 3 7 Ktheni thyesat në numra dhjetorë duke pjesëtuar numëruesin me emëruesin. Çfarë vini re? Tregoni thyesa të tjera, që kthehen në numra dhjetorë të fundmë, si dhe thyesa që kthehen në numra dhjetorë të pafundmë.

B Vrojtoni dhe mësoni

Shembulli 1

Të kthehet në numër dhjetor thyesa 5 9 .

Duke bërë pjesëtimin, përftohet numri periodik 0,555… Pra, 5 9 = 0,555… Shifra 5, e cila përsëritet, quhet periodë. Numri periodik shkruhet edhe 5 9 = 0,5

Mbani mend:

Çdo numër periodik shprehet si herës i pjesëtimit të një numri të plotë me një numër natyror. Kjo tregon se numrat periodikë janë numra racionalë.

Shembulli 2

Të shkruhet numri 2,777… në trajtën m n Në këtë rast, perioda është 7.

Shënojmë x = 2,777… (1). Shumëzojmë të dyja anët e këtij barazimi me 10 dhe kemi:

10x = 27,777… (2). Duke zbritur anë për anë barazimin (1) nga barazimi (2), kemi:

10x – x = 27,777… – 2,777… ose 9x = 25 ⇒ x = 25 9

Shembulli 3

Të shkruhet numri 3,151515… në trajtën m n Në këtë rast, perioda është 15.

Shënojmë x = 3,151515… (1) Shumëzojmë të dyja anët e barazimit me 100 dhe kemi:

100x = 315,1515… (2) Zbresim anë për anë barazimet (1) dhe (2).

100x – x = 315,151515… – 3,151515… ose 99x = 312 ⇒ x = 312 99

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. Ktheni në trajtën m n numrin periodik 0,1444…

2. Krahasoni në dy mënyra numrat 0,4 dhe 4 9 .

MATEMATIKA 9 10

USHTRIME

1. BASHKËSITË NUMERIKE 11

1 Zgjidhni alternativën e duhur (po ose jo). Po Jo a) A është numri natyror numër dhjetor? b) A është numri dhjetor numër natyror? c) Numrat dhjetorë periodikë a janë numra racionalë? d) Numri (–x) a mund të jetë numër pozitiv? 2 Ktheni në numra dhjetorë (të fundmë ose periodikë) thyesat e mëposhtme: 1125415378 ;;;;;;;; 369121512849 3 Ktheni në trajtën m n numrat periodikë të mëposhtëm: 0,333…; 0,777…; 1,555...; 2,171717…; 4,050505…; 0,1222…; 1,3555… 4 Numrin dhjetor periodik 0,999… i cili mund të shkruhet ndryshe si 0,9, kthejeni në numër thyesor. 5 Plotësoni vendet bosh në tabelën e mëposhtme: Thyesa Numri dhjetor i fundmë Numri dhjetor periodik 1 8 0,25 0,888… 1,1777… 2,99 0,77 6 Gjeni vlerën e x, në barazimet e mëposhtme: 3736–5 ;;; 5102825168 xxx x ==== 7 Gjeni vlerën e shprehjeve: a) 12 2b për b 5 0; b 5 1,7; b 5 2 b) 3x 5y për 1) x 5 1 3 dhe y 5 2 5 ; 2) x 5 1 3 dhe y 5 4 5 8 Gjeni 1 a − 1 b , nëse a = 0,3 dhe b = 0,6. 9 Perimetri i ekuatorit të tokës është afërsisht 40 000 km. Gjeni rrezen ekuatoriale të tokës. 10 a dhe b janë shifra. Gjeni a + b nëse 1,a + 1,b = 3

1.3 Bashkësitë numerike

A Kërkoni dhe zbuloni

Cili nga pohimet e mëposhtme është i vërtetë?

a) Çdo numër i plotë është numër natyror.

b) Çdo numër natyror është numër i plotë.

c) Çdo numër i plotë është numër racional.

d) Çdo numër racional është numër i plotë. Bashkëbisedoni.

B Vrojtoni dhe mësoni

Bashkësinë e përbërë nga numrat 1, 2, 3, 4, … e kemi quajtur bashkësi e numrave natyrorë dhe e kemi shënuar me N. Pra N = {1, 2, 3, 4, ...}. Numrat 1, 2, 3, 4 etj. janë elemente të saj. Kjo është një bashkësi e pafundme. Mund të shkruajmë: 5 ∈ N; 12 ∈ N; 347 ∈ N etj.

Numrat 2 1,37;3;; 5 π etj. nuk janë numra natyrorë e rrjedhimisht nuk bëjnë pjesë në N.

Shkruajmë: 2 1,37;3;; 5 NNNN∉−π∉∉∉

Numrin –3 e quajmë të kundërt të numrit natyror 3. Po kështu, numri –7 është i kundërt i numrit 7. Formojmë bashkësinë Z = {… –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, …}, të cilën e kemi quajtur bashkësia e numrave të plotë dhe e kemi shënuar me Z.

Për këtë bashkësi kemi: 12 3;7;4;0;3,7; 5 ZZZZZZ −∈−∈∈∈∉−∉ . Vëmë re se çdo numër natyror është i plotë. Me të vërtetë 3 ∈ N, por 3 ∈ Z. Për këtë arsye, bashkësia e numrave natyrorë N është pjesë e bashkësisë së numrave të plotë Z. Me të vërtetë 3 = 3 1 ; 5 = 5 1 ; 7 = 7 1 = 14 2 etj.

Mbani mend:

e trajtës m n , ku m është numër i plotë (m ∈

dhe

është numër natyror

shënojmë me Q. Pra:

numrat e plotë janë numra

bashkësia

numrave të plotë është pjesë e bashkësisë së numrave racionalë. Në figurën 1.1, jepen bashkësitë N, Z dhe Q me diagrame të Venit.

numrat dhjetorë të fundmë janë numra racionalë, sepse mund të shkruhen në trajtën m n .

MATEMATIKA 9 12

Numrat

(n∈N) i quajmë numra racionalë. Bashkësinë e tyre e

2 5 ∊ Q; 3 4 ∊ Q; 7 3 ∊ Q; 1,32 ∊ Q. Numrat natyrorë dhe

racionalë, sepse ato mund të shkruhen në trajtën m n . Kështu

Edhe

Q Z N Fig. 1.1

Për shembull: 1,2 = 12 10 ; 0,4 = 4 10 ; 0,312 = 312 1000 etj. Gjithashtu, kemi treguar se numrat dhjetorë të pafundmë periodikë janë numra racionalë. 0,333... = 1 3 ∊ Q; 2,777... = 25 9 ∊ Q; 3,151515... = 312 99 ∊ Q.

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. A janë të vërteta pohimet e mëposhtme? Diskutoni! a) Shuma e dy numrave natyrorë është numër natyror. b) Ndryshimi i dy numrave natyrorë është numër natyror. c) Prodhimi i dy numrave të plotë është: 1) numër natyror; 2) numër i plotë. d) Ndryshimi i dy numrave natyrorë është numër i plotë. e) Shuma (prodhimi, ndryshimi) e dy numrave racionalë është numër racional.

2. Janë dhënë 15 numra negativë dhe 17 numra pozitivë. Cila është shenja e prodhimit të këtyre 32 numrave?

3. Shkruani shprehjen, që tregon herësin e shumës së numrave 3,1 dhe 0,64 me atë të prodhimit të tyre. Gjeni vlerën e kësaj shprehjeje deri në dy shifra pas presjes dhjetore.

4. Të shkruhen nëntë numra racionalë, të cilët janë më të mëdhenj se 1 4 dhe më të vegjël se 1 3 .

USHTRIME

1 Cili është numri natyror më i vogël? Po numri natyror më i madh? Sa numra natyrorë me një shifër ka?

2 Po me 2 shifra? Në barazimet e mëposhtme, dalloni ato që janë të vërteta dhe ato që janë të gabuara. a) 25 9 = 0,4; b) 3 7 = 6 14; c) 3 = 12 4 ; d) 1 4 = 0,4; e) 1 3 = 0,333 ...

3 Thyesat e mëposhtme të shkruhen në trajtën e numrave dhjetorë (të fundmë ose periodikë). Shkruani numrin e kundërt të secilit prej tyre: a) 1 5 ; b) 3 4

4 Numrat periodikë të mëposhtëm të shkruhen në trajtën e thyesave.

5 Të tregohen elementet e bashkësisë:

numra natyrorë çift më të mëdhenj

dhe më të vegjël se 11; b) numra të plotë ndërmjet –5 dhe 6; c) numra të plotë, vlera absolute e të cilëve është më e vogël se 6.

6 Gjeni vlerën e shprehjes:

+ (– 3 – 4) – 24 në N dhe në Z.

7 Të kryhen veprimet, pa përdorur makinën llogaritëse: a) (8 : 4) ⋅ 3; (2 + 3) ⋅ (–5); (0,32 ⋅ 10) – 3,2; b) (32000 : 7) 7; 173,12 + 13,4 – 13,4; (33 – 3) (–5).

8 Të gjenden katër thyesa me emërues njëshifror, të tillë që 7 9 < a < b < c < d < 8 9 .

1. BASHKËSITË NUMERIKE 13

; c) 5 2 ; d) 1 7 ; e) 5 6

a) 0,323232…; b) 1,010101…; c) 0,888…; d) 3,212121 …

se 4

1.4 Veprime aritmetike në bashkësitë numerike

A Kërkoni dhe zbuloni

Jepet a ∈ N dhe b ∈ N. A rrjedh që këtej se (a + b) ∈ N dhe a b ∈ N?

Jepet a ∈ N dhe b ∈ N. A rrjedh që këtej se (a – b) ∈ N? Jepet a ∈ Z dhe b ∈ Z. A rrjedh që këtej se (a + b) ∈ Z; (a – b) ∈ Z; a ⋅ b ∈ Z? Jepni shembuj për secilin rast. Bashkëbisedoni.

B Vrojtoni dhe mësoni

Mbani mend:

Shuma (prodhimi) e dy numrave natyrorë është numër natyror. Por ndryshimi i dy numrave natyrorë mund të mos jetë numër natyror.

Shuma (prodhimi, ndryshimi) e dy numrave të plotë është numër i plotë. Por herësi i dy numrave të plotë mund të mos jetë numër i plotë.

Shembulli 1

Jepet a ∈ Q dhe b ∈ Q. Të vërtetohet se (a + b) ∈ Q. Vërtetim

Shëmpmpmq+np nojmëa=dheb=kum,pZdhen,qN.Kemi:a+b= nqnqnq ∈∈+= Numëruesi (mq + np) është numër i plotë, ndërsa emëruesi (nq) është numër natyror. Pse? Rrjedhimisht (a + b) ∈ Q.

këtë mënyrë

racionalë është numër racional.

prodhimi, ndryshimi dhe herësi i dy numrave racionalë a dhe b, (b ≠ 0), është numër racional

mënyrë

Shembulli

boshtin numerik, gjeni largesën ndërmjet pikave:

dhe +5 b) 0 dhe –4 c) –2 dhe +3 d) –2 dhe –5

Zgjidhje

figurën 1.2 kemi:

Në boshtin numerik, vëmë re se numrit +3, i përgjigjet pika A dhe numrit +5 i përgjigjet pika

Largesa ndërmjet tyre është 2. Kjo gjendet me veprimin (+5) – (+3) = + 2

Largesa e kërkuar është ajo ndërmjet pikave O dhe C, e cila është e barabartë me 4;

– (–4) = 4.

Në mënyrë të njëjtë gjejmë që largesa e kërkuar është (+3) – (–2) = +3 + 2 = + 5

Largesa e kërkuar është (–2) – (–5) = –2 + 5 = + 3

MATEMATIKA 9 14

Në

kemi vërtetuar se shuma e dy numrave

Në

analoge vërtetohet se

2 Në

a) +3

Në

–5035 –4 COAB –2 Fig.1.2 a)

Mbani mend:

Për të gjetur largesën ndërmjet dy pikave në boshtin numerik, nga numri më i madh (që i përgjigjet pikës në të djathtë) zbresim numrin më të vogël (që i përgjigjet pikës në të majtë).

Shembulli 3

Sa numra racionalë ka ndërmjet numrave 1 dhe 2?

Zgjidhje

Ne mund të shkruajmë disa numra racionalë ndërmjet numrave 1 dhe 2. Të tillë janë p.sh. 1,1; 1,2; 1,3 etj. Por edhe ndërmjet numrave 1,1 dhe 1,2 ka numra racionalë si 1,11; 1,12 etj. Si përfundim, ndërmjet numrave 1 dhe 2 ka një bashkësi të pafundme numrash racionalë. Ky përfundim është i vërtetë për çdo dy numra racionalë.

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. Vërtetoni që prodhimi i dy numrave racionalë është numër racional.

2. Në fjalitë e mëposhtme, dalloni të saktat (V) dhe ato të gabuarat (G).

a) Shuma e dy numrave natyrorë është numër natyror.

b) Prodhimi i dy numrave të plotë është numër natyror.

c) Prodhimi i dy numrave të plotë është numër i plotë.

d) Prodhimi i dy numrave natyrorë është numër natyror.

e) Ndryshimi i dy numrave natyrorë është numër natyror.

f) Ndryshimi i dy numrave të plotë nuk është numër natyror.

USHTRIME

1 Tregoni dy numra racionalë që: a) nuk janë numra natyrorë;

1. BASHKËSITË NUMERIKE 15

b) nuk janë numra të plotë.

Jepen numrat racionalë a dhe b. a) Vërtetoni se ndryshimi (a – b) i tyre është numër racional. b) Vërtetoni që, nëse b ≠ 0, edhe herësi a b i tyre është numër racional.

Tregoni tre numra racionalë që të jenë ndërmjet: a) 1 dhe 2; b) 1,3 dhe 1,4; c) 1,72 dhe 1,73; d) –3 dhe –2; e) –3,6 dhe –3,5; f) 1 3 dhe 1 4 ; g) 1 3 dhe 0,7. 4 Numrat racionalë m = x 6 dhe n = 1 3 janë të barabartë. Gjeni x 5 Gjeni vlerën e shprehjes: a) 24 – 4 – 30 në N dhe Z b) 24 : 5 + 24 në Q dhe Z 6 Gjeni vlerën e shprehjes: (4 1 5 – 3 3 4 ) · 1 2 3 ( 1 3 –1 4 + 1 6 ) : 4 – 5

1.5 Numrat irracionalë

A Kërkoni dhe zbuloni

Jepet drejtkëndëshi me përmasa: a = 3 7 m dhe b = 4 7 m. Gjeni diagonalen e tij. A është kjo diagonale numër racional sikurse edhe përmasat e drejtkëndëshit?

Gjeni katetin e trekëndëshit kënddrejtë, duke ditur hipotenuzën 2 cm dhe katetin tjetër 1 cm. Përdorni makinën llogaritëse për gjetjen e gjatësisë së katetit. Ç’vini re?

B Vrojtoni dhe mësoni

Shembulli 1

Gjeni diagonalen e katrorit me brinjë a = 1m. Duke shënuar me d, diagonalen e katrorit kemi: 2222222 daad11d2d2m. =+⇒=+⇒=⇒= Me anën e makinës llogaritëse, gjejmë se 21,414213...= Vëmë re se ky është një numër dhjetor i pafundmë joperiodik. Më vonë do të vërtetojmë se nuk ekziston asnjë numër racional katrori i të cilit të jetë i barabartë me 2. Këtë numër e shënojmë 2 dhe e quajmë numër irracional.

mund të gjejmë

të përafërta

e pikërisht

numrat

1,41; 1,414; 1,4142 …

Të tillë

C Ushtrohuni duke zbatuar

MATEMATIKA 9 16

vlera

të 2

të tillë janë

1,4;

etj. Veç numrit 2 ka edhe numra të tjerë irracionalë pozitivë ose negativë.

janë p.sh.: 5 3;5;11;-2,3 ;-;etj. 7 π–5 3;5;11;-2,3 ;-;etj. 7 π 5 3;5;11;-2,3 ;-;etj. 7 π Në këtë mënyrë mund të shkruajmë: 4 2;-17;5,1;;;2,74Ietj.II II I∈∈π∈∈∈∉ 4 2;-17;5,1;;;2,74Ietj.II II I∈∈π∈∈∈∉

1. Gjeni gjatësinë e diagonales së drejtkëndëshit me përmasa të dhëna. Për secilin rast, tregoni nëse ajo shprehet me një numër racional apo irracional. a) 3 cm dhe 4 cm; b) 3 7 cm dhe 6 5 cm; c) 3 cm dhe 2 cm 2. Ndërmjet cilëve numra të plotë ndodhen rrënjët katror të numrave: a) ... < 3 < ...; b) ... < 7 < ...; c) ... < 12 < ...; d) ... < 2 3 < ...; 3. Duke përdorur makinën llogaritëse, krahasoni: 4 a) 3+4 7 3+4... b) 2,3+3,5...7–4 c) 2... 2 5 +... 1 2 Mbani mend: Numrat irracionalë janë numra dhjetorë të pafundmë joperiodikë. Numrat irracionalë formojnë një bashkësi të pafundme, e cila shënohet me I.

USHTRIME

1 Gjeni lartësinë e trekëndëshit barabrinjës me brinjë 2 cm. A është numër racional? Argumentoni përgjigjen.

2 Gjeni katetin e panjohur b të trekëndëshit kënddrejtë, kur jepet hipotenuza c dhe kateti tjetër a. Tregoni në secilin rast nëse ai shprehet me numër racional apo irracional.

a) c = 13 cm dhe a = 5 cm; b) c = 10 cm dhe a = 6 cm; c) c = 9 cm dhe a = 1 cm.

3 Jepet bashkësia 4 M={–3;2;5;7,3;–;31;–4 5} Tregoni elementet e saj që janë: a) numra negativë; b) numra natyrorë; c) numra të plotë; d) numra racionalë; e) numra irracionalë.

4 Cilat nga shprehjet e mëposhtme nuk ka kuptim?

a) 21 ; b) 132,7 ; c) –25; d) (–3)2

5 Zgjidhni ekuacionet në bashkësinë e treguar:

a) x2 = 4 në N; Z dhe Q. b) x2 = –9 në N; Z; Q. c) 2x = 2 2 në N; Z; Q dhe I.

6 Duke përdorur makinën llogaritëse, krahasoni: a) 8 me 21 ; b) 12 me –2,12; c) (–3)3 me 2 · 3.

7 Për ç’vlera të x, kanë kuptim shprehjet e mëposhtme? a) x ; b) x2 ; c) x ; d) |–x| .

8 Jepet shprehja: 1+ 3. Në cilën bashkësi numerike gjendet rezultati i saj? Shkruani tri shprehje që kanë zgjidhje: a) në bashkësinë e numrave racional; b) në bashkësinë e numrave irracional.

9 Në një pemë Krishtlindjeje me lartësi h cm, numri i zbukurimeve që mund të vendosen në të jepet me formulën ( 12 : 20) · h. Gjeni numrin e zbukurimeve, që mund të vendosen në një pemë me lartësi: a) 1,5 m; b) 2,5 m.

10 Gjeni 0,25 dhe 0,36 . Përdorni përgjigjet e gjetura për të njehsuar – 0,3 të rrumbullakosur në dy shifra pas presjes dhjetore.

11 Andi dëshiron të gjejë rrënjën katrore të 27. Ai e zgjidhi si më poshtë: 25 = 5 dhe 36 = 6. 36 është 11 më e madhe se 25. 27 është 2 më e madhe se 25. Kështu, rrënja katrore është 2 11 më e madhe se 5, pra 5,2 e rrumbullakosur në një shifër pas presjes dhjetore. A është e saktë zgjidhja e Andit? Diskutoni.

1. BASHKËSITË NUMERIKE 17

1.6 Bashkësia R e numrave realë

A Kërkoni dhe zbuloni

Jepet bashkësia

Tregoni bashkësinë numerike ku bëjnë pjesë elementet e saj. A mund t’i klasifikoni të gjitha elementet? Çfarë vini re?

B Vrojtoni dhe mësoni

Bashkësia e numrave realë

mend:

numër

Shkruajmë Q ∩ I = Φ

Bashkësia e përbërë nga numrat racionalë dhe ata irracionalë, quhet bashkësia e numrave realë dhe shënohet me R. Nga ky përkufizim kemi R = Q ∪ I.

Me anën e diagramit të Venit, bashkësitë N, Z, Q, I dhe R paraqiten në figurën 1.3.

Sido që të jenë numrat realë m dhe n, shuma (m + n); prodhimi (m ⋅ n); ndryshimi (m – n) dhe herësi m n (me kusht që n ≠ 0) janë gjithashtu numra realë. Shuma e një numri racional me një numër irracional është numër irracional.

Vërtetim: Jepen numrat m ∈ Q dhe n ∈ I. Shënojmë c = m + n. Të vërtetojmë se c ∈ I. Supozojmë të kundërtën d.m.th. supozojmë se c ∉ I gjë që sjell që c ∈ Q. Kemi: n = (c – m) ∈ Q, sepse c ∈ Q dhe m ∈ Q. Kjo bie në kundërshtim me kushtin që n ∈ I. Mbetet që c ∈ I, gjë që deshëm të vërtetojmë.

e një shprehjeje, e cila përmban

MATEMATIKA 9 18

44 M={–4;3;5;7,3;–;3;;0} 59

Vlerën

disa numra irracionalë e gjejmë me përafërsi. P.sh.: S=5(13 )2(1)5(11,73)2(3,141)5(0,73)2( 2, 14)3,654,280,63−+π−≈−+−≈⋅−+⋅≈−+≈ C Ushtrohuni duke zbatuar 1. Verifikoni saktësinë e shënimeve: N ⊂ Q; Z ⊂ R; I ⊂ R; Q ⊂ I; Z ⊂ I 2. Jepet bashkësia M={2;5;3,4;;3;3, 14}.π Dalloni shënimet e vërteta (V) dhe ato të gabuara (G). 2N;5Z;3,4R;3,4Q;I;3;3,14QI−∈π∈∈∉∈−∉−∈ 3. Një pllakë katrore me syprinë 36 cm2 pritet në katër trekëndësha të barabartë, të cilët ribashkohen për të formuar një drejtkëndësh si në figurën 1.4. Ky drejtkëndësh do të përdoret për të formuar bordurën e dyshemesë. Sa është perimetri i pllakës drejtkëndore? Mbani

Bashkësia e numrave racionalë Q dhe bashkësia e numrave irracionalë I nuk kanë asnjë element të përbashkët, sepse nuk ekziston asnjë numër, i cili të jetë njëkohësisht edhe

racional, edhe numër irracional. I Z N Q R Fig. 1.3 Fig. 1.4

USHTRIME

1 Gjeni gjatësinë e diagonales së drejtkëndëshit me përmasa të dhëna. Për secilin rast, tregoni nëse ajo shprehet me një numër racional apo irracional. a) 3 cm dhe 4 cm; b) 8 5 cm dhe 6 5 cm; c) 3 cm dhe 2 cm.

2 Cili nga numrat e dhënë është numër irracional: a) 3 + 3; b) 2 –2; c) 2 ( 2 – 8); d) ( 11 – 1)( 11 + 1).

3 Vendosni në boshtin numerik numrat: 4 , 5 , 6 , 7 , 3 – 4.

4 Jepet bashkësia M = { 3 + 1; 2 + 9 ; 2 + 14 ; 5,03 – 0,2; – 1 3 ; 3 + 15 ; 3 – 8}. Shkruani nënbashkësitë e saj, elementet e së cilës janë: a) numra negativë; b) numra natyrorë; c) numra të plotë; d) numra racionalë; e) numra irracionalë.

5 Zgjidhni ekuacionet në bashkësinë e treguar: a) (x – 2)(x + 2) = 0 në N; Z dhe Q. b) x2 = 4 në N; Z; Q. c) 3x = 3 3 në N; Z; Q dhe I.

6 Verifikoni saktësinë e shënimeve: Q ⊂ R; R ⊂ Q; Q ∩ N = Q; Z ∩ N = Z; Z ∩ I = Φ; I ∪ Q = R

7 A mund të ndodhë që shuma e dy numrave irracionalë të jetë numër racional? Diskutoni.

8 Cili nga relacionet e dhëna është i saktë: a) N R; b) Q R; c) Q I; d) R I; e) Q ∩ I = Ø

9 Cili numër është më i madh: a) 3 apo 1,5; b) 3 apo 7 5 ; c) π apo 10 3 .

Janë dhënë numrat (–5) dhe 3. Shkruani shprehjen dhe njehsoni vlerën e saj për:

katrorin

shumës së

katrorin e ndryshimit

shumën e kubeve të

shumën e katrorëve

ndryshimin e katrorëve

makinë

në orë;

1. BASHKËSITË NUMERIKE 19

tyre; b)

të tyre; c)

tyre; d)

të tyre; e)

të tyre. 11 Krahasoni: () 2 2 2 213113 31 2:2 7124 345 3243     −+ ⋅     12 Distanca minimale nga Toka në Hënë është 354 988 kilometra. Gjeni për sa kohë i duhet ta përshkojë këtë distancë: a) një aeroplan që lëviz me shpejtësi 800 kilometra në orë; b) një

që lëviz me shpejtësi 105 kilometra

1.7 Paraqitja e numrave realë në boshtin numerik. Vlera absolute

A Kërkoni dhe zbuloni

Punë në grup

Gjeni në boshtin numerik pikën që i përgjigjet numrave: 3; 0,3; 3. Çfarë vini re?

B Vrojtoni dhe mësoni

Në figurën 1.5 është vizatuar boshti numerik me origjinë O dhe në të është zgjedhur njësia e matjes.

OBC

05 44,5

Çdo numri racional i korrespondon një pikë e caktuar e boshtit numerik. Numrit 4, i korrespondon pika B, sepse OB = 4. Numrit 4,5, i korrespondon pika C, sepse OC = 4,5. Shtrojmë pyetjen: A ka ndonjë pikë të boshtit numerik që t’i korrespondojë numrit 2 ? Për këtë qëllim, ndërtojmë katrorin me brinjë një njësi, sa njësia e boshtit numerik (fig. 1.6) dhe shënojmë me d diagonalen e tij. Siç e dimë kemi d = 2. Në boshtin numerik, marrim segmentin OR = AC. Në këtë mënyrë, numrit 2 i korrespondon pika R. Në mënyrë analoge, në boshtin numerik gjenden pikat që u korrespondojnë numrave të tjerë irracionalë si 3; 7; 11; π etj.

Mbani mend:

1.5

1.6

Çdo numër real paraqitet me anën e një pike në boshtin numerik dhe anasjellas, çdo pikë e boshtit numerik paraqet një numër real të caktuar. Është kjo arsyeja që shpeshherë boshti numerik quhet edhe boshti real.

Sikurse e dimë, numrat negativë paraqiten me pika të boshtit që ndodhen majtas origjinës, ndërsa numrat pozitivë me pika të boshtit që ndodhen djathtas origjinës. Në figurën 1.7, pikës B i korrespondon numri 2, ndërsa pikës A i korrespondon numri – 4.

1.7

Mbani mend:

boshtit

boshtin

numrit

anën e një pike.

dhe shënohet

MATEMATIKA 9 20

05–5–4–3–2–11234 AB O Marrim një numër çfarëdo x ∈ R. Ky numër në

numerik paraqitet me

Fig.

DC A1 1 B Fig.

Largesa e kësaj pike nga origjina e

quhet vlerë absolute e

|x|.

1.8

Shkruani

|a| < 5; b) |

A mund të shkruani

të tillë

5; c) |

gjithë

të

|a|

që |b| ≥ 3?

1 Dy numra realë janë të barabartë. A rrjedh që këtej se vlerat absolute të tyre janë të barabarta? Diskutoni.

2 Dy numra realë i kanë vlerat absolute të barabarta. A rrjedh që këtej se ata janë të barabartë? Diskutoni.

3 Numrat e bashkësisë M = { 7; 22; 13,4; 1,4; 0; 1; 2; 2; – 2; 3} renditini nga më i vogli te më i madhi.

4 Gjeni vlerën e shprehjes numerike: a) 7 – 3 + |–4| + 5 = b) –4 – |–2 3| + 6 = c) |3,2 3,5| + |– 2,3 + 3,2| = d) 0,9 + 4,2 – |3,2 4,9| =

5 Gjeni vlerën e shprehjes numerike: a) 42 – |–2 + 33|; b) 1,2 + |–0,1 – 0,22| – 0,9; c) ( 42) |–2|.

6 Vërtetoni se për çdo x ∈ R, kemi: |x| ≥ 0 |x| = |–x|

7 Zgjidhni ekuacionet:

|x| = 2 në N dhe Z; b) |x| = 3 në N, Z, Q, I dhe R.

8 Tregoni shenjën e vlerës së shprehjes:

nëse

> 0; a < 0.

1. BASHKËSITË NUMERIKE 21 USHTRIME Në këtë mënyrë, mund të shkruajmë |–3| = 3; |+5| = 5; |0| = 5 etj. Vëzhgojmë figurën 1.8. 0 x–3–2–1123x A 3njësi3njësi OB Kemi OA = OB nga ku |–x| = |x|. Pra, mund të shkruajmë: |x| = x, kur x > 0 dhe |x| = –x, kur x < 0. Meqë |0| = 0, kemi: për0 për<0 xx x xx ≥=  C Ushtrohuni duke zbatuar 1. Gjeni |7|; |–2,1|; |π|; | 4 11|; |–3,14|. 2. Cili është numri i kundërt i numrit (–a)? 3. Krahasoni: a) |–5| me –(–5); b) 32 me |–32|; c) |–4 + 52| me 4 + |–52|. 4.

të gjithë numrat e plotë a,

që: a)

≤

të

numrat e plotë b,

tillë

|a| + 4

a ∊ R; b) a |a| + 1

Fig.

1.8 Intervali dhe segmenti

A Kërkoni dhe zbuloni

Punë në grup

Në boshtin numerik, tregoni disa numra realë që janë më të mëdhenj se 2 dhe më të vegjël se 3. Sa të tillë mund të tregoni? Si mund të tregoni bashkësinë e të gjithë numrave realë, që ndodhen ndërmjet 2 dhe 3? Bashkëbisedoni.

B Vrojtoni dhe mësoni

Jepen numrat realë a dhe b të tillë që a < b. Bashkësia e numrave realë, më të mëdhenj se a dhe më të vegjël se b, shënohet me simbolin (a; b) dhe lexohet “ intervali ab”. Pra, (a; b) = {x ∊ R| a < x < b}. Lexohet “Bashkësia e vlerave reale të x-it që plotësojnë kushtin a < x < b”.

Kujdes!

Numrat a dhe b nuk bëjnë pjesë në intervalin (a; b).

Në figurën 1.9, janë paraqitur të gjitha pikat e boshtit numerik, të cilat u përgjigjen numrave realë të intervalit (1; 4). Fakti që pikat

A dhe B, që u përgjigjen numrave 1 dhe 4, nuk i përkasin këtij intervali, shënohen me rrathë të vegjël bosh.

Fig. 1.9

Bashkësia e numrave realë x, që plotësojnë kushtin a ≤ x ≤ b, quhet segment dhe shënohet [a;b]. Kuptohet se numrat a dhe b, i përkasin segmentit. Në figurën 1.10 janë paraqitur të gjitha pikat e boshtit numerik, që u përgjigjen numrave të segmentit [–1; 3]. Pikat M dhe N që u përgjigjen numrave –1 dhe 3 janë shënuar me rrathë të vegjël, të mbushur

Fig. 1.10

Bashkësia e numrave realë x, që plotësojnë kushtin a < x ≤ b quhet gjysminterval, ndërsa bashkësia e numrave realë x, që plotësojnë kushtin a ≤ x < b quhet gjysmësegment. Ato shënohen përkatësisht (a; b] dhe [a; b). Në figurën 1.11 janë paraqitur gjysmintervali (1; 4] dhe gjysmësegmenti [5; 7).

Fig. 1.11

Bashkësia e vlerave reale të x, që plotësojnë kushtin x < a, shënohet ( ∞; a), ndërsa bashkësia e vlerave reale të x, që plotësojnë kushtin x > b, shënohet (a; + ∞) (fig. 1.12).

Fig. 1.12

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. Vizatoni boshtin numerik dhe në të tregoni intervalet ( 3; 1) dhe (2; 4). I shkruani ato si bashkësi me përshkrim me anë të ndryshores.

MATEMATIKA 9 22

0 MN –212345 –1

01234567

01 AB 234

Në figurën 1.13 janë paraqitur disa bashkësi.

Shkruajini ato si intervale, segmente, gjysmintervale, gjysmësegmente.

Për secilën prej tyre, tregoni tri elemente që bëjnë pjesë në to dhe tri elemente që nuk bëjnë pjesë në to.

1.13

Paraqitini simbolikisht nëse është e mundur si interval, segment, gjysminterval, gjysmësegment bashkësitë e përshkruara nga ndryshoret e mëposhtme:

Paga mujore e një punëtori shkon nga 300 euro deri në 500 euro.

Ashensori i ndërtesës shkon nga kati – 3 deri në katin 12.

Gjatësia e rrugës që përshkon Agimi në një ditë shkon nga 12 km deri në 34 km.

përgjigjet.

USHTRIME

1 Paraqitini në boshtin numerik bashkësitë:

a) (–3; 2) b) (–1; 1] c) [0; 2) d) [–2; 2] e) (2; +∞)

2 Në relacionet e mëposhtme, dalloni ato që janë të vërteta (V) dhe ato që janë të gabuara (G).

a) 4 ∊ [4; 7) b) 5 ∊ [4; 7) c) 7 ∊ [4; 7) d) 10 ∊ (1; + ∞) e) 3 ∊ [4; 5] f) –10 ∊ (–∞; 0] g) –3 ∉ [4; 7) h) –6 ∉ (–8; 7)

3 Paraqitini simbolikisht si interval, segment, gjysminterval, gjysmësegment bashkësitë e mëposhtme. (Kërkesa a është e zgjidhur.)

a) E numrave realë më të mëdhenj se 2 dhe më të vegjël se 7. Zgjidhje: ]2; 7[. b) E numrave realë pozitivë.

c) E numrave realë më të mëdhenj ose të barabartë me 3. d) E numrave realë më të mëdhenj se zero dhe më të vegjël ose të barabartë me 5. e) E numrave realë më të vegjël se 7.

4 Paraqitni me anën e ndryshores bashkësitë e mëposhtme. (Kërkesa a është e zgjidhur.)

a) [2; 5); Zgjidhje: {

<5}. b) (–2; –1); c) (3; 4]; d) [2; 7]; e) [3; +∞); f) (–∞;

1. BASHKËSITË NUMERIKE 23 2.

52–5 3 012–3–1 0 3.

Argumentoni

x ∊ R/2 ≤ x

0] Për secilën nga këto bashkësi, tregoni tri elemente që bëjnë pjesë në to dhe tri elemente që nuk bëjnë pjesë në to.

Paraqitni në boshtin numerik bashkësitë e mëposhtme: A = {x ∈ R/x > 1}; B = {x ∈ R/x ≤ –1}; C = {x ∈ R/3 ≤ x < 6}; D = {x ∈ R/0 < x < 2}; E = {x ∈ R/0 ≤ x < 4}; F = {x ∈ R/–2 < x ≤ 0}. 6 Gjeni numrat e plotë që bëjnë pjesë: a) në bashkësinë A dhe D; b) në bashkësinë C dhe E; c) në bashkësinë E dhe F.

Fig.

1.9 Prerja dhe bashkimi i intervaleve numerike

A Kërkoni dhe zbuloni

Jepen bashkësitë A = {–2; 3; –4; 0; 4} dhe B = {3; –2; 4; 0; –5; 6}. Gjeni prerjen dhe bashkimin e tyre. Po në rastin e bashkësive numerike [1; 5] dhe (0; 3), si do të gjenit prerjen dhe bashkimin e tyre? Bashkëbisedoni.

B Vrojtoni dhe mësoni

Shembulli 1

Jepen bashkësitë A = (–2; 5] dhe B = [3; 7]. Gjeni A ∩ B dhe A ∪ B. Zgjidhje

Bashkësitë e dhëna i paraqesim në boshtin numerik. Vëmë re se A ∩ B = [3; 5] dhe A ∪ B = ( 2; 7].

Shembulli 2

A B –2–1

12 034567

Fig. 1.14

Jepen bashkësitë A = [–2;5) dhe B = [0; 2]. Gjeni A ∩ B dhe A ∪ B.

Zgjidhje

Kemi A ∩ B 5 [0; 2] dhe A ∪ B = [ 2; 5) (fig. 1.15). Pse në këtë rast A ∩ B = B dhe A ∪ B = A?

A B –2–1 Fig. 1.15

12 0345

Shembulli 3

Jepen bashkësitë A = (–∞; 3] dhe B = (1; 7]. Gjeni A ∩ B dhe A ∪ B. Zgjidhje

Kemi A ∩ B 5 (1; 3] dhe A ∪ B = ( ∞; 7] (fig. 1.16).

A B –1

12 034567

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. Jepet bashkësitë A = [1; 2) dhe B = (3; 5]. Gjeni A ∩ B dhe A ∪ B.

2. Jepen bashkësitë A = [ 3; 6]; B = (0; 5) dhe C = ( 4; 4).

Fig. 1.16

a) Gjeni A ∩ B, A ∩ C dhe B ∩ C dhe i shkruani ato si intervale, segmente, gjysmintervale apo gjysmësegmente.

b) Sa numra natyrorë bëjnë pjesë në secilin prej tyre? Cilët janë ata?

MATEMATIKA 9 24

USHTRIME

1 Jepen bashkësitë

a) (0; 3); b) (1; 4); c) ( ∞; 1); d) (2; +∞); e) [0; 1]. a) Paraqitni bashkësitë me përshkrim: Shembull: [0; 1] = {x ∈ R/0 ≤ x ≤ 1} b) Paraqitni bashkësitë në boshtin numerik.

c) Për secilën prej tyre, tregoni tre numra që bëjnë pjesë në to dhe tre numra që nuk bëjnë pjesë në to. d) Për secilën prej tyre, tregoni (nëse është e mundur) elementin më të madh dhe elementin më të vogël.

2 Jepen bashkësitë: A = {x ∈ R/x > 2}; B = {x ∈ R/x ≤ 3}; C = {x ∈ R/1 ≤ x <4}; D = {x ∈ R/0 < x ≤ 3}; E = {x ∈ R/0 ≤ x ≤ 1}; F = {x ∈ R/2 < x

Paraqitini ato në boshtin numerik.

Shkruajini ato si intervale, segmente, gjysmintervale, gjysmësegmente.

Për secilën prej tyre, tregoni tre numra që bëjnë pjesë në to dhe tre numra që nuk bëjnë pjesë në to.

3 Paraqitni në boshtin numerik bashkësitë e dhëna A dhe B dhe gjeni A

A= ( ∞; 2] dhe B= [ 4; 3);

A= [ 3; 5] dhe B= [0; +∞);

[0; 4] dhe B = [1; 8);

= [2; 7] dhe B = (3; 4].

dhe

4 Vizatoni në një figurë me diagramin e Venit bashkësitë N, Z, Q, I dhe verifikoni saktësinë e shënimeve:

a) N ∩ Z = Z; b) N ∪ Z = Z; c) N ∩ Q = N; d) Z ∩ Q = Z; e) Q ∩ I = Φ; f) Z ∩ I = Φ; g) N ∩ R = N; h) N ∪ Q = Q; i) N ∪ Z = Q.

5 Jepen bashkësitë A = ( 2; 6) dhe B = [1; 8].

a) Gjeni prerjen A ∩ B dhe bashkimin A ∪ B të tyre. b) Sa numra të plotë që bëjnë pjesë në bashkësinë B nuk bëjnë pjesë në bashkësinë A? c) Sa numra të plotë bëjnë pjesë në bashkësinë A dhe nuk bëjnë pjesë në bashkësinë B? d) Sa numra të plotë bëjnë pjesë edhe në bashkësinë A edhe në bashkësinë B?

6 Jepen bashkësitë M = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; N ={2, 4, 6, 8} dhe P = {1, 3, 5, 7, 9}. Gjeni M ∩ N; M ∪ N; P ∪ N; M ∪ P; P ∩ N; M ∩ P.

7 Në figurën 1.17 janë paraqitur disa bashkësi:

Emërtojini dhe paraqitini ato

Paraqitini ato me përshkrim.

8 Në figurën

intervale, segmente, gjysmintervale, gjysmësegmente.

janë paraqitura prerjet e disa bashkësive numerike (pjesët e vijëzuara).

mënyrën e përftimit të tyre. Shembull:

1. BASHKËSITË NUMERIKE 25

< 3}. a)

∩ B

A ∪ B. a)

b) A =

c) A

1.18

Shkruani

[–3; 2) = (–5; 2] ∩ [–3; 3] Fig. 1.17 1 1 0 35 –2 –5–30232135 013–1012012 –5–30232135 013–1012012 Fig. 1.18

1.10 Çfarë mësuam? (Përsëritje)

Tashmë kemi mësuar

Provoni të zgjidhni

1 Shkruani shprehjen që tregon herësin e shumës së numrave 3,1 dhe 0,64 me prodhimin e tyre. Gjeni vlerën e shprehjes me dy shifra pas presjes dhjetore.

Vetitë e numrave natyrorë, të plotë, racionalë (bashkësive numerike N, Z, Q) dhe i keni përdorur ato gjatë zgjidhjes së detyrave:

2 Radhitini nga më i vogli te më i madhi: –2; +4; 7; 3 4 ; 2 5 ; –4; 3,6; |–5|.

3 Gjeni vlerën e shprehjes: a) (–2) · [3 – 3 · ( 2) 10 + 4 : 2]; b) 4,3 – 3,5 + 1,44 : 3,6 + 3,6 :1,44 (0,1 – 0,02) – 0,4; c) ( 3 7 + 2 – 4) · 3 7 –3 7 .

4 Jepen bashkësitë A = [–2; 5], B = (0; 4) dhe C = (–3; 3). Gjeni A ∩ B, A ∩ C dhe B ∩ C dhe i shkruani ato si intervale, segmente, gjysmintervale apo gjysmësegmente. Sa numra natyrorë bëjnë pjesë në secilin prej tyre? Cilët janë ata?

5 Ktheni në numra thyesorë: 3,6; 0,1212...; 2,33...; 5,02; 2,911...; 0,355...

Dallimin e numrave dhjetorë, të cilët mund të shkruhen si numra thyesorë dhe ata që nuk mund të shkruhen si numra thyesorë:

Identifikimin e numrave irracionalë dhe paraqitjen e tyre në boshtin numerik:

Përkufizimin e numrave realë, bashkësinë e numrave realë (R) dhe paraqitjen e tyre në boshtin numerik:

6 Duke përdorur makinën llogaritëse, gjeni me afërsi dy shifra pas presjes: 23; 7 ; 11 ; 34

7 Ndërmjet cilëve numra thyesorë ndodhen 3 ; 7 ?

8 Dalloni numrat irracionalë. Gjeni vendndodhjen e tyre në boshtin numerik: 4,3; 4 ; 2 ; –(–3); 3,2; 2,4 + 6,6

9 Vërtetoni që ndryshimi i një numri racional me një numër irracional është numër irracional.

10 Jepen bashkësitë A = {x ∈ N/ x ≤ 20} dhe B = {x ∈ N/ x >15}. Gjeni A ∩ B.

11 Jepen bashkësitë A = [ 3 ; 8 ] dhe B = [0; 5]. a) Gjeni prerjen A ∩ B të tyre. b) Sa numra të plotë bëjnë pjesë në bashkësinë A ∩ B?

Krahasimin e dy numrave realë:

12 Vendosni në varg rritës numrat: 3,02; 1,9; 5 ; 5,3; 3 + 6 ; – 3 2

13 Krahasoni vlerat e shprehjeve numerike: A= ( 1 1 2 ) dhe B = ( 2)2 ( 1 2 )2 .

MATEMATIKA 9 26

Përkufizimin e vlerës absolute të numrave realë:

14 Krahasoni: |–2,7| ...2,7; |–6| ... –|6|; (– 3 4 ) .... |– 2 3 |.

15 Shkruani numrat a, të tillë që: |a| = 2; |a| = –3.

16 Shkruani të gjithë numrat e plotë të tillë që 5; |a| < 5; |a| ≤ 2.

17 A mund të shkruani të gjithë numrat e plotë, që kanë vlerë absolute më të madhe se 3? Pse?

18 Njehsoni: |( 9) ( 4)|; |–4| |–5|; |–6| |–2|; | –18 6 |

19 Gjeni: 0,1 ( 4)2; ( 1)3 + 0,4 + 16

20 Hapi i një personi është 0,8 m. Sa hapa duhet të bëjë ai për të shkuar në punë, në qoftë se ecën 15 minuta me shpejtësi 4,8 km/orë?

Kryerjen e veprimeve themelore me numra realë, duke përfshirë edhe fuqizimin dhe rrënjëzimin:

21 Një kopsht ka 4 parcela; në çdo parcelë ka katër pemë; në çdo pemë ka katër degë; në çdo degë ka katër lule. Në sa lule mund të kullosë në këtë kopsht një bletë?

22 Largesa ndërmjet dy fshatrave është 15 km. Një udhëtar, orën e parë, bëri 5,2 km; orën e dytë bëri 0,4 km më pak se orën e parë. Orën e tretë bëri sa 3 4 e rrugës që bëri orën e dytë. Sa km rrugë i mbetën akoma për të bërë?

23 Beni dhe Egzona hëngrën së bashku një picë. Beni tha se kishte ngrënë 3 5 e picës, ndërsa Egzona tha se kishte ngrënë 2 3 e picës. Një shok i tyre tha që kjo nuk kishte mundësi të ndodhte. Si arriti ai në këtë përfundim?

Detyrë hulumtuese. Pluhurat e imëta

A. Ajri që thithim përmban një sasi shumë të madhe pjesëzash shumë të imëta, përmasat e të cilave maten me mikron (μm = 0,001 mm)

Tabela e mëposhtme tregon të ç’rendi madhësie janë këto pjesëza.

Pjesëza Pluhur drurësh Tym i zi Polen Bakterie Viruse Karburante Tym duhani Përmasat (μm) 3 0,3 20 4 0,09 0,4 0,2

a) Radhitini këto pjesëza në radhitjen zbritëse të përmasave.

b) Cilat nga këto pjesëza përfaqësojnë një rrezik real?

c) Në një bosht numerik, duke marrë 1 cm për 1 μ m, paraqit gjithë ato pjesëza që i kanë përmasat nën 1 mm.

B. Mblidhni dhe sistemoni të dhëna për ndotjen e ajrit në qytetin tuaj dhe në qytete të tjera të Kosovës. Krahasoni dhe nxirrni përfundime.

27 1. BASHKËSITË NUMERIKE

1.11 Vlerësim Koha: 45 minuta

1 Cili nga pohimet e mëposhtme është i vërtetë?

a) Herësi i dy numrave natyrorë është numër i plotë.

b) Ndryshimi i dy numrave natyrorë është numër natyror.

c) Ndryshimi i dy numrave të plotë është numër natyror.

d) Dy numra të barabartë kanë vlera absolute të barabarta.

2 Ktheni në trajtën m n numrin 5,313131…

pikë

3 Cili është ai numër 3% i të cilit është 75? 3 pikë

4 Shkruani një thyesë ndërmjet thyesave 1 3 dhe 1 2 .

pikë

5 Vërtetoni që herësi i dy numrave racionalë a b (b ≠ 0) është numër racional. 3 pikë

6 Për bashkësitë e dhëna A, B, gjeni prerjen dhe bashkimin e tyre duke i paraqitur në të njëjtin bosht numerik.

a) A = [0; 2] dhe B = [1; 3] b) A = (–∞; 0] dhe B = [–1; 5] 4 pikë

7 Jepen bashkësitë A = [–4; 7]; B = (0; 6]; C = (–5; 5). a) Gjeni A ∩ B; A ∩ C; B ∩ C. b) Sa numra natyrorë ndodhen në secilën prej tyre?

8 Jepen bashkësitë A = {x ∈ R| x > – 2}; B = {x ∈ R| x ≤ 5}; C = {x ∈ R| 2 ≤ x < 6}; D = {x ∈ R| – 4 < x ≤ 4}; E = {x ∈ R| 1 ≤ x ≤ 2}; F = {x ∈ R| 3< x < 4}. a) Paraqitini ato në boshtin numerik.

b) Shkruajini ato si intervale, segmente, gjysmintervale, gjysmësegmente.

Për secilën prej tyre, tregoni dy numra që bëjnë pjesë në to dhe dy numra që nuk bëjnë pjesë në to.

9 Jepni me përshkrim bashkësitë:

4 pikë

pikë

nga dy elemente për secilën.

Shkruani pesë numra

pikë

vogël ose të barabartë me 5. 2 pikë

pikë

MATEMATIKA 9 28

a) [–2; 5) b) [ 3 ; 11] c) (0; π) d) (0,1; 0,2) Tregoni

që e kanë vlerën absolute më të

11 Krahasoni: ()() 45 2323 7511:0,5...11 41,2:1 4 2 325  −⋅+   −⋅    3

SHPREHJET ME NDRYSHORE2

Në fund të kësaj teme, nxënësi/ja:

• përdor formulat algjebrike (katrorin e binomit, ndryshimin e katrorëve, kubin e binomit), gjatë veprimeve me shprehje shkronjore racionale;

• paraqet gjeometrikisht disa nga formulat algjebrike, si p.sh.: katrorin e binomit, ndryshimin e katrorëve;

• përcakton sh.m.v.p-në e dy e më shumë polinomeve;

• përkthen shprehjet nga gjuha e zakonshme në atë algjebrike dhe anasjellas;

• zbërthen në faktorë të thjeshtë shprehjet racionale;

• nxjerr faktorin e përbashkët të shprehjes racionale.

Fjalë kyçe: shprehje algjebrike, shprehje identike, monom, monome të ngjashme, polinom, shumë, ndryshim, shumëzim i polinomeve, katrori i binomit, ndryshimi i katrorëve, kubi i binomit, faktorizim.

A E DINI SE?...

Muhammad ibn Musa Al’khuarizmi ishte një matematikan që ka jetuar më shumë se 1000 vjet me parë. Ai punonte në Bagdad në “Shtëpinë e të Urtëve”, një qendër intelektuale, ku shkruheshin dhe përktheheshin artikuj filozofike. Al’khuarizmi përdorte numrat hindu-arabë dhe ishte ndër të parët që përdori zeron në vendvlerën e numrit. Shkroi librin e parë për algjebrën, të titulluar AL-Kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr-wa-l-muqabala, që në shqip mund të përkthehet si “Libër përmbledhës për llogaritjet me plotësim dhe baraspeshim”. Fjala “algjebër” vjen nga fjala al-jabr, e përdorur në titullin e librit. Al’ Khuarizmi njihet si “babai i algjebrës”.

2.1 Shprehje identike. Shndërrime identike të shprehjeve

A Kërkoni dhe zbuloni

Janë dhënë shprehjet:

a) x + 4; 4 + x; b) 2x2 x ; 2x. Njehsoni vlerat e shprehjeve për x = 1; x = 2; x = 3. Krahasoni vlerat përgjegjëse të shprehjeve (d.m.th. ato që merren për të njëjtën vlerë të ndryshores). A mund të themi që për çdo, vlerat përgjegjëse të shprehjeve x + 4, 4 + x janë të barabarta? Pse? Po për shprehjet 2x2 x dhe 2x, a mund të themi që për çdo, vlerat përgjegjëse të këtyre shprehjeve janë të barabarta? Bashkëbisedoni.

B Vrojtoni dhe mësoni

Shprehje identike

Shprehjet (x + 4) dhe (4 + x) janë identike në bashkësinë A = {1, 2, 3}; ato janë identike edhe në bashkësinë R. Shprehjet 2x2 x , 2x janë identike në bashkësinë e numrave realë të ndryshëm nga 0 (R*), por jo në bashkësinë R (për njërën prej tyre ka vlera të palejuara të ndryshores në R).

Mbani mend:

Dy shprehje A, B, me të njëjtat ndryshore, quhen identike në një bashkësi E, nëse plotësohen dy kushte:

1. shprehjet nuk kanë vlera të palejuara të ndryshoreve në E;

2. për çdo vlerë të ndryshores (apo të ndryshoreve) nga E, i kanë vlerat përgjegjëse të barabarta. Në rast se shprehjet A, B janë identike në bashkësinë E, atëherë barazimi A = B quhet identitet në E.

Zëvendësimi i një shprehjeje me një shprehje tjetër identike me të, quhet shndërrim identik. Për dy shprehje me një ndryshore, kur themi thjesht që janë identike, pa përmendur bashkësi, nënkuptojmë që ato janë identike në bashkësinë e gjithë numrave realë R. Kur zbatojmë vetitë e mbledhjes dhe shumëzimit si edhe vetitë e njohura të fuqive, ne kryejmë shndërrime identike (në R).

Shembulli 1

A janë identike shprehjet 2x + 1, 2x – 1?

Zgjidhje

Për të treguar që dy shprehje nuk janë identike, mjafton të gjejmë një vlerë të ndryshores për të cilën vlerat përgjegjëse të shprehjeve nuk janë të barabarta.

P.sh. për x = 5, vlera e shprehjes 2x + 1 është 2 · 5 + 1 = 11, kurse vlera e shprehjes 2x – 1 është: 2 · 5 –1 = 9.

Kemi 11 ≠ 9. Shprehjet 2x + 1, 2x – 1 nuk janë identike.

Zëvendësimi i shprehjes me një shprehje identike me të, na lejon shpesh të thjeshtojmë programin e shprehjes.

MATEMATIKA 9 30

Shembulli 2

Për perimetrin e drejtkëndëshit me brinjë a, b, ne kishim shprehjen 2a + 2b, programi i së cilës përmban 3 veprime.

Por sido qofshin a, b ka vend identiteti 2a + 2b = 2(a + b) (cila veti përdoret?).

Pra, për perimetrin e drejtkëndëshit mund të përdorim shprehjen 2(a + b), programi i së cilës përmban dy veprime.

1. Mbledhim a me b.

2. Shumëzojmë (a + b) me 2. Cili program për njehsimin e perimetrit, është më i pëlqyeshëm për ju?

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. Cilat veti të veprimeve na lejojnë të themi që barazimet e mëposhtme janë identitete (në Q): a) 2x + 1 = 1 + 2x; b) 3(x + 2) = 3x + 6; c) x2 · x3 = x5; d) (2x)3 = 23 · x3

2. Shkruani një identitet që përmban: a) një ndryshore; b) dy ndryshore.

3. Janë dhënë shprehjet x2; 3x – 2. a) A janë identike në bashkësinë A = {1; 2}? b) A janë identike në bashkësinë Q?

USHTRIME

1 Gjeni bashkësinë e vlerave të shprehjeve: a) 4x – 2, x ∊ {–2; –1; 0; 1; 2}; b) x2 – x, x ∊ {–3; 0; 3}.

2 A ka ndonjë vlerë të x për të cilën nuk është i vërtetë barazimi: a) 5x + 4 = 4 + 5x; b) 3x – 12 = 3(x – 4); c) 2x – 4 = 2(x – 4).

3 Janë dhënë shprehjet 5x2 x dhe 5x. a) A ka vlerë të palejuar të ndryshores? b) A janë këto shprehje identike në Q? c) Tregoni bashkësinë ku shprehjet janë identike.

4 A janë identike shprehjet:

a) 2x + 7 me 2(x + 7); b) (a + b) · 0 me a + b; c) (x + y) ·

;

(–

identitete.

vlerën

shprehjes xy

për

2,3; y = 0,8; z = 0,2, duke zëvendësuar me shprehje identike me program më të thjeshtë.

2. SHPREHJET ME NJË NDRYSHORE 31

1 me x + y

d) (x – x) · a me 0; e) (2a)(7b) me 14ab;

x +

x) + y me

5 A janë identike në Q shprehjet: a) x2 me x3; b) (x + 1)2 me (x + 1)? 6 Tregoni bashkësinë ku barazimet e mëposhtme janë

a) x x2 = 1 x ; b) 3(x – 2) x – 2 = 3.

Gjeni

x =

Monomi, reduktimi i monomeve të ngjashme

A Kërkoni dhe zbuloni

Janë dhënë shprehjet shkronjore: x + y; 3x2 2 ; (xy)3; 2ab(–5a2); x2 + 1; (a – 1)2; (3 – 1)2 . Dalloni shprehjet shkronjore, të cilat kanë vetëm veprimin e shumëzimit dhe atë të ngritjes në fuqi.

B Vrojtoni dhe mësoni

Shprehjet 3x2y; 2a3(–5); bc2; –3x7; a2x2 janë prodhime numrash, ndryshoresh dhe fuqish të tyre. Këto shprehje quhen monome

Mbani mend:

Monom quhet shprehja, që merret duke kryer mbi numrat dhe ndryshoret vetëm veprimet e shumëzimit dhe të ngritjes në fuqi.

Ne mund ta thjeshtojmë monomin 2x3(–3)xy2 duke përdorur vetitë e ndërrimit dhe të shoqërimit të shumëzimit.

2x3(–3)xy2 = 2(–3) · x3 · x · y2 = –6x4y2 Shohim që monomi 2x3(–3)xy2 u paraqit në trajtën e prodhimit të një faktori numerik, të vendosur në vendin e parë, me fuqi ndryshoresh të ndryshme. Kjo trajtë e monomit quhet trajtë e rregullt e tij.

Mbani mend:

Themi që monomi ka trajtë të rregullt nëse:

1. ka vetëm një faktor numerik;

2. nuk ka kllapa;

3. nuk ka fuqi me baza të njëjta. Faktorin numerik të monomit, që është shkruar në trajtë të rregullt, e quajmë koeficient të monomit

P.sh., koeficientet e monomeve –6x4y2; a2; –ab janë përkatësisht –6; 1; –1. Në monomin –3x4y5, shuma e eksponentëve të fuqive të të gjitha ndryshoreve është 4 + 5 = 9. Këtë numër e quajmë fuqi të monomit

Mbani mend:

Fuqi e monomit quhet shuma e eksponentëve të fuqive të ndryshoreve në trajtën e tij të rregullt. Nëse monomi nuk përmban ndryshore (d.m.th. është numër), fuqia e tij është numri 0. Monome të ngjashme quhen monomet që në trajtat e rregullta të tyre i kanë pjesët shkronjore të njëjta. Shuma e monomeve të ngjashme mund të shndërrohet identikisht në trajtën e një monomi të vetëm. Ky shndërrim quhet reduktim (mënjanim) i monomeve të ngjashme. Për të reduktuar disa monome të ngjashme veprohet kështu:

1. mblidhen koeficientet e tyre;

2. pranë kësaj shume, vendoset si faktor shprehja shkronjore e përbashkët.

MATEMATIKA 9 32

2.2

dhe

0,8 dhe

Gjerësia e drejtkëndëshit është x cm, kurse gjatësia 5 herë më e madhe. Sa është sipërfaqja? b) Sa është vëllimi i kuboidit me gjerësi a cm, gjatësi dy herë më të madhe dhe lartësi tri herë më të madhe se gjatësia?

5 a) Paraqitni në disa mënyra monomin 6a2b3, si prodhim dy monomesh në trajtë të rregullt. b) Cili monom duhet të ngrihet në katror për të marrë x6y12?

6 Përktheni me simbole matematike fjalitë e mëposhtme. Në cilin rast keni shkruar monom? a) shuma e një numri me 7; b) prodhimi i (–3) me katrorin e një numri; c) katrori i dyfishit të prodhimit të dy numrave; d) pesëfishi i ndryshimit të dy numrave.

7 Reduktoni monomet e ngjashme:

a) –5 + 6; b) 5x – 7x; c) 4a2 –1 2 a2; d) 0,5xy + 1,1xy.

8 Reduktoni monomet e ngjashme: a) 7 – 3 + 1,5 – 4; b) 3x – 7x + 6x – 10x; c) 0,5x2 + 1,5x2 – 4x2; d) 3xy – 6xy + 5xy; e) ax + ax – 2ax

9 Shkruani tri monome të ngjashme me monomin 2xy2. Sa monome të ngjashme me monomin e dhënë mund të formohen? Pse?

2. SHPREHJET ME NJË NDRYSHORE 33 C Ushtrohuni duke zbatuar 1 Pasi të ktheni në trajtë të rregullt monomin x 9 324 2 3 x · x 9 324 2 3 x , gjeni vlerën e tij për x = 1; x = –1. 2. Ndër monomet e mëposhtme, dalloni ato që janë të ngjashme. 3x2y; –2xy; 4xy2; xy 2 ; (3x)(2y); 3a2b; –2ab. 3. Reduktoni monomet e ngjashme: a) 3x + 5x; b) 6x2 – 4x2; c) 3xy – 2xy + 5xy. USHTRIME 1 A janë monome shprehjet: 2,4x2y; – 3 4 ; abc; a – b; (x + y)2; –x; 1 8 ? 2 Sillni në trajtë të rregullt monomet: a) 8x2 · x; b) 3xy(–1,7y); c) 1 5 abc(10a); d) 6y2(–0,8y); e) ab(–ab2); f) x2y(–xy)( –y); g) 0,3x2(– 1 3 x4y); h) x2y · 4x2y2(–5xy).

Gjeni vlerën e monomeve, me anën e makinës llogaritëse: a) 3x2y për x = 1,1

y = 1,9. b) –8a4b4 për a =

b = 2,2.

2.3 Polinomi. Shuma dhe ndryshimi i polinomeve

A Kërkoni dhe zbuloni

Gjeni shumën dhe ndryshimin e shprehjeve

a) a + b dhe a – b; b) x – y dhe x – y; c) 2x3 – 5x + 5 dhe x3 – 4x + 2. Argumentoni veprimet e kryera.

B Vrojtoni dhe mësoni

Polinomi

Shprehja 3xy2 – 2x2 + 5xy – 7 është shuma e disa monomeve: 3xy2, –2x2; 5xy, –7. Një shprehje e tillë quhet polinom

Mbani mend:

Polinom quhet shuma e disa monomeve. Monomet nga të cilat formohet polinomi quhen kufiza të polinomit.

Kështu, për polinomin e mësipërm, kufizat janë: 3xy2, –2x2, 5xy, –7. Nëse polinomi përbëhet nga dy kufiza quhet binom, nëse përbëhet nga tri kufiza quhet trinom. Në polinomin 5a2b + 2 + 4ab2 – 3a2b – 7, kufizat 5a2b dhe –3a2b janë monome të ngjashme. Ato quhen kufiza të ngjashme të polinomit. Të tilla janë edhe kufizat 2 e (–7). Ne mund të reduktojmë kufizat e ngjashme në polinom.

Shembulli 1

5a2b + 2 + 4ab2 – 3a2b – 7 = (5a2b – 3a2b) + 4ab2 + (2 – 7) = = (5 – 3)a2b + 4ab2 – 5 = 2a2b + 4ab2 – 5.

Në polinomin e fundit (që është identik me polinomin e fillimit), secila kufizë është monom i trajtës së rregullt dhe nuk ka kufiza të ngjashme. Një trajtë e tillë e polinomit quhet trajtë e rregullt e tij.

Mbani mend:

Për ta sjellë polinomin në trajtën e rregullt: a) çdo monom e sjellim në trajtë të rregullt; b) reduktojmë kufizat e ngjashme. Fuqi e një polinomi të trajtës së rregullt quhet më e madhja nga fuqitë e monomeve që e përbëjnë atë.

Shuma dhe ndryshimi i polinomeve Shembulli 2

Le të mbledhim polinomet 3x2 + 6x – 9 dhe –x2 + 5x + 7. Për këtë, pasi shkruajmë shumën e tyre, heqim kllapat dhe bëjmë reduktimin e kufizave të ngjashme në polinomin që merret: (3x2 + 6x – 9) + (–x2 + 5x + 7) = 3x2 + 6x – 9 – x2 + 5x + 7 = = (3x2 – x2) + (6x + 5x) + (–9 + 7) = 2x2 + 11x – 2 Shuma e dy polinomeve sillet në një polinom identik me të.

MATEMATIKA 9 34

Shembulli 3

të zbresim nga polinomi

+ 6x – 9) – ( –

polinomin (–x2 + 5x + 7). Për këtë, pasi të shkruajmë ndryshimin, heqim kllapat dhe reduktojmë kufizat e ngjashme në polinomin që merret.

7 = 4

2 +

–16.

që shuma dhe ndryshimi i dy polinomeve të dhënë janë identike me një polinom.

C Ushtrohuni duke zbatuar

Paraqitni në trajtë të rregullt polinomet e mëposhtme:

3a2

Gjeni vlerën e polinomit

A ekziston vlerë e x për të cilën vlera e polinomit bëhet 0?

Cila është fuqia e polinomit:

USHTRIME

1 Shkruani polinomin. Gjeni vlerën e tij me anë të makinës llogaritëse:

shuma e katrorit të një numri me katër e njëzet e pesë të qindta; për x = 1,93;

ndryshimi i dyfishit të një numri me trefishin e një numri tjetër; për a = 2,3 dhe b = 100,6.

2 Shkruani në trajtën e polinomit numrin natyror që përbëhet nga:

dhjetëshe dhe b njëshe;

qindëshe, b dhjetëshe, c njëshe.

3 Reduktoni kufizat e ngjashme në polinomet:

4 Sillni në trajtë të rregullt

2. SHPREHJET ME NJË NDRYSHORE 35

3x2 +

x – 9

(3x2

x2 +

x + 7) = 3x2 + 6x – 9 + x2 – 5x –

Shohim

a) 2a ·

–

+ a3 – a; b) (2x)(–5x) + 4x2 + 2x –1 2 x 2. a)

5x2 + 1 për x = 0; x = –2; x = 3. b)

a) 5x – 1 – 3x2 + 4x3; b) 2 – 3x; c) 4xy + 5x2 – 6y + 7.

a) x

b) a

a) 4x2 – 2x + 5x2 – 3x; b) 2x – 7 + 5x – 3 + x +10; c) x3 + x2 + x + 1 – 2x3 + x2

polinomet: a) (1 + 3x) + (x2 – 2x); b) (2a2 + 3a) – (a – 4); c) (y2 + 5y + 4) – (y2 + 5y – 4). 5 Gjeni shumën dhe ndryshimin e polinomeve 4x2 – 5x – 7, x2 – 8x dhe silleni në trajtë të rregullt. 6 Gjeni polinomin e shënuar me P, në mënyrë që barazimi i mëposhtëm të jetë identitet. P + (5x2 – 3x + 2) = 4x2 + 7x – 6. 7 Sillni në trajtë të rregullt polinomin 5x2 – (3xy – 7x2) + (5xy – 12x2) dhe pastaj gjeni vlerën e tij nëse: a) x = –0,25 dhe y = 4. b) x = –5 dhe y = 0,1. 8 Për ushtrimin “Gjeni vlerën e shprehjes (2x2 – 5xy + 3) – (x2 – 3xy) + (2xy – 1) për x = 1,5” një nxënës tha që mungon një e dhënë. A ka të drejtë ai?

2.4 Shumëzimi i monomit me polinom. Nxjerrja në dukje e faktorit të përbashkët

A Kërkoni dhe zbuloni

Shumëzoni monomin 5x me polinomin x – 7. Argumentoni veprimet e kryera.

A Vrojtoni dhe mësoni

Shumëzimi i monomit me polinom

Le të shumëzojmë monomin 2x me polinomin 5x2 – 3x + 7. Shkruajmë prodhimin e tyre dhe e shndërrojmë atë, duke përdorur vetinë e shpërndarjes. 2x(5x2 – 3x + 7) = 2x · 5x2 + 2x(–3x) + 2x · 7 = 10x3 – 6x2 + 14x.

Mbani mend:

Për të shumëzuar monomin me një polinom duhet të shumëzohet ky monom me secilën kufizë të polinomit dhe të mblidhen prodhimet që merren.

Nxjerrja në dukje e faktorit të përbashkët

Gjatë zgjidhjes së ekuacioneve, kryerjes së llogaritjeve dhe në një sërë problemash të tjera është e dobishme të zëvendësohet një polinom me prodhimin e disa polinomeve të tjera (midis të cilave mund të ketë edhe monome).

Mbani mend:

Paraqitjen e polinomit në trajtën e prodhimit të dy ose disa polinomeve e quajmë zbërthim (faktorizim) të polinomit në faktorë.

Shembulli 1

Shqyrtojmë polinomin 6x2y + 15y2. Çdo kufizë të tij mund ta zëvendësojmë me prodhimin e dy faktorëve, njëri nga të cilët është 3y. 6x2y + 15y2 = 3y · 2x2 + 3y · 5y

Shprehjen 3y · 2x2 + 3y · 5y, në bazë të vetisë së shpërndarjes [në trajtën e anasjellë ab + ac = a(b + c)] mund ta shkruajmë si prodhim dy faktorësh, njëri nga të cilët është faktori i përbashkët 3y. 3y · 2x2 + 3y · 5y = 3y(2x2 + 5y)

Pra, 6x2y + 15y2 = 3y(2x2 + 5y)

Ne e zbërthyem polinomin e dhënë në faktorë, njëri nga të cilët është monomi 3y dhe tjetri polinomi 2x2 + 5y. Këtë mënyrë zbërthimi të polinomit në faktorë e quajmë nxjerrje në dukje të faktorit të përbashkët jashtë kllapave.

Për gjetjen e faktorit të përbashkët që nxjerrim në dukje, përdorim këto rregulla:

1. gjejmë P.M.P. e koeficienteve të të gjitha kufizave të polinomit;

2. për secilën ndryshore, merret si faktor fuqia më e vogël në të cilën ajo figuron në kufizat e polinomit;

3. merret prodhimi i faktorëve të përbashkët të gjetur, numerikë e shkronjorë; ky është faktori përfundimtar i përbashkët;

4. paraqitet çdo kufizë e polinomit si prodhim i faktorit përfundimtar të përbashkët të gjetur me një faktor tjetër (plotësues);

5. nxirret në dukje faktori i përbashkët d.m.th. bëhet zbërthimi i polinomit.

MATEMATIKA 9 36

Shembulli 2

Të zbërthehet në faktorë polinomi –15x2y3 – 30x3y2 + 45x4y.

Zgjidhje

1. P.M.P. i koeficienteve (–15; –30; 45) është 15.

2. Nga fuqitë e x: x2 , x3 , x4 do të merret si faktor x2. Nga fuqitë e y: y3 , y2 , y do të merret si faktor y

3. Faktori i përbashkët që do të nxjerrim në dukje është 15x2y.

4. Shkruajmë: –15x2y3 = 15x2y(–y2) –30x3y2 = 15x2y(–2xy) 45x4y = 15x2y(3x2)

5. Kemi –15x2y3 – 30x3y2 + 45x4y = 15x2y(–y2 – 2xy + 3x2).

Shembulli 3

Të zbërthehet në faktorë 3x(a – 2b) + 7(a – 2b).

Zgjidhje

Në këtë shumë, çdo kufizë ka si faktor të përbashkët shprehjen në kllapa (a – 2b). Duke e nxjerrë këtë faktor në dukje kemi: 3x(a – 2b) + 7(a – 2b) = (a – 2b)(3x + 7)

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. Kryeni shumëzimet: a) 2x(x2 – 5x + 4); b) (–4a2)(a – 2); c) (3y2 – y + 5)(2y).

2. Paraqitni në trajtë polinomi shprehjet e mëposhtme: a) 6x(x – 3) –x(2 – x); b) x2(3x – 5) + 4x(x2 – x); c) (x – 1)2x – (x – 3)x

3. Zbërtheni në faktorë: a) 2ax2 + 4a2x + 6a2x2; b) 3(2x – 7) + y(2x – 7).

USHTRIME

1 Thjeshtoni shprehjet dhe gjeni vlerën e tyre:

a) 3(2x – 1) + 5(3 – x) për x = 1,5; b) 25x – 4(3x – 1) + 7(5 – 2x) për x = 11.

2 Vërtetoni që shprehja e mëposhtme është identike me 0. a) a(b – c) + b(c – a) + c(a – b); b) x(y + z – yz) – y(z + x – zx) + z(y – x).

3 Zgjidhni ekuacionet:

5x + 3(x – 1) = 6x + 11;

4 Shprehjet 6x2y

3x(2x – 1) – 6x(7 + x) = 90.

2. SHPREHJET ME NJË NDRYSHORE 37

, 8a2 paraqitini në trajtë prodhimi dy faktorësh në sa më shumë mënyra. 5 Shprehjet 6x2y, –20x2y2 paraqitini si prodhim dy faktorësh, ku njëri të jetë: a) x; b) xy; c) 2xy. 6 Gjeni faktorë të përbashkët në shprehjet e mëposhtme: a) 4a; 12b; b) 2xy; x2; xy2; c) 15xy; 6xy2; 9y3 . 7 Zbërtheni në faktorë: a) 2a(x + y) + b(x + y); b) 3(a – b) – x(a – b); c) a(x – 3) + b(3 – x); d) 3(2x – 7) + a(7 – 2x).

2.5 Shumëzimi i dy polinomeve

A Kërkoni dhe zbuloni

Era do të kryente veprimin e shumëzimit të dy polinomeve x + 3 dhe y + 2. Ajo shkroi (x + 3)(y + 2) = (x + 3)y + (x + 3) · 2? A ka të drejtë Era? Kryeni më tej shumëzimet. Arsyetoni.

B Vrojtoni dhe mësoni

Le të shumëzojmë polinomin a + b me polinomin c + d. Në prodhimin (a + b)(c + d) e shënojmë shprehjen a + b me x dhe kemi: (a + b)(c + d) = x(c + d) Në bazë të vetisë së shpërndarjes kemi: x(c + d) = xc + xd (1)

Por, xc = (a + b)c, pra xc = ac + bc; xd = (a + b)d, pra xd = ad + bd Duke bërë zëvendësimet në barazimin (1), marrim (a + b)(c + d) = ac + dc + ad + bd. Kështu, prodhimi i polinomeve (a + b) dhe (c + d) është identik me polinomin ac + bc + ad + bd.

Shikoni skemat e mëposhtme që japin rregullën për kryerjen e shumëzimit të dy polinomeve (a + b)(c + d) = ac + bc + ad + bd.

mend:

d a ac ad b bc bd

të shumëzuar

tjetër, mjafton që çdo kufizë të polinomit të parë ta shumëzojmë

çdo kufizë të

të dytë dhe prodhimet e marra t’i mbledhim.

MATEMATIKA 9 38

Shembulli 1 Të thjeshtohet shprehja 3x(4 – x) – (2x – 3)(5 – x). Zgjidhje 3x(4 – x) – (2x – 3)(5 – x) = [3x 4 + 3x(–x)] – [2x 5 + 2x(–x) –3 5 –3(–x)] = (12x – 3x2) – (10x – 2x2 – 15 + 3x) = 12x – 3x2 – 10x + 2x2 + 15 – 3x = –x2 – x + 15 C Ushtrohuni duke zbatuar 1. Plotësoni: a) (x – 4)(x + 5) = x2... 4x... 5x... 20; b) (2 + m)(3 – m) = 6 … 2m … 3m … m2 . 2. Kryeni shumëzimet: a) (x + 5)(y + 1); b) (a – b)(x + y); c) (x + 8)(y – 1); d) (–3 + x)(–1 – x). Mbani

Për

një polinom me një polinom

polinomit

3. Thjeshtoni shprehjet: a) (3a – 2b)(2a – 3b) – 6a(a – b); b) (2x – 3)(x – 4) – (x – 1)(x + 2).

USHTRIME

1 Me anën e figurës 2.1, sqaroni kuptimin gjeometrik të identitetit: (a + b)(c + d) = ac + bc + ad + bd.

d c

Fig. 2.1

2 Shkruani si polinome shprehjet e mëposhtme: a) (5x2 – 4x)(x + 1); b) (x2 + y)(x + y2); c) (m2 – n2)(m2 + n2).

3 Kryeni shumëzimet: a) (2 – x)(5x2 + 2x – 3); b) (x – y)(x2 – xy – y2); c) (a – 1)(a2 + a + 1).

4 Paraqitni fuqinë në trajtë prodhimi dhe më tej prodhimin si polinom. a) (x + 10)2; b) (1 – a)2; c) (3x – 1)2 .

5 Thjeshtoni shprehjet: a) (3x – 2)(5 – 2x) + 6x2; b) x2 – (x – 3)(x + 3).

6 Thjeshtoni shprehjet: a) (x – 3)(2x – 1) – (x + 2)(x + 4); b) (x – y)(x + 2) – (x + y)(x – 2); c) (x + y)(x – y) – (x – 1)(x + 1).

7 Vërtetoni që, për çdo vlerë të x: a) vlera e shprehjes (x – 3)(x + 7) – (x + 5)(x – 1) është e barabartë me (–16); b) vlera e shprehjes (x – 6)(x + 8) – 2(x – 25) është pozitive.

8 Lexoni shprehjet e mëposhtme: a) 2x – 3y; b) x3 – 2x; c) (xy)2; d) 2(3x)3 .

9 Zgjidhni ekuacionet: a) 2x(x – 8) = (x + 1)(2x – 3); b) (3x – 1)(5x + 4) – 15x2 = 17; c) 5 + x2 = (x + 1)(x + 6).

10 Jepet shprehja 4x2y + z3. Vlerat e x, y dhe z janë gjithmonë negative. Zana thotë se vlera e kësaj shprehjeje asnjëherë nuk mund të jetë negative. A ka të drejtë ajo? Shpjegoni përgjigjen tuaj.

2. SHPREHJET ME NJË NDRYSHORE 39

2.6 Faktorizimi me grupim

A Kërkoni dhe zbuloni

Punë në grup

Punë në grup. Plotësoni barazimet: ab + ad + cb + cd = a(. . .) + c(. . .) = ( )( ) xy + xz + ay + az = x(. . .) + a(. . .) = ( )( ) 3x – 3y + bx – by = 3(. . .) + b(. . .) = ( )( ) Argumentoni veprimet e kryera.

B Vrojtoni dhe mësoni

Nganjëherë, një polinom mund ta zbërthejmë në faktorë, duke përdorur një mënyrë të re; grupimin në mënyrë të përshtatshme të kufizave të tij.

Shembulli 1

Të zbërthehet në faktorë polinomi 5x + 5y + ax + ay.

Zgjidhje

I grupojmë kufizat dy nga dy, në mënyrë që kufizat në çdo grup të kenë faktor të përbashkët. 5x + 5y + ax + ay = (5x + 5y) + (ax + ay)

Por, 5x + 5y = 5(x + y) dhe ax + ay = a(x + y) Prandaj, polinomi është identik me 5(x + y) + a(x + y). Polinomi i fundit është shumë e dy shprehjeve që kanë si faktor të përbashkët (x + y). Duke e nxjerrë këtë në dukje, marrim: (x + y) = (5 + a)

Kështu, kemi identitetin 5x + 5y + ax + ay = (x + y)(5 + a).

Shembulli 2

Të zbërthehet në faktorë polinomi ab – 2b + 3a – 6.

Zgjidhje

Kemi ab – 2b + 3a – 6 = (ab – 2b) + (3a – 6) = = b(a – 2) + 3(a – 2) = = (a – 2)(b + 3).

Shembulli 3

Të zbërthehet në faktorë trinomi x2 – 7x + 12.

Zgjidhje

Vëmë re që 12 = 3 · 4, kurse 7 = 3 + 4. E shkruajmë kufizën 7x në trajtë shume 7x = 3x + 4x. Marrim x2 – 7x + 12 = x2 – 3x – 4x + 12 = = x2 – 3x) + (–4x + 12) = x(x – 3)– 4(x – 3) = (x – 3)(x – 4).

MATEMATIKA 9 40

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. Zbërtheni polinomin e shembullit 2, duke grupuar ndryshe kufizat. ab – 2b + 3a – 6 = (ab + 3a) + (. . .) = . . .

2. Zbërtheni në faktorë polinomet. a) ac + bd – bc – ad; b) x3 + x2 + x + 1.

3. Paraqitni si prodhim polinomesh shprehjet e mëposhtme: a) 4(a – b) + a(a – b); b) (a + b)c + (a + b)d; c) 5(3a – 1) – b(3a – 1); d) (2 + x3) x – (2 + x3) y.

4. Zbërtheni në faktorë shprehjet e mëposhtme: a) x (b + c) + 3(b + c); b) t(a – b) – s(a – b); c) ax + ay + bx + by; d) 9x + 9y – ax – ay; e) y3 – 2y2 + y – 2; f) x2 + ax – a2y – axy.

USHTRIME

1 Paraqitni si prodhim polinomesh shprehjet e mëposhtme:

a) x(b + c) + 3b + 3c; b) x(a + y) + a + y; c) a(x – y) + (y – x). d) 5(x – y) – (y – x).

2 Zbërtheni në faktorë polinomet: a) ax + ay + 6x + 6y; b) 7a – 7b + ax – bx; c) ax + ay – x – y; d) 9x + ay + 9y + ax.

3 Zbërtheni në faktorë polinomet: a) x3 – x2 + x – 1; b) 11x – ax + 11a – x2; c) x2 + 7x – ax – 7a; d) y3 – 2y2 + y – 2.

4 Gjeni vlerën e shprehjeve: a) x2y

5 Njehsoni

6 Zbërtheni

7 Zbërtheni

8 Vërtetoni

2. SHPREHJET ME NJË NDRYSHORE 41

– y + xy2 – x për x = 4 dhe y = 0,25; b) 2a + ac2 – a2c – 2c për a = 7 3 dhe c = – 5 3

në mënyrë të përshtatshme vlerën e shprehjeve numerike: a) 2,7 · 6,2 – 9,3 · 1,2 + 6,2 · 9,3 – 1,2 · 27;

0,2 · 3,4 – 3,2 · 0,2 + 3,2 · 2,1 – 1,2 · 2,1.

në faktorë duke grupuar dy nga dy: x2y + x + xy2 + y + 2xy + 2.

në faktorë trinomet e mëposhtme: a) x2 – 4x + 3;

x2 + 6x + 8.

barazimin AB + 9y2 = x2, nëse A = x – 3y dhe B = x + 3y.

2.7 Katrori i binomit. Identiteti (a

A Kërkoni dhe zbuloni

Jepet katrori me përmasa a + b si në figurën 2.2. Njehsoni syprinën e sipërfaqes së tij.

B Vrojtoni dhe mësoni

Tani, do të shohim shndërrime identike të një shprehjeje të rëndësishme dhe pikërisht të shprehjes (a + b)2. Kjo shprehje paraqet katrorin e binomit a + b. Për çdo vlerë të ndryshoreve a, b kanë vend barazimet: (a + b)2 = (a + b)(a + b) kuptimi i fuqisë; = a(a + b) + b(a + b) vetia e shpërndarjes; = (a2 + ab) + (ba + b2) vetia e shpërndarjes; = a2 + 2ab + b2 vetitë e ndërrimit dhe shoqërimit të mbledhjes. Kështu, vërtetuam që sido qofshin vlerat e ndryshoreve a, b është i vërtetë (d.m.th. është identitet) barazimi (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. (1)

Mbani mend:

Katrori i një binomi është i barabartë me katrorin e kufizës së parë, plus dyfishin e prodhimit të dy kufizave, plus katrorin e kufizës së dytë.

Shembulli 1

Le të gjejmë, sipas kësaj formule, (x + 5)2 . (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Shembulli 2

Zbërtheni (2x

= (2

Identiteti (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 Duke vrojtuar figurën 2.3, vërtetojmë identitetin (a – b)2 = a2 – 2ab + b2. Shënojmë me a brinjët e katrorit ABCD. AB = BC = CD = DA = a Shënojmë me b brinjët e katrorit DEKL.

DE = EK = KL = LD = b. Sipërfaqja e katrorit ABCD është: S + S1 + 2S2 = SABCD pra, S = SABCD – S1 – 2S2 (a – b)2 = a2 – b2 – 2b(a – b) (a – b)2 = a2 – b2 – 2ba + 2b2 (a – b)2 = a2 – 2ba + b2

MATEMATIKA 9 42

+ b)2 = a2 + 2ab + b2

(

+ 5)2 = x2 + 2x5 + 52 = x2 + 10x + 25

2 . (2

x)2 + 2(2x)3 + 32 = 4x2 + 12x + 9

a a b a b b ab Fig. 2.2 DE S LK S1 S2 S2 C AB b b b a–b a–b a–b Fig. 2.3

Shembulli 3

Zbërtheni (4x – 3y)2 . (4x – 3y)2 = (4x)2 – 2(4x)(3y) + (3y)2 = 16x2 – 24xy + 9y2

Shembulli 4

Të vërtetohet identiteti (–a – b)2 = (a + b)2

Zgjidhje Mund të shkruajmë –a – b = –1(a + b). Prandaj, (–a – b)2 = [(–1)(a + b)]2 = (–1)2(a + b)2 = (a + b)2 sepse (–1)2 = 1.

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. Zbërtheni me anën e formulave: (a + 2b)2; (a – 2b)2; (2x + 3)2; (2x – 3)2

2. Plotësoni barazimet: (3x – 2a)2 = ( )2 – 2 ( )( ) + ( )2 = ...; (x2 + y)2 = ( )2 + ( )( ) + ( )2 =…

USHTRIME

1 Zbërtheni (3x + 1)2, (3 + 2x)2, (2x + 7y)2, (4a + b)2

2 Ndreqni gabimin: a) (x + 4)2 = x2 + 4x + 16; b) (1 – a)2 = 1 – 2a – a2; c) (x + y)2 = x2 + y2; d) (3 – y)2 = 9 + 6y + y2

3 Thjeshtoni shprehjet: a) 2 – (x – 3); b) 2 +

2. SHPREHJET ME NJË NDRYSHORE 43

(x – 3)2; c) 2 – (x – 3)2; d) (x + 3)2 – (x – 3)2

Shndërroni shprehjet: a) (5a + 1 5 b)2; b) (0,3x – 0,5y)2; c) ( 1 4 a – 2b)2

Ktheni në polinome: (–x + 5)2; (–u – 2)2; (–y – 10)2; (–a + 4)2 6 Nga shprehjet (y – x)2, (y + x)2, (–y + x)2, (–x + y)2, (–x – y)2 gjeni ato që janë identike me shprehjet: a) (x + y)2; b) (x – y)2 . 7 Njehsoni: (100 + 1)2; (100 – 1)2; 612; 1992; 7022; (10,1)2 . 8 Shndërroni shprehjet: (x2 – 5)2; (7 – y2)2; (2x2 + x)2; (2x2 – 5y2)2 9 Zëvendësoni shenjën ¤ me një monom që të merret identitet. a) (¤ + 2b)2 = a2 + 4ab + 9b2; b) (3y + ¤)2 = 9y2 – 12yx + 4x2 10 Thjeshtoni shprehjet: a) (x – 3)2 + x(x + 9); b) (x – 4)2 + (x – 2)(1 – x); c) (a + 3)(5 – a) – (a – 1)2 11 Thjeshtoni shprehjet dhe gjeni vlerën e tyre: a) (x – 10)2 – x(x + 80) për x = 0,97; b) (2x + 9)2 – x(4x + 31) për x = –16,2.

2.8 Faktorizime me anë të formulës së katrorit të binomit

A Kërkoni dhe zbuloni

Zbërtheni në faktorë shprehjet: 2x – 4; 4xy + 8. Argumentoni veprimet e kryera. Po shprehjet x2 + 2x + 1; x2 – 2x + 1, si do t’i zbërtheni në prodhim faktorësh? Diskutoni.

B Vrojtoni dhe mësoni

Duke ndërruar vendet e të dyja anëve në identitete, për (a + b)2, (a – b)2, ne mund të shkruajmë: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 (3) a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 (4) Identitetet (3) dhe (4) na lejojnë të bëjmë zbërthime në faktorë (faktorizime) të shprehjeve që kanë trajtën a2 + 2ab + b2, a2 – 2ab + b2

Shembulli 1

A mund të zbërthehet në faktorë trinomi 9x2 + 30x + 25?

Zgjidhje

Vëmë re që kufiza e parë është katrori i shprehjes 3x, kurse e treta, katrori i numrit 5: 9x2 = (3x)2 dhe 25 = 52

Kufiza e dytë është pikërisht dyfishi i prodhimit të (3x) me 5. 30x = 2 · 3x · 5

Prandaj, këtë trinom mund ta shkruajmë si katror të binomit 3x + 5. 9x2 + 30x + 25 = (3x)2 + 2 · 3x · 5 + 52 = (3x + 5)2 (Kemi përdorur formulën (3), duke marrë si a = 3x dhe b = 5).

Shembulli 2

Të zbërthehet në faktorë, nëse është e mundur, trinomi 4a2 – 12a + 9. Zgjidhje

Shohim nëse dy nga kufizat paraqiten si katrorë. Kemi 4a2 = (2a)2 dhe 9 = 32

Shohim nëse kufiza tjetër është sa dyfishi i prodhimit të 2a me 3. Vërtet, 2 · 2a · 3 = 12a. Atëherë, 4a2 – 12a + 9 = (2a)2 – 2 · 2a · 3 + 32 = (2a – 3)2 (Kemi përdorur formulën (4), duke marrë si a = 2a dhe b = 3).

Shembulli 3

Të zbërthehet në faktorë trinomi –x2 + 8x – 16. Zgjidhje

Shkruajmë –x2 + 8x – 16 = (–1)(x2 – 8x + 16).

Kemi x2 = (x)2; 16 = 42 dhe 2 · x · 4 = 8x Prandaj, x2 – 8x + 16 = (x – 4)2 dhe –x2 + 8x – 16 = –(x – 4)2 .

MATEMATIKA 9 44

Shembulli

Të zbërthehet në faktorë trinomi x4 – 20a2x2 + 100a4.

Kemi x4 = (x2)2 dhe 100a4 = 102a4 = (10a

Kurse 2 · x2 · 10 · a2 = 20a2

Prandaj, x4 – 20a2x2 + 100a4 = (x2 – 10a2

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. Vendosni në vend të shenjës ¤ një monom, në mënyrë që trinomi të paraqitet si katror binomi:

¤ + 4a

25 + ¤ +

2. Paraqitni trinomin në trajtën e katrorit të binomit: a) 4x2 + 12x

25a2 + 10a

A mund të zbërthehen shprehjet:

USHTRIME

c) 36 – 12x + ¤.

c) 9x2 – 24xy + 16y2 .

c) x2

4x + 9; d) x2 – 2x + 4

1 Paraqitni trinomin në trajtën e katrorit të binomit: a) x2 + 2xy + y2; b) y2 + 6y + 9; c) z2 + 12z + 36.

2 Paraqitni trinomin në trajtën e katrorit të binomit: a) 1 + y2 – 2y; b) 8ab + b2 + 16a2; c) 1 4 x2 + 4y2 – 2xy

3 Vini në vend të shenjës ¤ një monom, në mënyrë që shprehja të jetë katror binomi. a) b2 + 20b + ¤; b) ¤ + 14x + 49; c) 16x2 + 24xy + ¤.

4 Vini në vend të pikave monomet që mungojnë, në mënyrë që të merret identitet: a) (. . . + 5)2 = . . . + 20b +. . . b) (2x – . . .)2 =. . . – . . . +16

5 Paraqitni trinomin si katror binomi apo si të kundërt të tij: a) –1 + 4a – 4a2; b) –25 – 10x – x2; c) 4xy – x2 – 4y2 .

6 Gjeni vlerën e shprehjeve: a) y

2. SHPREHJET ME NJË NDRYSHORE 45

Zgjidhje

2)2

x2;

+ 1;

a) x

+ x + 1; b) x

x – 1;

–

2 – 2y + 1 për y = 101; për y = –11. b) 4x2 – 20x +25 për x = 12,5; për x = –2. 7 Paraqitni shprehjen si katror binomi, nëse është e mundur: 1 4 x2 + 3x + 9; p2 – 2p + 4; 49x2 + 28xy + x2; 4a2 – 2a + 1. 8 Ktheni në katror binomi shprehjet e mëposhtme: a) x4 – 8x2y2 + 16y4; b) x4 – 2a2x2 + a4; c) a6 – 2a3 + 1. 9 A është e vërtetë që për çdo vlerë të x kemi: a) x2 + 1 > 0; b) x2 + 20x + 100 > 0?

2.9 Ndryshimi i katrorëve. Faktorizime

A Kërkoni dhe zbuloni

Punë në grup

Jepen shprehjet: (x – 1)(x + 1); (2a + 5)(2a – 5); (x – y)(x + y). Kryeni veprimet e shumëzimit. Çfarë vini re? Diskutoni.

B Vrojtoni dhe mësoni

Le të vërtetojmë identitetin (a + b)(a – b) = a2 – b2 (1) Kemi (a + b)(a – b) = a(a – b) + b(a – b) vetia e shpërndarjes;

= (a · a – ab) + (ba – b · b) vetia e shpërndarjes;

= (a2 – ab) + (ba – b2) kuptimi i fuqisë;

= a2 – b2 – ab + ab vetia e ndërrimit dhe e shoqërimit.

= a2 – b2 Identiteti (1) na lejon të kryejmë shkurt shumëzimin e shumës së dy shprehjeve me ndryshimin e tyre.

Shembulli 1

(3x – 4y(3x + 4y) = (3x)2 – (4y)2 = 9x2 – 16y2 . (x2 – 3)(x2 + 3) = (x2)2 – 32 = x4 – 9.

Shembulli 2

Të paraqitet shkurt si polinom shprehja (–2x – 3y)(2x – 3y).

Zgjidhje

Në shprehjen –2x – 3y, nxjerrim në dukje (–1) dhe marrim: –2x – 3y = (–1)(2x + 3y). Atëherë: (–2x – 3y)(2x – 3y) = (–1)(2x + 3y)(2x – 3y) = (–1)[(2x)2 – (3y)2] = –(4x2 – 9y2) = 9y2 – 4x2

Identitetin (1) mund ta shkruajmë edhe në një trajtë tjetër: a2 – b2 = (a – b)(a + b).

Mbani mend:

Identitetin a2 – b2 = (a – b)(a + b) e quajmë formulë e ndryshimit të katrorëve Ai përdoret për të zbërthyer në faktorë diferencën e katrorëve të dy shprehjeve.

Le ta shikojmë nga ana gjeometrike identitetin a2 – b2 = (a – b)(a + b) (fig. 2.4). Katrori i madh (me brinjë a) përbëhet nga katrori i vogël (me brinjë b < a) dhe dy trapeza kënddrejtë që kanë baza a dhe b, kurse lartësi (a – b).

Sipërfaqja e trapezit është (a + b)(a – b) 2 Syprina e dy trapezave është (a + b)(a – b) Syprina e katrorit të madh është a2. Syprina e katrorit të vogël është b2.

Kemi pra: a2 = b2 + (a + b)(a – b), prej ku a2 = b2 + (a + b)(a – b).

a–b a–b

Fig 2.4

b b a

MATEMATIKA 9 46

(a + b)(a – b) = a2 – ab + ab – b2 (a + b)(a – b) = a2 – b2

Shembulli 3

zbërthehen në faktorë shprehjet: 25 – x2; 4a2 – 9b2 Zgjidhje

– x2 = 52 – x2 = (5 – x)(5 + x).

– 9b2 = (2a)2– (3b)2 = (2a – 3b)(2a + 3b).

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. a) Kryeni shkurt shumëzimin: (–1 – x)(1 – x). b) Thjeshtoni shprehjen: 4x2 – (2x – 3)(2x + 3).

2. Zbërtheni në faktorë shprehjet:

2 – 1; 4

a2;

USHTRIME

1 Kryeni shkurt shumëzimet: a) (x + 5)(x – 5); (p + q)(p – q); b) (b – a)(b + a); (x – 3)(3 + x).

2 Në vend të shenjës ¤, vendosni një monom në mënyrë që të kemi identitet: a) (2a + ¤)(2a – ¤) = 4a2 – b2. b) (¤ – 3x)(¤ + 3x) = 16 – 9x2 .

3 Paraqitni shkurt si polinom prodhimin: a) (x2 – 4)(x2 + 4); b) ( 1 2 x + y)( 1 2 x – y); c) (3a2 – 1)(3a2 + 1).

4 Kryeni shkurt njehsimet: a) (100 – 1)(100 + 1); b) (80 + 3)(80 – 3); c) 201 · 199; d) 72 · 68.

5 Kryeni shkurt shumëzimet: a) (–y + x)(x + y);

(–a + b)(b – a); c) (–x – y)(x + y); d) (–b – a)(b

6 Paraqitni

polinom shprehjet:

(3a

Zbërtheni në faktorë:

9 Njehsoni shkurt: 472

10 Paraqitni në trajtë

c) (x

; (21,3)

(

(21,2)

2)(

a2b2

(2x + y)

(

5).

(x – 2y)

2. SHPREHJET ME NJË NDRYSHORE 47

Të

4a2

–

x2 – y2; a4 – x2; 1 9 – x2; b2 4 –a2 9 .

– a).

a) 2(x – 3)(x + 3); b) y(y + 2)(y – 2); c) 5x(x + 3)(x – 3); d) –3a(a + 2)(a – 2).

Thjeshtoni shprehjet: a) 2x2 – (x + 1)(x – 1); b)

– 2)(3a + 2) – 17a2;

–

x +

– x

x +

25x2 – y2; –m2 + n2; 36x2 – 49; 9 – x2y2; x2 –

– 372; 532 – 632

2 –

prodhimi: a)

2 –

+ c)2; b) (x + y)2 –

x – y)2; c)

2 –

2.10 Kubi i shumës dhe i ndryshimit

A Kërkoni dhe zbuloni

Zbërtheni (x + 2)3 duke përdorur identitetin (x + 2)3 = (x + 2)2 · (x + 2) Zbërtheni (1 – x)3 Argumentoni veprimet e kryera.

B Vrojtoni dhe mësoni

Do të vërtetojmë tani dy identitete të tjera:

(1) (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3; (2) (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 + b3.

Me të vërtetë, sido qofshin vlerat e ndryshoreve a, b kemi: (a + b)3 = (a + b)(a + b)(a + b) = (a + b)2(a + b) = (a2 + 2ab + b2)(a + b) = a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Kështu, identiteti (1) u vërtetua.

Punë në grup

Vërtetoni në mënyrë të ngjashme identitetin (2).

Kanë vend edhe identitetet:

(3) a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2); (4) a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2).

Për të vërtetuar identitetin (3), mjafton të tregojmë që prodhimi në anën e djathtë është identikisht i barabartë me anën e majtë. Vërtet, sido qofshin vlerat e ndryshoreve a, b kemi: (a + b)(a2 – ab + b2) = a3 – a2b + ab2 + ba2 – ab2 + b3 = a3 + b3.

Punë në grup

Vërtetoni në mënyrë të ngjashme identitetin (4).

MATEMATIKA 9 48

Shembulli 1 1. x3 + 8 = x3 + 23 = (x + 2)(x2 – 2x + 4) 2. x3 – 8y3 = (x)3 – (2y)3 = (x – 2y)[x2 + x(2y) + (2y)2] = (x – 2y)(x2 + 2xy + 4y2) C Ushtrohuni duke zbatuar 1. Zbërtheni në prodhim faktorësh: (x – 1)3; (2x + 5)3; (x3 + 1)3 2. Zbërtheni në prodhim faktorësh: (2x – 1)3; (x + 3)3; (2x3 + 1)3

3. Sillni në trajtë të rregullt shprehjet:

a) (a + b)3 + (a – b)3; b) (a + b)3 – (a – b)3; c) (x + 2)3 + (x – 2)3; d) (1 + y)3 – (1 – y)3;

4. Janë dhënë polinomet: A = 2x – 1; B = x + y dhe C = 2x +1. Sillni në trajtë të rregullt shprehjet: a) A3 – B; b) A3 + 1; c) A2 – C3; d) AC – B.

USHTRIME

1 Përktheni shprehjet në gjuhën e zakonshme: a) (x + y)3; b) (2y + 3)3; c) (1 – 3x)3; d) (2x – y)3 .

2 Përktheni në gjuhën e algjebrës: a) dyfishi i një numri me kubin e tij; b) kubi i ndryshimit të dyshit me trefishin e një numri; c) shuma e kubeve të dyfishit të numrit a me një numër b

3 Zbërtheni shprehjet: a) (3x + 2y)3; b) (xy + 3)3; c) (2 – 3xa)3; d) (–x – y)3; e) ( x – 2 y )3; f) (4 + 3x2y)3; g) (x2 – 3 )3; h) (– 2 x + 5)3

4 Zbërtheni shprehjet: a) (x + 1)3; b) (3x – 2)3; c) ( 2 + 2x)3; d) ( 3x – 3)3

5 Gjeni vlerën e kubit të numrave, duke e shprehur numrin si shumë ose ndryshim të dy numrave: a) 113; b) 223; c) 193; d) 493; e) (–99)3 .

6 Gjeni prodhimet: a) (3x – 2y)(3x + 2y); b) (2x – y2)(2x + y2); c) (3 x – y )(3 x + y ).

7 Gjeni vlerën e prodhimit. a) 173 · 10; b) 493 · 100; c) 983 · 101.

8 Për njehsimin e katrorëve të numrave mjaft afër njëshit përdoret formula e përafërt (1 + a)2 ≈ 1 + 2a. a) Duke përdorur këtë formulë gjeni afërsisht: (1 + 0,01)2; (1 – 0,02)2; (1,05)2; (0,99)2 b) Gjeni për secilin rast vlerën e saktë, duke përdorur makinën llogaritëse dhe përcaktoni gabimin absolut dhe relativ të përafrimit të bërë.

9 Kryeni shumëzimet:

a) (b – 2)(b + 2)(b2 + 4); b) (x + 4)2(x – 4)2; c) (x2 – 1)(x2 + 1)(x4 – 1).

10 Provoni se vlera e shprehjes P = (x – 3)(x2 – 8x + 5) – (x – 8)(x2 – 3x + 5) nuk varet nga x.

2. SHPREHJET ME NJË NDRYSHORE 49

2.11 Faktorizime duke përdorur identitetet për a3 + b3; a3 – b3

A Kërkoni dhe zbuloni

Zbërtheni në faktorë: x3 – 8; x3 y3 – 1; x3 + 64; 1 8 a3 + b3 Cilat formula përdorët? Diskutoni.

B Vrojtoni dhe mësoni

Mbani mend: Për zbërthimin e polinomeve në faktorë, kemi mësuar disa mënyra:

1. nxjerrja në dukje e faktorit të përbashkët;

2. formulat për katrorin e binomit dhe për diferencën e katrorëve;

3. faktorizimin me grupim.

Në shumë raste, për të zbërthyer një polinom në faktorë duhen përdorur njëra pas tjetrës disa nga këto mënyra. Fillohet, nëse është e mundur, nga nxjerrja në dukje e faktorit të përbashkët.

Ne mund të bëjmë faktorizime duke përdorur identitetet:

(1) a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)

(2) a3 – b3= (a – b)(a2 + ab + b2)

Shembulli 1

x3 – 27 = x3 – 33 = (x – 3)(x2 + 3x + 9); 8y3 + 1 = (2y)3 + 13 = (2y + 1)(4y2 – 2y + 1).

Shembulli 2

Të zbërthehet në faktorë polinomi x4 + 8x + x3 + 8. Zgjidhje

Nuk kemi faktorë të përbashkët (të ndryshëm nga 1) të kufizave, por mund të bëjmë faktorizimin me grupim.

x4 + 8x + x3 + 8 = (x4 + 8x)

MATEMATIKA 9 50

+ (x3 + 8) = x(x3 + 8) + (x3 + 8) = (x3 + 8)(x + 1) Por x3 + 8 mund të shihet si x3 + 23. Prandaj, x3 + 8 = (x + 2)(x2 – 2x + 4). Si përfundim: x4 + 8x + x3 + 8 = (x + 2)(x2 – 2x + 4)(x + 1). C Ushtrohuni duke zbatuar 1. Faktorizoni polinomet: a) x3 – 27; b) 3x3 + 24; c) 27x3 – 8; d) x4 – 2x3 + x2; 2. Faktorizoni polinomet: a) x(x + 2)2 + (x – 1)(x + 2); b) (x – y)2 – 3x + 3y

3. Sillni në trajtë të rregullt shprehjet:

a) (x + y) (x2 – xy + y2); b) (x – y) (x2 + xy + y2); c) (a + 1) (a2 – a + 1); d) (a – 2) (a2 + 2a + 4); e) (3x – y) (9x2 + 3xy + y2); f) (x + 2y) (x2 – 2xy + 4y2);

4. Janë dhënë polinomet: A = x – 1; B = x + 2y dhe C = x +1. Sillni në trajtë të rregullt shprehjet: a) A3 – B3; b) A3 + 1; c) A3 – C3; d) AC + 2B.

USHTRIME

1 Faktorizoni polinomet: a) 8x3 – 64; b) 6ax3 + 48a; c) 4a4 – 12a3 + 8a2; d) 3(x – 4)2 + 2(x – 4).

2 Faktorizoni polinomet:

a) x2 – 25; b) 16 – 9x2; c) 1 9 – 4y2; d) 16 – a2b2; e) 1 – (2x – 3)2; f) (x + 1)2 – (2x – 5)2 .

3 Faktorizoni polinomet: a) 1 – a3; b) x3 – u3v3; c) 1 8 x3 – 27; d) x3 + 125; e) (x + y)3 + (2x – y)3; f) (a + b)3 – (a – b)3

4 Faktorizoni polinomet: a) x2 – 6xy + 9y2; b) 9x2 + 12x + 4; c) 4x4 + 12x2y + 9y2 .

5 Faktorizoni polinomet: a) x3 – x2 + 2x – 2; b) xy – y – x + 1; c) x4 + 2y2 + x2y2 + 2x2; d) a3 + 3a2 – 9a – 27.

6 Për vlera të a mjaft afër zeros përdoret formula e përafërt (1 + a)3 ≈ 1 + 3a

a) Gjeni vlerën e përafërt të (1,02)3; (0,99)3 b) Gjeni me makinë llogaritëse vlerën e saktë të (1,01)3; (0,98)3 dhe përcaktoni gabimin absolut e relativ që bëhet kur përdoret mënyra e përafërt e llogaritjes.

7 Zbërtheni në faktorë:

a) 8x3 – 27y3; b) 1 + 1 8 x3; c) x3 – y6; d) a6 + b3; e) x9 – y9

8 Vërtetoni që vlera e shprehjes: a) 3273 + 1733 plotpjesëtohet me 500; b) 7313 – 6313 plotpjesëtohet me 100.

9 Tregoni që:

a) vlera e shprehjes 165 + 164 është shumëfish i numrit 17; b) vlera e shprehjes 389 + 388 është shumëfish i numrit 37.

2. SHPREHJET ME NJË NDRYSHORE 51

2.12 Sh.m.v.p. i polinomeve

A Kërkoni dhe zbuloni

Punë në grup

Paraqitni polinomin x3 – x si prodhim të (x – 1) me një polinom tjetër. A janë polinomet x – 2 dhe x + 2 faktorë të polinomit 2x3 – 8x? Shkruani një tjetër polinom që t’i ketë ata si faktorë.

B Vrojtoni dhe mësoni

Punë në grup

Tregoni që polinomi x3 – 8 mund të faktorizohet kështu: x3 – 8 = (x – 2)(x2 + 2x + 4).

Në këtë rast thuhet që x3 – 8 plotpjesëtohet me (x – 2) dhe me (x2 + 2x + 4). Ndryshe thuhet që polinomi x3 – 8 është shumëfish i polinomeve (x – 2) dhe (x2 + 2x + 4).

Mbani mend:

Prodhimi i dy polinomeve është gjithmonë shumëfish i tyre.

Shembulli 1

Polinomet x2 – 9 dhe x3 – 9x janë të dy shumëfisha të polinomeve (x – 3) dhe (x + 3). Themi që ata janë shumëfisha të përbashkët të (x – 3) dhe (x + 3). Ndër ta, fuqinë më të ulët (2) e ka x2 – 9. Nuk ka polinom me fuqi më të ulët (pra, me fuqi 1) që të jetë shumëfish i përbashkët i (x – 3) dhe (x + 3).

Prandaj, x2 – 9 e quajmë shumëfish më të vogël të përbashkët të (x – 3) dhe (x + 3). Thuhet shkurt që ai është sh.m.v.p. i këtyre polinomeve. Vëmë re se edhe polinomi 4x2 – 36 = 4(x2 – 9) është polinom i fuqisë së dytë që plotpjesëtohet nga (x – 3) dhe (x + 3), prandaj edhe ai mund të konsiderohet si sh.m.v.p. i tyre.

Mbani mend:

Polinomi P quhet sh.m.v.p. i polinomeve A dhe B, nëse ai është polinomi i fuqisë më të ulët që plotpjesëtohet nga A dhe nga B (d.m.th. që ka si faktorë A dhe B).

Nëse P është sh.m.v.p. i polinomeve A dhe B, këtë veti e gëzojnë edhe të gjithë polinomet e trajtës k · P, ku k është konstante, e ndryshme nga zero.

Mbani mend:

Për të gjetur sh.m.v.p. e dy polinomeve, i zbërthejmë ata fillimisht në faktorë.

MATEMATIKA 9 52

Shembulli 2

Të gjendet sh.m.v.p. i polinomeve (x – 1)2 · (x – 2) dhe (x – 2)2 · (x + 3).

Zgjidhje

Do të marrim secilin nga faktorët (x – 1), (x – 2), (x + 3) me fuqinë më të lartë që figuron në të dy zbërthimet e polinomeve të dhëna dhe do të formojmë prodhimin e këtyre fuqive. Sh.m.v.p. i polinomeve të dhëna është (x – 1)2 · (x – 2)2 · (x + 3).

Shembulli 3

Të gjendet sh.m.v.p. i polinomeve x2 – 4x + 4 dhe x3 – 2x2 + 3x – 6.

Zgjidhje

Faktorizojmë polinomet e dhëna, të parin sipas formulës së katrorit të binomit dhe të dytin me grupim. Kemi: x2 – 4x + 4 = (x – 2)2 dhe

3 – 2

–

6 = (x3 – 2x2) + (3x – 6) = x2(x – 2) + 3(x – 2) = (x – 2)(x2 + 3). Sh.m.v.p. i këtyre polinomeve është (

(

2 + 3).

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. Polinomi x3 + 1 plotpjesëtohet me (

2. Gjeni sh.m.v.p. e polinomeve: a) x(x – 1)2 dhe (x – 1)(x – 5);

3. Gjeni sh.m.v.p. e polinomeve: a) x3

x dhe x

plotpjesëtohet

polinome

Gjeni sh.m.v.p. e polinomeve:

3)(

– 1) dhe

+ 1). Shkruani një polinom tjetër me të cilin plotpjesëtohet ai.

(

2) dhe (x + 2)3(x – 1).

USHTRIME

të

plotpjesëtohet ai.

–1.

2. SHPREHJET ME NJË NDRYSHORE 53

x –

2)2 ·

b) x2

x +

–

2 – 1; b) x3 – 16x dhe x2 + 8x + 16;

x2 –

x + 3 dhe x2 – x + x

a) A

polinomi 2x2 – 8 me x – 2? b) Shkruani dy

të tjera me

cilat

a) (x –

(x – 3)4 · (x + 5); b) x(x – 1)(x + 1) dhe (x – 1)2 · (x + 2). 3 Gjeni sh.m.v.p. e polinomeve: a) (4x + 5)(3x – 1) dhe 9x2 – 1; b) (x – 3)(x2 + 3x + 9) dhe 2x2 – 18; c) 2(3 – y)(3 + y) dhe y(y2 – 6y + 9). 4 Gjeni sh.m.v.p. e polinomeve: a) 3n – 3 dhe (4n + 1)2 – (n + 4)2; b) a4 – b4 dhe a2 – 2ab + b2 5 Gjeni sh.m.v.p. e polinomeve: a) x3 – 2x2 + x dhe x3 – x; b) 3x2 – 6x2y – 2xy + 4y2 dhe x2 – 4y2 6 Gjeni sh.m.v.p. e polinomeve: a) 8a6 – 1 dhe 4a4 – 1; b) (x + y)2 – u2 dhe ax + ay – au; c) x4 – 81 dhe 2x2 + 12x + 18. 7 Gjeni sh.m.v.p. e polinomeve: a) (3x – 5)2 – 16x2 dhe x3 – 25x; b) x5 – x2 dhe x4 – 1.

2.13 Çfarë mësuam? (Përsëritje)

Tashmë kemi mësuar

Provoni të zgjidhni

1 Zbërtheni:

a) (2x + 4)2; (1 + x)2; (–7 + x)2; b) (x – 5)2; (2 – 5x)2; (–2x – 1)2 .

Përdorimin e formulave algjebrike: katrorin e binomit, ndryshimin e katrorëve, gjatë veprimeve me shprehje shkronjore racionale:

2 Ndreqni gabimin në zbërthimin e shprehjeve: a) (x + 3)2 = x2 + 6x + 3; b) (–1 – a)2 = 1 – 2a – a2

3 Thjeshtoni shprehjet: a) 1 – (2x – 3); b) 1 + (2x – 1)2; c) 2 – (–x – 1)2; d) (x + 1)2 – (x – 1)2

4 Shndërroni shprehjet:

a) (5 + 1 5 b)2 + 3b; b) (0,3x – 0,5y)2 – 0,2xy; c) ( 1 4 a – 2)2 + 2a; d) ( 1 4 m – 1)2 + 2a.

Përdorimin e formulave algjebrike për kubin e binomit, gjatë veprimeve me shprehje shkronjore racionale:

5 Zbërtheni shprehjet: a) (x + 2y)3; b) (2y + 3)3; c) (1 – 2ax)3; d) (–x – y)3 .

6 Gjeni vlerën e kubit duke shkruar numrin si shumë ose ndryshim të dy numrave: 993; 1013.

Paraqitjen gjeometrikisht të disa prej formulat algjebrike, si p.sh.: katrorin e binomit, ndryshimin e katrorëve:

7 Ju janë dhënë segmentet me gjatësi a dhe b. Ndërtoni katrorin me brinjë: a) 2a + b; b) 2b – a. Shprehni me formulë sipërfaqen e secilit katror. ab Fig. 2.5

Përkthimin e shprehjeve nga gjuha e zakonshme në atë algjebrike dhe anasjelltas:

8 Shkruani me gjuhën e algjebrës: a) katrori i shumës së një numri me pesë; b) katrori i ndryshimit të dyfishit të një numri me gjashtë; c) kubi i shumës së treshit me një numër; d) ndryshimi i dyfishit të një numri me katrorin e tij.

9 Shkruani në gjuhën e zakonshme:

a) x2 – a2; b) x2 – 9; c) x2 + 6xy; d) –a2 + 2a. Nxjerrjen e faktorit të përbashkët të shprehjes racionale:

10 Zbërtheni në faktorë polinomet:

a) 3x2 – 3a2; b) 4x2 – 36; c) 3x2 + 6xy + 3y2; d) –a2 + 2a – 1.

11 Zbërtheni në faktorë polinomet: a) xm2 – xn2; b) 9x2 – 9; c) 3xy2 – 12x; d) 2ax2 – 2ay2

MATEMATIKA 9 54

Zbërthimin në faktorë të thjeshtë të shprehjeve racionale:

12 Zbërtheni në faktorë me mënyrat e njohura: a) x – 2x2; b) x2 – 4x + 4; c) a2 – 1; d) mx + my – nx – ny

13 Zbërtheni në faktorë: a) a3 – a2b + a2 – ab; b) m4 + 2m3 + m2 + 2m.

14 Zbërtheni në faktorë: a) y2 + 6y + 9 – a2; b) a2 – x2 + 4x – 4.

15 Gjeni sh.m.v.p. e polinomeve: a) n – 1 dhe (n + 1)2 – (n + 1)2; b) a4 – b4 dhe 4a2 – 4ab + b2.

Përcaktimin e sh.m.v.p-së së dy e më shumë polinomeve.

16 Gjeni sh.m.v.p. e polinomeve: a) x3 – 2x2 + x dhe x3 – 1; b) x2 – 2x2y – 2xy + 4y2 dhe x2 – 4y2 .

17 Vërtetoni identitetin: (a – b)(a + b)(a2 + b2)(a4 + b4) = a8 – b8.

18 Vërtetoni që për çdo n natyror, vlerat e shprehjes (2n + 1)2 – (2n – 1)2 plotpjesëtohen me numrin 8.

Detyrë hulumtuese. Trajtimi i mbetjeve

A. Është llogaritur që sot një familje nxjerr në ditë mesatarisht 1 kg mbetje shtëpiake. Kjo sasi është 2 herë më e madhe sesa ç’ishte 40 vjet më parë. Në të kaluarën, shumica e mbetjeve hidheshin në gropa ose nëpër lumenj, përrenj etj. Por kjo solli ndotje të ujërave nëntokësore, erë të rëndë, të dëmshme për shëndetin, shpërndarje pluhurash nga era, shkatërrim të faunës ujore.

Disa mbetje duan shumë vite që të shpërbëhen në produkte të padëmshme. Nga ana tjetër, disa lloje mbetjesh përmbajnë akoma rezerva materialesh, që nuk janë shfrytëzuar para se ato të hidhen. Vrojtoni tabelën e mëposhtme.

Lloji i mbetjes

Letër

Kuti kartoni qumështi

Kuti konservash

Kanoçe alumini

Qese ose shishe plastike

Qelq

Përgjigjuni pyetjeve:

Periudha mesatare e shpërbërjes

muaj

vjet

a) Sa kg mbetje shtëpiake prodhon në 1 javë një qytet me 50 000 banorë?

b) Sa kohë më tepër se letra do qelqi që të shpërbëhet?

c) Sa herë më shpejt shpërbëhet letra në krahasim me qesen plastike?

B. Bëni një kërkim vetjak mbi prodhimin dhe shkarkimin e mbetjeve familjare në secilin prej qyteteve kryesore të Kosovës. Nxirr përfundime.

2. SHPREHJET ME NJË NDRYSHORE 55

200

400

4000

Polistiren 1000

2.13 Vlerësim Koha: 45 minuta

1 Shkruani me gjuhën e algjebrës:

a) katrori i ndryshimit të pesës me një numër; b) katrori i shumës së dyfishit të dyshit me një numër; c) kubi i shumës së një numri me dhjetë; d) ndryshimi i dyfishit të një numri me katrorin e tij. 4 pikë

2 Bëni reduktimet e kufizave të ngjashme: a) 5x2 – 2x2; b) 5x – 4x + 7x 2 pikë

3 Gjeni vlerën e shprehjes xy – xz për: x = 2,3; y = 1,2; z = 0,2. 3 pikë

4 Zbërtheni në faktorë: a) 2ax2 + 4a2x + 6a2x2; 2 pikë b) x(a – 1) + y(1 – a); 2 pikë c) x3 – x2 + x – 1. 2 pikë

5 Zbërtheni: a) (x + 5)2; b) (x – 3)2 2 pikë

6 Zbërtheni në faktorë: a) x2 + 2x + 1; b) a2 – 2ab + b2 2 pikë

7 Zbërtheni në faktorë: a) 2x – 2x2; b) x2 – 6x + 9; c) a2 – 1; d) ax + ay – bx – by.

8 Zgjidhni ekuacionin (3x + 2)2 – (3x – 2)2 = 20.

9 Njehsoni shkurt: 57,52 − 14,52 (39,5)2 −(3,5)2

10 Zbërtheni në faktorë: x4 – 18a2x2 + 81a4

11 Zbërtheni shprehjet (x – 2)3; (1 – 2x)3; 27y3 – 8.

pikë

MATEMATIKA 9 56

• cakton

të shprehjes racionale;

• zbërthen në faktorë të thjeshtë shprehjet racionale;

• nxjerr faktorin e përbashkët të shprehjes racionale;

• thjeshton shprehjet shkronjore racionale;

• kryen veprimet me shprehjet racionale.

Fjalë kyçe:

shprehje algjebrike, racionale, domen (bashkësi përcaktimi), thyesa racionale, shprehje racionale, mbledhje, ndryshim, shumëzim, pjesëtim të shprehjeve racionale.

A E DINI SE?...

Origjinën e thyesave racionale e gjejmë qysh para 2000 vjetëve, por bazat e studimit të tyre janë hedhur në vitet e fundit të 1600-ës dhe në fillimet e 1700-ës. Algoritmi i Euklidit shënon fillimin e përdorimit të thyesave racionale. Algoritmi i Euklidit përdoret për të gjetur emëruesin më të madh të përbashkët të dy numrave. Duke interpretuar algjebrikisht algoritmin, mund të nxirret thyesa racionale p qPër më shumë se një mijë vjet, çdo studim që përdorte thyesat racionale, ishte i kufizuar në shembuj të veçantë. Matematikani indian Aryabhata (viti 550 pas Krishtit) përdori një thyesë racionale për të zgjidhur një ekuacion linear të papërcaktuar. Gjatë gjithë shkrimeve matematikore greke dhe arabe, gjenden shembuj dhe gjurmë të thyesave të racionale. Thyesat racionale filluan të përgjithësohen përmes veprës së (Xhon Uollis) John Wallis (1616-1703). Në librin e tij Arithemetica Infinitorium (1655), ai zhvilloi dhe prezantoi identitetin:

identitet u shndërrua nga Lord Brouncker (1620-1684) në trajtën:

4 π = 3 3 5 5 7 7 9 2 · 4 · 4 · 6 · 6 · 8 · 9 · ... Ky

Në fund të kësaj teme, nxënësi/ja:

domenin (bashkësinë e përcaktimit)

SHPREHJET ME NDRYSHORE (vazhdim)3 2 2 2 2 41 1. 23 25 27 ... π =+ + + +

3.1 Thyesat algjebrike racionale

A Kërkoni dhe zbuloni

Punë në grup

Jepet thyesa 2x + 1 y – 2 Gjeni vlerën numerike të saj për x = 4 dhe y = 5. A mund të gjendet vlera numerike e thyesës së mësipërme për y = 2? Diskutoni.

B Vrojtoni dhe mësoni

Mbani mend:

Shprehjet e formës a b ku a dhe b janë monome ose polinome quhen thyesa algjebrike racionale, ose thjesht thyesa racionale.

P.sh.: 8 x ; x2 – 5x + 1 y – 4 ; 3a x + 5 etj., janë thyesa racionale. Është e kuptueshme se thyesat e zakonshme numerike janë thyesa racionale. Ju keni vënë re se për y = 2, thyesa 2x + 1 y – 2 nuk ka kuptim. Themi se y = 2 është vlerë e palejuar e thyesës së dhënë.

Shembulli 1

Gjeni vlerat e palejuara të ndryshores x në thyesën 4x (x – 1) (2x + 6)

Zgjidhje

Kemi x – 1 = 0 ⇒ x = 1 dhe 2x + 6 = 0 ⇒ x = –3. Bashkësia e vlerave të palejuara të ndryshores është {–3; 1}.

Mbani mend:

e vlerave të ndryshores për të cilat një thyesë racionale ka kuptim, quhet bashkësi e përcaktimit (domen) të thyesës.

të gjetur bashkësinë e përcaktimit të një thyese racionale, veprohet sipas kësaj skeme:

barazohet emëruesi i thyesës me zero;

zgjidhet ekuacioni që përftohet;

përjashtohen rrënjët e këtij ekuacioni nga bashkësia R.

Shembulli 2

Gjeni bashkësinë e përcaktimit të thyesës 3x 2x2 – 8x .

Zgjidhje

2x2 – 8x = 0 ⇒ 2x(x – 4) = 0 ⇒ x = 0 ose x = 4. Bashkësia e përcaktimit të thyesës është R\{0; 4}.

Thyesa e rregullt

Thyesa algjebrike racionale quhet e rregullt në qoftë se pas thjeshtimeve të mundshme, numëruesi dhe emëruesi i saj janë polinome (monome) të rregullta.

MATEMATIKA 9 58

Bashkësia

Për

a–2

4–a

për

Gjeni bashkësinë

përcaktimit të thyesave:

3. Gjeni bashkësinë e përcaktimit të thyesave:

për a = 0; a = 3

(m–3)(m–2)

= 0; a = 3

(m–3)(m–2)

për m = 0; m=4.

m = 0; m=4.

për m = 0; m=4.

2 + 1

; e) y2 – 5 2(2y – 1)

d) 3 (x – 6) (x – 2) ; e) 1 –

3. SHPREHJET ME NDRYSHORE (VAZHDIM) 59 USHTRIME Shembulli 3 Pasi të kthehet në trajtë të rregullt, të gjendet bashkësia e përcaktimit të thyesës 3(x – 1) + 5 2(6 – x) – 5(x + 1) . Zgjidhje {}3(1)533532;–7701 2(;|1 6)5(1)1225577 xxx xxExRx xxxxx −+−++ ==+=⇒==∈≠ +−−+ C Ushtrohuni duke zbatuar 1. Gjeni vlerën numerike të thyesave për vlerat e dhëna të ndryshores: a) 2 a–2a) për = 3; = 4. b) për a

–2 4–a 1 + 3mc) për = 0; = 5. d) për

1– (m–3)(m–2) x xx x x xx x b) 2 a–2a) për = 3; = 4. =

a =

–2 4–a 1 + 3mc) për = 0; = 5. d)

1–

xx x x xx x

c) 2

a) për = 3; = 4. b)

–2

1 + 3mc)

= 0; = 5. d)

1–

x xx x x xx x d) 2.

a) 3 x – 2 ; b) x – 1 10 ; c) y2 – 5y + 4 21 ;

1 –

a) 5 x(x – 2) ; b) 1 x2 + 1 ; c) 4 x2 – 2x ;

2x x3 – 9x . 1 Në qoftë se ndryshorja x përshkon bashkësinë A={7; 1; 0; –5; –1; –0,2}, gjeni bashkësinë e vlerave të thyesës x + 1 x – 3 . 2 Gjeni bashkësinë e përcaktimit të thyesave: a) 4 x – 1 ; b) x – 7 12 ; c) y2 – 2y + 3 25 ; d) x2 1 – 2x ; e) 2y2 – 9 3(4y – 1) . 3 Gjeni bashkësinë e përcaktimit të thyesave: a) 5 a(a – 3) ; b) 3 x2 + 1 ; c) 3 x2 – 5x ; d) 11 (x – 1)(x – 2) ; e) x x2 – 5x + 6 . 4 Shkruani një thyesë e cila nuk ka kuptim për: a) x = 7; b) x = –3; c) x = 0; d) x = 0 ose x = 1; e) x = 1 ose x = –2. 5 Për cilat vlera të ndryshores, thyesat e mëposhtme nuk kanë kuptim? a) 4m 3x ; b) 1 x ; c) 12 4 – 3x ; d) 5 x2 + 5x ; e) x – 2 6x2 – 5x . 6 Gjeni një thyesë me ndryshore x , e tillë që të jetë e barabartë me zero për x = 1. 7 Vërtetoni se bashkësia e përcaktimit e thyesave të mëposhtme është R: a) 1 x2 + 5x ; b) 3x –2x2 – 1

3.2 Thjeshtimi i thyesave racionale

Kë

Vrojtoni dhe m

Mbani mend:

dhëna

të barabarta për çdo vlerë të

të tillë që x ≠ 0. Kjo rrjedh nga vetia themelore e thyesave, e cila shprehet: Në qoftë se numëruesin dhe emëruesin e thyesës i shumëzojmë ose i pjesëtojmë

ose shprehje të ndryshme nga zero, atëherë vlera e thyesës nuk ndryshon.

të njëjtin

algjebrike racionale mund të thjeshtohen me të njëjtin numër ose shprehje të ndryshme nga

këtë mënyrë, ne mund të shkruajmë:

për të thjeshtuar thyesat algjebrike duhet të bëjmë më parë faktorizimin e tyre.

MATEMATIKA 9 60

rkoni dhe zbuloni Thjeshtoni thyesat 6 14 ; 9 15 ; 10 25 ; 21 28 Po thyesat 3x 9x ; 4x 6y , si mund t’i thjeshtoni? B

ësoni Thjeshtimi i thyesave algjebrike racionale bëhet në mënyrë të ngjashme si për thyesat numerike. P.sh.: 3x 9n = m 3n ; 6x 14y = 2 · 3x 2 7y = 3x 7y Shembulli 1 Krahasoni thyesat 3x2 8x dhe 3x 8 Zgjidhje Për x = 0, thyesa e parë nuk ka kuptim. Prandaj, në këtë rast, nuk mund të krahasohen vlerat e dy thyesave të dhëna. Për çdo vlerë tjetër të x, vlerat përkatëse të të dyja thyesave janë të barabarta. P.sh.: për x = 2, kemi: 3x2 8x = 3 · 22 8 · 2 = 3 4 dhe 3x 8 = 3 · 2 8 = 3 4 Shembulli 2 Thjeshtoni thyesën 12x + 18y 16x + 24 Kemi: 12x + 18 16x + 24 = 6(2x + 3) 8(2x + 3) = 6 8 = 3 4 me kushtin që 2x + 3≠ 0 ⇒ x ≠ – 3 2 . Në veprimet që do të kryejmë më pas (nëse nuk kërkohet në mënyrë të veçantë), kushtin nuk do ta shkruajmë, por do ta nënkuptojmë. Shembulli 3 Shembulli 4 xy y ax – a = y(x – 1) a(x – 1) = y a x2 – 25 x2 – 10x + 25 = (x – 5) (x + 5) (x – 5)2 = x + 5 x – 5

Thyesat e

janë

më

numër

Thyesat

zero. Në

5(x – 2) (x – 1)(x – 2) = 5 x – 1 me kusht që x – 2 ≠ 0 ose x ≠ 2. Shpeshherë,

C

1. Thjeshtoni thyesat:

xy x2 ; b) 2xy 8y2 ; c) 10m2n 6mn3 ; d) 15x3 y2 z 10x2 y3 z

2. Thjeshtoni thyesat:

3a – 6b 9a ; b) 2x 4x

3. Thjeshtoni thyesat:

a2 – a a2 – 1 ; b)

; c) 3(x 12)

; d) ab – 6y x(3 – a); e) 2x + 6y x2 + y2 .

2 – 4

2 – 4x

c) x2

USHTRIME

d) m3 – 3m2 m2 – 9 ; e) 9 – x2 x – 3

1 Thjeshtoni thyesat:

3xy 4x2 ; b) 6mn 9m2 ; c) 12a2b 8ab3 ; d) 21a3b2c 14a2b3c ; e) 15x4y3z5 12x3y2z4

2 Në vend të pikave, vendosni shenjat = ose ≠.

3. SHPREHJET ME NDRYSHORE (VAZHDIM) 61

Ushtrohuni duke zbatuar

+ 6y

12a – ax

+ 4;

– y2 x

+ xy ;

a) 6x2yz 3xy2 .... 2x y b) 15m2x2 5mx4 .... 3mx c) 2a2bc 8ab3c .... 4ac b d) 8x2y2z2 4x2y2z .... 2z.

Thjeshtoni thyesat: a) 3m – 6n 6m ; b) 6x 2x + 2y ; c) 8(a – 12) 12b – ab; d) xy – 3y a(3 – x) ; e)

x + 12my 18am – 10mb 4 Thjeshtoni thyesat: a) x2 – x x2 – 1 ; b) x2 – 9 x2 – 6x + 9 ; c) x2 – y2 x2 – xy ; d) a2 – 2a2 a2 – 4 ; e) 25 – a2 a – 5 . 5 Thjeshtoni thyesat: a) p2 – q2 p(p – q) ; b) 4a2 – 9b2 2a2 + 3ab ; c) a2 – b2 ax – bx ; d) c6 – c4 c3 + c2 ; e) x2 – 1 x2 + 2x + 1 6 Vërtetoni se vlera e shprehjes ax2 – 2x2 2ax – 4x nuk varet nga vlera e a (për a ≠ 2). 7 Thjeshtoni thyesat: a) x2 + 2xy + y2 x2 + xy – ax – ay ; a) 8a + 4b 2ac + bc – 2ad – bd ; P. [a) x + y x – a ; b) 4 c – d ] 8 Vërtetoni barazimet: a) 12a2b 6a3b2 – 8a2 = 6 b(3a – 4b) ; b) 2a2b – 2b 1 – a4 = – 2b a2 + 1 .

3.3 Mbledhja dhe zbritja e thyesave algjebrike

Kërkoni dhe zbuloni

Vrojtoni dhe mësoni

thyesave

sjellim

Mbani mend:

sikurse edhe thyesat numerike; së pari,

shumëfishin më të vogël të përbashkët të

është shprehja më e vogël racionale, e cila plotpjesëtohet pa mbetje me shprehjet e dhëna. Për të gjetur sh.m.v.p për dy ose më shumë polinome, veprojmë në këtë mënyrë: zbërthejmë në prodhim faktorësh polinomet e dhëna; sh.m.v.p është prodhimi i të gjithë faktorëve të ndryshëm të polinomeve, secili prej tyre i ngritur në shkallën më të lartë, në të cilën është paraqitur në ndonjërin nga faktorët e polinomeve të dhëna.

kthehen në thyesa me emërues

MATEMATIKA 9 62

Gjeni shumën dhe ndryshimin e thyesave: a) 5 9 dhe 2 9 b) x + 5 9 dhe x + 5 9 Argumentoni veprimet e kryera. B

Mbledhja dhe zbritja e

Thyesat algjebrike mblidhen dhe zbriten në të njëjtën mënyrë

në thyesa me emërues të barabartë. Për këtë gjejmë

emëruesve të shprehjeve të dhëna. Shembulli 1 Kryeni veprimet: x – 1 4 + x – 2 4 x – 3 4 . Kemi: x – 1 4 + x – 2 4 x – 3 4 = (x – 1) + (x – 2) – (x – 3) 4 = x – 1 + x – 2 – x + 3 4 = x 4 Shembulli 2 3x – 2y 2x –x – 4y 2x + 5x – 3y 2x = (3x – 2y) – (x – 4y) + (5x – 3y) 2x = 3x – 2y – x + 4y + 5x – 3y 2x = 7x y 2x Në qoftë se thyesat nuk janë me emërues të njëjtë, atëherë fillimisht,

të tillë (duke përdorur vetinë themelore të thyesave). Shembulli 3 a + 1 4 + a – 1 6 = 3(a + 1) + 3(a – 1) 12 = 3a + 3 + 2a – 2 12 = 5a + 1 12

Sh.m.v.p i dy ose më shumë thyesave algjebrike

C Ushtrohuni duke zbatuar

USHTRIME

1 Përktheni në gjuhën algjebrike:

herësi i shumës së dyfishit të një numri

pesë, me ndryshimin e x me dy;

herësi i tetëfishit të një numri me ndryshimin e tij me dy;

herësi i ndryshimit të pesës me katrorin

një numri me vetë numrin.

2 Gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët të polinomeve:

2xy, 20

y; b) 5a2b, 10a2b2;

6, 2

– 4; d) 25y2 – 1, 5y

10a

1, 5y

3. SHPREHJET ME NDRYSHORE (VAZHDIM) 63

Shembulli 4 Kryeni veprimet a + 3 a(a + b) –b 3 b(a + b) . Kemi: a + 3 a(a + b) –b 3 b(a + b) = b(a + b) ab(a + b) –a(b – 3) ab(a + b) = b(a + 3) – a(b – 3) ab(a +b) = 3(a + b) ab(a + b) = 3 ab .

1. Gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët të polinomeve: a) 15x, 20; b) 44a2b, 4ab2; c) x – 2, 2x – 4; d) 15y – 5, 3y – 1, 9y2 – 1. 2a2, 4a2; 5xy2, 10xy; 1 – x, x – 1; x + 9, 4x + 36, –x – 9. 2. Kryeni veprimet: a) 2x – 5 6 –x – 4 5 ; b) 5m + 2n 8n –5m – 3n 8n ; c) 2u – 3v u2v + 4u – 5v uv2 3. Kryeni veprimet: a) x + y x2 –x – y xy ; b) a – b ab –a – m am ; c) x + 2y xy + z – 2y z2

a me

–

4a2x, 8a2; –2xy2, 24ax; 1 + x, –x – 1; a2 – 25,

+ 50, 5a – 25.

Sillni thyesat algjebrike në thyesa të barabarta me to, me emërues shprehjen e dhënë: a) 2u 5 me emërues 20u; b) 7x 5y2 me emërues 25y3; c) 5a 8b me emërues 24a2b2; d) x – 4 x + 2 me emërues x – 4; e) 4x 2x – 3 me emërues 8x2 – 27; f) y + 7 y – 2 me emërues y2 – 81. 4 Kryeni veprimet: a) 8x – 3 14 –24x – x 14 ; b) a – 2 8 + 2a + 5 8 –3 – a 8 ; c) x x – 2 + 5 x – 2 + 2x x – 2 ; d) 2a a – b + a a – b + b a – b ; e) 1 – 4a 3 – a + 2a – 1 3 – a + a + 2 a – 3 ; f) (x + y)2 xy –(x – y)2 xy 5 Kryeni veprimet: a) x 5y + 3 2y ; b) a b2 + 3 2b ; c) 1 ax + 1 9a ; d) 4a2 + 3b2 10 –2a2 – b2 5 . 6 Kryeni veprimet: a) a – b a2 + a – b ab ; b) x – y xy –x – m xm ; c) b + 2c bc –c – 2b c2 ; d) 2a – 3b a2b + 4a – 5b ab2

3.4 Shumëzimi dhe pjesëtimi i thyesave algjebrike

dhe

në grup

B Vrojtoni dhe

Shembulli

MATEMATIKA 9 64

A Kërkoni

zbuloni Punë

Jepen numrat thyesorë: 15 45 dhe 22 44 . Gjeni prodhimin dhe herësin e tyre. Nëse keni dy thyesa algjebrike: x 2 dhe 15x 25y , si do të gjenit prodhimin dhe herësin e tyre? Argumentoni veprimet e kryera.

mësoni Shumëzimi e pjesëtimi i thyesave Edhe veprimet e shumëzimit e pjesëtimit të thyesave algjebrike, kryhen në mënyrë të ngjashme sikurse me thyesat e zakonshme numerike.

1 6a2 5y3 · 10y2 21ab = 6a2 · 10y3 5y3 · 21ab = 4a 7b Shembulli 2 5x3 6a : 15x 2a2 = 5x3 6a · 2a2 15x = 5x3 · 2a2 6a · 15x = ax2 9 Shembulli 3 x2 – 2xy 3 · y x2 – 4y2 = (x2 – 2x) · y 3(x2 – 4y2) = x(x – 2y) · y 3(x – 2y)(x + 2y) = xy 3(x + 2y) C Ushtrohuni duke zbatuar 1. Kontrolloni veprimet: 10a4 a2 – 3ab : 15a3b a – 3b = 10a4 a2 – 3ab · a – 3b 15a3b = 10a4 · (a – 3b) (a2 – 3ab) · 15a3b = 10a4 · (a – 3b) a(a – 3b) · 15a3b = 2 3b 2. Kryeni veprimet: a) x2 – ax a2 · a x2 b) x2 – y2 6x2y2 : 3xy x + y Mbani mend: Gjatë shumëzimit e pjesëtimit të thyesave, bëhen faktorizimet e mundshme në mënyrë që më pas të bëhen thjeshtime.

1 Kryeni veprimet:

a) a y

b2 y2 ; b) x 10

USHTRIME

5 x ; c) m 2n

3n m ; d) ax 3 · x a ; e) p2 q3 · q2 p3 .

2 Kryeni veprimet: a) x y : 2 3 ; b) p 9 : q 3 ; c) a2 b2 : a3 b3 ; d) 3a2 b4 : 6a4 b2 ; e) x

3 Dihet se për disa vlera të x dhe y, shprehja 1

y5 :

y është e barabartë me 5. Për këto vlera të x dhe y, gjeni vlerën e shprehjeve: a) 1 x y ; b)

4 Vërtetoni identitetet:

; d) y x 3

– 1; b) y

a) m – n n

5 Kryeni veprimet:

x – 2 3

b) a2

a) pq + q2 27 9p q2 ; b) a – b 4b3 8b4 a2 – ab ; c) a2 – b2

: a a2

: 3x2

3. SHPREHJET ME NDRYSHORE (VAZHDIM) 65

x5 y6

x – y;

y – x

–

– x x + y = –x – y x +

a 1 a + b a a – b ; d)

2 – ab a3 – b3

–

Kryeni veprimet: a)

y2 :

x – 6 y3 ;

–

x 12x

–

36a ; c) 5x2 – bx 30by : b2 – 5bx 60xy ; d) (2x – y) : 2x2 – xy x + y .

Vërtetoni identitetet: a) 3x x – 2 : 2x x – 1 = 3 4 ; b) a2 – b2 c2 – d2 : a – b c – d = a + b c + d ; c) a2b – 4b3 3ab2 · a2b a2 – ab = a + 2b 3 ; d) x2 – xy x2 + xy : xy x2y + xy2 = x – y. 8 Trajta më e thjeshtë e shprehjes ( x2 – x x2 + 1 + 2x2 x3 – x2 + x – 1 ) : x2 x2 – 1 është: a) x +1 x ; b) 3 x ; c) x x +1 ; d) 2x 1 – x . 9 Vërtetoni se për çdo a ∈ Z, shprehja (a – a2 + x2 a + x ) · ( 2a x + 4a a – x ) është numër çift. 10 Shprehja 4 x x2 – 1 të shkruhet në trajtën e shumës së dy shprehjeve racionale. Të gjenden vlerat e palejuara të x-it.

Shprehje me katër veprime

mësimet e mëparshme, pamë se shuma, ndryshimi, prodhimi dhe herësi i thyesave mund të paraqiten

anën

një

Rrjedhimisht, çdo shprehje me thyesa, mund të paraqitet me anën e një thyese. Në qoftë

kryer disa veprime, atëherë ato duhen ndjekur sipas radhës (fillimisht, ngritja në fuqi, më pas shumëzimi e pjesëtimi, e së fundmi mbledhja dhe zbritja). Gjithashtu, në qoftë se shprehja përmban kllapa, fillimisht kryhen veprimet brenda kllapave.

Shembulli 2

Kryeni veprimet në shprehjen: a a + b + a a – b –2a2 (a – b)(a + b)

Zgjidhje

për këtë

a a + b + a a – b –2a2 (a – b)(a + b) = a(a – b) + a(a + b) – 2a2 (a – b)(a + b) = a2 – ab + a2 + ab – 2a2 (a – b)(a + b) = 0

Shembulli 3

Kryeni veprimet në shprehjen:

( a a + 1 + 1) : (1 – 3a2 1 – a2 )

Zgjidhje

( a a + 1 + 1) : (1 – 3a2 1 – a2 ) = a + a + 1 a + 1 : 1 – a2 – 3a2 1 – a2 = 2a + 1 a + 1 : 1 – 4a2 1 – a2 = = 2a + 1 a + 1 (1 – a)(1 + a) (1 – 2a)(1 + 2a) = 1 – a 1 – 2a

MATEMATIKA 9 66 3.5

A Kërkoni dhe zbuloni Gjeni shprehjen (A – B)(A + B), nëse: 23 : 4222 Axxx   =−     : 23 : 4222 Axxx   =−     dhe 21 6 3223 xxx B   =−     · 21 6 3223 xxx B   =−     . Argumentoni veprimet e kryera. B Vrojtoni dhe mësoni Shembulli 1 Thjeshtoni shprehjen 1 x + 2 · x2 – 4 3x + 2x. Kemi: 1 x + 2 x2 – 4 3x + 2x = 1 x + 2 (x – 2)(x + 2) 3x + 2x = (x – 2)(x + 2) (x + 2) · 3x + 2x = = x – 2 3x + 2x = x – 2x + 2x · 3x 3x = 6x2 + x – 2 3x Në

thyese algjebrike.

duhen

USHTRIME

3. SHPREHJET ME NDRYSHORE (VAZHDIM) 67 C Ushtrohuni duke zbatuar 1. Kryeni veprimet: (x + y)2 6 + (x – y)2 12 x2 + y2 4 2. Thjeshtoni shprehjet e mëposhtme: a) x ab + x ac b) 5x mn + 3y mp ; c) 1 m4n3 + 1 m3n4; d) 2b2 + 3ax bx –ab + 5bx ax

Thjeshtoni shprehjet e mëposhtme: a) x 3 + 2x 10 + 4x 15 ; b) 2a 15 –3a 20 + a 12 ; c) 4x 25 –2x 35 + 8x 21 ; d) 4a 21 + a 42 + 3a 28 . 2 Thjeshtoni shprehjet e mëposhtme: a) 5m 6x –7m 30x ; b) 4 27xy –5 18xy ; c) 4a 5b –3a 4b ; d) 1 6ab + 2 5ab . 3 Thjeshtoni shprehjet e mëposhtme: a) 3x – 2 5 + 5x – 3 3 ; b) 2a – 3 4 + 5a + 3 3 ; c) 2m + 5 6 –m – 1 8 ; d) 4x + 3y 10 –2x – y 15 4 Thjeshtoni shprehjet e mëposhtme: a) 5a 6b2c –7b 12ac2 + 11c 18a2b ; b) 2a2 – 3b a2b + 6a – 2b2 a2b ; c) 2a2 + 3a – 5 a2b + 4a – 1 ab ; d) 5x2 – 2x – 1 x2y –3x – 2 xy 5 Thjeshtoni shprehjet e mëposhtme: a) 2x + 3y x –2x – 3y y P. [ 5xy + 3y2 – 2x2 xy ] b) 1 – 5x3 2a2 + x3 a2 + 3x3 2a2 P. [1] c) a – b 5ab –a + b 15ab + a + b 3ab P. [ 7a + b 15ab ] d) x – y 4y · 8y2 x2 – xy –3 x2 P. [ 2xy – 3 x2 ]

Çfarë mësuam? (Përsëritje)

Tashmë kemi mësuar Provoni të zgjidhni Caktimin e domenit (bashkësinë e përkufizimit) të shprehjes racionale:

1 Gjeni vlerat e palejuara të shprehjes, nëse ekzistojnë: a) 4 2x + 3 ; b) 1 + x 5(x – 1) ; c) a 2a2 + 3 ; d) 1 x – 3

2 Gjeni bashkësinë e përcaktimit të thyesave dhe bëni thjeshtimet e mundshme.

a) y2 – 16 3y + 12 ; b) a2 + 10a + 25 a2 – 25 ; c) 15x2 – 9x 25x2 – 9 ; d) x2 – 9 x2 – 6x + 9 ; e) ax + 2x – 3a – 6 ax – 8a + 2x – 16 ; f) 25x2 – 20xy 16y2 – 20xy ;

3 Për ç’vlerë të ndryshores x, shprehja x + 5 x – 3 : a) nuk prodhon numër; b) prodhon numër.

4 Zbërtheni në prodhim faktorësh të thjeshtë shprehjet: a) x2 2 ; b) 1 2 x2y; c) a 2(a + 3) ; c) 4xy 2x + 3 .

Zbërthimin në faktorë të thjeshtë të shprehjeve racionale:

5 Zbërtheni në faktorë: a) a4 – x4; b) x4 – 1; c) a4 – 16; d) 4x2 + 8xy + 4y2; e) x2 + 2x – 1.

6 Zbërtheni në faktorë: a) x3 – x2y + x2 – xy; b) x4 + 2x3 + x2 + 2x Nxjerrjen e faktorit të përbashkët të shprehjes racionale:

7 Gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët të polinomeve: a) 4ab, 28ab; b) 15x2a, 10x3b2; c) 8x – 6, 12x – 18; d) 25x2 – 1,5x + 1,5x – 1.

8 Sillni thyesat algjebrike në thyesa të barabarta me to me emërues shprehjen e dhënë: a) 2x 3 me emërues 21x; b) x 10y2 me emërues 50; c) 2a 9b me emërues 27a2b2; d) 2 5b me emërues 25a2b2

MATEMATIKA 9 68

3.6

Thjeshtimin e shprehjeve shkronjore racionale:

9 Thjeshtoni shprehjet e mëposhtme:

a) x + y x – y –x – y x + y –4xy x2 – y2 ; b) 1 a – b + 1 a + b –2b2 a3 – ab2 ; c) 12a 36a2 – 1 + 10 6a + 1 –8 6a – 1 ; d) a – 1 a – b + a + b 2a + 1 a .

10 Kryeni veprimet:

a) x + y x – y + x y ; b) 3c 5 –c + 1 c – 1 ; c) 1 1 + x + 3 1 – x ; d) 2a 2a – 1 –1 2a + 1 .

11 Kryeni veprimet: a) x + 3 x –x x – 3 + 10 x(x – 3) ; b) x + y x –x x – y + y2 x(x – y)

Kryerjen e veprimeve me shprehjet racionale:

12 Kryeni veprimet a) x y 2 3 ; b) p 9 : q 3 ; c) 3a2 b4 : 6a4 b2 ; d) x4 y4 x5 y6

13 Vërtetoni identitetet: a) 1 + x + x2 + x3 1 x = 1 1 x ; b) a + x –2ax3 + x2 a + x = a2 + 2x2 a + x ; c) 4 – 2x + x2 x + 2 – 2 – x = –6x a + 1 ; d) a4 – a3 + a2 – a + 1 – 2 a + 1 = a5 – 1 a + 1 .

69 3. SHPREHJET ME NDRYSHORE (VAZHDIM)

3.7 Vlerësim Koha: 45 minuta

1 Kryeni veprimet:

a) (x – 6y)(x – 4y) + (x

(a2 – ab + b2)(a + b)

(x + y)

2 Gjeni

(

)(

) 2 pikë

(a2 + ab + b2)(a – b) 2 pikë

2 pikë

përcaktimit

thyesave:

3 Vërtetoni identitetin:

4 Thjeshtoni thyesat:

2a2b – 2b

(

2 pikë

3 pikë

2 pikë

– a4 ; 3 pikë

b) mx + m

5 Kryeni veprimet:

( 1

1 + 1

[ x y(x

1 )

)

(

3 pikë

; 3 pikë

MATEMATIKA 9 70

x +

2 –

x – y)2

bashkësinë e

të

a) 3 2x – 6 ;

b) x – 3 5 – 7x ;

c) 3x + 2 x2 – 8x + 7 .

(

–

y)(x +

y) – x

x + 2y) – 2y

–x – 2y) = 0

– x – 1 m2 – 1

x +

x –

· x

– 1 2x

+ y

+ x y x

x + y) ] : [ y2 x(x2 + y2) + 1 x + 1 ]. 4 pikë 6 Pasi të thjeshtohet, të gjendet vlera numerike e thyesës: a) x2 – 4 x + 2 për x = – 3; x = 3; x = 5. 2 pikë b) m2n – mn2 m – n për m = 3,5 dhe n = 1,2. 2 pikë c) 15a2 – 10ab 3ab – 2b2 për a = –2 dhe b = –0,1. 2 pikë 7 Vlera e shprehjes a a a –1 a a + a a + 1 a , për a = – 2, është 3 5 ; 25 9 ; 5 3 apo 9 25 ? 3 pikë

EKUACIONET DHE INEKUACIONET LINEARE ME NJË NDRYSHORE 4

Në fund të kësaj teme, nxënësi/ja:

• zgjidh ekuacionet dhe inekuacionet lineare sipas shkronjave;

• diskuton zgjidhjen e ekuacioneve dhe të inekuacioneve lineare me një të panjohur;

• paraqet zgjidhjet e inekuacioneve në boshtin numerik;

• identifikon intervalin e hapur dhe të mbyllur te inekuacionet, duke e paraqitur simbolikisht;

• zgjidh inekuacionet me vlerë absolute dhe paraqet grafikisht bashkësitë e zgjidhjeve të tyre;

• zgjidh ekuacionet kuadratike të formës x2 + mx + n = 0 (m, n Є Z) duke zbërthyer trinomin (x – x1) (x – x2) = 0;

• përdor ekuacionet në fizikë, kimi dhe lëmi të tjera.

Fjalë kyçe: ekuacione lineare, ekuacione të njëvlershme, rrënjë e ekuacionit, ekuacion i fuqisë së parë me një ndryshore, i fuqisë së dytë, inekuacione lineare, zgjidhje e inekuacionit, bosht numerik, inekuacione me vlerë absolute, ekuacionet (x – x1) (x – x2) = 0.

E DINI

Nevoja për të zgjidhur ekuacionet jo vetëm të shkallës së parë, por edhe të shkallës së dytë pat lindur qysh në antikitet. Njerëzit e lashtë kërkonin të gjenin zgjidhje për problemet që lidheshin me gjetjen e zonave të tokës dhe punimeve tokësore të një natyre ushtarake, si dhe me zhvillimin e vetë astronomisë dhe matematikës.

Shpesh thuhet që të parët që u morën me zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike ishin babilonasit (rreth vitit 400 p.e.s). Diofanti krijoi dhe zgjidhi ekuacionin kuadratike “Gjeni dy numra, duke e ditur që shuma e tyre është 20, dhe prodhimi është 96”. Në Europë, ekuacionet kuadratike filluan të studiohen gjatë shekujve 13–17. Formulat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike u studiuan për herë të parë në 1202, nga matematikani italian Fibonaçi (Leonardo Fibonacci). Rregulla e përgjithshme për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike të reduktuara në formën e vetme kanonike x2 + bx + c = 0, u formulua në Europë vetëm në 1544 nga Mihael Shtifel (Michael Stifel). Vetëm në shekullin e 17-të, falë veprave të Dekartit (Descartes), Njutonit (Newton) dhe shkencëtarëve të tjerë, metoda e zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike mori një formë moderne.

71 A

SE?...

4.1 Ekuacione të njëvlershme me një ndryshore

A Kërkoni dhe zbuloni

Në një test, Gresa mori x pikë, Era mori 20 pikë më shumë se Gresa. Sa pikë mori Era? Sa pikë morën së bashku Gresa dhe Era? Në qoftë se të dyja së bashku morën 130 pikë, sa pikë ka marrë secila? Cili është barazimi shkronjor që keni shkruar?

B Vrojtoni dhe mësoni

Mbani mend:

Punë në grup

Për ç’vlera të ndryshores x, vlera e shprehjes 4x – 5 është e barabartë me vlerën përgjegjëse të shprehjes x + 4?

Barazimi me një ndryshore quhet ekuacion, nëse kërkohen vlerat e ndryshores që e kthejnë atë në barazim numerik të vërtetë. Çdo vlerë e tillë e ndryshores quhet rrënjë (zgjidhje) e ekuacionit.

Në problemat praktike, ndryshorja mund të përshkojë ndonjë nënbashkësi E të Q së. (P.sh., nëse me x shënohet një shifër, është e qartë që bashkësia e vlerave të x është E = {0, 1, 2, ... 8, 9}).

Në këtë rast themi që mjedisi i ekuacionit është bashkësia E. Të zgjidhësh ekuacionin me një ndryshore në bashkësinë E, do të thotë të gjesh bashkësinë e rrënjëve të tij që i përkasin E-së.

Shembulli 1

Ekuacioni 3x = 5 në bashkësinë R ka një rrënjë të vetme, numrin 3 5 . Por ky nuk është numër natyror. Pra, ky ekuacion nuk ka rrënjë në bashkësinë N. Nëse nuk e përmendim bashkësinë ku zgjidhet ekuacioni, do të nënkuptojmë që kjo është bashkësia më e gjerë që njohim (bashkësia R).

Ekuacionet x2 = 4 dhe (x – 2)(x + 2) = 0 kanë të njëjtën bashkësi rrënjësh në R dhe pikërisht bashkësinë {–2, 2}. Këto ekuacione janë të njëvlershme në R.

Mbani mend:

Dy ekuacione me të njëjtën ndryshore quhen të njëvlershme në bashkësinë E, në qoftë se ato kanë të njëjtën bashkësi rrënjësh në E, d.m.th. çdo rrënjë e ekuacionit të parë (nga E) është edhe rrënjë e ekuacionit të dytë dhe anasjellas.

Shembulli 2

a) Ekuacionet x + x = 6 dhe 2x = 6 janë të njëvlershme në R (pse?).

b) Ekuacioni x – 2 = 0 nuk është i njëvlershëm në R me ekuacionin (x – 2)(x + 2) = 0, sepse ekuacioni i parë ka një rrënjë të vetme, numrin 2, kurse ekuacioni i dytë ka dy rrënjë, numrat 2 dhe –2.

MATEMATIKA 9 72

Për të zgjidhur një ekuacion me një ndryshore (në bashkësinë R), ne e shndërrojmë atë derisa të arrijmë në një ekuacion (të njëvlershëm me ekuacionin fillestar), të cilit dimë t’ia gjejmë rrënjët. Për të bërë shndërrime të tilla, përdorim metodën e baraspeshës. Kjo metodë nënkupton se veprimi që kryhet në njërën anë të ekuacionit do të kryhet dhe në anën tjetër të tij. Për këtë shfrytëzojmë vetitë:

. Nëse në njërën anë të ekuacionit me një ndryshore kryejmë shndërrime identike në R, marrim një ekuacion të njëvlershëm me të në bashkësinë R.

2. Nëse të dyja anëve të ekuacionit u shtojmë ose u zbresim të njëjtën kufizë, marrim një ekuacion të njëvlershëm me të në R. Ndryshe, këtë veti mund ta shprehim: nëse kalojmë një kufizë nga njëra anë e ekuacionit në tjetrën, duke i ndryshuar shenjën në të kundërt, marrim një ekuacion të njëvlershëm me të në R.

3. Nëse të dyja anët e një ekuacioni shumëzohen ose pjesëtohen me të njëjtin numër të ndryshëm nga zero, merret një ekuacion i njëvlershëm me të parin në R.

Shembulli 3

Të zgjidhet ekuacioni 2(x – 3) = 2x + 3 + 5x (në R).

Zgjidhje

Shkruajmë:

2(x – 3) = 2x + 3 + 5x Heqim kllapat dhe reduktojmë kufizat e ngjashme në secilën anë;

2x – 6 = 7x + 3 iu shtojmë të dy anëve (–7x) dhe (+6);

2x – 7x – 6 + 6 = 7x – 7x + 3 + 6 reduktojmë kufizat e ngjashme; –5x = 9 pjesëtojmë të dy anët e ekuacionit me (–5); x = –9 5 ekuacioni i fundit ka vetëm një rrënjë në R, numrin 9 5

Cila është rrënja e ekuacionit fillestar? Pse?

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. A janë të njëvlershëm në R ekuacionet: a) 3(x + 2) = 7 dhe 3x + 6 = 7; b) x2 – 2x + 2x = 3x dhe x 2 = 3x

2. A janë të njëvlershëm në R ekuacionet: a) x2 = 2x dhe x2 – 2x = 0; b) (–x2 = –2x) dhe (x2 = 2x).

. Gjeni vlerën e ndryshores x

R, për të cilën vlerat e shprehjeve 2(x – 1) dhe 3x – 5 4 janë të barabarta.

USHTRIME

1 A është numri 3 rrënjë e ekuacionit:

5(2x – 1) = 8x + 1;

Formoni një ekuacion që të ketë rrënjë:

numrin 7;

Zgjidhni ekuacionet në bashkësitë e treguara:

2x – 5 = 3 në E = {–1, 2, 3, 4};

4 A janë të njëvlershëm në Q ekuacionet:

7(x – 3) = 49 dhe x – 3 = 7;

3x = x2 dhe 3

= 0;

(x – 4)(x + 4) = 7.

numrat 3 dhe –3.

në E = {–7, –5, 2, 4}.

7 = 0 dhe 2x = 7;

= 0 dhe x2

x = 0.

4. EKUACIONET DHE INEKUACIONET LINEARE ME NJË NDRYSHORE 73

∊

b) x +

–2

b) 2x –

x – x2

d) x – x2

–

4.2 Ekuacioni i fuqisë së parë me një ndryshore

A Kërkoni dhe zbuloni

Genci pyet Mirin: Cilët numra janë zgjidhje për ekuacionin 0 · x = 0? Çdo numër, – përgjigjet Miri, – sepse çdo numër, po të shumëzohet me zero, jep numrin zero.

A ka të drejtë Miri?

Po ekuacionet 2x = 0 dhe 0 · x = 2?

B Vrojtoni dhe mësoni

Për ekuacionin ax = b (ku a, b janë numra racionalë), mund të ndodhin tri raste:

1. a ≠ 0. Në këtë rast, pjesëtojmë të dyja anët me a dhe marrim x = b a Ekuacioni ka vetëm një rrënjë, numrin b a

2. a = 0 dhe b ≠ 0. Ekuacioni nuk ka asnjë rrënjë, sepse për çdo vlerë të x, ana e majtë është zero, kurse e djathta

ndryshme

Mbani mend:

numër, pra bashkësia e rrënjëve të tij është R.

ekuacion, që me shndërrime të njëvlershme sillet në trajtën ax = b, ku a, b janë numra dhe a ≠ 0, quhet ekuacion i fuqisë së parë me një ndryshore.

Për të zgjidhur një ekuacion të fuqisë së parë me një ndryshore zbatojmë këtë program:

1. shumëzojmë të dyja anët me sh.m.v.p. të emëruesve, nëse ekuacioni ka kufiza me emërues;

2. kryejmë shndërrimet identike në secilën anë;

3. kalojmë në anën e majtë kufizat që përmbajnë ndryshoren dhe në anën e djathtë kufizat e tjera;

4. kryejmë shndërrime identike në çdo anë; përftojmë ekuacionin ax = b, ku a ≠ 0.

5. pjesëtojmë të dyja anët e ekuacionit me a dhe gjejmë rrënjën.

Rrënjë

tjera;

përmbajnë ndryshoren dhe në

çdo anë; përftojmë ekuacionin ax = b;

ekuacionit me a dhe gjejmë rrënjën.

ekuacionit fillestar është numri –

MATEMATIKA 9 74

nga zero.

a = 0 dhe b = 0. Ekuacioni ka si rrënjë çdo

Shembulli 1 Të zgjidhet ekuacioni 2 + x 3 –x 1 6 = x + 2. Zgjidhje Gjatë zgjidhjes së ekuacionit, në çdo hap, përfitojmë ekuacione të njëvlershme me ekuacionin e dhënë. 2 + x 3 –x 1 6 = x + 2 Shumëzojmë të dyja anët me sh.m.v.p. të emëruesve; 6 – 2 + x 3 –x 1 6 = 6(x + 2) kryejmë shndërrimet identike në secilën anë; 6 · 2 + x 3 – 6 · x 1 6 = 6x + 12 2(2 + x) – (x – 1) = 6x + 12 kryejmë shndërrimet identike në secilën anë; 4 + 2x – x + 1 = 6x + 12 kalojmë në anën e majtë kufizat që

2x – x – 6x = 12 – 4 – 1 anën e djathtë kufizat e

–5x = 7 kryejmë shndërrime identike në

5x = –7 pjesëtojmë të dyja anët e

x = –7 5 Përgjigje:

7 5

Çdo

për

një ndryshore në një bashkësi E (ku E R), ne e zgjidhim atë në R, pastaj gjejmë ato rrënjë të tij që i përkasin E-së.

Një tip i veçantë ekuacioni

Nëse prodhimi a · b = 0, atëherë të paktën njëri nga këta numra është zero.

Shembulli 2

Të zgjidhet ekuacioni (x – 2)(x – 3) = 0.

Zgjidhje

Prodhimi (x – 2)(x – 3) bëhet zero vetëm kur ndonjëra nga shprehjet (x – 2), (x – 3) bëhet zero.

Pra, themi që x – 2 = 0 ose x – 3 = 0 d.m.th. x = 2 ose x = 3.

Ekuacioni ka dy rrënjë, që janë numrat 2 e 3.

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. Zgjidhni ekuacionin 2 + x 3 –x 1 6 = x + 2 në bashkësinë N.

2. Zgjidhni ekuacionin (2x – 5)(x – 3) = 0.

3. Zgjidhni ekuacionet në bashkësinë Z.

a) (x + 4) – (x – 1) = 6x; b) (13y – 15) – (9 + 6y) = –3y; c) 6x – (7x – 12) = 101.

USHTRIME

gjatësitë

të trekëndëshit.

brinjëve të tij.

4. EKUACIONET DHE INEKUACIONET LINEARE ME NJË NDRYSHORE 75

1 Zgjidhni ekuacionet: a) 5x = –60; b) –3x = –9; c) 0,5x = 1,2; d) 1 3 x = 12. 2 Zgjidhni ekuacionet: a) x = –x; b) x – 4x = 0; c) z –1 z = 0; d) 1,3x = 54 + x. 3 Për ç’vlera të ndryshores x: a) vlera e shprehjes 8x – 27 është 5; b) vlerat përgjegjëse të shprehjeve 2x – 13 dhe x + 3 janë të barabarta. 4 Zgjidhni ekuacionet: a) 3x 2 2 = x + 1; b) 3x 4 = x 1 3 ; c) 1 2 = 3(x 1) 5 ; d) x 2 –x 6 = 1 2 . 5 Zgjidhni ekuacionet: a) 2x 2 4 + x 12 = 3 x 6 ; b) 1 – x 1 3 –x 1 6 = 0; c) x 1 2 + x + 1 4 = x 3 . 6 Zgjidhni ekuacionet në Q; në N. a) (x + 2)2 – (x – 2)2 = 3(x + 1); b) (x – 3)(x + 3) = (x – 2)(x – 6); c) (x – 5)(x + 6) = 0; d) (3x – 1)(x + 3) = 0. 7 Një trekëndësh ka perimetrin 6x cm. Gjatësitë e brinjëve të trekëndëshit janë x, x + 2, x + 4 cm. a) Shkruani një ekuacion, që lidh perimetrin e trekëndëshit me

b) Zgjidhni ekuacionin dhe gjeni gjatësitë e brinjëve

Në përgjithësi,

të zgjidhur ekuacionin me

4.3 Problema që zgjidhen me ndihmën e ekuacionit

A Kërkoni dhe zbuloni

Një numër është shumëzuar me 3 dhe është mbledhur me 7. Rezultati është dyfishuar dhe kemi marrë 80. Shkruani një ekuacion për të treguar këtë informacion. Zgjidhni ekuacionin dhe gjeni numrin e dhënë.

B Vrojtoni dhe mësoni

Në përgjithësi, për të zgjidhur problemat me një ndryshore ju mund të ndiqni këtë ecuri (program pune). Pasi ta keni studiuar përmbajtjen e problemës:

1. shënoni një madhësi të panjohur me x (duke përcaktuar po mundët edhe bashkësinë e vlerave të lejuara për x);

2. shprehni madhësitë e tjera nëpërmjet x dhe, sipas të dhënave të problemës, formoni ekuacionin;

3. zgjidhni ekuacionin;

4. jepni zgjidhjen e problemës.

Shembulli 1

Një enë ka 50 l ujë që përmbajnë 3% kripë. Në një enë tjetër, uji përmban 6% kripë. Sa litra ujë duhet të hedhim nga ena e dytë në të parën, në mënyrë që përmbajtja e kripës në enën e parë të jetë 4%.

Zgjidhje

1. Përcaktojmë të panjohurën. Shënojmë me x (litra) sasinë e ujit që duhet hedhur nga ena e dytë në të parën. Është e qartë që x ≥ 0.

2. Formojmë ekuacionin

Sasia e kripës në enën e parë është: 3% e 50 = 50 · 3 100 (litra). Sasia e kripës që shtohet nga ena e dytë është: 6% e x = 6 100 · x. Pra, në enën e parë, sasia e kripës arrin në:

3 100 · 50 + 6 100 · x (1)

Sasia e ujit në enën e parë, pas shtimit, bëhet 50 + x. Ky duhet të përmbajë 4% kripë, pra sasia e kripës në të është: 4 100 (50 + x) (2)

Shprehjet (1) dhe (2) paraqitin të njëjtën gjë; sasinë e kripës në enën e parë, pasi kemi shtuar në të x litra nga ena e dytë. Pra, këto shprehje janë të barabarta, d.m.th.:

3 100 · 50 + 6 100 · x = 4 100 (50 + x) (3) Ky është ekuacioni i problemës.

3. Zgjidhim ekuacionin. Për këtë shumëzojmë të dyja anët e tij me 100 dhe marrim:

3 · 50 + 6x = 4(50 + x)

150 + 6x = 200 + 4x

2x = 50 që nga x = 25 (litra)

4. Japim zgjidhjen e problemës.

Vlera e x është e pranueshme për problemën, sepse e plotëson kushtin e vënë x ≥ 0. Pra, nga ena e dytë duhet të marrim 25 litra dhe t’i hedhim në të parën.

MATEMATIKA 9 76

Shembulli 2

Në shportë ka dy herë më pak mollë se në arkë. Pasi u hodhën 10 mollë nga shporta në arkë, sasia e tyre në shportë u bë 5 herë më e vogël sesa në arkë. Sa kokrra mollë kishte në shportë dhe sa në arkë?

Udhëzim. Ju mund të veproni kështu:

1. Shënoni me x numrin e mollëve në shportë (është e qartë që x ∊ N). Në arkë, kemi 2x mollë.

2. Pasi u hodhën 10 mollë nga shporta në arkë: numri i mollëve në shportë bëhet n = . . . numri i mollëve në arkë bëhet m = . . . Dihet që m = 5n. Formoni ekuacionin.

3. Zgjidhni ekuacionin.

4. A pranohet vlera e gjetur e x për problemën? Jepni zgjidhjen e problemës.

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. Nëse një numër e shumëzojmë me 2 dhe prodhimit i shtojmë 20, merret numri 200. Cili është numri i parë?

2. Perimetri i një drejtkëndëshi është 19,4 m. Sa është gjerësia e tij, nëse gjatësia është 5,8 m?

3. Tre nxënës mbollën 78 pemë. I dyti mbolli 2 herë më shumë se i pari dhe i treti 12 pemë më pak se i pari. Sa pemë mbolli secili nxënës? A ka zgjidhje problema?

USHTRIME

1 Turistët përshkuan ditën e parë 5 18 e rrugës, ditën e dytë 4 9 e rrugës dhe ditën e tretë 20 km e fundit të rrugës. Sa km rrugë bënë ata për tri ditë?

2 Dy enë kanë njëra 15 litra dhe tjetra 40 litra vajguri. Në to, do të zbrazet vajguri i një ene të tretë që ka 50 litra. Sa litra duhen hedhur në enën e parë që ato të jenë të mbushura njëlloj?

3 Në një enë ka 24 litra ujë me 3% papastërti. Sa litra ujë të pastër duhet të hedhim që të marrim ujë me papastërti 2%?

4 A mund t’i vendosim 158 libra në tri rafte, në mënyrë që në raftin e parë të ketë 8 libra më pak se në të dytin dhe 5 libra më shumë se në të tretin?

5 Pyesni babanë për moshën e tij. Pas sa vitesh mosha juaj do të jetë sa gjysma e moshës që do të ketë babai juaj?

6 Problemë e vjetër. Një udhëtar pa një tufë patash të egra që fluturonin dhe u tha: “Udhë e mbarë, o ju 100 pata”. Ato iu përgjigjën: “Ne s’jemi 100. Po të shtosh edhe njëherë numrin tonë, edhe gjysmën, edhe çerekun, edhe 1 patë, atëherë bëhemi 100”. Sa pata ishin?

4. EKUACIONET DHE INEKUACIONET LINEARE ME NJË NDRYSHORE 77

4.4 Veçimi i një shkronje në një formulë

A Kërkoni dhe zbuloni

Një sipërfaqe toke në formë drejtkëndore ka gjatësi a dhe gjerësi b. Shkruani një formulë për të njësuar perimetrin e sipërfaqes së dhënë. Nëse perimetri është 50 m dhe gjerësia 5 m, shkruani një formulë me anë të së cilës të gjeni gjatësinë e fushës.

B Vrojtoni dhe mësoni

Në shkencë përdoren shumë formulat.

Mbani mend:

Formula është një barazim, në të dyja anët e të cilit qëndrojnë shprehje me shkronja. Në shumë raste kërkohet që në formulë të veçohet një shkronjë, d.m.th. të shprehet ajo nëpërmjet shkronjave të tjera.

Për të bërë këtë, formulën e konsiderojmë si një ekuacion me një ndryshore, ku si ndryshore konsiderohet pikërisht kjo shkronjë, kurse shkronjat e tjera konsiderohen si numra të njohur. Zgjidhet ky ekuacion duke përdorur shndërrimet që kemi parë për të marrë ekuacione të njëvlershme.

Shembulli 1

Perimetri i një trekëndëshi dybrinjënjëshëm është 20 cm. Të gjendet: a) baza e tij b, kur njihet brinja anësore që është a; b) brinja anësore, kur njohim bazën b.

Zgjidhje

Ne mund të veprojmë kështu.

Perimetri i trekëndëshit dybrinjënjëshëm me bazë b dhe brinjë anësore a është: 2a + b. Pra, kemi 2a + b = 20 (1) Nëse njohim brinjën a, atëherë 2a + b = 20 që nga b = 20 – 2a Nëse njohim bazën b, atëherë 2a + b = 20 pra, 2a = 20 – b, d.m.th. a = 20 – b 2 . Në të dyja rastet, barazimi 2a + b = 20 është parë si një ekuacion që është zgjidhur, në fillim duke e parë b si ndryshore (dhe a si numër të njohur) dhe pastaj a si ndryshore (dhe b si numër të njohur).

Shembulli 2

Le të veçojmë në formulën a2 – b = 0 ndryshoren a (b është numër i njohur pozitiv).

Marrim a2 = b, që nga a = + b ose a = – b . Nëse do të na thuhet që ndryshorja a nuk merr vlera negative, do të nxirrnim a = + b .

MATEMATIKA 9 78

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. Zgjidhni ekuacionin 5x – a = 2(x – 3), duke marrë si ndryshore a) x; b) a.

2. Në barazimet shkronjore më poshtë veçoni shkronjën e treguar. a) S = 2π Rh (veço h); b) V = V0 + at (veço a); c) S = 1 2 bl (veço l). d) R = k l S (veço S); e) I = U R (veço R).

USHTRIME

1 Në formulën 2p = 2a + b, gjeni a nëse p = 5 dhe b = 1.

2 Zgjidhni ekuacionet në lidhje me x: a) x – a 2 = 1 3 ; b) 3(x – y) + 1 = x + y + 10.

3 Zgjidhni ekuacionin në lidhje me njërën ndryshore, pastaj në lidhje me tjetrën.

a) a – 2b = a – 1; b) 2x 1 2 = 3y; c) p –2r 3 = 4(p – 1).

4 Në formulën e mëposhtme, veçoni shkronjën e treguar:

a) d = m V (veço V); b) s = vt (veço t); c) V = 1 3 πR2h (veço h); d) l = πRn 180 (veço R); e) F = k m1m2 d2 (veço m1).

5 Zgjidhni ekuacionet kundrejt ndryshores së treguar:

a) y = 2x + 4 (kundrejt x); b) S = a + b 2 l (kundrejt l); c) p = a + b + c 2 (kundrejt a); d) h = V0t + at2 2 (kundrejt a).

6 Në formulat më poshtë, veçoni shkronjën e treguar:

a) S = 6b2 (veço b > 0); b) E = mv2 2 (veço v > 0); c) h = gt2 2 (veço t > 0); d) S = πR2n 180 (veço R > 0); e) S = rd2 4 (veço d > 0); f) y = ax2 (veço x > 0).

7 Një pllakë guri për shtrim, në formë drejtkëndëshi e ka gjerësinë 1 m dhe gjatësinë x metra. a) Shkruani formulën për të njësuar perimetrin e pllakës.

b) Bashkojmë 5 pllaka të tilla në vijë të drejtë për të formuar një drejtkëndësh me gjerësi 1 m. Shkruani formulën për të njehsuar perimetrin e drejtkëndëshit.

c) Një brez me gjerësi 1 m i përbërë nga 8 pllaka rrethon një pjesë të lulishtes, në formë drejtkëndore. Shkruani një formulë për: - perimetrin e jashtëm të lulishtes; perimetrin e brendshëm të lulishtes; perimetrin e gjithë lulishtes.

d) Gjeni gjatësinë e një pllake, nëse perimetri i jashtëm i lulishtes është 8 m dhe rrethohet nga një brez me gjerësi 1 m prej tetë pllakash.

8 Shkruani disa formula që i përdorni në lëndën e fizikës, kimisë, biologjisë, ose dhe në lëndët e tjera që mësoni.

4. EKUACIONET DHE INEKUACIONET LINEARE ME NJË NDRYSHORE 79

4.5 Ekuacioni i fuqisë së dytë me një ndryshore. Raste të veçanta

A Kërkoni dhe zbuloni

Punë në grup

Jepen ekuacionet: x2 = 0; x2 = 9; x(x – 4) = 0; x2 – 3x = 0. Gjeni: a) koeficientet para x2 , x, si dhe kufizat e lira; b) gjeni rrënjët e secilit prej tyre. Diskutoni.

B Vrojtoni dhe mësoni

Mbani mend:

Çdo ekuacion që pas shndërrimesh të njëvlershme sillet në trajtën ax2 + bx + c = 0, ku x është ndryshorja dhe a, b, c janë numra (a ≠ 0), quhet ekuacion i fuqisë së dytë me një ndryshore.

Shembulli 1

Secili nga ekuacionet 2x2 – 5x – 3 = 0; –x2 + 7x = 0; 1 4 x2 – 9 = 0 është ekuacion i fuqisë së dytë me një ndryshore.

Tek ekuacioni i parë kemi a = 2, b = –5, c = –3. Tek ekuacioni i dytë kemi a = –1, b = 7, c = 0.

Tek ekuacioni i tretë kemi a = 1 4 , b = 0, c = –9.

Punë në grup Shkruani ekuacione të fuqisë së dytë me një ndryshore. Dalloni koeficientet a, b, dhe c në secilin prej tyre.

Raste të veçanta të ekuacionit ax2 + bx + c = 0 Në ekuacionin e fuqisë së dytë me një ndryshore dallohen rastet:

I. Kur b = 0. Ekuacioni është i trajtës ax2 + c = 0.

Shembulli 2

Të zgjidhen ekuacionet e trajtës ax2 + c = 0 që vijojnë. a) 2x2 = 0; b) 2x2 – 18 = 0; c) 2x2 + 18 = 0.

Zgjidhje

a) 2x2 = 0 x2 = 0 x = 0

Ekuacioni ka një rrënjë, numrin 0. b) 2x2 – 18 = 0

2x2 = 18 x2 = 9 që nga x = 9 ose x = – 9 . Pra, x = 3 ose x = –3.

Ekuacioni ka dy rrënjë: numrat 3 e –3. c) 2x2 + 18 = 0

2x2 = –18 x2 = –9

Ekuacioni nuk ka rrënjë (për çdo x ana e majtë është ≥ 0, kurse ana e djathtë negative).

MATEMATIKA 9 80

II. Kur c = 0, ekuacioni ka pamjen ax2 + bx = 0.

Shembulli

Të zgjidhen ekuacionet: a) 2x2 – 5x = 0; b) 3x2 = 5x.

Zgjidhje a) 2x2 + 5x = 0

x(2x + 5) = 0 që nga x = 0 ose 2x + 5 = 0

Pra, x = 0 ose x = 5 2

Ekuacioni ka dy rrënjë: numrat 0 dhe 5 2b) 3x2 = 5x 3x2 – 5x = 0

x(3x – 5) = 0 që nga x = 0 ose 3x – 5 = 0

Pra, x = 0 ose x = 5 3 .

Ekuacioni ka dy rrënjë: numrat 0 dhe 5 3

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. Zgjidhni ekuacionet:

a) 3x2 + 12 = 0; b) 3x2 – 12 = 0; c) x2 – 4x = 0; d) x2 = 3x.

2. Sillni ekuacionin në trajtën ax2 + bx + c = 0, duke bërë shndërrime të njëvlershme. a) (x – 1)(x + 1) = 2(x + 3); b) (x + 2)2 = 2(x + 2).

USHTRIME

x2 – x – 7 dhe 2x – 7 janë të barabarta?

4. EKUACIONET DHE INEKUACIONET LINEARE ME NJË NDRYSHORE 81

A është ekuacioni i mëposhtëm, i fuqisë së dytë me një ndryshore? Nëse po, tregoni koeficientet a, b, c. a) 1 – 12x = 0; b) x – 5 + x2 = 0; c) 0 · x2 – 5x + 3 = 0; d) x3 – 3x + 5 = 0; e) 1 – 4x + 4x2 = 0; f) 4x2 – 5x = 0. 2 Sillni ekuacionet në trajtën ax2 + bx + c = 0, duke bërë shndërrime të njëvlershme. a) (2x – 1)(2x + 1) = x(2x + 3); b) (3x + 2)2 = (x + 2)(x – 3). c) 4x2 – 2x(3x + 1) = 5. 3 Zgjidhni ekuacionet në R: a) x2 + 16 = 0; b) 4x2 – 9 = 0; c) 3x2 – 4x = 0; d) x2 = 0,6x 4 Zgjidhni ekuacionet në N: a) x2 – 81 = 0; b) 9x2 – 25 = 0; c) 7x2 – 5x = 0; d) x2 – 0,8x = 0. 5 Gjeni numrin, dyfishi i katrorit të të cilit është 162. 6 Për ç’vlera të x: a) trinomi x2 – 10x + 15 merr vlerën 15; b) vlerat e polinomeve

4.6 Ekuacione që sillen në trajtën (x – x1)(x – x2) = 0

A Kërkoni dhe zbuloni

Jepen ekuacionet:

x – 4 + x + 2 = 0; x(x – 3) + 4(x – 3) = 0; x2 – 7x + x – 7 = 0

Punë në grup

a) Cili nga ekuacionet është ekuacion i fuqisë së dytë me një ndryshore?

b) Faktorizoni dhe sillni ekuacionet e fuqisë së dytë në trajtë prodhimi.

c) Tregoni sa elemente ka bashkësia e zgjidhjeve të secilit prej tyre.

B Vrojtoni dhe mësoni

Mbani mend:

Ekuacioni i fuqisë së dytë me një ndryshore i trajtës (x – x1)(x – x2) = 0 ka dy rrënjë që janë numrat x1; x2 Me të vërtetë nga (x – x1)(x – x2) = 0 nxjerrim x – x1 = 0 ose x – x2 = 0, d.m.th. x = x1 ose x = x2

Në mjaft raste është mirë që ekuacionin e fuqisë së dytë të trajtës x2 + bx + c = 0 (ku a = 1) ta sjellim në trajtën (x – x1)(x – x2) = 0. Kjo bëhet duke e shkruar kufizën bx në trajtë shume të përshtatshme dhe duke kryer pastaj faktorizime me grupim.

Shembulli 1

Të zgjidhet ekuacioni x2 – 5x + 6 = 0.

Zgjidhje

Shkruajmë: x2 – 5x + 6 = 0 x2 – 2x – 3x + 6 = 0 (x2 – 2x) + (–3x + 6) = 0 x(x – 2) – 3(x – 2) = 0 (x – 2)(x – 3) = 0 Ekuacioni merr trajtën (x – 2)(x – 3) = 0, d.m.th. x – 2 = 0 ose x – 3 = 0. Rrënjët e tij janë numrat 2 dhe 3. Vëmë re se kufiza e lirë 6 në ekuacionin që po shohim është pikërisht sa prodhimi 2 me 3 i rrënjëve. Ky është një fakt i rëndësishëm, që përdoret shpesh në ekuacionet e kësaj trajte, për të përcaktuar zbërthimin e duhur të kufizës bx.

Shembulli 2

Të zgjidhet ekuacioni x2 – 3x – 10 = 0.

Zgjidhje

Vëmë re që –10 = 2(–5). Prandaj është e dobishme të shkruajmë: –3x = 2x – 5x. Ana e majtë e ekuacionit shkruhet: x2 – 3x – 10 = 0 x2 + 2x – 5x – 10 = 0 (x2 + 2x) – (5x + 10) = 0 x(x + 2) –5(x + 2) = 0 (x + 2)(x – 5) = 0

Ekuacioni shkruhet (x + 2)(x – 5) = 0, d.m.th. x + 2 = 0 ose x – 5 = 0. Ai ka rrënjë numrat –2 dhe 5.

MATEMATIKA 9 82

Shembulli 3

Të zgjidhet ekuacioni x2 – 4x – 12 = 0.

Zgjidhje

Vëmë re që –12 = 2(–6). Prandaj është e dobishme të shkruajmë: –4x = 2x – 6x

Ana e majtë e ekuacionit shkruhet: x2 – 4x – 12 = 0 x2 + 2x – 6x – 12 = 0 (x2 + 2x) – (6x + 12) = 0 x(x + 2) – 6(x + 2) = 0 (x + 2)(x – 6) = 0 Ekuacioni shkruhet (x + 2)(x – 6) = 0, d.m.th. x + 2 = 0 ose x – 6 = 0. Ai ka rrënjë numrat –2 dhe 6.

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. Zgjidhni ekuacionet: a) x2 – 6x + 8 = 0; b) x2 – 4x + 3 = 0; c) x2 – 8x – 9 = 0.

2. Zgjidhni ekuacionet: a) 2x2 = 3x(x + 3) në Z; b) (x + 1)(x – 2) = 4 në N.

USHTRIME

1 Zgjidhni ekuacionet: a) x2 – 2x + 1 = 0; b) y2 – 6y + 9 = 0; c) x2 – 4x – 4 = 0.

2 Zgjidhni ekuacionet: a) x2 + 3x + 2 = 0; b) x2 – 12x + 32 = 0; c) x2 + x – 2 = 0.

3 Zgjidhni ekuacionet:

x2 + 7x + 10 = 0; b) x2 + x – 6 = 0; c) x2 – x – 2 = 0.

4 Zgjidhni ekuacionet: a) 6x + 9 = x2; b) x – 5 = x2 – 25 c) y2 – 6y = 5.

5 Për ç’vlera të x: a) trinomi x2 – 11x + 31 merr vlerën 1; b) vlerat e polinomeve x2 – 5x – 3 dhe 2x – 5 janë të barabarta.

6 Për ç’vlera të m, ekuacioni x2 – m = 0: a) nuk ka rrënjë;

ka dy rrënjë të ndryshme të kundërta;

ka një rrënjë.

7 Një kompani paketimi përdor formulën L = a2 + a për të njehsuar sasinë e shiritit ngjitës L në cm, që duhet për të bërë një pako në formë kubi me gjatësi të brinjës a cm. a) Sa është gjatësia e brinjës së kubit për të cilin duhen 56 cm, nëse ajo është numër natyror? b) Sa cm ngjitës duhen për të bërë një pako në formë kubi me brinjë 12 cm?

8 Shkruani një ekuacion të fuqisë së dytë që ka si rrënjë: a) x1 = 2 dhe x2 = –3; b) x1= –2 dhe x2 = + 2; c) nuk ka rrënjë.

4. EKUACIONET DHE INEKUACIONET LINEARE ME NJË NDRYSHORE 83

4.7 Inekuacione me një ndryshore. Inekuacione të njëvlershme

A Kërkoni dhe zbuloni

Kontrolloni nëse janë zgjidhje për inekuacionin y + 1 < y + 7 vlerat e ndryshores y: 5; 3; 0. Po për inekuacionet y – 1 < y + 5 dhe y + 1 < y + 5, a janë zgjidhje vlerat e ndryshores y; 5; 3; 0? Bashkëbisedoni.

B Vrojtoni dhe mësoni

Mbani mend:

Punë në grup

Për ç’vlera të ndryshores x nga R, vlera e shprehjes 3x – 4 është më e madhe se vlera e shprehjes x + 5?

Mosbarazimi me një ndryshore quhet inekuacion në qoftë se kërkohen vlerat e ndryshores që e vërtetojnë atë. Çdo vlerë e tillë e ndryshores quhet zgjidhje e inekuacionit. Zgjidhje të inekuacionit me një ndryshore quhet çdo vlerë e ndryshores, që e kthen inekuacionin në mosbarazim numerik të vërtetë me të njëjtin kah.

Në problemet praktike ndryshorja mund të përshkojë ndonjë nënbashkësi E të R–së, d.m.th. mjedisi mund të jetë një bashkësi E, ku E R.

Mbani mend:

Të zgjidhësh inekuacionin me një ndryshore në bashkësinë E (E R) do të thotë të gjesh bashkësinë e zgjidhjeve të tij, që i përkasin E-së.

Dy inekuacione me të njëjtën ndryshore quhen të njëvlershëm në bashkësinë E, në qoftë se ato kanë të njëjtën bashkësi zgjidhjesh në E

Për të zgjidhur një inekuacion me një ndryshore, ne e shndërrojmë atë në një inekuacion të njëvlershëm me të, por më të thjeshtë derisa të arrijmë në një inekuacion për të cilin bashkësia e zgjidhjeve dallohet qartë (shihet me sy). Për këtë na shërbejnë pohimet e mëposhtme.

1. Në qoftë se në njërën anë të inekuacionit f(x) > g(x) kryejmë shndërrime identike në bashkësinë R, atëherë marrim një inekuacion të njëvlershëm me të në R.

2. Në qoftë se kalojmë kufizën nga njëra anë e inekuacionit në anën tjetër, duke ndërruar shenjën e saj, marrim inekuacion të njëvlershëm me të parin.

3. Në qoftë se të dyja anët e një inekuacioni i shumëzojmë me të njëjtin numër pozitiv, atëherë marrim një inekuacion të njëvlershëm me të parin në R.

4. Në qoftë se të dyja anët e një inekuacioni i shumëzojmë me të njëjtin numër negativ dhe ndryshojmë kahun, atëherë marrim një inekuacion të njëvlershëm me të parin në R. Inekuacionet më të thjeshta me një ndryshore janë inekuacionet e trajtave të mëposhtme (c është numër real i dhënë).

I. x > c. Bashkësia e zgjidhjeve në R është (c, + ∞). Paraqitja grafike e saj jepet në figurën 4.1.

II. x < c. Bashkësia e zgjidhjeve në R është (–∞, c). Paraqitja grafike e saj jepet në figurën 4.2.

MATEMATIKA 9 84

Bashkësia e zgjidhjeve në

është (–

Paraqitja grafike e saj jepet në figurën 4.3.

c]. Paraqitja grafike e saj jepet në figurën 4.4.

C Ushtrohuni duke zbatuar

një ndryshore, nënkuptohet

USHTRIME

1 Kontrolloni nëse janë numrat –5, 0, 5 zgjidhje për inekuacionet e mëposhtme:

– 3

2 Zgjidhni inekuacionin e mëposhtëm në bashkësinë e treguar:

x > 3 në bashkësinë

3 A janë të njëvlershme në

4 Gjeni 2 vlera të ndryshores

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}; b) x ≤ 4 në bashkësinë N.

inekuacionet:

nga

të

vlera e shprehjes x – 1

është më e madhe se vlera përgjegjëse

shprehjes

5 Duke u bazuar në

4. EKUACIONET DHE INEKUACIONET LINEARE ME NJË NDRYSHORE 85

a) x

b) 7x <

E =

a) 5x + 2x > 1 – x me 7x > 1 – x; b) (x2 +

x) – 2x > 1 me x2 > 1; c) 3(x – 4) > x me 3x – 12 > x?

R për

cilat

x 3 .

pohimet për njëvlershmërinë e inekuacioneve, vërtetoni që në R kemi: a) (x > 2)⇔(x + 4 > 6) b) (–x > –1)⇔(x < 1) c) (x – 3 < 7)⇔(x < 10) d) (3x < 12)⇔(x < 4) e) ( x 5 > 3)⇔(x > 15) f) (–2x < 6)⇔(x > –3) 6 Të dyja anët e inekuacionit të mëposhtëm të shumëzohen ose të pjesëtohen me numrat e treguar dhe të rregullohet kahu, në mënyrë që të përftohet inekuacion i njëvlershëm me të parin: a) x 2 – 1< x 4 + 2 (shumëzim me 4) b) –2(x – 5) < 6(x + 1) (pjesëtim me 2) c) –5(x + 1) < x – 2 (shumëzim me –1) 7 Tregoni pse nuk janë të njëvlershme në R inekuacionet: a) –5x > –10 me 5x > 10 b) x < 1 me x + 1 x < 1 x + 1 III. x ≥ c. Bashkësia e zgjidhjeve në R është [c, + ∞).

IV. x ≤ c.

∞,

c x c x c x c x Fig. 4.1 Fig. 4.2 Fig. 4.3 Fig. 4.4

1. A janë të njëvlershëm në R inekuacionet: (x – 1)(x + 1) > x me x2 – 1 > x? 2. A janë të njëvlershëm në R inekuacionet: a) x2 + 2x > 5 + 2x me x2 > 5 b) 2x + 3 > 9 me 2x > 9 – 3? 3. A janë të njëvlershme në R inekuacionet: a) x 2 > 1 me x > 2 b) x – 1 > –7 me 1 – x < 7? Më poshtë, nëse nuk përmendet bashkësia, ku kërkohet të zgjidhet inekuacioni me

që ajo është bashkësia R.

4.8 Inekuacioni i fuqisë së parë me një ndryshore

A Kërkoni dhe zbuloni

Zgjidhni inekuacionin x – 1 3 > x – 2 2 . Tregoni bashkësinë e zgjidhjeve në boshtin numerik. Argumentoni veprimet e kryera.

B Vrojtoni dhe mësoni

Mbani mend:

Për disa lloje të thjeshta inekuacionesh të fuqisë së parë me një ndryshore mund të shkruajmë menjëherë bashkësinë e zgjidhjeve. Të tilla janë inekuacionet e mëposhtme, në të cilat c është numër i dhënë:

a) x > c; b) x ≥ c; c) x < c; d) x ≤ c.

Për të zgjidhur inekuacionin e fuqisë së parë me një ndryshore, e sjellim atë në një inekuacion të njëvlershëm me të, por të ndonjërës nga trajtat I, II, III, IV dhe pastaj shkruajmë bashkësinë e zgjidhjeve.

Shembulli 1

Zgjidhje

Shembulli

MATEMATIKA 9 86

Të zgjidhet inekuacioni 2(x – 6) > 3 – x.

2(x – 6) > 3 – x heqim kllapat; 2x – 12 > 3 – x 2x + x > 12 + 3 kalojmë kufizat nga njëra anë në anën tjetër duke ndryshuar shenjën; 3x > 15 pjesëtojmë me 3 (shumëzojmë me 1 3 ). x > 5 Bashkësia e zgjidhjeve të inekuacionit në R është A = {x ∊ R/ x > 5}, d.m.th. është intervali (5, + ∞).

2 Të zgjidhet në R inekuacioni (x – 1)2 – 4 < x2 – 4(x – 1). Zgjidhje (x – 1)2 – 4 < x2 – 4(x – 1) kryejmë shndërrime identike në secilën anë; (x2 – 2x + 1) – 4 < x2 – 4x + 4 x2 – 2x – 3 < x2 – 4x + 4 kalojmë kufizat nga njëri krah në tjetrin, duke ndryshuar shenjë; x2 – 2x – x2 + 4x < 4 + 3 2x < 7 pjesëtojmë me 2 (shumëzojmë me 1 2 ). x < 7 2

Çdo inekuacion me një ndryshore, që sillet me shndërrime të njëvlershme në njërën nga trajtat ax + b > 0, ax + b 0, ax + b < 0, ax + b ≤ 0 ku a, b janë numra realë të dhënë dhe a ≠ 0, quhet inekuacion i fuqisë së parë me një ndryshore.

Përgjigje

numrave natyrorë që plotësojnë kushtin

zgjidhjeve

< 7 2 , d.m.th. është

Shembulli 3

zgjidhjeve

e përbërë nga numrat 1, 2, 3 (fig. 4.5).

në

Fig. 4.6

është (–∞

C Ushtrohuni duke zbatuar

Zgjidhni inekuacionin

në R; b) në N.

4. EKUACIONET DHE INEKUACIONET LINEARE ME NJË NDRYSHORE 87 USHTRIME 1 Të zgjidhen në R inekuacionet: a) 5x > 0 b) –2x ≤ 0 c) 3x + 4 > 2x + 1 d) 2 – 2x < 6 2 Të zgjidhen inekuacionet në bashkësinë e treguar: a) 3(2 – x) > 4 – x në R; në bashkësinë {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3}; b) 4(1 + 3x) > 5 + 12x në R; c) 3(5 – 4x) + (28 + 2x) > 0 në R; në N. 3 Zgjidhni inekuacionet në R, duke sqaruar shndërrimet: a) (x + 3)(x + 5) > (x + 1)(x + 9) b) (x + 1)2 < (x + 3)(x – 2) – 1 4 Të zgjidhen inekuacionet: a) 5 – x 3 –1 – x 2 < 1 b) x + 1 2 –x + 2 3 < 2 + x 6 c) 4x – 1 6 + 2(2x – 3) ≤ 3 6 5 Për ç’vlera të ndryshores (x ∊ R): a) vlera e shprehjes x – 1 3 është më e madhe se 1; b) vlera e shprehjes 2x + 1 2 është më e vogël se 2. 6 Për ç’vlera të x ∊ R, vlera e funksionit y = 2x – 5 3 është: a) pozitive; b) jopozitive; c) më e madhe se 5; d) jo më e madhe se 1?

: Bashkësia e zgjidhjeve të inekuacionit në R është A = (– ∞, 7 2 ). Fig. 4.5 Bashkësia e

të këtij inekuacioni në N është bashkësia e

bashkësia

Të zgjidhet në R inekuacioni 2x – 1 3 –x 2 ≥ x – 1 4 . Zgjidhje Emëruesi i përbashkët është 12. Shumëzojmë të dyja anët me të. 2x – 1 3 –x 2 ≥ x – 1 4 pohimi 3 12( 2x – 1 3 –x 2 ) ≥12 x – 1 4 Duke vazhduar shndërrimet, ju arrini në inekuacionin e njëvlershëm x ≤ –1 (fig. 4.6). Përgjigje: Bashkësia e

të inekuacionit

, –1].

7(x – 1) < 3x – 4(x – 1) a)

x – 1 3 < x + 2 3 01237 2 4 –2–1012

4.9 Inekuacione të dyfishtë

A Kërkoni dhe zbuloni

Jepen inekuacionet:

x – 3 < 4 dhe x – 3 > –5.

Gjeni vlera të x, që janë zgjidhje për të dyja inekuacionet.

Gjeni vlera të x, që janë zgjidhje të inekuacionit të parë, por nuk janë të inekuacionit të dytë. A mund të gjeni të gjithë numrat e plotë që janë zgjidhje për të dyja inekuacionet?

B Vrojtoni dhe mësoni

Punë në grup

Gjeni vlerat e x, që janë zgjidhje të përbashkëta për inekuacionet 2x – 1 < 5 dhe 2x – 1 > 0.

Duke zgjidhur inekuacionin e parë, gjejmë vlerat e x që plotësojnë kushtin 2x – 1 < 5.

Duke zgjidhur inekuacionin e dytë, gjejmë vlerat e x që plotësojnë kushtin 2x – 1 > 0.

Duke gjetur prerjen e dy bashkësive të gjetura, gjejmë vlerat e x që plotësojnë njëherësh të dyja kushtet e mësipërme.

Thuhet që këto vlera të x vërtetojnë inekuacionin e dyfishtë: 0 < 2x – 1 < 5

Mbani mend:

Inekuacioni i dyfishtë c < ax + b < d ka si bashkësi zgjidhjesh prerjen e bashkësive të zgjidhjeve të inekuacioneve c < ax + b dhe ax + b < d.

Shembulli 1

Të zgjidhet inekuacioni i dyfishtë: –2 < 2x + 4 < 6. Zgjidhje

Mënyra e parë. Gjejmë bashkësinë e zgjidhjeve të inekuacionit –2 < 2x + 4 dhe 2x + 4 < 6.

2x + 4 > –2 Kalojmë kufizën (–4) në anën tjetër të inekuacionit duke ndryshuar shenjën;

x > –2 – 4 reduktojmë kufizat e ngjashme;

x > –6 pjesëtojmë me 2 të dyja anët e inekuacionit.

> –3

Bashkësia e zgjidhjeve të inekuacionit –2 < 2x + 4 është A = {x ∊ R | –3 < x} = (–3; + ∞).

Në të njëjtën mënyrë, gjejmë bashkësinë e zgjidhjeve të inekuacionit 2x + 4 < 6.

x < 6 – 4

x < 2 x < 1

Bashkësia e zgjidhjeve të inekuacionit 2x + 4 < 6 është B = {x ∊ R | x < 1} = (– ∞; 1).

Bashkësia e zgjidhjeve të inekuacionit të dyfishtë është: A∩B = {x ∊ R | –3 < x < 1} = (–3; 1).

Mënyra e dytë. Përpiqemi të shfaqim në gjymtyrën e mesit (2x + 4) vetëm x-in.

< 2x + 4 < 6 U zbresim të tria gjymtyrëve 4;

4 < 2x < 6 – 4 reduktojmë kufizat e ngjashme;

MATEMATIKA 9 88

–2

–2–

–6 < 2x < 2 pjesëtojmë me 2. –3 < x < 1

Përfundim: Bashkësia e zgjidhjeve të inekuacionit të dyfishtë (në R) është

A = {x ∊ R | –3 < x < 1} = (–3; 1) (fig. 4.7).

Shembulli 2

Të zgjidhet inekuacioni i dyfishtë 3 < 1 – 2x < 7. Zgjidhje

–4–2–1–30123x Fig. 4.7

Përpiqemi të shfaqim në gjymtyrën e mesit (1 – 2x) vetëm x-in. 3 < 1 – 2x < 7 U zbresim të tria gjymtyrëve –1; 3 – 1 < – 2x < 7 – 1 shumëzojmë me –1, duke ndërruar kahun; –2 > 2x > –6 pjesëtojmë me 2. –1 > x > –6 –6 < x < –1

Përfundim Bashkësia e zgjidhjeve të inekuacionit të dyfishtë (në R) është: A = {x ∊ R | –6 < x < –1} = (–6; –1) (fig. 4.8).

C Ushtrohuni duke zbatuar

–4–2–1 –6–30123x –5 Fig. 4.8

1. Zgjidhni inekuacionet e dyfishta: a) 2 < 2x + 6 < 8; b) –1 < 2x – 3 < 0; c) 5 < 1 – x 2 < 10.

2. Për ç’vlera të x ∊ R, vlerat e funksionit y = 2x – 4 janë në intervalin (–4; 6).

USHTRIME

1 Zgjidhni me dy mënyra inekuacionet e dyfishta: a) –3 < 3x < 6; b) 6 < 5 + x < 7.

2 Zgjidhni me dy mënyra inekuacionet e dyfishta: a) 3 < x – 5 < 7; b) –2 < 1 – x 3 < 0; c) 0 < 4 – 2x < 6.

3 Për ç’vlera të x ∊ R, vlerat e binomit x – 1 2 janë më të mëdha se 2 dhe më të vogla se 10?

4 Në qoftë se një njeri do të ecë çdo ditë 5 km më shumë se zakonisht, atëherë, ai për 6 ditë do të bëjë një rrugë më të gjatë

ditë

rrugë

të

5 Për

çdo ditë

km më pak se zakonisht, atëherë

rrugë në ditë bën ai?

vlerave përgjegjëse të shprehjeve 1 – x dhe 3

6 Largësia midis dy qyteteve është 50 km. Një këmbësor, pjesën e parë të rrugës e bën me 4 km/ orë, kurse pjesën tjetër me 6 km/orë. Sa km duhet të ecë ai me shpejtësi 4 km/orë, që udhëtimi të zgjasë nga 9 deri në 11 orë?

7 Për cilat vlera të ndryshores x, ka kuptim shprehja: a) 2x ; b)

8 Të provohet se për çdo dy numra m dhe n të tillë që m < n është i vërtetë mosbarazimi

4. EKUACIONET DHE INEKUACIONET LINEARE ME NJË NDRYSHORE 89

se 50 km. Nëse ai do

ecë

ai për 8

do të bëjë një

më të vogël se 90 km. Sa km

ç’vlera të x, vlerat e shprehjes 2x – 4 ndodhen midis

x – 2

m < m + n 2 < n

4.10 Inekuacione me vlera absolute

A Kërkoni dhe zbuloni

Vizatoni boshtin numerik.

a) Tregoni në të bashkësinë e pikave që largesën nga origjina e kanë më të vogël se 2. Çfarë kushti plotësojnë abshisat x të tyre?

b) Tregoni në bosht bashkësinë e pikave që largesën nga origjina e kanë më të madhe se 3. Çfarë kushti plotësojnë abshisat x të tyre?

B Vrojtoni dhe mësoni

Le të jetë b një numër real pozitiv (b > 0).

Mbani mend:

Inekuacioni |x| < b është i njëvlershëm me inekuacionin e dyfishtë b < x < b (fig. 4.9).

Fig. 4.9 –b0b x

Të dyja ato, gjeometrikisht paraqesin të njëjtën bashkësi: atë të pikave të boshtit numerik që e kanë largesën nga origjina më të vogël se b. Në mënyrë të ngjashme, inekuacioni |cx + d| < b është i njëvlershëm me inekuacionin e dyfishtë. Inekuacioni |x| > b ka si bashkësi zgjidhjesh bashkimin e bashkësive të zgjidhjeve të inekuacioneve x > b dhe x < –b. Gjeometrikisht, ajo paraqet bashkësinë e pikave të boshtit numerik që largesën nga origjina e kanë më të madhe se b. –b0b x Fig. 4.10

Në mënyrë të ngjashme, për të zgjidhur inekuacionin |cx + d| > b, mjafton të marrim bashkimin e bashkësive të zgjidhjeve të inekuacioneve cx + d > b dhe cx + d < –b.

Shembulli 1

Të zgjidhet inekuacioni |2x 3| < 5.

Zgjidhje

Inekuacioni është i njëvlershëm me inekuacionin e dyfishtë:

< 2x – 3 < 5. Duke e zgjidhur këtë shkruajmë: –2 < 2x < 8, d.m.th. –1 < x < 4. Bashkësia e zgjidhjeve është intervali (–1; 4) (fig. 4.11).

4.11

Shembulli 2

Të zgjidhet inekuacioni |2 – x| ≥ 3.

Zgjidhje

Zgjidhim veçmas inekuacionet 2 – x ≥ 3 dhe 2 – x ≤ –3. Për të parin, gjejmë x ≤ –1, pra bashkësia e zgjidhjeve është (–∞, –1].

MATEMATIKA 9 90

–5

–201–12345x Fig.

Për të dytin, gjejmë x ≥ 5, pra bashkësia e zgjidhjeve është [5,+ ∞).

Si përfundim, bashkësia e zgjidhjeve të inekuacionit |2 x| ≥ 3 është bashkësia (–∞, –1] [5, + ∞) (fig. 4.12).

Shembulli 3

Të zgjidhet inekuacioni |x 2| ≥ 1. Zgjidhje

Zgjidhim veçmas inekuacionet x – 2 ≥ 1 dhe x – 2 ≤ – 1. Për të parin, gjejmë x ≥ 3, pra bashkësia e zgjidhjeve është [3, + ∞).

Për të dytin, gjejmë x ≤ 1, pra bashkësia e zgjidhjeve është ( ∞, 1].

Si përfundim, bashkësia e zgjidhjeve të inekuacionit të dhënë është bashkësia ( ∞, 1] [3, + ∞) (fig. 4.13).

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. Zgjidhni në R inekuacionet: a) |3x 2| < 7; b) |–x + 2| ≥ 6; c) |x 2| < 0.

2. Zgjidhni inekuacionet: a) |2x 3| < 4; b) |2x 3| > –1.

USHTRIME

1 Zgjidhni inekuacionet: a) |2x 3| < 5; b) |2x 3| < 0; c) |2x 3| ≥ 0

2 Zgjidhni inekuacionet: a) |–x + 2| ≥ 3; b) |2x 1| ≤ 3.

3 Zgjidhni inekuacionet: a) |x 1| + 2 < 3; b) |2 4x| + 3 > 5.

4 Zgjidhni inekuacionin. Shkruani të

4. EKUACIONET DHE INEKUACIONET LINEARE ME NJË NDRYSHORE 91

gjithë numrat e plotë që bëjnë pjesë në bashkësinë e zgjidhjeve të inekuacionit: a) 1 < |x + 2| < 4; b) 2 ≤ |x 2| < 5; c) 4 ≤ |2 + 3x| < 7. 5 Zgjidhni inekuacionet: a) x2 > 2; b) x2 – 2x + 1 ≥ 4. 6 Shkruani inekuacionin që shpreh secilin prej paraqitjeve grafike në boshtin numerik (fig. 4.14) të treguar më poshtë: a) b) c) d) Fig. 4.14 –3–201–12345x Fig. 4.12 Fig. 4.13 –3–201–12345x –10123x –10123x–50–1051 01 5x –2–1012x 3

4.11 Çfarë mësuam? (Përsëritje)

Tashmë kemi mësuar

Provoni të zgjidhni

1 Zgjidhni ekuacionet: a) x – 7 – 9x = 4x – 3 – 8x; b) 5 – x 2 = 4x.

2 Zgjidhni ekuacionin 3 4 x + 1 2 = 2 3 x a) në Q; b) në Z; c) në N.

3 Zgjidhni ekuacionet: a) x – 1 2 = 2 3 ; b) x – 1 x = 1 x + 1 3

Zgjidhjen e ekuacioneve lineare sipas shkronjave:

4 Erini dhe Dea fillojnë me të njëjtin numër. Erini e dyfishon këtë numër, I shton 6 dhe pastaj e pjesëton përfundimin me 2. Dea e shumëzon numrin me 4, pastaj I zbret 6. Të dy kanë të njëjtën përgjigje. Cili është numri me të cilin ata fillojnë?

5 Zgjidhni ekuacionin në lidhje me njërën ndryshore, dhe pastaj në lidhje me tjetrën. a) 2m – 2n = n – 3; b) 2x – 2 3 = 2y

Zgjidhjen e inekuacioneve lineare sipas shkronjave:

6 Jepen inekuacionet 5x > 2, x ∊ R dhe 5 – x x – 5 < 0, x ∊ R. a) Tregoni dy zgjidhje për secilin prej tyre. b) Tregoni për secilin një numër që nuk është zgjidhje e tij. c) Sa zgjidhje mendoni që ka secili prej tyre?

7 Zgjidhni inekuacionin 2x – 3 4 < 1 a) në R; b) në Z; c) në N.

Diskutimin e zgjidhjes së ekuacioneve dhe të inekuacioneve lineare me një të panjohur:

8 Të zgjidhet inekuacioni në bashkësinë e treguar: 2(2 – x) > 5 – x në R; në bashkësinë {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3}.

9 Jepet ekuacioni (m – 1)x = 2. Për ç’vlera të m ekuacioni: a) nuk ka zgjidhje; b) ka një zgjidhje të vetme; c) ka një zgjidhje të barabartë me 2.

Paraqitjen e zgjidhjeve të inekuacioneve në boshtin numerik:

10 Zgjidhni në R inekuacionet. Paraqitni zgjidhjen e tyre në boshtin numerik: a) 5x – 2 > 1; b) 2 – 2x ≤ 0; c) 2x + 4 > –2x – 1.

11 Zgjidhni inekuacionin e dyfishtë. Paraqitni zgjidhjen e tij në boshtin numerik dhe me interval: –2 < 2x – 6 < 8.

MATEMATIKA 9 92

Identifikimin e intervalit të hapur dhe të mbyllur tek inekuacionet, duke e paraqitur simbolikisht:

12 Shkruani inekuacionin që shpreh secilin prej paraqitjeve grafike në boshtin numerik të treguar në figurën 4.15. Shkruani intervalet përkatëse.

Zgjidhjen e inekuacioneve me vlerë absolute dhe paraqitjen grafikisht të bashkësive dhe zgjidhjeve të tyre:

Zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike të formës x2 + mx + n = 0 (m, n Є Z), duke zbërthyer trinomin (x – x1) (x – x2) = 0:

Përdorimin e ekuacioneve në fizikë, kimi dhe lëmi të tjera.

01x 23 –5–4

–3–2–1

–5–4–3–2–1

–5–4–3–2–1 Fig. 4.15

01x 23456

13 Zgjidhni inekuacionin dhe paraqitni grafikisht bashkësitë e zgjidhjeve të tyre: a) |4x 2| < 8; b) |x + 3| < 4.

14 Zgjidhni inekuacionin. Shkruani të gjithë numrat e plotë që bëjnë pjesë në bashkësinë e zgjidhjeve të inekuacionit: a) 1 < |x + 1| < 3; b) 2 ≤ |x + 2| < 6.

15 Zgjidhni ekuacionet: a) x2 – x = 0; b) x2 = 2x; c) (x – 1)(x – 2)(x – 3) = 0.

16 Zgjidhni ekuacionet e mëposhtme, duke zbërthyer trinomin ((x – x1) (x – x2) = 0). a) x2 – 5x – 6 = 0; b) x2 – 4x + 10 = 0; c) x2 + 3x – 8 = 0.

17 Në formulën e mëposhtme, veçoni shkronjën e treguar. a) d = m V (veço V); b) F = k m1m2 d2 (veço m1); c) h = V0t+ at2 2 (kundrejt a); d) E = mv2 2 (veço v > 0).

18 Shpejtësia e përhapjes së zërit (në m/s), në varësi të temperaturës së ajrit (në gradë C) shprehet me formulën v = 331 + 0,6t. Gjeni shpejtësinë e përhapjes së zërit, në një ditë dimri me temperaturë –10oC, dhe në një ditë vere me temperaturë +30oC.

93 4. EKUACIONET DHE INEKUACIONET LINEARE ME NJË NDRYSHORE

456

01456x

4.12 Vlerësim Koha: 45 minuta

1 A janë të njëvlershme ekuacionet:

2 Zgjidhni ekuacionet:

1)(2

Zgjidhni ekuacionin:

ekuacionin

t’i

mollë më pak

Zgjidhni inekuacionin

Zgjidhni në

mollë në

tek

shporta, në mënyrë që te shporta e parë

dyta dhe

inekuacionin

8 Zgjidhni inekuacionet:

mollë më shumë se tek e treta?

pikë

9 Shuma e dy numrave natyrorë është 24. Gjeni numrat, nëse njëri është trefishi i numrit tjetër. 2 pikë

10 Në një katërkëndësh, gjatësia e njërës brinjë është sa 1 3 e perimetrit të tij. Gjatësia e brinjës së dytë është 2 5 e perimetrit të katërkëndëshit, kurse gjatësia e brinjës së tretë është 1 3 e gjatësisë së brinjës së dytë. Brinja e katërt është 10 cm. Gjeni perimetrin e katërkëndëshit. 3 pikë

Detyrë hulumtuese. Siguria në udhëtim

A. Për të reaguar shpejt ndaj një rreziku, drejtuesi i mjetit duhet të dijë kohën e tij të reagimit, d.m.th., kohën ndërmjet çastit të shfaqjes së rrezikut dhe çastit kur ai reagon (duke shkelur frenat p.sh.). Gjatë kësaj kohe, makina ecën në njëfarë distance (distanca e reagimit), e cila varet nga shpejtësia e makinës. Ka vend kjo formulë: d = v t 36 , ku d – distanca e reagimit (në m); t – koha e reagimit (në s); v – shpejtësia e makinës (në km/h).

a) Nëse koha e reagimit të një shoferi është 2 36 s, sa është distanca e reagimit të tij me shpejtësi 36 km/h; 54 km/h; 72 km/h; 108 km/h?

b) Ky shofer ecën në një rrugë fshati me shpejtësi 85 km/h. Një pulë e ndodhur 1,5 m para makinës, fillon të kalojë nga një anë e rrugës në tjetrën. A do të shtypet pula nga makina?

B. Bëj një kërkim vetjak për kohët e reagimit për personat që ti njeh e që drejtojnë makina. Jep rekomandimet përkatëse.

MATEMATIKA 9 94

a) 2x + x =

dhe 3x = 5; b) x – 3 2 = x – 1 dhe x – 3 = 2x – 1. 2

a) 2(x – 1) = 3x 5; b) (x

x 3) = 2(x 4) x. 4

x 2x – 3 4 = 1 x + 2 8 3

4 Zgjidhni

duke zbërthyer trinomin ((x – x1) (x – x2) = 0): x2 – 10x + 16 = 0 2

x2 – 3x – 2 = 0 2

5 A mund

vendosim 158

tri

të ketë 5

2x – 4 > 3x – 8 në N. 3

x – 1 4 –2x – 1 3 < x 2 4

a) 3 <

x –

b) |3x 4| < 1 2

c) |2x – 1| ≥ 1 2

GJEOMETRIA NË RRAFSH

Në fund të kësaj teme, nxënësi/ja:

• dallon objektet themelore gjeometrike (pikën, drejtëzën, rrafshin);

• përkufizon kuptimet themelore dhe ato të përftuara gjeometrike;

• dallon kur dy trekëndësha janë kongruentë;

• zbaton kongruencën e trekëndëshave për zgjidhjen e detyrave praktike;

• konstrukton disa nga vendet gjeometrike të pikave në rrafsh.

Fjalë kyçe: pikë, drejtëz, rrafsh, segment, gjysmësegment, kënd, trekëndësh, ndërtimi i trekëndëshit, raste të kongruencës së trekëndëshave, vend gjeometrik i pikave në rrafsh.

E DINI SE?...

Shkrimi i parë, që përmban fakte të thjeshta gjeometrike është gjetur në Egjipt dhe është i shekullit XVII p.e.s. Në të gjenden rregullat e njehsimit të syprinave të disa figurave dhe vëllimeve të disa trupave. Këto rregulla ishin përftuar me rrugë gjeometrike, pa asnjë vërtetim logjik të vërtetësisë së tyre. Krijimi i gjeometrisë si shkencë matematike ndodhi më vonë dhe lidhet me emrat a dijetarëve grekë Tales (624-547 p.e.s), Pitagora (580-500 p.e.s), Demokriti (460-370 p.e.s) dhe Euklidi (shek. III p.e.s) etj. Në veprën e shquar të Euklidit, “Elementet”, ishin sistemuar faktet kryesore gjeometrike që njiheshin në atë kohë. Më kryesorja është se tek “Elementet” u zhvillua mënyra aksiomatike e ndërtimit të gjeometrisë; pra, në fillim formulohen tezat kryesore (aksiomat) dhe pastaj, mbi bazën e tyre, nëpërmjet arsyetimeve, vërtetohen fjalitë e tjera (teoremat). Rezultatet e marra përdoren si në praktikë, ashtu edhe në studimet e mëtejshme shkencore. Disa nga aksiomat e propozuara nga Euklidi përdoren tani në lëndën e gjeometrisë. Kontribut të madh në studimin e mëtejshëm të çështjeve të ndryshme të gjeometrisë dhanë Arkimedi (287-212 p.e.s), Apolloni (shek III p.e.s) dhe dijetarë të tjerë të antikitetit grek.

95 A

5.1 Kuptimet themelore dhe ato të nxjerra të gjeometrisë

A Kërkoni dhe zbuloni

Përfytyroni objekte themelore të gjeometrisë: pikën, drejtëzën, planin. Kujtoni si shënohen secila prej tyre.

B Vrojtoni dhe mësoni

Figurat gjeometrike janë shumë të larmishme. Tashmë njohim mjaft figura gjeometrike, si p.sh. trekëndëshin, katrorin, rrethin etj. Çdo figurë gjeometrike e mendojmë të përbërë prej pikash.

Pika dhe drejtëza Zakonisht, drejtëzat i shënojmë me shkronja të vogla (a, b, c...), kurse pikat me shkronja të mëdha (A, B, C…). Në figurën 5.1, ju shihni pikat A, B dhe drejtëzën a.

Pika B shtrihet në drejtëzën a; themi ndryshe “drejtëza a kalon nëpër pikën B” dhe shënojmë B ∊ a.

A a B

Fig. 5.1

Pika A nuk shtrihet në drejtëzën a; themi ndryshe “drejtëza a nuk kalon nëpër pikën A dhe shënojmë A ∉ a.

Mbani mend:

Kanë vend dy veti themelore:

I. nëpër çdo dy pika kalon një dhe vetëm një drejtëz.

II. sidoqoftë drejtëza, ka pika që shtrihen në këtë drejtëz dhe ka pika që nuk shtrihen në të.

Drejtëzën mund ta paraqesim ndryshe me anë të dy pikave që ndodhen në të. P.sh., nëse në drejtëzën d ndodhen pikat M dhe N, këtë drejtëz mund ta shënojmë (MN) ose (NM).

Segmenti, gjysmëdrejtëza

Në figurën 5.2 është paraqitur drejtëza a dhe tri pika A, B, C në këtë drejtëz. A a BC Fig. 5.2

Shqyrtojmë pjesën e drejtëzës të përbërë nga pikat A, C dhe gjithë pikat e drejtëzës që ndodhen ndërmjet A, C. Kjo pjesë drejtëze quhet segment me skaje A, C dhe shënohet [AC] ose [CA].

Mbani mend:

Ka vend kjo veti themelore.

III. Nga tri pika të një drejtëze, njëra dhe vetëm njëra ndodhet ndërmjet dy të tjerave.

Shqyrtojmë drejtëzën a, në të cilën është marrë pika O. a 0

Fig. 5.3

Kjo pikë e ndan drejtëzën në dy pjesë të ndryshme. Figura e përbërë prej pikës O dhe pikave të njërës nga këto pjesë quhet gjysmëdrejtëz (në figurën 5.3, njëra gjysmëdrejtëz është paraqitur me vijë të trashë).

MATEMATIKA 9 96

Mbani mend:

Gjysmëdrejtëz quhet pjesa e drejtëzës e përbërë nga një pikë e dhënë e saj dhe gjithë pikat e drejtëzës që ndodhen nga e njëjta anë e kësaj pike. Pika e dhënë quhet origjinë e gjysmëdrejtëzës.

Dy gjysmëdrejtëza të ndryshme të së njëjtës drejtëz, që kanë të njëjtën origjinë quhen gjysmëdrejtëza plotësuese.

Gjysmëdrejtëzën e shënojmë ose me një shkronjë të vogël (p.sh. gjysmëdrejtëza h në figurën 5.4) ose me dy shkronja të mëdha (fig. 5.5), e para nga të cilat tregon origjinën, kurse e dyta ndonjë pikë të gjysmëdrejtëzës.

ah 0A Fig. 5.4 Fig. 5.5

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. Ndërtoni një drejtëz a.

a) Shënoni dy pika E dhe F, që shtrihen në drejtëzën a dhe tri pika M, N dhe P, që nuk shtrihen në drejtëzën a b) Përdorni shënimet ∊, ∉ për të treguar nëse pikat ndodhen ose nuk ndodhen në drejtëz.

2. Shënoni tri pika P, Q, R që nuk ndodhen në një drejtëz dhe ndërtoni drejtëzat (PQ), (PR), (QR).

3. Ndërtoni dy drejtëza prerëse a, b dhe shënoni pikën C të prerjes; pikën A të drejtëzës a, që nuk ndodhet në b; pikën D, që nuk ndodhet në asnjë nga drejtëzat a, b

4. Shënoni dy pika A, B. Ndërtoni gjysmëdrejtëzat [AB), [BA).

5. Ndërtoni një drejtëz, duke shënuar pikat P, Q, R, në mënyrë që R të jetë ndërmjet P, Q.

a) Midis gjysmëdrejtëzave [PQ), [QR), [RP), [PR), [QP), tregoni çiftet e gjysmëdrejtëzave që janë të njëjta.

b) Tregoni gjysmëdrejtëzën që është plotësuese e [RP).

USHTRIME

1 Shënoni pikat E, F, G, H në mënyrë që tri pikat E, F, G të shtrihen në një drejtëz, kurse pika H të mos shtrihet në të. Nëpër çdo çift pikash, hiqni drejtëzën. Sa drejtëza merren?

2 Ndërtoni drejtëzën a dhe shënoni në të dy pika A, B. a) Shënoni dy pika C, D të segmentit [AB].

b) Shënoni dy pika E, F të drejtëzës a që nuk shtrihen në segmentin [AB].

c) Shënoni dy pika M, N, që nuk shtrihen në drejtëzën a.

3 Ndërtoni drejtëzën a dhe shënoni në të tri pika. Sa segmente formohen kështu në këtë drejtëz?

4 Në figurën 5.6 është paraqitur një drejtëz dhe në të janë shënuar pikat A, B, C, D.

a) Tregoni të gjitha segmentet ku ndodhet pika C. b) Tregoni të gjitha segmentet ku nuk ndodhet pika B. c) Tregoni të gjitha segmentet që formohen në drejtëz.

d) Tregoni të gjitha gjysmëdrejtëzat që shtrihen në drejtëz.

5 Sa rrafshe përcaktohen nga një drejtëz dhe dy pika jashtë saj?

6 Sa rrafshe përcaktohen nga një drejtëz dhe tri pika jashtë saj?

Fig. 5.6

5. GJEOMETRIA NË RRAFSH 97

ABCD

5.2 Gjysmërrafshi, këndi

A Kërkoni dhe zbuloni

Në një rrafsh α, ndërtoni një drejtëz. Në sa pjesë e ndan rrafshin kjo drejtëz?

Në këtë rrafsh merrni një pikë çfarëdo A. Nga kjo pikë, ndërtoni dy gjysmëdrejtëza. Në sa pjesë e ndajnë planin këto dy gjysmëdrejtëza? Diskutoni.

B Vrojtoni dhe mësoni

Shqyrtoni figurën 5.7. Drejtëza a e ndan rrafshin në dy pjesë, që quhen gjysmërrafshe. Pikat A, B ndodhen në të njëjtin gjysmërrafsh. Segmenti [AB] nuk ka pika të përbashkëta me drejtëzën a. Segmenti nuk e pret drejtëzën a. Pikat C dhe D ndodhen në gjysmërrafshe të ndryshme. Segmenti [CD] ka një pikë të përbashkët me drejtëzën a. Ky segment e pret drejtëzën a

Mbani mend:

Ka vend kjo veti themelore:

IV. Drejtëza e ndan rrafshin në dy gjysmërrafshe, në mënyrë që:

a) çdo pikë jashtë drejtëzës i takon njërit gjysmërrafsh;

Këndi

b) nëse skajet e një segmenti ndodhen në njërin gjysmërrafsh, atëherë segmenti nuk e pret drejtëzën;

c) nëse skajet e një segmenti ndodhen në gjysmërrafshe të ndryshme, atëherë segmenti e pret drejtëzën.

Punë në grup

Është dhënë drejtëza a dhe tri pika A, B, C që nuk shtrihen në të. Dihet që segmenti [AB] e pret drejtëzën, kurse segmenti [AC] nuk e pret atë.

a) Ndërtoni një figurë sipas të dhënave. b) A e pret drejtëzën a segmenti [BC]?

Kënd quhet figura gjeometrike e përbërë nga dy gjysmëdrejtëza që kanë të njëjtën origjinë Këto dy gjysmëdrejtëza quhen brinjë të këndit, kurse origjina e tyre e përbashkët quhet kulm i këndit. Në figurën 5.8, ju shihni këndin me kulm O dhe me brinjë gjysmëdrejtëzat a, b, në të cilat ndodhen përkatësisht pikat A, B. Këtë kënd ne mund ta shënojmë në tri mënyra të ndryshme. I. ∠ 0; II. ∠ (a, b) ose ∠ (a, b); III. ∠ AOB ose ∠ BOA.

B C D a Fig. 5.7 A B b

O a Fig. 5.8

Punë në grup Ndërtoni disa kënde. Kërkoni nga shoku/shoqja të emërtojë dhe tregojë llojin e këndit. Kujtoni të gjitha këndet që njihni, si dhe njësinë matëse të tij.

MATEMATIKA 9 98

Mbani mend:

Ka vend kjo veti themelore: V. Duke marrë si njësi matjeje shkallën këndore:

a) çdo kënd ka një masë të caktuar, që është një numër pozitiv;

b) këndet kongruente kanë masa të barabarta;

c) këndi i shtrirë e ka masën 180 (shkallë);

d) kur një gjysmëdrejtëz e ndan këndin në dy pjesë, masa në shkallë e këndit është e barabartë me shumën e masave të këtyre pjesëve.

Punë në grup Nëse shuma e masave të dy këndeve është 180o, a janë ato patjetër kënde të bashkëmbështetura? Jepni shembuj.

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. Dy drejtëza a dhe b priten në një pikë O. Sa rrafshe përcaktojnë këto dy drejtëza prerëse? Tregoni gjysmëdrejtëzat që përcaktojnë drejtëzat a dhe b.

2. Në figurën 5.9 është paraqitur një kënd jo i shtrirë dhe pikat A, B, D, E, P, Q.

Cilat nga këto pika ndodhen: a) në brinjët e këndit; b) në pjesën e brendshme të tij; c) në pjesën e jashtme të tij.

3. Vizatoni tri gjysmëdrejtëza h, k, l me origjinë të njëjtë. Tregoni të gjitha këndet që formohen.

4. Vizatoni një kënd jo të shtrirë ∠ EOF. Tregoni dy pika në brinjët e këndit, dy pika brenda tij, dy pika jashtë tij.

5. Vizatoni një kënd jo të shtrirë. Shënoni pikat A, B, C, D, në mënyrë që të gjitha pikat e segmentit [AB] të jenë brenda këndit, kurse të gjitha pikat e [CD] të jenë jashtë këndit.

USHTRIME

1 Gjysmëdrejtëza [OE) e ndan këndin AOB në dy kënde. Gjeni ∠ AOB nëse: a) ∠ AOE = 37o dhe ∠ EOB = 72o; b) ∠ AOE = 15o34’ dhe = 100o15’.

2 Gjysmëdrejtëza [OC) e ndan këndin

o, kurse

tyre është sa trefishi

tjetrit.

figurën

kemi

MOK

njëri

∠ KOL =

5. GJEOMETRIA NË RRAFSH 99

Fig. 5.9 A Q

B D E P O

AOB në dy pjesë, ∠AOB = 58

∠AOC është 10o më pak se ∠ AOB. Gjeni ∠ COB.

Gjeni masat e dy këndeve shtuese (suplementare), nëse

prej

Në

5.10,

∠ MON = 90o dhe ∠

∠ LON. Gjeni këndin që formojnë përgjysmoret e këndeve MOK dhe NOL. 5 Në figurën 5.11, gjysmëdrejtëza [OV) është përgjysmore e këndit ZOY, kurse gjysmëdrejtëza [OU) është përgjysmore e këndit XOY. Dihet që ∠ UOV = 60o. Gjeni ∠ XOY. 6 Vizatoni dy kënde të ndryshme. Për secilin prej tyre, ndërtoni dy kënde shtuese (suplementare); dy kënde plotësuese (komplementare). Fig. 5.10 N L K OM X YU V ZO Fig. 5.11

5.3 Kongruenca e segmenteve dhe këndeve

A Kërkoni dhe zbuloni

Në figurën 5.12 janë paraqitur dy figura F1, F2. Kopjoni dy figurat. Pritini dhe vendosini mbi njëra-tjetrën. Çfarë vini re?

B Vrojtoni dhe mësoni

Mbani mend:

Në gjeometri, figurat që kanë të njëjtën formë dhe të njëjtat përmasa quhen kongruente (të përputhshme). Nëse ato i mbivendosim, ato përputhen. Nëse figurat F1, F2 janë kongruente, shënojmë F1 = F2

Kongruenca e segmenteve

Mbani mend:

Dy segmente quhen kongruente, kur mund t’i puthitim me anë të mbivendosjes. Ka vend kjo veti themelore:

VI. Në gjysmëdrejtëzën e çfarëdoshme me origjinë O gjendet një dhe vetëm një pikë M, e tillë që segmenti [OM] të jetë kongruent me një segment të dhënë. Pika e segmentit që e ndan atë në dy segmente kongruente, quhet mes i segmentit.

Në figurën 5.13 kemi [AM] = [MB], prandaj pika M është mesi i segmentit [MB].

Fig. 5.12 Fig. 5.13

Punë në grup

Vizatoni një segment [AB]. Gjeni mesin e tij duke përdorur vizore dhe kompas.

Kongruenca e këndeve

Mbani mend:

Dy kënde, si figura gjeometrike janë kongruente, kur ato mund t’i puthitim me anë të mbivendosjes.

Është dhënë këndi ∠ MNP dhe gjysmëdrejtëza [OA) (fig. 5.14). Në njërin nga gjysmërrafshet e përcaktuara nga drejtëza (OA), ndërtoni një gjysmëdrejtëz [OB), në mënyrë që ∠ AOB të jetë kongruent me këndin ∠ MNP.

Punë në grup

P O A

Fig. 5.14 M

MATEMATIKA 9 100

F 1 F 1 F 2

AMB

Për kongruencën e këndeve ka vend kjo veti themelore:

VII. Në njërin nga gjysmërrafshet e përcaktuara nga drejtëza e çfarëdoshme (OA), gjendet vetëm një gjysmëdrejtëz [OB) e tillë që këndi ∠ AOB të jetë kongruent me një kënd të dhënë.

Mbani mend: Gjysmëdrejtëza që del nga kulmi i këndit dhe e ndan atë në dy kënde kongruente quhet përgjysmore e këndit.

Në figurën 5.15 kemi ∠ (h, l) = ∠ (l, k). Gjysmëdrejtëza l është përgjysmore e këndit ∠ (h, k).

Punë në grup

Për një kënd të dhënë AOB, ndërtoni përgjysmoren e tij, duke përdorur vizoren dhe kompasin.

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. F1 dhe F2 janë figura gjeometrike.

a) A mund të themi që secila prej tyre është kongruente me veten?

b) Nëse F1 = F2, a mund të themi që F2 = F1?

2. Nëse F1 = F2 dhe F2 = F3, a mund të themi që F1 = F3?

3. Pika O është mesi i segmentit [AB]. A mund të puthiten me anë të mbivendosjes: a) [OA] me [OB]; b) [OA] me [AB]?

4. Në figurën 5.16, segmentet [AB], [BC], [CD], [DE] janë kongruente. Tregoni: a) meset e segmenteve [AC], [AE], [CE]; b) segmentin me mes pikën D; c) segmentet që kanë mes pikën C.

USHTRIME

1 Gjysmëdrejtëza l është përgjysmore e këndit ∠ (h, k). A mund të puthitim me mbivendosje këndet:

∠ (h, l) me ∠ (l, k);

(h, l

me ∠ (h, k)?

2 Në figurën 5.17, kemi ∠ AOB = ∠ BOC = ∠ COD = ∠ DOE

të gjitha

3 Në figurën 5.18, këndet

EOF. Tregoni:

AOD, duke ditur që

4 Dy drejtëza

COB

Gjeni

5. GJEOMETRIA NË RRAFSH 101

b) ∠

)

= ∠

a) përgjysmoren për secilin nga këndet ∠ AOC, ∠ BOF, ∠ AOE; b)

këndet që kanë si përgjysmore [OC).

BOD dhe COD janë kongruente.

∠

= 124o

priten duke formuar 4 kënde. Shuma e dy këndeve të ngushta është sa gjysma e njërit kënd të gjerë. Gjeni këto kënde. 5 Janë dhënë gjysmëdrejtëzat [OA), [OB), [OC), [OD). Duke ditur se ∠ AOB = ∠ COD, tregoni se përgjysmorja (OS) e këndit ∠ BOC është përgjysmore dhe e këndit ∠ AOD. O k l hFig. 5.15 Fig. 5.16 ABCDE Fig. 5.17 A B C D E F O Fig. 5.18 AB CD O

5.4 Përkufizimi. Aksioma. Teorema

A Kërkoni dhe zbuloni

Nëpërmjet kuptimeve të njohura kënd, brinjë, gjysmëdrejtëz, gjysmëdrejtëza plotësuese, kujtoni cilat kënde quhen kënde të bashkëmbështetura, shtuese, plotësuese.

B Vrojtoni dhe mësoni

Përkufizimet

Mbani mend:

Disa kuptime fillestare nuk përkufizohen. Kuptime të tilla quhen kuptime themelore. Të tilla janë p.sh., kuptimet thjesht gjeometrike: pika, drejtëza, rrafshi.

Kuptime si: segmenti, këndi etj. nuk janë kuptime themelore; ato përkufizohen. Ka edhe kuptime themelore, që përdoren në gjithë shkencën e matematikës si: bashkësia, numri, madhësia (p.sh., gjatësia, koha, masa).

Brendia e kuptimeve themelore nuk mbetet e mjegullt; ajo sqarohet nëpërmjet aksiomave.

Aksiomat

Mbani mend:

Disa fjali fillestare, që pranohen pa vërtetim si të vërteta të padyshimta, quhen aksioma. Aksiomë quhet fjalia matematike, vërtetësia e së cilës pranohet pa vërtetim.

Ndonëse aksiomat nuk i nënshtrohen ecurisë së vërtetimit, ato janë fjali, vërtetësia e të cilave është e pranueshme nga përvoja jonë. P.sh., pranohet si aksiomë fjalia “e tëra është më e madhe se një pjesë e saj”. Fjalitë që ne i kemi emërtuar “veti themelore” në mësimet e kaluara, janë aksioma.

Disa aksioma të tjera: Aksioma e rrafshit

• Nga tri pika jo në vijë të drejtë kalon një dhe vetëm një rrafsh.

• Nëse A, B, C janë tri pika kolineare, atëherë vetëm njëra është ndërmjet dy të tjerave.

• Dy drejtëza që priten, përcaktojnë një rrafsh të vetëm.

Aksioma e paraleleve

• Nga një pikë jashtë një drejtëze kalon jo më tepër se një drejtëz paralele me drejtëzën e dhënë.

• Dy drejtëza të ndryshme dhe paralele përcaktojnë një rrafsh të vetëm.

• Fjalia “Nëse dy kënde janë të bashkëmbështetura, atëherë shuma e masave të tyre është 180o” nuk është aksiomë; kjo fjali është teoremë.

Teorema

Kemi parë se arsyetimet për të treguar vërtetësinë e një fjalie matematikore quhen vërtetime.

Mbani mend:

Fjalitë matematikore, për vërtetësinë e të cilave bindemi me anë të vërtetimit, quhen teorema.

MATEMATIKA 9 102

Fjalia për shumën e masave të dy këndeve shtuese, që mund të formulohet edhe kështu: “Nëse dy kënde janë shtuese, atëherë shuma e masave të tyre është 180o” është një teoremë. Çdo teoremë, siç e dini, ka dy pjesë: kushtin dhe përfundimin

Teorema Pjesët Në një teoremë të çfarëdoshme Në teoremën për shumën e dy këndeve shtuese

Kushti Çfarë është dhënë si e vërtetë: Dy kënde janë shtuese. Përfundimi Çfarë duhet të nxirret me arsyetim si e vërtetë:

Shuma e masave të tyre është 180o

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. Sillni shembuj aksiomash që njihni.

2. Jepni përkufizimin e:

a) segmentit; b) mesit të segmentit; c) trekëndëshit; d) përgjysmores së këndit; e) këndit të drejtë; f) përmesores së segmentit.

3. A është teoremë fjalia:

a) Këndi i shtrirë e ka masën 180o . b) Nga dy pika të ndryshme kalon një drejtëz e vetme.

4. Vërtetoni teoremën “Nëse një kënd është i drejtë, atëherë çdo kënd shtues me të është i drejtë”.

5. Në teoremën “Nëse dy kënde shtuese janë kongruente, atëherë ato janë të drejta”, dalloni kushtin dhe përfundimin. Vërtetoni teoremën.

USHTRIME

1 Dy kënde janë kongruente. A janë kongruente këndet shtuese me to? Formuloni dhe vërtetoni teoremën.

2 Vërtetoni teoremën “Nëse dy kënde janë të kundërta në kulm, atëherë ato kanë masa të barabarta”.

3 Përkufizoni: a) kur dy drejtëza janë paralele; b) kur dy drejtëza janë pingule.

4 Drejtëza a pret brinjët e këndit ∠ AOB në pikat M, N. A mund të jenë drejtëzat (OM), (ON) pingule ndaj a?

5 A mund të heqim nga një pikë jashtë një drejtëze a, dy drejtëza që të jenë pingule me a?

6 Tregoni se dy drejtëza, të cilat shtrihen në dy rrafshe paralele, nuk mund të priten.

7 Janë dhënë pesë rrafshe në mënyrë të tillë që, çdo dy prej tyre priten. Sa drejtëza prerëse më së shumti mund të formohen në këtë rast?

8 Tregoni se ekzistojnë tri rrafshe α, β dhe γ, në mënyrë të tillë që, çdo dy prej tyre priten, ndërsa të tri rrafshet nuk kanë asnjë pikë të përbashkët.

9 Nëse tri drejtëza të një rrafshi priten në një pikë, atëherë tregoni se shuma e këndeve jo fqinje që formohen në atë rast është 180o .

5. GJEOMETRIA NË RRAFSH 103

5.5 Trekëndëshi. Veti të tij

A Kërkoni dhe zbuloni

Punë në grup

Vizatoni trekëndësha. I klasifikoni sipas llojit të brinjëve dhe sipas llojit të këndeve. Përgjigjuni pyetjeve:

- Sa është shuma e këndeve të brendshme të trekëndëshit?

Një trekëndësh kënddrejtë, a mund të këtë një kënd të gjerë?

Një trekëndësh a mund të ketë dy kënde të ngushta? Po dy kënde të drejta? Po dy kënde të gjera?

A është i vërtetë pohimi: “Masa e këndit të jashtëm të një trekëndëshi është i barabartë me shumën e masave të dy këndeve të brendshme jo të bashkëmbështetura me të? Pse? Diskutoni.

B Vrojtoni dhe mësoni

Mbani mend:

Vijë e thyer quhet vija e formuar nga segmente të njëpasnjëshme. Një vijë e thyer mund të jetë e hapur (fig. 5.19/a) ose e mbyllur (fig. 5.19/b); ajo mund të presë veten (fig. 5.19/c).

Fig. 5.19

Çdo vijë e thyer, e mbyllur, që nuk pret veten, e ndan rrafshin në dy pjesë: njëra e kufizuar dhe tjetra e pakufizuar.

Mbani mend:

Figura e formuar nga një vijë e thyer, e mbyllur, që nuk pret veten quhet shumëkëndësh. Figura e formuar nga një vijë e thyer, e mbyllur, që nuk pret veten dhe nga pikat që ndodhen brenda saj (në pjesën e kufizuar) quhet sipërfaqe shumëkëndore (fig. 5.20).

DC E

Fig. 5.20

Dimë se trekëndësh quhet shumëkëndëshi që ka tri brinjë.

Veti të trekëndëshit

1. Në çdo trekëndësh, shuma e dy brinjëve është më e madhe se brinja e tretë.

2. Në çdo trekëndësh, përballë brinjës më të madhe ndodhet këndi më i madh dhe përballë këndit më të madh ndodhet brinja më e madhe.

3. Shuma e këndeve të brendshme të trekëndëshit është 1800

MATEMATIKA 9 104

A B

A A A B B CB C C D a)b)c) DD EE E

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. Në një trekëndësh kënddrejtë, masa e një këndi të ngushtë është 55o. Sa është masa e këndit tjetër të ngushtë?

2. A ekziston një trekëndësh, brinjët e të cilit të jenë:

a) 12 cm, 13 cm, 14 cm; b) 12 cm, 12 cm, 14 cm; c) 12 cm, 13 cm, 16 cm?

3. Në figurën 5.21, trekëndëshi ABC është barakrahës (AB = AC) dhe (PQ)||(BC). Gjeni masat e këndeve x dhe y.

USHTRIME

1 A është e vërtetë fjalia:

a) Një trekëndësh mund të ketë dy kënde të gjera.

b) Një trekëndësh mund të ketë vetëm një kënd të ngushtë. c) Këndet e ngushta të një trekëndëshi kënddrejtë janë shtuese.

2 Gjeni masën e këndit të tretë të trekëndëshit, kur masat e dy këndeve të tjera të tij janë: a) 50o dhe 60o; b) 60o dhe 90o; c) 120o dhe 20o

3 Në trekëndëshin ABC me perimetër 64 cm, kemi AB + BC = 34 cm dhe AB + AC = 40 cm. Gjeni gjatësitë e brinjëve.

4 Në një trekëndësh kënddrejtë, ndryshimi midis këndeve të ngushta është 30o. Gjeni masat e këtyre këndeve.

5 Në një trekëndësh, masa e njërit kënd është sa trefishi i masës së një tjetri dhe masa e këndit të tretë është sa ndryshimi i masave të dy të tjerëve. Gjeni masat e këndeve të trekëndëshit.

6 Gjeni masat e këndeve x, y, z, në figurën 5.22.

7 Masa e këndit ∠ A, në trekëndëshin ABC, është 100o dhe këndi ∠ B është sa trefishi i këndit ∠ C. Gjeni masat e këndeve të trekëndëshit.

8 Perimetri i një trekëndëshi është 10 cm, kurse gjatësia e brinjëve të tij shprehet me numra natyrorë. Gjeni të gjithë trekëndëshat që e kanë këtë veti.

9 Dy brinjë të një trekëndëshi barakrahës kanë gjatësi 12 cm dhe 3 cm. Sa është gjatësia e brinjës së tretë të trekëndëshit?

10 Në një trekëndësh barakrahës, masa e këndit të jashtëm në bazë është 124o. Gjeni masën e këndit në kulm të trekëndëshit.

11 Trekëndëshi barakrahës e ka gjatësinë e brinjës 34 cm. Me sa cm duhet zmadhuar gjatësia e brinjës, që perimetri i trekëndëshit të jetë 141?

12 Vizatoni një mozaik gjeometrik me një trekëndësh barakrahës. Shpjegoni pse çdo trekëndësh mund të formojë një mozaik gjeometrik.

5. GJEOMETRIA NË RRAFSH 105

A P B C Q y x Fig. 5.21 Fig. 5.22 A D BC xy110˚70 ˚ 20˚ z

5.6 Segmente në trekëndësh

A Kërkoni dhe zbuloni

Punë në grup

Vizatoni dy trekëndësha çfarëdo. Në njërin prej tyre ndërtoni me kujdes segmentet që bashkojnë kulmet me meset e brinjëve përballë tyre. Në tjetrin, duke përdorur vizoren dhe trekëndëshin e vizatimit, nga çdo kulm i trekëndëshit, ndërtoni drejtëzën që është pingule me brinjën përballë. Ç’vini re në secilin rast?

B Vrojtoni dhe mësoni

Mbani mend:

Mesore e trekëndëshit quhet segmenti që bashkon një kulm me mesin e brinjës përballë tij.

Në figurën 5.23, pikat D, E, F janë meset e brinjëve BC, CA, AB të trekëndëshit ABC. Segmentet AD, BE, CF janë mesoret e këtij trekëndëshi. Të tri mesoret e trekëndëshit priten në një pikë G, e cila gjithmonë ndodhet brenda trekëndëshit. (Pika G quhet qendër e rëndesës së trekëndëshit). Pika G e ndan secilën mesore në dy segmente, ndër të cilat ai që e ka njërin skaj te kulmi është sa dyfishi i tjetrit: AG = 2 · GD; BG = 2 · GE; CG = 2 · GF.

BDC

E D 1

Në figurën 5.24 janë ndërtuar përgjysmoret e këndeve A, B, C të trekëndëshit ABC, që i presin brinjët përballë në pikat D, E, F. Segmentet AD, BE, CF, të marrë në këto gjysmëdrejtëza, quhen përgjysmore të këndeve në trekëndëshin ABC.

A G D BC Fig. 5.23 Fig. 5.24

Mbani mend:

Të tria përgjysmoret e trekëndëshit priten në një pikë O1, që ndodhet gjithmonë brenda trekëndëshit.

Më vonë do të tregojmë që largesat e pikës O1 nga të tria brinjët e trekëndëshit janë të barabarta.

Mbani mend:

Lartësi e trekëndëshit është segmenti i ulur nga kulmi, pingul me brinjën përballë tij.

Në figurën 5.25, nga pika A është ndërtuar pingulja mbi brinjën BC, e cila e pret atë në pikën D. Segmenti AD është lartësi (që del nga kulmi A).

Ne mund të themi që lartësia është segmenti që bashkon njërin kulm me projeksionin e tij mbi brinjën përballë. Trekëndëshi ka tri lartësi. Të tria lartësitë e trekëndëshit priten në një pikë H (kjo pikë quhet ortoqendër e trekëndëshit). Kur trekëndëshi është këndngushtë,

D B

C Fig. 5.25

MATEMATIKA 9 106

Fig. 5.26

ortoqendra ndodhet brenda tij (fig. 5.26/a). Kur trekëndëshi është kënddrejtë, ortoqendra përputhet me kulmin e këndit të drejtë (fig. 5.26/b). Kur trekëndëshi është këndgjerë, ortoqendra ndodhet jashtë trekëndëshit (fig. 5.26/c).

Mbani mend:

Përmesoret e tri brinjëve të një trekëndëshi priten në një pikë O. Ajo mund të ndodhet brenda trekëndëshit (kur trekëndëshi është këndngushtë); në mesin e hipotenuzës (kur trekëndëshi është kënddrejtë); jashtë trekëndëshit (kur trekëndëshi është këndgjerë).

Më vonë do të vërtetojmë që pika, ku priten përmesoret e trekëndëshit, ka largesa të barabarta nga kulmet e tij.

Mbani mend:

Fig. 5.27

Më vonë do të vërtetojmë që pika, ku priten përmesoret e trekëndëshit, ka largesa të barabarta nga kulmet e tij.

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. Ndërtoni tri përmesoret e një trekëndëshi kënddrejtë. A është pika e prerjes së tyre mesi i hipotenuzës? Detyra të zgjidhet duke zbatuar programin Geogebra.

2. Gjeni masën e këndit që formojnë përgjysmoret e këndeve të brendshme pranë kulmeve A dhe B të trekëndëshit ABC, nëse këndi në kulmin C e ka masën 50o .

3. Në një trekëndësh kënddrejtë ABC (B është kulmi i këndit të drejtë), M është pika e prerjes së përgjysmoreve të këndeve pranë kulmeve A dhe C. Gjeni masën e këndit ∠AMC.

5. GJEOMETRIA NË RRAFSH 107

BAABB

C ZCC M MM

NNN Z Z OO O

A A

B BB

C C OO

O

O A a b c

USHTRIME

1 a) Vizatoni një trekëndësh barakrahës.

Ndërtoni lartësitë mbi brinjët anësore.

Kontrolloni nëse ato janë kongruente.

2 Ndërtoni një trekëndësh barabrinjës ABC. Tregoni që mesorja që del nga kulmi A është edhe lartësi, përgjysmore dhe përmesore e brinjës BC.

3 Në figurën 5.28, trekëndëshi ABC është kënddrejtë (∠A = 90o) dhe AH është lartësia mbi brinjën BC; ∠ABH = 28o. Gjeni masat e këndeve ∠ACH, ∠CAH, ∠HAB.

4 Shënoni tri pika A, B, G jo në vijë të drejtë. Përcaktoni pikën C, në mënyrë që pika G të jetë qendra e rëndesës së trekëndëshit ABC.

5 Në një trekëndësh barakrahës, lartësia është 15 cm. Në ç’largesë nga brinjët ndodhet qendra e rëndesës?

6 Në një trekëndësh barakrahës, përgjysmorja e këndit në kulm dhe përgjysmorja e njërit kënd të bazës formojnë këndin me masë 130o. Gjeni masën e këndeve të tij.

7 Gjeni masën e këndit të ngushtë ndërmjet dy mesoreve të një trekëndëshi barakrahës.

8 Këndi i jashtëm në kulmin B të një trekëndëshi barakrahës e ka masë 108o. Gjeni masën e këndit ndërmjet lartësisë dhe përgjysmores së hequr nga kulmi A.

9 Përgjysmoret e këndeve pranë kulmeve A dhe B të trekëndëshit ABC priten në pikën O. Nga pika O hiqet drejtëza a, paralele me brinjën AB deri në pikëprerjet M dhe N me brinjët AC dhe BC (fig. 5.29).Vërtetoni së MN = AM + BN.

N

A O Fig. 5.29

10 Konstruktoni një trekëndësh barakrahës. Hiqni përgjysmoren e këndit të jashtëm në kulmin e trekëndëshit (fig. 5.30). Vërtetoni se kjo përgjysmore është paralele me bazën.

C A

5. 30

MATEMATIKA 9 108

AB C H 28˚ Fig. 5.28

Fig.

5.7 Ndërtime trekëndëshash

A Kërkoni dhe zbuloni

Ndërtoni me mjete dy trekëndësha ABC dhe MNP, për të cilët dihet: AB = MN = 3 cm; AC = MP = 4 cm; ∠A = ∠M = 40o. Nëse BC = 8 cm, sa është NP? Tregoni tri gjatësi, të cilat mund të shërbejnë si brinjë të një trekëndëshi. Diskutoni.

B Vrojtoni dhe mësoni

1. Ndërtoni trekëndëshin që ka si brinjë dy segmente të dhëna a, b dhe këndin e përfshirë midis tyre sa një kënd i dhënë (fig. 5. 31).

Zgjidhje

Fig. 5.31

Në fletën e letrës, marrim një gjysmëdrejtëz OP dhe mbi këtë, duke u nisur nga pika A, vendosim me anë të kompasit një segment AB, të barabartë me segmentin e dhënë a (fig. 5.32/a). Pastaj ndërtojmë një kënd të barabartë me këndin e dhënë γ, i cili ta ketë kulmin në pikën A (fig. 5.32/b). Në brinjën tjetër të këtij këndi, duke filluar nga pika A, vendosim një segment AC, të barabartë me segmentin e dhënë b. a a) b) c)

0ABPa0ABPa 0A

b C BP Fig. 5.32

Bashkojmë me vizore pikat A dhe C (fig. 5.32/c). Trekëndëshi ABC është trekëndëshi i kërkuar.

Punë në grup Ndërtoni dy trekëndësha të tillë. Pritini. Vendosini njërin mbi tjetrin. Çfarë vini re?

2. Ndërtoni trekëndëshi ABC, që e ka brinjën BC sa një segment i dhënë a dhe këndet ∠B dhe ∠C përkatësisht sa dy kënde të dhëna ß, γ (fig. 5.33).

Zgjidhje

ß Fig. 5.33

Ndërtojmë një drejtëz d dhe në të, me anë të kompasit, vendosim një segment BC = a. Me kulm në B ndërtojmë një kënd të barabartë me këndin ß (fig. 5.34/a). Pastaj me kulm në C ndërtojmë një kënd të barabartë me këndin γ (fig. 5.34/b).

Le të shënojmë me A pikën ku priten brinjët e tjera të këtyre dy këndeve. Trekëndëshi i formuar ABC është ai që kërkohet?

5. GJEOMETRIA NË RRAFSH 109

B A a)b) aC ß BC ß Fig. 5.34

Punë në grup

Ndërtoni dy trekëndësha të tillë. Pritini. Vendosini njëri mbi tjetrin. Çfarë vini re?

3. Janë dhënë tri segmente a, b, c, të tillë që secili prej tyre është më i vogël se shuma e dy të tjerëve (fig. 5.35). Të ndërtohet trekëndëshi me brinjë a, b, c.

Zgjidhje

5.35 abc

Vizatojmë një drejtëz dhe në të, me anë të kompasit, vendosim një segment BC = a. Ndërtojmë një rreth me qendër B dhe me rreze sa segmenti c, dhe një rreth tjetër me qendër C e me rreze sa segmenti b. Këta rrathë priten në dy pika A, A1, në anë të ndryshme të segmentit BC. Secili nga trekëndëshat ABC, A1BC plotëson kërkesat e problemës (fig. 5.36).

Punë në grup

Ndërtoni dy trekëndësha të tillë. Pritini. Vendosini njëri mbi tjetrin. Çfarë vini re?

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. Ndërtoni trekëndëshin kënddrejtë me katete 3 cm dhe 4 cm.

2. Ndërtoni trekëndëshin barakrahës me bazë 4 cm dhe kënd pranë bazës 40˚

USHTRIME

1 Ndërtoni trekëndëshin, kur njihen dy brinjë 3 cm, 4 cm dhe këndi midis tyre 100o .

2 Ndërtoni trekëndëshin kënddrejtë me katete:

2 cm dhe 5 cm;

3 cm dhe 6 cm.

3 Ndërtoni trekëndëshin barakrahës me kënd në kulm 40o dhe brinjë anësore 4 cm.

Ndërtoni trekëndëshin ABC sipas të dhënave:

BC = 3 cm; ∠B = 50o; ∠C = 60o; b) AC = 4 cm; ∠A = 40o; ∠C = 80o .

Ndërtoni trekëndëshin barakrahës, me bazë 5 cm dhe kënd në bazë 80o .

6 Ndërtoni trekëndëshin

një mozaik gjeometrik

këtë

MATEMATIKA 9 110

Fig.

kënddrejtë ABC, kur njihet kateti AB = 4 cm dhe këndi i ngushtë ∠ABC = 60o 7 Ndërtoni trekëndëshin kënddrejtë ABC, kur njihet hipotenuza BC = 6 cm dhe këndi i ngushtë ∠ACB = 62o 8 Ndërtoni dy trekëndësha me brinjë 3,5 cm; 2,5 cm dhe 4,5 cm. Pritini dy trekëndëshat. Vendosini njëri mbi tjetrin. Çfarë vini re? 9 Duke përdorur programin Geogebra, ndërtoni trekëndëshin sipas të dhënave të ushtrimit 1 dhe 2. 10 Ndërtoni trekëndëshin barakrahës me brinjë 5 cm. Vizatoni

trekëndësh. bc a A1 A BC Fig. 5.36

Rasti I i kongruencës së trekëndëshave

A Kërkoni dhe zbuloni

Punë në grup

Ndërtoni trekëndëshin ABC, duke marrë AB = 10 cm, BC = 6 cm dhe ∠ABC = 60o Ndërtoni trekëndëshin A1B1C1, duke marrë A1B1 = 10 cm, B1C1 = 6 cm dhe ∠A1B1C1 = 60o . Matni dhe krahasoni AC me A1C1, ∠A me ∠A1, ∠C me ∠C1. Ç’vini re? A mund të themi që Δ ABC mund të përputhet me Δ A1B1C1?

B Vrojtoni dhe mësoni

Mbani mend:

Dy figura, në veçanti dy trekëndësha, quhen kongruentë nëse ata mund t’i puthitim me anë të mbivendosjes.

Në figurën 5.37 janë paraqitur dy trekëndësha kongruentë ABC, A1B1C1. Secilin prej tyre mund ta mbivendosim mbi tjetrin, në mënyrë që ata të puthiten plotësisht, d.m.th. të puthiten dy nga dy kulmet e tyre dhe po ashtu brinjët e tyre. A A1 B1

C Fig. 5.37

C1 B

Mbani mend:

Nëse dy trekëndësha janë kongruentë, atëherë elementet (d.m.th. brinjët dhe këndet) e njërit trekëndësh janë përkatësisht kongruente me elementet e trekëndëshit tjetër.

Vëmë në dukje se, në trekëndësha kongruentë, përballë brinjëve përkatësisht kongruente ndodhen kënde kongruente dhe anasjellas, përballë këndeve përkatësisht kongruente qëndrojnë brinjë kongruente. P.sh., në trekëndëshat kongruentë ABC, A1B1C1 të paraqitur në figurën 5.37, përballë brinjëve kongruente [AB] dhe [A1B1] qëndrojnë kënde kongruente ∠C = ∠C1 Kur trekëndëshat ABC, A1B1C1 janë kongruentë, përdoret shënimi Δ ABC = Δ A1B1C1. Është vënë re që herët se kongruenca e dy trekëndëshave mund të përcaktohet më thjesht duke krahasuar disa elemente të tyre. Kjo mundësi është shumë e rëndësishme për praktikën. P.sh., kur krahasojmë dy parcela toke trekëndore, ne nuk mund t’i vendosim ato njëra mbi tjetrën, por matim e krahasojmë elementet e tyre.

Ka vend kjo teoremë:

Teorema

Nëse dy brinjë dhe këndi midis tyre i një trekëndëshi janë përkatësisht kongruentë me dy brinjë dhe këndin midis tyre të një trekëndëshi tjetër, atëherë trekëndëshat janë kongruentë. Ky quhet rasti i parë i kongruencës së trekëndëshave ose rasti BKB (brinjë-kënd-brinjë).

111 5. GJEOMETRIA NË RRAFSH 5.8

Shembulli 1

Segmentet [AE] dhe [BC] priten në pikën D, që është mes i secilit prej tyre. Sa është AB, nëse CE = 10 m?

Zgjidhje

Në figurën 5.38 kemi:

1. [AD] = [DE] (sepse D është mesi i [AE])

2. [BD] = [DC] (sepse D është mesi i [BC])

3. ∠ADB = ∠CDE (sepse janë kënde të kundërta në kulm) Prandaj, në bazë të rastit të parë të kongruencës së trekëndëshave, nxjerrim që Δ ABD = Δ CED. Në trekëndësha kongruentë, përballë këndeve kongruente (∠ADB dhe ∠CDE) ndodhen brinjë kongruente, pra [AB] = [CE]. Që këtej rrjedh AB = CE d.m.th. AB = 10 cm.

C Ushtrohuni duke zbatuar

Segmentet [MN] dhe [AB] priten në pikën O, që është mes për secilin prej tyre.

a) Vërtetoni që Δ AOM = Δ BON.

b) Vërtetoni që Δ AON = Δ BOM.

c) Duke ditur që ∠B = 54o , ∠N = 72o, gjeni ∠A dhe ∠M në trekëndëshin AOM.

USHTRIME

1 Në figurën 5.39 kemi AB = AC dhe ∠1 = ∠2. a) Vërtetoni që Δ ABD = Δ ACD. Fig. 5.39 b) Gjeni BD dhe AB, nëse AC = 12 cm, DC = 7 cm.

2 Në figurën 5.40 kemi BC = AD dhe ∠1 = ∠2. a) Vërtetoni që trekëndëshat ABC dhe CDA janë kongruentë. b) Gjeni AB dhe BC, nëse AD = 15 m, DC = 14 m. Fig. 5.40

3 Në figurën 5.41 kemi OA = OD, OB = OC, ∠1 = 70o , ∠2 = 2 0o a) Vërtetoni që Δ AOB = Δ DOC. b) Gjeni ∠ACD. Fig. 5.41

4 Segmentet [AC] dhe [BD] priten në mesin e tyre. Vërtetoni që Δ ABC = Δ CDA.

5 Në trekëndëshat ABC dhe A1B1C

MATEMATIKA 9 112

1, kemi AB = A1B1, AC = A1C1, ∠A = ∠A1. Në brinjët [AB] dhe [A1B1] janë marrë pikat P dhe P1, të tilla që AP = A1P1. Vërtetoni që Δ BPC = Δ B1P1C1(fig. 5.42). 6 Në brinjët e këndit CAD janë marrë pikat B dhe E, të tilla që pika B është në [AC], kurse pika E në [AD]. Dihet që AC = AD dhe AB = AE. Vërtetoni që ∠CBD = ∠DEC (fig. 5.43). Fig. 5.43 7 Vizatoni një trekëndësh barakrahës ABC (AB = AC) dhe hiqni mesoret BE dhe CF mbi dy brinjët kongruente. Pse trekëndëshat ABE dhe AFC janë kongruentë? A BC D EFig. 5.38 A B C D1 2 A B 4 2 1 3 C D A B 2 1O C D AB C PA1B1 C1 P1 A BC ED Fig. 5.42

5.9 Rasti II i kongruencës së trekëndëshave

A Kërkoni dhe zbuloni

Në trekëndëshat ABC, MNP kemi AB = MN, ∠A = ∠M, ∠B = ∠N. A mund të themi që BC = NP, AC = MP? Pse? Diskutoni.

B Vrojtoni dhe mësoni

Ka vend kjo teoremë.

Teoremë

Nëse një brinjë dhe dy këndet afërndenjëse me të, të një trekëndëshi janë përkatësisht kongruente me një brinjë dhe dy këndet afërndenjëse me të, të një trekëndëshi tjetër, atëherë këta trekëndësha janë kongruentë.

Kjo teoremë (që ne do ta pranojmë pa vërtetim) shpreh rastin e dytë të kongruencës së trekëndëshave, që quhet shkurt “rasti kënd-brinjë-kënd (KBK)”.

Shembulli 1

Segmentet [AB] dhe [CD] priten në pikën O, që është mesi i [AB] (fig. 5.44). Dihet që ∠OAD = ∠OBC.

a) Vërtetoni që Δ CBO = Δ DAO.

b) Gjeni BC, nëse AD = 15 cm.

Zgjidhje

a) Për trekëndëshat CBO, DAO kemi:

1. [AO] = [OB], sepse O është mesi i [AB].

2. ∠OAD = ∠OBC (nga kushti).

3. ∠1 = ∠2 si kënde të kundërta në kulm.

Fig. 5.44

Pra, një brinjë dhe dy këndet afërndenjëse me të, të njërit trekëndësh janë përkatësisht kongruente me një brinjë dhe dy këndet afërndenjëse me të, të trekëndëshit tjetër. Në bazë të teoremës së mësipërme (rastit të dytë të kongruencës së trekëndëshave), shkruajmë: Δ CBO = Δ DAO.

b) Në trekëndësha kongruentë, përballë këndeve kongruente ndodhen brinjë kongruente. Meqenëse ∠2 =∠1, rrjedh [BC] = [AD], prandaj BC = AD = 15 cm.

C Ushtrohuni duke zbatuar

Në figurën 5.45, kemi ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4.

a) Vërtetoni që Δ ABC = Δ CDA.

b) Gjeni AB dhe BC, nëse AD = 12 cm dhe CD = 9 cm.

Fig. 5.45

113 5. GJEOMETRIA NË RRAFSH

A B C D 1O 2 A B 3 2 1 4 C D

USHTRIME

1 Sipas të dhënave të figurës 5.46, vërtetoni që OM = ON, ∠M = ∠N.

2 Në figurën 5.47 kemi ∠PMN = ∠RNM, ∠RMN = ∠ PNM dhe PN = 10 cm. Gjeni MR. Fig. 5.47

RP M

3 Në përgjysmoren e këndit A është marrë pika M, kurse në brinjët e tij, pikat B, C, të tilla që ∠AMB = ∠AMC (fig. 5.48). Vërtetoni që Δ AMB = Δ AMC.

M Fig. 5.48

A R

Fig. 5.46

N

4 Në trekëndëshat ABC dhe A1B1C1 kemi AB = A1B1, BC = B1C1 dhe ∠B = ∠B1. Në brinjët [AB] dhe [A1B1] janë marrë pikat M dhe M1, të tilla që ∠ACM = ∠A1C1M1. Vërtetoni që Δ BCM = Δ B1C1M1 (fig. 5.49).

C MB A1 1

C1 M1 Fig. 5.49

5 Vërtetoni që në trekëndësha kongruentë, përgjysmoret në kulmet e këndeve kongruente janë kongruente (si segmente).

6 Në trekëndëshat ABC dhe A1B1C1 segmentet [CM] dhe [C1M1] janë mesore (fig. 5.50). Dihet që BC = B1C1, ∠B = ∠B1 dhe ∠C = ∠C1. Vërtetoni që: a) Δ ACM = Δ A1C1M1; b) Δ BCM = Δ B1C1M1. A

C MBA1

C1 B M1 1 Fig. 5.50

7 Nga një pikë çfarëdo e përgjysmores së një këndi hiqni pingulen ndaj përgjysmores. Vërtetoni se ajo cakton në brinjët e këndit segmente me gjatësi të barabarta.

8 Vizatoni një trekëndësh ABC. Nga kulmi A, hiqni mesoren [AM]. Nga B dhe C hiqni pingulet [CE] dhe [BF] mbi [AM]. Tregoni se segmentet [CE] dhe [BF] janë kongruente.

MATEMATIKA 9 114

A B

M O

5.10 Rasti III i kongruencës së trekëndëshave

A Kërkoni dhe zbuloni

Për trekëndëshat ABC dhe MNP kemi: AB = MN, AC = MP, BC = NP. Dihet që ∠A = 50o. Sa shkallë është masa e ∠M? Diskutoni.

B Vrojtoni dhe mësoni

Do të pranojmë pa vërtetim këtë teoremë.

Teoremë

Nëse tri brinjët e një trekëndëshi janë përkatësisht kongruente me tri brinjët e një trekëndëshi tjetër, atëherë këta trekëndësha janë kongruentë

Kjo teoremë quhet rasti III i kongruencës së trekëndëshave ose rasti BBB (brinjë-brinjë-brinjë).

Shembulli 1

Në figurën 5.51 kemi MP = NQ, NP = MQ dhe këndi ∠NMQ = 72o. Të gjendet ∠PMN.

Zgjidhje

Fig. 5.51

Për trekëndëshat PMN, QNM kemi MP = NQ, NP = MQ dhe MN e përbashkët. Prandaj këta dy trekëndësha janë kongruentë (sipas rastit III të kongruencës së trekëndëshave). Në trekëndësha kongruentë, përballë brinjëve kongruente ndodhen kënde kongruente, prandaj këndi PMN e ka masën sa këndi NMQ, d.m.th. 720

Zbatim. Përfytyroni dy listela në të cilat dy skaje janë mbërthyer me vidë (fig. 5.52/a). Ky konstruksion nuk është i ngurtë, duke hapur ose mbyllur skajet e lira të listelave, ne mund të ndryshojmë këndin midis tyre. Merrni tani edhe një listelë tjetër dhe mbërtheni skajet e tij me skajet e lira të dy listelave të para me vida (fig. 5.52/b). A është i ngurtë konstruksioni i formuar (a mund të ndryshojnë këndet e trekëndëshit të formuar?). Ky konstruksion është i ngurtë (pra, këndet e trekëndëshit nuk mund të ndryshojnë). Ne mund ta zhvendosim konstruksionin në plan, por në të gjitha pozicionet e tij do të kemi trekëndësha që kanë si brinjë tri listelat e dhëna, pra që janë kongruente (sipas rastit të tretë të kongruencës).

C Ushtrohuni duke zbatuar

Në figurën 5.53, kemi BC = AD, DC = AB. Vërtetoni

115 5. GJEOMETRIA NË RRAFSH

që ∠B = ∠D. Fig. 5.53 A C MBA1 C1 B M1 1 a b Fig. 5.52 D AB C

USHTRIME

1 Vërtetoni se nëse një brinjë e trekëndëshit barabrinjës është kongruente me një brinjë të një trekëndëshi tjetër barabrinjës, atëherë këta trekëndësha janë kongruentë.

2 Në figurën 5.54, kemi MQ = NP dhe MP = NQ. Vërtetoni që:

∠PMN = ∠QNM; Fig. 5.54

∠QMP = ∠QNP.

3 Në figurën 5.55, kemi MQ = NP, MN = PQ. [QE) është përgjysmore e këndit MQP, kurse [NF) është përgjysmore e këndit MNP. Vërtetoni që: a) ∠MQP = ∠ MNP; b) Δ MEQ = Δ PFN; c) Δ PQE = Δ MNF.

Fig. 5.55

4 Në trekëndëshat ABC dhe A1B1C1, mesoret [AM] dhe [A1M1] janë kongruente dhe [AB] = [A1B1], [BC] = [B1C1]. Vërtetoni që Δ ABC = Δ A1B1C1 (fig. 5. 56). B

A MCB1

A1 C M1 1 Fig. 5.56

5 Në trekëndëshat ABC, A1B1C1, përgjysmoret [A1D1] dhe [AD] janë kongruente, [AB] = [A1B1], [BD] = [B1D1]. Vërtetoni që Δ ABC = Δ A1B1C1

6 Trekëndëshat barakrahës ABC dhe CBD kanë brinjë të përbashkët [DC] (fig. 5.57). Drejtëza (AB) e pret segmentin [DC] në pikën M. Vërtetoni që: a) Δ ADB = Δ ACB; b) MD = MC.

D

B

Fig. 5.57

C

7 Është dhënë trekëndëshi barakrahës ABC, me gjatësi të brinjës 6 cm. Mbi [AB] merrni AE = 2 cm; mbi [BC] merrni BE = 2 cm dhe mbi [CA] merrni CM = 2 cm. Tregoni që trekëndëshi EFM është barakrahës.

8 Secila brinjë e trekëndëshit barakrahës ABC zgjatet: AB përtej kulmit B; BC përtej kulmit C; CA përtej kulmit A; në vazhdim merren segmente të barabarta dhe fundet e tyre bashkohen. Tregoni llojin e trekëndëshit që formohet.

9 Është dhënë trekëndëshi ABC. Konstruktoni mesoren AM dhe në zgjatimin e saj përtej pikës M merrni pikën D, të tillë që MD = AM. Bashkoni D me C. Vërtetoni se trekëndëshat AMB dhe CMD janë kongruentë.

MATEMATIKA 9 116

QP M E F N

QP

5.11 Veti të trekëndëshit barakrahës

A Kërkoni dhe zbuloni

Në trekëndëshin barakrahës me bazë [AB], hiqni mesoren [CD] nga kulmi C (fig. 5.58). Jepni përgjigjet për pyetjet e mëposhtme.

1. A mund të themi që ∠CAD = ∠CBD. Pse?

2. A janë kongruentë trekëndëshat CAD, CBD. Pse?

3. A mund të themi që ∠ACD = ∠BCD. Pse?

4. Ç’është gjysmëdrejtëza [CD) për këndin ACB?

5. A mund të themi që ∠ACD = ∠BDC?

6. Sa është masa e secilit nga këto kënde, duke ditur që ato janë shtuese?

7. Ç’është segmenti [CD] për trekëndëshin ABC?

B Vrojtoni dhe mësoni

Mbani mend:

Trekëndëshi quhet barakrahës nëse ai ka dy brinjë kongruente. Në trekëndëshin barakrahës, brinjët që janë kongruente quhen brinjë anësore, kurse brinja e tretë quhet bazë

Në figurën 5.59 është paraqitur trekëndëshi barakrahës ABC me bazë [AB].

Mbani mend:

Trekëndëshi që i ka të tria brinjët kongruente, quhet barabrinjës.

Teoremë 1

Në trekëndëshin barakrahës, këndet pranë bazës janë kongruente.

Vërtetim.

Le të jetë ABC një trekëndësh barakrahës me bazë [AB] (fig. 5.60).

ADB

Fig. 5.58

C Fig. 5.59

C D

Fig. 5.60

Heqim përgjysmoren [CD], të dalë nga kulmi C. Trekëndëshat ACD dhe BCD janë kongruentë në bazë të rastit të parë të kongruencës së trekëndëshave, sepse [AC] = [CB], [CD] = [CD], ∠1 = ∠2. Në trekëndësha kongruentë, përballë brinjëve kongruente ([CD] = [CD]) ndodhen kënde kongruente, prandaj ∠CAD = ∠CBD. Teorema u vërtetua.

Duke zgjidhur ushtrimin e hyrjes së këtij mësimi, ju keni vërtetuar këtë teoremë:

Teoremë 2

Në trekëndëshin barakrahës, mesorja e hequr nga kulmi ndaj bazës është edhe përgjysmore, edhe lartësi e trekëndëshit.

Punë në grup

Vërtetoni teoremën e anasjelltë:

Nëse në trekëndëshin ABC, kemi ∠A = ∠B, atëherë [AC] = [BC].

117 5. GJEOMETRIA NË RRAFSH

C Ushtrohuni duke zbatuar Mesorja [AD] e trekëndëshit ABC është zgjatur përtej brinjës (BC), duke marrë segmentin [DE] = [AD] dhe pika E është bashkuar me pikën C.

B D E C

Fig. 5.61a) Vërtetoni që Δ ABD = Δ ECD. b) Gjeni ∠ACE, nëse ∠ACD = 50o dhe ∠ABD = 35o .

USHTRIME

1 Në figurën 5.62 kemi [CD] = [BD] dhe ∠1 = ∠2. Vërtetoni që trekëndëshi ABC është barakrahës.

B A C

D 1 2 Fig. 5.62

2 Trekëndëshat ABC dhe A1B1C1 janë kongruentë. M dhe M1 janë meset e brinjëve kongruente [BC] dhe [B1C1]. Vërtetoni që mesoret [AM] dhe [A1M1] janë kongruente.

3 Vërtetoni që, nëse mesorja e një trekëndëshi është edhe lartësi e tij, atëherë trekëndëshi është barakrahës.

4 Në figurën 5.63, kemi CD = BD dhe ∠1= ∠2. Vërtetoni që trekëndëshi ABC është barakrahës.

B Fig. 5.63

A C

D 1 2

5 Në figurën 5.64, kemi AB = BC dhe ∠DBC = 100o. Gjeni ∠BDC. A

C BD Fig. 5.64

6 Në figurën 5.65, kemi AB = BC dhe CD = DE. Vërtetoni që ∠BAC = ∠CED. Fig. 5.65 AC

B E

MATEMATIKA 9 118

5.12 Zbatime të kongruencës së trekëndëshave

A Kërkoni dhe zbuloni

Një pikë M e rrafshit ka largesa të barabarta nga skajet A dhe B të segmentit AB (fig. 5.66). Le të jetë O mesi i segmentit AB.

1. A janë kongruentë trekëndëshat AOM dhe BOM? Pse?

2. A mund të themi që ∠AOM = ∠BOM? Pse?

3. Sa është masa e këndeve AOM, BOM?

4. Ç’është drejtëza MO për segmentin AB? Diskutoni.

B Vrojtoni dhe mësoni

- Vetia e përmesores së segmentit

Çdo pikë që ndodhet në përmesoren e një segmenti, ka largesa të barabarta nga skajet e segmentit.

Vërtetim

Le të jetë p përmesorja e segmentit AB dhe M një pikë në të (fig. 5.67). Të tregojmë që AM = BM. Nëse shënojmë me O mesin e segmentit AB, trekëndëshat AOM dhe BOM janë kongruentë, sipas rastit të parë të kongruencës së trekëndëshave, sepse: Fig. 5.67

OA = OB (pse?)

∠AOM = ∠MOB = 90o (pse?)

OM = OM Nga kongruenca e këtyre trekëndëshave rrjedh që AM = BM, çfarë deshëm të vërtetonim.

Mbani mend:

Nëse një pikë e rrafshit ka largesa të barabarta nga skajet e një segmenti, atëherë ajo ndodhet në përmesoren e segmentit.

Punë në grup

Ndërtoni një segment. Gjani bashkësinë e të gjithë pikave të rrafshit që janë të baraslarguara nga skajet e segmentit.

Ne mund të ndërtojmë, me kompas dhe vizore, simetralen një këndi të dhënë ABC, duke u bazuar te rasti III i kongruencës së trekëndëshave.

Me qendër në kulmin B të këndit dhe me rreze të çfarëdoshme a, ndërtojmë një hark rrethi, që pret brinjët e këndit në pikat M, N. Me qendër në pikën N dhe me të njëjtën rreze a, ndërtojmë një rreth; me qendër në pikën M dhe me të njëjtën rreze a, ndërtojmë një rreth tjetër. Këta rrathë, veç pikës B priten edhe në një pikë tjetër P (fig. 5.68). Ndërtojmë drejtëzën BP; ajo do të jetë përgjysmorja e këndit ABC.

119 5. GJEOMETRIA NË RRAFSH

M A O B A M OB A MC N P aa 1 2 aa B Fig. 5.68 Fig. 5.66

Vetia e përgjysmores së këndit

Çdo pikë që ndodhet në përgjysmoren e një këndi ka largesa të barabarta nga brinjët e këndit.

Vërtetim

Le të jetë OC përgjysmore e këndit ∠AOB dhe M një pikë, që ndodhet në këtë përgjysmore (fig. 5.69).

Nga pika M ndërtojmë pingulet me brinjët e këndit, dhe le të jenë K, L projeksionet e pikës M mbi këto brinjë. MK është largesa e pikës M nga drejtëza OA, ML është largesa e pikës M nga drejtëza OB. Të vërtetojmë që MK = ML. Dihet (ne këtë do ta pranojmë pa vërtetim) që trekëndëshat kënddrejtë që kanë hipotenuza kongruente dhe nga një kënd të ngushtë kongruentë, janë kongruentë. Trekëndëshat kënddrejtë OKM dhe OLM kanë hipotenuzën të përbashkët dhe nga një kënd të ngushtë të barabartë ∠1 = ∠2, sepse OC është përgjysmore e këndit AOB. Prandaj këta trekëndësha, sipas vetisë që përmendëm më sipër, janë kongruentë. Prej kësaj rrjedh që MK = ML, çfarë deshëm të vërtetonim.

Mbani mend: Nëse një pikë brenda një këndi ka largesa të barabarta nga brinjët e këndit, atëherë ajo ndodhet në përgjysmoren e këndit.

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. Vizatoni një segment AB dhe ndërtoni me kompas e vizore përmesoren e tij.

2. Largesat e një nxënësi nga dy shtylla telefonike janë 40 m dhe 50 m. A ndodhet në përmesoren e segmentit që formojnë bazat e dy shtyllave?

USHTRIME

1 Ndani një segment AB në 4 pjesë të barabarta.

2 Jepet një segment AB. Ku ndodhen kulmet e trekëndëshave barakrahës, me bazë segmentin AB?

3 Është dhënë drejtëza d dhe dy pika A, B të rrafshit. Gjeni me ndërtim pikën e drejtëzës d, që ka largesa të barabarta nga pikat A, B.

4 Ndani një kënd AOB në 4 pjesë të barabarta.

5 Është dhënë [ON) përgjysmorja e këndit AOB dhe OA = OB (fig. 5.70).

Vërtetoni se: a) trekëndëshat OAM dhe OMB janë kongruentë; b) trekëndëshat OAN dhe OBN janë kongruentë; c) trekëndëshat AMN dhe BMN janë kongruentë.

6 Nga një pikë çfarëdo e përgjysmores së një këndi, hiqni pingulen ndaj përgjysmores. Vërtetoni se ajo cakton në brinjët e këndit segmente me gjatësi të barabarta.

Fig. 5.70

MATEMATIKA 9 120

L O K MC B A 1 2 Fig. 5.69

AB N M O

Konstruktimi i disa vendeve gjeometrike të pikave në rrafsh

A Kërkoni dhe zbuloni

Merrni një pika A çfarëdo në rrafsh. Gjeni bashkësinë e të gjitha pikave të rrafshit që janë njësoj të larguara nga pika A. Kaloni një drejtëz a çfarëdo në pikën A. Gjeni bashkësinë e pikave të rrafshit që janë njësoj të larguara nga drejtëza a. Cili është vendi gjeometrik i pikave në secilin rast? Diskutoni.

B Vrojtoni dhe mësoni

Shembulli 1

Gjeni bashkësinë e pikave të rrafshit që ndodhen 5 cm larg nga pika A (fig. 5.71).

Për këtë, marrim kompasin. Hapim skajet e tij në largësinë 5 cm. Me qendër pikën A dhe rreze 5 cm ndërtojmë një rreth.

Mbani mend:

Bashkësia e pikave të rrafshit që kanë largësi të barabartë nga një pikë e tij, quhet rreth.

Shembulli 2

Gjeni bashkësinë e pikave të rrafshit që janë 4 cm larg drejtëzës a. c N 4cm 4cm MM a ab

b Fig. 5.72

Punë në grup Merrni tri pika çfarëdo në rrafsh që nuk ndodhen në të njëjtën drejtëz. Tregoni që këto tri pika përcaktojnë një rreth të vetëm.

Në drejtëzën a marrim një pikë çfarëdo M (fig. 5.72/a). Heqim pingulen b me drejtëzën a në këtë pikë. Në drejtëzën b gjejmë një pikë N që është 4 cm larg nga pika M (fig. 5.72/b). Në pikën N heqim një drejtëz c pingule me drejtëzën b. Drejtëza c është paralele më drejtëzën a, a // c. Çdo pikë e saj është 4 cm larg nga drejtëza a Sa drejtëza të tilla mund të ndërtojmë?

Në drejtëzën b ndodhen dy pika 4 cm larg nga pika M. Rrjedhimisht, ndërtohen dy drejtëza paralele me drejtëzën a, çdo pikë e të cilave është 4 cm larg nga drejtëza a (fig. 5.73)

M M1 b

4cm 4cm

5cm A Fig. 5.71 c a c1

Fig. 5.73

121 5. GJEOMETRIA NË RRAFSH 5.13

Mbani mend:

Bashkësia e pikave të rrafshit që kanë të njëjtën largesë nga një drejtëz e dhënë ndodhet në drejtëzën paralele me drejtëzën e dhënë.

Shembulli 3

Gjeni bashkësinë e pikave të rrafshit që janë njësoj të larguara nga dy drejtëza paralele. C A

aM N b Fig. 5.74

aM N b

Jepet drejtëza a // b. Marrim pikën M në drejtëzën a. Konstruktojmë largesën e pikës M nga drejtëza b, MN ┴ a dhe b. Konstruktojmë përmesoren e segmentit MN. Çdo pikë e saj është njësoj e larguar nga të dyja drejtëzat. Ky është vendi gjeometrik i kërkuar (fig. 5.74).

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. Gjeni bashkësinë e pikave të rrafshit që kanë largësinë 5,5 cm nga një pikë O e rrafshit.

2. Gjeni bashkësinë e pikave të rrafshit që kanë largesën 2,6 cm nga një drejtëz a në rrafsh.

3. Konstruktoni bashkësinë e të gjitha pikave në rrafsh nga të cilat segmenti i dhënë AB shihet nën këndin e dhënë.

4. Nga një pikë e dhënë jashtë rrethit, të konstruktohet tangjentja e tij.

USHTRIME

1 Vizatoni një drejtëz d dhe një segment AB në njërën anë të saj. Me vizore dhe kompas, gjeni pikën e drejtëzës d, që është e baraslarguar nga skajet e segmentit AB.

2 Është dhënë drejtëza d dhe pika A jashtë saj. Shënojmë me B një pikë në drejtëzën d. Gjeni një pikë C, të tillë që trekëndëshi ABC të jetë barakrahës.

3 Gjeni bashkësinë e pikave të rrafshit, të cilat janë të baraslarguara nga dy pika të dhëna.

4 Gjeni bashkësinë e pikave të rrafshit, që janë të baraslarguara nga dy drejtëza të rrafshit, të cilat priten.

5 Nëpër pikën P jashtë rrethit R(O; r), të konstruktohet tangjentja.

6 Të konstruktohet tangjentja e rrethit:

a) paralelisht me një drejtëz të dhënë; b) normal mbi drejtëzën e dhënë.

MATEMATIKA 9 122

mësuam?

Tashmë kemi mësuar

Dallimin e objekteve themelore gjeometrike (pikën, drejtëzën, rrafshin):

Provoni të zgjidhni

1 Sa rrafshe kalojnë nëpër një pikë?

2 Tregoni numrin më të vogël të pikave (drejtëzave) me të cilat përcaktohet një rrafsh i vetëm.

3 Tregoni se një drejtëz nuk është e përcaktuar vetëm me një pikë të saj.

4 Tregoni se dy drejtëza, të cilat shtrihen në dy rrafshe paralele, nuk mund të priten.

5 Përkufizoni kuptimin e gjysmëdrejtëzës, segmentit, trekëndëshit.

6 E saktë apo e gabuar:

Përkufizimin e kuptimeve gjeometrike themelore dhe të përftuara:

- Lartësitë e trekëndëshit priten në një pikë.

- Mesorja e trekëndëshit e ndan brinjën ku bie në dy segmente kongruente. Pika e prerjes së përgjysmoreve të një trekëndëshi këndgjerë ndodhet jashtë trekëndëshit.

- Në një trekëndësh barakrahës, lartësia që del nga kulmi i trekëndëshit puthitet me mesoren dhe përgjysmoren që dalin nga i njëjti kulm.

7 Në brinjën [AB] të Δ ABC është marrë pika D, kurse në brinjën [A1B1] të

A1B1C1 është marrë pika D1 (fig. 5.75).

Δ ACD = Δ A1C1D1 dhe [DB] = [D1B1].

C1 D1

5.75

DA1B1

A1B

është barabrinjës; M, N, P janë meset e brinjëve të tij (fig. 5.76).

B PN MC

Fig. 5.76

123 5. GJEOMETRIA NË RRAFSH

Dallimin e dy trekëndëshave kongruentë:

Dihet që

AB C

Fig.

a) Vërtetoni që = . b) Vërtetoni që Δ CDB = Δ

1D1B1. c) Vërtetoni që Δ ABC = Δ

1C1 8 Trekëndëshi ABC

a) Vërtetoni që Δ APM = Δ CMN = Δ BPN. b) Ç’lloj trekëndëshi është Δ MNP? 5.14 Çfarë

(Përsëritje)

Zbatimin e kongruencës së trekëndëshave për zgjidhjen e detyrave praktike:

9 Trekëndëshat ABC dhe A1B1C1 janë kongruentë. Vërtetoni që: a) mesoret [AM] dhe [A1M1] janë kongruente; b) përgjysmoret [AD] dhe [A1D1] janë kongruente.

10 Trekëndëshat ABC dhe ABC1 janë barakrahës me bazë të përbashkët [AB]. Tregoni që Δ ACC1= Δ BCC1 (fig. 5.77).

A CC1

B Fig. 5.77

11 Për të matur në terren largesën midis dy pikave A dhe B, midis të cilave ka një pengesë veprohet kështu: zgjidhet një pikë C nga e cila mund të shkohet në pikat A dhe B dhe maten largesat AC, BC. Në gjysmëdrejtëzat plotësuese të [CA) dhe [CB) merren përkatësisht pikat D dhe E, të tilla që CD = CA dhe CE = CB. Matet largesa ED. Vërtetoni që AB = ED (fig. 5.78).

Konstruktimin e disa prej vendeve gjeometrike të pikave në rrafsh.

B Fig. 5.78

12 Gjeni vendin e pikave në rrafsh, që janë 6 cm larg nga e njëjta pikë e rrafshit.

13 Të caktohet bashkësia e gjithë pikave prej të cilave një rreth i dhënë R(O; r) shihet nën këndin e dhënë.

MATEMATIKA 9 124

A C

Vlerësim

45 minuta

125 5. GJEOMETRIA NË RRAFSH 5.15

Koha:

1 Ç’janë: a) përmesorja e segmentit; b) mesorja e trekëndëshit? 2 pikë 2 Ndërtoni trekëndëshin ABC, kur njihen: a) AB = 3, BC = 4, ∠ABC = 50o; 3 pikë b) AB = 3, ∠ABC = 60o , ∠BAC = 80o c) AB = 5, AC = 7, BC = 6. 3 Vizatoni dy segmente [MN] dhe [AB], që nuk shtrihen në një drejtëz, dhe kanë të dy si mes pikën C. a) Krahasoni ∠MCA me ∠BCN. 1 pikë b) Vërtetoni që Δ MCA = Δ BCN. 2 pikë c) Vërtetoni që Δ BCM = Δ CAN. 3 pikë 4 Dy trekëndësha ABC dhe A1B1C1 janë barabrinjës dhe AB = A1B1 Vërtetoni që Δ ABD = Δ A1B1C1 2 pikë 5 Në figurën 5.79 është dhënë AB = AC dhe ∠1 = ∠2 A C D B 1 2 Fig. 5.79 Vërtetoni që Δ ABD = Δ ACD 3 pikë 6 a) Në figurën 5.80/a është dhënë ∠1 =∠3 dhe ∠2 = ∠4. A C a)b) D B 43 1 2 A DC B b) Vërtetoni që Δ ABD = Δ BCD. 2 pikë c) Në figurë është dhënë AB = DC dhe AD = BC. Vërtetoni që ∠B = ∠D. 3 pikë 7 a) Formuloni fjalinë e anasjellë të teoremës: “Në trekëndëshin barakrahës, mesorja e bazës është edhe përgjysmore”. 2 pikë b) Vërtetoni që kjo fjali e anasjellë është teoremë. 3 pikë 8 Vërtetoni që në trekëndësha kongruentë, përgjysmoret e këndeve kongruente janë segmente kongruente. 4 pikë Fig. 5.80

PROPORCIONALITETI

Në fund të kësaj teme, nxënësi/ja:

• përkufizon përpjesën dhe përpjesëtimin;

• identifikon përpjesëtimin e drejtë dhe të zhdrejtë;

• përkufizon përpjesëtimin e thjeshtë dhe të zgjeruar;

• dallon madhësitë, të cilat janë në përpjesëtim të drejtë nga ato që janë në përpjesëtim të zhdrejtë;

• zbaton vetitë e përpjesës në zgjidhjen e detyrave praktike;

• llogarit ndarjen dhe përzierjen në detyra praktike;

• llogarit përqindjen, kamatën dhe promilin;

• përdor formulat për llogaritjen e përqindjes, promilit dhe kamatës për zgjidhje të problemave në situata jetësore;

• përdor makinën llogaritëse dhe kompjuterin për zgjidhjen e problemave të ndryshme.

Fjalë kyçe: përpjesë (përpjesë), përpjesëtim, kufizat e përpjesëtimit, kufiza të jashtme, kufiza të brendshme, vetia themelore, i mesmi i përpjesshëm, i katërti përpjesëtimor, përpjesëtimi i drejtë, i zhdrejtë, përpjesëtim i thjeshtë, i zgjeruar, përqindje, kamatë, promil.

A E DINI SE?...

Për të përkufizuar përpjesën e artë, merren dy madhësi a dhe b, ku a > b. Këto dy madhësi formojnë një përpjesë të artë, nëse përpjesa e shumës së tyre a + b me madhësinë më të madhe a është e barabartë me përpjesën e madhësisë më të madhe a kundrejt asaj më të vogël b, pra: a + b a = a b = ø ku ø = 1,6180339887… është vlera e përpjesës së artë. Shihet qartë se është një numër irracional. Ilustrimi i përpjesës së artë bëhet me anë të segmentit të artë, i cili është i ndarë në dy pjesë me madhësi a dhe b, të cilat plotësojnë kushtin a > b. Përpjesa e artë është pjesë e mjaft figurave gjeometrike, si trekëndëshi, ylli, 10-këndëshi, apo figurave të ndryshme poligonale. Trekëndëshi i artë është një trekëndësh dybrinjënjëshëm, ku brinja y me bazën x të tij lidhen sipas përpjesës së artë: y x = x y x = ø. Një nga figurat më të thjeshta gjeometrike, ku ndeshet kjo përpjesë, është drejtkëndëshi i artë, me brinjë a + b dhe a, që plotësojnë kushtin a > b. Drejtkëndëshi i artë ka gjetur zbatime të mëdha në arkitekturë dhe në arte.

126

6 a + b a ab a + b ab

6.1 Kuptimi i përpjesës

A Kërkoni dhe zbuloni

Gjatësia e një rruge është 240 km. Janë asfaltuar 180 km të kësaj rruge.

a) Ç’pjesë e rrugës është asfaltuar?

b) Sa herë më e gjatë është rruga nga pjesa e asfaltuar e saj? Argumentoni përgjigjen.

B Vrojtoni dhe mësoni

Për krahasimin e numrave dhe të madhësive, përdorim dy mënyra: njehsojmë ndryshimin e tyre ose njehsojmë herësin e tyre.

Në rastin e parë, marrim përgjigje për pyetjen: me sa njësi, një numër është më i madh (ose më i vogël) se një numër tjetër. Në rastin e dytë, marrim përgjigje për pyetjen: sa herë, njëri nga numrat është më i madh (ose më i vogël) se tjetri, apo ç’pjesë të njërit numër përbën tjetri.

Mbani mend:

Herësin e dy numrave e quajmë përpjesë të tyre ose raportin e tyre.

Përpjesa tregon se sa herë më i madh është numri i parë nga i dyti, apo ç’pjesë të të dytit përbën numri i parë. Përpjesa mund të shprehet: si thyesë e zakonshme 15 10 , si numër dhjetor (1,5) apo si përqindje (15%). Numrat 15 10 dhe 10 15 janë të anasjellë të njëri-tjetrit. Prandaj edhe përpjesa e 15 ndaj 10 është i anasjellë me përpjesën e 10 ndaj 15.

Nëse vlerat e dy madhësive janë shprehur me të njëjtën njësi matjeje, atëherë përpjesën e tyre e quajmë edhe përpjesë të këtyre madhësive (përpjesë gjatësish, përpjesë syprinash, përpjesë masash etj.).

Mbani mend:

Nëse vlerat e dy madhësive janë shprehur me njësi të ndryshme matjeje mase, për gjetjen e përpjesës së këtyre dy madhësive duhet të kalojmë në të njëjtën njësi matjeje. Përpjesa e dy madhësive me të njëjtin emër (përpjesa e gjatësive, përpjesa e masave etj.) shprehet me një numër.

Shpesh kemi të bëjmë me përpjesë madhësish të ndryshme. Në këtë rast, merret një madhësi e re.

Kështu, përpjesë e rrugës me kohën është shpejtësia. Nëse rrugën e matim në km, kurse kohën në orë, atëherë shpejtësia do të shprehet me km në orë P.sh., 30 km 6 orë = 30 6 km orë = 5 km orë . Vëmë në dukje që shënimet km orë , m s përdoren pikërisht, sepse rrugën e pjesëtojmë me kohën. Përpjesë e parave të paguara për mallin e blerë, me sasinë e tij (qoftë kjo masa, gjatësia, numri i copëve etj.) jep çmimin e mallit. Ky çmim mund të matet me njësitë përkatëse që mund të shprehen me fjalë (euro për kilogram) apo me vijë të pjerrët (euro/kg).

6. SHPREHJET ME NJË NDRYSHORE 127 6. PROPORCIONALITETI

Vetia themelore e përpjesës

Mbani mend:

Nëse shumëzojmë apo pjesëtojmë të dy gjymtyrët e përpjesës me të njëjtin numër, të ndryshëm nga zero, do të marrim një përpjesë të re, të barabartë me të parën.

P.sh., 9 6 = 3 2 = 0,3 0,2 = 0,6 0,4 = 90 60 = ···. Prandaj, 9 : 6 = 3 : 2 = 0,3 : 0,2 = 0,6 : 0,4 = 90 : 60 = ···

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. Një tel është ndarë në dy copa. Copa e parë e ka gjatësinë 9 m, kurse e dyta e ka gjatësinë 144 m. Gjeni:

a) Ç’pjesë të telit përbën copa e parë (copa e dytë)?

b) Ç’pjesë të copës së dytë përbën copa e parë?

2. Syprina e drejtkëndëshit është 22,05 m2. Gjatësia e këtij drejtkëndëshi është 10,5 m. Gjeni përpjesën e gjatësisë së drejtkëndëshit me gjerësinë e tij. Shkruani përpjesën e anasjellë. Ç’tregon ajo?

3. Shkruani disa përpjesa të barabarta me 3 4 ; 0.5; 5.

USHTRIME

1 Përpjesa e a me b është 2 7 .

a) Shkruani përpjesën e b me a b) Sa do të jetë përpjesa m : n, nëse përpjesa n : m është 1,25?

2 Largesën midis dy qyteteve, makina e përshkoi për 3 orë. Orën e parë, ajo përshkoi çerekun e largesës, orën e dytë, një të tretën e largesës. Sa herë largesa e përshkuar në orën e tretë është më e madhe se largesa e përshkuar në orën e dytë?

3 Nga një bidon 20-litërsh i mbushur me benzinë, u harxhuan 6 litra benzinë. Cila nga përpjesët e mëposhtme shpreh përpjesën e sasisë së harxhuar të benzinës me atë që mbeti: a) 3 : 10; b) 7 : 3; c) 3 : 7; d) 7 : 10?

4 Gjeni përpjesën e: a) 3 km ndaj 750 m; b) 300 m ndaj 2,1 km; c) 700 g ndaj 1 kg; d) 10 min ndaj 10 orë.

5 Zëvendësoni përpjesën e mëposhtëm me përpjesë numrash të plotë. a) 0,5 : 1,5; b) 4,5 : 2,7; c) 1 2 : 1 5 ; d) 1 2 3 : 2 3

6 Mësuesja korrigjoi 45 teste nxënësish dhe i mbetën pa korrigjuar

MATEMATIKA 9 128

edhe 75. a) Sa herë më i madh është numri i të pakorrigjuarve se ai i të korrigjuarve? b) Ç’pjesë të sasisë së përgjithshme të testeve përbëjnë të korrigjuarit? 7 Skuadra A nga 18 ndeshje ka fituar 7, kurse skuadra B, nga 12 ndeshje ka fituar 5. Kush ka rezultatin më të mirë? 8 Para zgjedhjeve u bë një sondazh i opinionit publik. Për kandidatin A, nga 60 të pyetur, u shprehën pro 42 veta; për kandidatin B, nga 50 të pyetur, u shprehën pro 15 veta; për kandidatin C, nga 40 të pyetur, u shprehën pro 36 veta. Cili kandidat pëlqehet më shumë?

Përpjesëtimet

A Kërkoni dhe zbuloni

Drini dhe Mira do të ndanin një sasi karamelesh ndërmjet tyre. Drini i ndau karamelet në përpjesën 3 2 , Mira në përpjesën 12 8 . Drini mori 3 pjesët në ndarjen e saj. Mira i dha Drinit 12 pjesë në ndarjen e saj. A i dha Mira më shumë karamele Drinit? Diskutoni.

B Vrojtoni dhe mësoni

Mbani mend:

Barazimi i vërtetë i dy përpjesëve quhet përpjesëtim. Kështu, barazimet 12 8 = 15 10 dhe 3,6 1,2 = 6,3 2,1 janë përpjesëtim. Kurse barazimi 2 8 = 3 6 nuk është i vërtetë, pra nuk është përpjesëtim.

Me ndihmën e shkronjave, përpjesëtimin e shkruajmë kështu: a : b = c : d ose a b = c d . Këtu dhe më tej, do të supozojmë që të gjithë numrat janë të ndryshëm nga zero (a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0, d ≠ 0). Përpjesëtimi a b = c d lexohet kështu: “a rri mbi b, sikurse c rri mbi d” ose “Përpjesa e a me b është sa përpjesa e c me d”. Barazimet si 12 8 = 15 10 ; 3 5 = 15 25 ; 2 7 = 12 42 ; a b = c d janë përpjesëtime të thjeshta. Nëse përpjesëtimi formohet nga tre ose më shumë përpjesë të barabarta, quhet përpjesëtim i zgjeruar. Si për shembull: 12 8 = 15 10 = 18 12 ; 3 5 = 15 25 = 12 20 ; a b = c d = e f janë përpjesëtime të zgjeruara.

Mbani mend:

Në përpjesëtimin a b = c d , numrat a dhe d quhen kufiza të jashtme, kurse numrat b, c quhen kufiza të brendshme të brendshme a : b = c : d të jashtme

Punë në grup Tregoni kufizat e jashtme dhe kufizat e brendshme në përpjesëtimet: 9 6 = 12 8 dhe 3,6 : 1,2 = 6,3 : 2,1. Në secilin nga përpjesëtimet, gjeni prodhimin e kufizave të jashtme dhe prodhimin e kufizave të brendshme. Çfarë vini re?

Mbani mend: Prodhimi i kufizave të jashtme të përpjesëtimit është i barabartë me prodhimin e kufizave të brendshme të tij. Kjo quhet vetia themelore e përpjesëtimit.

6. SHPREHJET ME NJË NDRYSHORE 129 6. PROPORCIONALITETI 6.2

Me anë të shkronjave, vetia themelore shkruhet kështu: Nëse a b = c d është përpjesëtim, atëherë a · d = b · c. Është e vërtetë edhe fjalia e anasjellë. Nëse në një barazim dy përpjesësh, prodhimi i dy kufizave të jashtme është i barabartë me prodhimin e dy kufizave të brendshme, atëherë ky barazim është i vërtetë, d.m.th. është përpjesëtim. Pra, nëse për përpjesët a b dhe c d dihet që a · d = b · c, atëherë barazimi a b = c d është përpjesëtim. Nëse në një përpjesëtim, ndërrojmë vendet e kufizave të brendshme, marrim përsëri një përpjesëtim. Nëse në një përpjesëtim, ndërrojmë vendet e kufizave të jashtme, marrim përsëri një përpjesëtim. Me shkronja: Nga përpjesëtimi a b = c d rrjedhin përpjesëtimet: d b = c a dhe a c = d d .

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. a) Formoni përpjesëtime me përpjesët 2 5 ; 6 15 ; 7 2 ; 8 20 ; 21 6 . b) Formoni përpjesëtime me numrat 1, 17, 3, 51.

2. Duke përdorur vetinë themelore, tregoni nëse janë përpjesëtime barazimet e mëposhtme: a) 5 : 5 8 = 3 : 8 5 ; b) 0,4 0,1 = 0,16 0,4

3. Duke ndërruar vendet e kufizave, formoni tri përpjesëtime të reja nga i dhëni. a) 5 : 15 = 4 : 12; b) 12 0,2 = 30 0,5 .

USHTRIME

1 Me cilat nga përpjesët 0,6 : 5; 4,2 : 7; 3 4 : 6,25 mund të formojmë një përpjesëtim?

2 Kontrolloni nëse barazimi i dy përpjesëve është përpjesëtim: a) 9 2 : 13 4 = 36 : 26; b) 18 3 = 30 5 ; c) 15 0,8 = 2,7 0,09 .

3 Formoni katër përpjesëtime, duke përdorur barazimin e vërtetë 4 · 9 = 0,2 · 180.

4 Formoni një përpjesëtim me numrat e dhënë. a) 10; 15; 24; 16;

2; 6; 18; 54.

5 a) Formoni një përpjesëtim, tek i cili kufizat e jashtme janë 40 dhe 15.

Formoni dy përpjesëtime, ku secila nga kufizat e brendshme të jetë 18.

6 Nga numrat e dhënë, zgjidhni katër numra me të cilët mund të formoni përpjesëtim:

MATEMATIKA 9 130

a) 7; 9; 15; 21; 25; 35; 42; 49; b) 5; 10; 15; 24; 30; 40; 50; 64. 7 A është e vërtetë fjalia: “Nëse në një përpjesëtim, kufizat e jashtme i vëmë në vend të të brendshmeve dhe të brendshmet i vëmë në vend të të jashtmeve, atëherë do të marrim përpjesëtim”? Shprehni këtë fjali me anë të shkronjave. Argumentoni mendimin tuaj. 8 Nga përpjesët a : b = 4 : 3; b : c = 5 : 4 dhe c : d = 2 : 3, formoni përpjesën e zgjeruar a : b : c : d. 9 Nëse a x = b y = c z = 5 njehsoni: a) a – 3b + 2c x – 3y + 2z ; b) a + b + c x + y + z .

6.3 Veti të tjera të përpjesëtimeve

A Kërkoni dhe zbuloni

Jepet përpjesëtimi 3 4 = 6 8 . Nga ky përpjesëtim janë formuar disa barazime: 4 3 = 8 6 ; 3 + 4 3 = 6 + 8 6 ; 4 – 3 3 = 8 – 6 6 . A janë përpjesëtime këto barazime?

Diskutoni.

B Vrojtoni dhe mësoni

1. Në përpjesëtimin a : b = c : d apo a b = c d , kufizat a, b, c, d quhen përkatësisht kufiza e parë, e dytë, e tretë, e katërt. Kufiza a quhet paraardhëse e b; kufiza c quhet paraardhëse e d. Kufiza b quhet pasardhëse e a; kufiza d quhet pasardhëse e c. Nëse në një përpjesëtim, zëvendësojmë çdo përpjesë me të anasjellën e vet, atëherë marrim përsëri përpjesëtim. Pra, nga përpjesëtimi a b = c d , rrjedh përpjesëtimi b a = d c .

2. Në çdo përpjesëtim, përpjesa e shumës (apo ndryshimit) së dy kufizave të para me kufizën e dytë është e barabartë me përpjesën e shumës (ndryshimit) së dy kufizave të fundit me kufizën e katërt.

Pra, nga a b = c d rrjedh a + b b = c + d d dhe a – b b = c – d d (kur a > b dhe c > d).

Punë në grup

Shqyrtoni përpjesëtimet: 4 3 = 8 6 dhe 1,2 0,6 = 3 1,5 . Si janë formuar prej tyre barazimet: 4 3 = 4 + 8 3 + 6 ; 1,2 0,6 = 1,2 + 3 0,6 + 1,5 . Tregoni që këto barazime janë përpjesëtime.

Në çdo përpjesëtim, shuma (ndryshimi) e kufizave paraardhëse rri te shuma (ndryshimi) e kufizave pasardhëse sikundër çdo kufizë paraardhëse rri te pasardhësja e saj.

Pra, nga a b = c d rrjedh a b = a + c b + d = c d dhe a b = a – c b – d = c d (kur a > c dhe b > d).

Përpjesëtimet 4 8 = 8 16 ; a 3 = 3 d i kanë kufizat e brendshme të barabarta midis tyre. Në përpjesëtime të tilla, kufizat e brendshme quhen të mesme të përpjesshme (përpjesëtimore) të dy kufizave të tjera.

Kështu, 8 është i mesmi përpjesëtimor i 4 dhe 16; 3 është i mesmi përpjesëtimor i a dhe d. Në përgjithësi, nëse x, y, z janë numra pozitivë, x quhet i mesmi përpjesëtimor i y, z nëse y x = x z apo x x = y · z.

Nëse kemi përpjesëtimin a b = c x , atëherë x quhet i katërti përpjesëtimor i treshes së radhitur të numrave a, b, c.

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. a) A është përpjesëtim barazimi 4 8 = 7 14 ? b) Shkruani përpjesëtimet që krijohen prej tij, duke zbatuar vetitë që njihni.

6. SHPREHJET ME NJË NDRYSHORE 131 6. PROPORCIONALITETI

2. A është e vërtetë fjalia:

a) “Nëse a b = c d , atëherë a · b = c · d”; b) “Nëse a b = c d , atëherë a + b a = c + d c ”. c) “Nëse a b = c d , atëherë c a = d b ”; d) “Nëse a b = c d , atëherë a – b c = c – d a ”?

3. Gjeni a dhe b nëse:

a) a + b = 8 dhe a b = 1 3 ; b) a + b = 6 dhe b a = 1 2 ; c) a b = 8 dhe a b = 3; d) a b = –6 dhe b a = 1 5 .

4. Vërtetoni rrjedhimet:

a) a b =

; b) a b = c d =

5. 85 kg miell do të ndahet në 4 pjesë të përpjesa me a : b : c : d = 2 : 3 : 5 : 7. Gjeni sa kg është secila pjesë, duke u mbështetur në vetinë e përpjesëtimit të zgjeruar.

USHTRIME

1 Jepen dy përpjesëtimet 35 : 21 = 10 : 6; 0,8 2,4 = 1,5 4,5 . Shkruani përpjesëtimet, që krijohen prej tyre, duke zbatuar vetitë që njihni.

2 Në përpjesëtimin e mëposhtëm, ndërroni vendet e numrave, që përsëri të merret përpjesëtim. Formoni përpjesëtime të zgjeruara.

a) 7: 8 = 35 : 40; b) 27 : 12 = 9 : 4; c) 1 3 : 1 2 = 5 4 : 15 8 .

3 Formoni sa më shumë përpjesëtime me katër numrat e dhënë. Formoni përpjesëtime të zgjeruara. a) 9; 1; 9; 81; b) 1 5 ; 1 10 ; 1 15 ; 1 30 ; c) 36; 3; 18; 6.

4 Gjeni të katërtin e përpjesshëm të treshes së radhitur të numrave. Plotësoni dhe formoni përpjesëtime të zgjeruara. a) 5, 25, 10; b) 0,4; 1,6; 8.

5 Gjeni të mesmin përpjesëtimor të numrave. Më pas, plotësoni dhe formoni përpjesëtime të zgjeruara.

a) 5 dhe 0,2; b) 2 dhe 50; c) 8 3 dhe 3 2

6 Shkruani: a) dy përpjesëtime, ku kufiza e parë dhe e dytë të jenë 7 dhe 2; b) dy përpjesëtime, ku kufiza e tretë dhe e katërt të jenë 12 dhe 9; c) dy përpjesëtime, në të cilat kufizat paraardhëse të jenë 3 dhe 5; d) dy përpjesëtime, në të cilat kufizat e brendshme të jenë 2 3 dhe 4 5 .

MATEMATIKA 9 132

c d ⇒ 4a –

5a + 2b

– 3

5c + 2d

m n ⇒ 3a – c + 2m 3b d + 2n

a – 2c + 3m b 2d + nn

Gjetja e kufizës së panjohur në një përpjesëtim

A Kërkoni dhe zbuloni

Një makinë ecën me shpejtësi të pandryshuar. Ajo përshkon 175 km për 2,5 orë. Sa është largesa që do të përshkruajë ajo për 5 orë? Për 7,5 orë? Në secilin nga rastet, shkruani përpjesëtimin, ku të shënoni me x largesën e kërkuar.

B Vrojtoni dhe mësoni

Në një përpjesëtim mund të ndodhë që të njihen tri kufiza, kurse kufiza e katërt të jetë e panjohur. Ne mund ta gjejmë vlerën e kufizës së panjohur x, duke shkruar një ekuacion me ndryshore x, nëse përdorim vetinë themelore të përpjesëtimit.

Shembulli 1

Në përpjesëtimin 0,5 : x = 2 : 13, të gjendet vlera e kufizës së panjohur x. Zgjidhje

Duke përdorur për përpjesëtimin 0,5 x = 2 13 vetinë themelore, marrim x · 2 = 0,5 · 13, d.m.th. x · 2 = 6,5. Duke pjesëtuar të dyja anët në këtë ekuacion me numrin 2 ≠ 0, gjejmë x = 6,5 2 , d.m.th. x = 3,25.

Shembulli 2

Në përpjesëtimin 8,75 15 4 = a 0,75 , të gjendet kufiza e panjohur a. Zgjidhje

Duke përdorur vetinë themelore, marrim barazimin 15 4 · a = 8,75 · 0,75. E zgjidhim këtë si ekuacion me ndryshore a. Fillimisht, kthejmë 15 4 në numër dhjetor. Kemi 15 4 = 3,75. Pra, 3,75 · a = 8,75 · 0,75.

Duke pjesëtuar të dyja anët me numrin 3,75 ≠ 0, marrim a = 8,75 · 0,75 3,75 .

Thjeshtojmë numëruesin dhe emëruesin me 0,75 dhe marrim a = 8,75 5 , d.m.th. a = 1,75.

Shembulli 3

Të gjendet i katërti i përpjesshëm i treshes së radhitur të numrave 2, 8, 16. Zgjidhje

Duke shënuar numrin e kërkuar me x, kemi: 2 : 8 = 16 : x, d.m.th. 2 8 = 16 x , prej ku, në bazë të vetisë themelore të përpjesëtimeve, marrim 2 · x = 8 · 16, pra 2 · x = 128, prej ku x = 64.

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. Gjeni të katërtin e përpjesshëm të numrave 3, 5, 15.

2. Gjeni të mesmin përpjesëtimor të numrave 3 dhe 12.

3. Zgjidhni ekuacionin për të gjetur kufizën e panjohur të përpjesëtimit: a) y : 51,6 = 11,2 : 34,4; b) 67,8 a = 7,62 6,35 .

4. Në një klasë me 33 nxënës, 13 janë djem. Edhe sa djem duhet të shtojmë në të, që përpjesa djem : vajza të jetë 3 : 4?

6. SHPREHJET ME NJË NDRYSHORE 133 6. PROPORCIONALITETI 6.4

USHTRIME

1 Gjeni kufizën e panjohur në përpjesëtimin: a) x : 13 = 6 : 3; b) 32 : x = 8:3; c) 54 : 21 = 45 : x; d) 4 : 14 = x : 49.

2 E njëjta kërkesë për përpjesëtimin: a) 61,5 12,3 = 30 x ; b) x 12,4 = 8,4 2,1 ; c) 67,8 a = x 4 .

3 Zgjidhni ekuacionin për të gjetur kufizën e panjohur të përpjesëtimit: a) 12,3 6 = 7x 4,2 ; b) 1 2 x : 5 = 16 : 0,8.

4 5 9 e një numri janë të barabarta me 3 17 e këtij numri. Cili është ky numër?

5 Çfarë numri i duhet shtuar numëruesit dhe emëruesit të thyesës 7 , për të marrë thyesën 3 ?

6 Nga 225 kg mineral morën 34,2 kg bakër. Cila është përqindja e përmbajtjes së bakrit në mineral?

7 Duke përdorur vetinë për shumën (ndryshimin) e kufizave, zgjidhni ekuacionet:

a) 46 – x x = 15 8 ; b) 6 + x x = 20 15

8 Gjeni vlerën e ndryshores x në përpjesëtimin: a) 32 10 : 2 = x : 5 6 –1 3 ; b) 1 2 –1 20 : 3 4 = 2 4 –19 2 : x; c) 1 – 1 6 : x = 3 10 –1 5 : 1 – 1 2

9 Gjeni vlerën e x në përpjesëtimin: a) 5x : 12 = 60 : 36; b) 6 : x = 3 : 10; c) 24 : 8 = 2x : 1 1 2 ; d) 1 2 : 6 8 = x : 7 8 .

10 E njëjta kërkesë për përpjesëtimin: a) (22 – x) : x = 6:5; b) (120 – x) : x = 26:14.

11 Kopjoni dhe plotësoni skemën me përpjesa të barabarta me përpjesën e dhënë në kutinë qendrore. Krahasoni përgjigjet tuaja me ato të një shoku tuaj (fig. 6.1). A gjetët ndonjë përpjesë të përbashkët me të?

6.1

MATEMATIKA 9 134

24:36:86 26:39:91 Fig.

6.5 Llogaritja e ndarjes dhe përzierjes

A Kërkoni dhe zbuloni

Dy punëtorë hapën një kanal dhe u shpërblyen me 550 euro së bashku. Përpjesa e gjatësive të pjesëve të kanalit që ata hapën, ishte 2 : 3. Sa euro duhet të marrë secili prej tyre, sipas punës së kryer? Si do të vepronit për të ndarë 550 euro në përpjesën 2 : 3? Diskutoni.

B Vrojtoni dhe mësoni

Në jetën praktike, si p.sh. gjatë përgatitjes së përzierjeve në recetat mjekësore, apo të gatimit, gjatë ndarjes së të ardhurave etj., shpesh është e nevojshme të ndajmë një madhësi në pjesë, përpjesa e të cilave është e barabartë me një numër të dhënë. Për këto raste thuhet që duhet ndarë madhësia në një përpjesë të dhënë.

Shembulli 1

Për të bërë detyrat e matematikës dhe të gjuhës, Zamiri harxhoi 1,4 orë. Ai e ndau kohën midis këtyre dy detyrave në përpjesën 4 : 3. Sa orë harxhoi ai për secilën lëndë?

Zgjidhje

Mënyra e parë

Duhet të ndajmë kohën prej 1,4 orë në përpjesën 4 : 3. Gjithsej kemi 4 + 3 = 7 pjesë. Një pjese i takon 1,4 7 orë, d.m.th. 0,2 orë. Për detyrat e matematikës janë harxhuar 4 · 0,2 = 0,8 orë. Për detyrat e gjuhës janë harxhuar 3 · 0,2 = 0,6 orë.

Mënyra e dytë

Shënojmë x (orë) kohën për detyrat e matematikës. Është e qartë që 0 < x < 1,4. Koha për detyrat e gjuhës është 1,4 – x. Përpjesa e këtyre kohëve është 4 : 3, prandaj kemi: x 1,4 – x = 4 3 , prej ku 3x = 4 (1,4 – x). Duke zgjidhur këtë ekuacion, gjejmë x = 0,8. Për detyrat e matematikës janë harxhuar 0,8 orë.

Shembulli 2

Perimetri i një katërkëndëshi është 48 cm. Gjeni gjatësitë e brinjëve të tij, nëse ato janë numra përpjesëtimorë me numrat 2 : 3 : 5 : 6. Zgjidhje

Shënojmë a, b, c, dhe d gjatësitë e brinjëve të katërkëndëshit. Duke shfrytëzuar vetitë e përpjesëtimeve, kemi: a 2 = b 3 = c 5 = d 6 = a + b + c + d 2 + 3 + 5 + 6 = 48 16 = 3. Prej këtej kemi: a 2 = 3, nga ku a = 6; b 3 = 3, nga ku b = 9; c 5 = 3, nga ku c = 15 dhe d 6 = 3, nga ku d = 18. Kështu, brinjët e katërkëndëshit janë: 6 cm, 9 cm, 15 cm dhe 18 cm.

6. SHPREHJET ME NJË NDRYSHORE 135 6. PROPORCIONALITETI

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. Një aliazh bakri dhe zinku ka masën 2 kg 550 g. Masat e bakrit dhe zinkut në të janë në përpjesën 9 : 8. Sa është masa e zinkut në aliazh?

2. Drita e ka shkollën 1,2 km larg shtëpisë dhe e bën këtë rrugë për 15 minuta. Sa është rruga që bën ajo për 5 minuta?

3. Për të bërë 15 pasta përdoren 180 g miell. Sa miell duhen për të bërë 20 pasta?

4. Masat e këndeve të një trekëndëshi janë përpjesëtimore me numrat 2 : 5 : 11. Gjeni masën e këndeve të trekëndëshit.

5. Në laboratorin e kimisë, për të bërë një eksperiment, u përzie acid dhe ujë në përpjesën 2 : 11. Sa acid dhe sa ujë nevojiten për të bërë 585 ml përzierje?

USHTRIME

1 Segmentet AC dhe AB kanë përpjesën 3 : 5 (fig. 6.2). Me sa është e barabartë përpjesa: a) AC : CB; b) CB : AB. ACB Fig. 6.2

2 Përpjesa e gjatësisë së dhomës ndaj gjerësisë së saj është 5 : 4. a) Gjeni syprinën e dhomës, nëse gjatësia e saj është 6 m. b) Gjeni syprinën e dhomës, nëse gjatësia është më e madhe se gjerësia me 0,8 m.

3 Nga 2150 televizorë të një marke, për një vit, u desh të ndreqeshin 49 copë, kurse nga 725 televizorë të një marke tjetër, për atë vit, u desh të ndreqeshin 31 copë. Për cilën markë përqindja e televizorëve me defekt është më e madhe?

4 Sipas ligjeve të një vendi, fitimet e çdo njeriu taksohen sipas të ashtuquajturit “tatim mbi të ardhurat”, që përbën 13% të fitimit. Çfarë shume paguan si tatim një shtetas që fiton 2700 euro?

5 Në testimin në matematikë, nga 150 nxënës të klasave të shtata, 18 morën 5, dhe 66 morën 4. Sa për qind e nxënësve nuk morën as 5 as 4?

6 Një këmishë kushton 20 euro. Sa do të kushtojë ajo, nëse çmimi rritet 35%?

7 Nga qumështi merret 22% ajkë, kurse nga ajka merret 18% gjalpë. Sa gjalpë merren nga 10 kg qumësht?

8 Një djalë i vogël 4 vjeç shëtit me babanë e tij. Djali i ka hapat nga 40 cm; babai i ka nga 90 cm. Djali ka bërë 216 hapa. Sa hapa ka bërë babai?

9 Ariu polar ka kaluar 232 orë në detin e ngrirë, duke përshkuar gjatë kësaj periudhe 696 km (zhvendosjet janë përcaktuar, duke i vënë atij një qafore me një aparat GPS). Duke supozuar që largesa e përshkuar është proporcionale me kohën, gjej ç’largesë ka përshkuar ai gjatë 12 orëve.

MATEMATIKA 9 136

Varësia në përpjesëtim të drejtë

A Kërkoni dhe zbuloni

Marku bën 6 xhiro me biçikletë në një pistë, duke përshkuar 21 km. Sa km përshkon ai, kur bën 12 xhiro? Po 8 xhiro?

Nëse katërfishohet numri i xhirove, a katërfishohet gjatësia e rrugës që përshkon Marku? Bashkëbisedoni.

B Vrojtoni dhe mësoni

Shembulli 1

Një torno automatike, për 2 orë, përgatit 28 detale. Për një kohë dy herë më të madhe (4 orë), ajo do të përgatisë dy herë më tepër detale (d.m.th. do të përgatisë 28 · 2 = 56 detale). Për një kohë tri herë më të madhe, ajo do të përgatisë tri herë më shumë detale etj. Sa herë më tepër kohë do të punojë tornoja, aq herë më tepër detale përgatit ajo. Madhësi të tilla si, koha e punës e tornos dhe sasia e detaleve të përgatitura prej saj, i quajmë madhësi në përpjesëtim të drejtë (madhësi proporcionale).

Mbani mend:

Dy madhësi quhen në përpjesëtim të drejtë, nëse kur njëra prej tyre rritet (zvogëlohet) disa herë, edhe tjetra rritet (zvogëlohet) po aq herë

Le të kemi dy madhësi në përpjesëtim të drejtë.

Le të jenë x1, x2 dy vlera të madhësisë së parë dhe y1, y2 dy vlerat përgjegjëse të madhësisë së dytë. Atëherë, kemi përpjesëtimet x1 x2 = y1 y2 , që mund të shkruhet ndryshe x1 y2 = x1 y2 .

Mbani mend:

Kur dy madhësi janë në përpjesëtim të drejtë, përpjesët e vlerave përgjegjëse të tyre janë të barabarta. Nëse dy madhësi x dhe y janë në përpjesëtim të drejtë, ekziston një numër konstant k, i tillë që y = k · x. Ky numër k quhet koeficient i proporcionalitetit.

Shembulli 2

Gjatësia e një fëmije nuk është në përpjesëtim të drejtë me moshën e tij. Kur rritet mosha e fëmijës, rritet edhe gjatësia e tij, por kur mosha rritet dy herë, gjatësia nuk rritet dy herë.

Shembulli 3

Për 3,2 kg të një malli u paguan 11 euro. Sa duhet paguar për 1,5 kg të këtij malli?

Zgjidhje

I shkruajmë shkurt të dhënat e problemës në një tabelë, duke shënuar me x (euro) pagesën për 1,5 kg mall.

e parë Blerja e dytë

Sasia e mallit Pagesa

3,2 kg

6. SHPREHJET ME NJË NDRYSHORE 137 6. PROPORCIONALITETI 6.6

Blerja

↓

1,5 kg ↓ 11 euro x euro

Sasia e mallit dhe pagesa për të janë madhësi në përpjesëtim të drejtë (sqaroni pse). Këtë fakt e kemi vënë në dukje me dy shigjeta, që kanë të njëjtin drejtim. Shkruajmë përpjesëtimin x1 x2 = y1 y2 , d.m.th. 3,2 1,5 = 11 x . Nga vetia themelore e përpjesëtimeve kemi: 3,2 · x = 11 · 1,5, prej ku nxjerrim x = 11 · 1,5 3,2 , d.m.th. x = 5,16 euro duhen paguar.

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. A është në përpjesëtim të drejtë varësia midis dy madhësive të mëposhtme:

a) rrugës së përshkuar nga makina (me shpejtësi konstante) dhe kohës së lëvizjes?

b) pagesës për një mall (me çmim të caktuar) dhe sasisë së tij?

c) masës së një trau dhe vëllimit të tij?

d) moshës së njeriut dhe numrit të këmbës së tij?

e) brinjës së katrorit dhe perimetrit të tij?

f) brinjës së katrorit dhe syprinës së tij?

2. Një sferë çeliku me vëllim 6 cm3 e ka masën 46,8 g. Cila do të jetë masa e një sfere (prej të njëjtit çelik) me vëllim 2,5 cm3?

3. Nga 21 kg fara luledielli morën 5,1 kg vaj. Sa vaj do të merret prej 7 kg farash të tilla?

USHTRIME

1 Agimi lexoi për 4 ditë, 68 faqe të një libri. Duke lexuar me të njëjtën ritëm, për sa ditë do ta mbarojë ai së lexuari librin, që ka 170 faqe?

2 Me 2,50 euro, Shpresa bleu 4 fletore dhe 2 lapsa. Sa euro i duhen asaj për të blerë 8 fletore dhe 4 lapsa?

3 Mira blen 7 m basmë dhe paguan 56 euro. Pagesa është proporcionale me gjatësinë e basmës së blerë. Asaj i duhen edhe 2 m të tjera basme. Sa euro duhet të paguajë për to?

4 Për përgatitjen e gjellës, për çdo 100 g mish duhen 60 g perime. Sa perime duhen marrë për 650 g mish?

5 Nga blirët e mbjellë në qytet u vu re që mbinë 95% e tyre. Sa blirë u mbollën, kur dihet që kanë mbirë 57?

6 Në mineral, për 7 pjesë hekur janë 3 pjesë mbeturina. Sa ton mbeturina ka në sasinë e mineralit nga e cila u morën 73,5 tonë hekur?

7 Masa e një metali është proporcionale me vëllimin e tij. 28 cm3 bakër kanë masën 250,88 g. Sa është vëllimi i një cope (blloku) bakri me masë 425,6 g?

8 Kafsha më e shpejtë në botë është leopardi. Ai është i aftë të arrijë prenë, që ndodhet 250 m larg për 9 sekonda. Duke supozuar që ai është i aftë të vrapojë me të njëjtën shpejtësi në largesa të mëdha, sa kohë do t’i duhej atij për të bërë rrugën Kaçanik – Ferizaj (20 km)?

MATEMATIKA 9 138

Paraqitja e objekteve me shkallë zvogëlimi apo zmadhimi

A Kërkoni dhe zbuloni

Pilivesat ekzistojnë prej miliona vjetësh. Në fotografinë e paraqitur (fig. 6.3), një distancë 5 cm paraqet një largesë reale prej 8 cm. Gjej gjatësinë reale dhe hapjen reale të krahëve të pilivesës.

B Vrojtoni dhe mësoni

Fig. 6.3

Dimë se pjesët e sipërfaqes së Tokës, në hartë, paraqiten në trajtë të zvogëluar, po kështu objekte të ndryshme në skica, fotografi. P.sh., segmentin prej 1 km e paraqesim në hartën e lagjes me një segment me gjatësi 1 m, d.m.th. të zvogëluar 1000 herë. Themi që kjo hartë ka shkallën 1:1000.

Mbani mend:

Përpjesën e gjatësisë së një segmenti në një hartë (apo skicë), me gjatësinë e segmentit përkatës në Tokë, e quajmë shkallë të hartës (skicës).

Shembulli 1

Në figurën 6.4 janë paraqitur disa objekte në shkallën 1:1. Kjo do të thotë që 1 cm në figurë i përgjigjet 1 cm në realitet. Ne mund të lexojmë direkt përmasat e këtyre objekteve.

Fig. 6.4

Për të bërë paraqitjen grafike me shkallë zvogëlimi (apo zmadhimi) të një objekti, si edhe për të gjetur përmasat reale të tij, kur njihen përmasat e kësaj paraqitjeje grafike, mund të përdoren përpjesëtimet.

Shembulli 2

Largesa midis dy fshatrave në hartën me shkallë 1:25 000 është 6,5 cm. Sa është largesa reale midis tyre?

Zgjidhje

E shënojmë largesën reale (në Tokë) midis fshatrave me x (cm). Kemi 6,5 x = 1 25000 , (sepse përpjesa midis gjatësisë së segmentit në hartë me gjatësinë e tij në Tokë na jep shkallën e hartës). Prej këtu marrim 6,5 · 25 000 = x, d.m.th. x = 162 500 cm = 1625 m.

6. SHPREHJET ME NJË NDRYSHORE 139 6. PROPORCIONALITETI 6.7

2,8cm 1,2cm 3cm Shk alla 1:1

Shembulli 3

Largesa midis dy qyteteve është 120 km. Sa do të jetë largesa përkatëse në hartën me shkallë 1:1 000 000?

Zgjidhje

E shënojmë largesën e kërkuar në hartë me x (km). Kemi x 120 = 1 1000000 (pse?). Prej këtu nxjerrim x = 120 1000000 km = 120 · 1000 1000000 m = 120 · 1000 · 100 1000000 cm = 12 cm.

Ja disa shkallë zvogëlimi që përdoren shpesh.

Shkalla

Përdorimi

1:10 deri 1:25 Dizajnim mobiliesh

1:50 deri 1:200 Paraqitje godinash

1:500 deri 1:2000 Planimetri parcelash

1:5 000 deri 1:25 000 Harta topografike

1:100 000 deri 1:200 000 Harta automobilistike (rrugore)

1:1 000 000 deri 1:5 000 000 Harta gjeografike

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. Matni në hartën e Kosovës largesën e vendbanimit tuaj nga Prishtina dhe gjeni pastaj largesën reale.

2. Nëse duam që dhomën me përmasa 4 x 5 m ta paraqesim me përmasa 8 x 10 cm, çfarë shkalle duhet të ketë skica?

3. Matni gjatësinë dhe gjerësinë e dhomës suaj. Vizatoni në letër planin e kësaj dhome me shkallën 1:100.

USHTRIME

1 Gjatësia e detalit në skicën me shkallë 1:3 është 2,4 cm. Sa do të jetë gjatësia e këtij detali në një skicë tjetër me shkallë 2:1?

2 Zana vizaton në letër të bardhë një plan të oborrit të saj, që është një drejtkëndësh me gjatësi 120 m dhe gjerësi 96 m. Në plan, gjatësia e terrenit është paraqitur me segment 15 cm. Sa është segmenti që paraqet gjerësinë e terrenit në plan?

3 Në figurën 6.5 është paraqitur koka e një mize, fotografuar me një aparat që zmadhon 50 herë. Sa janë përmasat reale të syrit të kësaj mize?

Fig. 6.5

MATEMATIKA 9 140

USHTRIME

4 Në figurën 6.6 është paraqitur (në plan të parë) një orkide. Gjatësia e saj në fotografi është 3 cm. Shkalla e fotografisë është 1/15. Sa është gjatësia reale e orkidesë?

Fig. 6.6

5 Në një skicë gjatësia e kopshtit është 3,5 cm. Sa është shkalla e skicës, nëse kopshti është në të vërtetë 14 m i gjatë?

6 Largësia midis dy qyteteve është 42 km. Sa do të jetë largesa midis pikave që i paraqesin ato në hartën me shkallë 1:500 000?

7 Një segmenti prej 7,2 cm (në hartë) i përgjigjet një segment në tokë me gjatësi 144 km. Sa është largesa reale midis qyteteve, nëse largesa në hartë midis tyre është 6,3 cm?

8 Një segmenti me gjatësi 3 km në tokë i përgjigjet në hartë një segment me gjatësi 4,5 cm. a) Me ç’segment do të paraqitet në hartë largesa prej 10 km? b) Ç’segment në tokë paraqitet në hartë me segmentin 1,8 cm?

9 Në figurën 6.7 matni gjatësinë e varkës dhe të direkut. Duke ditur që gjatësitë reale janë proporcionale me ato reale dhe duke ditur që gjatësia e barkës është 15 m, gjeni lartësinë e direkut.

6. SHPREHJET ME NJË NDRYSHORE 141 6. PROPORCIONALITETI

Fig. 6.7

6.8 Varësia në përpjesëtim të zhdrejtë

A Kërkoni dhe zbuloni

Një shofer ka përshkuar disa herë një distancë prej 100 km me shpejtësi të ndryshme, për të parë konsumin e karburantit. Ja rezultatet që gjeti:

Shpejtësia (km/h)

50 70 90 110 130 Konsumi i benzinës (L) 3,4 3,9 4,6 5,9 7,6 9,9

a) A është konsumi i benzinës në përpjesëtim të drejtë me shpejtësinë?

A është e drejtë të themi “sa më shpejt ecën vetura, aq më tepër benzinë konsumon”?

B Vrojtoni dhe mësoni

Shembulli 1

Pastrimin e një sheshi për ndërtim, dy makina të njëjta e bënë për 12 orë. Nëse sasinë e makinave e rritim 3 herë (d.m.th. të punojnë 6 makina), atëherë për të bërë këtë punë do të harxhohet një kohë 3 herë më e vogël (d.m.th. 4 orë).

Aq herë sa rritet numri i makinave, aq herë zvogëlohet koha për të bërë punën.

Madhësi të tilla si sasia e makinave që punojnë dhe kohën e kryerjes së punës i quajmë në përpjesëtim të zhdrejtë (invers proporcional).

Mbani mend:

Dy madhësi quhen në përpjesëtim të zhdrejtë, nëse kur njëra rritet (zvogëlohet) disa herë, tjetra zvogëlohet (rritet) po kaq herë. Kur dy madhësi janë në përpjesëtim të zhdrejtë, përpjesa e vlerave të njërës madhësi (x1, x2) është e barabartë me të anasjellën e përpjesës së vlerave përgjegjëse (y1, y2) të madhësisë tjetër. x1 x2 = y1 y2 .

Shembulli 2

Dy drejtkëndësha kanë të njëjtën syprinë. Gjatësia e drejtkëndëshit të parë është 3,6 m, kurse gjerësia është 2,4 m. Gjatësia e drejtkëndëshit të dytë është 4,8 m. Gjeni gjerësinë e drejtkëndëshit të dytë.

Zgjidhje

Shënojmë me x (m) gjerësinë e drejtkëndëshit të dytë.

I shënojmë shkurt të dhënat e problemës në trajtën e kësaj tabele.

Gjatësia (m) Gjerësia (m)

Drejtkëndëshi II 3,6 ↓ 4,8 2,4 ↑ x

Drejtkëndëshi I

Gjatësia dhe gjerësia e drejtkëndëshit të dhënë janë madhësi në përpjesëtim të zhdrejtë (pse?). Këtë fakt e kemi vënë në dukje me dy shigjeta, që kanë drejtime të kundërta. Shkruajmë përpjesëtimin x1 x2 = y1 y2 d.m.th. 3,6 4,8 = x 2,4 . Prej këtu, 3,6 · 2,4 = x · 4,8 dhe x = 3,6 · 2,4 4,8 = 1,8 m. Gjerësia është 1,8 m.

MATEMATIKA 9 142

Mbani mend: Nëse madhësia y është në përpjesëtim të zhdrejtë me madhësinë x, ekziston një numër konstant k i tillë që y = k x .

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. A janë madhësi në përpjesëtim të zhdrejtë: a) numri i punëtorëve me rendiment të njëjtë dhe koha e kryerjes së punës prej tyre; b) vlera e thyesës dhe emëruesit të saj, kur numëruesi nuk ndryshon; c) vlera e thyesës dhe numëruesit të saj, kur emëruesi nuk ndryshon; d) mosha e njeriut dhe masa e tij; e) sasia e mallit dhe çmimi i tij, kur pagesa është e caktuar.

2. Me 2 euro u blenë 4 kg domate. Sa domate mund të blihen me to, nëse çmimi rritet 25%?

3. Tre bojaxhinj e mbarojnë lyerjen për 5 ditë. Nëse numri i tyre shtohet me 2, për sa ditë do të mbarojë lyerja?

USHTRIME

1 Një kuboid metali e ka syprinën e bazës 40 cm2 dhe lartësinë 6 cm. Ai shkrihet, dhe me metalin e shkrirë derdhet një kuboid i ri me lartësi 4 cm. Sa është syprina e bazës së kuboidit të ri?

2 Makina, duke ecur me shpejtësi 60 km/orë, e bëri rrugën midis dy qyteteve për 2,5 orë. Për sa orë do ta bëjë ajo rrugën e kthimit, nëse ecën me shpejtësi 50 km/orë?

3 Për transportin e një malli u deshën 24 makina që mbanin 7,5 tonë secila. Sa makina, që mbajnë secila 4,5 tonë, duhen për transportin e këtij malli?

4 Me paratë që kishte, Miri bleu 5 revista me çmim 2 euro secila. Nëse çmimi i revistës do të ishte 1,50 euro, sa revista të tilla mund të blinte ai?

5 Autobusi u rezervua për 21 persona me nga 32 euro secili. Një person u sëmur dhe nuk udhëtoi. Sa është kuota që pagoi secili nga të tjerët?

6 Lartësia midis dy kateve përbëhet nga 36 shkallare nga 20 cm secila. Nëse secila shkallare do të ishte 5 cm më e shkurtër, sa shkallare do të ishin?

7 Për të shtruar dyshemenë e banjës u përdorën 180 pllaka katrore me brinjë 20 cm. Po të ishin përdorur pllaka katrore me brinjë 15 cm, sa të tilla do të duheshin?

8 Nëse 3 mace kapin 3 minj për 3 minuta, sa mace duhen për të kapur 100 minj në 100 minuta?

9 30 punëtorë do të kryenin një punë për 14 ditë. Për sa ditë e kryejnë të njëjtën punë 45 punëtorë?

10 8 punëtorë shtruan me pllaka një dysheme në 5 ditë. Në sa ditë, po këtë dysheme, e shtrojnë 10 punëtorë?

6. SHPREHJET ME NJË NDRYSHORE 143 6. PROPORCIONALITETI

6.9 Përqindja dhe promili

A Kërkoni dhe zbuloni

Ndër 280 topa futbolli të blerë në dyqanin A, 14 rezultuan me defekte. Ndër 450 topa të blerë në dyqanin B, 18 rezultuan me defekte. Nëse ju do të blini një top futbolli, cilin dyqan do të preferoni? Arsyetoni përgjigjen tuaj.

B Vrojtoni dhe mësoni

Do të arsyetonim gabim nëse, për të vendosur se ku do të blinim topat, do të niseshim nga numri i topave me defekte. Kjo për arsye se numri i përgjithshëm i topave të blerë në të dyja dyqanet nuk është i njëjtë. Rruga e drejtë e zgjidhjes është gjetja e përpjesës së topave me defekte në krahasim me numrin e përgjithshëm të topave.

Për dyqanin A, kjo përpjesë është 14 280 , ndërsa për dyqanin B është 18 450 . Krahasimi i këtyre përpjesëve realizohet më lehtë nëse ato i shprehim në përqindje.

Për dyqanin A kemi: 14 280 · 100 = 5%. Për dyqanin B kemi: 18 450 · 100 = 4%. Në dyqanin A, me defekt janë 5% e topave, ndërsa në dyqanin B, me defekt janë 4% e topave. Kështu që, topat e dyqanit B janë më të preferuar.

Mbani mend:

Me përqindje të një madhësie kuptojmë një të qindtën pjesë të saj. Me promil kuptojmë një të mijtën pjesë të madhësisë 1% = 1 100 = 0,01; 1%0 = 1 1000 = 0,001.

Shembulli 1

Gjeni 3% dhe 3‰ e numrit 60.

Zgjidhje

Kemi: 3 100 · 60 = 180 100 = 1,8; 3 1000 · 60 = 180 1000 = 0,18.

Shembulli 2

5% e një numri është 80. Cili është ky numër?

Zgjidhje

Po të shënojmë me x numrin e kërkuar. kemi: 5 100

Shembulli 3

= 80

= 5

= 8000

= 8000 5 = 1600.

Lindshmëria vjetore e popullatës në një qytet është 15%0. Këtë vit, numri i lindjeve ka qenë 1485. Sa banorë ka pasur në fillim të vitit?

Zgjidhje

Po të shënojmë me x numrin e banorëve në fillim të vitit. Atëherë kemi: 15 1000 x = 1485 ⇒ x = 1485000 15 = 99000

në fillim të vitit, qyteti kishte 99 000 banorë.

MATEMATIKA 9 144

· x

⇒

⇒ x

D.m.th.

C Ushtrohuni duke zbatuar

USHTRIME

mëposhtëm:

1 Një ekip futbolli, nga 60 ndeshje të zhvilluara, fitoi 48 ndeshje. Cila është përqindja e ndeshjeve të fituara?

2 12% e popullsisë së Kosovës jetojnë në Prishtinë. Ajo ka 208 230 banorë. Sa është popullsia e Kosovës?

3 Çfarë shtimi të popullsisë, shprehur në promil, ka këtë vit, një qytet me 200 000 banorë, nëse numri i lindjeve është 2920?

4 Në 40 nxënës të një klase, 20% janë tifozë futbolli dhe 35% janë tifozë basketbolli. Asnjë nxënës nuk është tifoz për të dyja sportet. Sa nxënës të klasës nuk janë as tifozë futbolli, e as tifozë basketbolli?

5 Krahasoni numrat: a) 5% e 40 me 3% të 30; b) 10% të 90 me 9% të 100.

6 Brinja e një katrori është 5 cm. Ajo zmadhohet me 20%. Gjeni: a) sa është syprina e katrorit para dhe pas zmadhimit; b) me sa për qind është zmadhuar ajo.

7 Çmimi i një pikture ishte 245 euro. Ai u rrit me 10%. Meqë piktura nuk u shit, shitësi e bëri çmimin përsëri 245 euro. Me sa për qind e uli ai çmimin?

8 Në shkretëtirë, temperatura në orën 1 të natës është 4oC dhe në orën 1 të drekës është 48oC. Sa është përqindja e rritjes së temperaturës?

9 Në një muaj, çmimi i karburantit u rrit me 20%. Në muajin pasues, ra me 10%. Sa është përqindja e ndryshimit të çmimit të karburantit për periudhën dymujore? Çmimi është rritur apo është ulur, pas dy muajve?

10 Organizmi i njeriut vepron mbi penicilinën në mënyrë të tillë që, pas çdo ore, vetëm 60% e sasisë së injektuar mbetet aktive. Një personi iu dha doza prej 300 miligramë penicilinë. Plotësoni tabelën e mëposhtme duke gjetur sasinë aktive të penicilinës nga ora 800 deri në orën 1100.

6. SHPREHJET ME NJË NDRYSHORE 145 6. PROPORCIONALITETI

Shprehni në përqindje (%) dhe në promil (%0) numrat e

a) 9 20 ; b) 11 4 ; c) 1 3 ; d) 0,7.

Përqindjet e mëposhtme i shprehni në trajtën e numrave racionalë: a) 75%; b) 8 4 5 %; c) 12 1 3 ; d) 3,2%; e) 0,02%.

Promilët e mëposhtëm të shprehen në trajtën e numrave racionalë: a) 250%0; b) 8 1 2 %0; c) 12 1 3 %0; d) 32%0; e) 0,02%0.

ORA 8oo 9oo 10oo 11oo Sasia e penicilinës (në miligram) 300

6.10 Interesi bankar (kamata)

A Kërkoni dhe zbuloni

Një firmë futi 20 000 euro në një bankë, që punon me interes 4,5%.

a) Sa euro fitoi firma pas një viti?

b) Nëse firma lë në bankë kapitalin fillestar së bashku me fitimin, sa euro do të jetë fitimi në vitin pasardhës?

Diskutoni.

B Vrojtoni dhe mësoni

Këshillohet që paratë e tepërta, çdo firmë, institucion apo familje duhet t’i depozitojë në bankë. Kjo bëhet për disa arsye:

Së pari, në bankë paratë janë më të sigurta nga humbje aksidentale siç mund të jenë dëmtime nga lagështia, zjarri etj.

Së dyti, paratë e ruajtura në banka sjellin një përqindje të caktuar fitimi. Së treti, paratë e depozituara, banka i përdor për investime sociale.

Mbani mend:

Në problemat me interes bankar marrin pjesë 3 madhësi:

1) sasia e parave të depozituara, kapitali (K);

2) interesi bankar, kamata (I);

3) përqindja e interesit (p%);

4) koha gjatë së cilës është depozituar sasia e parave, kapitali (t).

Për interes bankar të dhënë, fitimi është në përpjesëtim të drejtë me sasinë e parave të depozituara. Koeficienti i proporcionalitetit fitim : para, të depozituara është pikërisht interesi bankar. Për një interval kohe t, interesi i thjeshtë njehsohet me formulën: I = K · p · t 100 .

Shembulli 1

bankë

Zgjidhje

një

në një vit, nëse depoziton

MATEMATIKA 9 146

Një

grumbullon euro me interes 3% në vit. Sa euro fiton

person

në bankë shumën prej 600 eurosh? Po për tre vjet?

Duhet të gjejmë se sa bëjnë 3% të 600 eurove. Po të shënojmë me x, sasinë e eurove që fiton personi pas një viti, kemi: 100% → 600 euro 3% → x euro 100 3 = 600 x ⇒ 100x = 3 · 600 ⇒ x = 3 · 600 100 = 18 euro Për 3 vjet, do të fitonte I = K · p · t 100 = 600 · 3 · 3 100 = 5400 100 = 54 euro.

Shembulli 2

bankë ruan paratë me interes 3% në vit. Sa euro ka futur një person në bankë, nëse pas një viti ai fitoi 24 euro?

të gjejmë se sa është sasia e eurove të depozituara, nëse 3% të saj bëjnë 24 euro.

Zgjidhje

të shënojmë

y sasinë e eurove

personi futi në bankë, kemi:

Shembulli

është shuma e depozituar në bankë me 2,5% interes, e cila pas 5 viteve sjell fitimin prej 650 euro?

Zgjidhje

formula për interesin e thjeshtë

kemi:

është kapitali i depozituar për 5 vjet, me interes të thjeshtë

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. Zana futi në bankë 800 euro dhe pas një viti nga interesi fitoi 40 euro. Me çfarë interesi punoi banka?

2. Me çfarë interesi vjetor punon banka, nëse pas një viti, kapitali prej 2500 euro sjell një fitim prej 127,50 euro?

3. Genci futi në bankë 3120 euro. Pas një viti, ai kishte në bankë shumën prej 3 269,76 euro. Me çfarë interesi punon banka?

USHTRIME

1 Banka punon me interes 3,5%. Një person futi sasinë prej x eurosh. Pas një viti, ai disponon shumën prej 2 794,50 euro. Gjeni x

2 Gjeni kohën, gjatë së cilës shuma prej 75 000 euro me normë interesi 1,5%, sjell interesin 4500 euro.

3 Albini ka nevojë për një kredi prej 25 000 euro për të blerë një ngastër toke. Në qoftë se norma e interesit të bankës është 10% në vit, gjeni interesin e thjeshtë që do të paguajë ai për kredinë pas një viti; pas dy vjetësh; pas pesë vjetësh.

4 Gjeni interesin e thjeshtë që paguhet për kreditë e mëposhtme: a) 20 000 euro për 4 vjet me 15% në vit; b) 5000 euro për 10 vjet me 12% në vit.

5 Bardha dëshiron të blejë një makinë larëse për 550 euro. Banka asaj i jep kredi me 12% interes në vit. Sa do t’i kushtojë Bardhës makina larëse, në qoftë se e blen me kredi dhe e shlyen kredinë pas një viti?

6 Taksa e importit për artikujt e luksit është 40%. Gjeni vlerën e doganës për: a) një makinë me çmim 50 000 euro; b) një parfum me çmim 70 euro.

6. SHPREHJET ME NJË NDRYSHORE 147 6. PROPORCIONALITETI

Një

Duhet

që

100% → y euro 3% → 24 euro 100 3 = y 24 ⇒ 3y = 100 · 24 ⇒ y = 100 · 24 3 = 800 euro

3 Cila

Nga

I = K · p · t 100 ,

K = 100 · I p · t = 100 · 650 2,5 · 5 = 65000 12,5 = 5200 euro

2,5%.

6.11 Çfarë mësuam? (Përsëritje)

Tashmë kemi mësuar

Provoni të zgjidhni

1 Formuloni ndryshe pohimin e mëposhtëm, duke përdorur fjalën “përpjesë”.

a) Në çdo 20 nxënës, njëri merret me sportin e notit.

b) Në çdo 10 spektatorë, njëri njihet me regjisorin.

Përkufizimin e përpjesës dhe të përpjesëtimit:

c) Në çdo 8 vrapues, njëri është mëngjarash.

2 Tregoni që barazimi 20 16 = 5 4 është përpjesëtim. Formoni përpjesëtime të tjera sipas vetive të përpjesëtimit.

3 Të gjendet e panjohura në përpjesën: (x + 8) : x = 3 : 2

Identifikimin e përpjesëtimit të drejtë dhe të zhdrejtë:

4 Në qoftë se 16 bileta kushtojnë 64 euro, sa euro kushtojnë 7 bileta?

5 3 punëtorë e kryejnë një punë për 12 ditë. Për sa ditë e kryejnë këtë punë 4 punëtorë?

6 Thjeshtoni përpjesën. Tregoni përpjesën e anasjelltë të secilës prej tyre. a) 16:24; b) 121:33; c) 1,4:2,1; d) 1,5:0,6.

Përkufizimin e përpjesëtimit e thjeshtë dhe të zgjeruar:

7 Nga përpjesëtimet x : y = 8 : 5 dhe y : z = 10 : 3 të formohet përpjesëtimi i zgjeruar x : y : z

8 Duke u bazuar në vetitë e përpjesëtimit të zgjeruar caktoni x, y, z dhe t, nëse x + y + z + t = 198 dhe x : y : z : t =1 : 2 : 3 : 4.

9 Për 12 kekë të vegjël nevojiten: 110 g miell; 2 vezë; 250 g gjalpë; 110 g sheqer; 4 lugë gjelle qumësht; 280 g sheqer pluhur.

Dallimin e madhësive, të cilat janë në përpjesëtim të drejtë nga ato që janë në përpjesëtim të zhdrejtë:

a) Sa kekë mund të bëhen me një kuti me 6 vezë, duke nënkuptuar që përbërësit e tjerë janë në sasi të mjaftueshme?

b) Sa miell duhen për 18 kekë të vegjël?

c) Sa gjalpë duhet për të bërë 30 kekë të vegjël?

10 Largësia midis dy qyteteve është 25 km. Në ç’largësi ndodhen në hartë këto dy qytete, në qoftë se shkalla e hartës është 1:1000000.

11 Rrugën nga qyteti A në qytetin B, një makinë që ecën me shpejtësi 36 km/orë e bën për 4 orë. Në sa orë do ta bëjë rrugën në kthim, nëse e rrit shpejtësinë me 12 km/orë?

Zbatimin e vetive të përpjesës në zgjidhjen e detyrave praktike:

12 Të gjendet gjatësia e brinjëve të trekëndëshit, nëse brinjët e tij janë në përpjesëtim 2 : 3 : 4 dhe perimetri i tij është 90 cm.

MATEMATIKA 9 148

Llogaritjen e ndarjes dhe përzierjes në detyra praktike:

13 Një automobil bën 7 km me 1 litër benzinë. Sa km do të bëjë me 4,5 litra benzinë?

14 12 litra ujë i detit Mesdhe përmbajnë 420 g kripë. Gjej sasinë e kripës që përmbahet në: a) 1 litra ujë deti; b) 1000 litra ujë deti.

15 Një përzierje ka bakër, zink dhe nikel, masa e të cilave është në përpjesëtim të drejtë me numrat 13 : 4 : 3. Gjeni masën e përzierjes, në qoftë se në të ka 2,4 kg më shumë bakër se nikel.

16 Dy kënde shtuese (suplementare) rrinë si 5 : 31. Sa gradë është secili prej tyre?

17 Gjeni 15% të 320 euro.

Llogaritjen e përqindjes, kamatës dhe promilit:

Përdorimin e formulave për llogaritjen e përqindjes, promilit dhe kamatës për zgjidhje të problemave në situata jetësore:

18 Gjeni 25‰ të 3550.

19 Çmimi i një prodhimi prej 250 euro është zbritur me 15%. Gjeni çmimin e ri të prodhimit.

20 Gjeni interesin e thjeshtë që paguhet për kredinë 25 000 euro për 5 vjet me 10% në vit.

21 Sa interes sjell shuma e depozituar prej 3000 eurosh në bankë për 6 vjet me 5% interes?

22 Me çfarë përqindjeje, 9000 euro për 96 ditë sjell 155 euro interes?

23 Me çfarë përqindjeje, shuma prej 26 000 euro për 8 muaj sjell 850 euro interes?

Përdorimin e makinës llogaritëse dhe të kompjuterit për zgjidhjen e problemave të ndryshme.

24 Një aliazh metali është formuar nga bakri dhe plumbi në përpjesë 3 : 5. Një bllok aliazhi ka masën 6,24 kg. Sa është masa e bakrit dhe plumbit në këtë bllok?

Detyrë hulumtuese. Transporti i naftës

Në tokë, nafta transportohet nëpërmjet tubacioneve, që kanë gjatësi disa qindra km dhe diametra në kufijtë nga 15 cm në 1 m. Mund të transportohet më tepër se 136 000 m3 naftë në ditë.

Në det, ajo transportohet me anije të posaçme (tankerë), që mund të mbajnë gati 2 milionë fuçi me naftë, ku çdo fuçi mban saktësisht 159 litra. Në distanca të shkurtra, transporti i naftës kryhet me vagonë-cisterna ose kamionë-cisterna kapaciteti i të cilëve është mesatarisht 30 m3

a) Ç’vëllim nafte, në m3, mund të transportojë tankeri i përmendur më lart?

b) Sa ditë duhen që të funksionojë tubacioni tokësor, për të transportuar kaq naftë?

c) Konsumi ditor i naftës në botë është afërsisht 80 milionë fuçi. Për ç’sasi tankerësh ka nevojë bota çdo ditë, për të plotësuar nevojat e saj?

d) Për ç’sasi kamion-cisternash ka nevojë zbrazja e 1 tankeri?

149 6. PROPORCIONALITETI

6.12 Vlerësim

Koha: 45 minuta

1 Nëse segmenti AB është sa 2 5 e segmentit CD, ç’pjesë e segmentit AB është segmenti CD?

2 Gjeni përpjesën e:

1 4 me 7 30

3 20

3 Mësimet në shkollë zgjasin 5 orë. Përpjesa midis orëve mësimore dhe pushimeve është 9 : 1. Sa kohë zgjasin pushimet?

2 pikë

pikë

3 pikë

4 Orizi përmban 75% amidon, kurse elbi përmban 60%. Sa elb duhet përdorur për të marrë po aq amidon sa ka në 5 kg oriz? 3 pikë

5 Në fillim të vitit shkollor ishin 550 nxënës. Gjatë vitit, numri i nxënësve të shkollës u rrit me 8%. Sa nxënës ishin në fund të vitit?

3 pikë

6 Zbatoni vetinë e vargut të përpjesëve të barabarta. 3 4 = 9 12 = … 1 pikë

7 a) Në hartën me shkallë 1:10 000, gjeni largesën midis dy pikave, kur largesa në tokë është 1,5 km. b) Në hartë, largesa prej 120 km është paraqitur me segment me gjatësi 30 cm. Me ç’segment do të paraqitet largesa prej 150 km?

4 pikë

8 Formoni një përpjesëtim me numrat 3; 12; 8; 2. Duke shfrytëzuar vetitë e përpjesëtimit, formoni përpjesëtime të zgjeruara. 2 pikë

9 Gjeni kufizën e panjohur në përpjesëtimet e mëposhtme: a) 3 18 = x 72 ; b) 3,5 : x = 1:0,2; c) 5 + x x = 3 4 6 pikë

10 Pasi u rrit paga me 30%, një punëtor merr 13 euro në ditë. Sa ka qenë paga e tij më parë? 3 pikë

11 Përmasat e një kuboidi prej plasteline janë 5 cm, 6 cm, 12 cm. Me plastelinën e tij formohet një kuboid i ri me përmasa 2,5 cm; 3 cm; x cm. Sa është x? 3 pikë

MATEMATIKA 9 150

–

EKUACIONET LINEARE ME DY NDRYSHORE DHE SISTEMET E TYRE7

Në fund të kësaj teme, nxënësi/ja:

• përcakton pozicionin e pikës në rrafshin e koordinatave, kur janë dhënë koordinatat dhe anasjellas;

• paraqet grafikisht ekuacionin linear me dy ndryshore;

• diskuton grafikun e ekuacionit linear me dy ndryshore;

• përdor ekuacionet lineare me dy ndryshore për zgjidhjen e problemave matematike dhe atyre nga jeta e përditshme;

• përcakton pozicionin e drejtëzës në lidhje me boshtet e koordinatave në varësi nga koeficienti i pjerrtësisë;

• përcakton kur një dyshe e renditur është zgjidhje e sistemit;

• zgjidh sistemin e ekuacioneve lineare me metoda të ndryshme (metodën grafike, metodën e zëvendësimit, metodën e eliminimit);

• arsyeton zgjidhshmërinë e sistemit të ekuacioneve lineare;

• diskuton zgjidhjen e sistemeve në varësi të parametrave;

• zbaton sistemet e ekuacioneve lineare në zgjidhjen e problemave praktike.

Fjalë kyçe: rrafsh koordinativ, bosht koordinativ, bosht i abshisës, boshti i ordinatës, kuadrante, koordinata të pikës, çift i renditur, koordinatë e parë, abshisë, koordinatë e dytë, ordinatë, pozicioni i pikës, ekuacion linear me dy ndryshore, grafik, drejtëz, koeficienti i drejtëzës, sistem ekuacionesh, metoda grafike, metoda e zëvendësimit, metoda e eliminimit.

A E DINI SE?...

Sistemet e ekuacioneve janë përdorur pothuajse qysh prej 4000 vjet më parë. Ka shkrime që dëshmojnë se në Babiloni, njerëzit dinin si të zgjidhnin sisteme të thjeshta, si x + y = p xy = q . Gjithashtu, edhe në Kinë përdoreshin sisteme të thjeshta jo vetën me dy ndryshore, por dhe me tre ndryshore. Megjithatë, koncepti i sistemeve të ekuacioneve me dy të panjohura u zhvillua në shekullin e 17-të nga matematikani francez Rene Dekart (René Descartes), i cili lindi më 1596, në Francë dhe studioi në Holandë. Në shekullin XIX, matematikani gjerman, Gaus (Carl Friedrich Gauss) zbuloi metoda të reja për zgjidhjen e sistemit të ekuacioneve, zëvendësimin dhe eliminimin. Më vonë, për zgjidhjen e sistemit të ekuacioneve, u zbulua metoda e matricave. Mënyra e eliminimit të Gausit është mënyra më e mirë për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve.

151

7.1 Sistemi kënddrejtë koordinativ. Koordinatat e pikës

A Kërkoni dhe zbuloni

Në një parcelë drejtkëndëshe ndodhet një pus.

a) A mund të përcaktohet pozicioni i tij, duke njohur vetëm largësinë nga njëra brinjë?

b) Sa të dhëna janë të mjaftueshme për të përcaktuar pozicionin e pusit? Diskutoni.

B Vrojtoni dhe mësoni

Në sallën e spektatorëve, vendet përcaktohen nga dy numra: i pari është numri i rreshtit, i dyti është numri i karriges, në këtë rresht. Ndërkaq, vendet që jepen nga çiftet e radhitura të numrave (3; 8) dhe (8; 3) janë të ndryshme: i pari ndodhet në rreshtin e tretë, në karrigen me numër 8, kurse i dyti në rreshtin e tetë, në karrigen numër 3.

Punë në grup

Kujtoni si jepen koordinatat e pikave në boshtin numerik. Për këtë, në drejtëz zgjidhni origjinën, kahun dhe njësinë e gjatësisë, duke e shndërruar atë në bosht numerik (fig. 7.1). Pas kësaj, çdo pikë e boshtit ka koordinatën e vet. Gjeni koordinatën e pikës A, B, C.

–1,5012,54 AC B Fig. 7.1

Mbani mend:

Dy boshtet pingule ndërmjet tyre me të njëjtën njësi të gjatësisë së ndarjes në pjesë të barabarta, formojnë sistemin kënddrejtë koordinativ në rrafsh.

Pikën O e quajmë origjinë të koordinatave, kurse vetë boshtet i quajmë boshte koordinative. Boshtin horizontal x’x e quajmë bosht të abshisave, kurse boshtin vertikal y ’ y e quajmë bosht të ordinatave. Rrafshin, në të cilin është dhënë një sistem kënddrejtë koordinativ e quajmë rrafsh koordinativ. Boshtet e ndajnë rrafshin koordinativ në katër pjesë, që quhen kuadrante (fig. 7.2).

Fig. 7.2

në grup

pikës

jepen koordinatat

në figurën

pikës në rrafshin koordinativ. Përshkruani

MATEMATIKA 9 152

Punë

Kujtoni si

si janë gjetur koordinatat e

7.3. 01 a) b) c) d) 23 x y 1 3 2 0123 x y AA 1 3 2 0123 x y 1 3 2 NMA 0123 x y 1 3 2 Fig. 7.3 01 x y y1 x1 III IIIIV 1

Numri 3 quhet abshisë e pikës A. Numrin 2 e quajmë ordinatë të pikës A. Numrat x = 3 dhe y = 2 përcaktojnë pozicionin e pikës A, në rrafshin koordinativ. Ato i quajmë koordinata të pikës A.

Për pikën A, me abshisë 3 dhe ordinatë 2, përdoret shënimi A (3; 2).

Gjithmonë në vendin e parë shkruajmë abshisën e pikës, kurse në vendin e dytë, ordinatën. Po të ndërrojmë vendet e koordinatave, merret tjetër pikë. Në figurën 7.4 janë paraqitur pikat M (6; –5) dhe N (–5; 6).

Shembull 1

Përcaktoni pozicionin e pikës në rrafshin koordinativ, kur njihen koordinatat e saj, pika M (3, –4).

Për këtë:

– Në pikën e boshtit të abshisave, me koordinatë 3, heqim pingulen me këtë bosht.

– Në pikën e boshtit të ordinatave, me koordinatë (–4), heqim pingulen me këtë bosht.

– Pika ku priten këto pingule është pika e kërkuar M.

-5-4-3-2-1

7.4

3 -44 -3-2-1

-4 -3 -2 -1

Fig. 7.5

M (3;–4)

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. Shkruani koordinatat

2. Në fletoren

pikave

paraqitura

figurën

katrore vizatoni një sistem kënddrejtë koordinativ (njësia e gjatësisë sa një kuti) dhe ndërtoni pikat

(2; –3) dhe B (–3; 2).

7. SHPREHJET ME NDRYSHORE (VAZHDIM) 153 7. EKUACIONET LINEARE ME DY NDRYSHORE DHE SISTEMET E TYRE

të

në

7.6.

3. Si janë vendosur në lidhje me boshtin y’y, pikat e rrafshit që plotësojnë kushtin x > 0? Kushtin x < 0? -40123456 -3-2-1 -5 -4 -3 -2 -1 x A B E G H F D C y O1 3 2 4 -40123456 -3-2-1 -5 -4 -3 -2 -1 x A B E G F H D C y O1 3 2 4 Fig. 7.6 -60123456

-6 -5 -4 -3 -2 -1 x y A M B N 1 3 2 4 6 5 Fig.

012

-5

x y

O1 3 2 4

1 Gjeni koordinatat

pikave

USHTRIME

B, C, D në figurën 7.7 .

2 Ndërtoni një sistem kënddrejtë koordinativ dhe shënoni pikat: A (2; 5); B (1; –4); C (–3; –2); D (0; 4); E (2; 0).

3 Shënoni në rrafshin koordinativ pikat: A (–2; –2); B (–1; –1); C (0; 0); D (1; 1); E (2; 2). Kontrolloni, me anën e vizores, nëse këto pika shtrihen në një drejtëz. A ndodhet në këtë drejtëz pika F (3; 3)?

4 Jepni koordinatat

pikave të treguara

-3

-2

-41234

MATEMATIKA 9 154

në figurën 7.8. 0 x A B a) b) c) d) e) f) C D y 0 x A C BD E y 0 x A C B D y 0 x A C B D y 0 x A C B D E E F y 0 x A C B D y

-4

-3

-2 -1-1 1 2 3 4 -41234 -4 -3 -3 -2 -2 -1-1 1 2 3 4 -41234 -4 -3 -3 -2 -2 -1-1 1 2 3 4 -41234 -4 -3 -3 -2 -2 -1-1 1 2 3 4 -41234 -4 -3 -3 -2 -2 -1-1 1 2 3 4 -41234 -4 -3 -3 -2 -2 -1-1 1 2 3 4 Fig. 7.8 5 Ndërtoni trekëndëshin OBC, ku kulmet e tij kanë koordinatat përkatësisht O (0; 0); B (4; 6); C (1; 5). 6 Ndërtoni segmentin AB me skaje të dhëna dhe gjeni koordinatat e pikës në të cilën ai pret boshtin x’x. a) A (4; 2); B (2; –2); b) A (–1; –3); B (–3; 3). 7 Ndërtoni trekëndëshin me kulme A (–3; 0); B (3; –2); C (2; 5) dhe gjeni koordinatat e pikës, ku ai pret boshtin y ’ y. 8 Ndërtoni në rrafshin koordinativ pikat M, N dhe gjeni largesën midis tyre, në rast se: a) M (2; –3), N (2; 5); b) M (1; 4); N (5; 4); c) M (–3; 4), N (3; –4); d) M (2; 1), N (5; 5). -401234 -3-2-1 -5 -4 -3 -2 -1 x A B D C y O1 3 2 4 Fig. 7.7

Përcaktimi i pozitës së pikës në rrafshin koordinativ

A Kërkoni dhe zbuloni

Punë në grup

Jepen pikat me koordinata A (–1; –3); B (–2; 0); C (1; –2); D (0; 6); E (1; –2); F (1; 4); M (–7; –5); N (0; –6).

Tregoni në cilin kuadrant apo bosht koordinativ ndodhen pikat.

Ndërtoni një sistem koordinativ kënddrejtë. Gjeni vendndodhjen e secilës pikë. Tregoni pika të tjera që ndodhen:

a) në kuadrantin I; b) në kuadrantin II; c) në kuadrantin III; d) në kuadrantin IV.

Si i kanë koordinatat pikat në secilin kuadrant?

Kërkoni nga shoku/shoqja juaj të gjejë pika në boshtin e: a) abshisave; b) ordinatave.

Si i kanë koordinatat pikat që ndodhen në boshtin e abshisave? Po në boshtin e ordinatave? Diskutoni.

B Vrojtoni dhe mësoni

Mbani mend:

Të gjitha pikat e boshtit të abshisave e kanë ordinatën zero.

Të gjitha pikat me ordinatë 0 ndodhen në boshtin x’x

Themi që pikat e boshtit të abshisave dhe vetëm ato vërtetojnë ekuacionin y = 0.

Të gjitha pikat e rrafshit, sipër boshtit të abshisave, i kanë ordinatat pozitive.

Të gjitha pikat e rrafshit, poshtë boshtit të abshisave, i kanë ordinatat negative. Themi që pikat e rrafshit, që ndodhen sipër boshtit të abshisave (dhe vetëm ato), vërtetojnë inekuacionin y > 0.

Të gjitha pikat e boshtit të ordinatave dhe vetëm ato e kanë abshisën zero.

Të gjitha pikat me abshisë 0 ndodhen në boshtin y’y Themi që pikat e boshtit të ordinatave dhe vetëm ato vërtetojnë ekuacionin x = 0.

Shembull 1

Jepet pika A me koordinata (2; –2). Në cilin kuadrant është pozicionuar pika A?

Gjeni simetriken e saj në lidhje me origjinën O; me boshtin e abshisave.

Zgjidhje

Meqenëse abshisa është numër pozitiv dhe ordinata numër negativ, pika A ndodhet në kuadrantin e IV.

Për të gjetur pozicionin e saj, nisemi nga pika O dhe zhvendosemi 2 njësi djathtas dhe më pas 2 njësi poshtë, si në figurën 7.9.

Simetrikja e pikës A, në lidhje me origjinën, ndodhet në kuadrantin e II, pika B (–2; 2).

Simetrikja e pikës A, në lidhje me boshtin e abshisave, ndodhet në kuadrantin I, pika C (2; 2).

-4

y 1 -1 -1 -2 -2 -3

2 3

B (-2:2) C (2:2) A (2:-2)

-3 -4

4 Fig. 7.9

2njësidjathtas 2njësiposhtë

7. SHPREHJET ME NDRYSHORE (VAZHDIM) 155 7. EKUACIONET LINEARE ME DY NDRYSHORE DHE SISTEMET E TYRE 7.2

01234

Punë në grup

Tregoni ku ndodhen pikat me koordinatë të parë x = 2; x = –3. Tregoni ku ndodhen pikat me koordinatë të dytë y = –4; y = 2. Bashkëbisedoni.

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. Jepen pikat A (1; 3); B (–1; 4); C (7; –5); D (0; 6). Cilat nga këto pika ndodhen: a) mbi boshtin e abshisave; b) në të majtë të boshtit të ordinatave.

2. Si janë vendosur pikat e rrafshit koordinativ, që plotësojnë kushtin y = –2?

3. Si janë vendosur pikat e rrafshit koordinativ, që plotësojnë kushtin x = 3?

4. Ku ndodhet pika M (x; y), nëse koordinatat e saj plotësojnë kushtet: a) x = 0 y > 0 ; b) x < 0 y = 0 .

USHTRIME

1 Ku ndodhet pika M (x; y), nëse koordinatat e saj plotësojnë kushtin: a) x > 0 y = 0 ; b) x < 0 y = 0 .

2 Në ç’kuadrant ndodhet pika M (x; y), nëse koordinatat e saj plotësojnë kushtin: a) x > 0 y > 0 ; b) x > 0 y < 0 ; c) x < 0 y < 0

3 Ndërtoni në rrafshin koordinativ katërkëndëshin ABCD me kulme: A (–10; –2), B (–2; –2), C (–2; –6), D (–10; –6). A është ai drejtkëndësh? Katror? Gjeni perimetrin dhe syprinën e tij.

4 Tri kulmet e një katrori janë (–2; –4), (–2; 2), (4; 2). Gjeni kulmin e katërt.

5 Në rrafshin koordinativ, ndërtoni katërkëndëshin me kulme në pikat: A (–3; –2), B (–1; –2), C (1; 4), D (–3; 4). Ç’lloj katërkëndëshi është ai?

Gjeni syprinën e tij, kur njësia është 1 cm.

6 Gjeni largesën midis pikave: a) A (3; 1) dhe B (3; –3); b) A (4; –2) dhe B (–2; –2); c) A (5; 1) dhe B (2; –3).

7 Në rrafshin koordinativ, ndërtoni pikat A (1; 1), B (3; 1), C (5; –3). Përcaktoni llojin e trekëndëshit ABC dhe gjeni syprinën e tij.

8 Tri nga pikat e mëposhtme ndodhen në një drejtëz paralele me boshtin Ox. Cilat janë ato?

A (3; 0), B (–3; –4), C (0; –4), D (3; 3), E (–4; –4), F (3; –2).

9 Në rrafshin koordinativ, shënoni pikat A (–8; 3), B (1; 3), C (1; –2). Ndërtoni pikën e katërt D, në mënyrë që të merret drejtkëndëshi ABCD. Njehsoni perimetrin dhe syprinën e drejtkëndëshit ABCD.

MATEMATIKA 9 156

Ekuacioni i fuqisë së parë me dy ndryshore. Grafiku i tij

A Kërkoni dhe zbuloni

Gjeni dy numra të plotë që ta kenë shumën 12. Sa çifte numra të tillë mund të gjeni?

B Vrojtoni dhe mësoni

Shembulli 1

Për ç’vlera të ndryshoreve x, y, vlera e shprehjes 2x + y, bëhet e barabartë me 4?

Për këtë zgjidhim ekuacionin 2x + y = 4. Vëmë re se, për x = 0 dhe y = 4, barazimi 2x + y = 4 kthehet në barazim numerik të vërtetë: 2 · 0 + 4 = 4

Themi që çifti i radhitur i numrave (0; 4) është zgjidhje e këtij ekuacioni. Për x = 4 dhe y = 0, barazimi 2x + y = 4 nuk vërtetohet, sepse 2 · 4 + 0 ≠ 4. Çifti i radhitur i numrave (4; 0) nuk është zgjidhje e këtij ekuacioni.

Mbani mend:

Barazimin me dy ndryshore x, y, do ta quajmë ekuacion, nëse kërkohet të gjenden vlerat e x edhe y, të cilat e kthejnë atë në barazim numerik të vërtetë. Çifti i radhitur i dy numrave quhet zgjidhje e ekuacionit me dy ndryshore, nëse duke zëvendësuar numrin e parë në vend të x dhe numrin e dytë në vend të y, ekuacioni kthehet në barazim numerik të vërtetë.

Ekuacionet 2x + y = 4; x – y = 3; x + y = 0; 2x – y = 1 3 kanë ndryshore që janë në fuqinë e parë; ata janë ekuacione të fuqisë së parë me dy ndryshore.

Mbani mend:

Ekuacionin e trajtës ax + by + c = 0, ku a, b, c janë numra realë dhe a ose b është i ndryshëm nga zero, e quajmë ekuacion të fuqisë së parë me dy ndryshore.

Për të gjetur lehtë zgjidhje të një ekuacioni të fuqisë së parë me dy ndryshore, mund të zbatojmë programin e mëposhtëm.

Programi

Shembull: 2x + y = 5

1. Në ekuacion, në vend të njërës ndryshore vendoset një numër. 1. P.sh., zëvendësojmë x me 2.

2. Përftohet kështu një ekuacion me një ndryshore.

2. Kemi 2 · 2 + y = 5

3. Zgjidhet ky ekuacion, duke gjetur vlerën e ndryshores tjetër. 3. 3 · 4 + y = 5, që nga y = 5 – 1 d.m.th. y = 1

4. Shkruhet çifti që është zgjidhje.

Mbani mend:

4. Zgjidhje është çifti (2; 1).

Ekuacioni i fuqisë së parë me dy ndryshore ka bashkësi të pafundme zgjidhjesh.

7. SHPREHJET ME NDRYSHORE (VAZHDIM) 157 7. EKUACIONET LINEARE ME DY NDRYSHORE DHE SISTEMET E TYRE 7.3

Grafiku i ekuacionit të fuqisë së parë me dy ndryshore Çdo zgjidhje e ekuacionit të fuqisë së parë me dy ndryshore ax + by + c = 0, është çift i radhitur numrash. Çdo çifti të tillë, në rrafshin ku është zgjedhur një sistem kënddrejtë koordinativ xOy, i përgjigjet një pikë. Bashkësia e të gjitha këtyre pikave quhet grafik i këtij ekuacioni.

Mbani mend:

Grafiku i ekuacionit të fuqisë së parë me dy ndryshore është një drejtëz. Për ta ndërtuar atë mjafton të gjejmë dy pika. Gjejmë dy zgjidhje të ekuacionit dhe ndërtojmë drejtëzën që kalon nëpër dy pikat përgjegjëse.

Shembulli 2

Të ndërtohet grafiku i ekuacionit 2x + y = 4.

Zgjidhje

Gjejmë dy zgjidhje të ekuacionit.

Për x = 0, marrim 2 · 0 + y = 4, d.m.th. y = 4. Kemi çiftin (0; 4), pika ku grafiku pret boshtin e ordinatave.

Për y = 0 marrim 2x + 0 · y = 4, d.m.th. x = 2.

Kemi çiftin (2; 0), pika ku grafiku pret boshtin e abshisave. Këto veprime i paraqesim shkurt kështu: Fig. 7.10 x 0 2 y 4 0

Në sistemin koordinativ xOy, janë ndërtuar pikat përgjegjëse A (0; 4) dhe B (2; 0). Grafiku i ekuacionit është drejtëza (AB) (fig. 7.10).

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. A janë zgjidhje të ekuacionit x – y + 6 = 0, çiftet (10; 4), (3; 3); (0; 6)?

Jepni dy zgjidhje të tjera të këtij ekuacioni.

2. Krijoni një ekuacion me dy ndryshore që të ketë si zgjidhje çiftin (5; 2).

3. Ndërtoni grafikun e ekuacionit. Tregoni pikave, ku grafiku pret boshtet koordinative. a) x – y = 1; b) y = x – 4; c) y – 3 = 0; d) x = 1.

USHTRIME

1 a) Gjeni katër zgjidhje të ekuacionit x – 2y = 8. b) Paraqitni pikat përgjegjëse në rrafshin koordinativ.

2 Ndërtoni grafikun e ekuacionit. Tregoni pikat, ku grafiku pret boshtet koordinative.

x – 2y = 4; b) 4x + 5y = 9; c) y = x – 3;

1 3 y = 1.

3 Ndërtoni grafikun e ekuacionit. Tregoni bashkësinë e pikave, ku grafiku pret boshtet koordinative.

y = x; b) x = 5;

y = –1; d) x = 0.

4 Në figurën 7.11 është dhënë grafiku i një ekuacioni.

Gjeni dy zgjidhje të ekuacionit.

Gjeni dy çifte numrash që nuk janë zgjidhje të ekuacionit.

A është drejtëza e dhënë, grafik i ekuacionit x + y = 5? Fig. 7.11

MATEMATIKA 9 158

01234 x y A B1 2 3 4

d) 1 2 x –

-41-3-2-1234 0 x y 1 2 3 4

7.4 Studimi i grafikut të ekuacionit linear y = ax + b

A Kërkoni dhe zbuloni

Ndërtoni grafikun e ekuacioneve y = 2x dhe y = –2x. Në secilin grafik merrni një pikë me koordinata (x, y). Lëvizni pikën në grafik nga e majta në të djathtë. Çfarë ndodh me abshisën dhe ordinatën e pikës në secilin prej grafikëve?

Ndërtoni grafikun e ekuacionit y = 2x + 3, duke plotësuar tabelën. x 0 1 y Ç’ndodh me vlerat e y, kur x rritet? Diskutoni.

B Vrojtoni dhe mësoni

Mbani mend:

Grafiku i ekuacionit y = ax, është drejtëz që kalon nga origjina e koordinatave O (0; 0) (fig. 7.12):

1. kur a > 0, drejtëza kalon nga kuadranti I dhe III;

2. kur a < 0, drejtëza kalon nga kuadrantin e II dhe IV.

Mbani mend:

-4

y 1 -1 -1 -2 -2 -3

-3 -4

y=ax

-4

3. Nëse y = x, drejtëza është simetrale e kuadranteve I dhe III, nëse y = –x, drejtëza është simetrale e kuadranteve II dhe IV. 01234 x a >0

Fig 7.12

y=ax y 1 -1 -1 -2 -2 -3

2 3 4

2 3 4 01234 x a <0

-3 -4

Tek ekuacioni linear y = ax + b, kur x = 0, marrim y = b, d.m.th. në grafik ndodhet pika B (0; b). Kështu, grafiku i ekuacionit y = ax + b e pret boshtin Oy në pikën B (0; b). Ju vini re që:

1. kur a > 0, me rritjen e x, rriten vlerat përgjegjëse të y tek ekuacioni y = ax + b; 2. kur a < 0, me rritjen e x, zvogëlohen vlerat përgjegjëse të y tek ekuacioni y = ax + b.

Me ndryshimin e a, ndryshon pjerrësia e grafikut të ekuacionit y = ax + b kundrejt boshtit Ox Prandaj, a quhet koeficient i pjerrësisë (koeficient këndor) i drejtëzës që është grafik i ekuacionit y = ax + b (themi shkurt: “drejtëza y = ax + b”).

Punë në grup

Ndërtoni në të njëjtën figurë grafikët e ekuacioneve y = 2x, y = 2x – 1, y = 2x + 3. Ç’vini re? Si janë këto drejtëza?

yrtoni grafikët e ekuacioneve y = –x, y = –x + 1, y = –x – 1.

7. SHPREHJET ME NDRYSHORE (VAZHDIM) 159 7. EKUACIONET LINEARE ME DY NDRYSHORE DHE SISTEMET E TYRE

Shq

Mbani mend:

1. Dy drejtëza y = ax + b; y = ax + b1, me koeficiente pjerrësie të barabarta, por me vlera të ndryshme të b, janë paralele.

2. Dy drejtëza me koeficiente pjerrësie të ndryshme janë prerëse.

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. Shkruani formulat për të dhënë dy ekuacione lineare, grafikët e të cilave: a) priten; b) priten në një pikë të boshtit Oy; c) janë paralele.

2. Gjeni koeficientin këndor të drejtëzës që kalon nga pikat: a) (0, 2) dhe (1, 5); b) (0, 4) dhe (2, 8). Më pas shkruani ekuacionin e secilës prej drejtëzave.

3. Si janë vendosur kundrejt njëri-tjetrit grafikët e ekuacioneve: a) y = 7x – 4, y = 7x + 8; b) y = –4x, y = –4x + 1; c) y = 2x + 5, y = –x + 5.

USHTRIME

1 Gjeni pikat e prerjes së grafikëve të ekuacioneve. Tregoni koeficientin e drejtëzës. a) y = 10x – 8; y = –3x + 5. b) y = –5x + 16; y = –4.

2 Jepni një ekuacion linear, grafiku i të cilit e pret boshtin Oy në po atë pikë si grafiku i ekuacionit. Tregoni koeficientin e drejtëzave. Në cilin rast grafiku është rritës dhe në cilin zbritës? a) y = x + 4; b) y = –2x – 6.

4 Grafiku i ekuacionit y = ax është paralel me grafikun e ekuacionit y = –0,4x + 5. Në cilat kuadrante shtrihet ai?

5 Grafiku i një ekuacioni linear është një drejtëz, që kalon nëpër pikën M (2; 5) dhe është paralele me grafikun e ekuacionit y = 3x + 1. Jepni këtë ekuacion.

6 Në figurën 7.13, janë dhënë grafikët e disa ekuacioneve lineare. Për secilin prej tyre, gjeni shenjën e a dhe b.

7 Në tabelën e mëposhtme, jepen disa vlera të masës së fëmijës (në kg) sipas moshës së tij (në vjet).

x (Mosha) 0 1 2 3 4 5 y (Masa) 3 9 11,7 13,5 15,3 17,1

Ndërtoni pikat përgjegjëse në rrafshin xOy dhe i bashkoni me vijë të lëmuar.

Në bazë të grafikut të përftuar, gjykoni nëse varësia e masës nga mosha jepet me ekuacion linear.

8 Shpejtësia e përhapjes së zërit në ajër varet nga temperatura e ajrit. Kjo varësi shprehet me formulën v = 331 + 0,6t (v në m/s, t në oC).

Me ç’shpejtësi përhapet zëri në ajër në një ditë dimri me (t = –5oC) dhe në një ditë vere me (t = 30oC)?

Ndërtoni grafikun e ekuacionit linear v = 331 + 0,6t për –10 ≤ t ≤ 40..

MATEMATIKA 9 160

-41-3-2-1234 0 x y 1 2 3 4 Fig. 7.13

7.5 Përdorimi i ekuacioneve lineare

A Kërkoni dhe zbuloni

Të dhënat e mëposhtme tregojnë me përafërsi varësinë e numrit të ftesave të një dasme me kostot përkatëse të shtypit:

200 Kostoja e shtypit (në 10 euro)

Numri i ftesave

450 Gjeni ekuacionin që tregon koston y për një numër x të ftesave. Gjeni koston e përafërt për 325 ftesa. Diskutoni.

B Vrojtoni dhe mësoni

Në figurë paraqitet grafiku i kostos (y) për një numër ftesash x. Grafiku paraqet një drejtëz, pra x dhe y janë në varësi lineare.

Kosto në euro Numuriiftesave

7.14

a) Drejtëza pret boshtin Oy në pikën (0; 50). Kjo do të thotë që ka një tarifë prej 50 eurosh para se të fillojë shtypja e ftesave. Kështu, në ekuacionin linear, y = ax + b, b = 50. Ndërsa për të gjetur koeficientin a, shikojmë pikat A(100; 125) dhe B(200; 165).

bërë raportin e ndryshimit vertikal me ndryshimin horizontal, do të gjejmë koeficientin e pjerrësisë së drejtëzës:

ndryshimi vertikal

– 250 200 – 100 = 200 100 = 2

i ekuacionit linear është: y = 2x + 50.

Për x = 325, kemi y = 2 × 325 + 50 = 700 euro. Pra, kostoja për 325 ftesa është 700 euro.

Ushtrohuni duke zbatuar

Paraqitni në grafik informacionin që japin tabelat përbri. Në secilin rast, ndërtoni një drejtëz, për të treguar se si i përafrohet

një varësie lineare ndërmjet s dhe t. Për tabelën a, përdorni ndarjen: 2 cm për të paraqitur një njësi në boshtin e t-ve dhe 1 cm për të paraqitur pesë

7. SHPREHJET ME NDRYSHORE (VAZHDIM) 161 7. EKUACIONET LINEARE ME DY NDRYSHORE DHE SISTEMET E TYRE

50 100 150

150 250 350

50 50 100 100 200 300 400 500 y 150200250

x Fig.

Duke

a =

ndryshimi horizontal = 450

Grafiku

informacioni

njësi në boshtin e s-ve. Për tabelën b, përdorni ndarjen: 2 cm për të paraqitur një njësi në boshtin e t-ve dhe 2 cm për të paraqitur pesë njësi në boshtin e s-ve.

2. Vlerat e C dhe n janë të lidhura me anë të ekuacionit linear C = Pn + I

t s t s

1,8 6,2 1,2 16,4

2,3 8,1 2,5 34,1

3,1 10,8 2,9 39,5

3,8 13,4 3,4 46,4 4,7 16,5 a) b)

n 2,4 3,4 4,3 5,7 7,4 9,5 11,9 15,0 C 22,6 27,9 32,7 40,1 49,0 60,1 72,7 89,0 Të dhënat janë rezultate të një eksperimenti. Paraqiteni këtë informacion me anë të një grafiku, duke përdorur ndarjen: 1 cm paraqet 1 njësi në boshtin e n-ve; 1 cm paraqet 10 njësi në boshtin e C-ve. Më pas, gjeni me përafërsi vlerat e P dhe I.

USHTRIME

1 Me anë të grafikut, gjeni se cila e dhënë në tabelë tregon se është bërë një gabim gjatë grumbullimit të të dhënave, që ndjekin ekuacionin linear E = 0,51T + 3. Për të ndërtuar grafikun, përdorni ndarjen: 1 cm paraqet 5 njësi në boshtin T; 4 cm paraqesin 10 njësi në boshtin e E-ve.

T 12 15 19 23 28 31 36

E 9,2 10,6 11,1 14,7 17,3 18,8 21,4 Nga grafiku, gjeni një vlerë të përshtatshme për E

2 Ndërtoni grafikun që paraqet të dhënat e tabelës së mëposhtme dhe gjeni dy vlerat që tregojnë se është bërë gabim gjatë grumbullimit të të dhënave. Për të ndërtuar grafikun, përdorni ndarjen: 4 cm paraqet 1 njësi në boshtin e T-ve; 1 cm paraqet 1 njësi në boshtin e E-ve.

T 0,2 0,5 0,9 1,1 1,6 1,9 2,4 2,7

E 8,8 7,7 6,4 6 3,9 2,8 1,1 0,6 Duke supozuar që të dhënat në tabelë ndjekin lidhjen lineare E = a T + b, gjeni me përafërsi nga grafiku vlerat për a dhe b. Më pas, gjeni dy vlerat më të mira për rezultatet e gabuara.

3 Fabrika A dhe Fabrika B prodhojnë kabllo elektrike. Kostoja e kabllove varet nga gjatësia e tyre. Kostoja e transportit është e njëjtë, pavarësisht gjatësisë së kabllove. Formula për koston e një kablloje që prodhohet në Fabrikën A është C = 10 + 5d, ku C është kostoja në euro dhe d është gjatësia e kabllos në metra.

a) Si e tregon formula koston e transportit të kabllos? Sa kushton transporti?

b) Sa është kostoja e transportit për metër?

c) Ndërtoni grafikun për këtë informacion.

4 Fabrika B ka koston e transportit më të vogël, por kablloja për metër kushton më shumë. Tabela tregon koston e kabllos për Fabrikën B.

Gjatësia d (në metra) 2 3 6 Kostoja C (në euro) 17 23 41

a) Ndërtoni grafikun për koston e një kablloje nga Fabrika B në të njëjtin sistem koordinativ ku ndërtuar grafikun për Fabrikën A.

b) Gjeni koeficientin e pjerrësisë së drejtëzës për Fabrikën B. Çfarë tregon kjo?

c) Gjeni pikën e prerjes së grafikut me boshtin Oy për Fabrikën B. Çfarë tregon kjo?

d) Shkruani formulën për koston C, në euro, të një kablloje me gjatësi d metra, të prodhuar në Fabrikën B.

MATEMATIKA 9 162

Sistemi i dy ekuacioneve të fuqisë së parë me dy ndryshore. Zgjidhja grafike e tij

A Kërkoni dhe zbuloni

Gjeni disa zgjidhje për secilin nga ekuacionet x + y = 3 dhe 2x – y = 3. A mund të gjeni zgjidhje të përbashkët të dy ekuacioneve? Diskutoni.

B Vrojtoni dhe mësoni

Shpesh, kërkohet jo gjetja e zgjidhjeve të një ekuacioni me dy ndryshore, por gjetja e zgjidhjeve të përbashkëta të dy ekuacioneve të tilla. Kërkesa “Gjej zgjidhjen e përbashkët të ekuacioneve x – y = 1, y = 2x” ndryshe formulohet kështu: “Zgjidh sistemin e ekuacioneve”.

Mbani mend:

Sa herë kërkohet të gjenden zgjidhjet e përbashkëta të dy ekuacioneve, themi që kërkohet të zgjidhet sistemi i këtyre ekuacioneve

Zgjidhje e përbashkët e ekuacioneve x – y = 1, y = 2x është çifti (–1; –2). Thuhet që ky çift është zgjidhje e sistemit të këtyre dy ekuacioneve.

Mbani mend:

Zgjidhje e një sistemi me dy ekuacione me dy ndryshore quhet çdo çift i radhitur numrash që është zgjidhje për të dy ekuacionet e sistemit.

Punë në grup

Përcaktoni nëse janë zgjidhje të sistemit x + y = 4 x y = 0 , çiftet (2; 3); (2; 2); (4; 4).

Ka një metodë të përgjithshme që mund të përdoret për të zgjidhur cilindo sistem ekuacionesh me dy ndryshore, duke ndërtuar fillimisht grafikët e dy ekuacioneve të tij. Ajo quhet metoda grafike e zgjidhjes së sistemeve.

Shembulli 1

zgjidhet sistemi

Zgjidhje

x + y = 4 y = 2x me metodën grafike.

Për të zgjidhur sistemin, ndërtojmë në të njëjtën figurë grafikët e

(0; 4),

x + y = 4 dhe y =

(2; 0)

(0; 0), C (2; 4)

7. SHPREHJET ME NDRYSHORE (VAZHDIM) 163 7. EKUACIONET LINEARE ME DY NDRYSHORE DHE SISTEMET E TYRE 7.6

Të

ekuacioneve 2

2x. 2x + y =

y = 2x x 0 2 x 0 2 y 4 0 y 0 4 A

-41-3-2-1234 0 x y AC M B1 2 3 4 Fig. 7.15

Grafikët priten në një pikë të vetme M, koordinatat e të cilës i gjejmë nga figura M (1; 2). E vetmja pikë e përbashkët për të dy grafikët është pika M. Prandaj i vetmi çift i radhitur numrash që i vërteton të dy ekuacionet (që është zgjidhje për të dy ekuacionet) është çifti (1; 2).

Përgjigje: Sistemi ka një zgjidhje të vetme, çiftin (1; 2).

Punë në grup

Të zgjidhen sistemet 2x + 2y = 4 x + y = 2 dhe x + 2y = 2 x + 2y = 3 me metodën grafike. Sa zgjidhje kanë sistemet në secilin rast? Diskutoni.

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. Zgjidhni në mënyrë grafike sistemin x + 4y = 7 x 3y = 0 , duke përdorur programin Geogebra Kontrolloni zgjidhjen e gjetur. A jeni të sigurt që ky sistem ka vetëm një zgjidhje?

2. A është çifti (3; 1) zgjidhje e ekuacionit 2x – y = 5. A është ky çift zgjidhje e sistemit 2x – y = 5 y = x 2Zgjidhni sistemin me metodën grafike.

USHTRIME

1 A ndodhet pika M (2; 6) në grafikun e ekuacionit x + 2y = 7? Po në grafikun e ekuacionit 3x = y?

2 A është çifti (2; 6) zgjidhje e sistemit x + 2y = 7 3x = y ?

3 Zgjidhni grafikisht sistemin. a) y = x y = 4 – x ; b) 3x + y = –1 –2x + 3y = 19 ; c) 0x + 2y = 6 3x + y = 0

4 a) Zgjidhni me metodën grafike sistemin 2x + y = 4 4x + 2y = 4 b) A jeni të sigurt që ky sistem nuk ka zgjidhje?

5 a) Zgjidhni me metodën grafike sistemin 3x + y = 3 6x + 2y = 6 . b) Gjeni, po mundët, një çift që nuk është zgjidhje e sistemit.

6 Dihet që një sistem dy ekuacionesh me dy ndryshore nuk ka zgjidhje. a) A do të thotë kjo që secili ekuacion i sistemit nuk ka zgjidhje? b) Ç’do të thotë “Sistemi nuk ka zgjidhje”?

7 Dihet që çifti (3; 4) është zgjidhje e një sistemi dy ekuacionesh të fuqisë së parë me dy ndryshore. Cila fjali është gjithmonë e vërtetë?

a) Grafikët e dy ekuacioneve priten në pikën A (3; 4).

b) Grafikët e dy ekuacioneve e kanë të përbashkët pikën A (3; 4).

MATEMATIKA 9 164

7.7 Zgjidhja e sistemeve me metodën e zëvendësimit

A Kërkoni dhe zbuloni

Për dy numra x dhe y, dimë që shuma x + y = 18, kurse y = 2x. Gjeni x dhe y.

B Vrojtoni dhe mësoni

Sisteme të njëvlershme

Sistemet e dy ekuacioneve të fuqisë së parë me dy ndryshore i zgjidhim me metoda algjebrike, duke i shndërruar ato në sisteme të njëvlershme.

Mbani mend:

Dy sisteme ekuacionesh, me të njëjtat ndryshore, quhen të njëvlershme nëse ato kanë të njëjtën bashkësi zgjidhjesh.

Për të shndërruar një sistem në një tjetër, të njëvlershëm me të por më të thjeshtë, vlejnë disa teorema që ne do t’i pranojmë pa vërtetim.

Teoremë 1. Nëse ndonjë nga ekuacionet e një sistemi zëvendësohet me një ekuacion të njëvlershëm me të, atëherë formohet një sistem i njëvlershëm me të parin.

Teoremë 2. Nëse te njëri ekuacion i sistemit, shprehim njërën ndryshore nëpërmjet tjetrës dhe shprehjen e gjetur, e vendosim në ekuacionin tjetër, atëherë formohet një sistem i njëvlershëm me sistemin e parë.

Dy sisteme të njëvlershme lidhen me shenjën ⇔.

Si për shembull x 2y = 3 T1 ⇔2x + 5y = 7 x = 2y + 3 T2 ⇔2x + 5y = 7 x = 2y + 3 2(2y + 3) + 5y = 7 . Zgjidhja e sistemit me metodën e zëvendësimit Shembulli 1

Të zgjidhet sistemi 7x + 6y = 6 3x 4y = 9 Për të gjetur zgjidhjen e sistemit, veprojmë në këtë mënyrë: Programi

1. Shprehim në ndonjë ekuacion njërën ndryshore nëpërmjet tjetrës.

2. Shprehjen e gjetur për këtë ndryshore e zëvendësojmë në ekuacionin tjetër.

3. Zgjidhim ekuacionin me një ndryshore që përftohet.

4. Gjejmë vlerën përgjegjëse të ndryshores tjetër.

5. Shkruajmë zgjidhjen e sistemit.

Nga ekuacioni i dytë, nxjerrim 3x = 9 – 4y, pra x = 9 – 4y 3

Në ekuacionin e parë, zëvendësojmë x me 9 – 4y 3 dhe marrim 7 · 9 – 4y 3 + 6y = 6

Kemi 7(9 – 4y) + 3 · 6y = 3 · 6, që nga –10y = –45, d.m.th. y = 4,5.

Te shprehja x = 9 – 4y 3 zëvendësojmë y me 4,5 dhe marrim x = 9 – 4y · 4,5 3 = –3

Zgjidhja është çifti (–3; 4,5)

Metoda që përshkruam më lart për zgjidhjen e sistemeve të dy ekuacioneve të fuqisë së parë me dy ndryshore quhet metodë e zëvendësimit.

7. SHPREHJET ME NDRYSHORE (VAZHDIM) 165 7. EKUACIONET LINEARE ME DY NDRYSHORE DHE SISTEMET E TYRE

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. Zgjidhni sistemin x 2y = –1 3x – y = 12 : a) duke veçuar ndryshoren x, në ekuacionin e parë; b) duke veçuar ndryshoren y, në ekuacionin e dytë.

2. Zgjidhni sistemet me metodën e zëvendësimit.

a) 2x 1 = 3 3x – 4y = 4 ; b) 3x 2y = 6 2y = –4 ; c) 2(x + 1) –3(2 – x) = 4 5x + y = 3 .

USHTRIME

1 Zgjidhni sistemin 3x y = 7 x + 2y = 7 : a) duke veçuar y, në ekuacionin e parë; b) duke veçuar x në ekuacionin e dytë.

2 Zgjidhni sistemin x y = 2 2x + 3y = 1 :

a) duke veçuar x në ekuacionin e parë; b) duke veçuar x në ekuacionin e dytë. Cila është mënyra më e mirë?

3 Zgjidhni sistemin me metodën e zëvendësimit. a) 2u + v = 8 3u + v = 1 ; b) a b = 2 2a + 3b = 1 ; c) 2(3x – 2y) + 1 = 7x 12(x + y) –15 = 7x + 12y ; d) –2(a – b) + 16 = 3(b + 7) 6a – (a – 5) = –8 – (b +1) .

4 Pa ndërtuar figurën, gjeni koordinatat e pikës së prerjes së drejtëzave. a) 7x + 4y = 23 dhe 8x – 10 = 19; b) 5x – 4y = 16 dhe x – 2y = 6.

5 Zgjidhni sistemin.

a) x –y = – 43 2 x + y = – 22 4 ; b) 7x –3y = – 4 5 x + 2y = – 35 .

6 Shpejtësia mesatare

MATEMATIKA 9 166

e një kamioni në rrugë fushore është 60 km/orë, kurse në rrugë malore 40 km/ orë. Rrugën prej 200 km, ky kamion e bëri për 4 orë. Sa km ka qenë pjesa malore e rrugës? 7 Në dy arka kemi mollë. Nëse nga arka e parë heqim 10 kg mollë dhe i vendosim në arkën e dytë, atëherë arka e dytë ka katërfishin e mollëve që ka arka e parë. Nëse nga arka e dytë heqim 5 kg mollë dhe i vendosim tek arka e parë, atëherë arkat kanë të njëjtën sasi mollësh. Sa kg mollë ka secila?

7.8 Zgjidhja e sistemeve me metodën e eliminimit

A Kërkoni dhe zbuloni

a) A është e vërtetë fjalia: “Nëse a = b dhe c = d, atëherë a + c = b + d”? b) Nëse x + y = 8 dhe x – y = 2, sa është 2x?

B Vrojtoni dhe mësoni

Ka vend kjo teoremë, që ne do ta pranojmë pa vërtetim. Teoremë 3

Nëse njërin ekuacion të sistemit e lëmë të pandryshuar, kurse ekuacionin tjetër e zëvendësojmë me shumën (ose ndryshimin) anë për anë të ekuacioneve fillestare, atëherë merret një sistem i njëvlershëm me sistemin e parë.

Shembulli 1

Të zgjidhet sistemi 2x + 3y = 13 4x – 3y = –1 .

Zgjidhje

Vëmë re që në ekuacionet e sistemit, koeficientet pranë y janë numra të kundërt, prandaj mbledhim anë për anë ekuacionet. Ndiqni zgjidhjen siç është dhënë më poshtë në mënyrë të përmbledhur e të argumentuar.

2x + 3y = 13 T3 ⇔4x 3y = –1 (2x + 3y) + (4x – 3y) = 13 + (–1) T1 ⇔4x – 3y = –1 6x = 12 T1 ⇔4x 3y = –1 x = 2 4x – 3y = –1

T2 ⇔ x = 2 T1 ⇔4 · 2 – 3y = –1 x = 2 y = 3

Zgjidhja e sistemit është çifti (2; 3). Metoda që përshkruam më lart për zgjidhjen e sistemit të dy ekuacioneve me dy ndryshore quhet metodë e mbledhjes apo metodë e eliminimit të ndryshores. Këtë metodë do ta zbatojmë duke ndjekur programin që paraqitet më poshtë.

Programi

1. Shumëzojmë secilin ekuacion anë për anë me numra të tillë që koeficientet pranë njërës ndryshore, në të dyja ekuacionet, të bëhen numra të kundërt.

2. Mbledhim anë për anë ekuacionet që formohen.

3. Zgjidhim ekuacionin me një ndryshore që formohet.

4. Gjejmë vlerën përgjegjëse të ndryshores tjetër, duke zëvendësuar në njërin nga ekuacionet.

5. Shkruajmë zgjidhjen e sistemit.

Shembull 3x 5y = 93 5x – 4y = 103

1. Shumëzojmë të dyja anët e ekuacionit të parë me –5 dhe të dytit me 3. Marrim –15x + 25y = –465 15x – 12y = 309

2. Kemi: (–15x + 25y) + (15x – 12y) = –465 + 309

3. Kemi 13y = –156, d.m.th. y = –156 13 , pra y = –12

4. Duke zëvendësuar y me (–12) në ekuacionin II të sistemit fillestar, gjejmë

5x – 4(–12) = 103, që nga x = 11.

5. Zgjidhja e sistemit është çifti (11; –12).

7. SHPREHJET ME NDRYSHORE (VAZHDIM) 167 7. EKUACIONET LINEARE ME DY NDRYSHORE DHE SISTEMET E TYRE

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. Është dhënë sistemi –4x + 3y = 5 10x + 4y = 3 a) Shumëzoni të dyja anët e ekuacionit të parë me 5 dhe të dyja anët e ekuacionit të dytë me 2. b) Kryeni zgjidhjen e sistemit me metodën e mbledhjes.

2. Zgjidhni sistemin me metodën e mbledhjes.

a) x + y = 10 x – y = 4 ; b) 2x + y = 11 3x – y = 14 ; c) x + 2y = 5 x – 2y = –3 .

USHTRIME

1 Formoni një sistem të njëvlershëm me sistemin e dhënë, ku koeficientet pranë njërës ndryshore të jenë numra të kundërt.

a) 4x y = 5 2x + 5y = –1 ; b) 3x + 2y = 1 x – 3y = 0 ; c) 3x + 2y = 7 2x – y = 5

2 Zgjidhni sistemin me metodën e mbledhjes (eliminimit).

a) 2x + y = 1 3x + 2y = –2 ; b) 7x + y = 0 2x – 3y = 0 ; c) x 1,2y = 1 5x – 1,2y = 4

3 Zgjidhni sistemin me metodën e mbledhjes (eliminimit).

a) 6x 2y = 7 4x + 7y = 2 ; b) –2x + 2y = 3 5x – 5y = 1 ; c) 2x 6y = 4 3x + 8y = 5 .

4 Zgjidhni sistemin 5x + y = 8 3x – 2y = 10 : a) me metodën e mbledhjes (eliminimit); b) me metodën e zëvendësimit.

5 Zgjidhni sistemin me metodën e mbledhjes.

a) 2x + 3y = 4x +1 2(4 + 3x) – (y + 7) = 4; b) 3x = 2y 2(x – 1) = 3(y + 1) ; c) x – 1 + x + 1 = y 2 3 4 y – 1 + y + 1 = x 2 3 4

6 Dihet që grafiku i ekuacionit y = kx + b kalon nëpër pikat A (4; 1) dhe B (3; –5). Gjeni k dhe b.

7 Perimetri i drejtkëndëshit është 120 cm dhe gjatësia

MATEMATIKA 9 168

është sa dyfishi i gjerësisë. Gjeni brinjët e drejtkëndëshit. 8 Gjeni gjerësinë e një liqeni duke ditur që tingulli nga bregu tjetër vjen nëpër ujë dy sekonda më shpejt se nëpër ajër. Shpejtësitë e zërit në ajër e në ujë janë përkatësisht 340 m/s dhe 1450 m/s. 9 Një raft kishte dyfishin e librave të një rafti tjetër. Kur nga rafti i parë u hoqën 60 libra dhe u vendosën në raftin e dytë, sasia e librave në secilin raft u bë e barabartë. Sa libra kishte në secilin raft? 10 Shuma e dy numrave është 110. Gjeni këta dy numra, nëse 2 3 e njërit janë sa 25% e tjetrit.

Zbatime të sistemit të ekuacioneve lineare me dy ndryshore

A Kërkoni dhe zbuloni

Paraqitni fjalitë e mëposhtme në trajtën e barazimeve me dy ndryshore.

a) Një drejtkëndësh me përmasa x, y (cm) e ka perimetrin 120 cm.

b) Një drejtkëndësh me përmasa u, v (cm) e ka syprinën 64 cm2.

c) Për 3 fletore me çmim x euro dhe dy stilolapsa me çmim y euro u paguan 3,50 euro.

d) Një çiklist përshkoi 50 km duke lëvizur për 2 orë me shpejtësi x km/orë dhe për 1 orë me shpejtësi y km/orë.

B Vrojtoni dhe mësoni

Shembulli 1

Në një kuti ndodhen 10 sfera, disa të kuqe e të tjerat të bardha. Po të shtojmë dy sfera të kuqe dhe 3 sfera të bardha, numri i sferave të bardha do të jetë sa dyfishi i numrit të sferave të kuqe. Sa sfera të kuqe dhe sa sfera të bardha ishin në fillim në kuti?

Zgjidhje

Për të zgjidhur problemën, do të ndjekim këtë program pune: Programi Zbatimi konkret

1. Shënojmë me x e y dy madhësi të panjohura.

2. Përcaktojmë bashkësitë e vlerave të mundshme të x, y (kushtet për ndryshoret).

3. Në bazë të të dhënave, formojmë dy fjali me ndryshore.

Shënojmë me x numrin e sferave të kuqe e me y numrin e sferave të bardha.

Është e qartë që x ∊ N, y ∊ N.

Kemi fjalitë: a) “Shuma e x me y është 10”. b) “Kur kemi (x + 2) sfera të kuqe dhe (y + 3) sfera të bardha, numri i sferave të bardha është sa dyfishi i numrit të sferave të kuqe”.

4. Shprehim dy fjalitë në formën e ekuacioneve dhe formojmë sistemin.

5. Zgjidhim sistemin e formuar.

Kemi x + y = 10 dhe y + 3 = 2(x + 2) d.m.th. kemi sistemin x + y = 10 y + 3 = 2(x + 2)

Zgjidhim këtë sistem me metodën e zëvendësimit. Nga ekuacioni i parë nxjerrim y = 10 – x; duke e zëvendësuar këtë në ekuacionin e dytë, marrim (10 – x) + 3 = 2(x + 2), pra 3x = 9, d.m.th. x = 3. Prandaj y = 10 – 3 = 7.

6. Kontrollojmë nëse vlerat e gjetura për x, y i përshtaten problemës (janë në bashkësitë e kërkuara).

7. Shprehim me fjalë zgjidhjen e problemës.

Vlerat e gjetura për x, y i përshtaten problemës, sepse të dyja plotësojnë kushtet x ∊ N, y ∊ N.

Numri i sferave të kuqe është 3, kurse numri i sferave të bardha është 7.

7. SHPREHJET ME NDRYSHORE (VAZHDIM) 169 7. EKUACIONET LINEARE ME DY NDRYSHORE DHE SISTEMET E TYRE 7.9

Shembulli 2

Të përcaktohet, sipas vlerave të ndryshme të shkronjës a, sasia e zgjidhjeve të sistemit

(1) x + 4y = 2 x + a2y = a

Zgjidhje:

Nga ekuacioni i dytë nxjerrim x = a – a2y. Duke zëvendësuar këtë shprehje në ekuacionin e parë marrim a – a2y + 4y = 2 dmth.; (4 – a2) y = 2 – a (2).

Koeficienti pranë y tek ekuacioni (2) është 4 – a2. Ai bëhet zero kur a = 2 ose a = 2 (pse?)

Dallojmë këto raste:

1. Nëse a ≠ 2 dhe a ≠ –2, ekuacioni (2) ka një zgjidhje të vetme që jepet nga formula y = 2 – a 4 – a2 d.m. th., y = 1 2 + a . Gjejmë një vlerë të vetme përgjegjëse për x = a2 · 1 2 + a d.m.th., x = 2a 2 + a . Kështu, në këtë rast sistemi (1) ka vetëm një zgjidhje.

2. Nëse a = 2, ekuacioni (2) merr trajtën 0 y = 0 dhe ka si zgjidhje këdo numër real. Sistemi (1) ka në këtë rast një sasi të pafundme zgjidhjesh (vlera e y merret sipas dëshirës, kurse vlera e x merret sipas formulës x = a – a2y).

3. Nëse a = 2, ekuacioni (2) merr pamjen 0 y = 4, pra nuk ka zgjidhje. Në këtë raste dhe sistemi (1) nuk ka zgjidhje.

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. Është dhënë sistemi x + 2y = 5 3x + 6y = 9 .

a) Tregoni që ky është i njëvlershëm me sistemin x + 2y = 5 x + 2y = 3 . b) Tregoni që çdo zgjidhje e ekuacionit të parë nuk mund të jetë zgjidhje e ekuacionit të dytë.

c) A ka zgjidhje sistemi?

2. Është dhënë sistemi 2x y = 3 3x – 2y = 6 a) Tregoni që ky është i njëvlershëm me sistemin 2x y = 3 2x – y = 3 . b) Tregoni që sistemi ka pafundësi zgjidhjesh.

3. Përcaktoni sipas vlerave të ndryshme të shkronjës b, sasia e zgjidhjeve të sistemit x + 3y = 3 x + by = b

4. Perimetri i një drejtkëndëshi është 140 cm, kurse brinjët ndryshojnë me 10 cm njëra nga tjetra. Gjeni brinjët.

MATEMATIKA 9 170

USHTRIME

1 Për të blerë dy palë çorape dhe 1 shami duhen 2,50 euro, kurse për të blerë 3 palë çorape e dy shami duhen 4,00 euro. Sa është çmimi i çorapeve dhe sa i shamive?

2 Një numër dyshifror e ka shumën e shifrave 8. Po t’i ndërrojmë vendet shifrave, marrim një numër që është 18 njësi më i vogël se i pari. Cili është numri fillestar?

Udhëzim: Nëse shifra e dhjetësheve është a dhe shifra e njësheve b, numri shkruhet 10a + b.

3 Dy makina lëvizin (njëkohësisht) duke u nisur nga dy qytete A, B që ndodhen në largësinë 300 km dhe takohen pas dy orësh. Nëse i pari niset dy orë para të dytit, ata do të takohen 1 orë pas nisjes së të dytit. Sa është shpejtësia e secilës makinë?

4 Nëse shuma emëruesit dhe numëruesit të një thyese pjesëtohen me ndryshimin e emëruesit dhe numëruesit, fitohet numri 6. Nëse emëruesit dhe numëruesit iu zbritet numri 3, fitohet numri 0,5. Gjeni cila është thyesa.

5 Në dy arka kemi mollë. Nëse nga arka e parë heqim 10 kg mollë dhe i vendosim në arkën e dytë, atëherë arka e dytë ka 4-fishin e mollëve që ka arka e parë. Nëse nga arka e dytë heqim 5 kg mollë dhe i vendosim tek arka e parë, atëherë arkat kanë të njëjtën sasi mollësh. Sa kg mollë ka secila arkë?

6 Motra është 4 vjet më e madhe se vëllai i saj. Pas 3 vitesh, mosha e motrës bëhet sa dyfishi i moshës së vëllait. Sa vjeç është secili?

7 Dy këmbësorë u nisën njëkohësisht kundrejt njëri-tjetrit nga pikat A dhe B, 33 km larg njëra tjetrës. Pas 3 orë e 12 minuta, largësia midis dy këmbësorëve ishte 1 km; pas 2 orë e 18 minuta të tjera, të parit i mbeti, deri në pikën B, një largësi tri herë më e madhe sesa të dytit deri në pikën A. Gjeni shpejtësinë e këmbësorëve.

8 Shuma e dy numrave është 504, ndërsa herësi i tyre 3, kurse mbetja 44. Gjeni numrat.

9 Herësi i dy numrave treshifrorë është 3. Nëse shifrave të numrit të dytë ua bashkëngjisim numrit të parë, fitohet numri gjashtëshifror, i cili është 443556 më i madh se numri gjashtëshifror që fitohet kur numrit të parë i bashkëngjiten shifrat e numrit të dytë. Cilët janë ata numra treshifrorë?

7. SHPREHJET ME NDRYSHORE (VAZHDIM) 171 7. EKUACIONET LINEARE ME DY NDRYSHORE DHE SISTEMET E TYRE

7.10 Çfarë mësuam? (Përsëritje)

Përcaktimin e pozicionit të pikës në rrafshin e koordinatave, kur janë dhënë koordinatat dhe anasjelltas:

1 Ndërtoni një sistem kënddrejtë koordinativ dhe shënoni pikat:

A (–2; –5); B (12; 4); C (–1; –4); D (0; –4); E (–2; 0).

2 Shënoni në rrafshin koordinativ pikat:

A (–1; –2); B (–2; –4); C (0; 0); D (1; 2); E (2; 4). Kontrolloni me anën e vizores, nëse këto pika shtrihen në një drejtëz.

A ndodhet në këtë drejtëz pika F (3; 3)? Po pika M (3; 6)?

3 Cilat nga çiftet (0; 7) (1; 5) (7; 0) (5; 1) (–1; 9) janë zgjidhje për ekuacionin 2x + y = 7?

Paraqitjen grafikisht të ekuacionit linear me dy ndryshore:

4 Për ekuacionin x – y = 3, çifti i radhitur (5; 2) është zgjidhje, sepse 5 – 2 = 3, kurse çifti i radhitur (2; 5) nuk është zgjidhje, sepse kemi 2 – 5 ≠ 3. a) Gjeni një zgjidhje tjetër të këtij ekuacioni. b) Gjeni një çift të radhitur numrash, që nuk është zgjidhje e ekuacionit.

5 Paraqitni grafikisht ekuacionet e dhëna: a) y = 2x; b) 2x + y = 5; c) x – y = 3; d) 2x – 6 = 0.

6 Në grafikun e ekuacionit ax – 3y = 5 ndodhet pika M (5, 0). Gjeni koeficientin a dhe ndërtoni grafikun.

Grafikun e ekuacionit linear me dy ndryshore dhe diskutimin për të:

7 Të gjenden koordinatat e pikës, ku grafiku i ekuacionit linear pret boshtet koordinative: a) y = 3x – 3; b) 2x + 3y = 2.

8 Si janë vendosur kundrejt njëri-tjetrit grafikët e ekuacioneve: a) y = 2x – 4; y = 2x + 8; b) y = –3x; y = –3x + 1; c) y = 2x + 1; y = –x + 2.

Përcaktimin e pozicionit të drejtëzës në lidhje me boshtet e koordinatave në varësi nga koeficienti i pjerrësisë:

9 Cili nga grafikët është rritës e cili zbritës: a) y = –2x – 3; b) y = 3x + 2; c) 2x – y = 1; d) –2x – y = 0.

10 Gjeni ekuacionin, grafiku i të cilit përmban pikën A(–1; 1) dhe është paralel me grafikun e ekuacionit x = 3y – 1.

MATEMATIKA 9 172

Tashmë kemi mësuar Provoni të zgjidhni

Përcaktimin e një dysheje të renditur, e cila është zgjidhje e sistemit:

Zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare me metodën grafike:

Zgjidhjen e sistemit të ekuacioneve lineare me metodën e zëvendësimit:

11 Cili nga çiftet e numrave (9; 5), (3; 1), (2; 1) është zgjidhje e sistemit të ekuacioneve lineare:

x 3y = 7

x + 5y = 13

12 Zgjidhni grafikisht sistemet e ekuacioneve.

x y = 1

– y = 3 ; b) x y = 1 y = x + 1 ; c) x y = 1 x = y – 1 .

13 Zgjidhni sistemin duke përdorur metodën e zëvendësimit.

y x = –3

– 2y = 9 ; b) y x = –3 2y = 2x + 1 ; c) y x = –3 4x = 4y – 12 .

Zgjidhjen e sistemit të ekuacioneve lineare me metodën e eliminimit:

Arsyetimin e zgjidhshmërisë së sistemit të ekuacioneve lineare:

14 Zgjidhni sistemin duke përdorur metodën e eliminimit. a) x + 2y = 5

x + 3y = 4 ; b) x y = 2 x = x –3 ; c) x 2y = 1 x + y = 3 .

15 Të zgjidhet sistemi 2x + 3y = 21 x – 2y = –7 me një nga metodat. Argumentoni veprimet e kryera.

Diskutimin e zgjidhjeve të sistemeve në varësi të parametrave:

16 Pa zgjidhur sistemet, tregoni cili sistem ka: a) një zgjidhje; b) s’ka zgjidhje; c) një pafundësi zgjidhjesh. a) y – 2x = –3 x – y = 9 ; b) y x = –2 2y = 2x –1 ; c) y x = –1 4x – 4y = 12

17 Përcaktoni sipas vlerave të ndryshme të shkronjës a, sasia e zgjidhjeve të sistemit. x – 2y = 5 ax + y = 2a

18 Një turist, rrugën prej 140 km, e ka bërë në dy ditë. Ditën e dytë, ai bëri 3 4 e rrugës që bëri ditën e parë. Sa km rrugë ka bërë turisti në secilën ditë?

Zbatimin e sistemeve të ekuacioneve lineare në zgjidhjen e problemave praktike.

19 Perimetri i drejtkëndëshit është 48 cm. Gjatësia e njërës brinjë është 4 cm më e madhe se gjatësia e brinjës tjetër. Gjeni gjatësitë e brinjëve të drejtkëndëshit.

20 Numri dyshifror është 4 herë më i madh se shuma e shifrave të tij. Nëse shifrave u ndërrojnë vendet, atëherë fitohet numri, i cili është 45 më i madh se dyfishi i shumës së shifrave të tij. Cili është ai numër?

173 7. EKUACIONET LINEARE ME DY NDRYSHORE DHE SISTEMET E TYRE

7.11 Vlerësim

1 Gjeni dy zgjidhje të ekuacionit 3x + y = 5.

2 a) Ndërtoni grafikun e ekuacionit x – 2y = 4.

Koha: 45 minuta

pikë

pikë b) A ndodhet në këtë grafik pika A (100; 0)?

3 Zgjidhni me metodën e zëvendësimit sistemin:

= x 2x + 3y = 5

4 Zgjidhni grafikisht sistemin y = 2x 3x – y = 2 .

5 Zgjidhni sistemin me metodën që pëlqeni: a + 2b = 5 3a + b = 42

6 Numri i librave në dy rafte është 65. Në njërin raft sasia e librave është sa 6 7e sasisë së librave në raftin tjetër. Sa është sasia e librave në çdo raft?

7 Dihet që grafiku i ekuacionit y = kx + b kalon nëpër pikat A (4; 1) dhe B (3; –5). Gjeni koeficientet k dhe b.

8 A mund të jetë një çift

zgjidhja e njërit ekuacion të sistemit, por jo zgjidhje e sistemit?

zgjidhje e të dy ekuacioneve të sistemit, por jo zgjidhje e sistemit?

pikë

9 Ndërtoni grafikun e ekuacionit |y| = 2. 3 pikë

Detyrë hulumtuese. Ngrohja klimatike

A) Tabela e mëposhtme jep prodhimin total të gazit, që jep “efektin e serrës” (GES), në mijë tonë, për disa vende (shtete) gjatë vitit 2002.

Shteti Prodhimi i gazit në mijë tonë Përqindja në prodhimin botëror

India 1 220 926 5,1%

Japonia 1 205 535 5,0%

Gjermania 804 701 3,3%

Kina 3 550 371 14,5%

ShBA 5 872 278 24,3%

Britania 544 813 2,3%

Italia 433 018 1,8%

Rusia 1 432 513 5,9%

Franca 378 267 1,6% Kanada 517 157 2,1%

Përgjigjuni pyetjeve:

a) Cili vend ka prodhuar më tepër gaz me efekt serrë në 2002? b) Ç’përqindje të GES botërore japin këto 10 vende së bashku?

c) BE ka prodhuar 3 682 755 mijë ton GES në 2002. d) Ç’pjesë të kësaj sasie kanë prodhuar së bashku 3 vendet e BE-së, që janë në tabelë.

B. a) Gjeni të dhënat për prodhimin e gazit GES nga këto 10 vende në vitin 2015, pastaj për vitet 2018; 2020.

Gjykoni për tendencën që ka prodhimi në tërësi dhe në secilin vend në veçanti.

b) Si ka qenë prodhimi i GES në Kosovë në vitet 2015, 2018, 2020? Gjykoni për tendencat.

MATEMATIKA 9 174

numrash: a)

VEKTORËT

Në fund të kësaj teme, nxënësi/ja:

• përkufizon vektorët dhe përcakton mbledhjen e vektorëve, zbritjen e vektorëve, si dhe shumëzimin e vektorit me skalar.

Fjalë kyçe: vektor, drejtim, kah, fillim, mbarim, gjatësi, vektorë të barabartë, vektorë të kundërt, shumë të vektorëve, zhvendosje e njëpasnjëshme e vektorëve, rregulli i paralelogramit, vetia e ndërrimit, e shoqërimit, ndryshimi i vektorëve, shumëzimi me një numër, vektor bashkëvijor.

A E DINI SE?...

Koncepti i vektorëve u zhvillua gradualisht për një periudhë kohe në më shumë se 200 vjet. Shumë matematikanë kontribuuan në zhvillimin e disa vektorëve. Termi “vektor” u përdor për herë të parë nga Uilliam Rouan Hemilton (William Rowan Hamilton), i cili i prezantoi vektorët si segmente të drejtuara. Në matematikë, vektori është një sasi, e cila ka madhësi dhe drejtim, por jo pozicion. Shembuj të tillë janë shpejtësia dhe nxitimi. Në formën e tyre moderne, vektorët u shfaqën vonë, në shekullin XIX, kur Xhosaja Uilliard Gibs (Josiah Williard Gibbs (amerikan) dhe Oliver Hevisaid (Oliver Heaviside) (anglez) zhvilluan në mënyrë të pavarur analizën vektoriale për të shprehur ligjet e elektromagnetizmit. Që nga ajo kohë, vektorët janë bërë thelbësorë në fizikë, mekanikë, inxhinieri elektrike dhe shkenca të tjera, për të përshkruar forcat matematikisht.

175

→ N → Ft → F1 F1 F2 r→ FG m

8.1 Kuptimi i vektorit. Vektorë të barabartë apo të kundërt

A Kërkoni dhe zbuloni

Për cilat nga madhësitë e mëposhtme: shpejtësia, masa, koha, temperatura, forca, gjatësia, syprina, përveç vlerës numerike, duhet të tregohet edhe drejtimi e kahu?

B Vrojtoni dhe mësoni

Kuptimi i vektorit

Shembulli 1

Pika materiale që ndodhet në O fillon lëvizjen me shpejtësi konstante 5 m/s. Pas 1 sekonde, ajo mund të jetë në cilëndo nga pikat e rrethit me qendër O e rreze 5 m (fig. 8.1).

Pozicioni i saj pas 1 sekonde nuk është plotësisht i përcaktuar, sepse nuk na është dhënë drejtimi dhe kahu i lëvizjes.

Mbani mend:

Fig. 8.1

Vektor quhet segmenti në të cilin njëri prej skajeve merret si origjinë (fillim) e tjetri si fund (mbarim).

Vektori me fillim në A dhe me mbarim në B paraqitet gjeometrikisht me anën e një shigjete (fig. 8.2) dhe shënohet AB . Vektorët mund të shënohen edhe me një shkronjë të vetme a , b , c etj. Gjatësi e vektorit AB quhet gjatësia e segmentit [AB]. Ajo shënohet |AB | ose AB. Në rast se fillimi dhe mbarimi i vektorit përputhen, atëherë vektori quhet vektor - zero dhe shënohet 0 . Kështu, AA = BB = 0 . Gjatësia e vektor-zeros është numri zero. Kah i vektorit AB quhet kahu i lëvizjes së një pike që përshkon segmentin [AB] nga fillimi A i tij në mbarimin B.

Vektorë bashkëvizorë

Mbani mend:

Fig. 8.2

Vektorët që shtrihen në të njëjtën drejtëz apo në drejtëza paralele quhen vektorë bashkëvizorë (kolinearë). Për këta vektorë thuhet gjithashtu që kanë drejtim të njëjtë.

Thuhet që dy vektorë bashkëvizorë kanë kah të njëjtë, nëse mbarimet e tyre janë në të njëjtën anë të drejtëzës që bashkon fillimet e tyre (fig. 8.3). Në figurën 8.4 janë paraqitur dy vektorë bashkëvizorë që kanë kahe të kundërta. Kur vektorët shtrihen në të njëjtën drejtëz (fig. 8.5), krahasimi i kaheve të tyre bëhet drejtpërsëdrejti.

Fig. 8.3

Fig. 8.4

Fig. 8.5

MATEMATIKA 9 176

M1 M3 M O2

AB AB CD EF N M ABDCEF

Barazimi i vektorëve

Mbani mend:

Dy vektorë quhen të barabartë nëse kanë drejtim të njëjtë, kah të njëjtë dhe gjatësi të njëjtë. Për vektorët e barabartë AB , CD përdoret shënimi AB = CD .

Nga barazimi AB = CD rrjedh barazimi i gjatësive AB = CD. Por e anasjella e kësaj fjalie nuk është teoremë; nga barazimi i gjatësive të dy vektorëve nuk rrjedh detyrimisht që vektorët të jenë të barabartë. P.sh., në figurën 8.6 kemi OM = ON = OP si rreze të rrethit, por vektorët OM, ON , OP janë të ndryshëm, sepse kanë drejtime të ndryshme.

Mbani mend:

8.6

Dy vektorë quhen të kundërt, kur kanë drejtim të njëjtë, gjatësi të njëjtë, por kahe të kundërta.

Kur vektorët a , b , janë të kundërt shënohet a = –b ; b = –a .

Në figurën 8.6 kemi OE = ON . Si do që të jenë pikat A, B, është e qartë që vektorët AB dhe BA janë të kundërt. BA = AB

Zhvendosja e vektorit në një pikë të dhënë Të zhvendosësh vektorin AB në pikën O, do të thotë të ndërtosh një vektor të barabartë me AB , por me fillim në pikën O. Për ta bërë këtë, heqim nga pika O drejtëzën që është paralele me (AB) apo që përputhet me (AB) (kur vetë O ndodhet në (AB) (fig.8.7). Në drejtëzën e ndërtuar marrim, në kahun e vektorit AB , një pikë P, të tillë që OP = AB. Është e qartë që OP = AB .

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. Paraqitni në figurën 8.2 vektorin BA

2. Në figurën 8.8, kemi AB = CD . Vërtetoni që: a) BA = DC ; b) katërkëndëshi ABCD është paralelogram; c) CA = DB .

USHTRIME

Fig. 8.8

1 a) Nëse katërkëndëshi ABCD është paralelogram, a rrjedh që BC = AD ? b) Nëse CB = DA , a është katërkëndëshi ABCD paralelogram?

8.7

2 Në paralelogramin ABCD, pika O është pikëprerja e diagonaleve. Tregoni vektorë me fillim në O dhe me mbarim në kulmet e paralelogramit, që janë: a) të barabartë; b) të kundërt.

3 Jepet një rreth me qendër O. a) A ka vektorë me fillim në O dhe me mbarim në rreth, që janë të barabartë? b) A ka vektorë, me mbarim në O e me fillim në pikat e rrethit, që janë të barabartë?

4 Pika N është mes i segmentit [EF]. Shkruani dy barazime vektoriale që rrjedhin nga ky fakt.

8. EKUACIONET DHE INEKUACIONET LINEARE ME NJË NDRYSHORE 177 8. VEKTORËT

E M N D O Fig.

Fig.

P P A A BB O O B CD A

8.2 Mbledhja e vektorëve

A Kërkoni dhe zbuloni

Nëse mbi një trup ushtrohen njëherësh dy forca me madhësi 3N dhe 4N (fig. 8.9), a ndodh gjithmonë që madhësia e rezultantes së tyre të jetë 7N? Kur është 5N madhësia e rezultantes?

B Vrojtoni dhe mësoni

Shuma e dy vektorëve

Janë dhënë dy vektorë a , b Zhvendosim vektorin e parë a , me fillim në një pikë A (d.m.th. ndërtojmë vektorin AB = a ). Pastaj, zhvendosim vektorin e dytë b , me fillim në pikën B (d.m.th. ndërtojmë vektorin BC = b ). Vektori AC që përftohet kështu quhet shumë e vektorit a , me vektorin b

Mbani mend:

8.9

8.10

Shumë të vektorit a me vektorin b quajmë vektorin që ka si fillim fillimin e vektorit të parë (a ) dhe si mbarim mbarimin e vektorit të dytë (b ), pasi e kemi zhvendosur b me fillim te mbarimi i a . Shuma e vektorit a me vektorin b shënohet a + b .

Në figurën 8.10 kemi AC = a + b . Kjo mënyrë për të gjetur shumën e dy vektorëve quhet shpesh rregulli i trekëndëshit. Ky rregull na lejon që të gjejmë edhe shumën e dy vektorëve bashkëvizorë a , b me kah të njëjtë apo me kah të kundërt (fig. 8.11). Shuma e dy vektorëve nuk varet nga zgjedhja e pikës në të cilën zhvendosim vektorin e parë.

Rregulli i paralelogramit

8.11

Kur vektorët a , b nuk kanë të njëjtin drejtim, për gjetjen e shumës së tyre mund të përdoret një mënyrë tjetër, që quhet “rregulli i paralelogramit”. I zhvendosim vektorët jobashkëvizorë a , b me fillim në të njëjtën pikë O, duke ndërtuar vektorët OA = a , dhe OB = b (fig. 8.12). Ndërtojmë paralelogramin OACB (ku OA , OB janë vektorë të dy brinjëve fqinjë). Vektori i diagonales së paralelogramit OACB, është shuma e vektorëve a , b . Me të vërtetë, sipas përkufizimit që dhamë për shumën e dy vektorëve, kemi: OA + AC = OC . Por AC = OB , prandaj kemi OA + OB = OC d.m.th. a + b = OC .

8.12

MATEMATIKA 9 178

4N 4N 3N3N Fig.

Fig.

A B C → a → a → b → b Fig.

ABCBCA → a → a+ → a → a → a → b → b → a+ → b → b →

Fig.

OA BC → a → a →→ a+b→ b → b

Vetitë e mbledhjes së vektorëve

Mbledhja e vektorëve gëzon veti të ngjashme me ato të mbledhjes së numrave.

I. Vetia e ndërrimit. Për çdo dy vektorë a , b , ka vend barazimi a + b = b + a.

II. Vetia e shoqërimit. Për çdo tre vektorë a , b , c , ka vend barazimi (a + b ) + c = a + (b + c ).

Vërtetim: Në një pikë të çfarëdoshme O, zhvendosim vektorin a = OA . Në pikën A zhvendosim vektorin b = AB dhe në pikën B zhvendosim vektorin c = BC (fig. 8.13).

Kemi a + b = OB , prandaj (a + b ) + c = OB + BC = OC (1) Kemi (b = c ) = AC , prandaj a + (a + b ) = OA + AC = OC (2) Duke krahasuar barazimet (1) dhe (2) marrim: (a + b ) + c = a + (b + c ). Vetia u vërtetua.

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. Në figurën 8.12, a mund të shkruajmë OB + BC = OC ? Krahasoni shumën b + a me shumën a + b

2. Jepen vektorët a , b , c , d si në figurën 8.14. Ndërtoni shumën a + b , c + d , (a + b ) + (c + d ).

3. a) Nëse AB + BC = AC, a janë pikat A, B, C në një drejtëz?

Nëse AB + BC = AC , a janë pikat A, B, C në një drejtëz?

USHTRIME

figurën

tregoni dy vektorë, shuma e të cilëve është vektori:

b) y ; c)

ABCD është i mysët.

që AB + BC = AC + DC

vektorin AB si shumë dy vektorësh:

. .

=. . .

. . .

8. EKUACIONET DHE INEKUACIONET LINEARE ME NJË NDRYSHORE 179 8. VEKTORËT

1 Në

8.15

a) x ;

AD 2 Katërkëndëshi

Vërtetoni

. 3 Shkruani

a) AB = AE + . . . ; b) AB =.

+ MB ; c) AB

4 Diagonalet

paralelogramit ABCD priten në pikën O. Gjeni shumat: a) DO + (OA + AB ); b) BC + OA ; c) (BC + OA ) + DO. 5 Pikat M, N, P e ndajnë rrethin me qendër O në tri pjesë të barabarta (fig. 8.2) Shënohet me K mesi i harkut MN. a) Vërtetoni që OK = –OP b) Gjeni shumën OM + ON B C O A → a → a → b → b → c → c Fig. 8.13 Fig. 8.14 Fig. 8.15 Fig. 8.16 B C O A D → a → b → c → d BC A D E → x → y P M N KO

8.3 Shuma e disa vektorëve. Ndryshimi i vektorëve

A Kërkoni dhe zbuloni

Punë në grup

Vizatoni tre vektorë a , b , c që: a) kanë të njëjtin drejtim; b) kanë drejtime të ndryshme. Cili është vektori shumë i tre vektorëve? A mund të gjeni ndryshimin e dy prej vektorëve?

B Vrojtoni dhe mësoni

Shuma e tre vektorëve

Mbani mend:

Shumë të tre vektorëve a , b , c quajmë shumën e shumës së dy vektorëve të parë me vektorin e tretë. Kjo shumë shënohet a + b + c .

Sipas përkufizimit kemi a + b + c = (a + b ) + c Për këtë, në figurën 8.13 i kemi vendosur vektorët a , b , c në mënyrë të tillë që fillimi i vektorit të dytë (b ) të puthitet me mbarimin e vektorit të parë (a ), kurse fillimi i vektorit të tretë (c ) të puthitet me mbarimin e vektorit të dytë (b ). Formohet kështu një vijë e thyer vektoriale OABC. Vektori OC , që bashkon fillimin O të vektorit të parë me mbarimin C të vektorit të fundit është i barabartë, siç kemi parë, me (a + b ) + c d.m.th. është a + b + c Kështu veprohet edhe për të gjetur shumën e më tepër se tre vektorëve. Në figurën 8.17, kemi OD =(a + b ) + c + d

Ndryshimi i vektorëve Mbani mend:

Ndryshim të vektorit a me vektorin b quajmë shumën e vektorit a me të kundërtin e vektorit b . Diferenca e a me b shënohet a – b .

Sipas përkufizimit, kemi a – b = a + (–b ) (fig. 8.19).

Fig. 8.17

Fig. 8.18

C D

-b

8.19

Rregulli për gjetjen e a – b . I vendosim vektorët a , b me fillim në të njëjtën pikë O (fig. 8.19), duke ndërtuar vektorët OM = a ; ON = b . Ndërtojmë paralelogramin OMEN. Dihet që OE = a + b (pse?) Le të shohim NM. Kemi NM = ON + OM = (–b ) + a = a + (–b ). Pra NM = a – b Kështu, në paralelogramin e ndërtuar, duke vendosur në fillim të përbashkët vektorët a , b , diferenca a – b është vektor-diagonalja që bashkon mbarimin e b me mbarimin e a . Ndryshe: OA – OB = BA . Duke shqyrtuar trekëndëshin OMN, mund të shkruajmë ON + NM = OM d.m.th. b + (a – b ) = a . Ky barazim shprehet me fjalë kështu: Diferenca (a – b ) është vektori që po të mblidhet me b jep a .

MATEMATIKA 9 180

→

B 0

→

→ a→ a →

→

Fig.

OM →

→ a →

→

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. Për trekëndëshin ABC, gjeni AB + BC + CA .

2. Sipas rregullës OB – OA = BA , plotësoni barazimet.

– MC = . . .; AC – . . . = MC; . . . – OM = MB .

3. Gjeni shumën a + b dhe diferencën a – b për vektorët a , b , të dhënë në figurën 8.20. Fig. 8.20

USHTRIME

1 Gjeni shumat e vektorëve:

AB + BE + EL ; b) AB + BC + CD + DE

Plotësoni barazimet.

CD CE = . . .; b) FG – . . . = HG

3 a) Tregoni që PR + RQ + QP = 0

Gjeni vektorin x në barazimin AB + x + EK = AK.

4 A ka mundësi që gjatësia e vektorit a – b të jetë më e madhe se gjatësia e secilit prej vektorëve

katërkëndëshin

barazimet:

pika O është pikëprerja e diagonaleve.

figurën 8.22, është dhënë paralelogrami ABCD dhe është hequr drejtëza (CE)||(DB).

është një katërkëndësh i mysët dhe M një pikë e rrafshit. Vërtetoni që:

Nëse ABCD është paralelogram, atëherë

Nëse MA

MB = MD

MC, atëherë ABCD është paralelogram.

8. EKUACIONET DHE INEKUACIONET LINEARE ME NJË NDRYSHORE 181 8. VEKTORËT

b ? 5 Në

ABCD,

Plotësoni

a) BA – BC = . . .; b) OA – OB = . . .; c) OB – OC = . . .

Në

Vërtetoni që: a) AC + DB = AB + DC ; b) AD + DC + CB = AD + CE . 7 ABCD

MA –

– MC. b)

–

= MD –

→ a → a → a → b → b → b → a → b → a → a AD C B 0 Fig. 8.21 Fig. 8.22 A DC BE 0

8.4 Shumëzimi i vektorit me një numër

A Kërkoni dhe zbuloni

Vizatoni një vektor a . Kërkoni një mënyrë të thjeshtë për të ndërtuar vektorin a + a + a . Po vektorin 2a ? Diskutoni.

B Vrojtoni dhe mësoni

Prodhimi i vektorit me një numër

Në figurën 8.23, në një drejtëz d janë marrë pikat A, B, C, të tilla që AB = a dhe BC = a Vini re që AC = a + a , gjithashtu që AC ka të njëjtin drejtim e kah me vektorin a , por e ka gjatësinë 2 herë më të madhe |AC | = 2|a |. Shënojmë

= 2a

Ad BC

Fig. 8.23

KA LB

Fig. 8.24

Në figurën 8.24, në drejtëz janë marrë pikat A, B, K, L, të tilla që AB = a , AK = KL = –a . Vini re që AL = (–a ) + (–a ). Vektori AL e ka gjatësinë 2 herë më të madhe se vektori a (|AL | = 2|a |), ka drejtim të njëjtë me a , por kah të kundërt me të. Ne do ta shënojmë AL = –2a

Mbani mend:

Prodhim të vektorit a (a ≠ 0 ) me numrin real k (k ≠ 0 ) quhet vektori b që plotëson këto kushte:

1. b ka të njëjtin drejtim me a ;

2. b ka kah të njëjtë me a , kur k > 0; b ka kah të kundërt me a , kur k < 0;

3. gjatësia e b është |k| herë më e madhe se gjatësia e a , d.m.th. |b | = |k| · |a |.

Prodhimi i vektorit a me numrin k shënohet k a ; b = k · a . Nga përkufizimi rrjedh se vektorët a dhe b = k · a janë bashkëvizorë, |ka | = |k| · |a |

Kujdes! k · 0 = 0 , sido që të jetë numri k; 0 · a = 0 , sido që të jetë vektori a .

Shembulli 1

Jepet vektori u . Të ndërtohen vektorët a = 1 2 u ; b = –3 2 u .

Fig. 8.25Zgjidhje

Ndërtimet janë bërë në figurën 8.25. Për të ndërtuar vektorin OB = 1 2 u , “shkurtojmë” dy herë vektorin u . Për të ndërtuar vektorin OC = –3 2 u “zgjatim” 3 2 herë vektorin u , por në kah të kundërt me u .

Veti të shumëzimit të vektorit me një numër

I. 1· a = a ; (–1) · a = –a (ku –a është vektori i kundërt i a ).

II. k(l a ) = (k l) · a (vetia e shoqërimit)

MATEMATIKA 9 182

→ a → a

→ –a → a → –a

A C2B -3 0 → u → u 2 1 → u

III. (k + l) · a = k · a + l · a (vetia e parë e shpërndarjes) IV. k(a + b ) = k · a + k · b (vetia e dytë e shpërndarjes) Këto veti na lejojnë të thjeshtojmë shprehjet vektoriale njëlloj si shprehjet me ndryshore (rolin e x, y e luajnë a , b ).

Shembulli 2

Le të thjeshtojmë shprehjen –5( 2 3 a + 1 4 0 ) + 0 a + 1 3 a – 3b Kemi –5( 2 3 a + 1 4 0 ) + 0a + 1 3 a – 3b = (–5 2 3 ) a – (5 1 4 ) 0 + 0 a + 1 3 a – 3b = = (– 10 3 + 1 3 ) a – 3b = –3a –3b = –3(a + b ).

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. Ç’mund të thoni për kahun dhe gjatësinë e vektorëve b = 3a ; c = –4a ; d = 1 2 a ?

2. Është dhënë vektori a . Ndërtoni vektorët b = 4a ; c = –3a ; d = –1 2 a ; e = 2,5a .

3. Gjeni vektorin e panjohur x në ekuacionet e mëposhtme: a) 4x + a = 2x – 3a ; b) 3x – a = 2a

4. Jepen vektorët a , b dhe c , të cilët plotësojnë barazimin: b = a – k c dhe a = b + k c . Tregoni se tre vektorët e dhënë janë kolinearë.

5. Në trapezin ABCD shënojmë me M dhe N pikat e prerjes së diagonaleve me vijën e mesme të trapezit. Tregoni që vektori MN = AB – CD 2

USHTRIME

1 Është dhënë vektori a . Ndërtoni vektorët: b = 5a ; c = –2a ; d = –1 4 a ; e = 1,5a .

2 Për ç’vlera të numrit k, vektorët a (a ≠ 0 ) dhe b = ka kanë: a) drejtim të njëjtë; b) kah të kundërt; c) janë të barabartë.

3 Për ç’vlera të parametrit k, vektori b = ka + a (a ≠ 0 ) është: a) i barabartë me a ; b) jo i barabartë me a ; c) me gjatësi të njëjtë me a ; d) me kah të kundërt me a .

4 Dihet që |a | = 5 cm. Gjeni gjatësitë e vektorëve. a) 3a ; b) –4a ; c) 2a + 7a ; d) 2a –1 2 a .

5 Thjeshtoni shprehjet: a) –3( 1 2 a + 0 · b ) + 0 · a + 1 2 ; b) 3a + (–b ) –2a + 3b ; c) 3(5a + 2b ) + 4(–3a + b ).

6 Në trekëndëshin ABC, pika M është mes i brinjës [AB]. Vërtetoni që CM = 1 2 (CA + CB).

8. EKUACIONET DHE INEKUACIONET LINEARE ME NJË NDRYSHORE 183 8. VEKTORËT

8.5 Raporti i dy vektorëve bashkëvizorë

A Kërkoni dhe zbuloni

Pika M është mesi i segmentit AB. Shprehni vektorët AM , MB nëpërmjet vektorit AB

B Vrojtoni dhe mësoni

Shembulli 1

Në rast se dihet që vektori b ka drejtim të njëjtë e kah të njëjtë me vektorin a , por e ka gjatësinë 3 herë më të madhe, ne mund të shkruajmë b = 3a Në rast se dihet që vektori c ka drejtim të njëjtë, kah të kundërt me vektorin a dhe gjatësi 4 herë më të madhe se a , a mund të shkruajmë c = –4a ?

Le të jenë a , b dy vektorë të ndryshëm nga 0 . Në rast se ekziston një numër real k, i tillë që b = k · a , atëherë vektori b ka të njëjtin drejtim (është bashkëvizor) me a . Anasjellas, nëse dihet që a , b janë bashkëvizorë, ne mund të gjejmë një numër k, të tillë që të ketë vend barazimi b = k · a Si numër i tillë mund të merret përpjesa e gjatësive ׀b ׀ ׀a ׀ (kur a , b kanë kahe të njëjtë) ose i kundërti i tij – ׀b ׀ ׀a ׀ (kur a , b kanë kahe të kundërt).

Ky numër quhet përpjesë e vektorëve b me vektorin a dhe shënohet k = b a . (Mund të flitet vetëm për përpjesë dy vektorësh bashkëvizorë.)

Mbani mend:

Përpjesa k e vektorit b me vektorin a (k = b a apo b = k · a ) është një numër që gëzon këto veti:

I. ka shenjën (+), kur vektorët a , b kanë kahe të njëjta; ka shenjën (–), kur a , b kanë kahe të kundërta;

II. ka vlerën absolute sa ׀b ׀ ׀a ׀ .

Shembulli 2

Në trapezin ABCD, baza e madhe AB është 10 cm dhe baza e vogël CD = 4 cm (fig. 8.26). Shprehni vektorin CD nëpërmjet AB

Zgjidhje

Fig. 8.26

Vektorët AB , CD janë vektorë bashkëvizorë, të ndryshëm nga 0 . Prandaj, ekziston një numër k i tillë që k = CD AB (d.m.th. CD = k AB ). Për këtë numër themi:

I. numri k është negativ, sepse CD , AB kanë kahe të kundërta;

II. vlera absolute e k është |k| = ׀CD ׀

= 4 10 = 2 5 . Si përfundim, k = – 2 5 dhe CD = –2 5 AB .

MATEMATIKA 9 184

׀AB ׀

AB DC

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. Me të dhënat e shembullit të mësipërm, gjeni BA DC .

2. Në drejtëzën d, janë marrë pikat A, B, C (B ndërmjet A dhe C), të tilla që AB = 2 cm; BC = 3 cm. Gjeni numrin k, të tillë që: a) AC = k · AB ; b) BC = k · AB ; c) BA = k · AC

3. Në paralelogramin ABCD shënojmë me E mesin e diagonales AC. Jepen AB = p dhe AD = q . Vërtetoni që E është mesi i BD.

4. Në figurën 8.27 është paraqitur paralelogrami ABCD. Pika E shtrihet në DC dhe DE : EC = 1 : 3. Zgjatimet e AE dhe BC priten në pikën F. Jepet AB = p dhe AD = q , AF = k1AE dhe BF = k2BC. a) Shprehni vektorin AF me anë të k1 dhe p dhe q ; b) Shprehni vektorin AF me anë të k2 dhe p dhe q ; c) Gjeni më pas k1 dhe k2

Fig. 8.27

USHTRIME

1 Pika O është pikëprerja e diagonaleve të paralelogramit ABCD. Gjeni vlerat e x, të tilla që: a) AB = x · CD ; b) AC = x · OA ; c) OC = x · AO

2 Në trapezin ABCD (AB||CD) jepen AB = 7 cm, CD = 4 cm. Për ç’vlera të k janë të vërteta barazimet:

a) AB = k ·DC ; b) CD = k · AB .

3 Për ç’vlera të parametrit k janë të vërteta barazimet:

AB + CD + BC = k(DE + EA );

CA + BC + AB = k(BA + AC).

4 Ç’mund të thoni për pikat A, B, C në rast se:

CA = – CB ; b) BA = 2 AC

5 Dihet që AC = 2AB . Vërtetoni që AB = BC

6 Pikat A1, B1 dhe C1 janë meset e brinjëve të trekëndëshit ABC. Tregoni se janë të vërteta barazimet:

8. EKUACIONET DHE INEKUACIONET LINEARE ME NJË NDRYSHORE 185 8. VEKTORËT

+AC = 2 AA1 ; b) BA + BC = 2 BB1; c) CA + CB = 2 CC1 . 7 Shënojmë me O qendrën e paralelogramit ABCD. Vërtetoni që nëse M është një pikë M e çfarëdoshme e planit, atëherë MA + MB + MC + MD = 4MO 8 Pika O ndodhet jashtë katërkëndëshit ABCD. Shënojmë OA = a , OB = b , OC = c dhe OD = d . Shprehni me anën e këtyre vektorëve, vektorët e brinjëve dhe diagonaleve të katërkëndëshit. AB DC E p q

8.6 Çfarë mësuam? (Përsëritje)

Tashmë kemi mësuar

Provoni të zgjidhni

1 Janë dhënë tri pika jokolineare A, B dhe C. Tregoni të gjithë vektorët e mundshëm.

2 Tregoni vektorët e ndryshëm që formohen:

nga një segment AB; b) nga brinjët e një trekëndëshi barabrinjës ABC; c) nga brinjët e paralelogramit ABCD.

Përkufizimin e vektorëve:

3 Shkruani të gjithë vektorët, me mbaresë në kulmin D të paralelogramit ABCD e me fillesë në ndonjë nga kulmet e tij.

4 Sa vektorë ekzistojnë, me fillesë në kulmet e paralelogramit e me mbaresë në pikën e prerjes së diagonaleve të tij?

5 A mundet që dy vektorë të kundërt të shtrihen:

në dy drejtëza paralele; b) në dy drejtëza prerëse.

6 Në katërkëndëshin STPQ gjeni: a) ST + SQ ; b)

PQ .

7 Plotësoni barazimet: a) ZX

b) ZX

Jepen vektorët. Gjeni shumën e

Mbledhjen e vektorëve:

9 Paraqitni një vektor të dhënë a si shumë dy vektorësh:

kanë drejtime pingule njëri me tjetrin; b) që kanë drejtime të dhëna çfarëdo.

MATEMATIKA 9 186

PT +

+ XY = …

+ …= 0 8

tyre: → b → b → b → b → a → a → a → a → b → a+ → b → a+ → b → a+ → b → a+ a) c) b) d) Fig. 8.28

a) që

e vektorëve:

Në katërkëndëshin STPQ gjeni:

Plotësoni barazimet:

Jepen vektorët. Gjeni ndryshimin e tyre:

Duke u mbështetur në përkufizimin e prodhimit të një vektori me një numër, vërtetoni që (– 1) a = – a .

Tregoni, nëse kanë kuptim, se ç’përfaqësojnë shprehjet e mëposhtme:

; – 4a ; 2

e vektorit me skalar:

; 1 3 a ;

2 ; 3 a

Pika C e ndan segmentin AB në dy segment, të tilla që

= 8 cm; CB = 4 cm. Gjeni vlerën e k që të jetë i vërtetë barazimi:

AC = k AB ;

CB = k AB ;

BC = k CA

Vërtetoi që nëse ABCD është paralelogram, atëherë

+ BD = 2 BC .

187 8. VEKTORËT Zbritjen

a) ST – SQ ; b) QS – QP . 11

a) ZX – XY = … b) XY …=

→ b → b → b → b → b → b → a → a → a → a → a → a → b → a→ b → a→ b → a→ b → a→ b → a- → b+ → c → a→ c a) c) e) b) d) f) Fig. 8.29 Shumëzimin

1 Katërkëndëshi ABCD është paralelogram. Prej këtij rrjedh:

BC ;

;

2 Plotësoni barazimet.

3 Plotësoni barazimet.

4 Dihet që |

| = 5 cm. Gjeni gjatësitë e vektorëve.

5 Pika O është pika e prerjes së diagonaleve të paralelogramit ABCD. Gjeni vlerat e x që:

pikë

6 Në trekëndëshin ABC (fig. 8.30), pikat D dhe E janë përkatësisht meset e brinjëve AB dhe AC. Jepet BC = p dhe BD = q . a) Shprehni vektorët AC dhe DE në varësi të p dhe p . 2 pikë b) Ç’mund të thoni për vektorët DE dhe BC ? 2 pikë

8.30

7 Katërkëndëshi ABCD është i mysët. Vërtetoni që AB + BC = AD + DC. 3 pikë

8 Pikat M, N, P e ndajnë rrethin me qendër O në tri pjesë të barabarta. Shënohet me K mesi i harkut

Vërtetoni që

9 Dihet që

. Vërtetoni

Gjeni shumën

10 ABCD është katërkëndësh. Pikat E, F, G dhe H janë përkatësisht meset e brinjëve AB, BC, CD dhe DA. Duke shënuar AB = p , BC = q dhe CD = r , tregoni që katërkëndëshi EFGH është paralelogram.

pikë

MATEMATIKA 9 188 8.14 Vlerësim Koha: 45 minuta8.7 Vlerësim Koha: 45 minuta

a) AB =

b) AB = CD

c) BC = AD

d) BC = DA

a) AB = AE +

. . ; b) AB = . . . + MB. 2

a) CD – CE = . . . ; b) FG – . . . = HG 2

a) –3 a ; b) 2 a + 7 a 2

a) AB = x · CD; b) AC = x · OA. 3

Fig.

DE p q

MN. a)

OK = OP b)

OM + ON 3

AC = 2 AB

që AB = BC 3

NGJASHMËRIA DHE HOMOTETIA

Në fund të kësaj teme, nxënësi/ja:

• përkufizon rregullën për raportin e segmenteve (Teoremën e Talesit);

• zbaton teoremën e Talesit për raportin e segmenteve;

• zbaton vetitë e proporcionit, gjatë zgjidhjes së detyrave;

• përkufizon homotetinë dhe zbaton vetitë e saj për zgjidhje të problemeve praktike;

• përkufizon ngjashmërinë e figurave gjeometrike, posaçërisht të trekëndëshave, duke emërtuar rregullat për ngjashmërinë e tyre.

Fjalë kyçe: ngjashmëri, homoteti, trekëndësha të ngjashëm, kënde të barabarta, brinjë të përpjesshme, teorema e Talesit, koeficienti i ngjashmërisë, brinjë homologe, rasti i parë, rasti i dytë, rasti i tretë i ngjashmërisë së trekëndëshave.

Talesi është filozofi, matematikani dhe shkencëtari i parë grek. Ishte një nga shtatë njerëzit më të ditur të Greqisë së lashtë. Talesi themeloi gjeometrinë e drejtëzave dhe gjeometrinë abstrakte. Këto njohuri gjeometrike i përdori për të llogaritur distancën e anijeve në det nga bregu. Kjo ishte shumë me rëndësi për grekët, për anijet që vinin, si për luftën ashtu edhe për shkëmbime tregtare. Në kohën që Talesi ishte në Egjipt, ai ishte në gjendje të llogariste lartësinë e piramidave, duke matur hijet e tyre. Talesi tregoi metoda të matjes së tokave, duke përdorur litarë me nyje. Matematikanët grekë i përdorën të gjitha njohuritë e Talesit dhe kaluan nga metoda e litarit në fushë, te vizorja dhe kompasi për të vizatuar vija të drejta dhe rrathë dhe e quajtën këtë degë të matematikës gjeometri – matje e tokës. Talesi ka merita në vërtetimin e shumë teoremave në gjeometri, të njohura nga egjiptianët dhe babilonasit, por që nuk kishte shënime të vërtetimit të tyre. Këto teorema studiohen dhe sot në gjeometri.

189

A E DINI SE?... 9

9.1 Trekëndëshat e ngjashëm

A Kërkoni dhe zbuloni

Jepen segmentet si në figurën 9.1. A janë të përpjesshëm segmentet:

a) [AB] dhe [CD] me [FL] dhe [EF]?

b) [AB], [BC] dhe [CD] me [EL], [EF] dhe [FL]?

c) [AB]; dhe [BD] me [EF] dhe [FL]? Diskutoni.

B Vrojtoni dhe mësoni

Jepen dy trekëndësha ABC dhe A1B1C1 me kënde përkatësisht kongruente: ∠A = ∠A1; ∠B = ∠B1; ∠C = ∠C1 (fig. 9.2). Brinjët që ndodhen përballë këndeve kongruente quhen brinjë homologe (përkatëse).

Mbani mend: Trekëndëshat ABC dhe A1B1C1 quhen të ngjashëm, në qoftë se këndet i kanë përkatësisht kongruente dhe brinjët përkatëse të përpjesshme. Shkruajmë: ∠A = ∠A1; ∠B = ∠B1; ∠C = ∠C1; dhe AB A1B1 = BC B1C1 = AC A1C1 = k Numri k quhet koeficient i ngjashmërisë. Simbolikisht shkruajmë ∆ABC ∼ ∆A1B1C1

Ka vend kjo teoremë, që do ta pranojmë pa vërtetim:

Raporti i syprinave të dy trekëndëshave që kanë një kënd të barabartë është i barabartë me raportin e prodhimit të brinjëve që formojnë këtë kënd. Nga kjo teoremë, meqë ∠A = ∠A1, shkruajmë SABC SA1B1C1 = AB · AC A1B1 · A1C1

Kanë vend teoremat: Teoremë 1. Raporti i syprinave të trekëndëshave të ngjashëm është i barabartë me katrorin e koeficientit të ngjashmërisë.

Teoremë 2. Raporti i perimetrave të trekëndëshave të ngjashëm është i barabartë me koeficientin e ngjashmërisë.

Vërtetim:

Kemi: a a1 = b b1 = c c1 = k, ku a, b, c janë brinjët e trekëndëshit të parë dhe a1, b1 dhe c1 janë brinjët e trekëndëshit të dytë. Nga vetitë e raporteve të barabarta kemi: a a1 = b b1 = c c1 = k = a + b + c a1 + b1 + c1 = p p1 , ku p dhe p1 janë përkatësisht perimetrat e trekëndëshave të dhënë. Teorema u vërtetua.

MATEMATIKA 9 190

A EFL BCD Fig. 9.1 Fig. 9.2 A1 B1 C1 B AC

Shembulli 1

e një trekëndëshi janë 15 cm; 20 cm; dhe 30 cm. Perimetri i një trekëndëshi të ngjashëm me të është 26 cm. Gjeni brinjët e trekëndëshit të dytë. Zgjidhje

me a1, b1 dhe c1 brinjët e trekëndëshit të dytë. Kemi:

1 = 20 b1 = 30 c1 = 15 + 20 + 30

1 + b1 + c1 = 65 26 nga ku:

1 =

= 6 cm; b1 = 20

= 8 cm dhe c1 = 30

C Ushtrohuni duke zbatuar

26 65 = 12 cm.

1. Trekëndëshat ABC dhe A1B1C1 janë të ngjashëm. Shënojmë me a, b, c brinjët e trekëndëshit të parë dhe a1, b1, c1 brinjët përkatëse të trekëndëshit të dytë. Gjeni brinjët e panjohura dhe plotësoni tabelën e mëposhtme:

b c a1 b1 c1

8 10 4

9 15

12 28 42

28 7,5 7

12 8 5

2. A janë të ngjashëm trekëndëshat ABC dhe DEF në qoftë se: ∠A = 1060; ∠B = 340; ∠E = 1060; ∠F = 400; AC = 4,4 cm; AB = 5,2 cm; BC = 7,6 cm; DE = 15,6 cm; DF = 22,8 cm dhe EF = 13,2 cm.

USHTRIME

1 Syprinat e dy trekëndëshave të ngjashëm janë 60 cm2 dhe 240 cm2. Njëra brinjë e trekëndëshit të dytë është 10 cm. Gjeni brinjën përkatëse të trekëndëshit të parë.

2 Trekëndëshat ABC dhe A1B1C1 janë të ngjashëm me koeficient ngjashmërie k = 1,2. Syprina e trekëndëshit ABC është 77 cm2 më e madhe se syprina e trekëndëshit A1B1C1. Gjeni syprinat e këtyre trekëndëshave.

3 Një parcelë toke ka formën e trekëndëshit. Ajo është skicuar në një fletë letre me shkallë 1:1000 me sipërfaqe 87,5 cm2. Sa është syprina e kësaj parcele në hektarë? (1 ha = 10000 m2)

4 Një trekëndësh dybrinjënjëshëm e ka bazën 18 cm dhe perimetrin 38 cm. Gjeni bazën e një trekëndëshi dybrinjënjëshëm të ngjashëm me të, i cili e ka brinjën anësore 8 cm.

5 Brinjët e një trekëndëshi janë 8 cm; 15 cm dhe 21 cm. Një trekëndësh i ngjashëm me të e ka perimetrin 66 cm. Gjeni brinjët e trekëndëshit të dytë.

6 Dy brinjë përkatëse të dy trekëndëshave të ngjashëm janë respektivisht 35 cm dhe 15 cm. a) Gjeni koeficientin e ngjashmërisë.

b) Njëra brinjë e trekëndëshit të dytë është 21 cm. Gjeni brinjën përkatëse të saj në trekëndëshin e parë.

c) Syprina e trekëndëshit të parë është 392 cm2. Gjeni syprinën e trekëndëshit të dytë.

9. NGJASHMËRIA DHE HOMOTETIA 191

Brinjët

Shënojmë

15 a

15 ·

24 32

9.2 Rasti i parë i ngjashmërisë së trekëndëshave

A Kërkoni dhe zbuloni

Punë në grup

Ndërtoni dy trekëndësha kënddrejtë, me një kënd 300 Matni këndet e secilit trekëndësh. Çfarë vini re? Matni brinjët e tyre. A janë të përpjesshme brinjët përkatëse të dy trekëndëshave? Diskutoni.

B Vrojtoni dhe mësoni

Për të dhënë gjykim lidhur me ngjashmërinë e dy trekëndëshave nuk është e domosdoshme që të plotësohen të gjitha kushtet që kërkon përkufizimi (barazimi i këndeve dhe përpjesëtueshmëria e brinjëve). Mjaftojnë vetëm disa prej tyre, për të garantuar plotësimin e të tjerave. Në lidhje me këtë vërtetohen disa teorema.

Rasti i parë i ngjashmërisë së trekëndëshave

Teoremë:

Në qoftë se dy kënde të njërit trekëndësh janë përkatësisht kongruentë me dy kënde të trekëndëshit tjetër, atëherë trekëndëshat janë të ngjashëm.

Vërtetim:

Në trekëndëshat ABC dhe A1B1C1 jepet ∠A = ∠A1 dhe ∠B = ∠B1 (fig. 9.3). Meqë ∠C = 1800 – (∠A +∠B) dhe ∠C1 = 1800 – (∠A1 + ∠B1) del se ∠C = ∠C1 Të vërtetojmë tani që brinjët përkatëse të tyre janë të përpjesshme. Nga teorema mbi

të

MATEMATIKA 9 192

raportin e syprinave të trekëndëshave që kanë nga një kënd

barabartë, meqë ∠A = ∠A1 dhe ∠C = ∠C1 kemi: SABC SA1B1C1 = AB · AC A1B1 · A1C1 dhe SABC SA1B1C1 = AC · BC A1C1 · B1C1 Anët e majta të këtyre barazimeve janë të barabarta. Del se dhe anët e djathta janë të barabarta, pra: AB · AC A1B1 · A1C1 = AC · BC A1C1 · B1C1 nga ku AB A1B1 = BC B1C1 Në mënyrë analoge vërtetohet që AB A1B1 = AC A1C1 . Teorema u vërtetua. Shembulli 1 Në figurën 9.4, gjeni EF = x. Zgjidhje Trekëndëshat ABC dhe BFE janë të ngjashëm (pse?). Shkruajmë: AC BE = BC EF ⇒ EF = BC · BE AC = 12 · 6 8 = 9 cm. Fig. 9.4 CB 12 α α 6 x 8 E F A Fig. 9.3 A1B1 C1 B C A

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. A janë të ngjashëm dy trekëndësha barabrinjës? Pse?

2. A janë të ngjashëm dy trekëndësha kënddrejtë, në qoftë se njëri prej tyre ka një kënd 700 dhe tjetri ka një kënd: a) 500; b) 200?

3. A janë të ngjashëm dy trekëndësha dybrinjënjëshëm që i kanë këndet në kulm të barabarta?

USHTRIME

1 A janë të ngjashëm dy trekëndësha kënddrejtë, në qoftë se njëri prej tyre ka një kënd 400 dhe tjetri ka një kënd: a) 500; b) 600?

2 Një pemë lëshon hijen prej 10,2 m. Ndërkohë një person me gjatësi 1,7 m lëshon hijen 2,5 m të gjatë. Gjeni gjatësinë e pemës.

3 Për matjen e largësisë nga një pikë A në një pikë të paarritshme B, zgjidhet në terren një pikë C dhe maten AC dhe këndet BAC dhe ACB (fig. 9.5). Pastaj, në një fletë ndërtohet trekëndëshi A1B1C1, ku ∠B1A1C1 = ∠BAC dhe ∠A1C1B1 = ∠ACB. Gjeni largësinë AB, në qoftë se AC = 42 m; A1C1 = 6,3 cm dhe A1B1 = 7,2 cm. Fig. 9.5

B B1

4 Diagonalet e trapezit ABCD priten në pikën O (fig. 9.6).

a) Gjeni AB, në qoftë se OB = 24 cm; OD = 10 cm dhe DC = 25 cm. b) Gjeni AO, në qoftë se AB = 96 cm; DC = 24 cm dhe AC = 15 cm. c) Gjeni AO OC dhe BO OD në qoftë se AB = m dhe DC = n.

5 Bazat e një trapezi janë 8 cm dhe 5 cm, ndërsa brinjët anësore 3,6 cm dhe 3,9 cm. Brinjët anësore zgjaten deri në pikëprerjen e tyre M. Gjeni largësitë e pikës M nga skajet e bazës së vogël të trapezit.

6 Në dy trekëndësha dybrinjënjëshëm, këndet në kulm janë të barabarta. Brinja anësore dhe baza e njërit trekëndësh janë 17 cm dhe 10 cm. Baza e tjetrit është 8 cm. Gjeni brinjën anësore të trekëndëshit të dytë.

7 Një trapez kënddrejtë e ka bazën e madhe 20 cm, bazën e vogël 15 cm dhe brinjën anësore jo pingule me bazën 13 cm (fig. 9.7). Brinjët anësore zgjaten deri në pikëprerjen e tyre. Gjeni perimetrin e trekëndëshit EDC.

8 Vërtetoni se dy trekëndësha kënddrejtë dybrinjënjëshëm janë të ngjashëm.

9. NGJASHMËRIA DHE HOMOTETIA 193

A1C AC1

B DC O A Fig. 9.6 Fig. 9.7 B DC E A

9.3 Rasti i dytë i ngjashmërisë së trekëndëshave

A Kërkoni dhe zbuloni

Punë në grup

Ndërtoni dy trekëndësha kënddrejtë, njëri me katete 3 cm, 4 cm dhe tjetri me katete 6 cm, 8 cm. Gjeni hipotenuzat e tyre. Matni këndet e secilit trekëndësh. Çfarë vini re?

A janë të përpjesshme brinjët përkatëse të dy trekëndëshave? Diskutoni.

B Vrojtoni dhe mësoni

Teoremë:

Në qoftë se dy brinjë të njërit trekëndësh janë të përpjesshme me dy brinjë të trekëndëshit tjetër dhe këndet që formohen prej tyre janë kongruente, atëherë trekëndëshat janë të ngjashëm.

Vërtetim:

Në figurën 9.8, jepet ∠A = ∠A1 dhe AB A1B1 = AC A1C1 . Të vërtetojmë që ΔABC ∼ ΔA1B1C1 Fig. 9.8

Vërtetim:

Nisur nga rasti i parë i ngjashmërisë, mjafton të vërtetojmë që ∠B = ∠B1. Ndërtojmë trekëndëshin ABC2 në të cilin ∠1 = ∠A1 dhe ∠2 = ∠B1 (fig. 9.9)

∆ABC2 ∼ ∆A1B1C1 sepse kanë dy kënde kongruente, prandaj AB A1B1 = AC2 A1C1 Duke e krahasuar këtë barazim me kushtin del se AC A1C1 = AC2 A1C1 , pra AC = AC2. Kemi:

∆ABC ≅ ∆ABC2 (brinja AB është e përbashkët, AC = AC2 dhe ∠A = ∠1, sepse që të dy janë të barabartë me ∠A1). Nga kjo rrjedh se ∠B = ∠2 dhe meqë ∠2 = ∠B1 del se ∠B = ∠B1. Teorema u vërtetua.

Shembulli 1

Në trekëndëshin ABC është brendashkruar paralelogrami APNM (fig. 9.10) në të cilin AM AP = 2 3 . Jepet AB = 10 cm dhe AC = 15 cm. Gjeni brinjët e paralelogramit.

Zgjidhje

Nga kushti AM AP = 2 3 kemi AM = 2x dhe AP = 3x; ΔABC ∼ ΔPNG (pse?). Kemi

AB PN = AC PC ⇒ 10 2x = 15 15 – 3x

10(15 – 3x) = 30x ⇒ x = 2,5 nga ku AM = 2 · 2,5 = 5 cm dhe AP = 3 · 2,5 = 7,5 cm.

MATEMATIKA 9 194

⇒

ABA1B1 C1 C Fig. 9.9 AB C PN M Fig. 9.10 A1B C2 C 2

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. Në njërin krah të këndit A merren segmentet AB = 5 cm dhe AC = 16 cm. Në krahun tjetër të këndit, merren segmentet AD = 8 cm dhe AF = 10 cm. A janë të ngjashëm trekëndëshat ACD dhe AFB? Argumentoni përgjigjen.

2. Në trekëndëshin ABC, jepet AB = 15 cm dhe AC = 20 cm. Mbi brinjën AB vendoset segmenti AD = 10 cm dhe mbi brinjën AC vendoset segmenti AE = 12 cm. A janë të ngjashëm trekëndëshat ABC dhe ADE?

3. Janë dhënë dy trekëndësha barabrinjës, njëri me brinjë 4 cm, kurse tjetri me brinjë 6 cm. A janë të ngjashëm këta dy trekëndësha dhe cili është koeficienti i ngjashmërisë?

4. Perimetri i dy trekëndëshave të ngjashëm qëndron në raportin 5:2, kurse shuma e dy brinjëve më të gjata është 42 cm. Të njësohen gjatësitë e këtyre brinjëve.

USHTRIME

1 Këndet B dhe B1 të trekëndëshave ABC dhe A1B1C1 janë të barabarta. Brinjët e trekëndëshit ABC, që formojnë këndin B janë 2,5 herë më të mëdha se brinjët e trekëndëshit A1B1C1 që formojnë këndin B1. Gjeni brinjët AC dhe A1C1, në qoftë se shuma e tyre është 4,2 cm.

2 Katetet e një trekëndëshi kënddrejtë janë 7 cm dhe 24 cm. Hipotenuza e një trekëndëshi të ngjashëm me të është 75 cm. Gjeni katetet e trekëndëshit të dytë.

3 Dy trekëndësha dybrinjënjëshëm e kanë këndin në kulm 750. Baza e trekëndëshit të parë është 51 cm. Gjeni bazën e trekëndëshit të dytë, në qoftë se brinja anësore e trekëndëshit të parë është sa 75% e brinjës anësore të trekëndëshit të dytë.

4 Një trekëndësh dybrinjënjëshëm e ka bazën 21 cm dhe perimetrin 49 cm. Gjeni perimetrin e një trekëndëshi të ngjashëm me të, i cili e ka brinjën anësore 4 cm.

5 Bazat e trapezit janë m dhe n. Gjeni raportin në të cilin diagonalet ndajnë njëra-tjetrën.

6 Një drejtëz kalon nga pikëprerja e diagonaleve të trapezit dhe e ndan bazën e madhe në raportin 5:2. Në ç’raport ndahet baza e vogël e trapezit?

7 Vërtetoni se dy trekëndësha dybrinjënjëshëm, që e kanë këndin në kulm të barabartë, janë të ngjashëm.

8 Koeficienti i ngjashmërisë së dy trekëndëshave është 1 3 . Brinjët e trekëndëshit të parë janë përkatësisht 5 cm; 7 cm dhe 8 cm. Brinja e trekëndëshit të dytë, përkatëse e brinjës 5 cm është 10 cm më e gjatë se ajo. Gjeni brinjët e trekëndëshit të dytë.

9. NGJASHMËRIA DHE HOMOTETIA 195

9.4 Rasti i tretë i ngjashmërisë së trekëndëshave

A Kërkoni dhe zbuloni

Punë në grup

Konstruktoni trekëndëshin me brinjë 4 cm; 7 cm dhe 6 cm. Gjeni perimetrin e trekëndëshit. Konstruktoni trekëndëshin me dyfishin e përmasave të trekëndëshit të parë. Matni këndet e trekëndëshit. Çfarë vini re. Tregoni a janë të përpjesshme brinjët e dy trekëndëshave. Diskutoni.

B Vrojtoni dhe mësoni

Teoremë:

Në qoftë se tri brinjët e një trekëndëshi janë të përpjesshme me tri brinjët e një trekëndëshi tjetër, atëherë këta trekëndësha janë të ngjashëm.

Vërtetim:

Për dy trekëndëshat ∆ABC dhe ∆A1B1C1 (fig. 9.11), brinjët përkatëse të tyre janë të përpjesshme, pra AB A1B1 = BC B1C1 = AC A1C1 . Të tregojmë që ∆ABC∼∆A1B1C1

Vërtetimi saj është i ngjashëm me atë të rastit të dytë të ngjashmërisë së trekëndëshave.

Shembulli 1

Në paralelogramin

Zgjidhje

= 18 cm.

merret pika E, e tillë që

= 1 3 BC (fig.

brinjë të kundërta

Shënojmë

dhe BEF janë të

Shembulli

Zgjidhje

MATEMATIKA 9 196

ABCD jepet AB

Në brinjën BC

9.12). Gjeni BF.

BF = x ⇒ BC = AD = 3x (BC = AD si

të paralelogramit). Trekëndëshat ADF

ngjashëm (pse?). Kemi: AD BE = AF BF ⇒ 3x x = AF BF ⇒ AF BF = 3 ⇒ AF = 3BF. Por AF = AB + BF = 18 + BF ⇒ 18 + BF = 3BF ⇒ BF = 9 cm.

2 Katrorët me brinjë 2 cm dhe 5 cm janë vendosur si në figurën 9.13. Gjeni sipërfaqen e trekëndëshit KLA.

∆KLA ∆BCL. Shënojmë AK = x. Kemi: AK BC = AL BL ⇒ x 5 = 2 7 ⇒ x = 10 7 . Kemi: SKLA = 1 2 LA · AK = 1 2 · 2 · 10 7 = 10 7 cm2 Fig. 9.11 AB C C1 A1B1 Fig. 9.12 AB C E D F AB C E D F L K Fig. 9.13

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. A janë të ngjashëm trekëndëshat ABC dhe A1B1C1 në qoftë se: a) AB = 3 cm; BC = 5 cm; CA = 7 cm; A1B1 = 4,5 cm; B1C1 = 7,5 cm; C1A1 = 10,5 cm. b) AB = 1,7 cm; BC = 3 cm; CA = 4,2 cm; A1B1 = 34 dm; B1C1 = 60 dm; C1A1 = 84 dm?

2. Brinjët e një trekëndëshi janë 0,8 cm; 1,6 cm dhe 2 cm. Gjeni brinjët e një trekëndëshi të ngjashëm me të, i cili e ka perimetrin 5,5 cm.

3. Janë dhënë dy trekëndësha barabrinjës, njëri me gjatësi brinje 4 cm dhe tjetri 12 cm. A janë të ngjashëm këta dy trekëndësha? Nëse po, cili është koeficienti i ngjashmërisë?

4. Brinjët e ∆ABC janë 1,2 cm, 1,6 cm dhe 2,4 cm. Gjeni brinjët e trekëndëshit të ngjashëm me ∆ABC nëse: a) brinja më e vogël e tij është 6 cm; b) koeficienti i ngjashmërisë është 1,5.

USHTRIME

1 Perimetri i një trekëndëshi është sa 11 13 e perimetrit të një trekëndëshi të ngjashëm me të. Ndryshimi ndërmjet dy brinjëve përkatëse është 1 cm. Gjeni këto brinjë.

2 Një trekëndësh kënddrejtë e ka hipotenuzën 17 cm dhe njërin katet 15 cm. Gjeni perimetrin e një trekëndëshi të ngjashëm me të, me hipotenuzë 51 cm.

3 Brinjët e një trekëndëshi rrinë ndërmjet tyre si 3:4:6. Perimetri i një trekëndëshi të ngjashëm me të është 52 cm. Gjeni brinjët e trekëndëshit të dytë.

4 Në figurën 9.14 jepet AD = 5 cm, AC = 6 cm, BD = 7 cm dhe BC = 16 cm. Gjeni DE dhe EC.

5 Shuma e kateteve të një trekëndëshi kënddrejtë nga të cilët njëri është sa 75% e tjetrit, është 14 cm. Një trekëndësh tjetër kënddrejtë i ngjashëm më të e ka hipotenuzën 25 cm. a) Gjeni koeficientin e ngjashmërisë. b) Gjeni katetet e trekëndëshit të dytë.

6 Bazat e një trapezi janë në raportin 5:9. Njëra nga brinjët anësore të tij është 16 cm. Sa duhet ta zgjatim këtë brinjë, në mënyrë që ajo të takohet me vazhdimin e brinjës tjetër anësore?

7 Brinjët e një trekëndëshi janë 1 m; 2 m dhe 1,25 m. Brinjët e një trekëndëshi tjetër janë 1 dm; 9 dm dhe 16 cm. A janë të ngjashëm këta trekëndësha?

8 Trekëndëshat ABC me brinjë a, b, c dhe A1B1C1 me brinjë a1, b1, c1 janë të ngjashëm. Jepet a = 13 cm; b = 14 cm; c = 15 cm dhe a1 = 6,5 cm. Gjeni brinjët b1 dhe c1 të trekëndëshit të dytë, si dhe syprinat e të dy trekëndëshave.

9 Dy trekëndësha të ngjashëm kanë perimetrat përkatësisht 24 cm dhe 36 cm. Lartësia e trekëndëshit të parë është 12 cm. Gjeni lartësinë përkatëse të trekëndëshit tjetër.

9. NGJASHMËRIA DHE HOMOTETIA 197

A BC E D Fig. 9.14

9.5 Zbatime të ngjashmërisë së trekëndëshave

A Kërkoni dhe zbuloni

Ndërtoni një trekëndësh çfarëdo me bazë 4 cm. Ndërtoni segmentin që bashkon meset e dy brinjëve anësore të tij dhe mateni atë. Ç’vini re? Ndërtoni një rreth dhe merrni në të dy korda që priten në një pikë. Matni gjatësitë e 4 segmenteve në të cilët ndahen kordat. Ç’vini re?

B Vrojtoni dhe mësoni

Vija e mesme e trekëndëshit

Mbani mend:

Vijë e mesme e trekëndëshit quhet segmenti që bashkon meset e dy brinjëve të tij.

Në figurën 9.15 jepet AM = MB dhe AN = NC. Segmenti [MN] është vijë e mesme e trekëndëshit.

Kemi ∆AMN ∼ ∆ABC në bazë të rastit të dytë të ngjashmërisë: këndi ∠A është i përbashkët për të dy trekëndëshat, AM AB = AN AB = 1 2 , prandaj ∠1 = ∠2 dhe MN BC = 1 2 . Nga kushti i parë ∠1 = ∠2 rrjedh se MN//BC dhe nga kushti i dytë rrjedh se MN = 1 2 BC. Kemi vërtetuar në këtë mënyrë teoremën:

Teoremë:

Vija e mesme e trekëndëshit është paralele me njërën brinjë të tij dhe e barabartë me gjysmën e saj.

Shembulli 1

Vërtetoni se mesoret e një trekëndëshi priten në një pikë, e cila e ndan mesoren në raportin 2:1 (duke filluar prej kulmit).

Zgjidhje

Në trekëndëshin ABC shënojmë me O pikëprerjen e mesoreve AM dhe BN (fig. 9.16). [MN] është vijë e mesme e trekëndëshit ABC prandaj MN//AB; ∠1 = ∠2; ∠3 = ∠4 dhe AB = 2MN. Rrjedhimisht ∆AOB ∆MON nga ku: AO OM = BO ON =

Mbani mend:

prodhimin

qendër

korda të një rrethi priten në një pikë, atëherë

të caktuara në njërën kordë është i barabartë

segmenteve të caktuara në kordën tjetër.

kordat [AB] dhe [CD]

në pikën

(fig. 9.17).

MATEMATIKA 9 198

AB MN = 2. Që këtej AO = 2OM dhe BO = 2ON. Njëlloj bëhet vërtetimi edhe për mesoren e tretë.

Në qoftë se dy

prodhimi i segmenteve

Në rrethin me

priten

A BC M1 2 N AB C O M 13 N 42 Fig. 9.15 Fig. 9.16 Fig. 9.17 A B C D P

kënde periferike që mbështeten në harkun

Bashkojmë pikat A me C dhe B me D.

Për të njëjtën arsye

BDC. Rrjedhimisht, në bazë të rastit të parë të ngjashmërisë së trekëndëshave

mënyrë kemi arritur në vërtetimin e pohimit.

Shembulli 2

figurë jepet

Zgjidhje

caktuara

Shembulli 3

kordën

dhe

cm. Gjeni

= 24 cm.

dhe 24 cm.

Nga kulmi C i një trekëndëshi kënddrejtë ABC, hiqet lartësia h mbi hipotenuzë. Shënojmë p dhe q segmentet që cakton lartësia mbi hipotenuzën AB (fig. 9.18). Të tregojmë se h = pq .

Zgjidhje

Shënojmë a, b dhe c gjatësitë e brinjëve të trekëndëshit,

= p dhe AD = q

ABCD∼∆CBD (pse?). Nga rrjedh që q : h = h : p, që nga h = pq Tregoni se janë të vërteta dhe barazimet: a = pc dhe b = pc .

C Ushtrohuni duke zbatuar

ba hc

c p

trekëndëshi

brinjë 8 cm; 5 cm dhe 7 cm. Gjeni perimetrin e një trekëndëshi me kulme në meset e brinjëve të trekëndëshit të dhënë.

dhe

janë meset e brinjëve

gjeni

dhe AC të trekëndëshit

Gjeni perimetrin e trekëndëshit ABC, në qoftë se perimetri i trekëndëshit AMN është 23 cm.

gjatësi

lartësia e hequr

kulmi

këndit të drejtë, cakton në hipotenuzë

cm dhe 8 cm. Gjeni lartësinë dhe brinjët e trekëndëshit.

9. NGJASHMËRIA DHE HOMOTETIA 199

Kemi ∠ACD = ∠ABD si

AD.

∠BAC = ∠

∆ACP ∆BDC. Kemi: PA PD = PC PB nga ku PA · PB = PC · PD. Në këtë

Në

PA = 12 cm, PB = 16 cm

PC dhe PD.

Shënojmë PC = x nga ku PD = 32 – x. Kemi: PA ⋅ PB = PC ⋅ PD ⇒ 12⋅16 = x(32 – x) ⇒ x2 – 32x + 192 = 0 ⇒ x1 = 24 dhe x2 = 8. Kemi PC = 24 cm dhe PD = 8 cm, ose PC =

cm dhe PD

Pra, segmentet e

në

CD janë 8 cm

∆

1. Jepet

ABC.

3. Në figurën 9.19

x. a)b) 6 x 4x-1 3 x+3 x+1 3 3 Fig. 9.19 4. Në një trekëndësh kënddrejtë

nga

segmentet me

Fig. 9.18 AB C

D A B C D P

USHTRIME

Nga

korda që priten njëra

2 Jepet katërkëndëshi

katërkëndëshi

në pjesët

cm dhe 18 cm, ndërsa tjetra në dy pjesë që janë në raportin 3:8. Gjeni gjatësinë e kordës së dytë.

M, N, P dhe Q janë meset e brinjëve të tij (fig. 9.20).

Ndërtoni diagonalet

është paralelogram.

dhe BD të katërkëndëshit

Brinjët e një trekëndëshi

3:4:6. Duke bashkuar meset e brinjëve të tij formohet një trekëndësh me perimetër 5,2 cm. Gjeni brinjët e trekëndëshit të dhënë.

Gjeni segmentin e panjohur x në figurat e dhëna.

Nga

korda që priten, e para është 32 cm, ndërsa segmentet e kordës tjetër janë 12 cm dhe 16 cm. Gjeni segmentet e kordës së parë.

MATEMATIKA 9 200

ndahet

ABCD.

Vërtetoni se

MNPQ

Udhëzim:

ABCD. D P Q AMB N C Fig. 9.20 3

rrinë si

DD D x x x α α α α 4 6 12 3 5 4 4 6 3 AA A BBBE E E CC a)b)c) C Fig. 9.21 5

9.6 Ngjashmëria e shumëkëndëshave

A Kërkoni dhe zbuloni

Në figurën 9.22 jepen dy gjashtëkëndësha. Matni këndet e shumëkëndëshave. Matni gjatësitë e brinjëve. Krahasoni raportet e brinjëve AB : A1 B1; BC : B1C1; CD : C1D1; DE : D1E1; EF : E1F1; FA: F1A1 Çfarë vini re?

B Vrojtoni dhe mësoni

Mbani mend:

Dy shumëkëndësha quhen të ngjashëm, në qoftë se kanë, me radhë, kënde kongruentë dhe brinjët përkatëse proporcionale.

Dy gjashtëkëndëshat ABCDEF dhe A1B1C1D1E1F1 të figurës 9.22 janë të ngjashëm, në qoftë se: ∠A =

A1,

C1, ∠D = ∠D1, ∠E = ∠E1, ∠F = ∠F1. Dhe AB : A1B1 = BC : B1C1 = CD : C1D1 = DE : D1E1 = EF : E1F1 = FA : F1A1 Ky fakt shënohet ABCDEF ~ A1B1C1D1E1F1. Edhe në këtë rast vlera e përbashkët k e përpjesëve quhet koeficient i ngjashmërisë. Në gjashtëkëndëshat e ngjashëm ABCDEF dhe A1B1C1D1E1F1 në figurën 9.22, nga dy kulme përkatëse ndërtojmë diagonalet dhe i caktojmë përpjesët AE : A1E1, AD : A1 D1, AC : A1C1 Do të shohim se AE : A1E1 = AD : A1D1 = AC : A1C1 = k.

Në bazë të teoremave mbi ngjashmërinë e trekëndëshave kanë vend teoremat:

Teoremë 1.

Në qoftë se dy shumëkëndësha janë të ngjashëm, atëherë diagonalet përkatëse të tyre janë proporcionale ndërmjet tyre sikur edhe brinjët përkatëse. Anasjelltas, nëse brinjët përkatëse dhe diagonalet përkatëse të dy shumëkëndëshave janë proporcionale, atëherë ata shumëkëndësha janë të ngjashëm.

Teoremë 2.

Çdo dy shumëkëndësha të rregullt me numër të barabartë këndesh janë të ngjashëm.

Shembull 1

Është dhënë pesëkëndëshi ABCDE.

Të konstruktohet pesëkëndëshi A1B1C1D1E1 ~ ABCDE, me koeficientin e ngjashmërisë k = 5 4 .

Zgjidhje

Pasi të ndërtohet brinja A1B1, ndërtojmë ∆A1B1C1 ~ ∆ABC, ∆A1C1D1 ~ ∆ACD e kështu me radhë.

Të shohim se ngjashmëria e figurave në rrafsh konsiderohet si transformim (shndërrim) gjeometrik i rrafshit (fig. 9.23).

9. NGJASHMËRIA DHE HOMOTETIA 201

∠

∠B

∠B1

∠C

∠

D A A1B1 C1 D E1 1 F F1 B E C DD A A1B1 C1 D1 E1 BB EECC Fig. 9.22 Fig. 9.23

Le të jetë dhënë ∆ABC ~ ∆A1B1C1 (fig. 9.24). Ky fakt mund të shkruhet si ~: α → α ku α është rrafshi ku ndodhen trekëndëshat ABC dhe A1B1C1. Atëherë ~: A → A1, B → B1, C → C1 Vëmë re se ky transformim e ruan madhësinë e këndeve, kurse dy pika të një drejtëze nga ∆ABC transformohen në dy pika të një drejtëze. Po ashtu, çdo pike të një drejtëze (segmenti) i përgjigjet një dhe vetëm një pikë në drejtëzën (segmentin) tjetër etj. Mandej nga ngjashmëria e trekëndëshave del AB : A1B1 = AC : A1C1 = BC : B1C1 = k. Pra, me ngjashmëri ruhen edhe proporcionet e segmenteve. D.m.th., nëse AB : AC = k dhe ~: A → A1, B → B1, C → C1. atëherë A1B1 : A1C1 = k.

9.24

Mbani mend:

Transformimi gjeometrik i rrafshit α, i cili çdo dy pika A, B i pasqyron në pikat A1, B1 ashtu që A1B1 : A1C1 = k konstantë, quhet transformim i ngjashmërisë ose ngjashmëri. Numri k quhet koeficient i ngjashmërisë.

Nga përkufizimi, rrjedhin këto veti të ngjashmërisë në rrafsh:

- Me ngjashmëri, drejtëza pasqyrohet në drejtëz. Segmenti AB, me ngjashmëri transformohet në segmentin A1 B1 = k AB, ku k është koeficienti i ngjashmërisë.

- Me ngjashmëri ruhet madhësia e këndeve.

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. Përmendni një kusht të nevojshëm, (që nuk është i mjaftueshëm) për ngjashmërinë e shumëkëndëshave.

2. A janë të ngjashëm shumëkëndëshat me kënde kongruente? P.sh., drejtkëndëshi dhe katrori. Nëse nuk janë, pse?

3. Për një katërkëndësh, pesëkëndësh, gjashtëkëndësh të dhënë, konstruktoni shumëkëndëshin e ngjashëm me: a) k = 2; b) k = 1 2 ; c) k = 3; d) k = 4 5

4. Vizatoni një: a) drejtkëndësh; b) pesëkëndësh të rregullt; c) gjashtëkëndësh të rregullt, të ngjashëm me atë të dhënë, me k = 3 4

USHTRIME

1 Dy katërkëndësha janë të ngjashëm ndërmjet tyre. Brinjët e katërkëndëshit të parë janë përkatësisht a = 6 cm; b = 8 cm; c = 10 cm dhe d = 15 cm. Brinja më e vogël e katërkëndëshit të dytë është 3 cm. Të gjenden brinjët e tjera të katërkëndëshit të dytë.

2 Fusha e futbollit është skicuar në një fletë me përmasa 6 cm dhe 4,5 cm. Sa është gjerësia reale e fushës, në qoftë se gjatësia e saj është 120 m.

3 Një fushë pingpongu është skicuar në një fletë në shkallën 1:50. Përmasat e skicës janë 4 cm dhe 6 cm. Të gjenden përmasat e fushës së pingpongut.

4 Dy pesëkëndësha janë të ngjashëm. Brinjët e pesëkëndëshit të parë janë a = 1 cm; b = 2 cm; c = 4 cm; d = 5 cm dhe e = 8 cm. Brinja më e madhe e pesëkëndëshit të dytë është 24 cm. Gjeni brinjët e tjera të pesëkëndëshit të dytë, si dhe perimetrin e tij.

MATEMATIKA 9 202

AA1 B1 C1 B C Fig.

9.7 Teorema e Talesit

A Kërkoni dhe zbuloni

Konstruktoni një trekëndësh ABC. Ndani brinjën AB në 4 pjesë të barabarta dhe nga pikat e ndarjes hiqni drejtëza paralele me brinjën BC. Si janë pjesët në të cilat këto ndajnë brinjën AC?

B Vrojtoni dhe mësoni

Teorema e Talesit:

Dy drejtëza që presin një bashkësi drejtëzash paralele, caktojnë në to segmente të përpjesshme.

Vërtetim:

Jepen drejtëzat prerëse d dhe s, të cilat presin drejtëzat paralele (A1B1); (A2B2); (A3B3) etj. (fig. 9.25).

Të vërtetojmë që

Në pikat A2; A3; etj., konstruktojmë [A2C1]//s; [A3C2]//s etj. ∆A1A2C1 ∼ ∆A2A3C2, sepse ∠1 = ∠2 dhe ∠3 = ∠4 si kënde përgjegjës. Kemi: A1A2 A2A4 = A2C1 A3C2 (1). Katërkëndëshat A2C1B1B2 dhe A3C2B2B3 janë paralelograme (pse?), prandaj A2C1 = B2B1 dhe A3C2 = B3B2. Duke zëvendësuar në barazimin (1) kemi:

A1A2

A2A3 = B1B2 B2B3 ose A1A2 B1B2 = A2A3 B2B3

Në mënyrë të ngjashme vërtetohet edhe barazimi i raporteve të tjera. Teorema u vërtetua.

Shembulli

Zgjidhje

(fig. 9.26).

kemi:

Shembulli

Zgjidhje

(fig. 9.27).

Konstruktojmë

pikën

kënd çfarëdo,

dhe

me pikën A1. Nga pika

krahun tjetër, OA1 = c

njërin nga krahët e tij marrim gjatësitë

konstruktojmë drejtëzën

segmentin

Shënojmë

pikën e prerjes së kësaj drejtëze me krahun tjetër të këndit. Segmenti OB1 është segmenti i kërkuar

9. NGJASHMËRIA DHE HOMOTETIA 203

A1A2 B1B2 = A2A3 B2B3 = A3A4 B3B4 = ...

1 Krahët e këndit A ndërpriten nga drejtëzat paralele (BC) dhe (DE)

a) Gjeni AE në qoftë se AB = 8 cm; AD = 12 cm; AC = 10 cm.

Kemi BD = AD – AB = 12 – 8 = 4 cm. Nga teorema e Talesit

AB AC = BD CE ⇒ 8 10 = 4 CE ⇒ CE = 10 · 4 8 = 5 cm. b) Gjeni CE në qoftë se BD AB = 17 9 dhe CE AC = 1,6 cm. Kemi AB AC = BD CE ⇒ BD AB = CE AC = 17 9 . Shënojmë AC = x ⇒ CE = 1,6 + x 1,6 + x x = 17 9 ⇒ 14.9 + 9x = 17x ⇒ 8x = 14,4 ⇒ x = 1,8 nga ku AC = 1,8 dhe CE = 1,6 + 1,8 = 3,4 cm.

2 Jepen segmentet a, b dhe c. Konstruktoni segmentin d të tillë që a : b = c : d

një

∠xOy. Në

OA = a

OB = b. Në

Bashkojmë

paralele me

AA1.

d. A3 A2 A1B1 B2 B3 C1 C2 1 3 2 4 (d)(s) Fig. 9.25 Fig. 9.26 Fig. 9.27 A BC DE A A1 B 0B2 x y

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. Në figurën 9.28 d1//d2//d3

a) Jepet AB = 7 cm; BC = 3 cm; DE = 28 cm. Gjeni EF. b) Jepet AB = 10 cm; BC = 4 cm; DF = 42 cm. Gjeni DE dhe EF. c) Jepet AB = 15 cm; DE : EF = 3:2. Gjeni BC.

2. Ndani në pesë pjesë të barabarta segmentin me gjatësi: a) 3 cm; b) 7 cm; c) 12 cm; d) 14 cm.

3. Merrni një segment [AB]. Konstruktoni segmentet: a) [EF] = 2[AB]; b) [MN] = 2 3 [AB]; c) [KL] = 5 3 [AB].

4. Në figurën 9.29, jepet AB//CD. Gjeni x + y.

5. Vizatoni dy segmente a dhe b. Konstruktoni segmentin m, të tillë që: a) m = a2 b ; b) m = b2 a2

USHTRIME

1 Në figurën 9.30, a janë paralele segmentet AC dhe DE në qoftë se: a) BA: AD = 3:4; BC = 1,2 cm dhe BE = 2,8 cm? b) BD AD = 22 17 dhe BC = 5 17 CE? c) BA = 7 13 AD; BC = 2,8 cm dhe CE = 2 cm?

2 Në paralelogramin ABCD (fig. 9.31) jepet AB = 420 cm dhe BE:EC = 5:7. Gjeni BF.

DC E F Fig. 9.31

3 Në figurën 9.32 jepet ∠ADC = 720; ∠ABC = 180, dhe ∠ACB = 900; AC = 6 cm; AD = 12 cm. Gjeni BD dhe DC.

4 Një trekëndësh kënddrejtë ka katete 21 cm dhe 28 cm. Në katetin më të vogël merret një pikë 9 cm larg kulmit të këndit të drejtë dhe nga kjo pikë ndërtohet një drejtëz paralele me katetin më të madh. Gjeni perimetrin dhe syprinën e trekëndëshit të vogël të formuar.

5 Në figurën 9.33 jepet DC // EB // FA. AF = 9 cm; EB = 5 cm; AB = 8 cm; BC = 6 cm. Gjeni DC = x

9.29

9.28

9.30

MATEMATIKA 9 204

Fig.

A B C EF D (d1)(d2)(d3) A B C D 26 x+1y 0 4x–1 A B C DE Fig. 9.32 A B C D Fig. 9.33 AB K E E L C D

Kuptimi mbi homotetinë

A Kërkoni dhe zbuloni

Zgjerimi me qendër O, shndërron trekëndëshin kënddrejtë ABC (∠ACB = 900) në trekëndëshin A1B1C1 (fig. 9.34). Jepet B1C1 = 8 cm; A1C1 = 6 cm dhe BC = 4 cm. Duke u mbështetur në rastet e trekëndëshave të ngjashëm, të gjenden A1B1; AC dhe AB.

B Vrojtoni dhe mësoni

Homotetia e pikës

Në rrafsh jepet një pikë e caktuar O dhe një numër k ≠ 0. Për çdo pikë M të rrafshit gjendet një pikë M1 e tillë që OM1 = k · OM . Një pasqyrim i tillë i pikës M në pikën M1 quhet homoteti.

Në figurën 9.35 për pikën e caktuar O, pikën e dhënë M dhe k = 2, gjendet pika M1, ndërsa për k = –3 gjendet pika M2.

Mbani mend:

Homoteti me qendër O dhe koeficient k, quhet transformimi (shndërrimi), që çdo pikë M të rrafshit e pasqyron në një pikë M1, të tillë që OM1 = k · OM . Shënojmë M H(O,k) → M1. Pika O quhet qendër e homotetisë dhe numri k quhet koeficient i homotetisë.

Në rastin kur koeficienti është i barabartë me 1, pikat fytyrë dhe përfytyrë përputhen. Në rastin e homotetisë me koeficient k = –1, pikat fytyrë e përfytyrë janë simetrike në lidhje me pikën O.

Shembulli 1

Në figurën 9.36 jepen pikat fytyrë M, N e P, si dhe përfytyrat e tyre M1, N1 e P1.

Kemi: M H(O, 2) → M1; N → N1; P H(O, –2) → P1.

Nga ky shembull, vëmë re se:

a) Në rastin kur k > 0, pikat fytyrë e përfytyrë janë nga e njëjta anë e qendrës së homotetisë.

b) Në rastin kur k < 0, pikat fytyrë e përfytyrë janë në anë të kundërta të qendrës së homotetisë.

c) Në rastin kur ׀k׀ > 1, përfytyra është më larg qendrës sesa fytyra.

Në rastin kur ׀k׀ < 1, përfytyra është më afër qendrës sesa fytyra.

Shembulli 2

Në figurën 9.37 vëmë re se

dhe

Mbani mend: Homotetia H (O, 1 k ) quhet e anasjellë e homotetisë

(O,

9. NGJASHMËRIA DHE HOMOTETIA 205 9.8

M H(O, 3) → M1

M1 → M.

k). H(O, –) 1 2 H(O, –) 1 3 AA1 B1 C1 B O C Fig. 9.34 M OM M1 2 Fig. 9.35 M P N 0 M1 N1 P1 Fig. 9.36 Fig. 9.37 H(0,3) H(0,) 1 3 M1 M

Shembulli 3

Në figurën 9.38 a, b, c, d jepen çiftet e pikave M dhe M1; N dhe N1; P dhe P1; Q dhe Q1 homotetike të njëra-tjetrës:

H(O,2)

; N H(O,–3)

dhe

H(O, –) 1 2 H(O, –1)

Për secilin rast, gjeni qendrën e homotetisë.

Zgjidhje

Meqë k = 2 dhe k > 0, del se pikat M dhe M1 ndodhen nga njëra anë e qendrës së homotetisë O. Pra, pika O ndodhet në drejtëzën MM1, majtas pikës M. Meqë OM1 = 2OM del se OM = MM1. Jepni përgjigjen për tri rastet e tjera.

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. Në figurën 9.39 jepen pika O dhe pikat A, B, C, D dhe E. Të gjenden përfytyrat: a) e pikës A në homotetinë H (O, 2); b) e pikës B në homotetinë H (O, –2); c) e pikës C në homotetinë H (O, 1 2 ); d) e pikës D në homotetinë H (O, 1); e) e pikës E në homotetinë H (O, –1).

Fig. 9.38 Fig. 9.39

2. Ndërtoni në fletore një pikë O dhe dy pika A dhe B. a) Gjeni përfytyrat e këtyre pikave në homotetinë H (O, 3 2 ). b) Gjeni përfytyrën e pikës O në homotetinë H (O,2). Ç’vini re? (Përfytyra e pikës O në homotetinë H (O, k), për çdo k, është vetë pika O)

USHTRIME

1 Caktoni në fletore një pikë fikse O. Caktoni tri pika A, B dhe C. Ndërtoni përfytyrat e këtyre pikave në homotetinë: a) H (O, 1 2 ); b) H (O, – 1 2 ); c) H (O, –1); d) H (O, –2).

2 A mund të ndodhë që në një homoteti, të gjitha pikat fytyrë e përfytyrë të përputhen? Sa është koeficienti i homotetisë në këtë rast?

3 A mund të ndodhë që në një homoteti, të gjitha pikat

përfytyrë të jenë simetrike të njëratjetrës?

4 Jepet

5 Jepet

në mënyrë

pikat

Ç’mund të thuhet për koeficientin

është koeficienti i simetrisë në këtë rast?

dhe M1 ndodhen nga njëra anë e pikës O dhe

homotetisë në këtë rast?

dhe P1 ndodhen në anë të kundërta të pikës O dhe

të homotetisë në këtë rast?

MATEMATIKA 9 206

→

→ N1;

P →

; Q → Q1.

Oa) b) c) d) MM1 O NN1 PO O P1 QQ1

fytyrë e

Në qoftë se po, cila është qendra e simetrisë? Sa

që M H(O,k) → M1,

të tillë që

OM1 < OM. Ç’mund të thuhet për koeficientin e

që O H(O,k) → P1, në mënyrë të tillë që

OP1 > OP.

E A O B D C

9.9 Një veti karakteristike e homotetisë

A Kërkoni dhe zbuloni

Jepet homotetia H (O, 3) dhe segmenti AB. Në cilën figurë kalon segmenti AB me anë të kësaj homotetie?

Diskutoni.

B Vrojtoni dhe mësoni

Një figurë F çfarëdo përbëhet nga një bashkësi pikash. Secila prej tyre, në homotetinë H (O, k) ka përfytyrën përkatëse. Bashkësia e këtyre përfytyrave përbën një figurë F1, e cila quhet figurë homotetike e figurës F në homotetinë e dhënë. Konsiderojmë një figurë F, e cila në homotetinë H (O, k) ka për përfytyrë figurën F1. Marrim dy pika të çfarëdoshme A dhe M në figurën F dhe shënojmë me

M1 O

A1 dhe M1 përfytyrat e tyre në figurën F1 (fig. 9.40). A H(O,k) → A1 dhe M H(O,k) → M1. Kemi: OA1 = k · OA dhe OM1 = k · OM nga ku

M A1

Fig. 9.40

AM1 = OM1 – OA1 = k · OM – k · OA = k · (OM – · OA ) = k · AM . Pra, A1M1 = k · AM Ky barazim shpreh faktin që, në qoftë se pikat A dhe A1 janë dy pika të çfarëdoshme të rrafshit, atëherë për çdo pikë M të tij ekziston pika M1 e tillë që A1M1 = k · AM . Kjo tregon që A1M1 // AM dhe ׀A1M1׀ = ׀k׀ · ׀AM ׀. Anasjellas, në qoftë se plotësohet kushti që A1M1 = k · AM kemi:

Në këtë mënyrë kemi vërtetuar teoremën: Një transformim është homoteti atëherë dhe vetëm atëherë, kur ekziston numri k ≠ 1 që çdo dy pika A dhe M kanë përfytyrat A1 dhe M1 të tilla që A1M1 = k · AM .

Homotetia e një segmenti

Në figurën 9.41 jepet qendra e homotetisë O dhe segmenti AB. (Për konkretizim kemi marrë k = 2). Kemi: A H(O,k) → A1 dhe B H(O,k) → B1 Sipas teoremës së mësipërme, gjithashtu për çdo pikë M të segmentit AB kemi A1M1 = k · AM Ky barazim tregon se përfytyrat e të gjitha pikave të segmentit AB, ndodhen në segmentin A1B1.

B1 M1 O

B M A1

Fig. 9.41

Mbani mend: Çdo segment AB, në homotetinë H (O, k) ka për përfytyrë segmentin A1B1 ku A1 dhe B1 janë përfytyrat e skajeve A dhe B të segmentit AB. Gjithashtu, A1B1 = ׀k׀ · AB.

9. NGJASHMËRIA DHE HOMOTETIA 207

Në mënyrë të ngjashme provohet që: përfytyra e drejtëzës d në një homoteti është një drejtëz d1 e tillë që d1//d; përfytyra e gjysmëdrejtëzës në një homoteti është një gjysmëdrejtëz paralele me të parën. Origjinat e tyre janë pika homotetike të njëra-tjetrës.

Shënim

Këto teorema tregojnë njëkohësisht edhe mënyrën e ndërtimit të figurës homotetike të një segmenti, drejtëze apo gjysmëdrejtëze. Në secilin rast, mjafton të gjejmë përfytyrat e dy pikave (Në rastin e segmentit, të tillë janë dy skajet e tij, ndërsa në rastin e gjysmëdrejtëzës njëra pikë është origjina).

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. Vizatoni një trekëndësh ABC. Gjeni figurën homotetike të tij në homotetinë H (O, 2) në qoftë se:

a) pika O përputhet me pikën A; b) pika O ndodhet në mesin e brinjës AB.

2. Jepet trekëndëshi ABC me brinjë BC = 6 cm; AC = 8 cm dhe AB = 10 cm.

a) Të përcaktohet lloji i këtij trekëndëshi.

b) Në homotetinë H (O, 1 2 ) përfytyra e tij është trekëndëshi A1B1C1. Të gjenden gjatësitë e brinjëve të trekëndëshit A1B1C1.

USHTRIME

1 Vizatoni një trekëndësh ABC. Gjeni figurën homotetike të tij në homotetinë H (O, 2) në qoftë se: a) pika O ndodhet brenda trekëndëshit ABC; b) pika O ndodhet jashtë trekëndëshit ABC.

2 Në pohimet e mëposhtme dalloni ato që janë të vërteta dhe ato që janë të gabuara. Në një homoteti: a) çdo katror e ka përfytyrën katror; b) çdo trekëndësh e ka përfytyrën një trekëndësh barabrinjës; c) ekziston një homoteti në të cilën katrori ka për përfytyrë një romb.

3 Në figurën 9.42/a, b trekëndëshat dhe katrorët përkatës janë figura homotetike të njëra-tjetrës. Për secilën figurë, gjeni qendrën dhe koeficientin e homotetisë.

4 Jepet F H(O,k1) → F1 dhe F H(O,k2) → F1. Çfarë varësie ekziston ndërmjet k1 dhe k2?

5 Diagonalet e rombit me brinjë 5 cm priten në pikën O. Njëra nga diagonalet është 8 cm. a) Gjeni diagonalen tjetër të rombit. b) Vërtetoni se përfytyra e rombit në homotetinë H (O, 2) është romb. c) Gjeni brinjën dhe diagonalet e rombit përfytyrë.

9.42

MATEMATIKA 9 208

Fig.

a)b)

9.10 Zbatime të homotetisë

A Kërkoni dhe zbuloni

Punë në grup

Në krahët AB dhe AC të këndit BAC merren përkatësisht pikat M dhe N.

a) Gjeni përfytyrat e pikave M, A, N në homotetinë me qendër A dhe koeficient –2.

b) Cili është përfytyra e këndit BAC në këtë homoteti? Diskutoni.

B Vrojtoni dhe mësoni

Shembulli 1

Në figurën 9.43, jepet këndi xAy dhe pika O. Të gjendet figura homotetike e tij në homotetinë H (O, 2).

Zgjidhje

Në gjysmëdrejtëzat Ax dhe Ay marrim dy pika të çfarëdoshme M e N dhe gjejmë përfytyrat e pikave O, M e N në homotetinë H (O, 2). Kemi: Ax H(O,2) → A1x1 dhe Ax // A1x1; Ay H(O,2) → A1y1 dhe Ay // A1y1. Rrjedhimisht kemi ∠xAy H(O,2) → ∠x1A1y1 Këto kënde janë të barabarta si kënde që i kanë krahët reciprokisht paralelë.

Mbani mend:

Në homotetinë H (O, k) përfytyra

Shembulli

krahë

këndin e dhënë

9. NGJASHMËRIA DHE HOMOTETIA 209

e këndit është një kënd me

paralelë me

dhe me të njëjtën masë.

2 Në figurën 9.44 është ndërtuar trekëndëshi ABC. Të gjejmë figurën e tij homotetike në homotetinë H (O, 2). Zgjidhje Kemi: A H(O,2) → A1 B H(O,2) → B1 C H(O,2) → C1 dhe A H(O,2) → A1 B H(O,2) → B1 C H(O,2) → C1 ⇒ ΔABC H(O,2) → ΔA1B1C1 O M N A1 A M1 N1 x1 y1 y x Fig. 9.43 O A1 C1 B1 A B C Fig. 9.44

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. Vërtetoni që trekëndëshat e ndërtuar në shembullin 2 janë të ngjashëm.

2. Ndërtoni një kënd CAB. Gjeni përfytyrën e tij në homotetinë H (O, –2) në qoftë se:

a) pika O përputhet me pikën A;

b) pika O ndodhet në përgjysmoren e këndit CAB.

USHTRIME

1 Ndërtoni një segment AB. Gjeni përfytyrën e tij në homotetinë H (O, –2) në qoftë se:

a) pika O përputhet me pikën A; b) pika O përputhet me pikën B; c) pika O është mesi i AB; d) pika O ndodhet në përmesoren e segmentit AB.

2 A mund të jenë homotetike:

a) dy drejtëza prerëse?

b) dy drejtëza paralele?

c) dy drejtëza që përputhen?

Ku ndodhet qendra e homotetisë në rastin (c)?

3 Trekëndëshi A1B1C1 është përfytyrë e trekëndëshit ABC në homotetinë H (O, – 3 2 ).

a) Ç’mund të themi për pozicionin e trekëndëshave ABC dhe A1B1C1 në lidhje me pikën O?

b) Ç’mund të themi lidhur me përmasat e trekëndëshit A1B1C1 në krahasim me përmasat e trekëndëshit ABC?

c) Ç’mund të themi për llojin e trekëndëshit A1B1C1, në qoftë se trekëndëshi ABC është:

I. barabrinjës;

II. kënddrejtë;

III. dybrinjënjëshëm; IV. me një kënd të gjerë.

4 Trekëndëshi A1B1C1 është përfytyrë e trekëndëshit ABC në homotetinë H (O, k). Vërtetoni se: a) përfytyra e lartësisë AH të trekëndëshit ABC është lartësia A1H1 e trekëndëshit A1B1C1; b) përfytyra e përgjysmores BD të trekëndëshit ABC është përgjysmorja B1D1 e trekëndëshit A1B1C1.

5 Vërtetoni se përfytyra e trapezit dybrinjënjëshëm ABCD në homotetinë H (A, 2) është trapez dybrinjënjëshëm.

6 Vërtetoni se përfytyra e trapezit kënddrejtë ABCD, ku ∠DAB = 900 në homotetinë H (A, –2) është trapez kënddrejtë.

7 Trekëndëshat ABC dhe A1B1C1 janë të ngjashëm me koeficient ngjashmërie 1,5.

a) Gjeni raportin e syprinave të tyre.

b) Gjeni raportin e perimetrave të tyre.

c) Gjeni brinjën më të vogël të trekëndëshit të parë, në qoftë se ajo është 7 cm më e madhe se brinja më e vogël e trekëndëshit të dytë.

d) Gjeni brinjët e trekëndëshit të parë, në qoftë se ato janë përkatësisht 7 cm; 8 cm dhe 10 cm më të mëdha se brinjët përkatëse të trekëndëshit të dytë.

MATEMATIKA 9 210

Çfarë mësuam? (Përsëritje)

Tashmë kemi mësuar Provoni të zgjidhni

1 A janë të përpjesshme segmentet [AB] dhe [CD] me segmentet [EF] dhe [HK] në figurën 9.45?

Fig. 9.45

AB CD EF HK

Përkufizimin e rregullës për raportin e segmenteve (Teoremën e Talesit):

2 Në figurën 9.46 jepet DE // AC. Gjeni xy Fig. 9.46

3 Në figurën 9.47 jepet AB // DE // KL. Gjeni a dhe b.

Fig. 9.47

A BC

9 a 6 bE8

D K D12

4 Në figurën 9.48 jepet DE // BC. Gjeni x y . Fig. 48

Zbatimin e teoremës së Talesit për raportin e segmenteve:

Zbatimin e vetive të proporcionit gjatë zgjidhjes së detyrave:

12 K 3 2 7,5L

5 Në figurën 9.49 jepet DE // KL //CA. Gjeni x + y. Fig. 9.49 A

C D

x y

6 Rrezja e rrethit është 12,5 cm. Pika C e ndan atë në raportin OC : OA = 7 : 18. Gjeni OC.

7 Dy korda të një rrethi janë prerëse. Segmentet e njërës kordë janë 25 cm dhe 8 cm. Njëri nga segmentet e kordës së dytë është sa dyfishi i segmentit tjetër. Gjeni segmentet e kordës së dytë.

8 Nga dy korda që priten njëra ndahet në pjesët 48 cm dhe 3 cm, ndërsa tjetra përgjysmohet. Gjeni gjatësinë e kordës së dytë.

9 Largësia e pikëprerjes së diagonaleve të drejtkëndëshit nga brinja më e madhe e tij është 3 cm. Gjeni largësinë e kësaj pike nga brinja më e vogël.

211 9. NGJASHMËRIA DHE HOMOTETIA

A BC D yE4 2 x A BC D 12 x y 4 E 9.11

Përkufizimin e homotetisë dhe zbatimin e vetive të saj në zgjidhjen e problemeve praktike:

Përkufizimin e ngjashmërisë së figurave gjeometrike, posaçërisht trekëndëshave, duke emërtuar rregullat për ngjashmërinë e tyre:

10 Jepet trekëndëshi ABC, brinjët e të cilit janë të ndryshme (fig. 9.50). Në pikën N ndërtojmë NM të tillë që ∠MNB = ∠BAC. a) A janë të ngjashëm trekëndëshat ABC dhe BMN? b) Nëse po, shkruani raportet e brinjëve përkatëse. c) A rrjedh që këtej se MN//AC?

B MN C

Fig. 9.50

11 a) Në cilin rast pikat fytyrë dhe përfytyrë ndodhen nga njëra anë e qendrës së homotetisë?

b) Në cilin rast pikat fytyrë dhe përfytyrë ndodhen në anë të ndryshme të qendrës së homotetisë?

12 Caktoni në fletore një pikë fikse O. Caktoni tri pika A, B dhe C. Ndërtoni përfytyrat e këtyre pikave në homotetinë: a) H (O, 3); b) H (O, 3); c) H (O, 3 2 ).

13 Në figurën 9.51, DE është vijë e mesme e trekëndëshit ABC. Jepet SADE = 6 cm2. Gjeni SABC

14 Vërtetoni se dy trekëndësha dybrinjënjëshëm që kanë njërin kënd të bazës të barabartë, janë të ngjashëm.

15 Në figurën 9.52 gjeni x Fig. 9.52 3 β β

DE C Fig. 9.51

α α 49

x+3

16 Gjeni lartësinë e pemës. Fig. 9.53

1 m BCE

17 Ndërtoni në fletore dy katërkëndësha me kënde të barabarta, por që nuk janë të ngjashëm.

18 Ndërtoni në fletore dy katërkëndësha me brinjë të përpjesshme, por që nuk janë të ngjashëm.

MATEMATIKA 9 212

1 Brinjët e një trekëndëshi rrinë si 3:5:6. Brinja më e madhe e një trekëndëshi të ngjashëm me të është 21 cm. Gjeni brinjët e tjera të trekëndëshit të dytë. 3 pikë

2 Katetet e një trekëndëshi kënddrejtë janë 3 cm e 4 cm. Hipotenuza e një trekëndëshi të ngjashëm me të është 15 cm. Gjeni: a) katetet e trekëndëshit të dytë; 3 pikë b) syprinat e të dy trekëndëshave. 3 pikë

3 Jepet trekëndëshi ABC me brinjë AB = 20 cm dhe AC = 12 cm. Në brinjën AB merret pika E, e tillë që AE = 15 cm. Dhe mbi brinjën AC merret pika F e tillë që AF = 9 cm. A janë të ngjashëm trekëndëshat ABC dhe AEF? 3 pikë

4 Dy korda të një rrethi janë prerëse. Segmentet e kordës së parë rrinë si 6:7, ndërsa segmentet e kordës tjetër janë 14 cm dhe 27 cm. Gjeni segmentet e kordës së parë. 3 pikë

5 Perimetri i një trekëndëshi është sa 6 7 e perimetrit të një trekëndëshi të ngjashëm me të. Ndryshimi i dy brinjëve përkatëse është 3 cm. Gjeni këto brinjë. 3 pikë

6 Konstruktoni një katror ABCD. Ndërtoni figurën homotetike të tij në homotetinë: a) H (A, 1 2 ) 2 pikë b) H (B, –2). 2 pikë

7 Në figurën 9.54 është vizatuar katrori ABCD dhe O është pikëprerja e diagonaleve të tij. Jepet OA1 = 2 3 OA; OB1 = 2 3 OB; OC1 = 2 3 OC; OD1 = 2 3 OD. Të vërtetohet se trekëndëshat OAB dhe OA1B1 janë të ngjashëm. 3 pikë

8 Të njehsohet largesa ndërmjet dy pikave A dhe B në anë të kundërta të lumit, nëse janë matur largesat BC = 15 m, CB’ = 20 m dhe AA' = 10 m. 3 pikë

213 9. NGJASHMËRIA DHE HOMOTETIA

α α 4 A DC O A1B1 C D1 1 B x+3A A' BCB' Lumi Fig. 9.54 Fig. 9.55 9.12 Vlerësim Koha: 45 minuta

TRIGONOMETRIA NË TREKËNDËSHIN KËNDDREJTË

Në fund të kësaj teme, nxënësi/ja:

• përkufizon funksionet trigonometrike në trekëndëshin kënddrejtë;

• cakton vlerat numerike të funksioneve trigonometrike (sin, cos, tg) të disa këndeve në trekëndëshin kënddrejtë (30o, 45o, 60o);

• cakton funksionet trigonometrike të këndeve komplementare;

• vërteton dhe zbaton identitetet themelore trigonometrike;

• zbaton kuptimet elementare të trigonometrisë te detyrat problemore me trekëndësh kënddrejtë.

Fjalë kyçe: trigonometri, funksionet trigonometrike, trekëndësh kënddrejtë, raport brinjësh, sinus, kosinus, tangjent, kotangjente, formula themelore e trigonometrisë, trekëndësh kënddrejtë.

Në mjaft probleme të jetës praktike lind nevoja për të njohur varësitë që ekzistojnë ndërmjet brinjëve dhe këndeve të trekëndëshit. Këto varësi i studion një degë e veçantë e matematikës e quajtur trigonometri (bashkim i fjalëve trigon –trekëndësh dhe metri – matje). Fillesat e kësaj dege janë në shek. II p.e.s në Greqi. Në zhvillimin e trigonometrisë kontribuuan shumë popuj dhe kultura, duke përfshirë Babilonasit, Hiparkun e Nikeas, Menelaun, Ptolemeun dhe shumë të tjerë.

Hiparku, gjeniu matematikan i Rodosit, shkroi 12 libra mbi kordat e një rrethi. Ai zhvilloi tabelën e parë trigonometrike. Hiparku konsiderohet si Ati i trigonometrisë. Si rezultat i tabelave të Hiparkut, matematikanët filluan të punojnë me 360 shkallë në një rreth.

Albert Xherard (Albert Gerard) ishte matematikani i parë që përdori shkurtesat e sinusit, kosinusit, tangjentes (sin, cos, tg), të cila përdoren edhe sot në matematikë.

214

A E DINI SE?... 10

P Toka Dielli

R⊕

10.1 Matja e këndeve dhe harqeve

A Kërkoni dhe zbuloni

Punë në grup

Konstruktoni një rreth. Konstruktoni në të këndin qendror, që mbështetet në gjysmën e rrethit. Sa shkallë është këndi që konstruktuat?

Po këndi që mbështetet në çerekun e rrethit? Çfarë varësie ekziston ndërmjet masës së këndit qendror dhe masës së harkut përkatës të tij?

B Vrojtoni dhe mësoni

Kujtojmë se kënd një shkallë (shënohet 1˚) kemi quajtur këndin që përftohet në 1 360 e rrotullimit të plotë. Kënd të drejtë kemi quajtur këndin që përftohet në 1 4 e rrotullimit të plotë.

Shembulli 1

Gjeni gjatësinë e harkut prej 72˚ të rrethit me rreze 10 cm.

Zgjidhje

Në formulën l = πrn 180 zëvendësojmë r, n dhe kemi: l = π · 10 · 72 180 = 4π cm.

Shembulli 2

Gjeni masën e këndit qendror, gjatësia e harkut të të cilit është e barabartë me rrezen e rrethit.

Zgjidhje

Në formulën l = πrn 180 zëvendësojmë l = r dhe kemi: r = πrn 180 ⇒ n = 180 π ≈ 180 3,14 ≈ 57˚20'

Mbani mend:

Këndi qendror, i cili gjatësinë e harkut përkatës e ka të barabartë me rrezen e rrethit, quhet kënd 1 radian

Kujdes!

Nuk duhet të ngatërrohet masa e harkut me gjatësinë e tij. Në figurën 10.1, harqet A1B1; A2B2; A3B3 etj. kanë të njëjtën masë, por gjatësi të ndryshme.

Shembulli 3

Sa radian ka këndi i plotë? Po këndi i drejtë?

Zgjidhje

Harkut me gjatësi r, i përgjigjet këndi 1 radian. Rrjedhimisht, harkut me gjatësi 2πr (gjatësia e rrethit) i përgjigjet një kënd 2π herë më i madh, pra 2π radian. Këndi i drejtë ka π 2 radian.

10.1

6. SHPREHJET ME NJË NDRYSHORE 215 10. TRIGONOMETRIA NË TREKËNDËSHIN KËNDDREJTË

A1 B1 A2 B2 A3 B3 b1 r1 b2 r2 b3 r3 s Fig.

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. Plotësoni tabelën, duke u nisur nga fakti që harqet me masë 3600 dhe 2

në shkallë

në radian

2. Shprehni në radian këndet 30˚; 1350; 120˚.

3. Shprehni në shkallë këndet 1 radian; 2,5 radian, 3 radian.

4. Gjeni gjatësinë e harkut prej 60˚ të rrethit me rreze 5 cm; 10 cm; 12 cm.

5. Gjeni masat në radian të këndeve të: a) trekëndëshit barakrahës me kënd në kulm 40˚; b) rombit me një kënd 60˚.

USHTRIME

1 Gjeni, në shkallë dhe në radian, masat e këndeve që përbëjnë: a) 1 2 ; 1 3 ; 1 6 e këndit të plotë; b) 3 2 ; 1 5 ; 1 6 e këndit të shtrirë; c) 1 2 ; 1 3 ; 1 5 e këndit të drejtë.

2 Shprehni në radian këndet 60˚; 45˚; 112˚; 15˚.

3 Shprehni në shkallë këndet 1, 5 radian; 2, 3 radian, 3, 14 radian.

4 Me sa shkallë lëviz akrepi i minutave kur kalon: a) nga numri 5 në numrin 7; b) nga numri 6 në numrin 9; c) nga numri 6 në numrin 12?

5 Me sa shkallë lëviz akrepi i orëve, kur akrepi i minutave lëviz me: a) 360˚’; b) π radian; c) 4π radian.

6 Gjeni këndet shtuese (suplementare) të këndeve: a) 60˚; 90˚; 120˚; b)

2 ;

6 ;

3 ; 2

3 ; 5π 6 radian.

7 Gjeni këndet plotësuese (komplementare) të këndeve: a) 60˚; 30˚; 50˚; b)

;

6 ;

3 radian.

8 Gjeni masat në radian të këndeve të: a) trekëndëshit barakrahës; b) katrorit.

radian janë të njëjtë.

1˚

9 Këndet e një trekëndëshi janë në raportin 1:3:5. Gjeni masat e tyre në shkallë e në radian.

MATEMATIKA 9 216

Harku Masa

360˚ 180˚ 60˚ 30˚

Masa

2π π 2 π 2

π 4

Përkufizimet e funksioneve trigonometrike të këndit të ngushtë

A Kërkoni dhe zbuloni

Jepet trekëndëshi kënddrejtë ABC (fig. 10.2), me njërin kënd të ngushtë të barabartë me α Matni brinjët e trekëndëshit. Gjeni raportin e secilit katet me hipotenuzën. Krahasoni vlerat e gjetura me 1. Çfarë vini re?

B Vrojtoni dhe mësoni Mbani mend:

Quhet sinus i këndit α (shënohet sinα) raporti i katetit përballë këndit α me hipotenuzën. Pra, sin α = BC AB = a c

Quhet kosinus i këndit α (shënohet cosα) raporti i katetit të anëshkruar këndit α me hipotenuzën. Pra, cos α = AC AB = b c

Quhet tangjent i këndit α (shënohet tgα) raporti i katetit përballë këndit α me katetin e anëshkruar këndit α. Pra, tg α = BC AC = a b . Quhet kotangjent i këndit α (shënohet cotgα) raporti i katetit të anëshkruar këndit α me katetin përballë këndit α. Pra, cotg α = AC BC = b a .

Krahas trekëndëshit ABC marrim një trekëndësh tjetër kënddrejtë A1B1C1 me njërin kënd të ngushtë të barabartë e α (fig. 10.3). Sipas përkufizimeve të mësipërme për trekëndëshin ABC, kemi sin α = BC AB ndërsa për trekëndëshin A1B1C1 kemi sin α = B1C1 A1B1 Nga ngjashmëria e trekëndëshave ABC dhe A1B1C1 (pse?) kemi BC A1B1 = AB A1B1 ⇒ BC AB = B1C1 A1B1 . Pra, vlera e raportit sin α = BC AB nuk varet nga gjatësitë e brinjëve të trekëndëshit, por vetëm nga madhësia e këndit α. Në mënyrë analoge vërtetohet që edhe vlerat për cosα; tgα dhe cotgα varen vetëm nga madhësia e këndit α. Është kjo arsyeja, që këto raporte quhen funksione trigonometrike të këndit α.

Mbani mend:

1) Duke qenë raporte brinjësh, funksionet trigonometrike të këndeve janë numra pozitivë dhe abstraktë (nuk kanë njësi).

2) Duke qenë se gjatësitë e kateteve të trekëndëshit janë më të vogla se gjatësia e hipotenuzës, rrjedh se vlerat e funksioneve trigonometrike sinus e kosinus janë numra më të vegjël se 1. Pra, sinα <1 dhe cosα <1.

6. SHPREHJET ME NJË NDRYSHORE 217 10. TRIGONOMETRIA NË TREKËNDËSHIN KËNDDREJTË 10.2

Fig. 10.2 A B C c b a α AA1C1 B1 B C αα Fig. 10.3

C Ushtrohuni duke zbatuar

Në

këndit

Në figurën

10.4 USHTRIME

Në figurën

këndit

vizatuar

qoftë

Gjeni vlerat e funksioneve trigonometrike

MATEMATIKA 9 218

figurën 10.3 jepet BC = 3 cm dhe AB = 5 cm. Gjeni funksionet trigonometrike të

α. Udhëzim: Gjeni fillimisht katetin AC. 2. Gjeni funksionet trigonometrike të këndeve α dhe β të trekëndëshit kënddrejtë, në qoftë se jepen dy katetet a = 2,1 cm; b = 2,8 cm. 3.

10.4 kryeni matjet e nevojshme për të gjetur funksionet trigonometrike të këndeve të dhëna. Fig.

1 Gjeni funksionet trigonometrike të këndeve α dhe β të trekëndëshit kënddrejtë ABC, në

se jepen a = 2,1 cm; b = 2,8 cm dhe c = 3,5 cm. 2

10.5 janë

trekëndësha kënddrejtë.

të

α (Të dhënat numerike janë në cm). 13 α α αα 5 6 8841 40 15 Fig. 10.5 3 Gjeni vlerat e funksioneve trigonometrike të këndeve α dhe β në trekëndëshat e figurës 10.6. α α α α ββ β β b a c m nl p q r z y x Fig. 10.6 4 Cilat nga barazimet e mëposhtme janë me siguri të gabuar? sinα = 0,72; cosα = 1,13; tgα = 2,53; cotgα = 0,01; sinα = π; tgα = π 5 Në rrafshin koordinativ jepen pikat A (–3, –4); B (4, 3) dhe (4, –4). Gjeni funksionet trigonometrike të këndeve të ngushta të trekëndëshit ABC. 6 Në rrafshin koordinativ, jepen pikat M (–4; –3); N (3; –3); P (6; 1) dhe Q (–10; 1). Gjeni funksionet trigonometrike të këndeve në kulmet P dhe Q të tij. A B O 70˚ 60˚ 40˚ 20˚ 10˚

A Kërkoni dhe zbuloni

Në një trekëndësh kënddrejtë njihen dy katetet a = 6 cm dhe b = 8 cm.

Gjeni hipotenuzën c të trekëndëshit.

Gjeni sinusin, kosinusin dhe tangjentin e këndit α përballë katetit a.

Njehsoni (sinα)2 + (cosα)2 dhe raportin sin α cos α . Ç’vini re?

B Vrojtoni dhe mësoni

1. Lidhja ndërmjet sinα dhe cos α Jepet trekëndëshi kënddrejtë ABC (fig. 10.7). Nga teorema e Pitagorës kemi: a2 + b2 = c2. Duke pjesëtuar të dyja anët e këtij barazimi me c2, kemi:

)2 = ( b

)2 = 1. Por a c = sin α dhe b c = cos α.

Duke zëvendësuar, kemi (sinα)2 + (cosα)2 = 1. Shënojmë (sinα)2 = sin2α (lexojmë sinus në katror α) dhe (cosα)2 = cos2α. (lexojmë kosinus në katror α). Me këto shënime, formula e mësipërme shkruhet: sin2α + cos2α = 1 dhe quhet formula themelore e trigonometrisë. Shembulli 1

Jepet sin

= 3 5 . Gjeni cos

. Zgjidhje

Nga formula themelore e trigonometrisë kemi: cos2

= 1 – sin2

= 1 – ( 3

2. Lidhja ndërmjet tg

Në figurën

)2 = 1

cotg

nga ku cos

= 4

6. SHPREHJET ME NJË NDRYSHORE 219 10. TRIGONOMETRIA NË TREKËNDËSHIN KËNDDREJTË

a2 c2 + b2 c2 = c2 c2 ⇒ ( a c

9 25

16 25

5 .

α,

α, sinα dhe cos α

10.8, kemi: tg α = a b . Duke pjesëtuar numëruesin dhe emëruesin b me c, kemi: tg α = a b = a c b c = sin α cos α sepse a c = sin α dhe b c = cos α. Pra, tg α = sin α cos α . Në mënyrë të ngjashme mund të shkruajmë: cotg α = a b = b c b c = cos α sin α . Pra, cotg α = cos α sin α . Nga barazimi i mësipërm del se cotg α = 1 tg α . C Ushtrohuni duke zbatuar 1. Jepet cos α = 12 13 . Gjeni sin α. 2. Vërtetoni që tg α⋅ cotg α = 1. 3. Jepet cos α = 2 3 . Gjeni funksionet e tjera trigonometrike të këndit α Fig. 10.7 Fig. 10.8 10.3 Lidhjet ndërmjet funksioneve trigonometrike të këndit α b A C B a c α β b A C B a c

1 Gjeni funksionet e tjera

= 0,4;

USHTRIME

të këndit

0,8.

kur jepet:

2 Jepet sinα = 0,6. Gjeni vlerën e shprehjeve të mëposhtme:

S = (1 + tg2

= (1

3 Thjeshtoni shprehjet:

Një nxënës arsyetoi në këtë mënyrë:

5 Jepet sin α = 5 13 . Gjeni vlerën e shprehjes S = 1 +

Jepet

Jepet sin

0,8.

Gjeni vlerën e shprehjes

drejt ky nxënës? Diskutoni!

9 Këndet e një trekëndëshi janë në raport 1:2:3 dhe brinja më e vogël e tij është 1 dm.

Vërtetoni se trekëndëshi është kënddrejtë.

Gjeni funksionet trigonometrike të këndeve të ngushta të këtij trekëndëshi.

10 Vërtetoni identitetin: tg2 α – sin2 α = tg2 α · sin2 α.

11 Jepet 0o < α < 90o.

Nëse sinα = 2 5 , atëherë gjeni cosα dhe tgα.

Nëse tgα = 3, atëherë gjeni cosα dhe sinα.

12 Gjeni vlerën e shprehjes sin 60˚ · cos 60˚ sin 45˚

13 Vërtetoni që tga + 1 tga = 1 sin α cos α .

14 Thjeshtoni shprehjet:

sin α tga ;

tga cos α;

sin α cos α.

MATEMATIKA 9 220

trigonometrike

a) sin α =

17 ; b) cos α = 5 13 ; c) sin α

d) cos α =

α) ⋅ cos2α; b) P = cosα tgα⋅ + sinα; c) T

– sinα)(1 + sinα) – cos2α.

a) sin2100 + cos2100; b) sin2200 + cos2200; c) sin2α + cos2α – 1; d) tgα ⋅ cotgα – 1. 4

Meqë sin2α + cos2α = 1 del se sin23α + cos23α = 3. A ka arsyetuar

tg α 1 + cotg α . 6

cosα =

Gjeni vlerën e shprehjes P = sin2 α 1 + cos α . 7

α = 2 3 .

M = cos2 α 1 – sin α 8

α = 2 3 .

S = 1 + cotg α tg α .

10.4 Lidhjet ndërmjet funksioneve trigonometrike të këndeve komplementare

A Kërkoni dhe zbuloni

Në një trekëndësh kënddrejtë, katetet janë a = 12 cm dhe b = 5 cm.

a) Gjeni sinusin dhe kosinusin e këndit α përballë katetit a.

b) Gjeni sinusin dhe kosinusin e këndit β përballë katetit b. Ç’vini re?

B Vrojtoni dhe mësoni

Kujtojmë se dy kënde të ngushta quhen plotësuese (komplementare), në qoftë se shuma e tyre është 90˚. Shqyrtojmë trekëndëshin ABC në figurën 10.9.

Kemi α + β = 90˚ nga ku β = 90˚ – α. Shkruajmë: sin β = sin(90˚ – α) = b c dhe cos α = b c . Pra, sin(90˚ – α) = cos α. cos β = cos(90˚ – α) = a c dhe sin α = a c . Pra, cos(90˚ – α) = sin α.

Mbani mend:

Fig. 10.9

Përfundimisht kemi përftuar formulat e mëposhtme, të cilat japin lidhjet ndërmjet funksioneve trigonometrike të këndeve komplementare. sin(90˚ – α) = cosα cos(90˚ – α) = sinα

Punë në grup Vërtetoni se janë të vërteta formulat tgα dhe cotgα. tg(90˚ – α) = cotgα cotg(90˚ – α) = tgα

Shembulli

Meqë

Shembulli

Jepet

Zgjidhje

0,5736, sepse këndet 35˚ dhe

6. SHPREHJET ME NJË NDRYSHORE 221 10. TRIGONOMETRIA NË TREKËNDËSHIN KËNDDREJTË

sin35˚ = 0,5736, mund të shkruajmë cos55˚ =

55˚ janë komplementare.

sin α, = 2 5 . Të gjenden funksionet trigonometrike të këndit β, komplementar të këndit α.

Meqë β = 90˚ – α kemi cos β = cos(90˚ – α) = sin α = 2 5 sin2 β = 1 cos2 β = 1 – 4 25 = 21 25 ⇒ sin β = 21 5 tg β = sin β cos β = 21 5 2 5 = 21 2 ; cotg β = 2 21 = 2 21 21 . α β b A C B a c

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. Vërtetoni

2. Thjeshtoni

Thjeshtoni

Jepet tg10˚

Jepet sin6˚

3 Jepet sin α

4 Thjeshtoni shprehjet:

sin263˚

6 Jepet sin α = 8 17 .

vlerën

7 Vërtetoni

Vërtetoni

shprehjes

USHTRIME

këndit α.

MATEMATIKA 9 222

barazimet: a) sin(58˚ + x) = cos(32˚ x) b) cos( π 7 + x) = sin( π 14 – x).

shprehjen: sin(900 – α) + 2cos(900 – α) + sin(900 – α) – cos(900 – α). 3.

shprehjen: tg(900 – α) + cotg(900 – α) + 2tg(900 – α) – 3cotg(900 – α). 4. Vërtetoni identitetin: ( ) ( ) 22 2 22 11cossin2122cos. tg tgtgtg aaaaaaa --+-+++=1

= 0,17. Gjeni cotg10˚; tg80˚; cotg80˚. 2

= 0,1. Gjeni cos6˚; sin84˚; cos84˚.

= 1 2 . Gjeni vlerat e funksioneve të tjera trigonometrike të

+ sin227˚; b) tg52˚ tg38˚ – 1; c) (sin60˚ + cos45˚)2 + (sin60˚ – cos45˚)2. 5 Thjeshtoni shprehjet e mëposhtme: a) sin(90˚ – α) · cos α + cos(90˚ – α) · sin α; b) tg(90˚ – α) cotg α ; c) cotg(90˚ – α) tg α – sin α · cos(90˚ – α); d) sin2 α + cos2 α – cos α · sin(90˚ – α).

Gjeni

S = 1 + tg α · tg(90˚ – α) sin(90˚ – α) + cos(90˚ – α) = 1.

identitetin: sin2 α + sin2(90˚ – α) tg α · tg(90˚ – α) . 8

identitetet: a) (tgα + cotgα)2 + (tgα – cotgα)2 = 4 b) sin4α – cos4α = sin2α – cos2α Udhëzim: Faktorizoni anën e majtë si ndryshim katrorësh. c) 1 – sin2 α 1 – cos2 α = cotg2α 9 Thjeshtoni shprehjet: a) cos2 α 1 – sin α ; b) sin2 α 1 – cos α ; c) tg α + cos α 1 – sin α .

A Kërkoni dhe zbuloni

Shqyrtoni një trekëndësh kënddrejtë barakrahës me katete nga 3 cm.

a) Gjeni hipotenuzën.

b) Sa shkallë janë këndet e tij të ngushta?

c) Gjeni sinusin, kosinusin dhe tangjentin e këndit 45˚.

Konstruktoni trekëndëshin barabrinjës ABC me brinjë 3 cm dhe hiqni lartësinë AH mbi brinjën BC.

a) Gjeni segmentet BH, AH.

b) Gjeni këndet e trekëndëshit AHB.

c) Gjeni sinusin dhe kosinusin e këndit 30˚.

d) Gjeni tangjentin e këndit 60˚.

B Vrojtoni dhe mësoni

a) Në trekëndëshin kënddrejtë ABC (fig. 10.10), jepen ∠BAC = α = 30˚ dhe ∠ABC = β = 60˚.

Kemi c = 2a (pse?). Me anën e teoremës së Pitagorës gjejmë: b2 = c2 a2 = 4a2 a2 = 3a2 ⇒ b = 3a2 = a 3 .

Gjejmë tani funksionet trigonometrike të këndit α = 300.

sin 30˚ = a c = a 2a = 1 2 ; cos 30˚ = b c = a 3 2a = 3 2 ;

tg 30˚ = a c = a a 3 = 1 3 = 3 3 ; cotg 30˚ = b a = a 3 a = 3

Meqë këndi β = 60˚ është komplementar i këndit α = 30˚, kemi:

sin 60˚ = cos 30˚ = 3 2 ; cos 60˚ = sin 30˚ = 1 2

tg 60˚ = cotg 30˚ = 3 ; cotg 60˚ = tg 30˚ = 3 3 .

b) Në trekëndëshin kënddrejtë ABC (fig. 10.11), jepen α = β = 45˚. Meqë trekëndëshi ABC është barakrahës (pse?) kemi b = a. Gjejmë hipotenuzën c me anën e teoremës së Pitagorës:

c2 = a2 + b2 = a2 + a2 = 2a2 ⇒ c = 2a2 = a 2 Gjejmë tani funksionet trigonometrike të këndit 45˚.

sin 45˚ = a c = a a 2 = 1 2 = 2 2 ; cos 45˚ = b c = a a 2 = 1 2 = 2 2

tg 45˚ = a b = a a = 1; cotg 45˚ = b a = a a = 1.

6. SHPREHJET ME NJË NDRYSHORE 223 10. TRIGONOMETRIA NË TREKËNDËSHIN KËNDDREJTË

Fig. 10.10 Fig. 10.11 10.5 Vlerat e funksioneve trigonometrike të këndeve 30o; 45o dhe 60o b A C B a c=2a 60˚ 30˚ Ab=aC B a c 45˚

C = cos60˚

D = 6sin30˚

10cos60˚;

cos45˚ – sin30˚ – sin45˚;

tg45˚

2cotg45˚

2cos60˚.

rrafshin

MATEMATIKA 9 224 USHTRIME Përfundimet e gjetura i hedhim në tabelën e mëposhtme: Këndi α 30˚ 45˚ 60˚ sinα 1 2 2 2 3 2 cosα 3 2 2 2 1 2 tgα 3 3 1 3 cotgα 3 1 3 3 Shembulli 1 Gjeni vlerën e shprehjes S = 4sin30˚ + 2cos60˚ – 3tg45˚ + 2cotg45˚. Kemi: S = 4 · 1 2 + 2 · 1 2 – 3 · 1 + 2 · 1 = 2 + 1 – 3 + 2 = 2 C Ushtrohuni duke zbatuar 1. Gjeni vlerën e shprehjes P = 3tg45˚ + 2tg60˚ – cotg300˚ – 2cos30˚. 2. Gjeni vlerën e shprehjes S = 2 sin π 6 4 tg π 4 + tg π 3 – cotg π 6 . 1 Gjeni vlerën e shprehjeve: a) A = 2sin30˚ – 4tg45˚ + tg60˚ – cotg30˚; b) B = 2sin60˚ – tg60˚ + 5cotg45˚ –

–

2 Gjeni vlerën e shprehjeve: a) A = 2sin π 6 + 2tg π 4 – cotg π 4 ; b) B = sin π 3 – cos π 6 + sin π 4 – cos π 4 ; c) C = 2tg π 4 – 2 cos π 3 + cos π 3 ; d) D = sin π 4 – tg π 4 + 2 sin π 6 – cos π 4 . 3 Në vend të pikave vendosni këndin e duhur: sin45˚ = cos… ; tg60˚ = cotg… ; cotg30˚ = tg… ; cos30˚ = sin… 4 Gjeni vlerat e funksioneve trigonometrike të këndeve komplementare të këndeve: a) 30˚; 45˚; 60˚. b) π 6 ; π 4 ; π 3 . 5 Jepet sin500 = m. a) Gjeni funksionet e tjera trigonometrike të këndit 50˚. b) Gjeni funksionet trigonometrike të këndit 40˚. 6 Në

koordinativ, jepen pikat A (1, 4); B (8, 4); C (4, 4). Gjeni vlerat e funksioneve trigonometrike të këndeve të trekëndëshit ABC.

Vlerat e funksioneve trigonometrike të këndeve 0o–90o

A Kërkoni dhe zbuloni

figurën 10.12 është ndërtuar një çerek rrethi me rreze 5 cm, si dhe rrezet që formojnë këndet 10˚; 20˚; …; 80˚ me rrezen OA. Duke ndërtuar trekëndëshat kënddrejtë përkatës dhe duke matur me kujdes katetet e tyre, gjeni vlerat e funksioneve trigonometrike të këndeve 100 deri 800, të cilat i hidhni në tabelën e mëposhtme:

B Vrojtoni dhe mësoni

parë mënyrën e gjetjes së vlerave të funksioneve trigonometrike të këndeve 100, 200 etj. Në mënyrë të ngjashme gjenden vlerat e funksioneve trigonometrike të këndeve të plota nga 10 deri 890 Këto vlera jepen në tabelën përkatëse të vendosur në fund të kreut.

Me ndihmën e kësaj tabele mund të zgjidhen dy probleme:

1. Gjetja e vlerës së funksionit trigonometrik të një këndi.

Shembulli 1

a) sin32˚ = 0,5299

cotg71˚ = 0,3443

Shembulli 2

a) cos 73˚22’6” ≈ cos73˚ = 0,2924

tg34˚6’17” ≈ tg34˚ = 0,6745

2. Gjetja e këndit kur jepet vlera e një funksioni trigonometrik të tij.

Shembulli 3

Gjeni këndin α të tillë që tgα = 0,5543. Nga tabela gjejmë α = 29˚. Në qoftë se vlera e dhënë e funksionit trigonometrik nuk gjendet në tabelë merret ajo vlerë, e cila ndodhet më afër me të.

Shembulli 4

Gjeni këndin α kur jepet cosα = 0,9752. Vlera më e afërt me vlerën e dhënë është 0,9744 të cilës i korrespondon këndi 13˚. Pra, α ≈ 13˚.

6. SHPREHJET ME NJË NDRYSHORE 225 10. TRIGONOMETRIA NË TREKËNDËSHIN KËNDDREJTË 10.6

Në

Këndi α 10˚ 20˚ 30˚ 40˚ 50˚ 60˚ 70˚ 80˚ sinα cosα tgα cotgα

Kemi

Fig. 10.12 A B O 80˚ 70˚ 60˚ 50˚ 40˚ 30˚ 20˚ 10˚

Shembulli 5

Në trapezin barakrahës ABCD (fig. 10.13), jepen AB = 72 cm; DC = 45 cm dhe ∠DAB = α = 48˚. Gjeni: a) lartësinë e trapezit; b) syprinën e trapezit. Zgjidhje Ndërtojmë lartësitë DF dhe CE të trapezit. Nga kongruenca i trekëndëshave AFD dhe BEC (pse?) del se AF = EB. Kemi: EF = DC = 45 cm; AF + EB = 72 – 45 = 27 cm dhe AF = EB = 13,5 cm. a) Në trekëndëshin ADF kemi: DF = AF tgα = 13,5 tg48˚ = 13,5 1,1106 = 14,9931 cm. SABCD = AB + DC 2 · DF = 72 + 45 2 14,9931 = 58,5 14,9931 ≈ 877,1 cm2.

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. Gjeni sin52˚; cotg29˚; cos 15˚42’; cotg 75˚16’17”.

2. Gjeni këndet α dhe β kur jepet: tgα = 2,7475; cotgα = 0,7000; cosβ = 0,6162; sinβ = 0,8669.

3. Jepet trekëndëshi barakrahës me bazë 12 cm dhe brinjë anësore 10 cm. Gjeni: a) lartësinë e trekëndëshit; b) këndet e trekëndëshit; c) sipërfaqen e trekëndëshit.

USHTRIME

1 Gjeni vlerat e funksioneve trigonometrike të këndeve: 1˚; 7˚; 15˚; 25˚; 35˚; 40˚; 50˚; 66˚; 83˚; 89˚.

2 Gjeni këndin α, kur jepet: a) sinα = 0,8746; cosα = 0,9744; sinα = 0,5; b) tgα = 0,1763; cotgα = 0,4690; cosα = 0,3400; c) sinα = 0,8000; tgα = 1; cotgα = 1.

3 Dini se sin30˚ = 0,5. a) Pa përdorur tabelën, gjeni funksionet e tjera trigonometrike të këndit 30˚. b) Pa përdorur tabelën, gjeni funksionet trigonometrike të këndit 60˚.

4 Gjeni funksionet trigonometrike

5 Jepet sin39˚

6 Jepet tg72˚

këndit

Gjeni cotg72˚; tg18˚

përdorur tabelën, verifikoni vërtetësinë

sin15˚ = sin75˚;

radian.

cotg

barazimeve:

tg45˚ = cotg45˚; sin45˚ = cos45˚.

MATEMATIKA 9 226

Fig. 10.13

të

= 0,6293. Gjeni cos 51˚.

= m.

dhe

18˚.

cos22˚ = sin68˚;

b) sin π 3 = cos π 6 ; tg π 3 = cotg π 6 ; sin π 4 = cos π 4 ; sin π 6 = cos π 3 . c) tg π 5 cotg 3π 10 ; tg π 7 = cotg π 7 A C FEB D 48˚

Lidhjet ndërmjet brinjëve dhe këndeve në trekëndëshin kënddrejtë

A Kërkoni dhe zbuloni

Në trekëndëshin kënddrejtë ABC, jepet hipotenuza BC = 15 cm dhe sinusi i këndit të ngushtë α përballë kulmit A, sin α = 0,6. Gjeni elementet e tjera të trekëndëshit.

B Vrojtoni dhe mësoni

Jepet trekëndëshi kënddrejtë ABC (fig. 10.14).

1. Nga përkufizimi i funksioneve sinus dhe kosinus kemi: sin α = a c nga ku a = c · sin α (1) cos β = a c nga ku b = c · cos β (2)

Mbani mend:

Nga barazimi (1) mund të themi:

Fig. 10.14

Në trekëndëshin kënddrejtë, çdo katet është i barabartë me prodhimin e hipotenuzës me sinusin e këndit përballë këtij kateti.

Nga barazimi (2) mund të themi:

Në trekëndëshin kënddrejtë, çdo katet është i barabartë me prodhimin e hipotenuzës me kosinusin e këndit të anëshkruar këtij kateti.

2. Nga përkufizimi i funksioneve tangjent e kotangjent kemi: tg α = a b nga ku a = b · tg α (3) cotg β = a b nga ku a = b · cotg β (4)

Mbani mend:

Nga barazimi (3) mund të themi: Në trekëndëshin kënddrejtë, çdo katet është i barabartë me prodhimin e katetit tjetër me tangjentin e këndit përballë tij.

Nga barazimi (4) mund të themi:

Në trekëndëshin kënddrejtë, çdo katet është i barabartë me prodhimin e katetit tjetër më kotangjentin e këndit të anëshkruar tij.

Barazimet (1), (2), (3) dhe(4) përdoren për të gjetur elementet e panjohura të trekëndëshit kënddrejtë, kur jepen dy elemente të tij (të paktën njëri prej tyre duhet të jetë brinjë).

Shembulli 1

Në trekëndëshin kënddrejtë ABC, jepen c = 12 cm dhe α = 28˚. Gjeni β, a dhe b. Zgjidhje

Kemi: β = 90˚ – α = 90˚ – 28˚ = 62˚; a = c sinα = 12 sin28˚ = 12 0,4695 = 5,634 cm; b = c

cosα = 12

cos28˚ = 12 ⋅ 0,8829 = 10,5948 cm.

6. SHPREHJET ME NJË NDRYSHORE 227 10. TRIGONOMETRIA NË TREKËNDËSHIN KËNDDREJTË

10.7

⋅

A CB a c α β b

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. Në trekëndëshin kënddrejtë ABC jepen α = 51˚ dhe a = 10 cm. Gjeni β, b dhe c.

2. Kontrolloni vërtetësinë e pohimeve të mëposhtme: a) Sinusi i një këndi është më i vogël se 1.

b) Tangjenti i një këndi mund të jetë më i madh se 1.

c) Ka kënde për të cilat sinusi është i barabartë me kosinusin e tij.

d) Funksionet trigonometrike të këndit janë numra pozitivë. e) Ekziston këndi α, i tillë që sinα = 0,5 cm. f) Ekziston këndi α, i tillë që cosα = 2,51.

3. Gjeni x, y dhe z, duke shfrytëzuar raportet trigonometrike në figurën 10.15, ku AB//DC.

Fig. 10.15

USHTRIME

1 Gjeni elementet e panjohura të trekëndëshit ABC, kur jepet: a) α = 30˚ dhe c = 20 cm; b) α = 53˚ dhe b = 22 cm; c) α = 42˚ dhe c = 10 cm; d) c = 10 cm dhe a = 8 cm; e) α = 60˚ dhe a = 15 cm; f) a = 12 cm dhe b = 5 cm.

2 Jepet drejtkëndëshi me përmasa 8 cm dhe 15 cm. Gjeni gjatësinë e diagonales së tij, si dhe këndet që ajo formon me brinjët e drejtkëndëshit.

3 Rombi me brinjë 5 cm e ka njërën diagonale 8 cm. Gjeni: a) diagonalen tjetër të rombit; b) syprinën e rombit; c) këndet që formojnë diagonalet me brinjët e rombit.

4 Rezultantja e dy forcave pingule njëra me tjetrën është 50,8 N. Njëra nga forcat përbërëse është 27 N. Gjeni përbërësen tjetër, si dhe këndin që formon ajo me forcën rezultante.

5 Në një trapez kënddrejtë, bazat janë 80 cm dhe 28 cm. Lartësia e trapezit është 15 cm. Gjeni këndet e këtij trapezi.

6 Gjeni bazën e një trekëndëshi barakrahës me brinjë anësore 4 cm dhe kënd të brinjës anësore me bazën 65˚.

7 Kontrolloni nëse është e mundur që të kemi:

a) sin

b) sin α = 0,6 dhe

c) sin α =

d) sin

8 Këndi në kulm i një trekëndëshi barakrahës është 68˚. Baza e tij është 30 cm. Gjeni brinjët anësore të trekëndëshit.

MATEMATIKA 9 228

α = 2 2 dhe cos α = 1 2 ;

cos α = 0,4;

12 13 , cos α = 5 13 dhe tg α = 2 2 5 ;

α = 3 5 , cos α = 4 5 dhe tg α = 4 3 .

A C B 2 10 45˚50˚ z y x D

Çfarë mësuam? (Përsëritje)

Tashmë kemi mësuar

1 Shprehni shkallët në radian dhe radianët në shkallë.

30˚; 70˚; 30˚; b)

;

; 7

Provoni të zgjidhni Përkufizimin e funksioneve trigonometrike në trekëndëshin kënddrejtë:

radian.

2 Gjeni funksionet trigonometrike të këndeve α dhe β në trekëndëshi kënddrejtë ABC me ∠ ACB = 90o

a = 8 cm dhe b = 15 cm; b) c = 13 cm dhe a = 5 cm; c) b = 40 cm dhe c = 41 cm.

4 Gjeni funksionet trigonometrike të këndit në figurë.

10.16

3 Shprehni në shkallë e në radian masat e këndeve të një katërkëndëshi, nëse ato janë në raportin 4:7:11:14. Caktimin e vlerave numerike të funksioneve trigonometrike (sin, cos, tg) të disa këndeve në trekëndëshin kënddrejtë (30˚, 45˚, 60˚):

Duke shfrytëzuar funksionet trigonometrike, gjeni

dhe

në figurë.

Thjeshtoni shprehjet:

funksioneve

Cila nga shprehjet nuk është e vërtetë:

Vërtetoni

229 10. TRIGONOMETRIA NË TREKËNDËSHIN KËNDDREJTË 10.8

π 9

π 5

π 6

4 3 2 α Fig.

32 25˚ x y 2 58˚ Fig. 10.17 Caktimin e

trigonometrike të këndeve komplementare: 6

a) sin 20˚ cos 70˚; cos 10˚ · sin 20˚ tg 80˚ ; b) sin 35˚ · cos 35˚ sin 55˚ · cos 55˚; cos 42˚ + sin 48˚ 2sin 48˚ . 7

a) sin 30˚ cos 30˚ = 3 4 b) sin 15˚ = 1 4 ; c) sin 43˚ = cos 47˚ d) tg 60˚ = cos 30˚ cos 60˚ 8

barazimet: a) sin(40˚ + x) = cos(50˚ – x) b) cos(32˚ – x) = sin(58˚ + x)

Vërtetimin dhe zbatimin e identiteteve themelore trigonometrike:

9 Vërtetoni identitetin: tg2

– sin2

= tg2

10 Thjeshtoni shprehjet:

sin2

(1 – sinα)(1 + sinα) – cos2α; b) (1 – cosα)2 + (1 + cosα)2 – 2(1 – sin2α).

11 Vërtetoni barazimet:

1 + cos α sin α + tg α – 1 sin α · cos α = 1 sin α ;

1 + sin α cos α + cotg α – 1 sin α · cos α = 1 cos α ;

12 Vërtetoni barazimet:

cos60˚ = sin30˚; sin40˚ = cos50˚;

tg π 4 = cotg π 4 ; sin π 3 = cos π 6

13 Gjeni të panjohurat x, y dhe z në figurën 10.18.

Në figurën 10.19, gjeni të panjohurën x dhe y. 30

Zbatimin e kuptimeve elementare të trigonometrisë te detyrat problemore me trekëndësh kënddrejtë.

10.18

30 x y Fig. 10.19

Në trekëndëshi ABC (fig. 10.20) jepen AC = 70 cm, ∠CAH = 51˚ dhe ∠CBH = 30˚. Gjeni CH, AH, HB dhe CB.

10.20

MATEMATIKA 9 230

α ·

Fig.

70˚

30˚ 70 51˚ H

Fig.

58 42 62 x z

kënde

kotangjentin.

231 10. TRIGONOMETRIA NË TREKËNDËSHIN KËNDDREJTË 10.9 Vlerësim Koha: 45 minuta 1 Në rrafshin koordinativ, caktoni pikat A(–1; –2); B(2; 1); dhe C(2; –2). Shënoni ∠BAC = α dhe gjeni funksionet trigonometrike të tij. 3 pikë 2 Kontrolloni vërtetësinë e pohimeve apo barazimeve: a) Ekziston këndi α, i tillë që sinα = 1,9. b) Ka

për të cilat tangjenti është i barabartë me

c) sin 250 = cos 650 d) sin250 + cos250 = 5 e) tgα ⋅ cotgα = 1 f) cotg π 4 = 1 g) 60˚ = π 6 radian 7 pikë 3 Thjeshtoni shprehjen: S = sin(900 – α) ⋅ cosα + cos(900 – α) ⋅ sinα. 2 pikë 4 Jepet sin α = 4 5 . Gjeni funksionet e tjera trigonometrike të këndit α. 3 pikë 5 Në figurën 10.21, jepen CD = 4 cm; BD = 2 cm; AB⊥CD. Gjeni tgα. 3 pikë AD2 4 B C α Fig. 10.21 6 Në figurën 10.22, gjeni CA; CB dhe DB. 3 pikë AD25˚ 10 B C 42˚ Fig. 10.22 7 Këndi në kulm i një trekëndëshi barakrahës është 1200. Baza e tij është 30 cm. Gjeni brinjët anësore të trekëndëshit. 3 pikë 8 Vërtetoni identitetin: sin4α – cos4α = sin2α – cos2α 3 pikë 9 Thjeshtoni shprehjen cotg α – cos α 1 + sin α 3 pikë

TABELA E VLERAVE TË FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE

0,0175 0,9998 0,0175 57,2900

0,0349 0,9994 0,0349 28,6363

0,0523 0,9986 0,0524 19,0811

0,0698 0,9976 0,0699 14,3007

0,0872 0,9962 0,0875 11,4301

0,1045 0,9945 0,1051 9,5144

0,1219 0,9925 0,1228 8,1443

8˚ 0,1392 0,9903 0,1405 7,1154

9˚ 0,1564 0,9877 0,1584 6,3138

10˚ 0,1736 0,9848 0,1763 5,6713

11˚ 0.1908 0,9816 0,1944 5,1446

12˚ 0,2079 0,9781 0,2126 4,7046

13˚ 0,2250 0,9744 0,2309 4,3315

14˚ 0,2419 0,9703 0,2493 4,0108

0,7193 0,6947 1,0355 0,9657

0,7314 0,6820 1,0724 0,9325

0,7431 0,6691 1,1106 0,9004

0,7547 0,6561 1,1504 0,8693

0,7660 0,6428 1,1918 0,8391

0,7771 0,6293 1,2349 0,8098

0,7880 0,6157 1,2799 0,7813

0,7986 0,6018 1,3270 0,7536

0,8090 0,5878 1,3764 0,7265

0,8192 0,5736 1,4281 0,7002

0,8290 0,5592 1,4826 0,6745

0,8387 0,5446 1,5399 0,6494

0,8480 0,5299 1,6003 0,6249

0,8572 0,5150 1,6643 0,6009

15˚ 0,2588 0,9659 0,2679 3,7321 60˚ 0,8660 0,5000 1,7321 0,5774

16˚ 0,2756 0,9613 0,2867 3,4874 61˚ 0,8746 0,4848 1,8040 0,5543

17˚ 0,2924 0,9563 0,3057 3,2709 62˚ 0,8829 0,4695 1,8807 0,5317

18˚ 0,3090 0,9511 0,3249 3,0777 63˚ 0,8910 0,4540 1,9626 0,5095

19˚ 0,3256 0,9455 0,3443 2,9042 64˚ 0,8988 0,4384 2,0503 0,4877

20˚ 0,3420 0,9397 0,3640 2,7475 65˚ 0,9063 0,4226 2,1445 0,4663

21˚ 0,3584 0,9366 0,3839 2,6051 66˚ 0,9135 0,4067 2,2460 0,4452

22˚ 0,3746 0,9272 0,4040 2,4751 67˚ 0,9205 0,3907 2,3559 0,4245

23˚ 0,3907 0,9205 0,4245 2,2559 68˚ 0,9272 0,3746 2,4751 0,4040

24˚ 0,4067 0,9135 0,4452 2,2460 69˚ 0,9336 0,3584 2,6051 0,3839

25˚ 0,4226 0,9063 0,4663 2,1445 70˚ 0,9397 0,3420 2,7475 0,3640

26˚ 0,4384 0,8988 0,4877 2,0503 71˚ 0,9455 0,3256 2,9042 0,3443

27˚ 0,4540 0,8910 0,5095 1,9626 72˚ 0,9511 0,3090 3,0777 0,3249

28˚ 0,4695 0,8829 0,5317 1,8807 73˚ 0,9563 0,2924 3,2709 0,3057

29˚ 0,4848 0,8746 0,5543 1,8040 74˚ 0,9613 0,2756 3,4874 0,2867

30˚ 0,5000 0,8660 0,5774 1,7321 75˚ 0,9659 0,2588 3,7321 0,2679

31˚ 0,5150 0,8572 0,6009 1,6643

0,5299 0,8480 0,6249 1,6003

0,5446 0,8387 0,6994 1,5399

0,5592 0,8290 0,6745 1,4826

0,5736 0,8192 0,7002 1,4281

0,5858 0,8090 0,7265 1,3764

0,6018 0,7986 0,7536 1,3270

0,6157 0,7880 0,7813 1,2799

0,6293 0,7771 0,8098 1,2349

0,6428 0,7660 0,8391 1,1918

0,6561 0,7547 0,8693 1,1504

0,6691 0,7431 0,9004 1,1106

0,6820 0,7314 0,9325 1,0724

0,6947 0,7193 0,9657 1,0355

0,7071 0,7071

0,9703 0,2419 4,0108 0,2493

0,9744 0,2250 4,3315 0,2309

0,9781 0,2079 4,7046 0,2126

0,9816 0,1908 5,1446 0,1944

0,9848 0,1736 5,6713 0,1763

0,9877 0,1564 6,3138 0,1584

0,9903 0,1392 7,1154 0,1405

0,9925 0,1219 8,1443 0,1228

0,9945 0,1045 9,5144 0,1051

0,9962 0,0872 11,4301 0,0875

0,9976 0,0698 14,3007 0,0699

0,9986 0,0523 19,0811 0,0524

0,9994 0,0349 28,6363 0,0349

0,9998 0,0175 57,2900 0,0175

MATEMATIKA 9 232

Këndi sin cos tg cotg Këndi sin cos tg Cotg 1˚

46˚

2˚

47˚

3˚

48˚

4˚

49˚

5˚

50˚

6˚

51˚

7˚

52˚

53˚

54˚

55˚

56˚

57˚

58˚

59˚

76˚

32˚

77˚

33˚

78˚

34˚

79˚

35˚

80˚

36˚

81˚

37˚

82˚

38˚

83˚

39˚

84˚

40˚

85˚

41˚

86˚

42˚

87˚

43˚

88˚

44˚

89˚

45˚

1,0000 1,0000

TË DHËNAT DHE PROBABILITETI

Në fund të kësaj teme, nxënësi/ja:

• përcakton populacionin dhe mostrën gjatë një hulumtimi;

• interpreton në forma të ndryshme të dhënat statistikore (rendit rezultatet, i paraqet në formë tabelare dhe me diagrame në forma të ndryshme duke i vizatuar në fletore ose duke përdorur teknologjinë-programet aplikative) dhe përcakton vlerat mesatare të tyre (vlerën mesatare, modën dhe medianën);

• klasifikon ngjarjet e provave dhe i llogarit ato;

• interpreton përkufizimin klasik dhe statistikor të probabilitetit;

• identifikon vetitë e probabilitetit dhe i zbaton ato gjatë zgjidhjes së problemeve matematikore dhe atyre nga situata jetësore.

Fjalë kyçe: hulumtim, të dhëna statistikore, populacion, mostra, rezultate, tipari sasior, i vazhdueshëm, cilësor, denduria (frekuenca), denduria relative (frekuenca relative), klasa, denduria e grumbulluar, paraqitje grafike, diagrami shtyllë, diagrami rrethor, vlera mesatare, moda, mediana, ngjarje, probabilitet klasik, statistikor

A E DINI SE?...

Probabiliteti dhe statistikat, degë të matematikës kanë të bëjnë me rregulla që rregullojnë ngjarjet e rastit, duke përfshirë mbledhjen, analizën, interpretimin dhe shfaqjen e të dhënave numerike. Probabiliteti e ka zanafillën në studimin e lojërave të fatit në shekullin e 17-të, dhe tani është një mjet i domosdoshëm si i shkencave sociale ashtu dhe i shkencave natyrore. Statistikat mund të thuhet se e kanë origjinën në numërimin e regjistrimeve të marra mijëra vjet më parë. Megjithatë, si një disiplinë e veçantë shkencore, ajo u zhvillua në fillim të shekullit të 19-të si studimi i popullatave, ekonomive dhe veprimeve morale dhe, më vonë në atë shekull, si mjeti matematik për analizimin e numrave të tillë. Fjala “statistikë” rrjedh nga fjala latine status ose fjala italiane statista, dhe kuptimi i këtyre fjalëve është “shtet politik” ose “qeveri”.

233

11.1 Mbledhja dhe paraqitja e të dhënave

A Kërkoni dhe zbuloni

Një mësues fizkulture regjistroi të dhënat për shtatlartësinë e nxënësve të tij (të rrumbullakuar në centimetra):

166; 172; 175; 168; 169; 171; 172; 168; 163; 163; 169; 167; 170; 172; 173; 166.

a) Tregoni popullimin, individët dhe tiparin e vrojtuar. Ç’lloj tipari është?

b) Cila është vlera më e vogël e tiparit? Sa herë përsëritet ajo?

B Vrojtoni dhe mësoni

Studimi statistikor i një dukurie fillon nga gjetja e të dhënave për këtë dukuri. Këto të dhëna gjenden duke numëruar, duke matur ose duke pyetur.

Mbani mend:

Në praktikë përcaktohet një bashkësi E, si bimë, kafshë, njerëz etj., e cila është objekt i studimit. Kjo bashkësi E quhet popullim statistikor ose thjesht popullim. Çdo element i popullimit quhet individ, kurse vetia që studiohet tek objektet e popullimit quhet tipar statistikor ose ndryshore statistikore (më shkurt tipar ose ndryshore).

Të dhënat mund të mblidhen në mënyra të ndryshme. Kur të dhënat merren për të gjithë individët e popullimit, atëherë bëhet fjalë për regjistrim. Regjistrimi i përgjithshëm i popullsisë është një rast i tillë. Por, kur popullimi është i madh, atëherë regjistrimi mund të jetë i pamundur. Në këto raste, studiohet vetëm një pjesë e popullimit dhe thuhet se bëhet një sondazh apo anketë. Nënbashkësia e popullimit që merret në studim, quhet zgjedhje (mostër, kampion). Anketa apo sondazhet bëhen për të nxjerrë përfundime për çështje që ju interesojnë. Kampioni (Mostra) i zgjedhur nga një popullatë mund të na japë informacione tepër të dobishme për të, në qoftë se zgjidhet në mënyrë të përshtatshme.

Mbani mend:

Popullimi është bashkësia e të gjitha elementeve që po studiojmë. Kampioni (Mostra) është një nënbashkësi e këtij popullimi.

Tipari statistikor

Tipari statistikor ka natyrë të ndryshme. Shpeshherë, ai merr vlera numerike. Në këtë rast ai quhet tipar sasior. Tipare të tilla janë: mosha, pesha, gjatësia, numri i fëmijëve, prodhimi i grurit, temperatura, sasia e reshjeve etj. Në raste të tjera, ai quhet tipar cilësor. Tipare të tilla janë ngjyra e syve, vendbanimi, besimi fetar, vlerësimet e llojit “mirë”, “keq”, “mjaftueshëm”, “po”, “jo” etj. Këto cilësime quhen modalitete ose kategori të tiparit cilësor.

Mbani mend:

Tiparet sasiore janë dy llojesh, tipare sasiore diskrete dhe tipare sasiore të vazhdueshme.

MATEMATIKA 9 234

Tipari sasior quhet diskret, në qoftë se bashkësia e vlerave të mundshme të tij është e fundme.

Të tilla janë notat e nxënësve të një klase në një provim, numri i vëllezërve dhe i motrave që kanë nxënësit e shkollës, numri i dhomave të një shtëpie, numri i golave të shënuar në një ditë të kampionatit të futbollit etj.

Tipari sasior quhet i vazhdueshëm, në qoftë se ai mund të marrë të gjitha vlerat midis dy vlerave të dhëna.

Tipare të tilla janë: gjatësia e njeriut, pesha e tij, mosha, të ardhurat e familjes, niveli i ujit në rezervuar, sasia e karburantit të harxhuar, koha me të cilën nxënësit e klasës përshkojnë garën e 100 metrave etj.

Tabelat e dendurive

Për të nxjerrë përfundime, të dhënat e mbledhura në formën e një liste duhet të paraqiten në një formë të përshtatshme, duhen sistemuar

Në qoftë se tipari është sasior diskret ose cilësor, sistemimi bëhet duke ndërtuar një tabelë në të cilën shkruhen vlerat e tiparit (kur ai është numerik) ose modalitetet e tij (kur ai është cilësor). Përbri çdo vlere/modaliteti shënohet denduria (frekuenca) (numri i individëve që kanë këtë vlerë/modalitet) dhe denduria relative (frekuenca relative), që është herësi i dendurisë të vlerës/modalitetit me numrin e përgjithshëm të individëve. Shpeshherë, denduria relative shkruhet në përqindje.

Shembulli 1

Notat e nxënësve të klasës në një test vlerësimi janë:

4 3 3 2 2 4 2 2 4 3 5

2 5 3 3 2 1 3 5 4 3 4

2 2 3 4 4 3 4 2 2 3 2

3 3 3 2 2 4 3

Për t’iu dhënë përgjigje pyetjeve si: “Sa nxënës kanë marrë pjesë në testin e vlerësimit?”, ose “Sa nxënës kanë marrë notën 6?”, ose “Sa nxënës kanë marrë notë më të madhe se 7?” etj., është e nevojshme që të dhënat të sistemohen në një tabelë.

Në Tabelën 1, janë paraqitur vlerat e tiparit (notat 1, 2, 3, 4, 5), denduria për çdo notë dhe denduria relative e çdo note.

Tabela 1

Nota 1 2 3 4 5

Denduria 1 13 14 9 3

Denduria relative 1/40 13/40 14/40 9/40 3/40

Denduria relative e notës 4 është 9/40, e shprehur në përqindje ajo është 22,5%, me fjalë të tjera 22,5% e nxënësve të klasës kanë marrë notën 4 në provim.

Kur tipari është i vazhdueshëm ose të dhënat janë të shumta, atëherë ato sistemohen duke i grumbulluar në klasa. Për shembull, në qoftë se ju jeni duke mbledhur të dhëna për shpenzimet javore të 500 familjeve, atëherë është e natyrshme të prisni një numër të madh rezultatesh të ndryshme. Në këtë rast, mund t’i grupojmë shpenzimet në klasa shpenzimesh: sa familje shpenzojnë midis 100 dhe 120 euro, sa shpenzojnë midis 120 dhe 140 euro etj. Ne do të shohim kryesisht shembuj kur klasat kanë gjatësi të barabartë me njëra-tjetrën

7. SHPREHJET ME NDRYSHORE (VAZHDIM) 235 11. TË DHËNAT DHE PROBABILITETI

Denduria e grumbulluar

Në shembullin e Tabelës 1 është me interes të mësohet p.sh.: “Sa nxënës kanë marrë të shumtën notën 2?”, ose “Sa kanë marrë të shumtën notën 4?”, ose “Sa nxënës kanë marrë notë më të lartë se 3?” etj. Përgjigjen e japim duke gjetur për çdo notë, numrin e nxënësve që kanë marrë të shumtën këtë notë: x ≤ 2 : 14; x ≤ 3 : 28; Vazhdoni më tej llogaritjet. Përfundimet e gjetura në këtë mënyrë quhen denduri të grumbulluara. Për Tabelën 1, denduritë e grumbulluara do të jenë: Tabela 2

Nota

Denduria

2 3 4 5

13 14 9 3

Denduria relative 1/40 13/40 14/40 9/40 3/40

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. Disa shkronja të alfabetit në shqipen e shkruar ndeshen më shpesh se të tjerat. P.sh., shkronja “e”, ndeshet më shpesh se shkronja “z”. Zgjidhni një pjesë teksti dhe ndërtoni shpërndarjen e numrit të shkronjave që ndeshen në të. Me fjalë të tjera, ndërtoni një tabelë të dendurive të shkronjave të tekstit të zgjedhur. Cila është radha që do të propozonit ju për shkronjat e alfabetit tonë, po qe se do t’i radhitnit ato nga shkronja që ndeshet më shpesh te shkronja që ndeshet më rrallë? Krahasojeni rezultatin që keni gjetur me atë që kanë gjetur shokët e tjerë të klasës.

2. Ndërtoni një tabelë dendurish për të mbledhur të dhënat e mëposhtme mbi numrin e nxënësve që vonohen në shkollë, për çdo ditë mësimi gjatë një muaji: 11, 16, 11, 12, 15, 14, 13, 12, 14, 12, 13, 13, 11, 14, 14, 13, 14, 15, 14, 12, 15.

USHTRIME

1 Një nxënëse zgjodhi nga një libër 30 fjali dhe gjeti numrin e fjalëve në secilën prej tyre. Tregoni popullimin, individët dhe tiparin që studiohet. Përcaktoni llojin e tiparit.

2 Për të krijuar një përfytyrim për shpërndarjen e temperaturës gjatë gjithë vitit, një studiues mati dhe regjistroi temperaturat çdo të hënë të vitit. a) Tregoni popullimin, individët dhe tiparin e vrojtuar. Ç’lloj tipari është?

Tregoni zgjedhjen në këtë studim.

3 Dy nxënës në matematikë morën këto nota gjatë vitit shkollor:

pari: 2, 3, 3, 3, 4, 2, 3, 4, 4, 3;

dyti: 2, 3, 3, 4, 3, 3, 4. Paraqitini këto të dhëna

notës

një tabelë.

marrë secili prej

notën 3?

për

vogël

grumbulluar

është denduria

denduritë

numrit

MATEMATIKA 9 236

Denduria e grumbulluar 1 14 28 37 40

në

Sa herë e ka

tyre

relative e

secilin prej tyre? 4 U mat numri i këmbës për vajzat e një klase dhe u përftuan këto të dhëna: 38 35 37 37 36 35 36 38 38 37 36 35 40 39 37 36 36 37 37 38 Sa është denduria e numrit 38? Sa vajza e kanë numrin e këmbës më të

se 38 (gjeni

e grumbulluara)? Gjeni dendurinë relative dhe dendurinë relative të

të

38.

Paraqitjet grafike

A Kërkoni dhe zbuloni

B Vrojtoni dhe mësoni

Një shpërndarje statistikore mund të paraqitet me një tabelë, por ajo mund të paraqitet gjithashtu me anë të një grafiku. Kështu, përdoret diagrami me shtylla, që përdoret p.sh. kur tipari është cilësor. Në boshtin e abshisave zgjidhen aq segmente të barabarta sa janë modalitetet (ose kategoritë) e tiparit dhe me bazë këto segmente ndërtohen drejtkëndësha me lartësi sa denduria përkatëse ose të përpjesshme me të. Një diagram i tillë është ai i figurës 11.1, i cili është ndërtuar me të dhënat e shembullit 1 më poshtë.

Por shpërndarja mund të paraqitet edhe me anë të një diagrami rrethor, duke e ndarë një rreth në sektorë rrethorë me syprina të përpjesshme me denduritë.

Shembulli 1

Një ekip përbëhet nga 18 lojtarë, të cilët përfaqësojnë 4 klube sportive të ndryshme. Në tabelën e mëposhtme është treguar numri i lojtarëve sipas klubeve që ata përfaqësojnë:

Klubi A B C D Numri 7 6 3 2

Për të ndërtuar diagramin rrethor për këtë rast, vizatojmë në fillim një rreth dhe atë e ndajmë pastaj në aq sektorë sa janë modalitetet e tiparit. Madhësia e sektorit përcaktohet në mënyrë të përpjesshme me dendurinë e modalitetit. Në rastin tonë kemi 4 modalitete (klubet) dhe 18 anëtarë që përfaqësojnë klubet përkatëse. 360 duhen ndarë midis 18 lojtarëve, me fjalë të tjera çdo lojtar paraqitet me 20, sepse 360 ndahet në 18 pjesë të barabarta. Pastaj çdo klub paraqitet me një sektor, madhësia e të cilit është sa numri i përfaqësuesve të tij shumëzuar me 20. Ndërtojmë atëherë këtë tabelë:

Klubi sportiv

i përfaqësuesve

Madhësia e sektorit

7. SHPREHJET ME NDRYSHORE (VAZHDIM) 237 11. TË DHËNAT DHE PROBABILITETI 11.2

Paraqitni grafikisht në sistemin xOy të dhënat e tabelës: x 0 5 7 9 12 y 4 1 3 5 8 Bashkojini ato me segmente. Çfarë vini re?

Numri

A 7 140 B 6 120 C 3 60 D 2 40 Shuma 18 360 A 0,0 1,5 3,5 4,5 6,0 BC D Fig. 11.1

Diagrami rrethor është paraqitur në figurën 11.2.

Diagrami me shtylla është një paraqitje e përshtatshme për shpërndarjen statistikore edhe për një tipar sasior diskret. Në boshtin e abshisave zgjidhen segmente të barabarta me mese në vlerat e tiparit dhe mbi to ndërtohen drejtkëndësha me lartësi të përpjesshme me dendurinë e vlerës. Në figurën 11.3 është treguar diagrami me shtylla për të dhënat e shembullit 1 te mësimi 1, ku lartësitë e shtyllave janë marrë sa denduritë përkatëse.

Fig 11.3

Histogrami

Kur tipari sasior është i vazhdueshëm për paraqitjen grafike të shpërndarjes përdoret histogrami.

Si ndërtohet histogrami? Mendojmë se klasat në të cilat janë grupuar vlerat e tiparit, janë të barabarta. Në boshtin e abshisave, vendosim njëri pas tjetrit intervalet që përcaktojnë klasat e ndryshme (fig. 11.4). Me bazë këto intervale, ndërtojmë drejtkëndësha me lartësi sa denduria ose të përpjesshme me të.

Shumëkëndëshi i shpërndarjes

Shumëkëndëshi i shpërndarjes është një paraqitje tjetër grafike, e cila mund të përdoret në vend të histogramit. Në këtë rast, denduria vizatohet si një pikë mbi mesin e klasës ose grupit të të dhënave. Këto

një grafik.

MATEMATIKA 9 238

01 2 1 4 6 8 10 13 12 14 9 3 16 14 2 34 5

pika bashkohen pastaj për të formuar

C Ushtrohuni duke zbatuar 1. Në një klasë, në provimin e matematikës u morën notat që vijojnë: 3 5 4 5 3 3 4 3 5 3 2 3 3 3 2 4 4 5 3 4 4 4 3 2 4 3 1 3 2 3 3 5 3 2 3 4 2 2 2 2 3 3 5 4 3 3 2 3 4 2 3 3 2 1 2 a) Ndërtoni tabelën e dendurive dhe të dendurive relative të të dhënave të mësipërme. Plotësojeni atë me denduritë e grumbulluara. b) Ndërtoni diagramin me shtylla dhe shumëkëndëshin e shpërndarjes për denduritë dhe për denduritë e grumbulluara. 2. Temperaturat mesatare mujore të regjistruara në një qytet janë gjetur të tilla: Janar Shkurt Mars Prill Maj Qershor 7 7,9 10,8 13,3 16,9 20,5 Korrik Gusht Shtator Tetor Nëntor Dhjetor 22,8 22,5 19,9 15,4 11,2 8,1 Paraqitini këto të dhëna me një histogram. 3. Zgjidhni ushtrimet 1 dhe 2 dhe duke zbatuar programin Excel. Fig. 11.2 A D B C 3,0 0 0 1 1 2 3 4 5 5 6 4 0 6 82,4 161,8 241,2 320,6 400 Fig. 11.4

USHTRIME

7. SHPREHJET ME NDRYSHORE (VAZHDIM) 239 11. TË DHËNAT DHE PROBABILITETI

1 Në tabelë është treguar në përqindje përbërja kimike e një njeriu me peshë 70 kg. Paraqitini këto të dhëna grafikisht, sipas dëshirës suaj: Ujë Protide Lipide Gentide Kripëra minerale 76,2 11,1 9 0,2 3,5 2 Në një qytet, gjatë një viti, u regjistruan këto të dhëna për sasinë reshjeve (në mm): Muaji Sasia Muaji Sasia Muaji Sasia Janar 127 Maj 88 Shtator 25 Shkurt 118 Qershor 17 Tetor 48 Mars 17 Korrik 7 Nëntor 198 Prill 33 Gusht 4 Dhjetor 136 Ndërtoni një diagram me shtylla vertikale për të dhënat e gjetura. 3 Në tabelë janë treguar pagat mujore të punonjësve të një ndërmarrjeje të grupuara në klasa: a) Vizatoni histogramin. b) Vizatoni shumëkëndëshin e dendurive të grumbulluara. Paga 450-470 470-490 490-510 510-530 530-550 Numri i punonjësve 15 25 30 45 12 4 Më poshtë janë sistemuar të dhënat për shtatlartësinë e 300 djemve dhjetëvjeçarë (në cm): Shtatlartësia 120-125 125-130 130-135 135-140 140-145 145-150 150-155 Numri i djemve 4 21 64 93 74 32 12 a) Vizatoni histogramin e dendurive. b) Llogaritni denduritë e grumbulluara; bëni paraqitjen grafike të tyre. 5 Në tabelë është treguar shpërndarja e 33 nxënësve sipas numrit të vëllezërve dhe të motrave që ka secili prej tyre: Numri x i vëllezërve 0 1 2 3 4 5 Numri nx i nxënësve 9 13 7 3 0 1 a) Vizatoni diagramin me shtylla. b) Llogaritni denduritë e grumbulluara. c) Paraqitni grafikisht denduritë e grumbulluara. 6 Nxënësit e një shkolle janë klasifikuar sipas përparimit në mësime: A = “të dobët”; B = “mesatarë”; C = “të mirë”; D = “shumë të mirë”. Rezultatet e këtij klasifikimi janë: A B C D 15% 45% 30% 10% Paraqitini këto të dhëna me anë të një diagrami rrethor.

11.3 Paraqitjet grafike (vazhdim)

A Kërkoni dhe zbuloni

Jepet tabela e të dhënave si më poshtë:

Numri i golave të shënuar 0 1 2 3 4 Numri i ndeshjeve 4 20 55 18 3 Paraqiteni grafikisht atë.

B Vrojtoni dhe mësoni

Pamë që shpërndarja statistikore, përveçse me tabelë, mund të paraqitet edhe me grafik. Për këtë qëllim, në boshtin e abshisave vendosim vlerat e tiparit dhe në atë të ordinatave vlerat e dendurive. Le të shqyrtojmë këtë tabelë:

Tipari (nota) 1 2 3 4 5

Denduria (numri i nxënësve që kanë marrë notën përkatëse) 3 5 8 4 2

Denduria relative 3 22 5 22 8 22 4 22 2 22

Denduria relative në përqindje 14% 23% 36% 18% 9%

Në figurën 11.5 ndërtojmë grafikun duke vendosur në boshtin e abshisave notat e nxënësve (1, 2, 3, 4, 5), ndërsa në boshtin e ordinatave vlerat përkatëse të dendurive. Grafiku na ndihmon t’i japim përgjigje të menjëhershme pyetjeve të tilla si: “Cila notë ndeshet më shpesh?” Këtë e tregon ajo pikë e grafikut, e cila ndodhet më lart se të tjerat. Por grafiku mund të ndërtohet edhe duke vendosur në boshtin e ordinatave jo denduritë, por denduritë e grumbulluara. Ai jepet në figurën 11.6.

Efektivat e grumbulluara

Duke

vijë

thyer,

cila quhet

MATEMATIKA 9 240

0 1 1 2 2 3 3 4 5 Nota Nota Efektive

5 4 0 6 7 8 9 0 5 1 10 2 15 3 4 5 25 20 0 Fig. 11.5 Fig. 11.6

bashkuar “majat” e sipërme të shtyllave përkatëse formohet një

shumëkëndëshi statistikor i shpërndarjes

i shpërndarjes së dendurive dhe shpërndarjes

dendurive

vizatuar shumëkëndëshi

në dukje se, qoftë diagrami me shtylla, qoftë shumëkëndëshi

mund të ndërtohen edhe për dendurinë relative, edhe për dendurinë relative të grumbulluar

të shohim edhe një herë këtë tabelë, për një rast ku tipari është i vazhdueshëm:

160-164 165-169 170-175

6 12

grumbulluar

Denduria relative % 20%

27,5% 15% 30%

Në boshtin e abshisave vendosim intervalet që përcaktojnë klasat (150-154; 155-159) etj. Me bazë këto intervale dhe me lartësi sa denduria përkatëse ndërtojmë drejtkëndësha (fig. 11.9).

si lartësi marrim dendurinë e grumbulluar, paraqitja grafike jepet në figurën 11.10.

këtë rast, shumëkëndëshi

meset e sipërme të shtyllave përkatëse. (Në figurë, shumëkëndëshi është ndërtuar

vija të ndërprera)

në rastin

diagramit rrethor,

sektorit të qarkut është e përpjesshme

dendurinë përkatëse.

6. SHPREHJET ME NJË NDRYSHORE 241 10. TRIGONOMETRIA NË TREKËNDËSHIN KËNDDREJTË Në figurat 11.7 dhe 11.8 janë

statistikor

së

të grumbulluara. 0 1 1 2 2 3 3 4 5 Nota Nota 5 4 0 6 7 8 9 0 5 1 10 2 15 3 4 5 25 30 20 0 Fig. 11.7 Fig. 11.8 Vëmë

statistikor

Klasat 150-154 155-159

Denduria 8 3 11

Denduria e

8 11 22 28 40

7,5%

Nëse

0 5 10 150-154 155-159 160-164 165-169 170-174 15 25 30 35 40 20 0 2 4 150-154 155-159 160-164 165-169 170-175 6 10 12 14 8 3 8 11 11 6 12 8 Fig. 11.9 Fig. 11.10 Në

ndërtohet duke bashkuar

Pamë se,

madhësia e

Oqeani Paqësor

49,8% të sipërfaqes ujore.

Oqeani Atlantik zë 29% të sipërfaqes ujore.

Oqeani Indian zë 19,8% të sipërfaqes ujore.

Oqeani i Ngrirë i Veriut zë 1,4% të sipërfaqes ujore.

ndajmë harkun e rrethit prej 3600 në 4 pjesë të përpjesshme me sipërfaqet përkatëse.

Kemi: Oqeani Paqësor 0,498

Oqeani Atlantik 0,29 360˚

Indian 0,198

360˚

i Ngrirë i Veriut 0,014

360˚

duke zbatuar

të

parë të një

histogramin dhe shumëkëndëshin e shpërndarjes.

ushtrimin duke zbatuar

Excel.

i Ngrirë

Oqeani

Veriut

25 26

ndërtoi

shpërndarjes së dendurive.

MATEMATIKA 9 242 USHTRIME 1 Në tabelën e mëposhtme, jepet përqindja e sipërfaqes që zënë kontinentet: Azia Afrika Australia Amerika e Veriut Amerika e Jugut Evropa Antarktida Të tjerë 30% 20% 5% 16% 12% 7% 9% 1% Paraqiteni këtë tabelë me diagram me shtylla dhe diagram rrethor. 2 Dea mati temperaturën e mjedisit në orën 1200 të ditës, gjatë një jave dhe të dhënat i hodhi në tabelën e mëposhtme: Dita E hënë E martë E mërkurë E enjte E premte E shtunë E diel Temperatura 23˚ 22˚ 20˚ 24˚ 26˚ 20˚ 27˚ Paraqitni grafikisht këtë tabelë dhe ndërtoni shumëkëndëshin statistikor të shpërndarjes së dendurive dhe dendurive të grumbulluara. 3 Në një qytet, gjatë një viti, u regjistrua sasia e shiut në milimetra Të dhënat jepen në tabelë. Muaji Jan. Shk. Mar. Pri. Maj Qer. Korr. Gu. Sht. Tet. Nën. Dhj. Sasia 120 110 20 30 10 10 5 10 30 40 90 100 Paraqiteni grafikisht këtë tabelë dhe ndërtoni shumëkëndëshin statistikor të shpërndarjes së dendurive dhe dendurive të grumbulluar. 4 Një klub sportiv ka regjistruar sportistët e tij sipas sporteve. Sport Futboll Basketb. Volej. Atletikë Gjimnas. Not Shah Nr. i sportistëve 45 30 28 80 40 25 10 Paraqiteni grafikisht këtë tabelë dhe ndërtoni shumëkëndëshin statistikor të

Shembulli 1

zë

· 360˚ ≈ 179˚

≈ 105˚. Oqeani

≈ 71˚ Oqeani

≈ 5˚ C Ushtrohuni

1. Një nxënës vrojtoi numrin e fjalëve për 40 fjali

faqes së

libri dhe

tabelën e mëposhtme: Numri i fjalëve 1 – 5 6 – 10 11 – 15 16 – 20

–

Denduritë 8 12 5 7 6 2 Ndërtoni

Zgjidhni

programin

Paqësor 49,8% Oqeani Atlantik 29%Oqeani Indian 19,8% Oqeani

1,4 % Fig. 11.11

Mesataret

A Kërkoni edhe zbuloni

Në tri klasa të shkollës me 30, 35 dhe 40 nxënës, notat mesatare janë përkatësisht 2, 3, 4. Një nxënëse, duke dashur të gjejë notën mesatare të të tri klasave, veproi kështu: 2 +3 + 4 3 = 9 3 = 3. A veproi drejt ajo? Nëse jo, gjeni ju notën mesatare të nxënësve të tri klasave.

B Vrojtoni dhe mësoni

Një mënyrë për të krahasuar dy shpërndarje dhe për të parë ndryshimet midis tyre, është të vendosen ato pranë e pranë (tabelat ose grafikët). Kjo mund të kërkojë shumë kohë. Prandaj, janë gjetur mënyra të tjera për të përmbledhur të dhënat e një shpërndarjeje. Me këto mënyra llogariten disa vlera tipike, të cilat përfaqësojnë të dhënat dhe përmbledhin vetitë kryesore të tiparit. Me disa nga këto vlera tipike ju jeni njohur më parë. Ato janë moda, mesorja, mesatarja.

Mbani mend:

Modë quhet vlera ose klasa që ka dendurinë më të madhe. Një tipar mund të ketë shumë moda.

Në shembullin 1 në mësimin 1, moda është 3. Në grafikët e dendurive (diagrami me shtylla, histogrami, shumëkëndëshi i efektivave), moda është abshisa e pikës (klasa, për të dhënat e grupuara) me ordinatën më të lartë; të tilla mund të jenë disa.

Mesorja (mediana)

Mbani mend:

Mesorja (mediana) është vlera që i ndan të gjitha të dhënat e gjetura “më dysh”, kur ato janë radhitur nga më e vogla te më e madhja.

Kur numri i të dhënave është i vogël dhe ato nuk grupohen, për të gjetur mesoren, të dhënat radhiten sipas rritjes. Kur vargu ka një numër tek vlerash, mesorja është vlera e mesit. Kur vargu ka një numër çift vlerash, mesorja përcaktohet nga dy vlerat e mesit: çdo vlerë midis tyre mund të merret si mesore. Zakonisht merret gjysmëshuma e tyre.

Shembulli

mesit është

Shembulli

Vlera

mesit është midis

dhe 5,5. Atëherë, mesoren e marrim të barabartë

gjysmëshumën e tyre:

7. SHPREHJET ME NDRYSHORE (VAZHDIM) 243 11. TË DHËNAT DHE PROBABILITETI

1 Për të gjetur mesoren e të dhënave 1 4 7 5 6 3 3 2 1 5 1 në fillim i radhisim ato sipas rritjes: 1 1 1 2 3 3 4 5 5 6 7 Vlera e

e gjashta: 3.

2 Për të gjetur mesoren e të dhënave 4 5 4,5 6 5,5 6 në fillim i radhisim ato sipas rritjes: 4 4,5 5 5,5 6 6 11.4

•

5,25.

Mbani mend:

Mesatare (aritmetike) e të dhënave x1, x2, ... , xn quhet numri x1 + x2 + ... + xn n Shpeshherë e shënojmë x

Gjetja e mesatares me tabelat e dendurive

Në qoftë se të dhënat janë sistemuar në formën e një shpërndarjeje statistikore (xi, ni ) ku xi janë vlerat e vrojtuara dhe ni denduritë përkatëse, atëherë mesatarja është: x = n1x1 + n2x2 + ...nkxk N ku N është numri i përgjithshëm: N = n1 + n 2 + ... + nk. Pra, mesataren mund ta shkruajmë me anë të dendurive relative: x = f 1x1 + f 2x2 + ... + fkxk. Mesatarja aritmetike = (shuma e prodhimeve numër x denduri) : (shuma e dendurive) Kjo metodë përdoret kur denduritë janë të mëdha.

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. Gjeni mesoren, modën, mesataren aritmetike të secilës nga shpërndarjet e mëposhtme:

a) 6 9 7 6 12

b) 5 2 2 5 3 1 4 3 5 5 4 3

c) –1 –1 0 3 3 –2 –1 2 1 1 1 1

d) 7,1 8,0 2,9 5,2 7,3 6,6 5,6 8,9 3,4 2,7

2. Të ndërtohet një tabelë dendurish të grupuara për të mbledhur të dhënat e mëposhtme (paraqitet numri i sekondave gjatë të cilave njerëz të ndryshëm arrijnë ta mbajnë frymën): 10 24 16 37 36 32 34 21 18 26 22 35 31 31 26 16 31 11 40 13 42 dhe të përdoret ajo për gjetjen e modës dhe të mesatares aritmetike.

USHTRIME

1 Gjatë 14 vjetëve të fundit, sasia vjetore e reshjeve në një qytet ka qenë (në mm): 640 970 690 1075 870 695 661 615 840 810 890 890 1120 740 Gjeni modën dhe mesoren e këtyre të dhënave.

2 Në provimin e pranimit në universitet në një degë të tij, 10 nxënës nga rrethi A kanë arritur këtë numër pikësh: 73, 34, 45, 13, 98, 89, 47, 35, 72, 56. Ndërkaq, 10 nxënës nga rrethi B kanë arritur këtë numër pikësh: 60, 43, 62, 94, 11, 42, 41, 40, 70, 58. Gjeni mesoren e secilit nga grupet e të dhënave. Interpretoni rezultatet e gjetura.

3 Të dhënat e mëposhtme kanë mesore 5 dhe mesatare 7: 20; 5; 7; 2; 1.

Gjeni grupe të dhënash, të tilla që të plotësojnë kushtet e mëposhtme: a) 5 të dhëna, mesorja të jetë 9, mesatarja të jetë 10; b) 7 të dhëna, mesorja të jetë 5, mesatarja të jetë 4; c) 10 të dhëna, mesorja të jetë 7,5, mesatarja të jetë 8; d) 10 të dhëna, mesorja të jetë 10, mesatarja të jetë 10.

MATEMATIKA 9 244

USHTRIME

4 Gjeni mesoren dhe mesataren e secilës nga shpërndarjet e mëposhtme:

1 2 3 4

2 1 1

5 Tabela e mëposhtme tregon rezultatet e një ankete të kryer për numrin e fëmijëve në familjet e një qyteti:

i fëmijëve për familje

6 7 8

0 2 1 Gjeni mesoren për shpërndarjen e treguar.

familjeve

6 Dy autoshkolla A dhe B praktikojnë teste përpara se kursantet e tyre të kalojnë në provimin përfundimtar për marrjen e patentës. Në tabelën e mëposhtme janë përmbledhur të dhënat për numrin e testeve që kanë kaluar nxënësit e secilës autoshkollë përpara se të marrin patentën: Numri i testeve 1 2 3 4 5 6

Numri i nxënësve (A) 30 15 7 2 4 2 Numri i nxënësve (B) 45 23 17 10 5 0 Për secilën nga shpërndarjet e mësipërme, gjeni mesoren. Interpretoni rezultatet e gjetura.

7 Jepen të dhënat: 7 9 5 10 1 8 7 6 2 3 a) Llogaritni mesataren. b) Çdo vrojtimi, i shtojmë 3. Cila është mesatarja e re? Sa ndryshon ajo nga e para? c) Çdo vrojtim të serisë së parë e shumëzojmë me 7. Cila është mesatarja e re? Si ndryshon ajo nga e para?

8 Në një grup fëmijësh, u vrojtua mosha e fëmijëve dhe u gjetën këto rezultate:

Mosha 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Numri i fëmijëve 2 0 3 4 5 3 2 0 1 Gjeni moshën mesatare të këtij grupi fëmijësh.

të dhënave.

shtyllë.

këtë bllok

mësipërme

7. SHPREHJET ME NDRYSHORE (VAZHDIM) 245 11. TË DHËNAT DHE PROBABILITETI

a) 3 0 2 0 1 0 0 1

7 6 4 5 3 2 1 3

b) 65 17 71 38 83 90 92 68 75 56 34 c) 218 222 300 249 297 231 199 271 254 234 201 280 256 297 201

Numri

0 1 2 3 4 5

Numri i

10 14 9 6 5 2

Përdorni një tabelë dendurish për të llogaritur mesataren aritmetike të 20 numrave të mëposhtëm: 6; 2; 1; 5; 3; 1; 2; 4; 4; 3; 4; 5; 6; 2; 1; 1; 3; 2; 2; 5. 10 Në një përrua u mat prurja e ujit (në m3/sek) gjatë 7 ditëve të javës dhe u grumbulluan këto të dhena: Ditët E hënë E martë E mërkurë E enjte E premte E shtunë E diel Prurja 2.5 3.5 3.2 3 2.5 2.5 3.1 Ndërtoni tabelën me anë të programit Excel në kompjuter. Pasi ta keni selektuar gjithë tabelën, klikoni në menunë Insert. Do t’ju hapet një bllok ikonash e emërtuar Charts. Në

ikonash klikoni tek ikona Column. Do t’ju shfaqet paraqitja grafike e të dhënave të

me kolona. Me anë të këtij grafiku mund të bëhet analiza e

Provoni të realizoni paraqitjen grafike me: vijë, rrethore,

11.5 Hapësira e rezultateve dhe ngjarjet

A Kërkoni dhe zbuloni

Rrokulliset një zar kubik. Sa rezultate të mundshme ka kjo veprimtari? Sa prej këtyre rezultateve favorizojnë ngjarjen: ”bie numër tek”; “bie numër çift”; - “bie numër më i vogël se pesë”. Diskutoni.

B Vrojtoni dhe mësoni

Për caktimin e skuadrës që do të zgjedhë portën në një ndeshje futbolli hidhet shorti me një monedhë. Nëse shënojmë me S rënien e stemës dhe me T shënojmë rënien e faqes tjetër, atëherë rezultatet e mundshme të shortit janë 2: S, T. Kemi një bashkësi me dy rezultate të mundshme të eksperimentit H = {S, T}. Nëse hedhim short me dy monedha të ndryshme, kemi këtë bashkësi rezultatesh të mundshme: H = {SS, ST, TS, TT} (shënohet p.sh. ST, kur bie stemë te monedha e parë dhe ana tjetër te monedha e dytë).

Mbani mend: Veprimtarinë si p.sh. hedhja e shortit e quajmë eksperiment, kurse bashkësia H quhet hapësirë e rezultateve të eksperimentit.

Shembulli 1

Cilado shkronjë e fjalës FERIZAJ shkruhet në një fletë të veçantë. Eksperimenti është tërheqja rastësore e një flete. Tregoni hapësirën e rezultateve të këtij eksperimenti.

Zgjidhje

Kemi H = {F, E, R, I, Z, A, J}

Le ta zëmë se interesohemi për ngjarjen që shkronja në fletën e tërhequr të jetë zanore. Kjo ngjarje ndodh nëse fleta e tërhequr përmban E ose I, ose A. Pra, kësaj ngjarjeje i përgjigjet kjo nënbashkësi e hapësirës së rezultateve {E, I, A}. Çdo ngjarjeje i përgjigjet një nënbashkësi e hapësirës H së rezultateve të eksperimentit. Nëse fleta e tërhequr përmban bashkëtingëllore, themi se ngjarja e shqyrtuar nuk ndodh

Shembulli 2

Në një qese ka vetëm sfera të kuqe e blu. Nxjerrim prej saj dy sfera, njërën pas tjetrës. Shënoni hapësirën e rezultateve të eksperimentit, si edhe ngjarjen që sferat të kenë të njëjtën ngjyrë.

Zgjidhje

Meqenëse sfera mund të jetë e kuqe (në këtë rast shënohet k) ose blu (në këtë rast shënohet b), hapësira e rezultateve është bashkësia H = {kk, kb, bk, bb}. Ngjarjes që të dyja sferat të kenë të njëjtën ngjyrë i përgjigjet nënbashkësia {kk, bb} e H.

Eksperimentin e mësipërm mund ta mendoni të përbërë prej dy eksperimentesh më të thjeshta: prej atij të nxjerrjes së sferës së parë, që ka hapësirë rezultatesh H1 = {k, b} dhe atij të nxjerrjes së sferës së dytë, me hapësirë rezultatesh H2 = {k, b}.

MATEMATIKA 9 246

Hapësira e rezultateve të eksperimentit të nxjerrjes së dy sferave është H, të cilën mund ta paraqitim në dy mënyra (fig. 11.12).

kk k kkb

11.12

b bb

Shënojmë me H hapësirën e rezultateve të rrokullisjes së një zari kubik, në secilën nga faqet e të cilit është shënuar një nga numrat 1; 2; 3; 4; 5; 6. Hapësira e rezultateve të eksperimentit të rrokullisjes së një zari të tillë është H = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Eksperimenti i rrokullisjes së njëpasnjëshme të dy kubeve të tillë ka hapësirë rezultatesh me 6

6 = 36 elemente (fig.11.13).

11.13 Shembulli 3

secilën prej 5 fletëve është shënuar njëra nga shifrat 0, 1, 2, 3, 4. Tërhiqet njëra nga fletët, shihet çfarë del, kthehet në vend, bëhet përzierja dhe pastaj nxirret sërish një fletë (kjo quhet tërheqje me kthim). Shënoni hapësirën e rezultateve

këtij eksperimenti, si edhe ngjarjen që shuma e shifrave të jetë më e madhe se 6.

Zgjidhje

Një rezultat i eksperimentit

një dyshe të radhitur shifrash, ku shifra e parë është njëra nga ato të bashkësisë {0, 1, 2, 3, 4}, kurse shifra e dytë është përsëri njëra nga shifrat e bashkësisë {0, 1, 2, 3, 4}. Pra, hapësira H e rezultateve të eksperimentit ka 5 5 = 25 elemente dhe është: {00, 01, …, 04, 10, 11, ..14, …, 44}.

b) Ngjarjes që shuma e shifrave të jetë më e madhe se 6 i përgjigjet kjo nënbashkësi e H: {34, 43, 44}.

7. SHPREHJET ME NDRYSHORE (VAZHDIM) 247 11. TË DHËNAT DHE PROBABILITETI

k k b b b

bb H2 H2 H1 H1 bb k k k

k Fig.

1 1 2 2 3 23 44 52 3 4 4 5 5 6 6 H H Fig.

Në

të

shënohet me

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. Një numër është zgjedhur rastësisht ndërmjet 20 numrave të parë natyrorë. Tregoni hapësirën e rezultateve, si edhe ngjarjen që numri i zgjedhur të jetë i thjeshtë.

2. Dy numra janë zgjedhur rastësisht njëri pas tjetrit (me kthim) ndërmjet numrave 1, 2, 3, 4 (ky është eksperimenti). Në sa mënyra të ndryshme mund të formohet një çift i radhitur me këta numra? Tregoni hapësirën e rezultateve, si edhe ngjarjen që shuma e dy numrave të jetë tek.

3. Në një kuti ka 4 karamele të kuqe, 3 të verdha, 1 të zezë dhe 2 ngjyrë blu. Nga kutia zgjidhet rastësisht një karamele.

a) Cila ngjyrë ka më shumë mundësi për t’u zgjedhur?

b) Tregoni hapësirën e rezultateve.

c) Tregoni ngjarjen që karamelja e zgjedhur të mos jetë blu.

d) Ngjarja “karamelja e zgjedhur të jetë e zezë” dhe ngjarja “karamelja e zgjedhur të mos jetë e kuqe, as e verdhë, as blu”, a kanë të njëjtën mundësi ndodhjeje?

4. Një zar ka 12 faqe. Në të janë shënuar numrat nga 1 deri në 12. Hidhet zari.

a) Shënoni hapësirën e rezultateve të mundshme.

b) Shënoni nënbashkësinë e rezultateve që i përgjigjen ngjarjes A: “të bjerë një numër çift”.

c) Tregoni një ngjarje që ka të njëjtën mundësi ndodhjeje si ngjarja A.

USHTRIME

1 Një numër njëshifror është zgjedhur rastësisht (eksperimenti). Tregoni hapësirën e rezultateve, si edhe ngjarjen që numri të jetë çift.

2 Një numër zgjidhet rastësisht nga bashkësia e numrave të plotë që përfshihet në segmentin [–5,5]. Tregoni hapësirën e rezultateve, si edhe ngjarjen që numri të jetë negativ.

3 Një shkronjë është zgjedhur rastësisht nga ato të fjalës AUTOBUSI. Tregoni hapësirën e rezultateve, si edhe ngjarjen që shkronja të jetë bashkëtingëllore.

4 Dy numra janë zgjedhur rastësisht, njëri pas tjetrit (me kthim) ndërmjet numrave natyrorë nga 3 në 8. Tregoni hapësirën e rezultateve. Tregoni ngjarjen që shuma e numrave të jetë shumëfish i numrit 5.

5 Dy shkronja janë zgjidhur rastësisht njëra pas tjetrës (me kthim) nga ato të shkronjës “pesë”. Sa elemente ka hapësira e rezultateve? Tregoni atë, si edhe ngjarjen që të dyja shkronjat të jenë zanore.

6 Rrokulliset një kub dhe hidhet një monedhë. Sa elemente ka hapësira e rezultateve? Tregoni atë, si edhe ngjarjen që numri i kubit të dalë tek.

7 Dy qese përmbajnë sfera. Në të parën ndodhen sfera të bardha (b) dhe të kuqe (k), kurse në të dytën ndodhen sfera të kuqe (k) dhe gri (g). Nxirret rastësisht një sferë nga qesja e parë dhe një nga e dyta. Tregoni hapësirën e rezultateve, si edhe ngjarjen që asnjë sferë të mos jetë e kuqe.

MATEMATIKA 9 248

Kuptimi i probabilitetit

A Vrojtoni dhe mësoni

Zgjidhet rastësisht një numër njëshifror. Sa është probabiliteti i ngjarjes që numri i zgjedhur të jetë: a) i thjeshtë? b) shumëfish i treshit?

B Vrojtoni dhe mësoni

Prej një arke që përmban 7 sfera të bardha dhe 13 sfera të zeza të njëllojta (sferat e të njëjtës ngjyrë janë të dallueshme njëra nga tjetra, sepse kanë të shënuar numra) nxirret një sferë, shënohet ngjyra e saj dhe futet përsëri brenda. Nëse eksperimenti zhvillohet në mënyrë që secila sferë të ketë të njëjtën mundësi zgjedhjeje me sferat e tjera, atëherë themi që ai ka 20 rezultate njëlloj të mundshme. Ngjarja që të nxirret sferë e bardhë ka 7 rezultate. Nëse ju e përsëritni eksperimentin shumë herë, është e arsyeshme të prisni që në rreth 7 20 të herëve sfera që nxirrni të jetë e bardhë. Pikërisht ky numër quhet probabilitet i ngjarjes që si rezultat i eksperimentit të nxirret sferë e bardhë.

Mbani mend:

Le të jetë H hapësira e rezultateve të një eksperimenti që ka n rezultate njëlloj të mundshme Nëse ngjarjes A i përgjigjet nënbashkësia e H që përmban m elemente, atëherë probabilitet i ngjarjes A quhet raporti m n . Ky probabilitet shënohet P(A).

Nëse shënojmë n(A) dhe n(H) përkatësisht numrat e elementeve të ngjarjes A dhe të hapësirës së rezultateve H, kemi sipas përkufizimit P(A) = n(A) n(H)

Shembulli 1

Sa është probabiliteti i rënies së stemës në hedhjen e shortit me një monedhë?

Zgjidhje

Hapësira H e rezultateve të eksperimentit ka 2 rezultate njësoj të mundshëm, kurse ngjarja që na intereson ka 1, prandaj P(A) = 1 2 = 0,5 Për të kontrolluar këtë rezultat është bërë një numër i madh provash nga eksperimentues të ndryshëm. P.sh., Bufon bëri 4040 prova dhe i doli stemë 2048 herë (raporti afërsisht 0,5060); Pirson bëri 24 000 prova dhe i doli stemë 12 012 herë (raporti afërsisht 0,5005).

Mbani mend:

Ngjarja quhet e sigurt nëse bashkësia e rezultateve të saj është sa hapësira e rezultateve të eksperimentit (A = H). (Kjo ngjarje ndodh sa herë kryhet eksperimenti).

Ngjarja quhet e pamundur nëse bashkësia e rezultateve të saj është boshe (kjo ngjarje nuk ndodh asnjëherë kur kryhet eksperimenti). Është e qartë që për ngjarjen e sigurt kemi P(A) = n(H) n(H) = 1, kurse për ngjarjen e pamundur kemi P(A) = 0 n(H) = 0. Ngjarja që ndodh vetëm kur nuk ndodh ngjarja A, quhet ngjarje e kundërt e A dhe shënohet A

7. SHPREHJET ME NDRYSHORE (VAZHDIM) 249 11. TË DHËNAT DHE PROBABILITETI 11.6

Është

qartë që numri

elementeve të saj është n(H) – n(A), prandaj probabiliteti i saj është:

1. Përpara jush ndodhen 25 teza provimi të shënuara me numrat nga 1 deri në 25. Tërhiqni rastësisht një tezë. Sa është probabiliteti që teza e tërhequr të jetë me numër tek?

2. Në një qese ndodhen 30 sfera, prej të cilave 3 janë të ngjyrosura. Nëse nxirrni rastësisht 5 sfera njëherësh, sa është probabiliteti që asnjëra prej tyre të mos jetë e ngjyrosur?

USHTRIME

1 Në një raft ndodhen 10 libra: 1 me poezi, 2 shkencorë, 3 romane dhe 4 me tregime. Tërhiqni rastësisht një libër nga rafti. Sa është probabiliteti i ngjarjes që: a) të jetë libër shkencor; b) të mos jetë roman?

2 Shitësi i ofron një të verbëri mollë të 4 llojeve të ndryshme: 1 nga lloji I; 2 nga lloji II; 3 nga lloji III dhe 4 nga lloji IV. Mundësia për të zgjedhur ndonjërën nga 10 mollët është njëlloj për secilën. Sa është probabiliteti që të zgjidhet një mollë e llojit II? Po një mollë që nuk është e llojit I?

3 Një makinë për endje ka 100 fije të njëllojta, por me ngjyra të ndryshme: 10 të bardha, 20 të kuqe, 30 blu dhe 40 gri. Mundësitë për t’u këputur janë të njëllojta për çdo fije. Sa është probabiliteti që fija e këputur të jetë gri? Po që të mos jetë e kuqe?

4 Klasa ka 36 nxënës, që ulen në 3 kolona bankash, nga një djalë e nga një vajzë në secilën bankë, nga 6 banka në secilën kolonë. Mësuesi pyet rastësisht një nxënës. Sa është probabiliteti i ngjarjes që nxënësi i pyetur të jetë: a) djalë nga rreshti i parë? b) vajzë e kolonës së parë? c) vajzë ose djalë nga rreshti i fundit?

5 Nëse në një ditë të caktuar pritet të bjerë shi me probabilitetin 0,7, sa është probabiliteti që të mos bjerë shi atë ditë?

6 Në një qese ndodhen 2 sfera të bardha, 4 sfera të zeza dhe 6 sfera të kuqe. Nga qesja nxirret rastësisht një sferë. Sa është probabiliteti që ajo të jetë: a) e bardhë; b) jo e zezë; c) e verdhë; d) e bardhë, e zezë ose e kuqe?

7 Në një qese ndodhen 2 sfera të bardha, 4 sfera të zeza dhe 6 sfera të kuqe. Nga qesja nxirren rastësisht tri sfera. Sa është probabiliteti që ato të jenë:

a) të gjitha të zeza; b) të gjitha të kuqe; c) asnjëra e bardhë; d) jo të gjitha të kuqe; e) asnjëra blu?

MATEMATIKA 9 250

P(A) = n(H) – n(A) n(H) = 1 – n(A) n(H) = 1 – P(A). C Ushtrohuni duke zbatuar

Renditja e rezultateve të mundshme

A Kërkoni dhe zbuloni

Hidhen njëra pas tjetrës dy monedha. Drita mendon se lista e rezultateve të mundshme të eksperimentit është SS, TT, ST. A ka të drejtë ajo? Sa është probabiliteti i ngjarjes që të bien dy stema?

B Vrojtoni dhe mësoni

Mbani mend:

Ngjarje të papajtueshme për një eksperiment janë ato ngjarje që nuk mund të ndodhin njëkohësisht.

Shembulli 1

Rrokullisim një zar kubik. Ky eksperiment ka disa rezultate të mundshme (bie 1, bie 2 etj.). Këta rezultate nuk mund të ndodhin njëherësh. Dy ngjarje të lidhura me këtë eksperiment janë p.sh., “bie numër > 1”; “bie numër tek”. Këto ngjarje nuk janë të papajtueshme; ato ndodhin njëherësh kur bie 3 ose 5.

Në eksperimente të përbëra duhet ndjekur një metodë logjike për të renditur të gjitha rezultatet e mundshme.

Shembulli 2

Rrokulliset një zar kubik dhe hidhet një monedhë.

a) Shkruani të gjitha rezultatet e mundshme. b) Sa është probabiliteti i ngjarjes që të bjerë stemë dhe 5?

Zgjidhje

a) Renditim në fillim rezultatet që merren kur bie stema: S,1; S,2; S,3; S,4; S,5; S,6. Pastaj renditim të gjitha rezultatet kur bie ana tjetër: T,1; T,2; T,3; T,4; T,5; T,6.

b) Kemi gjithsej 12 rezultate të mundshme. Nga këto, vetëm njëri është rezultat për ngjarjen tonë, prandaj probabiliteti i kësaj ngjarjeje është 1 12

Shembulli 3

Dy zare në formë piramidash të rregullta trekëndore kanë të shënuara në faqet e tyre numrat 1, 2, 3, 4. Ata rrokullisen njëherësh.

a) Ndërtoni një tabelë me dy hyrje për të shënuar të gjitha rezultatet e mundshme të eksperimentit.

b) Sa është probabiliteti i ngjarjes që numri i dalë te zari i parë të jetë më i madh se numri i dalë te zari i dytë?

Zgjidhje

a) Tabela e rezultateve ka këtë pamje: b) Në tabelë shkruhen me të kuq rezultatet e ngjarjes së shqyrtuar. Numri tyre është 6. Numri i përgjithshëm i rezultateve të mundshme është 16, prandaj rezultati i kësaj ngjarjeje është 6 16 = 3 8 .

7. SHPREHJET ME NDRYSHORE (VAZHDIM) 251 11. TË DHËNAT DHE PROBABILITETI

Zari I 1 2 3 4 Zari 2 1 1,1 2,1 3,1 4,1 2 1,2 2,2 3,2 4,2 3 1,3 2,3 3,3 4,3 4 1,4 2,4 3,4 4,4 11.7

3 1 22 4 3 3 1 22 4 3

Shembulli 4

Rrokullisen dy zare kubike.

a) Bëni një tabelë me dy hyrje për të paraqitur të gjitha rezultatet e mundshme.

b) Sa është probabiliteti i ngjarjes që të bjerë i njëjti numër në të dyja zaret?

Zgjidhje

a) Tabela ka pamjen: Kemi gjithsej 36 rezultate të mundshme.

b) Në tabelë janë shënuar me të kuq rezultatet e ngjarjes “bie i njëjti numër te të dy zaret”. Ato janë 6. Prandaj probabiliteti i kësaj ngjarjeje është 6 36 = 1 6

C Ushtrohuni duke zbatuar

Zari 2

Zari

1 2 3 4 5 6

1 1,1 2,1 3,1 4,1 5,1 6,1

2 1,2 2,2 3,2 4,2 5,2 6,2

3 1,3 2,3 3,3 4,3 5,3 6,3

4 1,4 2,4 3,4 4,4 5,4 6,4

5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5

6 1,6 2,6 3,6 4,6 5,6 6,6

1. Në një restorant mund të zgjidhet pjata e parë në dy mënyra (sallatë ose supë) dhe pjata e dytë në 4 mënyra (peshk, rosto, bërxollë, biftek).

a) Shkruani të gjitha rezultatet e mundshme për menynë.

b) Sa rezultate kanë si pjatë të parë sallatën? Gjeni probabilitetin e ngjarjes që pjata e parë të jetë sallatë.

c) Sa rezultate kanë si pjatë të dytë peshk? Gjeni probabilitetin e ngjarjes që pjata e dytë të jetë peshk.

2. Agimi, Beni, Ceni dhe Drini marrin pjesë në një garë vrapimi.

a) Shkruani të gjitha rezultatet e mundshme për radhitjen e vendit të parë dhe të dytë.

b) Sa është probabiliteti i ngjarjes që i pari të dalë Beni dhe i dyti Drini? (ata janë njëlloj të aftë).

USHTRIME

1 Jeta bleu një picë dhe i bëri dy shtesa nga lista: ananas, portokaj, qershi, mollë, rrush (mund të merren dy porcione nga i njëjti lloj shtese).

a) Renditni të gjitha rezultatet e mundshme për zgjedhjen e dy shtesave.

b) Nëse zgjedhja e dy shtesave bëhet rastësisht, sa është probabiliteti që të mos kemi qershi në shtesat?

2 Besa i telefonon shoqes. Numri i telefonit i kësaj është me 6 shifra, por Besa mban mend vetëm 4 shifrat e para 2234. Ajo nuk i mban mend dy shifrat e fundit.

a) Besa fillon të bëjë prova për të gjetur numrin e telefonit duke e zgjedhur rastësisht dyshen e shifrave të fundit. Sa prova mund të bëhen gjithsej?

b) Sa është probabiliteti i ngjarjes që Besa ta gjejë numrin e duhur me provën e parë?

3 Drini ka 3 qese me karamele. Në secilën qese është futur i njëjti numër karamelesh të secilës nga ngjyrat: e kuqe, e verdhë, jeshile, blu. Drini zgjedh rastësisht nga një karamele prej secilës qese.

a) Renditni të gjitha rezultatet e mundshme për ngjyrat e këtyre karameleve.

b) Sa është probabiliteti që të paktën dy karamele të jenë të kuqe?

MATEMATIKA 9 252

11.8 Probabiliteti statistikor

A Kërkoni dhe zbuloni

Në një kuti shkrepëse shënojmë me A, B, C faqet duke filluar nga faqja më e madhe deri te faqja më e vogël. Hedhim kutinë dhe shqyrtojmë ngjarjet:

1. bie faqja A; 2. bie faqja B; 3. bie faqja C. Nëse secili prej jush do të luante lojën “Cili zgjedh faqen”, cilën faqe do të zgjidhnit?

B Vrojtoni dhe mësoni Është e kuptueshme se tri ngjarjet e mësipërme “Bie faqja A”; “Bie faqja B” dhe “Bie faqja C” nuk janë njëlloj të mundshme. Pra, nuk është e saktë nëse themi që p(A) = 1 3 ; p(B) = 1 3 ; p(C) = 1 3 . Rrjedhimisht, nëse përfundimet e një prove nuk janë njëlloj të mundshme, probabiliteti i ngjarjes nuk mund të gjendet si në rastin e hedhjes së monedhës apo zarit kubik. Atëherë, si duhet vepruar në raste të tilla? Duke e hedhur kutinë 1000 herë dhe duke shënuar rezultatet e secilës hedhje, një nxënës ka ndërtuar tabelën e mëposhtme:

Faqja Denduria Denduria relative në %

A 884 88,4%

B 85 8,5%

C 31 3,1%

Nga të dhënat e tabelës arrijmë në përfundimin se afërsisht në 88% të rasteve kutia bie A, afërsisht në 9% të rasteve bie B; në rreth 3% të rasteve bie C. Nga ky rezultat a mund të arrijmë në përfundimin që nëse e hedhim kutinë 30 herë, ajo do të bjerë 26 herë A, 3 herë B dhe 1 herë C? (Argumentoni përgjigjet!)

Meqë në rastin e 1000 hedhjeve, numri i tyre është shumë i madh, mund të pranohet se në rreth 1000 prova, 884 herë do të bjerë A. Themi që p(A) = 884 1000 . Pra, pikërisht dendurinë relative e quajmë probabilitet të ngjarjes A. Në dallim nga probabiliteti i ngjarjeve që ju keni mësuar, ky quhet probabilitet statistikor. Nga tabela gjejmë që p(B) = 85 1000 = 0,085 dhe p(C) = 31 1000 = 0,031 Shqyrtojmë hedhjen e një zari kubik. E hedhim atë

dhe shënojmë përfundimet në tabelë. (Këto përfundime janë marrë nga eksperimenti

zhvilluar

të Prizrenit.)

7. SHPREHJET ME NDRYSHORE (VAZHDIM) 253 11. TË DHËNAT DHE PROBABILITETI

1000 herë

në gjimnazin e qytetit

Numri 1 2 3 4 5 6 Denduria 162 173 170 168 171 156 Denduria relative 0,162 0,173 0,170 0,168 0,171 0,156 Vëmë re se denduritë relative janë afërsisht të barabarta me 1 6 ≈ 0,166. Rrjedhimisht, denduria relative mund të merret si një vlerë e përafërt e probabilitetit. Mbani mend: Denduria relative quhet probabilitet statistikor.

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. Hidhni një zar kubik 50 herë dhe plotësoni tabelën:

Numri 1 2 3 4 5 6

Denduria

Denduria relative Duke u bazuar në të dhënat e tabelës, përgjigjuni pyetjeve:

a) Sa është probabiliteti që të bjerë 5?

b) Sa është probabiliteti që të bjerë numër tek?

c) Sa është probabiliteti që të bjerë numër më i madh se 5?

2. Zbatoni në praktikë:

Arbri hodhi një pineskë 10 herë dhe ajo ra 7 herë me kokë poshtë. Besa hodhi një pineskë të ngjashme 43 herë dhe ajo ra 31 herë me kokë poshtë.

a) Njehsoni dendurinë relative që pineska të bjerë me kokë poshtë për secilin rast.

b) Cila nga këto denduri relative jep vlerësim më të mirë të probabilitetit?

USHTRIME

1 Shënoni në fleta letre emrat e pjesëtarëve të familjes suaj. Përziejini fletët. Tërhiqni njërën prej tyre, shënoni emrin dhe vendoseni përsëri mbi tryezë. Përziejini përsëri letrat dhe tërhiqni njërën. Realizojeni këtë provë disa hera (sa më shumë, p.sh. 100 apo 200 herë). Plotësoni një tabelë se sa herë doli secili emër. Ç’vini re?

2 Hidhni një zar kubik 100 herë dhe plotësoni tabelën:

Numri 1 2 3 4 5 6 Denduria Denduria relative Duke u bazuar në të dhënat e tabelës përgjigjuni pyetjeve: a) Sa është probabiliteti që të bjerë numër më i vogël se 3? b) Sa është probabiliteti që të bjerë numri 8?

3 Hidhni 2 monedha (një 1 euro dhe një 2 euro). Plotësoni tabelën, pasi t’i keni hedhur ato 100 herë. Rëniet e monedhave Numri i rënieve euro, euro euro, stemë etemë, stemë a) Sa është probabiliteti që të dy monedhat të bien Euro? b) Sa është probabiliteti që njëra monedhë të bjerë Euro e tjetra stemë?

4 Realizoni 100 hedhje të kutisë së shkrepëses dhe hartoni një tabelë të ngjashme me atë të shembullit të mësimit. Krahasoni denduritë për rëniet e faqeve A, B dhe C me atë të mësimit.

MATEMATIKA 9 254

11.9 Vetitë e probabilitetit

A Kërkoni dhe zbuloni

Hedhim një zar kubik me 6 numra të lojës “Mos u nxeh”.

a) Cilët janë rezultatet e mundshme të kësaj prove?

b) A janë njëlloj të mundshme rezultatet i) bie 2; ii) bie 5; iii) bie 6?

c) A ka rezultat tjetër veç rezultatit “Zari bie ose 1, ose 2, ose 3, ose 4, ose 5, ose 6”?

Gjeni probabilitetin e secilës ngjarje. Krahasoni vlerat e gjetura në secilin rast me 0 dhe 1. Çfarë vini re?

B Vrojtoni dhe mësoni

Veti të probabilitetit

1. Probabiliteti i çdo ngjarjeje është numër nga segmenti [0, 1].

Me të vërtetë, meqenëse A H, kemi n(A) n(H).

Por edhe n(A) ≥ 0. Kështu, 0 ≤ n(A) ≤ n(H). Që nga 0 ≤ n(A) n(H) ≤ 1, d.m.th. 0 ≤ n(A) ≤ 1.

Shembulli 1

Në hedhjen e zarit kubik, ngjarja “të bjerë numër çift më i vogël se 6” e ka probabilitetin p(A) = n(A) n(H) = 2 6 = 1 3 ⇒ 0 < 1 3 <1

2. Probabiliteti i ngjarjes së sigurt është i barabartë me 1. Me të vërtetë, meqenëse A = H, kemi n(A) = n(H). Kështu, p(A) = n(A) n(H) = 1.

Shembulli 2

Në hedhjen e zarit kubik, ngjarja “të bjerë numër natyror më i vogël se 7” e ka probabilitetin p(A) = n(A) n(H) = 6 6 = 1.

3. Probabiliteti i ngjarjes së pamundur është 0. Me të vërtetë, meqenëse A = ø, nuk ka asnjë element të H që favorizon ndodhjen e ngjarjes A.Pra n(A) = 0. Kështu p(A) = n(A) n(H) = 0.

Shembulli 3

Në hedhjen e zarit kubik, ngjarja “të bjerë numër natyror më i madh se 7” e ka probabilitetin p(A) = n(A) n(H) = 0 6 = 0.

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. Njehsoni probabilitetin që nga 52 letra të lojës të tërhiqet letra: a) me numër 10; b) me numër çift; c) me numër më të vogël se 8.

7. SHPREHJET ME NDRYSHORE (VAZHDIM) 255 11. TË DHËNAT DHE PROBABILITETI

2. Në një kuti ndodhen 5 topa të verdhë, 10 topa të zezë dhe 7 topa të kuq. Sa është probabiliteti i tërheqjes rastësisht:

a) topi i tërhequr të jetë i kuq;

b) topi i tërhequr të mos jetë i zi;

c) topi i tërhequr të jetë ose i zi ose i kuq.

3. Berti po përpiqet të vizatojë një ruletë sipas probabiliteteve që i ka thënë shoqja e tij, Gerta.

Ngjyra E kuqe E verdhë Blu Probabiliteti

Pse nuk është e mundur ta vizatosh këtë ruletë? Shpjegoni arsyen.

4. Një kuti përmban ëmbëlsira me shije limoni, luleshtrydhe dhe portokalli. Zgjidhet rastësisht një ëmbëlsirë.

P(limon) = 1 3 ; P(luleshtrydhe) = 1

Sa është numri më i vogël i ëmbëlsirave që mund të ketë kutia?

b) Sa është numri më i vogël i ëmbëlsirave me shije limoni?

5. Shkruani shkronjat e emrit tuaj. Shkruani tri fakte probabilitare në lidhje me probabilitetin që të zgjidhen shkronja të ndryshme ose kombinime të ndryshme shkronjash.

USHTRIME

1 Një monedhë hidhet 3 herë. Sa është probabiliteti që:

a) të bjerë tri herë lek?

b) të bjerë vetëm dy herë lek?

c) të bjerë vetëm një herë lek?

d) të mos bjerë asnjëherë lek?

2 Një zar kubik blu dhe një zar kubik i kuq hidhen njëkohësisht. Renditini në një tabelë të gjitha rezultatet e mundshme. Gjeni probabilitetin që të merret:

a) shuma e pikëve 100;

b) shuma e pikëve më i vogël se 6; c) shuma e pikëve më e madhe se 9; d) i njëjti rezultat në secilin rezultat.

3 Gjatë kolaudimit të pushkës, u vu re që në 1000 të shtëna, 200 nuk godasin në shenjë. Sa është probabiliteti që në 20 të shtëna, asnjëra të mos shkojë bosh? (mundësia e goditjes së shenjës është e njëjtë për të gjitha të shtënat)

4 Kur mbillen fidanët, në çdo 10 prej tyre, njëri nuk mbin. Sa është probabiliteti i ngjarjes që në 8 fidanë të mbjellë, të mbijnë tetë (mundësia e mbirjes është e njëjtë për secilin nga fidanët)?

5 Në 30 ditë pune, një makinë është 3 ditë me defekt. Duke pranuar që defekti është njëlloj i mundshëm për secilën nga ditët e muajit, sa është probabiliteti që në 15 ditë të zgjedhura rastësisht, makina të mos jetë me defekt në asnjë ditë?

6 Sa është probabiliteti që një numër i marrë rastësisht nga bashkësia e numrave natyrorë dyshifrorë të jetë i plotpjesëtueshëm me 2 ose 5?

MATEMATIKA 9 256

2 5 1 2 1

4 a)

Çfarë mësuam? (Përsëritje)

Tashmë kemi mësuar

Përcaktimin e populacionit dhe mostrës gjatë një hulumtimi:

Provoni të zgjidhni

1 Për të krijuar një përfytyrim për numrin e nxënësve për klasë, një studiues regjistroi numrin e nxënësve për klasë në disa shkolla të rajonit.

a) Tregoni popullimin, individët dhe tiparin e vrojtuar. Ç’lloj tipari është?

b) Tregoni zgjedhjen në këtë studim.

2 Duke matur shtatlartësinë e 40 fëmijëve njëvjeçarë në një konsultore u gjetën këto të dhëna (në cm):

75,3 81,4 85,3 70 93,2 76,8

84,5 84,2 85,1 77,6 83,1 81,2 87,9 83 82,8 71,7 89,2 88 78 72,3 88,1 78,5 71,4 82 89 84,1 85,3 83,2 87,1 81,4 83 77,4 75 81 85,1 70,4 76 90,1 84 77,6

Interpretimin në forma të ndryshme të të dhënave statistikore (rendit rezultatet, i paraqet në formë tabelare dhe me diagrame në forma të ndryshme duke i vizatuar në fletore ose duke përdorur teknologjinë-programet aplikative) dhe përcaktimin e vlerave mesatare të tyre (vlerën mesatare, modën dhe medianën):

Sistemojini të dhënat në një tabelë duke formuar klasat 70-75, 75-80 etj. Cila klasë ka dendurinë më të madhe? Po më të vogël? Sa fëmijë e kanë gjatësinë më pak se 85 cm? Po më shumë se 85 cm?

3 Jepet tabela: Tipari 0 1 2 3 4 Denduria 2 3 5 8 2 Gjeni modën, mesoren dhe mesataren.

4 Jepen numrat 15, 24, 27, 31, 38, x ku x është numri më i madh. Amplituda (ndryshimi midis vlerës më të madhe me vlerën më të vogël) e këtij vargu është 35. Gjeni x

5 Jepen numrat 3, 7, 10, 12. Cili numër duhet të shtohet në fund, në mënyrë që: a) moda e 5 numrave të jetë 10; b) mesorja e të 5 numrave të jetë 10.

6 Mesatarja e tri testimeve të një nxënësi është 78 pikë. Sa pikë duhet të fitojë ai në testimin e katërt, në mënyrë që mesatarja e katër testimeve të jetë 80 pikë.

257 11. TË DHËNAT DHE PROBABILITETI 11.10

Klasifikimin e ngjarjeve dhe provave dhe i llogarit ato:

7 Një kuti përmban 6 sfera të kuqe, 3 sfera të bardha, 4 sfera të verdha dhe 7 sfera portokalli. Sa është probabiliteti që sferë e tërhequr rastësisht:

a) të jetë e kuqe?

b) të jetë e verdhë?

c) të mos jetë e kuqe?

d) të jetë e bardhë ose portokalli?

8 Shkronjat e fjalës MUNDËSI janë futur në një kuti. Zgjidhet rastësisht një shkronjë. Sa është probabiliteti që ajo:

a) të jetë shkronja N?

b) të jetë shkronja D?

c) të jetë shkronja K?

d) të jetë një zanore?

9 Në një kuti ëmbëlsirash ka 3 karamele dhe 2 bonbone.

a) Sa është probabiliteti që të zgjidhet rastësisht një karamele?

b) Sa është probabiliteti që të zgjidhet rastësisht një bonbone?

10 Suela mori nga kutia një rruazë, pa e parë. Ajo mbajti shënim ngjyrën dhe më pas e futi sërish rruazën në kuti. Këtë veprim ajo e bëri 100 herë, nga të cilat 17 herë mori rruazën blu. Gjeni probabilitetin e tërheqjes së rruazës blu.

Interpretimin e përkufizimit klasik dhe statistikor të probabilitetit:

11 Drini mbajti shënim ngjyrat e makinave që kalojnë para shkollës së tij. Rezultatet tregohen në tabelë.

Ngjyra E kuqe E zezë Gri Blu Tjetër

Numri 12 18 22 13 6

Gjeni probabilitetin që:

a) makina që do të kalojë para shkollës do të jetë gri; b) dy makina që do të kalojnë njëra pas tjetrës para shkollës do të jenë gri.

Identifikimin e vetive të probabilitetit dhe zbatimin e tyre gjatë zgjidhjes së problemeve matematikore dhe atyre nga situata jetësore:

12 Një fabrikë prodhon llamba. Pronarët e fabrikës kanë gjetur probabilitetin që një llambë të jetë e dëmtuar gjatë prodhimit është 0,07. Sa është probabiliteti që llamba nuk është e dëmtuar?

MATEMATIKA 9 258

1 Jepet tabela e të dhënave:

3 9 5 14 10 7

y 12 13 9 1 8 8

a) Ndërtoni diagramin me shtylla dhe diagramin rrethor për të dhënat e tabelës. 4 pikë b) Gjeni karakteristikat e shpërndarjes (moda, mesorja, mesatarja aritmetike). 4 pikë

2 Në një kuti ka sfera të tri ngjyrave të ndryshme. Nxirret një sferë nga kutia, mbahet shënim ngjyra dhe futet prapë në kuti. E përsëritim këtë eksperiment 1000 herë. Në tabelë jepen rezultatet e këtij eksperimenti.

Ngjyra

E kuqe

Denduria

E bardhë 286

E gjelbër

a) Gjeni denduritë relative të çdo ngjyre.

b) Sa është probabiliteti që të nxjerrim sferën e kuqe?

c) Sa është probabiliteti që të nxjerrim sferën jo të bardhë?

d) Sa është probabiliteti që të nxjerrim sferën e zezë?

e) Sa është probabiliteti që të nxjerrim sferën jo të zezë?

3 U vrojtua një tipar dhe u morën të dhënat e mëposhtme:

Denduria relative

x 1 2 3 4 5 6

Denduria 6 9 8 6 3 3 Gjeni mesataren dhe mesoren.

1 pikë

4 pikë

4 Klasa ka 35 nxënës nga të cilët 20 janë djem. Në një testim, mesatarja e djemve të klasës është 7.6. Sa duhet të jetë mesatarja e vajzave të klasës, në mënyrë që mesatarja e klasës të jetë 8.8?

5 Në një arkë janë 30 detale, nga të cilët 5 janë me defekt. Merret rastësisht një detal. Sa është probabiliteti i ngjarjes që detali i nxjerrë të jetë: a) me defekt; b) pa defekt?

6 Në eksperimentin e hedhjes së një kubi, sa është probabiliteti i ngjarjes: a) bie një numër shumëfish i dyshit; b) bie një numër shumëfish i dyshit ose numri 5.

7 Rrokullisen dy kube. Sa është probabiliteti i ngjarjes: a) shuma e dy numrave është 11; b) të dy numrat janë të barabartë.

pikë

8 Një biolog mati nivelin e aciditetit (pH) të një grupi kampionesh dheu nga një fushë. Mesorja e të dhënave ishte 7,9. Vlerësoni probabilitetin që një kampion dheu i marrë nga kjo fushë, ka pH më të madh se 7,9. 2 pikë

259 11. TË DHËNAT DHE PROBABILITETI

605

109

Përsëritje

Bashkësitë numerike. Bashkësia R

1 Një tub uji e mbush depon për 3 orë, ndërsa një tub tjetër e zbraz atë për 4 orë. Në qoftë se të dy tubat hapen njëkohësisht, për sa orë do të mbushet depoja?

2 Vërtetoni

3 Jepet

numri

4 Jepen numrat racionalë

dhe b, të tillë që

< b. Vërtetoni se mesatarja aritmetike e tyre a + b 2 plotëson kushtin

5 Paraqitini me anën e ndryshores në boshtin numerik bashkësitë e mëposhtme numerike: a) [0; +∞[; b) ] 3; 3[; c) ]–∞; 2]; d) [ 5; 0]; e) ] 5; 0]. Për secilën prej tyre tregoni dy numra racionalë dhe

numra irracionalë që bëjnë pjesë në to.

Polinomet

260

x = 3 + 5 2 është numër irracional.

a ∊ Q dhe b ∊ I ku a ≠ 0. Vërtetoni se a · b ∊ I

a +

2 < b.

Rrënjët dhe fuqitë 1 Zgjidhni ekuacionin. a) x =10; b) 8 b = 8; c) x +1 = 0; d) 5 x = –15. 2 Ç’kusht duhet të plotësojë ndryshorja x, që të ketë kuptim shprehja: a) x 7 ; b) 6 3x – 6 ; c) 2x + 5 2 . 3 Njehsoni vlerën e shprehjes 9x2 – 12x + 4, nëse: a) x = 2 ; b) x = 3 2 ; c) x = – 12 3 4 Vërtetoni që vlera e shprehjes së mëposhtme është numër racional. a) (1 + 2 )(1 – 2 ); b) (2 3 – 1)(2 3 + 1); c) ( 5 + 2 10 )( 5 – 2 10 ). 5 Për ç’vlera të x është i vërtetë barazimi. a) x2 = –x; b) x2 – 2x + 1 = x – 1; c) x2 – 6x + 9 = 3 – x.

Hapni kllapat dhe reduktoni kufizat e ngjashme: a) 3(6 – 5x) + 17x – 10 b) 2(7,3 – 6a) + 3,2a – 9,6 c) 7(2z – 3) + 6z – 12

2 Vërtetoni që vlera e shprehjes: 3 5 x2

0,4xy

1,5

3 Zbërtheni në faktorë: a) ax – ab; b) 3x

4 Zbërtheni në faktorë

a) x3 – 3x2

x; b) 6x2

5 Zbërtheni në faktorë: a) x4 – 9; b) 25

6 Vërtetoni që vlerat

Shprehje thyesore racionale

nuk varet nga

d) –my + by.

c) 15a3 – 9a2 + 6a.

d) 1 16 – a4.

gjitha vlerat e plota të

plotpjesëtohen me

1 Gjeni bashkësinë e përcaktimit të thyesave. a) 2 1 – x ; b) x – 1 x + 1 ; c) x x – 5 ; d) 3x 9 – x2 ; e) x (x – 2)(x + 2) ; f) mx (x + a)(x – b) .

2 Thjeshtoni thyesat. a) 16x 24xy ; b) 4xy 20x2y ; c) 5m2n 25mn ; d) 10mx 15nx ; e) 4x2y2 6xy2 ; f) 14x2y2z (x + a)(x – b) .

3 Pasi të bëni faktorizimet e duhura, thjeshtoni thyesat. a) x + x2 3x + 3 ; b) y2 + y4 y – y2 ; c) x + x2 x2 – 1 ; d) m2 – n2 (m – n)2; e) 5a2 – 5ab 5(a – b)2 ; f) 6x2 – 6y2 9x2 – 9y2 ; g) a2 – b4 a3 + b3

4 Vërtetoni se vlera e thyesës mx + 2m – 6 – 3x 2mx – m – 6x + 3 nuk varet nga m.

5 Kryeni veprimet. a) 5x 12 + 3x 18 ; b) x 2 + x 5 –x 10 ; c) 3 x – 1 + 1 1 – x ; d) 4m + n m2 – n2 + n – m n2 – m2 ; e) 16x2y2 · ( 3a2b 25x5y4 );

Hyrje në gjeometri

1 Në trekëndëshin dybrinjënjëshëm,

brinjës

12. PËRSËRITJE 261

–

y + 1 – y

–2 5 xy + 0,6x2

– ax; c) ax – ay;

polinomin:

– 4x3 + 10x4;

– y6; c) x4 – y4;

e polinomit x3 – x për të

njëra brinjë është 15 cm, kurse tjetra 7 cm. Cila prej tyre është baza? 2 Në figurën 12.1 kemi AB = BC dhe ∠1 = 100˚. Gjeni masën e këndit ∠2 3 Dy kënde të një trekëndëshi janë të barabarta. Gjeni gjatësitë e brinjëve përballë tyre, duke ditur se perimetri i trekëndëshit është 40 cm dhe brinja e tretë është 10 cm. 4 Gjeni këndet e trekëndëshit dybrinjënjëshëm, nëse këndi në bazë është dy herë më i madh se këndi në kulm.

Në një trekëndësh dybrinjënjëshëm, këndi në kulm është 120o. Lartësia e hequr ndaj

anësore është a. Gjeni bazën e trekëndëshit dybrinjënjëshëm. AC 1 2 B Fig. 12.1

Kongruenca e trekëndëshave dhe njohuri të tjera gjeometrike

1 Drejtëza që është pingule me përgjysmoren e këndit ∠O, i pret brinjët e tij në pikat E dhe F (fig. 12.2). Vërtetoni që trekëndëshi OEF është dybrinjënjëshëm.

2 a) Formuloni fjalinë e anasjellë të teoremës: “Nëse trekëndëshi është dybrinjënjëshëm, atëherë përgjysmorja e këndit në kulm është edhe lartësi për brinjën përballë”.

b) Vërtetoni që fjalia e anasjellë është teoremë.

3 Në trekëndëshat ABC, A1B1C1 dihet që mesoret [AM] dhe [A1M1] janë kongruente, dhe [AB] = [A1B1], [BC] = [B1C1]. Vërtetoni që ΔABC = ΔA1B1C1.

4 Trekëndëshat dybrinjënjëshëm ADC dhe CBD kanë bazë të përbashkët [DC]. Drejtëza (AB) e pret segmentin [DC] në pikën M. Vërtetoni që MD = MC.

Katërkëndëshat

1 Vërtetoni që katërkëndëshi i mysët ABCD është paralelogram, nëse AB || CD dhe ∠A = ∠C.

2 Nëpër pikën e prerjes së diagonaleve të paralelogramit është hequr drejtëza. Tregoni që segmenti i saj i përfshirë midis brinjëve paralele, ndahet përgjysmë në këtë pikë.

3 Është dhënë katrori ABCD. Në secilën prej brinjëve të tij janë marrë segmente kongruente [AA1] = [BB1] = [CC1] = [DD1]. Vërtetoni që katërkëndëshi A1B1C1D1 është katror.

4 Nga kulmet B dhe D të paralelogramit ABCD (ku AB ≠ BC dhe ∠A është i ngushtë) janë hequr pingulet [BK] dhe [DM] ndaj drejtëzës (AC). Vërtetoni që katërkëndëshi BMDK është paralelogram.

Rrethi

1 Në rrethin me qendër O janë shënuar pikat A dhe B (fig. 12.3), të tilla që ∠AOB = 900. Segmenti [BC] është diametri i rrethit. Vërtetoni që [AB] = [AC].

2 Këndi midis diametrit [AB] dhe kordës [AC] është 30˚. Nëpër pikën C është hequr tangjentja që pret drejtëzën (AB) në pikën D (fig. 12.4). Vërtetoni që trekëndëshi ACD është dybrinjënjëshëm.

3 Këndi qendror është 40o më i madh se këndi rrethor që mbështetet mbi të njëjtin hark. Gjeni secilin nga këto kënde.

4 Të vërtetohet teorema: “Tangjentja me rrethin formon me kordën që ka njërin skaj në pikën e tangjencës, një kënd me masë sa gjysma e masës së harkut që pret korda”.

5 Në rreth është brendashkruar trekëndëshi ABC, brinja [AB] e të cilit është diametër i rrethit. Gjeni këndet e trekëndëshit, nëse harku e ka masën 106o

6 Përgjysmoret AA1, BB1 të këndeve të bazës AB, në trekëndëshin dybrinjënjëshëm ABC, priten në pikën M (fig. 12.5). Vërtetoni që drejtëza (CM) është pingule ndaj (AB).

MATEMATIKA 9 262

E M F O2 1 Fig. 12.2 A BC O Fig. 12.3 Fig. 12.4 AB C D Fig. 12.5 A B 1A 1 B M C

Syprinat e figurave

1 Brinjët e një drejtkëndëshi janë numra çift të njëpasnjëshëm. Syprina e tij është 108 cm2. Gjeni perimetrin e drejtkëndëshit.

2 Gjeni syprinën e trekëndëshit me bazë 2 cm dhe me këndet mbi bazë 30˚ dhe 45˚.

3 Gjeni lartësinë më të vogël të trekëndëshit me brinjë 25 cm; 29 cm; 36 cm.

4 Vërtetoni që mesorja e ndan trekëndëshin në dy trekëndësha të njëvlershëm (me syprina të barabarta).

5 Në figurën 12.6 jepen AB = BC; AC = 12 3 cm; BC = 2HB. Gjeni SABC

Ngjashmëria dhe homotetia

B HC Fig. 12.6

1 Dy brinjë homologe të dy trekëndëshave të ngjashëm janë 35 cm dhe 15 cm.

a) Gjeni koeficientin e ngjashmërisë.

b) Nëse njëra brinjë e trekëndëshit të dytë është 21 cm, gjeni brinjën homologe të saj në trekëndëshin e parë.

c) Syprina e trekëndëshit të parë është 392 cm2. Gjeni syprinën e trekëndëshit të dytë.

2 Katetet e një trekëndëshi kënddrejtë janë a = 5 cm dhe b = 12 cm. Hipotenuza e një trekëndëshi të ngjashëm me të është 26 cm. Gjeni katetet e trekëndëshit të dytë dhe syprinën e tij.

3 Në figurën

gjeni

figurën

M A

N O C M

cm.

12. PËRSËRITJE 263

12.7

x. Fig. 12.7 A BB E 8 6 x 10 10 4 C

Kordat AB dhe CD priten në pikën M (fig. 12.8). AB D C

Fig. 12.8 Fig. 12.9

Në

12.9 jepet rrezja e rrethit 10 cm dhe AC = OC = 6

Gjeni CB. A

Ekuacioni me një ndryshore

1 Ekuacioni ax + 5 = 7 ka si rrënjë numrin 4. Gjeni vlerën e a

2 Tre nxënës mbollën 78 pemë. I dyti mbolli 2 herë më shumë se i pari dhe i treti 12 pemë më pak se i pari. Sa pemë mbolli secili nxënës? A ka zgjidhje problema?

3 Për ç’vlerë të x:

a) Vlera e funksionit y = (3x – 1)(3x + 2) është 0.

b) Vlerat përgjegjëse të shprehjeve 3x2 – 4x + 3 dhe 2x2 + x – 3 janë të barabarta?

4 Një artikull shitet me çmim 800 lekë. Me sa lekë duhet të ulet çmimi, në mënyrë që çmimi i ri të jetë sa 30% e çmimit të parë?

5 Zgjidhni ekuacionin. a) (3x – 1)(x + 3) = x(1 + 3x); b) (x – 1)(x + 1) = 5(x – 2) + x2; c) x x + 2 + x + 2 x = 2.

Sisteme të ekuacioneve të fuqisë së parë me dy ndryshore

1 Është dhënë ekuacioni 3x – 2y = 6.

a) Pa ndërtuar grafikun, përcaktoni nëse ndodhet në të pika A(1; 4).

Gjeni pikën e grafikut me abshisë 2.

Gjeni pikën e grafikut me ordinatë 3.

2 Dy makina lëvizin njëkohësisht duke u nisur nga dy qytete A, B, që ndodhen në largësinë 300 km dhe takohen pas 2 orësh. Nëse i pari niset dy orë para të dytit, ata do të takohen 1 orë pas nisjes së të dytit. Sa është shpejtësia e secilës makinë?

3 Një numër dyshifror ka shumën e shifrave 8. Po t’u ndërrojmë vendet shifrave të tij, do të marrim një numër që është 18 njësi më i vogël se i pari. Cili është numri fillestar?

4 Caktoni koeficientet a, b, që grafikët e funksioneve y = ax + 2, y = bx + 5 të priten në pikën M(1; 3).

5 Një numër dyshifror ka shumën e shifrave 8. Po t’u ndërrojmë vendet shifrave të tij, do të marrim një numër që është 18 njësi më i vogël se i pari. Cili është numri fillestar?

Inekuacione lineare

1 Të gjendet numri natyror dyshifror që është më i vogël se 80, duke ditur se shifra e njësheve është 4 njësi më e vogël se shifra e dhjetësheve.

2 Sillni inekuacionin, me shndërrime të njëvlershme, në trajtën ax > b ose ax < b, dhe zgjidheni atë. a) 0,4(x – 1) + x > 0,2x + 5; b) 0,2x – 0,6 > 3(x + 1).

3 Zgjidhni inekuacionin, duke bërë shndërrime të njëvlershme.

5(x – 1) + 7 ≤ 1 – 3(x + 2); b) 4(a + 8) – 7(a – 1) < 12.

4 Për ç’vlera të y, vlera e thyesës 7 – 2y 6 është më e madhe se vlera përgjegjëse e thyesës 3y – 7 12 ;

5 Zgjidhni inekuacionin e dyfishtë.

–3 < 2x – 1 < 3; b) –12 < 5 – x < 12.

MATEMATIKA 9 264

6 Janë përzier 12 kg të një lloj mielli me 10 kg të një lloji tjetër mielli. Çmimi i miellit të parë është 25 lekë për kg, kurse çmimi i përzierjes del midis 22 dhe 30 lekë për kg. Sa është çmimi i miellit të dytë.

Matjet

1 Dy brinjë të trekëndëshit ABC janë AB = 12 cm, AC = 20 cm, kurse lartësia e hequr mbi brinjën AB është 10 cm. Gjeni: a) syprinën e trekëndëshit; b) lartësinë e hequr mbi brinjën AC.

2 Në trekëndëshin kënddrejtë, hipotenuza është 13 cm dhe njëri katet është 12 cm. Gjeni katetin tjetër.

3 Gjeni rrezen dhe gjatësinë e rrethit, duke ditur që një hark i tij me masë 30o e ka gjatësinë 15 cm.

4 a) Rrethi me rreze 10 cm hapet duke formuar një hark rrethi me rreze 25 cm. Gjeni masën në gradë të këtij harku.

b) Një litar me gjatësi 16 m, nën veprimin e peshës së vet formon një hark rrethi me masë 156o Sa është rrezja e këtij harku?

Vektorët në plan

1 Diagonalet e paralelogramit ABCD priten në pikën O. Gjeni shumat: a) DD + (OA + AB); b) BC + OA ; c) (BC + OA ) + DO

2 ABCD është një katërkëndësh i mysët dhe M një pikë e planit. Vërtetoni që, nëse MA MB = MD MC , atëherë katërkëndëshi është paralelogram.

3 Në trekëndëshin ABC, pika M është mesi i brinjës [AB]. Vërtetoni që CM = 1 2 (CA + CB).

4 Në drejtëzën d janë marrë pikat A, B, C (B ndërmjet A dhe C) të tilla që AB = 2 cm dhe BC = 3 cm. Gjeni numrin K,

12. PËRSËRITJE 265

të tillë që: a) AC = k · AB; b) BC = k · BA 5 Dihet që AB = 2 · AB; Vërtetoni që AB = BC Trigonometria në trekëndëshin kënddrejtë 1 Në një trekëndësh dybrinjënjëshëm, këndi në kulm është π 6 . Gjeni masat në radian të këndeve në bazë të këtij trekëndëshi. 2 Shprehni në gradë e në radian masat e këndeve të një katërkëndëshi, nëse ato janë në raportin 4:7:11:14. 3 Thjeshtoni shprehjet: a) sin α · cotg α cos α; b) cos α · tg α + sin α; c) sin2 α + cos2 α – 2. 4 Jepet cos α = 9 41 . Gjeni: a) Funksionet e tjera trigonometrike të këndit a. b) Funksionet trigonometrike të këndit plotësues të këndit a.

5 Nga një pikë jashtë një rrethi me rreze 5 cm, janë hequr ndaj tij dy tangjente me gjatësi 12 cm secila. Gjeni këndin ndërmjet këtyre tangjenteve.

6 Gjeni vlerën e shprehjeve: a) cos 60˚ 1 + cos 60˚ + cotg 45˚; b) cos2 30˚ – sin2 45˚ tg2 60˚ .

Gjeometria në hapësirë

1 Baza ABC e prizmit është trekëndëshi kënddrejtë ABC me katete AC = 3 cm dhe BC = 4 cm. Lartësia AM e prizmit është 6 cm. Gjeni syprinën anësore dhe syprinën e përgjithshme të tij.

2 Një prizëm e ka bazën katror me brinjë 28 cm. Lartësia e prizmit është sa 3 4 e brinjës së bazës. Gjeni vëllimin e prizmit.

3 Një pishinë ka formën e kuboidit me gjatësi 50 m dhe gjerësi 30 m. Ajo është mbushur me ujë me lartësi 2 m. Për sa kohë do të zbrazet pishina, në qoftë se nga tubat e shkarkimit dalin 20 m3 ujë në minutë?

4 Baza e piramidës është rombi me diagonale AC = 11 cm dhe BD = 6 cm. Lartësia SO e piramidës është 12 cm (O është pika ku priten diagonalet e rombit ABCD). Gjeni vëllimin e piramidës.

5 Rrezja e bazës së cilindrit është 5 cm. Lartësia e tij është sa diametri i bazës. Gjeni: a) syprinën anësore të cilindrit; b) syprinën e përgjithshme të cilindrit; c) vëllimin e cilindrit.

6 Tarraca e një pallati ka formën e një drejtkëndëshi me përmasa 50 m x 30 m. Ajo është mbuluar me borë me trashësinë 40 cm. Sa peshon bora mbi tarracë, në qoftë se 1 m3 borë peshon 120 kg?

7 Do të përgatitet një depozitë uji në formën e një kubi me brinjë 1,5 m. Sa llamarinë do të harxhohet për përgatitjen e saj nëse humbjet nga prerjet janë në masën 8 %.

8 Shënojmë me a – brinjën e kubit; p – perimetrin e bazës së tij; Sb – syprinën e bazës; Sa – syprinën anësore; Sp – syprinën e përgjithshëm dhe V – vëllimin. Plotësoni tabelën:

MATEMATIKA 9 266

a (cm) p (cm) Sb (cm2) Sa (cm2) Sp (cm2) V (cm3) 10 144 64 676 216 27

Referenca

• Korniza Kurrikulare e Arsimit Parauniversitar të Republikës së Kosovës, e rishikuar, gusht 2016.

• Kurrikula Bërthamë e Arsimit të Mesëm të Ulët të Kosovës (klasa VI, VII, VIII dhe IX), e rishikuar, gusht 2016.

• Kurrrikulat lëndore/programet mësimore, klasa e nëntë, Prishtinë, 2020.

• Debora Barton, Matematika 9, Tiranë, 2020.

• Udhëzues praktik për zbatimin e kurrikulës - fusha e kurrikulës - Matematika, prill 2018.

• Zhvillimi i shkathtësive të shekullit 21 në lëndën e matematikës - www. kec-ks.org.

• Neritan Babamusta, Edmond Lulja, Matematika 9, Tiranë, 2014.

• Neritan Babamusta, Edmond Lulja, Ushtrime matematike 9, Tiranë, 2014.

• https://www.google.al/

• https://www.dreamstime.com/