5. Numrat irracionalë

1.5 Numrat irracionalë

A Kërkoni dhe zbuloni

Jepet drejtkëndëshi me përmasa: a = 3 7 m dhe b = 4 7

m. Gjeni diagonalen e tij. A është kjo diagonale numër racional sikurse edhe përmasat e drejtkëndëshit? Gjeni katetin e trekëndëshit kënddrejtë, duke ditur hipotenuzën 2 cm dhe katetin tjetër 1 cm. Përdorni makinën llogaritëse për gjetjen e gjatësisë së katetit. Ç’vini re?

B Vrojtoni dhe mësoni

Shembulli 1

Gjeni diagonalen e katrorit me brinjë a = 1m. Duke shënuar me d, diagonalen e katrorit kemi: 2 2d a= + 2 2a d⇒ = 2 21 1+ ⇒ 2 d 2= ⇒ d 2 m.= Me anën e makinës llogaritëse, gjejmë se 2 1, = 414213... Vëmë re se ky është një numër dhjetor i pafundmë joperiodik. Më vonë do të vërtetojmë se nuk ekziston asnjë numër racional katrori i të cilit të jetë i barabartë me 2. Këtë numër e shënojmë 2 dhe e quajmë numër irracional.

Mbani mend:

Numrat irracionalë janë numra dhjetorë të pafundmë joperiodikë. Numrat irracionalë formojnë një bashkësi të pafundme, e cila shënohet me I.

Ne mund të gjejmë vlera të përafërta të 2 e pikërisht të tillë janë numrat 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142 … etj. Veç numrit 2 ka edhe numra të tjerë irracionalë pozitivë ose negativë. Të tillë janë p.sh.: 3; 5; 11; - 2,3; - 5 ; etj.7

– π

3; 5; 11; - 2,3; - 5 ; etj.7

– π

3; 5; 11; - 2,3; - 5 ; etj.7 π Në këtë mënyrë mund të shkruajmë: 2 ; - 17 I I∈ ∈ – ; 5,1 4 ; I I∈ ∈ ; ; 2,4 I etj.Iπ ∈ ∉ 7 2 ; - 17 I I∈ ∈ ; 5,1 4 ; I I∈ ∈ ; ; 2,4 I etj.Iπ ∈ ∉ 7

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. Gjeni gjatësinë e diagonales së drejtkëndëshit me përmasa të dhëna. Për secilin rast, tregoni nëse ajo shprehet me një numër racional apo irracional. a) 3 cm dhe 4 cm; b) 3 7 cm dhe 6 5 cm; c) 3 cm dhe 2 cm 2. Ndërmjet cilëve numra të plotë ndodhen rrënjët katror të numrave: a) ... < 3 < ...; b) ... < 7 < ...; c) ... < 12 < ...; d) ... < 2 3 < ...; 3. Duke përdorur makinën llogaritëse, krahasoni:

a) 3 + 4 3 + 4 ... b) 2,3 + 3,5 ... 7 – 4 c) 4 2 ... 7 2 5 + ... 1 2

USHTRIME

1 Gjeni lartësinë e trekëndëshit barabrinjës me brinjë 2 cm. A është numër racional? Argumentoni përgjigjen.

2 Gjeni katetin e panjohur b të trekëndëshit kënddrejtë, kur jepet hipotenuza c dhe kateti tjetër a.

Tregoni në secilin rast nëse ai shprehet me numër racional apo irracional. a) c = 13 cm dhe a = 5 cm; b) c = 10 cm dhe a = 6 cm; c) c = 9 cm dhe a = 1 cm.

3 Jepet bashkësia M={– 3; 2; 5; 7,3; 4 – ; 31; –4} Tregoni elementet e saj që janë: 5

a) numra negativë; b) numra natyrorë; c) numra të plotë;

d) numra racionalë; e) numra irracionalë.

4 Cilat nga shprehjet e mëposhtme nuk ka kuptim? a) 21; b) 132,7; c) –25; d) (–3)2

5 Zgjidhni ekuacionet në bashkësinë e treguar: a) x2 = 4 në N; Z dhe Q. b) x2 = –9 në N; Z; Q. c) 2x = 2 2 në N; Z; Q dhe I.

6 Duke përdorur makinën llogaritëse, krahasoni: a) 8 me 21; b) 12 me –2,12; c) (–3)3 me 2 · 3.

7 Për ç’vlera të x, kanë kuptim shprehjet e mëposhtme? a) x; b) x2; c) –x ; d) |–x|.

8 Jepet shprehja: 1+ 3. Në cilën bashkësi numerike gjendet rezultati i saj? Shkruani tri shprehje që kanë zgjidhje: a) në bashkësinë e numrave racional; b) në bashkësinë e numrave irracional.

9 Në një pemë Krishtlindjeje me lartësi h cm, numri i zbukurimeve që mund të vendosen në të jepet me formulën ( 12 : 20) · h. Gjeni numrin e zbukurimeve, që mund të vendosen në një pemë me lartësi: a) 1,5 m; b) 2,5 m.

10 Gjeni 0,25 dhe 0,36. Përdorni përgjigjet e gjetura për të njehsuar – 0,3 të rrumbullakosur në dy shifra pas presjes dhjetore.

11 Andi dëshiron të gjejë rrënjën katrore të 27. Ai e zgjidhi si më poshtë: 25 = 5 dhe 36 = 6. 36 është 11 më e madhe se 25. 27 është 2 më e madhe se 25. Kështu, rrënja katrore është madhe se 5, pra 5,2 e rrumbullakosur në një shifër pas presjes dhjetore. 2 11

A është e saktë zgjidhja e Andit? Diskutoni. më e