3. Rasti i dytë i ngjashmërisë së trekëndëshave

9.3 Rasti i dytë i ngjashmërisë së trekëndëshave

A Kërkoni dhe zbuloni

Punë në grup

Ndërtoni dy trekëndësha kënddrejtë, njëri me katete 3 cm, 4 cm dhe tjetri me katete 6 cm, 8 cm. Gjeni hipotenuzat e tyre. Matni këndet e secilit trekëndësh. Çfarë vini re? A janë të përpjesshme brinjët përkatëse të dy trekëndëshave? Diskutoni.

B Vrojtoni dhe mësoni

Teoremë:

Në qoftë se dy brinjë të njërit trekëndësh janë të përpjesshme me dy brinjë të trekëndëshit tjetër dhe këndet që formohen prej tyre janë kongruente, atëherë trekëndëshat janë të ngjashëm.

C

Vërtetim:

Në figurën 9.8, jepet ∠A = ∠A1 dhe Të vërtetojmë që ΔABC ∼ ΔA1B1C1. AB A1B1

= AC A1C1

Fig. 9.8

Vërtetim:

A B A1

Nisur nga rasti i parë i ngjashmërisë, mjafton të vërtetojmë që ∠B = ∠B1. Ndërtojmë trekëndëshin ABC2 në të cilin ∠1 = ∠A1 dhe ∠2 = ∠B1 (fig. 9.9). ∆ABC2 ∼ ∆A1B1C1 sepse kanë dy kënde kongruente, prandaj AB

A1B1 = AC2 A1C1 . Duke e krahasuar këtë barazim me kushtin del se AC A1C1

= AC2 A1C1 , pra AC = AC2. Kemi:

A 1

C1

C

∆ABC ≅ ∆ABC2 (brinja AB është e përbashkët, AC = AC2 dhe ∠A = ∠1, sepse që të dy janë të barabartë me ∠A1). Nga kjo rrjedh se ∠B = ∠2 dhe meqë ∠2 = ∠B1 del se ∠B = ∠B1. Teorema u vërtetua.

C2

Fig. 9.9

B1

2 B

Shembulli 1

Në trekëndëshin ABC është brendashkruar paralelogrami APNM (fig. 9.10) në të cilin AM AP = 2 3. Jepet AB = 10 cm dhe AC = 15 cm. Gjeni brinjët e paralelogramit.

C

P N

Zgjidhje Nga kushti AM AP = 2 3 Kemi kemi AM = 2x dhe AP = 3x; ΔABC ∼ ΔPNG (pse?).

A

AB PN = AC PC ⇒ 10 2x = 15 15 – 3x ⇒ 10(15 – 3x) = 30x ⇒ x = 2,5 nga ku

AM = 2 · 2,5 = 5 cm dhe AP = 3 · 2,5 = 7,5 cm.

M

Fig. 9.10

B

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. Në njërin krah të këndit A merren segmentet AB = 5 cm dhe AC = 16 cm. Në krahun tjetër të këndit, merren segmentet AD = 8 cm dhe AF = 10 cm. A janë të ngjashëm trekëndëshat ACD dhe

AFB? Argumentoni përgjigjen.

2. Në trekëndëshin ABC, jepet AB = 15 cm dhe AC = 20 cm. Mbi brinjën AB vendoset segmenti

AD = 10 cm dhe mbi brinjën AC vendoset segmenti AE = 12 cm. A janë të ngjashëm trekëndëshat

ABC dhe ADE?

3. Janë dhënë dy trekëndësha barabrinjës, njëri me brinjë 4 cm, kurse tjetri me brinjë 6 cm. A janë të ngjashëm këta dy trekëndësha dhe cili është koeficienti i ngjashmërisë?

4. Perimetri i dy trekëndëshave të ngjashëm qëndron në raportin 5:2, kurse shuma e dy brinjëve më të gjata është 42 cm. Të njësohen gjatësitë e këtyre brinjëve.

USHTRIME

1 Këndet B dhe B1 të trekëndëshave ABC dhe A1B1C1 janë të barabarta. Brinjët e trekëndëshit ABC, që formojnë këndin B janë 2,5 herë më të mëdha se brinjët e trekëndëshit A1B1C1 që formojnë këndin B1. Gjeni brinjët AC dhe A1C1, në qoftë se shuma e tyre është 4,2 cm.

2 Katetet e një trekëndëshi kënddrejtë janë 7 cm dhe 24 cm. Hipotenuza e një trekëndëshi të ngjashëm me të është 75 cm. Gjeni katetet e trekëndëshit të dytë.

3 Dy trekëndësha dybrinjënjëshëm e kanë këndin në kulm 750. Baza e trekëndëshit të parë është 51 cm. Gjeni bazën e trekëndëshit të dytë, në qoftë se brinja anësore e trekëndëshit të parë është sa 75% e brinjës anësore të trekëndëshit të dytë.

4 Një trekëndësh dybrinjënjëshëm e ka bazën 21 cm dhe perimetrin 49 cm. Gjeni perimetrin e një trekëndëshi të ngjashëm me të, i cili e ka brinjën anësore 4 cm.

5 Bazat e trapezit janë m dhe n. Gjeni raportin në të cilin diagonalet ndajnë njëra-tjetrën.

6 Një drejtëz kalon nga pikëprerja e diagonaleve të trapezit dhe e ndan bazën e madhe në raportin 5:2. Në ç’raport ndahet baza e vogël e trapezit?

7 Vërtetoni se dy trekëndësha dybrinjënjëshëm, që e kanë këndin në kulm të barabartë, janë të ngjashëm.

8 Koeficienti i ngjashmërisë së dy trekëndëshave është 1 3. Brinjët e trekëndëshit të parë janë përkatësisht 5 cm; 7 cm dhe 8 cm. Brinja e trekëndëshit të dytë, përkatëse e brinjës 5 cm është 10 cm më e gjatë se ajo. Gjeni brinjët e trekëndëshit të dytë.