Nxjerrja në dukje e faktorit të përbashkët

2.4 Shumëzimi i monomit me polinom. Nxjerrja në dukje e faktorit të përbashkët

A Kërkoni dhe zbuloni

Shumëzoni monomin 5x me polinomin x – 7. Argumentoni veprimet e kryera.

A Vrojtoni dhe mësoni

Shumëzimi i monomit me polinom

Le të shumëzojmë monomin 2x me polinomin 5x2 – 3x + 7. Shkruajmë prodhimin e tyre dhe e shndërrojmë atë, duke përdorur vetinë e shpërndarjes. 2x(5x2 – 3x + 7) = 2x · 5x2 + 2x(–3x) + 2x · 7 = 10x3 – 6x2 + 14x.

Mbani mend:

Për të shumëzuar monomin me një polinom duhet të shumëzohet ky monom me secilën kufizë të polinomit dhe të mblidhen prodhimet që merren.

Nxjerrja në dukje e faktorit të përbashkët

Gjatë zgjidhjes së ekuacioneve, kryerjes së llogaritjeve dhe në një sërë problemash të tjera është e dobishme të zëvendësohet një polinom me prodhimin e disa polinomeve të tjera (midis të cilave mund të ketë edhe monome).

Mbani mend:

Paraqitjen e polinomit në trajtën e prodhimit të dy ose disa polinomeve e quajmë zbërthim (faktorizim) të polinomit në faktorë.

Shembulli 1

Shqyrtojmë polinomin 6x2y + 15y2. Çdo kufizë të tij mund ta zëvendësojmë me prodhimin e dy faktorëve, njëri nga të cilët është 3y. 6x2y + 15y2 = 3y · 2x2 + 3y · 5y Shprehjen 3y · 2x2 + 3y · 5y, në bazë të vetisë së shpërndarjes [në trajtën e anasjellë ab + ac = a(b + c)] mund ta shkruajmë si prodhim dy faktorësh, njëri nga të cilët është faktori i përbashkët 3y. 3y · 2x2 + 3y · 5y = 3y(2x2 + 5y) Pra, 6x2y + 15y2 = 3y(2x2 + 5y)

Ne e zbërthyem polinomin e dhënë në faktorë, njëri nga të cilët është monomi 3y dhe tjetri polinomi 2x2 + 5y. Këtë mënyrë zbërthimi të polinomit në faktorë e quajmë nxjerrje në dukje të faktorit të përbashkët jashtë kllapave. Për gjetjen e faktorit të përbashkët që nxjerrim në dukje, përdorim këto rregulla: 1. gjejmë P.M.P. e koeficienteve të të gjitha kufizave të polinomit; 2. për secilën ndryshore, merret si faktor fuqia më e vogël në të cilën ajo figuron në kufizat e polinomit; 3. merret prodhimi i faktorëve të përbashkët të gjetur, numerikë e shkronjorë; ky është faktori përfundimtar i përbashkët; 4. paraqitet çdo kufizë e polinomit si prodhim i faktorit përfundimtar të përbashkët të gjetur me një faktor tjetër (plotësues); 5. nxirret në dukje faktori i përbashkët d.m.th. bëhet zbërthimi i polinomit.

Shembulli 2

Të zbërthehet në faktorë polinomi –15x2y3 – 30x3y2 + 45x4y.

Zgjidhje 1. P.M.P. i koeficienteve (–15; –30; 45) është 15. 2. Nga fuqitë e x: x2 , x3 , x4 do të merret si faktor x2. Nga fuqitë e y: y3 , y2 , y do të merret si faktor y. 3. Faktori i përbashkët që do të nxjerrim në dukje është 15x2y. 4. Shkruajmë: –15x2y3 = 15x2y(–y2) –30x3y2 = 15x2y(–2xy) 45x4y = 15x2y(3x2) 5. Kemi –15x2y3 – 30x3y2 + 45x4y = 15x2y(–y2 – 2xy + 3x2).

Shembulli 3

Të zbërthehet në faktorë 3x(a – 2b) + 7(a – 2b).

Zgjidhje Në këtë shumë, çdo kufizë ka si faktor të përbashkët shprehjen në kllapa (a – 2b). Duke e nxjerrë këtë faktor në dukje kemi: 3x(a – 2b) + 7(a – 2b) = (a – 2b)(3x + 7)

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. Kryeni shumëzimet: a) 2x(x2 – 5x + 4); b) (–4a2)(a – 2); c) (3y2 – y + 5)(2y).

2. Paraqitni në trajtë polinomi shprehjet e mëposhtme: a) 6x(x – 3) –x(2 – x); b) –x2(3x – 5) + 4x(x2 – x); c) (x – 1)2x – (x – 3)x. 3. Zbërtheni në faktorë: a) 2ax2 + 4a2x + 6a2x2; b) 3(2x – 7) + y(2x – 7).

USHTRIME

1 Thjeshtoni shprehjet dhe gjeni vlerën e tyre: a) 3(2x – 1) + 5(3 – x) për x = 1,5; b) 25x – 4(3x – 1) + 7(5 – 2x) për x = 11.

2 Vërtetoni që shprehja e mëposhtme është identike me 0. a) a(b – c) + b(c – a) + c(a – b); b) x(y + z – yz) – y(z + x – zx) + z(y – x).

3 Zgjidhni ekuacionet: a) 5x + 3(x – 1) = 6x + 11; b) 3x(2x – 1) – 6x(7 + x) = 90.

4 Shprehjet 6x2y, 8a2 paraqitini në trajtë prodhimi dy faktorësh në sa më shumë mënyra.

5 Shprehjet 6x2y, –20x2y2 paraqitini si prodhim dy faktorësh, ku njëri të jetë: a) x; b) xy; c) 2xy.

6 Gjeni faktorë të përbashkët në shprehjet e mëposhtme: a) 4a; 12b; b) 2xy; x2; xy2; c) 15xy; 6xy2; 9y3 .

7 Zbërtheni në faktorë: a) 2a(x + y) + b(x + y); b) 3(a – b) – x(a – b); c) a(x – 3) + b(3 – x); d) 3(2x – 7) + a(7 – 2x).