9. Zbatime të sistemit të ekuacioneve lineare me dy ndryshore

7.9 Zbatime të sistemit të ekuacioneve lineare me dy ndryshore

A Kërkoni dhe zbuloni

Paraqitni fjalitë e mëposhtme në trajtën e barazimeve me dy ndryshore. a) Një drejtkëndësh me përmasa x, y (cm) e ka perimetrin 120 cm. b) Një drejtkëndësh me përmasa u, v (cm) e ka syprinën 64 cm2 . c) Për 3 fletore me çmim x euro dhe dy stilolapsa me çmim y euro u paguan 3,50 euro. d) Një çiklist përshkoi 50 km duke lëvizur për 2 orë me shpejtësi x km/orë dhe për 1 orë me shpejtësi y km/orë.

B Vrojtoni dhe mësoni

Shembulli 1

Në një kuti ndodhen 10 sfera, disa të kuqe e të tjerat të bardha. Po të shtojmë dy sfera të kuqe dhe 3 sfera të bardha, numri i sferave të bardha do të jetë sa dyfishi i numrit të sferave të kuqe. Sa sfera të kuqe dhe sa sfera të bardha ishin në fillim në kuti?

Zgjidhje Për të zgjidhur problemën, do të ndjekim këtë program pune: Programi Zbatimi konkret 1.Shënojmë me x e y dy madhësi të panjohura. Shënojmë me x numrin e sferave të kuqe e me y numrin e sferave të bardha.

2.Përcaktojmë bashkësitë e vlerave të mundshme të x, y (kushtet për ndryshoret). Është e qartë që x ∊ N, y ∊ N.

3.Në bazë të të dhënave, formojmë dy fjali me ndryshore. Kemi fjalitë: a) “Shuma e x me y është 10”. b) “Kur kemi (x + 2) sfera të kuqe dhe (y + 3) sfera të bardha, numri i sferave të bardha është sa dyfishi i numrit të sferave të kuqe”.

4.Shprehim dy fjalitë në formën e ekuacioneve dhe formojmë sistemin.

Kemi x + y = 10 dhe y + 3 = 2(x + 2) d.m.th. kemi sistemin x + y = 10 y + 3 = 2(x + 2) 5.Zgjidhim sistemin e formuar. Zgjidhim këtë sistem me metodën e zëvendësimit. Nga ekuacioni i parë nxjerrim y = 10 – x; duke e zëvendësuar këtë në ekuacionin e dytë, marrim (10 – x) + 3 = 2(x + 2), pra 3x = 9, d.m.th. x = 3. Prandaj y = 10 – 3 = 7.

6.Kontrollojmë nëse vlerat e gjetura për x, y i përshtaten problemës (janë në bashkësitë e kërkuara). 7.Shprehim me fjalë zgjidhjen e problemës. Vlerat e gjetura për x, y i përshtaten problemës, sepse të dyja plotësojnë kushtet x ∊ N, y ∊ N.

Numri i sferave të kuqe është 3, kurse numri i sferave të bardha është 7.

Shembulli 2

Të përcaktohet, sipas vlerave të ndryshme të shkronjës a, sasia e zgjidhjeve të sistemit

(1) x + 4y = 2 x + a2y = a

Zgjidhje: Nga ekuacioni i dytë nxjerrim x = a – a2y. Duke zëvendësuar këtë shprehje në ekuacionin e parë marrim a – a2y + 4y = 2 dmth.; (4 – a2) y = 2 – a (2). Koeficienti pranë y tek ekuacioni (2) është 4 – a2. Ai bëhet zero kur a = 2 ose a = –2 (pse?)

Dallojmë këto raste: 1. Nëse a ≠ 2 dhe a ≠ –2, ekuacioni (2) ka një zgjidhje të vetme që jepet nga formula

y = 2 – a 4 – a2 d.m. th., y = 1 2 + a . Gjejmë një vlerë të vetme përgjegjëse për x = a2 ·

1

2 + a

d.m.th., x = 2a 2 + a . Kështu, në këtë rast sistemi (1) ka vetëm një zgjidhje.

2. Nëse a = 2, ekuacioni (2) merr trajtën 0 y = 0 dhe ka si zgjidhje këdo numër real. Sistemi (1) ka në këtë rast një sasi të pafundme zgjidhjesh (vlera e y merret sipas dëshirës, kurse vlera e x merret sipas formulës x = a – a2y). 3. Nëse a = – 2, ekuacioni (2) merr pamjen 0 y = 4, pra nuk ka zgjidhje.

Në këtë raste dhe sistemi (1) nuk ka zgjidhje.

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. Është dhënë sistemi x + 2y = 5 3x + 6y = 9 a) Tregoni që ky është i njëvlershëm me sistemin x + 2y = 5 x + 2y = 3

b) Tregoni që çdo zgjidhje e ekuacionit të parë nuk mund të jetë zgjidhje e ekuacionit të dytë. c) A ka zgjidhje sistemi?

2. Është dhënë sistemi 2x – y = 3 3x – 2y = 6

a) Tregoni që ky është i njëvlershëm me sistemin 2x – y = 3 2x – y = 3 .

b) Tregoni që sistemi ka pafundësi zgjidhjesh. 3. Përcaktoni sipas vlerave të ndryshme të shkronjës b, sasia e zgjidhjeve të sistemit x + 3y = 3 x + by = b 4. Perimetri i një drejtkëndëshi është 140 cm, kurse brinjët ndryshojnë me 10 cm njëra nga tjetra.

Gjeni brinjët.

USHTRIME

1 Për të blerë dy palë çorape dhe 1 shami duhen 2,50 euro, kurse për të blerë 3 palë çorape e dy shami duhen 4,00 euro. Sa është çmimi i çorapeve dhe sa i shamive?

2 Një numër dyshifror e ka shumën e shifrave 8. Po t’i ndërrojmë vendet shifrave, marrim një numër që është 18 njësi më i vogël se i pari. Cili është numri fillestar?

Udhëzim: Nëse shifra e dhjetësheve është a dhe shifra e njësheve b, numri shkruhet 10a + b.

3 Dy makina lëvizin (njëkohësisht) duke u nisur nga dy qytete A, B që ndodhen në largësinë 300 km dhe takohen pas dy orësh. Nëse i pari niset dy orë para të dytit, ata do të takohen 1 orë pas nisjes së të dytit. Sa është shpejtësia e secilës makinë?

4 Nëse shuma emëruesit dhe numëruesit të një thyese pjesëtohen me ndryshimin e emëruesit dhe numëruesit, fitohet numri 6. Nëse emëruesit dhe numëruesit iu zbritet numri 3, fitohet numri 0,5.

Gjeni cila është thyesa.

5 Në dy arka kemi mollë. Nëse nga arka e parë heqim 10 kg mollë dhe i vendosim në arkën e dytë, atëherë arka e dytë ka 4-fishin e mollëve që ka arka e parë. Nëse nga arka e dytë heqim 5 kg mollë dhe i vendosim tek arka e parë, atëherë arkat kanë të njëjtën sasi mollësh. Sa kg mollë ka secila arkë?

6 Motra është 4 vjet më e madhe se vëllai i saj. Pas 3 vitesh, mosha e motrës bëhet sa dyfishi i moshës së vëllait. Sa vjeç është secili?

7 Dy këmbësorë u nisën njëkohësisht kundrejt njëri-tjetrit nga pikat A dhe B, 33 km larg njëra tjetrës. Pas 3 orë e 12 minuta, largësia midis dy këmbësorëve ishte 1 km; pas 2 orë e 18 minuta të tjera, të parit i mbeti, deri në pikën B, një largësi tri herë më e madhe sesa të dytit deri në pikën A.

Gjeni shpejtësinë e këmbësorëve.

8 Shuma e dy numrave është 504, ndërsa herësi i tyre 3, kurse mbetja 44. Gjeni numrat.

9 Herësi i dy numrave treshifrorë është 3. Nëse shifrave të numrit të dytë ua bashkëngjisim numrit të parë, fitohet numri gjashtëshifror, i cili është 443556 më i madh se numri gjashtëshifror që fitohet kur numrit të parë i bashkëngjiten shifrat e numrit të dytë. Cilët janë ata numra treshifrorë?