6. Kuptimi i probabilitetit

11.6 Kuptimi i probabilitetit

A Vrojtoni dhe mësoni

Zgjidhet rastësisht një numër njëshifror. Sa është probabiliteti i ngjarjes që numri i zgjedhur të jetë: a) i thjeshtë? b) shumëfish i treshit?

B Vrojtoni dhe mësoni

Prej një arke që përmban 7 sfera të bardha dhe 13 sfera të zeza të njëllojta (sferat e të njëjtës ngjyrë janë të dallueshme njëra nga tjetra, sepse kanë të shënuar numra) nxirret një sferë, shënohet ngjyra e saj dhe futet përsëri brenda. Nëse eksperimenti zhvillohet në mënyrë që secila sferë të ketë të njëjtën mundësi zgjedhjeje me sferat e tjera, atëherë themi që ai ka 20 rezultate njëlloj të mundshme. Ngjarja që të nxirret sferë e bardhë ka 7 rezultate. Nëse ju e përsëritni eksperimentin shumë herë, është e arsyeshme të prisni që në rreth 7 20 të herëve sfera që nxirrni të jetë e bardhë. Pikërisht ky numër quhet probabilitet i ngjarjes që si rezultat i eksperimentit të nxirret sferë e bardhë.

Mbani mend:

Le të jetë H hapësira e rezultateve të një eksperimenti që ka n rezultate njëlloj të mundshme.

Nëse ngjarjes A i përgjigjet nënbashkësia e H që përmban m elemente, atëherë probabilitet i ngjarjes A quhet raporti m n . Ky probabilitet shënohet P(A). Nëse shënojmë n(A) dhe n(H) përkatësisht numrat e elementeve të ngjarjes A dhe të hapësirës së rezultateve H, kemi sipas përkufizimit P(A) = n(A)

n(H) .

Shembulli 1

Sa është probabiliteti i rënies së stemës në hedhjen e shortit me një monedhë?

Zgjidhje

Hapësira H e rezultateve të eksperimentit ka 2 rezultate njësoj të mundshëm, kurse ngjarja që na intereson ka 1, prandaj P(A) = 1 2 = 0,5 Për të kontrolluar këtë rezultat është bërë një numër i madh provash nga eksperimentues të ndryshëm. P.sh., Bufon bëri 4040 prova dhe i doli stemë 2048 herë (raporti afërsisht 0,5060); Pirson bëri 24 000 prova dhe i doli stemë 12012 herë (raporti afërsisht 0,5005).

Mbani mend:

Ngjarja quhet e sigurt nëse bashkësia e rezultateve të saj është sa hapësira e rezultateve të eksperimentit (A = H). (Kjo ngjarje ndodh sa herë kryhet eksperimenti).

Ngjarja quhet e pamundur nëse bashkësia e rezultateve të saj është boshe (kjo ngjarje nuk ndodh asnjëherë kur kryhet eksperimenti). Është e qartë që për ngjarjen e sigurt kemi P(A) = n(H)

për ngjarjen e pamundur kemi P(A) = 0 n(H) = 0. n(H) = 1, kurse Ngjarja që ndodh vetëm kur nuk ndodh ngjarja A, quhet ngjarje e kundërt e A dhe shënohet A.

Është e qartë që numri i elementeve të saj është n(H) – n(A), prandaj probabiliteti i saj është: P(A) = n(H) – n( n(H) A) = 1 – n(A) n(H) = 1 – P(A).

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. Përpara jush ndodhen 25 teza provimi të shënuara me numrat nga 1 deri në 25. Tërhiqni rastësisht një tezë. Sa është probabiliteti që teza e tërhequr të jetë me numër tek?

2. Në një qese ndodhen 30 sfera, prej të cilave 3 janë të ngjyrosura. Nëse nxirrni rastësisht 5 sfera njëherësh, sa është probabiliteti që asnjëra prej tyre të mos jetë e ngjyrosur?

1 Në një raft ndodhen 10 libra: 1 me poezi, 2 shkencorë, 3 romane dhe 4 me tregime. Tërhiqni rastësisht një libër nga rafti. Sa është probabiliteti i ngjarjes që: a) të jetë libër shkencor; b) të mos jetë roman?

2 Shitësi i ofron një të verbëri mollë të 4 llojeve të ndryshme: 1 nga lloji I; 2 nga lloji II; 3 nga lloji

III dhe 4 nga lloji IV. Mundësia për të zgjedhur ndonjërën nga 10 mollët është njëlloj për secilën.

Sa është probabiliteti që të zgjidhet një mollë e llojit II? Po një mollë që nuk është e llojit I?

3 Një makinë për endje ka 100 fije të njëllojta, por me ngjyra të ndryshme: 10 të bardha, 20 të kuqe, 30 blu dhe 40 gri. Mundësitë për t’u këputur janë të njëllojta për çdo fije. Sa është probabiliteti që fija e këputur të jetë gri? Po që të mos jetë e kuqe?

4 Klasa ka 36 nxënës, që ulen në 3 kolona bankash, nga një djalë e nga një vajzë në secilën bankë, nga 6 banka në secilën kolonë. Mësuesi pyet rastësisht një nxënës. Sa është probabiliteti i ngjarjes që nxënësi i pyetur të jetë: a) djalë nga rreshti i parë? b) vajzë e kolonës së parë? c) vajzë ose djalë nga rreshti i fundit?

5 Nëse në një ditë të caktuar pritet të bjerë shi me probabilitetin 0,7, sa është probabiliteti që të mos bjerë shi atë ditë?

6 Në një qese ndodhen 2 sfera të bardha, 4 sfera të zeza dhe 6 sfera të kuqe. Nga qesja nxirret rastësisht një sferë. Sa është probabiliteti që ajo të jetë: a) e bardhë; b) jo e zezë; c) e verdhë; d) e bardhë, e zezë ose e kuqe?

7 Në një qese ndodhen 2 sfera të bardha, 4 sfera të zeza dhe 6 sfera të kuqe. Nga qesja nxirren rastësisht tri sfera. Sa është probabiliteti që ato të jenë: a) të gjitha të zeza; b) të gjitha të kuqe; c) asnjëra e bardhë; d) jo të gjitha të kuqe; e) asnjëra blu?