4. Përkufizimi. Aksioma. Teorema

5.4 Përkufizimi. Aksioma. Teorema

A Kërkoni dhe zbuloni

Nëpërmjet kuptimeve të njohura kënd, brinjë, gjysmëdrejtëz, gjysmëdrejtëza plotësuese, kujtoni cilat kënde quhen kënde të bashkëmbështetura, shtuese, plotësuese.

B Vrojtoni dhe mësoni

Përkufizimet

Mbani mend:

Disa kuptime fillestare nuk përkufizohen. Kuptime të tilla quhen kuptime themelore. Të tilla janë p.sh., kuptimet thjesht gjeometrike: pika, drejtëza, rrafshi.

Kuptime si: segmenti, këndi etj. nuk janë kuptime themelore; ato përkufizohen. Ka edhe kuptime themelore, që përdoren në gjithë shkencën e matematikës si: bashkësia, numri, madhësia (p.sh., gjatësia, koha, masa). Brendia e kuptimeve themelore nuk mbetet e mjegullt; ajo sqarohet nëpërmjet aksiomave.

Aksiomat

Mbani mend:

Disa fjali fillestare, që pranohen pa vërtetim si të vërteta të padyshimta, quhen aksioma. Aksiomë quhet fjalia matematike, vërtetësia e së cilës pranohet pa vërtetim.

Ndonëse aksiomat nuk i nënshtrohen ecurisë së vërtetimit, ato janë fjali, vërtetësia e të cilave është e pranueshme nga përvoja jonë. P.sh., pranohet si aksiomë fjalia “e tëra është më e madhe se një pjesë e saj”. Fjalitë që ne i kemi emërtuar “veti themelore” në mësimet e kaluara, janë aksioma.

Disa aksioma të tjera: Aksioma e rrafshit

• Nga tri pika jo në vijë të drejtë kalon një dhe vetëm një rrafsh. • Nëse A, B, C janë tri pika kolineare, atëherë vetëm njëra është ndërmjet dy të tjerave. • Dy drejtëza që priten, përcaktojnë një rrafsh të vetëm.

Aksioma e paraleleve

• Nga një pikë jashtë një drejtëze kalon jo më tepër se një drejtëz paralele me drejtëzën e dhënë. • Dy drejtëza të ndryshme dhe paralele përcaktojnë një rrafsh të vetëm. • Fjalia “Nëse dy kënde janë të bashkëmbështetura, atëherë shuma e masave të tyre është 180o” nuk është aksiomë; kjo fjali është teoremë.

Teorema

Kemi parë se arsyetimet për të treguar vërtetësinë e një fjalie matematikore quhen vërtetime.

Mbani mend:

Fjalitë matematikore, për vërtetësinë e të cilave bindemi me anë të vërtetimit, quhen teorema.

Fjalia për shumën e masave të dy këndeve shtuese, që mund të formulohet edhe kështu: “Nëse dy kënde janë shtuese, atëherë shuma e masave të tyre është 180o” është një teoremë. Çdo teoremë, siç e dini, ka dy pjesë: kushtin dhe përfundimin.

Teorema Pjesët

Në një teoremë të çfarëdoshme Në teoremën për shumën e dy këndeve shtuese Kushti Çfarë është dhënë si e vërtetë: Dy kënde janë shtuese. Përfundimi Çfarë duhet të nxirret me arsyetim si e vërtetë: Shuma e masave të tyre është 180o

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. Sillni shembuj aksiomash që njihni. 2. Jepni përkufizimin e: a) segmentit; b) mesit të segmentit; c) trekëndëshit; d) përgjysmores së këndit; e) këndit të drejtë; f) përmesores së segmentit. 3. A është teoremë fjalia: a) Këndi i shtrirë e ka masën 180o . b) Nga dy pika të ndryshme kalon një drejtëz e vetme. 4. Vërtetoni teoremën “Nëse një kënd është i drejtë, atëherë çdo kënd shtues me të është i drejtë”. 5. Në teoremën “Nëse dy kënde shtuese janë kongruente, atëherë ato janë të drejta”, dalloni kushtin dhe përfundimin. Vërtetoni teoremën. 1 Dy kënde janë kongruente. A janë kongruente këndet shtuese me to? Formuloni dhe vërtetoni teoremën. 2 Vërtetoni teoremën “Nëse dy kënde janë të kundërta në kulm, atëherë ato kanë masa të barabarta”.

USHTRIME

3 Përkufizoni: a) kur dy drejtëza janë paralele; b) kur dy drejtëza janë pingule.

4 Drejtëza a pret brinjët e këndit ∠ AOB në pikat M, N. A mund të jenë drejtëzat (OM), (ON) pingule ndaj a?

5 A mund të heqim nga një pikë jashtë një drejtëze a, dy drejtëza që të jenë pingule me a?

6 Tregoni se dy drejtëza, të cilat shtrihen në dy rrafshe paralele, nuk mund të priten.

7 Janë dhënë pesë rrafshe në mënyrë të tillë që, çdo dy prej tyre priten. Sa drejtëza prerëse më së shumti mund të formohen në këtë rast?

8 Tregoni se ekzistojnë tri rrafshe α, β dhe γ, në mënyrë të tillë që, çdo dy prej tyre priten, ndërsa të tri rrafshet nuk kanë asnjë pikë të përbashkët.

9 Nëse tri drejtëza të një rrafshi priten në një pikë, atëherë tregoni se shuma e këndeve jo fqinje që formohen në atë rast është 180o .