1. Matja e këndeve dhe harqeve

10.1 Matja e këndeve dhe harqeve

A Kërkoni dhe zbuloni

Punë në grup

Konstruktoni një rreth. Konstruktoni në të këndin qendror, që mbështetet në gjysmën e rrethit. Sa shkallë është këndi që konstruktuat? Po këndi që mbështetet në çerekun e rrethit? Çfarë varësie ekziston ndërmjet masës së këndit qendror dhe masës së harkut përkatës të tij?

B Vrojtoni dhe mësoni

Kujtojmë se kënd një shkallë (shënohet 1˚) kemi quajtur këndin që përftohet në plotë. Kënd të drejtë kemi quajtur këndin që përftohet në 1 4 e rrotullimit të plotë. 1 360 e rrotullimit të

Shembulli 1

Gjeni gjatësinë e harkut prej 72˚ të rrethit me rreze 10 cm.

Zgjidhje Në formulën l = πrn 180 zëvendësojmë r, n dhe kemi: l = π · 10 · 72 180 = 4π cm.

Shembulli 2

Gjeni masën e këndit qendror, gjatësia e harkut të të cilit është e barabartë me rrezen e rrethit.

Zgjidhje Në formulën l = πrn 180 zëvendësojmë l = r dhe kemi: r = πrn 180 ⇒ n = 180

π ≈ 180 3,14 ≈ 57˚20'

Mbani mend:

Këndi qendror, i cili gjatësinë e harkut përkatës e ka të barabartë me rrezen e rrethit, quhet kënd 1 radian.

Kujdes!

s

Nuk duhet të ngatërrohet masa e harkut me gjatësinë e tij. Në figurën 10.1, harqet A1B1; A2B2; A3B3 etj. kanë të njëjtën masë, por gjatësi të ndryshme.

Shembulli 3

Sa radian ka këndi i plotë? Po këndi i drejtë?

r1 A1

b1 A2 A3

b2

B1

r2

r3 B2

Fig. 10.1

Zgjidhje Harkut me gjatësi r, i përgjigjet këndi 1 radian. Rrjedhimisht, harkut me gjatësi 2πr (gjatësia e rrethit) i përgjigjet një kënd 2π herë më i madh, pra 2π radian. Këndi i drejtë ka π 2 radian.

b3

B3

C Ushtrohuni duke zbatuar

1. Plotësoni tabelën, duke u nisur nga fakti që harqet me masë 3600 dhe 2π radian janë të njëjtë.

Harku

Masa në shkallë 360˚ 180˚

Masa në radian 2π

π 2 60˚

π 2 30˚ 1˚

2. Shprehni në radian këndet 30˚; 1350; 120˚. 3. Shprehni në shkallë këndet 1 radian; 2,5 radian, 3 radian. 4. Gjeni gjatësinë e harkut prej 60˚ të rrethit me rreze 5 cm; 10 cm; 12 cm. 5. Gjeni masat në radian të këndeve të: a) trekëndëshit barakrahës me kënd në kulm 40˚ ; b) rombit me një kënd 60˚ .

1 Gjeni, në shkallë dhe në radian, masat e këndeve që përbëjnë: a) 1

USHTRIME

2; 1 3; 1 6 e këndit të plotë;

b) 3 2; 1 5; 1 6 e këndit të shtrirë;

c) 1 2; 1 3; 1 5 e këndit të drejtë.

2 Shprehni në radian këndet 60˚; 45˚; 112˚; 15˚.

3 Shprehni në shkallë këndet 1, 5 radian; 2, 3 radian, 3, 14 radian.

4 Me sa shkallë lëviz akrepi i minutave kur kalon: a) nga numri 5 në numrin 7; b) nga numri 6 në numrin 9; c) nga numri 6 në numrin 12?

5 Me sa shkallë lëviz akrepi i orëve, kur akrepi i minutave lëviz me: a) 360˚’; b) π radian; c) 4π radian.

6 Gjeni këndet shtuese (suplementare) të këndeve: a) 60˚; 90˚; 120˚;

b) π 2; π 6; π 3; 2π 3 ; 5π 6 radian.

7 Gjeni këndet plotësuese (komplementare) të këndeve: a) 60˚; 30˚; 50˚; b) π

4; π 6; π 3 radian. 8 Gjeni masat në radian të këndeve të: a) trekëndëshit barakrahës; b) katrorit. 9 Këndet e një trekëndëshi janë në raportin 1:3:5. Gjeni masat e tyre në shkallë e në radian.