3 minute read
9. Një veti karakteristike e homotetisë
from MATEMATIKË 9
9.9 Një veti karakteristike e homotetisë
A Kërkoni dhe zbuloni
Advertisement
Jepet homotetia H (O, 3) dhe segmenti AB. Në cilën figurë kalon segmenti AB me anë të kësaj homotetie? Diskutoni.
B Vrojtoni dhe mësoni
Një figurë F çfarëdo përbëhet nga një bashkësi pikash. Secila prej tyre, në homotetinë H (O, k) ka përfytyrën përkatëse. Bashkësia e këtyre përfytyrave përbën një figurë F1, e cila quhet figurë homotetike e figurës F në homotetinë e dhënë. Konsiderojmë një figurë F, e cila në homotetinë H (O, k) ka për përfytyrë figurën F1. Marrim dy pika të çfarëdoshme A dhe M në figurën F dhe shënojmë me A1 dhe M1 përfytyrat e tyre në figurën F1 (fig. 9.40).
O M
A
Fig. 9.40
AH(O,k) → A1 dhe M H(O,k) → M1. Kemi: OA1 = k · OA dhe OM1 = k · OM nga ku
M1
A1
AM1 = OM1 – OA1 = k · OM – k · OA = k · (OM – · OA) = k · AM . Pra, A1M1 = k · AM . Ky barazim shpreh faktin që, në qoftë se pikat A dhe A1 janë dy pika të çfarëdoshme të rrafshit, atëherë për çdo pikë M të tij ekziston pika M1 e tillë që A1M1 = k · AM . Kjo tregon që A1M1 // AM dhe ׀A1M1׀ = ׀k׀ · ׀AM ׀. Anasjellas, në qoftë se plotësohet kushti që A1M1 = k · AM kemi:
Në këtë mënyrë kemi vërtetuar teoremën:
Një transformim është homoteti atëherë dhe vetëm atëherë, kur ekziston numri k ≠ 1 që çdo
dy pika A dhe M kanë përfytyrat A1 dhe M1 të tilla që A1M1 = k · AM.
Homotetia e një segmenti
Në figurën 9.41 jepet qendra e homotetisë O dhe segmenti AB. (Për konkretizim kemi marrë k = 2). Kemi:
AH(O,k) → A1 dhe B H(O,k) → B1 Sipas teoremës së mësipërme, gjithashtu për çdo pikë M të segmentit AB kemi A1M1 = k · AM . Ky barazim tregon se përfytyrat e të gjitha pikave të segmentit AB, ndodhen në segmentin A1B1.
O B
M
A
Fig. 9.41
B1
M1
A1
Mbani mend:
Çdo segment AB, në homotetinë H (O, k) ka për përfytyrë segmentin A1B1 përfytyrat e skajeve A dhe B të segmentit AB. Gjithashtu, A1B1 = ׀k׀ · AB. ku A1 dhe B1 janë
Në mënyrë të ngjashme provohet që: - përfytyra e drejtëzës d në një homoteti është një drejtëz d1 e tillë që d1//d; - përfytyra e gjysmëdrejtëzës në një homoteti është një gjysmëdrejtëz paralele me të parën. Origjinat e tyre janë pika homotetike të njëra-tjetrës.
Shënim
Këto teorema tregojnë njëkohësisht edhe mënyrën e ndërtimit të figurës homotetike të një segmenti, drejtëze apo gjysmëdrejtëze. Në secilin rast, mjafton të gjejmë përfytyrat e dy pikave (Në rastin e segmentit, të tillë janë dy skajet e tij, ndërsa në rastin e gjysmëdrejtëzës njëra pikë është origjina).
C Ushtrohuni duke zbatuar
1. Vizatoni një trekëndësh ABC. Gjeni figurën homotetike të tij në homotetinë H (O, 2) në qoftë se: a) pika O përputhet me pikën A; b) pika O ndodhet në mesin e brinjës AB.
2. Jepet trekëndëshi ABC me brinjë BC = 6 cm; AC = 8 cm dhe AB = 10 cm. a) Të përcaktohet lloji i këtij trekëndëshi. b) Në homotetinë H (O, 1
2) përfytyra e tij është trekëndëshi A1B1C1. Të gjenden gjatësitë e brinjëve të trekëndëshit A1B1C1. 1 Vizatoni një trekëndësh ABC. Gjeni figurën homotetike të tij në homotetinë H (O, 2) në qoftë se: a) pika O ndodhet brenda trekëndëshit ABC; b) pika O ndodhet jashtë trekëndëshit ABC. 2 Në pohimet e mëposhtme dalloni ato që janë të vërteta dhe ato që janë të gabuara.
Në një homoteti: a) çdo katror e ka përfytyrën katror; b) çdo trekëndësh e ka përfytyrën një trekëndësh barabrinjës; c) ekziston një homoteti në të cilën katrori ka për përfytyrë një romb. 3 Në figurën 9.42/a, b trekëndëshat dhe katrorët përkatës janë figura homotetike të njëra-tjetrës. Për secilën figurë, gjeni qendrën dhe koeficientin e homotetisë. 4 Jepet F
USHTRIME
H(O,k1) → F1 dhe F H(O,k2) → F1. Çfarë varësie ekziston
ndërmjet k1 dhe k2?
a)
5 Diagonalet e rombit me brinjë 5 cm priten në pikën O.
Njëra nga diagonalet është 8 cm. a) Gjeni diagonalen tjetër të rombit. b) Vërtetoni se përfytyra e rombit në homotetinë H (O, 2) është romb. c) Gjeni brinjën dhe diagonalet e rombit përfytyrë.
b)
