LEERBOEK
Analyse 1a i Reële functies deel 1
D-finaliteit economie en wetenschappen
Philip Bogaert
Filip Geeurickx
Marc Muylaert
Roger Van Nieuwenhuyze
Erik Willockx
CARTOONS
Dave Vanroye
Hoe gebruik je VBTL?
Dit boek bevat vijf hoofdstukken. Elk hoofdstuk is opgebouwd uit verschillende paragrafen met aan het einde een handige samenvatting.
Definities vind je op een rode achtergrond. Eigenschappen vind je op een groene achtergrond. Methodes, rekenregels en formules vind je op een zachtblauwe achtergrond.
Wiskunde is een eeuwenoude wetenschap. De geschiedenis van de wiskunde en de herkomst van bepaalde begrippen worden zachtpaars afgedrukt.
1 Veeltermen in r De verzameling Algoritme van Horner Gelijke veeltermen De euclidische deling –1.6 Deelbaarheid in r 15 Reststelling bij deling door –1.8 Kenmerk van deelbaarheid door – 16 met behulp van de regel van Horner 18 –1.11 Veeltermen ontbinden in factoren 20 2 Veeltermfuncties 2.1 Inleiding 29 Veeltermfuncties 2.3 Een veeltermfunctie bespreken 43 Toepassingen opstellen Extremumproblemen Differentiequotiënt 3 Homografische functies 3.1 Definities 73 3.2 De functie met 73 3.4 Toepassing 77 van homografische functies 79 Verloop van een homografische functie 3.7 Homografische vergelijkingen 81 Toepassingen Het voorschrift van een homografische functie opstellen 4 n-demachtswortelfuncties 4.1 Definitie 93 Domein van een irrationale functie 4.3 De functie met )== √ 94 De functie )== 4.5 ICT-toepassing 96 5 Bewerkingen met functies Rekenen met functies Oplossingen Trefwoordenregister Analyse 1a i Reële functies deel 1
2Het algoritme van Horner We proberen op een andere manier de getalwaarde van een veelterm te bepalen. Voorbeeld – –Om het aantal bewerkingen te beperken, herschrijven we eerst de veelterm – – – –– –door vervangen, krijgen we [( – –– –5 coëfficiënten getalwaarde want A 4 2 – 2 – 21 2 2 Op de bovenste rij noteren we de coëfficiënten, gerangschikt naar dalende machten van Ontbrekende coëfficiënten worden door 0 vervangen. Op de onderste rij komt de som van elke kolom. Die praktische schikking noemen we het algoritme van Horner – – ––201 –– – ––1428 –55106 –William George Horner (1786–1837) William Horner werd geboren in 1786 in Bristol, Engeland. Daar was hij student aan de Kingswood School. Ongelooflijk maar waar: op 14-jarige leeftijd werd hij aan de school ‘assistant master’ en jaar later zelfs ‘headmaster’. Enkele jaren later verliet Horner Bristol en vestigde hij zich in Bath. Daar stichtte hij een school; hij stierf er op 22 september 1837. lossen (met daarbij horend de methodes bij de studie van veeltermen die zijn naam dragen en waarmee we in dit hoofdstuk kennismaken). Enkele jaren eerder had de Italiaan Ruffini al een vergelijkbare methode beschreven, maar beiden werden ruim 500 jaar voorafgegaan door de Chinees Chu Shih-Chieh 朱世杰 ). Dat de naam van Horner toch bekend gebleven is, is vooral te danken aan De Morgan, die in tal van artikels Horners naam aan die methode bleef geven.
1 1De verzameling r [x Een veelterm is een som van eentermen. Zozijn √7veeltermenmetéénveranderlijke We kunnen een veelterm met één veranderlijke ook noteren als Veeltermen in de veranderlijke graad Voorbeelden – 1 3 – 1 9 0 Opmerking De graad van de constante veelterm genoemd is niet gedefinieerd, getalwaarde getalwaarde van een veelterm voor een gegeven getal is het reële getal dat je bekomt door in Voorbeelden Als – 4 1dan is ( 2 – 2 5 Als – + – 5dan is ( – – – – ––– –– – –– – – –– ) – ) – – – –
De nummers van de oefeningen hebben een gele kleur. Een sterretje duidt op een extra uitdaging. Maak ook kennis met voorbeeldvragen uit ijkingstoetsen en toelatingsexamens. Achteraan in dit boek vind je de oplossingen
ICT is een ideaal hulpmiddel. Bij dit boek hoort een webpagina van GeoGebra, gevuld met heel wat digitale oefeningen en applets. Die vind je terug via www.polpo.be.
Wat moet je kennen en kunnen?
Op het einde van elk hoofdstuk zie je een handig overzicht van wat je moet kennen en kunnen
WAT MOET JE KENNEN EN KUNNEN pagina Ik weet wat een functie is, ik weet wat in die functie de onafhankelijke en afhankelijke variabelen zijn en ik ken de vier representaties van een functie. Ik weet wat het domein en het bereik van een functie zijn. en een irrationale functie. Ik weet wat bedoeld wordt met een hogeregraadsfunctie. Ik kan een veeltermvergelijking algebraïsch oplossen. Ik kan een veeltermongelijkheid oplossen. bereik, praktisch bereik, stijgen/dalen, symmetrie en gedrag op oneindig. Ik kan de grafiek van een veeltermfunctie schetsen zonder ICT en tekenen met ICT. Ik kan het voorschrift opstellen van een veeltermfunctie die aan bepaalde voorwaarden moet voldoen. Ik kan een extremumvraagstuk oplossen. Ik ken de betekenis van het begrip differentiequotiënt. 66 Veeltermfuncties
2
3 Homografische functies 4Toepassing De grootte van een konijnenpopulatie is gegeven )= 150 + 90 Teken met ICT de grafiek van de rationale functie – –Maak een tabel van de gegeven functie voor Hoeveel konijnen zijn er de zesde maand bijgekomen Na hoeveel maanden zijn er 135 konijnen Oplossing Het praktisch domein is 0, ( 3060789098105110114117120 ( 122124126127128130131132132133134
Oplossingen Oplossingen 1.1 Veeltermen in r x (blz. 22) b d 15 21 4 –– – –– – –b 3, 6, 4, d 1, 1, 1, 1, 3 bQ )= 29 87;R )= 258 cQ )= 27 + 3 + 12;R )= 11 dQ )= 21;R )= fQ )= 1;R )= gQ )= + + 3;R )= hQ )= )= 2; 3; d 1; + 3; + 1; 2 h + 2; + 3; 10 c6 + 8 –16; b –19 9 –10; b – 10 1 2 *
Wiskunde in de derde graad wordt een boeiende verkenningstocht langs matrices, statistiek, goniometrie en (zoals je zult merken in dit boek) heel veel functies. De analyse van de reële functies vormt een stevige basis voor de verdere studie van de theoretische en toegepaste wiskunde. In dit boek worden heel wat aspecten van functies belicht zonder gebruik te maken van afgeleiden en integralen. Van bij het begin speelt het grafische element een grote rol.
Je kunt trouwens ontelbaar veel zaken met een functie beschrijven. Neem nu dit reuzenrad. Het is het derde grootste ter wereld en staat in Singapore. Op het hoogste punt (165 m) kun je bij helder weer 45 km ver kijken en heb je een uitzicht op Indonesië en Maleisië. Als je je in een van de 28 capsules bevindt en je drukt de hoogte van de capsule uit in functie van de tijd, dan bekom je een goniometrische functie, een soort functie die je in een van de volgende boeken zult tegenkomen.
De auteurs wensen je veel plezier met dit eerste boek analyse.
Inhoud
Analyse 1a I Reële functies deel 1
1 Veeltermen in r [ x ] 1.1 De verzameling r [ x ] 9 1.2 Het algoritme van Horner 10 1.3 Gelijke veeltermen 11 1.4 De euclidische deling 12 1.5 Een veelterm delen door x – a 13 1.6 Deelbaarheid in r [ x ] 15 1.7 Reststelling bij deling door x – a 15 1.8 Kenmerk van deelbaarheid door x – a 16 1.9 Een veelterm ontbinden in factoren met behulp van de regel van Horner 18 1.10 De veeltermen x3 – a3 en x3 + a3 19 1.11 Veeltermen ontbinden in factoren 20 2
2.1 Inleiding 29 2.2 Veeltermfuncties 32 2.3 Een veeltermfunctie bespreken 43 2.4 Toepassingen 52 2.5 Het voorschrift van een veeltermfunctie opstellen 57 2.6 Extremumproblemen 62 2.7 Differentiequotiënt 66 3 Homografische functies 3.1 Definities 73 3.2 De functie f met f ( x) = 1 x 73 3.3 Voorbeeld 75 3.4 Toepassing 77 3.5 Asymptoten van grafieken van homografische functies 79 3.6 Verloop van een homografische functie 80 3.7 Homografische vergelijkingen 81 3.8 Toepassingen 82 3.9 Het voorschrift van een homografische functie opstellen 83 4 n-demachtswortelfuncties 4.1 Definitie 93 4.2 Domein van een irrationale functie 93 4.3 De functie f met f (x)== √x 94 4.4 De functie f met f (x)== 3 √x 95 4.5 ICT-toepassing 96 5 Bewerkingen met functies 5.1 Functies transformeren 101 5.2 Bewerkingen met functies 117 5.3 Inverse functies 123 Oplossingen 131 Trefwoordenregister 138
Veeltermfuncties
Veeltermen in r [ x ] 1
Algebra is een verzamelwoord voor alles wat in de wiskunde betrekking heeft op letterrekenen. We stellen getallen voor door letters en laten daar alle bewerkingen op los. Het woord zelf kent zijn oorsprong 1200 jaar geleden.
De wiskundige duizendpoot
Al-Chwarizmi voerde de Arabische cijfers in, corrigeerde het werk van Ptolemaeus, liet een wereldkaart tekenen en schreef het boek Hisab al-jabr wa al-muqabala, waarin je de term ‘algebra’ misschien herkent. Je ziet zijn standbeeld hier staan voor Itsjan Kala, het indrukwekkende ommuurde stadsgedeelte van Xiva, de stad in Oezbekistan waar hij geboren is.
Veeltermen in r [ x ]
8
1 De verzameling r [ x ] 9 2 Het algoritme van Horner 10 3 Gelijke veeltermen 11 4 De euclidische deling 12 5 Een veelterm delen door x – a 13 6 Deelbaarheid in r [ x ] 15 7 Reststelling bij deling door x – a 15 8 Kenmerk van deelbaarheid door x – a 16 9 Een veelterm ontbinden in factoren met behulp van de regel van Horner 18 10 De veeltermen x3 – a3 en x3 + a3 19 11 Veeltermen ontbinden in factoren 20 12 Samenvatting 21 13 Oefeningen 22 Wat moet je kennen en kunnen? 26 1
1De verzameling r [ x]
veelterm
Een veelterm is een som van eentermen.
Zozijn 2 x 2 + 3 x 1en6 x 3 4 3 x 2 + 1 2 x √7veeltermenmetéénveranderlijke x enmetreëlecoëfficiënten.
We kunnen een veelterm met één veranderlijke x ook noteren als : n
Veeltermen in de veranderlijke x noteren we als A( x ), B( x ), C( x ) De verzameling van al die veeltermen noemen we R[ x ].
graad
De graad van een veelterm in x is de hoogst voorkomende exponent van x in die veelterm.
Voorbeelden :
gr ( 2x 3 – 4x + 1) = 3 gr ( 3x – 5) = 1 gr ( 9) = gr ( 9x 0 ) = 0
Opmerking :
De graad van de constante veelterm 0 ( ook de nulveelterm genoemd ) is niet gedefinieerd, want0 = 0
getalwaarde
De getalwaarde van een veelterm A( x ) voor een gegeven getal α is het reële getal dat je bekomt door in de veelterm de veranderlijke x te vervangen door α Notatie: A( α) Voorbeelden :
nulwaarde
α is een nulwaarde van een veelterm
Voorbeelden :
is een nulwaarde van A( x ) = x
9 1 Veeltermen in r [ x ]
i = 0 a i x i = a n x n + a n 1 x n 1 + a n 2 x n 2 + + a 2 x 2 + a 1 x + a 0
x
x 2 = 0x 3 = 0x 4
= 0
=…
Als A( x ) = 3x 2 – 4x + 1dan is A( 2) = 3 2 2 – 4 2 + 1 = 5 Als B( x ) = 6x 3 – 2x 2 + x – 5dan is B( 1) = 6 ( –1)3 – 2 ( –1)2 + ( –1) – 5 = –14
A(
⟺ A( α) = 0
x )
– 5want A( 5) = 5 – 5 = 0 4
8 wantB(4) = 42 – 2 4 – 8 = 16 – 8 – 8 = 0 en B( –2) = ( –2)2 – 2 ( –2) – 8 = 4 + 4 – 8 = 0
5
en –2 zijn nulwaarden van B( x ) = x 2 – 2x –
2Het algoritme van Horner
We proberen op een andere manier de getalwaarde van een veelterm te bepalen.
Voorbeeld 1 :
A( x ) = 4x 3 – 2x 2 + x – 5
Bereken A( 2)
Om het aantal bewerkingen te beperken, herschrijven we eerst de veelterm :
Als we nu x door 2 vervangen, krijgen we [( 4 2 – 2) 2 + 1] 2 – 5 = 21. Schematisch kunnen we dit als volgt voorstellen : 4 –21 –5 coëfficiënten
Op de bovenste rij noteren we de coëfficiënten, gerangschikt naar dalende machten van x . Ontbrekende coëfficiënten worden door 0 vervangen. Op de onderste rij komt de som van elke kolom.
Die praktische schikking noemen we het algoritme van Horner of het rekenschema van Horner
Voorbeeld 2 :
6 –201 – 4 –2 –1228 – 56110
6
1428
Antwoord : A( –2) = 106
55106
William George Horner (1786–1837)
William Horner werd geboren in 1786 in Bristol, Engeland. Daar was hij student aan de Kingswood School. Ongelooflijk maar waar: op 14-jarige leeftijd werd hij aan de school ‘assistant master’ en 4 jaar later zelfs ‘headmaster’. Enkele jaren later verliet Horner Bristol en vestigde hij zich in Bath. Daar stichtte hij een school; hij stierf er op 22 september 1837. Horners enige belangrijke bijdrage tot de wiskunde is zijn methode om algebraïsche vergelijkingen op te lossen (met daarbij horend de methodes bij de studie van veeltermen die zijn naam dragen en waarmee we in dit hoofdstuk kennismaken). Enkele jaren eerder had de Italiaan Ruffini al een vergelijkbare methode beschreven, maar beiden werden ruim 500 jaar voorafgegaan door de Chinees Chu Shih-Chieh ( 朱世杰 ). Dat de naam van Horner toch bekend gebleven is, is vooral te danken aan De Morgan, die in tal van artikels Horners naam aan die methode bleef geven.
10
4x 3 – 2x 2 + x – 5 = ( 4x 2 – 2x + 1) x – 5 = [( 4x – 2) x + 1] x – 5
waarde
2 8
46 1321 getalwaarde want A( 2) = 4 23 – 2 22 + 2 – 5 = 21 ·2 = ·2 = ·2 =
+++
van x
1226
6
4
2x 3
x
4
Bepaal A( –2) als A( x ) =
x
–
+
–
–
–
3Gelijke veeltermen
gelijke veeltermen
Gelijke veeltermen zijn veeltermen waarbij de coëfficiënten van hun gelijksoortige termen gelijk zijn.
Voorbeeld : Bepaaldereëlegetallen a , b , c en d zodat:
Die methode noemen we de methode van de onbepaalde coëfficiënten
Hierbij worden de coëfficiënten van de gevraagde termen door letters voorgesteld. Door de definitie van gelijke veeltermen toe te passen, bekomen we een stelsel vergelijkingen met de gevraagde onbekenden.
Algoritme
Een algoritme is een systematische rekenmethode voor het uitvoeren van rekenkundige bewerkingen in een bepaalde volgorde. Naast het algoritme van Horner is onder meer ook het algoritme van Euclides voor de deling bekend (in het basisonderwijs werd dit de staartdeling genoemd).
De benaming algoritme is afgeleid uit de latinisering van de naam Al-Chwarizmi (ﻲﻣزراﻮﺨﻟا), de grondlegger van de algebra. Die Perzische geleerde uit de negende eeuw was de auteur van het boek ‘Hisab al-jabr wa al-muqabala’ (ﺔﻠﺑﺎﻘﳌا و ﱪﺠﻟا بﺎﺴﺣ), het basiswerk waaruit de algebra ontstond.
Nu nog gebruiken we het woord ‘algorist’ om een rekenwonder aan te duiden, iemand die uit het hoofd en met grote snelheid bewerkingen kan uitvoeren waarvoor ieder ander mens een computer nodig zou hebben.
11 1 Veeltermen in r [ x ]
ax 3 4 x 2 + bx + 2 = 5 x 3 cx 2 + 2ax d a = 5 4 = c b = 2a 2 = d a = 5 b = 10 c = 4 d = 2
4De euclidische deling
In N werd de deling als volgt gedefinieerd : ∀ a ∈ N, ∀ d ∈ N0 : ∃ q , r ∈ N : a = dq + r met0 ⩽ r < d
In de uitdrukking a = dq + r is a het deeltal, d de deler, q het quotiënt en r de rest
Voorbeeld : 1254 = 23 54 + 12
Op analoge wijze definiëren we de deling van de veeltermen in R[ x ] Beschouwen we nu de veeltermen x 2 + 7x + 8 en x + 1.
Omdat x 2 + 7x + 8 = (x + 1) (x + 6) + 2 noemen we x + 6 het quotiënt
deeltaldelerquotiëntrest en 2 de rest van de euclidische deling van x 2 + 7x + 8 door x + 1. Merk op dat de graad van de rest ( 2) gelijk is aan 0. Dat is kleiner dan de graad van de deler.
euclidische deling
A( x ), D( x ), Q( x ), R( x ) ∈ R[ x ] en D( x ) ≠ 0
De euclidische deling van A( x ) door D( x ) noteer je als A( x ) = D( x ) Q( x ) + R( x ) metgr ( R( x )) < gr ( D( x )) of R( x ) = 0. Hierbij is Q( x ) het quotiënt en R( x ) de rest.
Opmerkingen :
– De deling van twee veeltermen met quotiënt en rest noemen we een euclidische deling.
–A( x ) noemen we het deeltal, D( x ) noemen we de deler.
– Als R( x ) = 0, dan spreken we van een opgaande deling en dan is A( x ) = D( x ) Q( x )
– Als R( x ) ≠ 0, dan spreken we van een niet-opgaande deling
Als de graad van het deeltal strikt kleiner is dan de graad van de deler, dan is het quotiënt de nulveelterm en dan is de rest gelijk aan het deeltal. gr
12
–
(A ( x )) < gr (D ( x )) =⇒ Q ( x ) = 0enR ( x ) = A ( x ) Verklaring : A( x ) = D( x ) 0 + A( x ) metgr ( A( x )) < gr ( D( x )) Voorbeeld : Het quotiënt en de rest van A( x ) = 2x 3en D( x ) = x 2 4x + 2 zijn : Q( x ) = 0en R( x ) = 2x 3 want 2x 3 = ( x 2 4x + 2) 0 + ( 2x 3) engr ( 2x 3) < gr ( x 2 4x + 2) 125423 –11554 104 –92 12 Q ( x )= 0enR ( x )= A ( x ) A( x ) D( x ) Q( x ) R( x ) =⇒ A ( x ) = D ( x ) Q ( x ) + R ( x ) gr (R ( x )) < gr (D ( x )) ofR ( x ) = 0
5Een veelterm delen door x – a
Om het quotiënt en de rest te bepalen bij de deling van een veelterm door x – a ( a ∈ Z) gebruiken we de volgende werkwijze (algoritme) : Rangschik deeltal en deler naar dalende machten van x en vul bij het deeltal de ontbrekende termen aan met coëfficiënt nul.
Deel de term met de hoogste macht van het deeltal door x . Dat geeft je de eerste term van Q(x )
Vermenigvuldig de eerste term van Q(x ) met de deler x + 3 en trek het bekomen product af van het deeltal. Je krijgt nu een partiële rest.
Deel de term met de hoogste macht van de partiële rest door x . Vermenigvuldig de bekomen term met de deler x + 3 en trek dat product van de partiële rest af.
Herhaal deze werkwijze. De rest van deze euclidische deling is de constante term r Besluit:
13 1 Veeltermen in r [ x ]
2
3
8
–
26) – 77 Voorbeeld : A( x ) = 2x 3 + 8x + 1 D( x ) = x + 3 2x 3 + 0x 2 + 8x + 1 x + 3 2x 3 + 0x 2 + 8x + 1 x + 3 2x 2 2x 3 + 0x 2 + 8x + 1 x + 3 2x 3 + 6x 2 2x 2 ––6x 2 + 8x + 1 2x 3 + 0x 2 + 8x + 1 x + 3 –2x 3 + 6x 2 2x 2 – 6x –– 6x 2 + 8x + 1 – 6x 2 – 18x 26x + 1 2x 3 + 0x 2 + 8x + 1 x + 3 –2x 3 + 6x 2 2x 2 – 6x + 26 = Q( x ) –– 6x 2 + 8x + 1 – 6x 2 – 18x –26x + 1 26x + 78 – 77 = R(x )
x
+
x + 1 = ( x + 3)( 2x 2
6x +
Als we het rekenschema van Horner ernaast plaatsen, dan kunnen we het volgende vaststellen. 2x 3 + 0x 2 + 8x + 1 x + 3
2081
3 6 18 78
2 6 26 77
26x + 1 26x + 78
77 = R(x )
Voor het quotiënt blijken de coëfficiënten van Q( x ) de reële getallen te zijn die voorkomen op de laatste lijn in het rekenschema van Horner. De rest is de getalwaarde van de veelterm voor x = –3 (zie blz. 15). We kunnen die vaststelling gebruiken om het quotiënt bij een euclidische deling van veeltermen sneller te bepalen.
Het deeltal is van de derde graad en de deler is van de eerste graad. Het quotiënt is bijgevolg van de tweede graad en de graad van de rest is 0.
14
–
2
2 – 6
––
– 6
–
–
–
2x 3 + 6x 2
x
x + 26 = Q( x )
6x 2 + 8x + 1
x 2
18x
Voorbeeld : Bepaal Q( x ) en R( x ) als A( x ) = x 3 2x 2 + 3x + 6en D( x ) = x + 2
Q( x ) = x 2 4x + 11en R( x ) = 16
236 2 28
1
22 1 4 11 16
6Deelbaarheid in r [ x ]
Om het begrip deelbaarheid te definiëren en om de eigenschappen en oefeningen hieromtrent eenvoudiger te kunnen voorstellen, maken we gebruik van deze symbolen. Notatie :
(lees: “deelt” of “is een deler van”)
“deelt niet” of “is geen deler van”)
7Reststelling bij deling door x – a
Voorbeeld : Bepaal het quotiënt en de rest bij de euclidische deling van
Na euclidische deling vinden we: Q ( x ) = x 2 + 3 en R ( x ) = 5.
nu de getalwaarde van A ( x ) voor x = 2.
reststelling
Bij de euclidische deling van een veelterm door x – a (met a ∈ R) is de rest van de deling gelijk aan de getalwaarde van het deeltal voor x = a
Gegeven : A( x ) ∈ R[ x ]
15 1 Veeltermen in r [ x ]
∤
Voorbeelden : 3 ∣ 6 want 6 = 3 2 10 ∤ 25 want 25 = 10 2 + 5 deelbaarheid in r [ x] A( x ) is deelbaar door D( x ) als en slechts als de rest van de euclidische deling van A( x ) door D( x ) nul is. D( x ) | A( x ) ⟺∃! Q( x ) ∈ R[ x ]: A( x ) = D( x ) Q( x ) ⟺ R( x ) = 0 Voorbeelden : 2x + 3 ∣ 2x 3 + 5x 2 + 5x + 3 want 2x 3 + 5x 2 + 5x + 3 = ( 2x + 3) ( x 2 + x + 1) 2x + 2 ∤ 6x 3 + 8x 2 + 4x + 20 want 6x 3 + 8x 2 + 4x + 20 = ( 2x + 2 ) · ( 3x 2 + x + 1) + 18
∣
(lees:
A ( x ) = x 3 – 2x 2 + 3x – 1 door x – 2.
Bepaal
We vinden: A
2
1
5
( 2) = 23 – 2 22 + 3
–
=
Te
x
x – a is R( x ) = A( a ) Bewijs : A ( x )= D ( x ) Q ( x )+ R ( x ) metgr (R ( x )) < gr (D ( x )) ofR ( x )= 0 =⇒ A ( x )=( x a ) Q ( x )+ R ( x ) metgr (R ( x ))= 0ofR ( x )= 0 (dus:R ( x )= r ) =⇒ A (a )=(a a ) · Q (a )+ r =⇒ A (a )= r Voorbeeld
rest bij deling van A( x ) = 2x 3 + 9x 2 + 8x + 1 door x + 3 is A( –3) = 2 ( –3)3 + 9 ( –3)2 + 8 ( –3) + 1 = 4. Praktisch
deler rest x – 3 A( 3) x + 3 A( –3) x 1 2 A 1 2 A( x
D( x ) ⟺ A( x )
deelbaar
D( x ) Q( x ) 0 A( x ) x – a Q( x ) r = A( a ) 2981 –3 –6 –9 3 23 –1 4
D( x ) = x – a ( a ∈ R)
bewijzen : Bij deling van A(
) door
: De
:
)
is
door
8Kenmerk van deelbaarheid
aKenmerk
door x – a
De veelterm A( x ) is deelbaar door x – a als en slechts als de getalwaarde voor x = a gelijk is aan 0. in symbolen: x – a ∣ A( x ) ⟺ A( a ) = 0
Bewijs : x a | A ( x )
definitiedeelbaarheid
derestbijdeeuclidischedelingvanA ( x ) door x a is0
reststelling
A (a ) = 0
Voorbeeld : x – 2 ∣ A( x ) = 3x 2 – 4x – 4 want A( 2) = 3 22 – 4 2 – 4 = 0 x + 3 ∤ B( x ) = x 3 – 2x 2 + x – 1 want B( –3) = ( –3)3 – 2 ( –3)2 + ( –3) – 1 = –49 ≠ 0
( x ) isdeelbaar door x a
Opmerking : Als A ( x ) deelbaar is door x – a , dan noemen we a een nulwaarde van de veelterm A ( x )
bDe delers bepalen van de vorm x – a
Voorbeeld : We proberen de delers van de vorm x – a te bepalen van de veelterm A ( x ) = x 3 – 4x 2 + x + 6. Volgens het kenmerk van deelbaarheid geldt: x – a ∣ A( x ) ⟺ A( a ) = 0 Zo weten we dat x + 1 ∣ A( x ) want A( –1)
Opvallend hierbij is dat zowel –1, 2 als 3 delers zijn van 6.
Opdat een veelterm deelbaar zou zijn door x – a is het nodig dat de constante term van die veelterm deelbaar is door a . in symbolen: x
a ∣ a n x n + a n– 1x n– 1 + … + a 1x + a 0
Opmerking : Opdat x a | A( x ) is het nodig dat a | a 0 Dat is echter geen voldoende voorwaarde. De omgekeerde eigenschap geldt dus niet altijd !
Voorbeeld : x 2 ∤ x 2 3x + 4want A( 2) ≠ 0, nochtans : 2 | 4 Anderzijds kan x + 3 onmogelijk een deler zijn van x 2 3x + 4want –3 ∤ 4.
16
1)3
4
( –1)2 +
6
x
= 23 – 4 22 + 2 + 6 = 0 x
3 ∣
3)
32 +
0
= ( –
–
·
( –1) +
= 0
– 2 ∣ A( x ) want A( 2)
–
A( x ) want A(
= 33 – 4
3 + 6 =
–
⟹
a ∣ a 0
A
A
x a | a n x n + ... + a 0 a | a 0
(a )= 0
Praktische werkwijze voor het bepalen van een deler van de vorm x – a met a ∈ Z
We zoeken de eventuele delers van de vorm x – a ( a ∈ Z) als volgt : – bepaal de delers van de constante term a 0 ; – bepaal de getalwaarde van de veelterm voor die delers.
Voorbeelden : A (x )= x 3 + 3x 2 x 3 del ( 3)= {1, 1,3, 3}
A (1)= 0 =⇒ x 1 | A ( x )
A ( 1)= 0 =⇒ x + 1 | A ( x )
A (3) = 0 =⇒ x 3 A ( x )
A ( 3)= 0 =⇒ x + 3 | A ( x )
Dezeveeltermheeftdus3delersvandevorm x a ,nl.: x 1, x + 1en x + 3.
B (x )= x 2 3x + 5 del5 = {1, 1,5, 5}
B (1) = 0 =⇒ x 1 B ( x )
B ( 1) = 0 =⇒ x + 1 B ( x )
B (5) = 0 =⇒ x 5 B ( x )
B ( 5) = 0 =⇒ x + 5 B ( x )
Dezeveeltermheeftdusgeendelersvandevorm x a . (a ∈ Z )
Het bepalen van de delers van de vorm x – a met a ∉ Z gebeurt met behulp van ICT.
17 1 Veeltermen in r [ x ]
9 Een veelterm ontbinden in factoren met behulp van de regel van Horner
Voorbeeld 1 :
A( x ) = x 4 – x 3 – 7x 2 + x + 6 del 6 = { 1, –1, 2, –2, 3, –3, 6, –6}
A( 1) = 0 ⟹ x – 1 | A( x )
A( x ) = ( x – 1)( x 3 – 7x – 6) ( 1)
We stellen A′( x ) = x 3 – 7x – 6.
A′( –1) = 0 ⟹ x + 1 | A′( x ) 10 7 6 1 116 1 1 60
A′( x ) = ( x + 1)( x 2 – x – 6)
S = 1 2 P = 63
A′( x ) = ( x + 1)( x + 2)( x – 3)
Uit ( 1) volgt :
A( x ) = ( x – 1)( x + 1)( x + 2)( x – 3)
Voorbeeld 2 :
B( x ) = 3x 4 + 9x 3 + 7x 2 + 3x + 2
B( –1) = 0 ⟹ x + 1 | B( x )
B( –2) = 0 ⟹ x + 2 | B( x ) 39732
1 3 6 1 2
2 60 2 3010
We vinden :
B( x ) = ( x + 1)( x + 2)( 3x 2 + 1)
18
1 1
1
7 6 10 7 6 0
716
10
36120
10De veeltermen x3 – a3 en x3 + a3
19 1 Veeltermen in r [ x ]
De veelterm x 3 – a 3 Voorbeelden : x 2 | x 3 8want23 8 = 0 x 1 | x 3 1want13 1 = 0 x 4 | x 3 64want43 64 = 0 Uit voorgaande voorbeelden blijkt dat x a | x 3 a 3. We bepalen nu het quotiënt : 100 a 3 a aa 2 a 3 1 aa 2 0 x 3 a 3 = ( x a )( x 2 + ax + a 2)
formule toe op de voorbeelden : De veelterm x 3 + a 3 Voorbeelden : Uit voorgaande voorbeelden blijkt dat x + a | x 3 + a 3. We bepalen nu het quotiënt : 100 a 3 a aa 2 a 3 1 aa 2 0 x 3 + a 3 = ( x + a )( x 2 ax + a 2) We passen deze formule toe op de voorbeelden : x 3 + 8 = ( x + 2) x 2 2 x + 4 x 3 + 1 = ( x + 1) x 2 x + 1 x 3 + 64 = ( x + 4) x 2 4 x + 16 x 3 8 = ( x 2) x 2 + 2 x + 4 x 3 1 = ( x 1) x 2 + x + 1 x 3 64 = ( x 4) x 2 + 4 x + 16 x + 2 | x 3 + 8want ( 2)3 + 8 = 0 x + 1 | x 3 + 1want ( 1)3 + 1 = 0 x + 4 | x 3 + 64want ( 4)3 + 64 = 0
We passen deze
11 Veeltermen ontbinden in factoren
Om veeltermen te ontbinden in factoren kennen we al enkele mogelijkheden :
afzonderen van een gemeenschappelijke factor :
12x 4 8x 3 + 4x 2 = 4x 2 ( 3x 2 2x + 1)
merkwaardige producten :
4x 2 9 = ( 2x 3) ( 2x + 3)
9x 2 6x + 1 = ( 3x 1)2
x 3 125 = ( x 5) ( x 2 + 5x + 25)
x 3 + 125 = ( x + 5) ( x 2 5x + 25) – som- en productmethode :
x 2 6 x + 5
S = 6
P = 5 x = 5of x = 1
x 2 6 x + 5 =( x 5)( x 1)
discriminantmethode : 2 x 2 + 5 x 3
A2 – B2 = ( A – B)( A + B)
A2 ± 2AB + B2 = ( A ± B)2
A3 – B3 = ( A – B)( A2 + AB + B2)
A3 + B3 = ( A + B)( A2 – AB + B2)
1) ( x 2 + 1)
Ook de euclidische deling van een veelterm door x a kan ons helpen bij het ontbinden in factoren.
Voorbeeld :
Om de veelterm A( x ) = x 3 2x 2 5x + 6 te ontbinden, bepalen we de delers van de vorm x a .
20
–
–
–
x 1 = 5 √49 2 2 = 5 7 4 = 3 2 x 2 + 5 x 3 = 2( x + 3) x 1 2 =( x + 3)(2 x 1) x 2 = 5 + √49 2 · 2 = 5 + 7 4 = 1 2 –
van termen : x 3 + x 2 + x + 1 = x 2 ( x + 1) + x + 1 = ( x +
D = 52 4 2 ( 3) = 25 + 24 = 49
samennemen
⇐⇒
1 2 56 1 1 1 6 1 1 60 x 3 2 x 2 5 x + 6 = ( x 1) · x 2 x 6 = ( x 1) ( x 3) ( x + 2) som-enproductmethode
A (1) = 0
x 1 | A ( x )
12Samenvatting
• Je weet wat een veelterm is, je kunt de graad in een letter bepalen en kent de betekenis van een nulwaarde van een veelterm.
• Je kent de definitie van de euclidische deling van twee veeltermen.
A( x ), D( x ), Q( x ), R( x ) ∈ R[ x ] en D( x ) ≠ 0
De euclidische deling van A( x ) door D( x ) noteer je als
A( x ) = D( x ) Q( x ) + R( x ) met gr ( R( x )) < gr ( D( x )) of R( x ) = 0.
Hierbij is Q( x ) het quotiënt en R( x ) de rest.
• Je kunt het quotiënt en de rest bepalen bij de euclidische deling van twee veeltermen.
• Je kunt de getalwaarde van een veelterm bepalen voor een gegeven waarde.
De getalwaarde van een veelterm A( x ) voor een gegeven getal α is het reële getal dat je bekomt door in de veelterm de veranderlijke x te vervangen door α
• Je kunt de getalwaarde van een veelterm in één veranderlijke bepalen voor een gegeven getal door het algoritme van Horner toe te passen.
• Je kent de definitie van deelbaarheid in R[ x ]
A( x ) is deelbaar door D( x ) als en slechts als de rest van de euclidische deling van A( x ) door D( x ) nul is.
D ( x ) | A ( x ) ⇐⇒∃!Q ( x ) ∈ R [ x ] :A ( x ) = D ( x ) Q ( x ) ⇐⇒ R ( x ) = 0
• Je weet dat bij de euclidische deling van een veelterm door x – a de rest van de deling gelijk is aan de getalwaarde van het deeltal voor x = a en je kunt dit ook bewijzen.
• Je kunt bij een euclidische deling van een veelterm door x – a het quotiënt en de rest bepalen door het rekenschema van Horner te gebruiken.
• Je kent het kenmerk van de deelbaarheid van een veelterm door x – a en je kunt dit ook bewijzen. De veelterm A( x ) is deelbaar door x a als en slechts als de getalwaarde voor x = a gelijk is aan 0.
x a | A ( x ) ⇐⇒ A (a ) = 0
• Je kent de nodige voorwaarden om delers van de vorm x a te bepalen.
Opdat een veelterm deelbaar zou zijn door x a is het nodig dat de constante term van die veelterm deelbaar is door a
x a | a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 =⇒ a | a 0
• Je kent de volgende formules :
x 3 – a 3 = ( x – a ) ( x 2 + ax + a 2)
x 3 + a 3 = ( x + a ) ( x 2 – ax + a 2)
• Je kent verschillende mogelijkheden om een veelterm te ontbinden in factoren.
21 1 Veeltermen in r [ x ]
13Oefeningen
Gegeven : A ( x )= x 3 2 x 2 + x 1 B ( x )= 2 x 4 + 3 x 3 4 x 2 + 2 x 3 C ( x )= x 4 + x 2 4
Gevraagd : Zoek met het rekenschema van Horner.
aA (1)
b A ( 1)
c B ( 1)
d B ( 2)
Vervolledig onderstaand schema van Horner. …50…… –3 2…… –1 –6
eC ( 2) fC (√2) gA 1 2 hB 1 2
Bepaal de reële getallen a , b , c , d en e zodat de volgende uitspraken juist zijn.
a8x 3 2x 2 + x 5 = 2ax 3 4bx 2 + cx d b3
Bepaal het quotiënt en de rest bij deling van A( x ) door D( x ):
① met behulp van de euclidische deling ;
② met het rekenschema van Horner.
aA ( x )= 3 x 3 x 2 + 2 x 1D ( x )= x + 1
bA ( x )= 4 x 4 3 x 3 + 2 x 2 3D ( x )= x 3
cA ( x )= 27 x 3 24 x 2 + 9 x 1D ( x )= x 1
dA ( x )= 6 x 3 x 2 + x 1D ( x )= x + 2
eA ( x )= x 3 + 12 x 2 + 47 x + 60D ( x )= x + 4
fA ( x )= x 5 x 3 x + 5D ( x )= x 1
gA ( x )= x 4 6 x 2 + 7 x 6D ( x )= x 2
hA ( x )= 9 x 3 + 53 x 2 9 x 18D ( x )= x + 6
22
4 2ax 3 + ( a + 1)x 2 x + b = ax 4 + bx 3 cx 2 dx + e
a
2
5) b
1)
a
1)
b
x 2)
( x + 3) c ( x 1)2 = x ( x 1)
a
x
c
(
x +
( x
= 3x + 4 d
(x
+
(
·
e
( x 2 1) + b ( x 1) + c = x 2 + x + 1
1 2 3 4
Bepaal de delers van de vorm x – a van de volgende veeltermen ( a ∈ Z)
a x 3 3 x 2 10 x + 24
b x 3 + 2 x 2 5 x 6
c x 4 10 x 2 + 9
d x 3 9 x 2 11 x + 21
e x 4 2 x 3 + x 2
f 4 x 3 4 x 2 x + 1
g 12 x 4 8 x 3 25 x 2 13 x 2
h x 4 + x 3 10 x 2 4 x + 24
Bepaal k ∈ R zodat bij de euclidische deling van A( x ) door D( x ) de rest gelijk zou zijn aan r.
Toon aan dat de volgende delingen opgaan en bepaal daarna het quotiënt.
1 23 Veeltermen in r [ x ]
A( x ) D( x ) r a 4x 3 – kx 2 + 2x – 1 x – 2 – 1 b –4x 4 – 6x 3 + 2x + k x + 1 0 c 3kx 2 1 2 kx + 5 4 x 1 2 3 4 d x 3 + kx + 2√3 x + √3 3√3 e 5x 3 + ( k + 1)x 2 – 31x + 3 + k x + 3 k f ( k 2 + 1)x 4 + 3x 3 + 2kx 2 – 1 x + 1 0
A( x ) D( x ) a 5x 3 + 4x 2 – 31x + 6 x – 2 b 2x 4 + 3x 3 + 2x 2 – 1 x + 1 c 6x 5 + 19x 4 + 8x 3 + 16x 2 + 2x – 3 x + 3 d x 3 – 3ax 2 + 4a 3 x – 2a 5 6 7
Bij deling van A( x ) = 2x 3 x 2 + ax b door x 1 en door x + 3 is de rest telkens 4. Bepaal a en b
9
Bepaal a , b en c zodat 5x 3 + ax 2 + bx + c deelbaar is door x – 1 en x + 1 en bij deling door x – 2 de rest 36 is.
10 11
Ontbind de volgende veeltermen in factoren. Controleer je antwoord met ICT.
a x 2 8 x + 12
b 6 x 2 + 13 x + 5
c 5 x 2 8 x + 13
d x 2 4 x + 1
e x 2 + 7 x 6
f 8 x 2 22 x + 15
g 2 x 3 + x 2 22 x + 24
h 2 x 3 3 x 2 2 x + 3
i 3 x 3 x 2 59 x 55
j 2 x 3 + 5 x 2 4 x 3
k x 4 2 x 2 + 1
l x 4 4
m 6 x 4 + 13 x 3 13 x 6
n 6 x 4 + 4 x 3 26 x 2 16 x + 8
o 6 x 4 43 x 3 + 77 x 2 + 2 x 24
p x 5 + 3 x 4 16 x 48
Bepaal telkens het quotiënt van A( x ) en D( x )
24
A( x ) D( x )
x 3 – 1 x – 1
x 3 – 64 x – 4
x 3 – 8 x – 2
x 3 + 8 x + 2
3
1 3x + 1 8
*
a
b
c
d
e 27x
+
Welke veeltermen zijn een deler van A( x ) = x 7 – x ?
D1( x ) = x 2 + x + 1
D2( x ) = x 3 – 1
D3( x ) = x 2 – 1
De rest van x 2023 bij deling door x 2 – 1 is gelijk aan :
x ) = x 4 + x 2 + 1
x ) = x 4 + x
x ) = x 2 + 1
VWO 2023 eerste ronde, vraag 22 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw
De veelterm P( x ) = 8x 3 + 8 is deelbaar door x + a , met a ∈ R. Hoeveel is de rest van de deling van P( x ) door x + 2a ?
Toelatingsexamen arts 2019, vraag 7
Voor een bepaald reëel getal k is de veelterm P(
Deze veelterm is dan ook nog deelbaar door :
Toelatingsexamen arts 2021, vraag 5
Deling van de veeltermen P1( x ) = ( 2x –
door x – a ( a ∈ r ) geeft dezelfde rest. Hoeveel is die rest ?
Toelatingsexamen arts 2022, vraag 6
1 25 Veeltermen in r [ x ]
D4(
D5(
D6(
(A)
(B)
(C)
(D)
1
x
x – 1
x + 1 (E)1 – x
(A)
(B)
(C)
(D)
–60
–56
–52
–50
3
kx 2 – 5
x ) = x
+
x + 8 – k deelbaar door x + k
(A) x + √2 (B) x + √3 (C) x + √5 (D) x + √6
3)2
2
1)2
(A) 4 (B) 7 2 (C) 2 (D) 1 2
12 13 14 15 16
en P2( x ) = (
x +
Veeltermen in r [ x ] 1
26 WAT MOET JE KENNEN EN KUNNEN ?
pagina Ik weet wat een veelterm is, kan de graad bepalen en ken de betekenis van de getalwaarde en een nulwaarde. 9 Ik ken het algoritme van Horner. 10 Ik kan de euclidische deling uitvoeren van veeltermen met reële coëfficiënten in één onbekende. 12 Ik kan het quotiënt en de rest bepalen bij deling door x – a met behulp van het algoritme van Horner. 13 Ik ken de reststelling bij deling door x – a 15 Ik ken het kenmerk van deelbaarheid door x – a . 16 Ik kan een veelterm ontbinden in factoren met behulp van de regel van Horner. 18 Ik kan de tweetermen x 3 – a 3 en x 3 + a 3 ontbinden in factoren. 19 Ik kan veeltermen ontbinden in factoren door een gegeven heuristiek toe te passen. 20
