10 Samenvatting

• Je kent de definitie van een rationale en een homografische functie. Een rationale functie f is het quotiënt van twee veeltermfuncties (waarbij de noemer niet de nulveelterm is).

Voorschrift : f ( x )= g ( x ) h ( x ) g en h zijn veeltermfuncties met h ( x ) ≠ 0

We noemen de functie f homografisch als f ( x )= ax + b cx + d .

• Je kunt de volgende kenmerken van een rationale functie bespreken : domein, bereik, nulwaarden, tekenverloop, gedrag op oneindig en asymptoten.

• Je weet wanneer een functie strikt stijgend of strikt dalend is. Een functie f is strikt stijgend in [ a , b ] ⟺ f is gedefinieerd in [ a , b ] en

Een functie f is strikt dalend in [a , b ] ⟺ f is gedefinieerd in [ a , b ] en ∀ of : lim x → c f ( x )= ±∞ of : lim x →±∞ f ( x )= c

• Je weet wanneer de grafiek van een functie een verticale, horizontale of schuine asymptoot heeft.

De grafiek van een rationale functie heeft een verticale asymptoot met vergelijking x = c wanneer de afstand tussen de grafiek en een verticale rechte voor zeer grote waarden van y tot 0 nadert.

Vuistregel : c is een pool van de functie.

De grafiek van een rationale functie heeft een horizontale asymptoot met vergelijking y = c wanneer de afstand tussen de grafiek en een horizontale rechte voor zeer grote waarden van x tot 0 nadert.

Vuistregel : in het functievoorschrift is de graad van de teller ⩽ graad van de noemer.

• Je kunt vraagstukken in verband met homografische functies oplossen.

• Je kunt homografische vergelijkingen oplossen.

• Je kunt het voorschrift van een homografische functie opstellen.

11 Oefeningen

Welk functievoorschrift hoort bij welke grafiek ?

Bepaal het functievoorschrift van de volgende homografische functies.

Geef van volgende homografische functies, waarvan het voorschrift is gegeven, het domein, het bereik, het snijpunt met de assen, de nulwaarden en de asymptoten.

a f ( x )= x 4 x 3 b f ( x )= x x + 3 c f ( x )= 3 x + 1 2 x d f ( x )= x 5 2 + x a f ( x )= 3 x 4 x + 2 b f ( x )= x x 3 c f ( x )= 1 3 x 2 x d f ( x )= 6 x 1 6 x + 1 a Bepaal het voorschrift van een homografische functie met pool –4, nulwaarde 3 en waarvan de grafiek de rechte met vergelijking y = –2 als horizontale asymptoot heeft. b Bepaal het voorschrift van een homografische functie met pool 5, nulwaarde –1 en waarvan de grafiek gaat door het punt P( 4, 10). c Bepaal het voorschrift van een homografische functie met nulwaarde 1 3 en waarvan de grafiek gaat door het punt P( –1, –8) en de rechte met vergelijking y = 2 als horizontale asymptoot heeft. d Bepaal het voorschrift van een homografische functie waarvan de grafiek gaat door het punt P( 1, 2) en de rechten met vergelijking x = –0,5 en y = –5 respectievelijk als verticale en horizontale asymptoot heeft.

Bepaal het tekenverloop en het stijgen en dalen van volgende homografische functies waarvan het voorschrift is gegeven.

Bespreek de homografische functies met onderstaande voorschriften (domein, bereik, nulwaarden, polen, tekenverloop, asymptoten, stijgen en dalen).

Homografische functies.

Situatieschets :

Op 1 meter van een gebouw van 16 m hoogte staat een 2 m hoge muur. Op 20 m van datzelfde gebouw ligt een diepe gracht. We plaatsen nu een uitschuifbare ladder, steunpunt op de grond en op het muurtje, tegen het gebouw. De afstand van het voetpunt van de ladder tot het voetpunt van het gebouw noemen we x .

Gevraagd : a Bepaal de hoogte van de ladder in functie van x . M.a.w. stel een hoogtefunctie met voorschrift h ( x ) op. (Tip : denk aan gelijkvormige driehoeken.) b Schets de grafiek van de functie. Denk hierbij aan de beperkingen voor x en h ( x ). c Hoe hoog reikt de ladder als je je op een halve meter van het muurtje bevindt ? Hoe lang is de ladder dan ? d Beantwoord de vorige vraag opnieuw als je je op 1 m, respectievelijk 5 m van het muurtje bevindt. e Hoe lang moet de ladder zijn als je de dakgoot van het gebouw wil reinigen. (De goot bevindt zich bovenaan.) f Stel het voorschrift op van een functie die de lengte van de ladder weergeeft in functie van x

Los de volgende homografische vergelijkingen op in R a x x + 2 = 1 x b x x + 3 2 x = 0 c x 1 x + 1 = x 2 x + 2 d 3 x x 2 + 2 x 1 = 0 e x + 3 x 2 + 2 x x 1 = 0 f 1 x 1 + 1 x x + 1 = x g 1 x 1 = 2 x 2 + 3 x 3 h x 1 x 1 1 x + 1 = 0 a Klasleerkracht Ilke gaat met de andere klasleerkrachten en 140 vijfdejaars op tentenkamp in de Ardennen.

Haar collega Koen merkt op dat als er in elke tent één leerling meer zou slapen er dan 7 tenten minder moeten worden opgesteld.

Hoeveel leerlingen slapen er aanvankelijk in één tent ?

Een school moet voor de leerlingen die zich hebben ingeschreven voor Sport Op School nieuwe T-shirts bestellen. De directeur vraagt een prijsofferte bij twee firma’s :

• bij firma A heeft hij een totaalprijs van 420 euro ;

• bij firma B heeft hij voor 420 euro 7 T-shirts meer en ze kosten er 2 euro minder per stuk.

Hoeveel outfits gaat de directeur bestellen ?

Wouter moet zijn examen wiskunde voorbereiden. In zijn handboek staan 80 oefeningen die hij wil oplossen.

Hij wil een idee hebben over de tijd die hij eraan zal spenderen. Hij stelt vast dat als hij gemiddeld per uur 1 oefening meer zou oplossen, hij 4 uur minder moet studeren.

Hoeveel oefeningen ging Wouter dan aanvankelijk per uur oplossen ?

En hoelang zal Wouter dan aan de oefeningen moeten werken ?

Een rechthoek heeft een oppervlakte van 80 cm2 a Schrijf de omtrek P ( x ) van de rechthoek in functie van de lengte ( x ). b Schets de grafiek. c Bepaal de eventuele nulwaarden van de functie met voorschrift P ( x ). d Voor welke waarden van de lengte x is de omtrek minimaal ? Hoeveel bedraagt de minimale omtrek van de rechthoek ?

Een schoonmaakbedrijf hanteert voor het schoonmaken van gebouwen de formule : k ( x )= 9 + 40 x k ( x ): het bedrag in euro dat per jaar per m2 moet worden betaald x : de oppervlakte in honderd m2 a Schets de grafiek van k ( x ). b Een vloer heeft een oppervlakte van 2000 m2. Hoeveel moet er per jaar voor het schoonmaken betaald worden ? c Kasper zou zijn studentenkot van 8 bij 6 meter door het bedrijf willen laten onderhouden. Hoeveel kost hem dat per jaar ? d Firma Xanders betaalt jaarlijks 9,16 euro per m2 voor het schoonmaken van zijn gebouw. Hoe groot is de oppervlakte van dit gebouw ? e Geef de formule van de totale jaarlijkse schoonmaakkosten als functie van x a Bepaal de gemiddelde prijs van een outfit in functie van het aantal leerlingen. b Hoeveel leerlingen moeten minstens een outfit kopen opdat de kostprijs lager dan 30 zou liggen ?

Een lagerescholengroep wil nieuwe outfits kopen voor de turnlessen. Voor de productie hiervan vraagt de producent een vast bedrag van 1200 euro en per outfit 25 euro.