5 Asymptoten van grafieken van homografische functies

Indien de grafiek van een functie zich naar het oneindige uitstrekt en de afstand van de punten op de grafiek tot een rechte daarbij tot nul nadert, noemen we die rechte een asymptoot van de grafiek.

a Verticale asymptoten

De vergelijking van een verticale rechte is x = c (= constante). De grafiek van een functie f heeft een verticale asymptoot wanneer de afstand tussen de grafiek en een verticale rechte voor zeer grote waarden van y tot nul nadert. De grafiek mag de rechte dus niet snijden. De functie mag voor die x -waarde dus niet gedefinieerd zijn. De constante c is m.a.w. gelijk aan een pool van de functie en er moet gelden : lim x → c f ( x )= ±∞

Dit verkrijgen we als de noemer zeer klein wordt en de teller niet, m.a.w. als de noemer naar nul nadert en de teller niet. We kunnen dus besluiten : de grafiek van een rationale functie heeft een verticale asymptoot met vergelijking x = c , als c een nulwaarde is van de noemer en niet van de teller. De grafiek van een rationale functie kan meerdere verticale asymptoten hebben.

Voorbeeld :

Degrafiekvandefunctie f met f ( x )= x 1 2 x + 2 heeftderechtemetvergelijking x = 1alsverticaleasymptoot, want 1iseenpoolvan f .

b Horizontale asymptoten

De vergelijking van een horizontale rechte is y = c (= constante). De grafiek van een functie f heeft een horizontale asymptoot wanneer de afstand tussen de grafiek en een horizontale rechte voor zeer grote waarden van x tot nul nadert. M.a.w. als lim x →±∞ f ( x )= c .

Nu zijn er twee mogelijkheden : c = 0

De constante is nul wanneer het quotiënt na euclidische deling van de teller door de noemer gelijk is aan nul. Dat is als de graad van de teller kleiner is dan de graad van de noemer.

M.a.w. de grafiek van een rationale functie heeft een horizontale asymptoot met als vergelijking y = 0 als in het functievoorschrift de graad van de teller kleiner is dan de graad van de noemer.

Voorbeeld 1 :

Degrafiekvandefunctie f met f ( x )= 2 x + 1 heeftderechtemetvergelijking y = 0alshorizontale asymptoot,wantinhetfunctievoorschriftisdegraadvandetellerkleinerdandegraadvandenoemer.

Voorbeeld 2 :

Degrafiekvandefunctie f met f ( x )= 2 x 1 x heeftderechtemetvergelijking y = 2alshorizontale asymptoot,wantinhetfunctievoorschriftisdegraadvandetellergelijkaandegraadvandenoemeren 2ishetquotiëntvandeeuclidischedeling 2 x 1 x = 2 1 x

De constante is verschillend van nul wanneer het quotiënt na euclidische deling van de teller door de noemer gelijk is aan een getal verschillend van nul. Dat is als de graad van de teller gelijk is aan de graad van de noemer.

M.a.w. de grafiek van een rationale functie heeft een horizontale asymptoot met als vergelijking y = c ( c ≠ 0) als in het functievoorschrift de graad van de teller gelijk is aan de graad van de noemer.