2.7 Differentiequotiënt

1 Productiekosten beperken

De totale productiekosten (in duizenden euro’s) van een product hangen af van het aantal productie-eenheden per week volgens het wiskundig model : k ( q ) = 0,6 ( q – 4)3 + 38,4 met k ( q ): totale productiekost in duizenden euro’s q : aantal productie-eenheden in duizendtallen a Met hoeveel euro nemen de totale kosten toe als het aantal productie-eenheden toeneemt van 1000 naar 2000 ? En van 2000 naar 3000 ? Maak een tabel van de differentie van k ( q ), nl. ∆k ( q ) = k ( q + 1) – k ( q ) met q = 0, 1, …, 10. b Bedrijfseconomisch is het van belang om de productiegroei stop te zetten vlak voordat de kosten per extra 1000 eenheden weer snel stijgen. Bij welke toename in duizendtallen is de groei van de totale kosten het kleinst ? Bij welke productie kunnen we het best stoppen ? b In de tabel zien we duidelijk dat de supplementaire productiekosten steeds dalen tot een productie van 4000 stuks. Vanaf dan worden de productiekosten per duizend eenheden weer steeds groter. Bedrijfseconomisch gezien is het dan ook interessant om de productie rond de 4000 eenheden te houden.

Om de productie op te starten van 0 tot 1000 eenheden, bedraagt de kostprijs 22 200 euro. Om de productie te verhogen van 1000 naar 2000 stuks, bedraagt de stijging van de kosten 11 400 euro. Een stijging van 2000 naar 3000 productie-eenheden brengt een meerkost van 4200 euro met zich mee. Het verschil in kosten tussen 3000 en 4000 bedraagt slechts 600 euro enz.

2 Hoe snel reed Sofie ?

Sofie huurt op haar reis een motorscooter. Ze maakt er een testrit mee over een afstand van ongeveer 10 km. Ze doet er een halfuurtje over. Haar rit kun je beschrijven met het volgende functievoorschrift : d ( t )= 2 t 3 als0 t 15

10125 (30 t )3 als15 < t 30 met d ( t ): afstand in meter, t : tijd in minuten a Hoeveel kilometer, tot op 1 meter nauwkeurig, reed Sofie effectief ? Bereken de gemiddelde snelheid in km/h over de hele testrit. b De gemiddelde snelheid over de hele rit zegt weinig over haar snelheid op een bepaald moment. Hoe verandert die snelheid gedurende de rit ? c Benader de snelheid in m/min op het tijdstip t = 8.

Bereken ∆d ( t ) = d ( t + 1) – d ( t ) voor t = 0 tot t = 29.

Oplossing : a Sofie reed effectief d ( 30) = 10 125 m. c Voor een benadering van de snelheid in m/min op het tijdstip t = 8 minuten berekenen we de gemiddelde snelheid over een klein interval, bijvoorbeeld van t = 8 tot t = 8,1 minuten. d ( 8) = 1024 m d ( 8,1) = 1062,882 m

Gedurende de hele rit reed Sofie aan een gemiddelde snelheid van ( 10,125 2) km/h = 20,25 km/h. Maar dit zegt weinig over haar prestaties gedurende de hele rit. Daarom berekenen we de afstand (in meter) die Sofie elke minuut gereden heeft.

Uit de tabel blijkt dat Sofie het snelst reed tussen de 14e en 15e minuut. Zij reed toen met een (gemiddelde) snelheid van 1262 m/min of 75,72 km/h.

∆d ( t ) = d ( 8,1) – d ( 8) = 38,882 m

∆t = 8,1 min – 8 min = 0,1 min gemiddeldesnelheid = ∆d ( t )

=

We mogen dus stellen dat Sofie op het tijdstip t = 8 ongeveer met een snelheid van 384 m/min of 23,04 km/h reed. Terminologie differentiequotiënt : differentiequotiënt

We berekenen de toename van de x - en y -waarden over het interval [ x A, x B].

Kies het punt B steeds dichter bij het punt A.

De rechte AB valt uiteindelijk samen met de raaklijn t in A. De snelheid waarmee y verandert voor x = x A is dus de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in A.

AlsA a , f (a ) enB b , f ( b ) tweepuntenzijnvandegrafiekvaneenfunctie f ,dannoemenwe

∆ y

∆ x = ∆ f ( x ) ∆ x = f ( b ) f (a ) b a het differentiequotiënt ofde gemiddeldeverandering van f over hetinterval [a , b ]

Als ∆ y ∆ x > 0,danstijgtdiefunctieindatinterval;als ∆ y ∆ x < 0,dandaaltdiefunctieindatinterval.