Homografische functies

1 Definities

rationale functie

Een rationale functie f is het quotiënt van twee veeltermfuncties (waarbij de noemer niet de nulveelterm is).

Voorschrift : f ( x )= g ( x ) h ( x ) g en h zijn veeltermfuncties met h ( x ) ≠ nulveelterm.

De naam is afgeleid van het latijnse ratio, dat o.a. ‘verhouding’ betekent.

Voorbeelden : Tegenvoorbeelden : f 1 met f 1 ( x )= 1 x f 2 met f 2 ( x )= x 2 1 2 x + 2 f 3 met f 3 ( x )= x 3 x 2 3 homografisch f 4 met f 4 ( x )= √ x x f 5 met f 5 ( x )= sin x x f 6 met f 6 ( x )= 3 x x 1

We noemen de functie f homografisch als f ( x )= ax + b cx + d .

Hierbij is :

• is c ≠ 0, anders is f een eerstegraadsfunctie ; f 4 , f 5 en f 6 zijngeenrationale functieswant √ x ,sin x en3 x zijngeenveeltermen

• zijn a en b niet beide nul, anders is f een constante functie ;

• is ad ≠ bc , anders is f een constante functie (met een perforatie in de grafiek).

2 De functie f met f ( x ) = 1 x

We onderzoeken de meest eenvoudige rationale functie, namelijk die met voorschrift : f ( x )= 1 x a We bepalen een aantal koppels via het visgraatdiagram en tekenen de grafiek van de functie.

De grafiek noemen we een hyperbool b Domein en bereik dom f = R0 = R \ {0} ber f = R0 = R \ {0} c Nulwaarden en tekenverloop f Gedrag op oneindig en asymptoten

Omdat het delen door nul niet gedefinieerd is, moeten we ervoor zorgen dat de noemer niet nul kan worden. De nulwaarden van de noemer moeten dus uit het domein geweerd worden.

Hieruit volgt dat de grafiek van f geen snijpunt heeft met de y-as en de x-as.

De grafiek van f heeft geen snijpunten met de x-as, de functie heeft dus geen nulwaarden. Nulwaarden van de noemer worden in de tabellen aangeduid met een verticaal streepje.

De functie is dus oneven . De oorsprong is een symmetriemiddelpunt van de grafiek.

Bij zeer grote waarden (positief of negatief) van x nadert de grafiek van de functie de x-as zeer dicht zonder die te snijden.

We zeggen dat de grafiek van f een horizontale asymptoot met vergelijking y = 0 heeft.

Bij x -waarden zeer dicht bij nul gelegen nemen de y -waarden onbeperkt toe en nadert de grafiek van de functie de y-as zeer dicht zonder ze te snijden.

We zeggen dat de grafiek van f een verticale asymptoot met vergelijking x = 0 heeft.

3 Voorbeeld

Beschouwdehomografischefunctie f

2 x + 1 x 1

De grafiek van een homografische functie is dus gelijkvormig met die van de functie met voorschrift f ( x )= 1 x a Domein dom f = R \ { 1} = ]–∞, 1[ ∪ ] 1, +∞[ b Nulwaarden f ( x )= 0 ⇐⇒ 2 x + 1 x 1 = 0

De grafiek van een homografische functie is een hyperbool.

We sluiten 1 uit omdat de noemer 0 wordt als x = 1. 1 noemen we de pool van de homografische functie. Een pool is een nulwaarde van de noemer die geen nulwaarde is van de teller.

⇐⇒ 2 x + 1 = 0en x 1 = 0

⇐⇒ x = 1 2 c Tekenverloop

Degrafiekvan f snijdtde x -asin 1 2 ,0 d Asymptoten

Denulwaardevandenoemerduidenweaanindetabelmeteenverticaalstreepje.

Bij x -waarden zeer dicht bij 1 gelegen, nemen de y -waarden onbeperkt toe en nadert de grafiek van de functie de rechte met vergelijking x = 1 zeer dicht zonder ze te snijden. We zeggen dat de grafiek van f een verticale asymptoot met vergelijking x = 1 heeft.

Bij zeer grote waarden (positief of negatief) van x nadert de grafiek van de functie de rechte met vergelijking y = 2 zeer dicht zonder ze te snijden. De grafiek van f heeft een horizontale asymptoot met vergelijking y = 2.

We noteren : lim x →±∞ f ( x )= 2 e Stijgen en dalen strikt stijgen en dalen Een functie f is strikt stijgend in [ a , b ] ⟺ f gedefinieerd is in [ a , b ] en x 1, x 2 ∈ [ a , b ]: x 1 < x 2 ⟹ f ( x 1) < f ( x 2) Een functie f is strikt dalend in [ a , b ] ⟺ f gedefinieerd is in [ a , b ] en x 1, x 2 ∈ [ a , b ]: x 1 < x 2 ⟹ f ( x 1) > f ( x 2)

We tonen hier aan dat de gegeven functie strikt dalend is in het interval ] 1, +∞[

Gegeven :

De functie is dus strikt dalend in ] 1, +∞[

Taak : probeer analoog aan te tonen dat de functie strikt dalend is in het interval ] –∞, 1[ Is de functie strikt dalend in het interval ] –∞, +∞[? Verklaar.

4 Toepassing

De grootte van een konijnenpopulatie is gegeven door de homografische functie n met voorschrift : n ( t )= 150 t + 90 t + 3 met n ( t ): het aantal konijnen t : de tijd in maanden a Teken met ICT de grafiek van de rationale functie n voor t ∈ [ –25, 25] en n ( t ) ∈ [ –10, 250] b Bepaal het realistisch of praktisch domein van n . Welk deel van de grafiek blijft over ? c Maak een tabel van de gegeven functie voor t ∈ [ 0, 20] d Hoeveel konijnen zijn er de zesde maand bijgekomen ? e Na hoeveel maanden zijn er 135 konijnen ?

Oplossing :

Het praktisch domein is [ 0, +∞[ c Uit b leiden we de volgende tabel af. d Het aantal konijnen dat er de zesde maand is bijgekomen, bedraagt : n ( 6) – n ( 5) = 110 – 105 = 5 e Willen we weten na hoeveel maanden er 135 konijnen zijn, dan moeten we de oplossing berekenen van de vergelijking n ( t ) = 135.

We tekenen de rechte met vergelijking n ( t ) = 135 op de grafiek. Die rechte snijdt de grafiek van de functie n als t = 21.

Na de 21e maand zijn er 135 konijnen.

Ter controle lossen we de vergelijking n ( t ) = 135 algebraïsch op. n ( t )= 135

Taak : zoek het praktisch bereik van de functie n