2.5 Het voorschrift van een veeltermfunctie opstellen

1 Voorbeeld 1

Bepaal een veeltermfunctie van de derde graad met 1 als nulwaarde, –2 als tweevoudige nulwaarde en waarvan de grafiek gaat door het punt P( 0, 4)

Oplossing : Het algemeen voorschrift van een derdegraadsfunctie f kunnen we schrijven als : f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d (1) met a ≠ 0

Omdat 1 een nulwaarde en –2 een tweevoudige nulwaarde is van f , kunnen we (1) schrijven als volgt : f ( x ) = a ( x – 1)( x + 2)2

P( 0, 4) is een punt van de grafiek van f gevraagde veeltermfunctie f heeft dus als voorschrift

2 een tweevoudige nulwaarde is van de functie.

Merk op dat de grafiek van de functie raakt aan de x -as in het punt ( –2, 0). Dit heeft te maken met het feit dat

2 Voorbeeld 2

Bepaal een veeltermfunctie van de derde graad waarvan de grafiek gaat door de punten A( 1, 0), B( 0, 1), C( 2, 9) en D( –2, –15)

Oplossing :

Het algemeen voorschrift van een derdegraadsfunctie f kunnen we schrijven als : f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d met a ≠ 0

Omdat de vier punten op de grafiek van die veeltermfunctie moeten liggen, voldoen hun coördinaten aan het functievoorschrift. We verkrijgen de volgende voorwaarden :

(1,0) ∈ f

0,1) ∈ f (2,9) ∈ f ( 2, 15) ∈ f

Zo ontstaat het volgende stelsel : a + b + c + d = 0 d = 1

8a + 4 b + 2 c + d = 9

8a + 4 b 2 c + d = 15

Via ICT vinden we als oplossing : a = 2

= 1 c = 2 d = 1

De gevraagde veeltermfunctie f heeft als voorschrift : f ( x ) = 2x 3 – x 2 – 2x + 1

Grafische controle :