VBTL 5 D-basis - Leerboek Algebra - inkijk methode

LEERBOEK

Algebra D-finaliteit basis

Philip Bogaert

Filip Geeurickx

Marc Muylaert

Roger Van Nieuwenhuyze

Erik Willockx

CARTOONS

Dave Vanroye

Hoe gebruik je VBTL?

Dit boek bevat drie hoofdstukken. Elk hoofdstuk is opgebouwd uit verschillende paragrafen met aan het einde een handige samenvatting.

Definities vind je op een rode achtergrond. Eigenschappen vind je op een groene achtergrond. Methodes, rekenregels en formules vind je op een zachtblauwe achtergrond.

Wiskunde is een eeuwenoude wetenschap. De geschiedenis van de wiskunde en de herkomst van bepaalde begrippen worden zachtpaars afgedrukt.

De nummers van de oefeningen hebben een gele kleur. Een sterretje duidt op een extra uitdaging. Achteraan in dit boek vind je de oplossingen

ICT is een ideaal hulpmiddel. Bij dit boek hoort een webpagina van GeoGebra, gevuld met heel wat digitale oefeningen en applets. Die vind je terug via www.polpo.be.

Wat moet je kennen en kunnen?

Op het einde van elk hoofdstuk zie je een handig overzicht van wat je moet kennen en kunnen Kleur de eerste kolom smileys als je de leerstof herhaalde voor een grote toets. Kleur de laatste kolom als je de leerstof beheerst voor je examen.

Wiskunde in de derde graad wordt een boeiende verkenningstocht langs machten, logaritmen en rijen. Zowel voor de machten als wortels bouwen we verder op de kennis die je de afgelopen jaren hebt opgedaan. Logaritmen zijn nieuw, maar die kun je zien als een inverse van worteltrekkingen. En dan zijn er nog die rijen … Een voorbeeldje ?

In het wereldberoemde Yellowstone, een nationaal park in de VS, staat de Old Faithful. Je kunt nooit voorspellen hoelang een eruptie (de geiser die water spuit) duurt, maar wel hoeveel tijd er tussen twee erupties zit. Spuit de geiser zo’n minuut lang, dan moet je 46 minuten wachten op de volgende eruptie. Spuit die twee minuten lang, dan moet je 58 minuten wachten (bij 3 minuten wordt dat 70 enzovoort). Die gegevens kun je in een ‘rij’ gieten, en daar kun je een pak interessante wiskunde aan linken.

Inhoud

Logaritmen

3

Rekenkundige en meetkundige rijen

1 Machten

Machten en wortels zijn begrippen die al lang gebruikt worden. Het waren de Babyloniërs die voor het eerst √ 2 en √ 3 benaderden. Jij maakte er kennis mee in je eerste jaar middelbaar onderwijs. Minder gebruikte synoniemen voor vierkantswortel zijn tweedemachtswortel en kwadraatswortel. Voor een derdemachtswortel werd vroeger dan weer wel eens kubiekwortel of teerlingwortel gebruikt. Vind je de link naar de betekenis van die woorden?

Een blokje kaas als aperitief helpt je wellicht op weg …

Machten

1Machten met gehele exponenten

In het derde jaar werden machten van een reëel getal ingevoerd met natuurlijke getallen als exponent :

Merk op : 00 is niet

De volgende fase was het invoeren van negatieve gehele getallen als exponenten. macht

We stellen in die definitie uitdrukkelijk voorop dat a verschilt van nul. Voor een grondtal a gelijk aan nul, komt nul immers in de noemer en het delen door 0 is niet gedefinieerd.

Machten en wortels

Vierkantswortels werden al zeer vroeg onder de een of andere vorm gebruikt: de Babylonische wiskunde kende benaderende waarden voor getallen die we nu schrijven als √ 2 en √ 3

Al beschikten de Grieken niet over een wortelteken, toch kenden ze onze met worteltekens geschreven getallen. Aan Aristoteles (384-322) wordt toegeschreven dat hij als eerste aangetoond zou hebben dat √ 2 geen rationaal getal is. Euclides (365-300) komt bij de behandeling van de stelling van Pythagoras en van de regelmatige veelhoeken en veelvlakken op een aantal irrationale uitdrukkingen terecht. Archimedes (287-212) kon langs meetkundige weg vierkantswortels van niet-volkomen kwadraten benaderen. De oorsprong van het woord wortel, dat zowel voor een met wortelteken geschreven getal als voor een oplossing van een algebraïsche vergelijking met één onbekende gebruikt wordt, dient gezocht te worden bij de Arabieren. Al-Chwarizmi (780-850) gebruikt hiervoor in 830 voor het eerst een woord dat wortel (van een plant) betekent. Hij vermeldt ook formules zoals a√b = √a 2 b en √a √b = √ab . Ons wortelteken, een vervorming van de letter r (van radix), vinden we in 1525 bij Christoff Rudolff. De schrijfwijze an voor een macht werd door Descartes in 1637 systematisch gebruikt met natuurlijke getallen als exponenten. De negatieve gehele exponenten en rationale exponenten werden in 1656 ingevoerd door John Wallis via zijn belangrijkste werk Arithmetica Infinitorum en werden verder bestudeerd door Isaac Newton.

2Eigenschappen van machten met gehele exponenten

Voor

3Vierkantswortels in r

In R bestaan precies twee getallen waarvan het kwadraat gelijk is aan 16, namelijk –4 en 4.

We noemen 4 de positieve vierkantswortel van 16.

Notatie : 4 = √16

We noemen –4 de negatieve vierkantswortel van 16.

Notatie : 4 = √16

Voorbeelden :

√64 = 8

√1,44 = 1,2

9 25 = 3 5

√6 ICT = 2,449489742...

vierkantswortel in woorden:

Een vierkantswortel van een reëel getal is elk reëel getal waarvan het kwadraat gelijk is aan het gegeven getal. in symbolen:

√a = b ⇐⇒ a = b 2 met a , b ∈ R

Omdat a = b 2, is a ⩾ 0. Enkel positieve getallen kunnen dus een vierkantswortel hebben. Nul heeft juist één vierkantswortel, namelijk 0.

De definitie kunnen we dus als volgt herschrijven :

b = √a ⇐⇒ b 2 = a met a , b ∈ R +

Opmerkingen :

• √ 16bestaatniet.

√ 16 / ∈ R

Erbestaatimmersgeenenkelreëelgetalwaarvanhetkwadraatgelijkisaan 16.

• √2en √5zijnirrationalegetallen.Bijdedecimaleschrijfwijzehebbendiegetallengeenperiode.Dergelijke getallenkunnennietinbreukvormgenoteerdworden.

• Ookdelengtevaneenlijnstukkanirrationaalzijn.

Hier zie je duidelijk dat 4 twee vierkantswortels heeft, nl. 2 en

2, want: 22 = 4 = ( –2)2

Merk ook op dat een negatief getal geen vierkantswortel heeft.

4Derdemachtswortel van een reëel getal

We bepalen de zijde van de onderstaande kubussen :

V = 64 cm3

V = 64 cm3

V = 8 cm3

V = 8 cm

z = 4 cm z = 2 cm

derdemachtswortel in woorden:

De derdemachtswortel van een reëel getal is het reëel getal waarvan de derde macht gelijk is aan dat gegeven getal. in symbolen: ∀

Aangezien a = b 3 zowel positief als negatief kan zijn, heeft een negatief reëel getal ook een derdemachtswortel.

Voorbeelden :

Merkopdat 3 √2, 3 √ 2en 3 √4irrationalegetallenzijn.

Grafische interpretatie :

Hier zie je duidelijk dat elk positief getal juist één derdemachtswortel heeft. Je ziet ook dat elk negatief getal juist één derdemachtswortel heeft.

DERDE MACHT

5 n-demachtswortels in r

n -demachtswortel

in woorden:

Voor een van nul verschillend natuurlijk getal n is de n-demachtswortel van een reëel getal elk reëel getal waarvan de n -de macht gelijk is aan het gegeven getal.

in symbolen:

∀ n ∈ N0, ∀ a , b ∈ R : b is een n -demachtswortel van a ⟺ bn = a

Voorbeelden :

5 en –5 zijn vierdemachtswortels van 625, want 54 = ( –5)4 = 625.

3 is de vijfdemachtswortel van –243 want ( –3)5 =

Grafische interpretatie :

243.

Elk positief getal heeft twee vierdemachtswortels. Een negatief getal heeft geen vierdemachtswortels.

Besluit :

n oneven : a ∈ R : a heeft één n -demachtswortel genoteerd als n √a

n even : a ∈ R 0 –: a heeft in R geen n -de wortel.

a = 0 : a heeft in R één n -de wortel, nl. 0.

a ∈ R0 + : a heeft in R twee n -de wortels die elkaars tegengestelde zijn.

één positieve wortel: n √a a : grondtal

één negatieve wortel: –n √a n : wortelexponent

Gevolg :

n oneven: ∀ x ∈ R : n √ x n = x

n even: ∀ x ∈ R : n √ x n = | x |

Om heel wat problemen te vermijden zullen we in het vervolg stellen dat zowel het grondtal a als de wortel b positief moet zijn. De nieuwe definitie kunnen we dan beperken tot :

n -demachtswortel

Elk positief reëel getal a heeft in R+ precies één n -demachtswortel b

∀n ∈ N0 , ∀a , b ∈ R + : n √a = b ⇐⇒ b n = a

Elk reëel getal heeft één vijfdemachtswortel.

Voorbeelden:

4 √81 = 3want34 = 81

5 √ 100000 = 10want ( 10)5 = 100000 4 √ 64

6Machten met rationale exponenten

Het is blijkbaar nuttig een nieuwe exponent in te voeren : een rationaal getal geschreven als een breuk met als teller de exponent die bij het getal onder de wortelvorm hoort en met een natuurlijk getal verschillend van nul (wortelexponent) als noemer.

macht met rationale exponent

In het vorige deel werd ax gedefinieerd voor a ∈ R0 + en x ∈ Q. De eigenschappen voor machten met gehele exponenten blijven gelden voor machten met strikt positieve reële grondtallen en met rationale exponenten.

7Benaderen, afronden en schatten

Voorbeeld 1 : Tussenwelketweenatuurlijkegetallenligt √130?

Oplossing :

√121 < √130 < √144

11 < √130 < 12

√130 ∈ ]11,12[

Voorbeeld 2 : Tussenwelkegrenzenligt 3 √185ongeveer?

Oplossing :

3 √125 < 3 √185 < 3 √216

5 < 3 √185 < 6

3 √185 ∈ ]5,6[

Voorbeeld 3:

Aan welke afgeronde waarde is de gegeven wortelvorm gelijk?

3

Zoek een getal waarvan de derde macht in de buurt ligt van 120.

3 √64 = 4en 3 √125 = 5 Het antwoord ligt dus tussen 4 en 5, dat is optie B.

Taak:

Zoek nu zelf het antwoord op de vraag: aan welke afgeronde waarde is de gegeven wortelvorm gelijk?

8Toepassing

Bij een onderzoek naar de loopsnelheid van dinosauriërs gebruiken biologen de volgende formule : 1,28 v 6 = s 10 h –6,96

v : de loopsnelheid in m/s

s : de stapgrootte in meter

h : de heuphoogte in meter

a In Utah in Amerika zijn enkele fossiele pootafdrukken gevonden die waarschijnlijk afkomstig zijn van een tyrannosaurus, het grootste roofdier aller tijden. Hieruit leidden wetenschappers af dat zo’n dier een stapgrootte van 3,7 m heeft. Uit de gevonden botten volgt een heuphoogte van 4,1 m. Benader de loopsnelheid in m/s. Hoeveel km/h is dat ?

s = 3,7men h = 4,1m

1,28 v 6 =(3,7)10 (4,1) 6,96

v 6 ≈ 20,409

Hieruitvolgtdat

v ≈ 1,65m/s of v ≈ 5,95km/h

Deloopsnelheidbedraagt1,65m/sof5,95km/h.

b De coelophysis is een van de oudste dinosaurussen. Het is een ranke, eerder fijngebouwde vleeseter. Wetenschappers zijn relatief veel over deze dinosoort te weten gekomen dankzij de vondst van honderden skeletten in Ghost Ranch in New Mexico. Uit een heuphoogte van 0,9 m leidden ze een loopsnelheid van 10 km/h af. Bereken de stapgrootte in decimeter.

v = 10km/h =⇒ v = 2,7m/sen h = 0,9m

1,28 · (2,78)6 = s 10 · (0,9) 6,96

283,796 ≈ s 10

Hieruitvolgtdat

s ≈ 1,8m

Destapgroottebedraagtongeveer18dm.

9Samenvatting

• Je kent de definitie en de eigenschappen van machten met een natuurlijke en een gehele exponent.

∀a ∈ R , ∀n ∈ N0 : a n = a · a · · a (n factoren)

∀a ∈ R : a 1 = a

∀a ∈ R 0 : a 0 = 1

∀a ∈ R 0 , ∀n ∈ N: a n = 1 a n

Eigenschappen: ∀a , b ∈ R 0 , ∀m , n ∈ Z: a m · a n = a m + n (a · b )n = a n · b n a m a n = a m n a b n = a n b n (a m )n = a m n a b n = b a

• Je kent de definitie en de eigenschappen van een vierkantswortel van een reëel getal.

n

Een vierkantswortel van een reëel getal is elk reëel getal waarvan de tweede macht gelijk is aan het gegeven getal.

∀a , b ∈ R : b iseenvierkantswortelvan a ⇐⇒ b 2 = a

Elk positief reëel getal a heeft in R+ precies één vierkantswortel b

∀a , b ∈ R + : b = √a ⇐⇒ b 2 = a

Eigenschappen: ∀a , b ∈ R + : a

Letop! ∀ x ∈ R :

• Je kent de definitie en de eigenschappen van een derdemachtswortel en een n-demachtswortel van een reëel getal.

Een derdemachtswortel van een reëel getal is elk reëel getal waarvan de derde macht gelijk is aan het gegeven getal.

∀a , b ∈ R : b iseenderdemachtswortelvan a ⇐⇒ b 3 = a

Vooreenvannulverschillendnatuurlijkgetal n isde n -demachtswortelvaneenreëelgetal elkreëelgetalwaarvande n -demachtgelijkisaanhetgegevengetal.

∀n ∈ N0 , ∀a , b ∈ R : b iseen n -demachtswortelvan a ⇐⇒ b n = a

Elkpositiefreëelgetal a heeftin R + precieséén n -demachtswortel b

∀n ∈ N0 , ∀a , b ∈ R + : n √a = b ⇐⇒ b n = a

Eigenschappen: ∀

• Je kent de definitie en de eigenschappen van een macht met rationale exponenten.

10Oefeningen

Bereken zonder gebruik te maken van ICT

Vereenvoudig. Schrijf de wortelvorm eerst met rationale exponenten. De gebruikte letters stellen positieve getallen voor.

Bereken met ICT. Werk op 10–5 nauwkeurig.

Tussen welke twee opeenvolgende natuurlijke getallen liggen volgende uitdrukkingen ?

Voor het getal a zijn drie benaderende waarden gegeven. Schat de best mogelijke uitkomst.

De Zuid-Chinese zee bevat veel prachtige vissoorten. Blijkbaar is er een verband tussen de oppervlakte van een zeegebied en het aantal verschillende vissoorten dat je er tegenkomt. In formulevorm is dat :

s ( x ) = 60 x 0,4 met s ( x ) : het aantal vissoorten x : de oppervlakte van het leefgebied in vierkante kilometer

a Bereken het aantal vissoorten in gebieden met een oppervlakte van 100 vierkante kilometer.

b In een gebied komen zo’n 709 vissoorten voor. Bereken de oppervlakte van dat gebied.

c Een klein gebied wordt met 100 vierkante kilometer uitgebreid en een groot gebied ook. Leg grafisch uit in welke van de twee gevallen het aantal vissoorten het meest zal toenemen.

d Wat gebeurt er met het aantal vissoorten als je een gebied in oppervlakte verdubbelt ?

e De gegeven formule geeft het aantal vissoorten in functie van de oppervlakte. Zoek de formule die de oppervlakte van een gebied geeft in functie van het aantal vissoorten. Controleer je antwoorden met ICT.

De BMI of body mass index van een persoon is de verhouding van zijn lichaamsgewicht (massa) m (in kg) en het kwadraat van zijn lengte l (in meter).

BMI = gewicht lengte2 of n = m l 2

Het resultaat (zie schema – cijfers: Gezond Leven) bepaalt in welke categorie de persoon in kwestie valt. De BMI is uitgevonden door een Belg, Adolphe Quetelet, in 1870 en wordt nog steeds wereldwijd gebruikt (ondanks kritiek uit verschillende hoeken).

a Onderzoek of een persoon met een gewicht van 79,5 kg en een lichaamslengte van 174 cm overgewicht heeft.

b Een BMI van 25 vormt de grens tussen een gezond gewicht en overgewicht. Welk gewicht moet de persoon uit vraag a nastreven als hij een BMI van 25 wil hebben ?

c Zoek een formule die voor een persoon met BMI 25 en met gewicht m kg zijn lichaamslengte l berekent.

d Bereken de lengte van een persoon van 70 kg met een BMI van 25.

In de tabel hiernaast staan voor enkele planeten in ons zonnestelsel de gemiddelde afstand tot de zon in miljoenen km en de omlooptijd in jaren.

Volgens de derde wet van Kepler is het kwadraat van de omlooptijd van een planeet rond de zon ( t ) recht evenredig met de derde macht van de gemiddelde afstand tot de zon ( s ).

a Schrijf s in functie van t .

b Bereken de afstand (in miljoenen km) van de planeet Jupiter tot de zon als je weet dat de omlooptijd 11,862 jaar is.

c Hoeveel bedraagt de afstand van Jupiter tot de zon in astronomische eenheden als je weet dat 1 A.E. = gemiddelde afstand aarde-zon = 149600000 km.

Controleer je antwoorden met ICT.

Johannes Kepler (Weil der Stadt 1571 - Regensburg 1630)

Deze Duitse astronoom is vooral bekend door de ontdekking van de naar hem genoemde wetten van Kepler. Hij studeerde eerst theologie in Tübingen, waar Michael Mästlin, hoogleraar in wiskunde en astronomie, hem liet kennismaken met het werk van Copernicus, waardoor Kepler een overtuigd aanhanger van het heliocentrische stelsel werd. In 1594 werd hij leraar wiskunde in Graz. Als gewestelijk mathematicus was hij ook belast met het samenstellen van de jaarlijkse kalender waarin astrologische voorspellingen op allerlei gebied gedaan moesten worden. Kepler leidde zijn wetten op empirische wijze af uit zeer nauwkeurige waarnemingen van zijn Deense voorloper Tycho Brahe (1546-1601). Die luiden:

1. De planeten beschrijven elliptische banen met de zon in een van de brandpunten.

2. De voerstraal van elke planeet beschrijft in gelijke tijden sectoren van gelijke oppervlakte (perkenwet).

3. Het kwadraat van de omlooptijd van een planeet is evenredig met de derde macht van de lengte van de halve grote as van de elliptische baan (harmonische wet).

De eerste twee wetten werden geformuleerd in Keplers boek Astronomia Nova (1609). De derde wet werd geformuleerd in het boek Harmonica Mundi (1619). Een verklaring voor de wetten van Kepler kwam er met de algemene gravitatietheorie van Sir Isaac Newton (1643-1727).

Kepler Newton

De pH meet de zuurtegraad van een vloeistof. Bij een neutrale oplossing ligt de pH rond 7, bij zure oplossingen ligt dat onder 7 en bij basische oplossingen erboven. Belangrijk detail: een pH van 2 is tienmaal zuurder dan een pH van 3 (de schaal is dan ook logaritmisch, zie volgend hoofdstuk). Los elke opgave op, verzamel de letters en je krijgt een voorbeeld waar de zuurtegraad vaak gecontroleerd moet worden.