2 Bepaling van een rij : expliciet en recursief voorschrift

Een rij is volledig bepaald als we voor elk volgnummer de bijbehorende term kunnen berekenen. Dat kan echter gebeuren op verschillende manieren : met een expliciet voorschrift of een recursief voorschrift.

Expliciet voorschrift

Algemeen : Bij sommige rijen kunnen we een formule un = f (n ) vinden waarmee we un kunnen berekenen voor een willekeurige n . We zeggen dat de rij bepaald is door een expliciet voorschrift. Met zo’n formule kun je elke term van de rij direct berekenen.

Van een aantal voorbeelden van de vorige pagina werd het expliciet voorschrift bepaald. Dat het bepalen van het expliciet voorschrift van een rij soms wat denkwerk vereist, illustreren we met de volgende opdracht.

Voorbeeld :

Op een assessment werd aan sollicitanten gevraagd de rij 1, 7 4 , 17 9 , 31 16 , 49 25 ,... met nog twee termen aan te vullen en de algemene term te bepalen.

Je merkt hierbij op: de noemers zijn 12, 22, 32, 42, 52 en elke teller is één minder dan het dubbele van de noemer.

Een goed antwoord is dan ook 71 36 , 97 49 en 2n 2 1 n 2 Dit laatste noemen we het expliciet voorschrift van de rij.

Recursief voorschrift

Algemeen :

Bij sommige rijen kunnen we een formule un + 1 = f ( un) vinden waarmee we een term kunnen berekenen uit een of meer voorgaande termen. We spreken dan van een recursief voorschrift (Latijn : recurrere = teruglopen). Met zo’n formule bereken je de termen indirect, namelijk door voorgaande termen te gebruiken. Opdat de rij bepaald zou zijn, moet je ook de startwaarde(n) kennen, meestal de eerste term(en) van de rij.

Voorbeelden :

– De rij van de kettingmails : 2, 4, 8, 16, 32, kan door middel van een recursief voorschrift gegeven worden : u 1 = 2 en un +1 = 2 · un

Door toepassing van die formule vinden we dat

= 2u 2 = 8, …

– De rij van ‘Pay it forward’ kan door middel van een recursief voorschrift gegeven worden : u 1 = 3 en un +1 = 3 · un

– De rij van even natuurlijke getallen : 0, 2, 4, 6, 8, … kan door middel van een recursief voorschrift gegeven worden : u 1 = 0 en un +1 = un + 2

De rij van Fibonacci : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … (zie blz. 61) kan door middel van een recursief voorschrift gegeven worden : u 1 = 1 en u 2 = 1 en un +2 = un + un +1

Hier zijn dus twee termen gegeven, u 1 en u 2

Door toepassing van die formule vinden we dat : u 3 = u 1 + u 2 = 2, u 4 = u 2 + u 3 = 3,

– De rij 1, 2, 6, 24, 120, … kan door middel van een recursief voorschrift gegeven worden : u1 = 1 en un +1 = ( n + 1) · un

Opmerkingen : Denk niet dat je bij elke rij zomaar een formule kunt geven. Er zijn rijen waarbij het zelfs onmogelijk is een expliciet of een recursief voorschrift te vinden.

Bij de rij van de priemgetallen 2, 3, 5, 7, 11, werd tot nu toe geen enkel verband gevonden tussen de opeenvolgende termen. De Franse wiskundige Marin Mersenne ( 1588 – 1648) stelde vast dat als k een priemgetal is, 2k 1 ook vaak een priemgetal is.

Voor k = 2, 3, 5, 7, 13 en 17 krijg je inderdaad priemgetallen, de zogenaamde priemgetallen van Mersenne. Maar voor k = 11 krijg je geen priemgetal, want 211 1 = 2047 en 2047 is deelbaar door 23.

Bij de eerste druk van dit boek (in 2023) is 282589933

1 het recordpriemgetal. Het werd ontdekt in 2018. Dat getal bestaat uit 24 862 048 cijfers. Om het te kunnen schrijven zul je meer dan 9000 pagina’s nodig hebben. Om het getal, cijfer na cijfer, voor te lezen (je leest 12 uur per dag één cijfer per seconde) heb je meer dan 575 dagen nodig.

Zoek gerust eens op of er al nieuwe priemgetallen zijn ontdekt, want vrijwilligers blijven dankzij computers speuren naar grotere varianten. Of check gerust eens onderstaand magisch vierkant, gevuld met priemgetallen, waarbij de som van elke kolom en rij hetzelfde palindroompriemgetal zou moeten zijn …

In wat volgt onderzoeken we twee bijzondere soorten rijen : de rekenkundige en de meetkundige. We zullen aantonen dat problemen over deze getallenrijen algebraïsch en ook met ICT opgelost kunnen worden.

Gauss en de som van de eerste n termen in een rekenkundige rij

Toen Gauss in de lagere school terechtkwam, verbaasde hij iedereen (en niet het minst zijn onderwijzer) door zijn uitzonderlijk wiskundig talent. Die man (een zekere Buttner) paste overtuigd en onverbiddelijk de stelregels toe van het Duitse onderwijssysteem. Gauss vertelde dat hij de leerlingen terroriseerde, niet alleen met woorden maar ook met een zweepje dat hij steeds bij de hand had. Buttner gaf de leerlingen ingewikkelde taken om hen te oefenen in het rekenen. Op een mooie dag vroeg hij aan de kinderen de som te maken van alle natuurlijke getallen van 1 tot 60. Enkele ogenblikken later krabbelde de kleine Gauss het getal 1830 op zijn lei en legde ze op de tafel van de onderwijzer. De andere leerlingen hadden bijna een uur nodig om de taak af te werken. Aan de onderwijzer vertelde Gauss dat hij in gedachten steeds het hoogste en het laagste getal van de rij samentelde, 1 + 60, 2 + 59, 3 + 58, tot 30 + 31. Hij kwam zo aan 30 keer hetzelfde resultaat en vermenigvuldigde 30 met 61, wat hem 1830 opleverde. Zo ontdekte Gauss, toen hij 9 jaar was, de somformule voor de eerste n termen van een rekenkundige rij.