9 Samenvatting

• Je kent de betekenis van een rij, een expliciet voorschrift en een recursief voorschrift. Een rij is een aantal reële getallen die in een bepaalde volgorde gegeven zijn. expliciet voorschrift : un = f ( n ) recursief voorschrift : u n +1 = f ( un) en de eerste term( en) gegeven

• Je kent de betekenis van een rekenkundige rij. Je kunt de n -de term van zo’n rij berekenen en het rekenkundig gemiddelde. Je kunt de som van de eerste n termen bepalen.

REKENKUNDIGE gemiddelden a , b en c zijn 3 opeenvolgende termen van een rekenkundige rij a , b en c zijn3opeenvolgendetermen vaneenrekenkundigerij b b ishetrekenkundiggemiddeldevan a en c b is het rekenkundig gemiddelde van a en c

• Je kunt een rekenkundige rij grafisch voorstellen. Merk op dat alle punten op een rechte liggen. We spreken over een lineair verband.

10 Oefeningen

Bepaal het verschil, de 20e term en de som van de eerste 20 termen van volgende rekenkundige rijen.

a 1,3,5,7,...

b 0,8;1,2;1,6;2,0;...

c d a ,2a ,3a ,4a ,...

Schrijf de rijen uit de vorige oefening met behulp van een expliciet en een recursief voorschrift.

Geef van de volgende rijen de eerste vijf termen. Welke rijen zijn rekenkundig ?

Gegeven : 5 2 , 9 4 ,2,..., 3 a Toon aan dat de gegeven rij een rekenkundige rij is. b Hoeveel termen bevat de rij? c Bepaal het recursief en expliciet voorschrift van de rij.

1 = 1

Gegeven is een rekenkundige rij waarbij v = –4, u5 = 6 en a Bereken u 10 b Bereken n

Gegeven is een rekenkundige rij waarvan u 1 +

Bereken de eerste vier termen van de rij.

Gegeven : u n = √2(n + 1)

Gevraagd : a Geef de eerste vier termen van de rij. b Toon aan dat dit een rekenkundige rij is. c Bepaal s 20 a Hoeveel kilometer zal Wouter in de maand juli fietsen ? b Hoeveel kilometer zal Wouter rijden tussen 14 juli en 21 juli (14 juli en 21 juli niet inbegrepen) ? c Op welke dag overschrijdt de teller de 1000 kilometer ?

De hoeken van een willekeurige driehoek vormen een rekenkundige rij en de kleinste hoek bedraagt 20°. Bereken de andere hoeken.

De hoeken van een convexe achthoek vormen een rekenkundige rij waarvan het verschil v = 10°. Bereken de hoeken van die achthoek.

1 juli ! De vakantie is begonnen. Wouter heeft een nieuwe gps op zijn fiets gemonteerd en heeft volgend trainingsschema opgesteld : vandaag 1 juli : 7 km fietsen, morgen 2 juli : 11 km fietsen, 3 juli : 15 km fietsen, Kortom, elke dag 4 km meer en dat tot het einde van de maand.

Marie is een echte boekenwurm. Als de leerlingen op school de opdracht krijgen om het boek ‘Wiskunde, verwacht het onverwachte’ te lezen, neemt ze zich dan ook voor om vanaf dan elke dag 20 bladzijden te lezen. Lena schiet iets langzamer in actie. Zij neemt zich voor om op de eerste dag 3 bladzijden te lezen, op de tweede dag zijn dat er 6, de derde dag 9 … a Op welke bladzijde van het boek zijn Marie en Lena gekomen na 8 dagen ? b Als ze vandaag beginnen met lezen, na hoeveel dagen zullen ze dan opnieuw dezelfde bladzijde lezen ? c De ontknoping van het verhaal is te lezen op bladzijde 392. Op welke dag zullen ze die bladzijde lezen ?

Adam en Stan hebben allebei een nieuwe kilometerteller op hun fiets gemonteerd. Stan rijdt de eerste dag 7 km, de tweede dag 12 km, de derde dag 17 km, m.a.w. elke dag 5 km meer dan de vorige dag. Adam rijdt de eerste dag 25 kilometer, de tweede dag 28 km, de derde dag 31 km, m.a.w. elke dag 3 km meer dan de vorige dag. Op het einde van welke dag staan hun kilometertellers gelijk ? Los ook op met ICT.

Amir heeft een hele hoop kubusvormige blokjes en maakt hiermee een toren.

Bovenaan 1 blokje, op de volgende rij 2 blokjes, nadien 3 blokjes

Amir heeft 160 blokjes. Hoe hoog ( hoeveel rijen hoog ) kan hij zijn toren bouwen ? Los ook op met ICT.

De 2134 zitjes in een theaterzaal zijn V-vormig opgesteld. De eerste ( onderste) rij telt 34 zitjes. Elke volgende rij telt 6 zitjes meer. Rij twee telt dus 40 zitjes, rij drie 46 zitjes a Hoeveel rijen telt de theaterzaal ? b Als de zitjes van beneden naar boven worden genummerd, op welke rij bevindt zich zitje nummer 800 ? c Als de zitjes van boven naar beneden worden genummerd, op welke rij bevindt zich zitje nummer 800 dan ? a Als de basis uit tien driehoeken bestaat, hoeveel kaarten heeft Johan dan nodig om zijn toren te vervolledigen ? b Bepaal het maximale aantal rijen dat je kunt maken met een volledig kaartspel ( = 52 kaarten) om een afgewerkte toren te hebben. Hoeveel kaarten houd je over ? c Johan gebruikte 222 kaarten. Uit hoeveel rijen bestond zijn volledige toren ?

Laura heeft haar spaarvarken, dat enkel stukken van 1 euro bevat, opengebroken. Ze legt de muntjes op stapeltjes volgens een rekenkundige rij. Het eerste stapeltje telt 5 muntjes, het laatste 41.

Hoeveel stapeltjes zijn er als je weet dat er in totaal 299 muntjes van 1 euro in het spaarvarken zaten ?

Bepaal drie getallen die een rekenkundige rij vormen als hun som s = 39 en hun product p = 1872.

Hoelang duurt het om een schuld van 22 000 euro af te betalen als je de eerste maand 625 euro betaalt, de tweede maand 675 euro, de derde maand 725 euro, enz.?

Johan maakt met speelkaarten een kaartenhuisje. Hiervoor zet hij telkens kaarten schuin tegen elkaar zodat die een driehoek vormen. Om een tweede rij te vormen verbindt hij de toppen van twee naast elkaar staande driehoeken met een kaart.

Bereken de volgende sommen. Los ook op met ICT.

Een glijbaan is gebouwd op een horizontaal vlak en wordt gestut door tien palen, die op gelijke afstand van elkaar staan.

De hoogte van de hoogste en de laagste paal is respectievelijk 12,75 m en 0,6 m. Bereken de hoogte van elke steunpaal.

Een reeks palen staat op deze manier opgesteld.

6,8 m

4,2 m m

4,2 m a b c d e f g h i j k l m n o p q r s a Hoe hoog is de hoogste paal ? b Hoe hoog is de laagste paal ? c Welk niveauverschil is er tussen palen e en o ? a Hoeveel meter legt de parachutist af tijdens de achtste seconde ? b Na hoeveel seconden moet hij de parachute openen ? a Hoeveel meter legt de lawine af tijdens de 7e seconde? b Hoeveel meter heeft de lawine in totaal afgelegd na 9 seconden? c Op 100 m voor het dal bereikt de lawine een bos en wordt ze hierdoor afgeremd. Hoeveel seconden was de lawine dan al onderweg?

Een parachutist springt op een hoogte van 900 meter uit een vliegtuig. Hij valt eerst met gesloten parachute ( vrije val ) waarbij hij per seconde achtereenvolgens 5, 16, 27, 38, meter aflegt (hierbij verwaarlozen we de luchtweerstand)). Op 355 meter hoogte opent hij de parachute waardoor de snelheid voldoende afneemt om veilig te landen.

Tijdens een zomerkamp van de scouts wordt een aardappelrace gehouden. Daartoe worden acht aardappelen op een rechte lijn gelegd op 1,8 m van elkaar. De eerste aardappel ligt op 1,8 m van een mand. Een deelnemer start bij de mand en brengt de aardappelen een voor een naar de mand. Welke afstand moet hij in totaal afleggen van start tot finish ?

Simon rijdt bij het schaatsen 20 rondjes van 500 meter. Voor de eerste ronde heeft hij 46 seconden nodig en vervolgens rijdt hij elke ronde een halve seconde langzamer dan de voorgaande ronde. Wat is Simons eindtijd ?

Een sneeuwlawine, ontstaan op 600 m van het dal, komt van een berghelling naar beneden. Tijdens de eerste seconde legt de lawine 4 m af, tijdens de tweede seconde 7 m, tijdens de derde seconde 10 m enz.

De rij van Fibonacci

Konijnen Kweken

Ten tijde van Fibonacci (alias Leonardo van Pisa) hield men zich bezig met volgend konijnenprobleem. Stel dat we in de maand januari een koppel konijnen hebben dat in maart een nieuw koppel op de wereld zet. Vanaf dan zullen ze elke maand een nieuw koppel konijnen op de wereld zetten.

Bovendien zal elk nieuw koppel twee maanden na de geboorte voor een nieuw koppel konijnen zorgen. Hoeveel koppels konijnen zullen er in december zijn ?

bloemen & planten stamboom van de dar

Ook op andere plaatsen in de natuur komen we de rij van Fibonacci tegen. Een eenvoudig voorbeeld is het nieskruid (Helleborus).

Elke kolom bevat de rij van Fibonacci : elke term (vanaf de derde term) is de som van de twee voorgaande termen. In de laatste kolom vind je de meest gebruikte vorm van de rij van Fibonacci.

De dar, een mannetjesbij, komt uit een eitje dat niet is bevrucht. Was het wel bevrucht, dan werd het immers een vrouwtje (koningin of werkster). Hiervan maken we gebruik bij het opmaken van de stamboom van de dar.

Een dar heeft dus enkel een moeder en een vrouwtje heeft dus zowel een moeder als een vader.

Als we telkens de totalen bekijken per generatie van de darren, de vrouwtjes en die 2 samen, dan vinden we 3 keer de rij van Fibonacci.