MEI 2025 - nummer 23
TIJDSCHRIFT voor wiskundeonderwijs
DE WISKUNDIGE WERELD ROND RUBENS 3
GULDEN EN NIET GULDEN SNEDEN 12
WORTELTREKKING 33
Met medewerking van Uitwiskeling, VVWL (Vlaamse Vereniging van Wiskundeleraars), GeoGebra Instituut, Vlaamse Wiskunde Olympiade, Ars et Mathesis en Pythagoras
3 DE WISKUNDIGE WERELD ROND RUBENS
GULDEN EN NIET GULDEN SNEDEN 12
18 MATHFEST
DE WONDERE WERELD VAN STATISTIEK 20
24 WW-CONGRES
ROTONDE EN EEN KOMEN EN GAAN 26
32 PROBLEEM VAN DE WEEK
WORTELTREKKEN MET EN ZONDER MECHANISCHE REKENMACHINE 33
41 EEN INTERESSANT FOUT BEWIJS 41
NAZOMERCURSUS 44
7e jaargang - nummer 23
REDACTIE Bart Delepierre, Daphné Depape, Anke Oderij, Karel Sierens, Joke Wouters - die Keure, Kleine Pathoekeweg 3, 8000 Brugge, educatief@diekeure.be
EXTERNE AUTEURS die occasioneel of op geregelde basis een bijdrage willen leveren, kunnen contact opnemen met educatief@diekeure.be.
VECTOR is gratis voor alle leerkrachten wiskunde in België.
VERANTWOORDELIJKE UITGEVER die Keure, Kleine Pathoekeweg 3, 8000 Brugge
VORMGEVING EN DRUK Isabelle Tilleman - die Keure, Brugge
REACTIES Al je reacties, suggesties en opmerkingen zijn welkom op educatief@diekeure.be
HET MUSEUM PLANTIN MORETUS KOCHT ENKELE JAREN GELEDEN, VOOR EEN AANZIENLIJK BEDRAG, EEN TEKENING VAN PIETER PAUL RUBENS AAN. MEN KAN ZICH DE VRAAG STELLEN WAAROM ZE NIET IN HET RUBENIANUM IS TERECHTGEKOMEN. HET ANTWOORD IS EENVOUDIG: DE TEKENING IS GEMAAKT IN OPDRACHT VAN DE ERVEN VAN PLANTIN. ZE DIENDE ALS ONTWERPTEKENING VOOR EEN GRAVURE IN HET BOEK OPTICORUM LIBRI SEX (1613) VAN DE JEZUÏET-WISKUNDIGE FRANCISCUS DE AGUILON.
DE AARD VAN DE TEKENING LAAT TOE OM ZE IN DE LES WISKUNDE TE GEBRUIKEN ALS ILLUSTRATIEF MATERIAAL BIJ RUIMTEMEETKUNDE EN DE STUDIE VAN PROJECTIES. HET IS DAARENBOVEN EEN MOOIE GELEGENHEID OM MET GEOGEBRA 3D TE EXPERIMENTEREN. WE KUNNEN DAN VRAGEN EXPLOREREN ALS "WELKE PROJECTIE WORDT HIER GEBRUIKT?" EN "IS DE TEKENING EEN GOEDE WEERGAVE HIERVAN?"
DR. AD MESKENS IS LECTOR WISKUNDE AAN DE LERARENOPLEIDING VAN AP-HOGESCHOOL. HIJ IS SINDS JAREN ACTIEF VVWL-LID. ZIJN FREQUENTE PUBLICATIES OVER DE GESCHIEDENIS VAN DE WISKUNDE WORDEN GETYPEERD DOOR DE HELDERE HERTALING EN DUIDING WAARMEE HIJ 16DE- EN 17DE-EEUWSE BRONNEN VOOR HEDENDAAGSE LEZERS ONTSLUIT.
OPTICORUM LIBRI SEX
De auteur van het boek, Franciscus de Aguilon, was verbonden aan het Antwerpse jezuïetencollege en was er o.a. wiskundeleraar. Zijn meest zichtbare werk is de Carolus Borromeuskerk in Antwerpen. Op de laatste wijzigingen na, waarbij twee zijkapellen toegevoegd werden, zijn de plannen volledig aan hem toe te schrijven. Rubens hielp met
het meer ornamentele gedeelte: hij maakte het ontwerp van de apsis en van de plafondschilderingen van de kerk. De uitvoering van de plafondschilderingen berustte bij de leerlingen van Rubens, onder wie Van Dijck. Helaas zijn de schilderijen van Rubens voor de zijkapellen in de brand van 1718 verloren gegaan. In 1613 werd bij de weduwe en de zonen van Jan Moretus, de
opvolgers van Plantijn, het magnum opus van Franciscus de Aguilon gepubliceerd: Opticorum Libri Sex. Het is een erg verzorgd en rijkelijk uitgegeven werk, bestaande uit zes boeken elk geïllustreerd met een vignet naar een ontwerp van Rubens. De gravures werden uitgevoerd in het atelier van Theodoor Galle.
Ondanks de omvang behandelt het boek niet de volledige optica, maar enkel de fenomenen die verband houden met rechtstreekse lichtstralen, dus geen reflectie of refractie. Het is zeer wiskundig opgebouwd. In het boek komt de Aguilons moderne opvatting over wetenschap tot uiting: hij voert experimenten uit met speciaal
daartoe geconstrueerde apparaten. Die experimenten moeten dan een aantal keer worden herhaald om de zekerheid te hebben dat er geen verkeerde waarneming is gebeurd. Ervaring en experiment dienen om de uitgangspunten te bepalen en om de postulaten te kunnen formuleren.
Tijdens de renaissance verstond men onder optica niet enkel de leer van het licht, maar meer algemeen de leer van het zien. Het eerste boek van de Opticorum is dan ook gewijd aan de anatomie van het oog. Verder poneert de Aguilon een kleurentheorie, waarbij hij uitgaat van enkele enkelvoudige kleuren. Alle andere kleuren beschouwt
hij als samengestelden van deze kleuren. Volgens de Aguilon zijn de primaire kleuren geel, blauw en rood, aangevuld met "witheid" en "zwartheid".
Merk op dat deze kleuren in de schilderkunst inderdaad de primaire kleuren zijn, maar dat in de optica niet geel maar groen een primaire kleur is. Het is dan ook aannemelijk dat de Aguilon beïnvloed is door schilders en meer in het bijzonder door Rubens.
In het laatste boek, dat de gravure naar de tekening van Rubens als vignet heeft, gaat de aandacht vooral naar perspectief. Verschillende projectiemethodes komen aan bod (evenwijdig, centraal en schaduw), maar hij behandelt eveneens de toepassingen ervan bij astrolabia en zonnewijzers. De wijze waarop de Aguilon dit onderwerp behandelt, doet opnieuw vermoeden dat hij in nauw contact stond met schilders.
Figuur 3 Links: kleurschema in Franciscus de Aguilón, Opticorum libri sex, p. 40. © EHC G 5050. Rechts: Aguilons kleurschema in Athanasius Kircher, Ars magna lucis et umbrae in decem libros digesta (Rome: sumptibus Hermanni Scheus, 1646), p. 49. © EHC G 5052
De invloed van de Opticorum is moeilijk in te schatten. Aguilons kleurendiagram is bijvoorbeeld in vele boeken terug te vinden zoals bij de invloedrijke jezuïet Athanasius Kircher (zie Figuur 3).i
Als we enige artistieke vrijheden toelaten dan zien we op de tekening een stereografische projectie. Een man draagt de hemelsfeer op zijn rug. Omdat ze beperkt is tot een
aantal cirkels noemt men zo'n sfeer ook een armillairsfeer (armilla = ring). De hoepels die door de polen gaan zijn meridianen. De andere hoepels, loodrecht op deze meridianen, zijn de keerkringen en de evenaar. De brede band die de keerkringen raakt en de evenaar snijdt, is de dierenriem. Een putti draagt een fakkel waarmee hij de armillairsfeer verlicht en zo een schaduw werpt op de grond. Twee andere putti voeren metingen op de projectie uit.
De fakkel – en dus het projectiemiddelpunt – is wat verwijderd van de sfeer. Bij een stereografische projectie ligt het projectiemiddelpunt op de sfeer. Een fakkel die de sfeer raakt, zou echter onrealistisch zijn en bovendien weinig esthetisch. We kunnen er dus van uitgaan dat Rubens hier wel degelijk een stereografische projectie in gedachten heeft. Opmerkelijk bij deze figuur is dat de stereografische projectie vanop de evenaar bij de zomerzonnewende gebeurt. Dit is ongewoon want het gebruikelijke projectiepunt was ofwel de zuidpool ofwel het lentepuntii
De gravure (Figuur 6) geeft deze figuur uiteraard links-rechts gespiegeld weer. De graveur heeft de tekening op een koperplaat overgenomen. Vergelijken we nu de tekening met de gepubliceerde gravure, dan is er een belangrijk verschil: de armillairsfeer is, in vergelijking met de tekening, een kwartslag gedraaid. Het projectiemiddelpunt wordt hierdoor het
snijpunt van dierenriem en evenaar, met andere woorden het lentepunt. Dit is een meer gebruikelijke positie van het projectiemiddelpuntiii
De stereografische projectie is een afbeelding van een sfeer op het vlak. Het projectiecentrum is een punt op de sfeer. De projectie is voor elk punt van de sfeer gedefinieerd, met uitzondering van het projectiepunt zelf. De afbeelding is bijectief op haar afbeeldingsgebied. De afbeelding is conform, wat betekent dat ze de hoeken bewaart. Een gevolg hiervan is dat cirkels op cirkels worden afgebeeld. Ze is echter niet isometrisch noch bewaart ze de oppervlakten. Deze projectie werd vaak gebruikt voor het afbeelden van de sterrenhemel op een plat vlak.
Om een stereografische projectie te construeren kiezen we allereerst een punt op de sfeer als projectiemiddelpunt. Het punt kan eender
welk punt zijn, maar het spreekt vanzelf dat er bij toepassingen geprefereerde punten zijn. We tekenen een rechte door het gekozen punt en het middelpunt van de sfeer. Loodrecht op deze rechte tekenen we een vlak, het projectievlak. Verbinden we nu een punt op de sfeer met het projectiemiddelpunt, dan snijdt deze rechte het projectievlak in één punt. Dit is de projectie van het punt op het vlak.
De zuidpool als projectiemiddelpunt
We beginnen met de meest gebruikelijke stereografische projectie,
deze met als projectiemiddelpunt de zuidpool. Het projectievlak kan eender welk vlak zijn loodrecht op de as van de hemelsfeer maar het is gebruikelijk om het evenaarsvlak te kiezen. In GeoGebra heeft dit een voordeel. We kunnen het 3D-venster en het 2D-venster naast elkaar openen. In de 2D-voorstelling zien we de lijnen in het xy-vlak van de 3D-voorstelling.
Beschouw een sfeer zoals de armillairsfeer die in de tekeningen wordt gedragen door een man. Hierop zien we de evenaar, de keerkringen en de dierenriem (ecliptica). De breedtegraad van de keerkringen is 23,5° N en 23,5° Z, het vlak van de dierenriem maakt een hoek van 23,5° met het vlak van de evenaar en gaat door het middelpunt van de aarde. We tekenen een sfeer, hier met straal 4. Om de keerkringen te visualiseren tekenen we de vlakken met vergelijking z = 4 sin 23,5° en z = −4 sin 23,5° Het xy- vlak wordt standaard weergegeven. We bepalen de snijlijnen van deze vlakken met de sfeer met de knop
Het vlak van de dierenriem staat onder een hoek van 23,5° met het evenaarsvlak en heeft als vergelijking z = x tan 23,5°. Ook van dit vlak bepalen we de doorsnede met de sfeer.
Om de stereografische projectie van de cirkels te vinden maken we gebruik van de functies "spoor" en "animatie". We kiezen op elk van deze cirkels een willekeurig punt. We tekenen de respectieve halfrechten uit het projectiemiddelpunt naar elk van deze punten. Daarna bepalen we het snijpunt van de halfrechten met het xy- vlak.
Voor elk van deze snijpunten zetten we het spoor aan. Gemakkelijkheidshalve hebben we hier de punten - en dus de sporen - een kleur gegeven: zwart voor de Steenbokskeerkring, blauw voor de Kreeftskeerkring en oranje voor de dierenriem. De evenaar wordt reeds als snijlijn in het 2D-venster weergegeven (Figuur 9).
We gebruiken voor de punten op de cirkels de functie "Animatie aan" en laten zo deze punten op de cirkels bewegen. De snijpunten met het xy-vlak voeren dan ook een
beweging uit die door de functie "Spoor aan" zichtbaar wordt gemaakt.
Het plaatje met de projecties van alle cirkels is dan Figuur 10.
Een punt op de evenaar als projectiemiddelpunt
Op de tekening van Rubens lijkt het projectiemiddelpunt op de evenaar op het moment van de zomerzonnewende te liggen, m.a.w. als de dierenriem zijn hoogste punt bereikt en de Kreeftskeerkring raakt. In onze GeoGebra-constructie komt dit punt
overeen met één van de snijpunten van de sfeer met de x-as.
Om de projectie hier duidelijk te maken kunnen we twee dingen doen. Enerzijds kunnen het hele stelsel herdefiniëren zodat het projectiemiddelpunt op de z-as komt te liggen. In dat geval kunnen we opnieuw op het xy-vlak projecteren.
Anderzijds kunnen we de constellatie behouden en een nieuw projectievlak invoeren. We hebben hier voor de laatste oplossing gekozen en een projectievlak op geplaatst.
Merk op: omdat het projectiemiddelpunt op de evenaar ligt, zal die als rechte worden geprojecteerd, met name de snijlijn van het xy-vlak met
We vinden dan de volgende plaatjes. Door in GeoGebra ons standpunt te veranderen krijgen we telkens een ander beeld van de projectie (Figuur 11).
Door een beetje uit te zoomen vinden we – uiteraard - dat de projecties ook hier cirkels zijn.
We merken dat deze projectie helemaal niet overeenkomt met de schaduwen op Rubens' tekening. Ook als we de fakkel als een punt buiten de bol beschouwen en dit punt als projectiemiddelpunt gebruiken dan kloppen de schaduwen niet.
Opnieuw schiet GeoGebra te hulp: door het projectiemiddelpunt te verschuiven kunnen we nagaan of de schaduw met deze van een centrale projectie overeenkomt. Dat lijkt inderdaad het geval te zijn (Figuur 12).
Het lentepunt als projectiemiddelpunt
Als laatste beschouwen we de projectie met het lentepunt als projectiemiddelpunt. Op onze figuur is het lentepunt één van de snijpunten van de sfeer met de y-as. We kiezen nu als projectievlak. Alle andere procedures zijn analoog. Opnieuw is de projectie van de evenaar de snijlijn van het xy-vlak met .
We merken dat in deze projectie de dierenriem ook een rechte is, het projectiemiddelpunt ligt immers op de dierenriem.
In de vroeg-moderne wereld was de stereografische projectie belangrijk omdat ze gebruikt werd in de sterrenkunde voor het tekenen van sterrenkaarten. Een bijzonder soort sterrenkaart en tevens een analoog rekentoestel was het astrolabium. De sterposities die we op de spin zien en de lokale coördinaten die op de timpanen staan vinden we door de stereografische projectie van de hemelbol te bepalen, met als centrum de zuidpool.
Afbeeldingen van astrolabia vinden we vaak terug op een typisch zeventiende-eeuws type schilderij: de zogenaamde kunstkamer. Op een “kunstkamer” zien we een grote kamer waarvan de wanden volhangen met schilderijen. Enerzijds zijn ze een catalogus van het type schilderijen dat bij de meester verkrijgbaar is, anderzijds kunnen ze naar de smaak van de opdrachtgever ingevuld worden. Vaak hebben kunsthistorici de weergegeven schilderijen geïdentificeerd. Meestal zien we op zulke kunstkamers echter ook een aantal wiskundigewetenschappelijke instrumenten. Hoeft het te verbazen dat hieraan minder aandacht werd besteed? Voor wat betreft de Antwerpse meesters die kunstkamers schilderden, kunnen we met een aan zekerheid grenzende waarschijnlijkheid stellen dat zij hun voorbeelden haalden in het atelier van hofwiskundige Michiel Coignet of in dat van zijn opvolger Jacob de Coster.
Figuur 18 Willem van Haecht, De kunstkamer van Willem van der Geest (1628), Rubenshuis (RH.S.171). Het detail rechtsonder toont een astrolabium en landmeetkundige instrumenten. Op het detail linksonder herkennen we de aartshertogen met net achter hen Rubens.
© KIK-IRPA, Brussels (Belgium), cliché X149505
Figuur 19 Jan_Brueghel_I_&_Peter_Paul_Rubens, Het zicht, Museo_del_Prado, details linksonder: met astrolabium en triangulatie-instrument, rechts: armillairsfeer.
N.N. (1985). The Planispheric Astrolabe. Greenwich: National Maritime Museum. Hietbrink, H., http://www.fransvanschooten. nl/astrolabe.htm , geraadpleegd op 21 september 2021
Meskens, A. (2013). Practical Mathematics in a Commercial Metropolis: Mathematical Life in Late 16th-Century Antwerp, Dordrecht: Springer Science & Business Media B.V.
Meskens, A. m.m.v. Van Looy, H.(2021). Between Tradition and Innovation: Gregorio a San Vicente and the Flemish Jesuit Mathematics School, Leiden: Brill. Padron, M.D. & Royo Villanova, M. (1992). David Teniers, Jan Brueghel y los gabinetes de pinturas, Madrid: Museo del Prado.
i Athanasius Kircher bekleedde de leerstoel wiskunde aan het Collegio Romano, het Romeinse jezuïetencollege, vanaf 1634. Hij was een veelzijdig geleerde, maar ook zeer vatbaar voor wat wij pseudo-wetenschappen zouden noemen. In de geschiedenis van de wetenschappen is hij belangrijk omdat hij een breed netwerk had van geleerde correspondenten in heel Europa en daarbuiten. Hierdoor werd hij een van de bekendste jezuïetische wetenschappers van zijn tijd.
ii Op een geocentrische hemelbol is het lentepunt één van de twee snijpunten van de dierenriem met de hemelevenaar. Tijdens de lente-evening gaat de zon door het lentepunt. Het is het astronomische begin van de lente op het noordelijk halfrond.
iii Bij astrolabia werd als projectiemiddelpunt de zuidpool gebruikt. Dit heeft als nadeel dat voor elke breedte een lokaal coördinatennet dient te worden voorzien. Men probeerde dus methoden te vinden waarbij men op elke breedte met hetzelfde coördinatennet kon werken. Eén voorstel was om het projectiemiddelpunt te verplaatsen naar een punt op de evenaar.
PYTHAGORAS
DE BEROEMDE GULDEN SNEDE HEEFT IN DE WISKUNDE EEN LANGE GESCHIEDENIS EN CONNECTIES MET ALLERLEI WISKUNDIGE VRAGEN. DEZE “GODDELIJKE VERHOUDING” ZOU OOK TE VINDEN ZIJN IN VEEL ANDERE DISCIPLINES ZOALS DE SCHILDERKUNST, DE STUDIE VAN VORMEN EN PROCESSEN IN DE NATUUR, ARCHITECTUUR EN DESIGN.
IK KIJK HIER ALLEEN NAAR DE GULDEN SNEDE IN CONNECTIE MET RECHTHOEKEN EN DRIEHOEKEN EN VRAAG ME AF OF ZIJN EIGENSCHAPPEN
DAAR MISSCHIEN OOK ZOUDEN GELDEN VOOR ANDERE RECHTHOEKEN EN ANDERE DRIEHOEKEN.
DAVE ODEGARD
DE GULDEN RECHTHOEK
Alle vierkanten hebben dezelfde vorm. Dat kan je niet zeggen voor rechthoeken. De vormen van rechthoeken zijn heel divers. Ze mogen er natuurlijk allemaal zijn maar het kan zijn dat je de vorm van één rechthoek mooier vindt dan die van alle andere rechthoeken. Is dit slechts een kwestie van smaak? Veel mensen vinden de gulden rechthoek de mooiste rechthoek. De gulden rechthoek is de rechthoek die op te splitsen is in een vierkant en een kleinere versie van zichzelf.
Zie Figuur 1.
Figuur 1
Omdat dit proces door kan gaan is deze rechthoek op te splitsen in oneindig veel vierkanten. Zie Figuur 2. En de som van deze oneindige meetkundige reeks van oppervlaktes moet gelijk zijn aan de gulden snede. Zie Figuur 3.
Vraag 1: Bereken de waarden van x, , de oppervlakte van het tweede vierkant in Figuur 3 en de oneindige meetkundige som van de vierkant oppervlaktes.
In dit proces moet de rechthoek aan de rechterkant in Figuur 1 dezelfde vorm hebben als de gehele rechthoek. De keuze voor een vierkant links bepaalt de waarde van de gulden snede. Is dit proces alleen mogelijk met vierkanten en de gulden snede? Of hadden wij een andere rechthoek kunnen kiezen in plaats van een vierkant en wat hadden wij dan gekregen voor verhouding?
Vraag 2: Stel dat we kiezen voor een 1 × b rechthoek in plaats van de vierkant. Wat zijn dan de waarden van x en c in termen van b en klopt de meetkundige som van rechthoeken?
Vraag 3: Wat is de waarde van c als b = x? Waar wordt deze vorm voor gebruikt?
Vraag 4: Laat zien dat één waarde van c niet mogelijk is. Is het in dat geval toch mogelijk om die oppervlakte op te vullen met een oneindige meetkundige som?
De gulden snede verhouding duikt ook op bij driehoeken. Hier is er een merkwaardig paar gelijkbenige driehoeken waarvan wij de hoeken kunnen berekenen en waarvan de verhouding van de zijden gelijk is aan de gulden snede. Zie Figuur 5 en Figuur 6 waar deze twee driehoeken door een snede zijn opgesplitst in hun partner driehoek boven en een kleinere versie van zichzelf beneden. In beide tekeningen zijn er dus 3 gelijkbenige driehoeken.
Vraag 5: Bereken de hoeken van deze driehoeken en laat zien dat de verhouding van hun zijden gelijk is aan de gulden snede. En als wij ze proberen op te vullen zoals met de rechthoeken dan vullen zij elkaar op zoals te zien is in Figuur 7 en Figuur 8.
Vraag 6: Laat zien dat de oneindige meetkundige sommen de gewenste oppervlaktes geven. Wat een perfect stel! Maar is dit proces alleen mogelijk met deze twee speciale driehoeken en de gulden snede of zijn er andere niet zo gulden driehoek paren die elkaar ook zo mooi in- en aanvullen?
Kijk naar Figuur 9. Daar is een driehoek ABC te zien met hoeken A, B, en C en A < B. In dit proces moet de driehoek BCD beneden dezelfde vorm hebben als de gehele driehoek ABC.
7
Vraag 7: Wat zijn de hoeken van de partner driehoek ABD boven in termen van A, B, en C?
Vraag 8: Wat zijn de lengtes van x, y, en z in Figuur 9 in termen van de lengtes van de zijden a, b en c van driehoek ABC?
Vraag 9: Laat zien met een berekening dat een oneindige meetkundige reeks van partner driehoeken met de vorm van driehoek ABD de oppervlakte van ABC opvult.
Vraag 10: Kan driehoek ABD opgevuld worden met partner driehoeken van de vorm van driehoek ABC?
In de volgende vragen denk aan de hoeken A, B, en C van een driehoek met A ≤ B ≤ C.
8
Vraag 11: Welke soort driehoeken hebben precies één partner driehoek vorm?
Vraag 12: Zijn er driehoeken die dezelfde vorm hebben als een van hun partner driehoek?
Vraag 13: Hoeveel partner driehoek vormen heeft een driehoek ABC met A < B < C?
Vraag 14: Zijn er driehoeken waar dit proces niet mogelijk is en zijn deze driehoeken anders op te vullen?
De relatie van de gulden snede partner driehoeken is uit te beelden als [36°, 72°, 72] > < [36°, 36°, 108°]. Dit is mooi symmetrisch en eenvoudig maar een beetje saai vergeleken met bijvoorbeeld [18°, 54°, 108°].
9
Vraag 15: Teken het beeld dat begint met [18°, 54°, 108°] en alle partner relaties bevat.
10
Antwoord 1: . De tweede vierkant heeft een oppervlakte van . De oneindige meetkundige som van vierkant oppervlaktes is .
Antwoord 2: . De oneindige meetkundige som van rechthoekige oppervlaktes is
Antwoord 5: Gebruik de som van de hoeken in een driehoek en verhoudingen van de zijden in gelijkvormige driehoeken. Hoek =36° en de verhouding
Antwoord 3: . Deze verhouding wordt gebruikt bij a-formaat papier.
Antwoord 4: Als . Een vierkant is op te vullen met een meetkundige reeks van gelijkbenige rechthoekige driehoeken.
Figuur 11
Antwoord 6: In Figuur 7 is de hele oppervlakte gelijk aan De meetkundige som is gelijk aan gezien
Een soortgelijke berekening geldt voor Figuur 8.
Antwoord 7: De drie hoeken zijn A,B-A, en A+C.
Antwoord 8: Maak gebruik van de verhoudingen in gelijkvormige driehoeken: 6 6 6
Antwoord 9: De oppervlakte van driehoek ABC is =
. De som van de driehoeken met de vorm van driehoek BCD is
Antwoord 10: Snij hoek A uit hoek ABD en de driehoek boven heeft hoeken A,B, en C. Dus de driehoeken ABC en ABD zijn partner driehoeken van elkaar net zoals de gulden snede driehoeken.
Antwoord 11: Dit zijn de gelijkbenige driehoeken.
Antwoord 12: Begin met [A, B, C] waar A ≤ B ≤ C. Dan zijn de mogelijke partner vormen:
1. A, B - A, B + C
2. A, C - A, A + B
3. B, C - B, A + B
Deze drie zijn echt anders dan [A,B,C] tenzij C - A = B en dan zijn 2. en 3. hetzelfde als [A, B, C]. Dit zijn de driehoeken met C = A + B > C=90°. De hoeken zijn dan gelijk maar de opvullingen zien er anders uit tenzij A = B.
Antwoord 13: Begin weer met [A, B, C] waar A ≤ B ≤ C. Dan zijn de mogelijke partner vormen:
1. A, B - A, A + C
2. A, C - A, A + B
3. B, C - B, A + B
Deze drie zijn allemaal echt verschillend tenzij
C = A + B → C = 90° en ook dan zien de opvullingen anders uit.
Antwoord 14: Voor het lukken van dit proces moet de driehoek twee ongelijke hoeken hebben. Gelijkzijdige driehoeken zijn dus uitgesloten. Ze zijn op te vullen met [30°, 60°, 90°] driehoeken maar die vormen geen meetkundige reeks.
Antwoord 15:
Op 21 september 2025 vieren we de derde editie van MathFest, het wiskundefestival voor jong en oud, dat inmiddels niet meer weg te denken is voor elke wiskundeliefhebber! Net zoals vorig jaar kiezen we als locatie het mooie bezoekerscentrum van de volkssterrenwacht van Brugge, in het natuurdomein Beisbroek (https://www.cozmix.be/nl). Tijdens onze vorige editie ontvingen we talloze enthousiaste reacties op de lezingen en workshops. We vierden het 100-jarig bestaan van Mandelbrot en hadden
oneindig veel plezier met fractalen, we ontdekten de rol van wiskunde in muziek, sport en spel, en debatteerden over wie de grootste wiskundige aller tijden was (voor een terugblik, bezoek : https://platformwiskunde.be/mathfest2024-aftermath/).
Dit jaar willen we het centraal thema linken aan het jaartal 2025. Als kwadraat van een driehoeksgetal en de som van kubusgetallen, mag dit jaartal zeker niet onopgemerkt voorbijgaan. We breiden het thema uit naar kwadraten,
vierkanten en kubussen, driehoeken en tetraëders (en de bijhorende getallen), maar zoals elk jaar zijn ook activiteiten buiten dit thema van harte welkom.
Wil jij dit jaar ook jouw steentje bijdragen aan dit geweldige evenement?
We mikken op mensen die een band hebben met wiskunde, of er ooit in aanraking mee kwamen, of gewoon nieuwsgierig zijn. Jong en oud, leerlingen en ouders, gezinnen met kinderen, puzzelaars en knutselaars, ...
Bij deze vinden jullie een oproep voor activiteiten om die dag vorm te geven: workshops, kampioenschappen, een recordverbreking, speelse experimenten, theater, dans, kunst, presentaties, … die jullie kunnen/willen aanbieden aan een breed publiek.
Stuur deze oproep gerust ook door naar personen, groepen, organisaties waarvan je weet dat ze iets te bieden hebben dat in het kader past.
De voorstellen worden verwacht ten laatste op zondag 15 juni om 23u59
Volg alle updates en ander festivalnieuws op https://platformwiskunde.be/mathfest-2025/
HOE BRENG JE STATISTIEK TOT LEVEN IN DE KLAS? HOE MAAK JE
ABSTRACTE CIJFERS CONCREET, BEGRIJPELIJK EN ZELFS ... BOEIEND?
STATBEL, HET BELGISCHE STATISTIEKBUREAU, HEEFT DAAR EEN
IJZERSTERK ANTWOORD OP: STATBEL ACADEMY. DIT EDUCATIEVE
PLATFORM BIEDT LEERKRACHTEN EN LEERLINGEN OP ELK NIVEAU EEN WAAIER AAN TOOLS, LESMATERIAAL EN INSPIRATIE OM MET CIJFERS
AAN DE SLAG TE GAAN — VOLLEDIG GRATIS, EN DAT BLIJFT OOK IN DE
TOEKOMST ZO. OF JE NU OP ZOEK BENT NAAR INTERACTIEVE OEFENINGEN, ACTUELE DATA OF ONDERSTEUNING BIJ JE LESVOORBEREIDING: BIJ
STATBEL ACADEMY ZIT JE GOED, ZONDER DAT HET JE IETS KOST.
STATBEL ACADEMY: JOUW PARTNER IN STATISTIEKONDERWIJS
Of je nu lesgeeft in het lager, secundair of hoger onderwijs: Statbel Academy is hét vertrekpunt voor wie officiële statistieken op een toegankelijke en didactische manier in de klas wil brengen. Je vindt er een breed aanbod aan materialen, oefeningen en thematische data die aansluiten bij de leerplandoelen.
Bezoek de website: www.statbelacademy.be
EEN STATISTICUS IN JE KLAS? DAT KAN!
Wil je je klas rechtstreeks laten kennismaken met de wereld van officiële cijfers? Nodig dan een statisticus van Statbel uit! Samen ontdekken jullie Statbel Junior, een platform waar statistische begrippen visueel en begrijpelijk worden uitgelegd.
Je kan ook kiezen om een verdiepend luik toe te voegen: denk aan het analyseren van specifieke cijfers of databanken die relevant zijn voor je lesdoelstellingen. Zo krijgt je klas een unieke kijk achter de schermen van het Belgische statistiekbureau.
Bezoek de website Statbel Junior: www.statbeljunior.be
Heb je vragen over hoe je
Statbel-data pedagogisch kunt verwerken in je lessen?
Leerkrachten kunnen steeds vrijblijvend contact opnemen via: statliteracy@economie.fgov.be
WAT IS NIEUW OP STATBEL JUNIOR?
Achter de schermen wordt volop gewerkt aan de gebruiksvriendelijkheid van Statbel Junior. Binnenkort worden nieuwe quizvragen per thema toegevoegd, zodat leerlingen thema’s meermaals kunnen doorlopen met steeds andere invalshoeken. Dit maakt het platform niet alleen leuker, maar ook effectiever voor herhaling en verdieping.
Hiernaast een voorproefje:
STATISTIEKOLYMPIADE 20242025: DE EINDFASE
Twintig teams uit het vijfde en zesde middelbaar namen het tegen elkaar op in de finale van de Statistiekolympiade 2024-2025. Leerlingen uit alle finaliteiten – doorstroom, dubbele én arbeidsmarkt – uit de derde graad secundair onderwijs van zowel het 5de als 6de middelbaar, lieten hun creativiteit de vrije loop en leverden knappe videoprojecten af.
Bekijk de video’s van de deelnemende teams op YouTube: https://www.youtube.com/playlist? list=PLIkiCST8Dg9rryrAKuXsIinlNItX 6o-JD
VERNIEUWDE EDITIE IN 2025-2026: MET TWEE OPTIES VOOR DE DERDE GRAAD
Goed nieuws voor volgend schooljaar: de Statistiekolympiade 2025-2026 krijgt een vernieuwde aanpak! Op basis van feedback van leerkrachten worden er voor de derde graad twee keuzemogelijkheden voorzien. Benieuwd naar de keuzemogelijkheden?
Alle praktische info verschijnt binnenkort op: www.statistiekolympiade.be
Blijf op de hoogte via onze info- en nieuwsbrief. Inschrijven voor de Olympiade-nieuwsbrief: https://statbel.fgov.be/nl/ Olympiade/nieuwsbrief
NIEUWSGIERIG NAAR DE EERSTE RONDE VAN DE STATISTIEKOLYMPIADE?
Wil je weten hoe zo’n eerste ronde eruitziet? Je vindt alle versies van ronde 1 van de editie 2024-2025 overzichtelijk gebundeld op onze website: https://statbel.fgov.be/ nl/Olympiade/ronde-1editie-2024-2025
We zijn ook volop bezig om het materiaal van vorige edities in een interactieve vorm aan te bieden — handig én inspirerend voor de klaspraktijk. Kan je in tussentijd iets gebruiken of heb je specifieke vragen? Geef ons gerust een seintje!
JE VINDT STATBEL ACADEMY EN DE OLYMPIADE OP VERSCHILLENDE PLATFORMS:
• Website Statbel Academy: www.statbelacademy.be
• Website Statbel Junior: www.statbeljunior.be
• LinkedIn-pagina: www.linkedin.com/showcase/ statbelacademy
• Website Statistiekolympiade: www.statistiekolympiade.be
• Vragen? Mail naar: statliteracy@economie.fgov.be
ALTIJD UP-TO-DATE MET ÉÉN KLIK?
Wil je snel zien waar Statbel allemaal actief is – van educatieve projecten tot sociale media en videoplatformen? Dan is onze Linktree jouw ideale vertrekpunt. Je vindt er in één overzicht al onze kanalen, nieuwigheden, tools en initiatieven. Handig voor leerkrachten, studenten én nieuwsgierige cijferliefhebbers. Ontdek waar statistiek leeft en klik je weg naar de wereld van Statbel: https://linktr.ee/statbel
Het volledige aanbod is gratis.
Onze wiskundemethodes vieren in 2025 een machtig jaar! De methode Nando wordt namelijk 3² jaar oud, terwijl Van Basis Tot Limiet maar liefst 3³ kaarsjes uitblaast.
Die mooie gebeurtenis lieten we natuurlijk niet zomaar passeren! Wij nodigden alle wiskundeleerkrachten én leerkrachten exacte wetenschappen daarom van harte uit op het WW-congres op 15 maart 2025 in het BMCC in Brugge.
Tijdens het WW-congres op 15 maart, verzamelden wiskundeleerkrachten én leerkrachten exacte wetenschappen van over heel Vlaanderen zich in het BMCC in Brugge voor een inspirerende dag boordevol interessante sprekers en leerrijke sessies. Kon je er niet bij zijn, maar ben je toch benieuwd naar de infosessies over de herwerking in de 1e graad? Goed nieuws! Speciaal voor onze wiskundemethode namen we nog een extra webinar op.
Sessie 1
keuze uit
• ChatGPT & Co voor wiskunde en wetenschappen – Prof. Dr. Stefaan Cottenier
• Probleemoplossend denken – Filip Cools
• Wiskundeplan: van minimumdoelen tot curriculum – Pedro Tytgat
Sessie 2
keuze uit
• Transparantie en controle in AI-ondersteunende onderwijsapplicaties –Dr. Jeroen Ooge
• Vernieuwing in de 1e graad met Nando en VBTL –Björn Carreyn en Filip Geeurickx
• Informaticawetenschappen: wat en hoe? – Greet Vanderbiesen
Max-wiskunde:
Sessie 3
keuze uit
• Tips bij evaluatie en toetsanalyse – Dr. Filip Moons
• Verband tussen logica en bewijzen – Alexander Holvoet
• Vernieuwing in de 1e graad B-stroom met Max-wiskunde – Katinka Steen
IN MIJN WOONPLAATS HEEMSKERK STAAN TWEE OPVALLENDE GROTE
KUNSTWERKEN WAAR JE ALS IEMAND MET EEN BEETJE WISKUNDIGE
BELANGSTELLING EIGENLIJK NIET ACHTELOOS AAN VOORBIJ KAN GAAN.
BEIDE SCULPTUREN VORMEN EEN SOORT TOEGANGSPOORT. DE ENE, ROTONDE GENAAMD, VORMT DE TOEGANG TOT MIJN WOONPLAATS EN DE ANDERE, MET DE TITEL EEN KOMEN EN GAAN, TOT EEN WOONWIJK.
ROTONDE BERUST MEER OP EEN VISUEEL EFFECT DAN OP WISKUNDE.
BIJ EEN KOMEN EN GAAN IS DAT ANDERS.
KLAAS LAKEMAN
In 1999 werd niet ver van mijn huis bij het afwerken van een rotonde de sculptuur Rotonde van de Nederlandse kunstenaar Lucien den Arend geplaatst. Deze rotonde vormt de entree tot mijn woonplaats. Bij oppervlakkige beschouwing lijkt het kunstwerk op een 9 meter hoge, cirkelvormige roestvrijstalen buis die aan de onderkant open is. Op die manier staat de buis met de twee uiteinden wijd uit elkaar steviger op de ondergrond (figuur 1). Immers bij een cirkel zou dat slechts één punt zijn.
Het zorgt er echter ook voor dat de buis, bij nadering uit een van de vier rijrichtingen en bij het nemen van de rotonde, steeds een ander aanzien biedt. Komend van de snelweg, zie je het silhouet van een reusachtige, haast gelijkzijdige driehoek. Door de begroeiing lijkt het alsof de basis daarvan aan het zicht is onttrokken (figuur 2). Nadering vanuit de tegengestelde richting levert hetzelfde driehoekige silhouet. Bij nadering vanuit een richting die loodrecht staat op de vorige, zie je vanop afstand een cirkel (figuur aan het begin) die geleidelijk verandert in een ellips (figuur 3).
Bij het nemen van de rotonde zie je hoe de driehoek en de ellips vloeiend in elkaar overgaan. Zo is dus een wisselend beeld te zien met allerlei tussenvormen waarvan figuur 4 er een is.
Eerder had Lucien den Arend voor de Gemeente Heemskerk op veel kleinere schaal een object geleverd met een vergelijkbaar visueel cirkeldriehoek-effect. Dat was in 1994 met Mono-lineair Scales, Junction (figuur 5). Het bestaat uit twee plaatstalen cirkels, die elk tot een halve boog zijn gewalst. Vervolgens zijn ze op één punt aan elkaar gelast. Op de rug van een van de platen neerkijkend zie je een soort ovaal. In een richting daar loodrecht op (zoals in figuur 5) is een driehoekvorm zichtbaar.
Deze tweedelige sculptuur staat bij de ingang van een woonwijk. Bezoekers worden erdoor de wijk in en weer uitgeleid (figuur 6). Het beeld dateert uit 1992 en was destijds de eerste grote opdracht voor de Nederlandse kunstenaar Roland de Jong Orlando. Het is opgebouwd uit twee exact gelijke vormen, die beiden uit 72 identieke modulen oftewel bouwstenen bestaan (figuur 7).
Een vierkante balk, loodrecht of dwars op de lengterichting doorgezaagd, levert doorgaans als zaagdoorsnede een vierkant op. Zaag je hem echter onder een hoek van 30° met de dwarsdoorsnede door, dan is de zaagdoorsnede van de twee stukken een rechthoek. Deze twee stukken kunnen op twee manieren weer netjes aan elkaar gezet worden: in de oorspronkelijke positie (figuur 8) of door het ene stuk 180° te draaien ten opzichte van het andere (figuur 9).
Zaag je een vierkante balk tweemaal door onder bij voorbeeld een hoek
van 30° in tegengestelde richtingen, dan krijg je een blokvormig trapezium (figuur 10). Een aantal van dat soort trapeziumvormige blokken kunnen weer netjes aan elkaar worden gezet. Dat levert dan doorgaans een cirkelvormig patroon op (figuur 11). In dit speciale geval van zagen onder een hoek van 30° bekom je een keurige gesloten regelmatige zeshoek (figuur 12).
Bij zagen onder een hoek van 45° in twee verschillende richtingen, bekom je een vierkant of een rechthoek, te vergelijken met het maken van houten lijstjes voor schilderijen of foto’s.
Om dit soort trapeziumvormige blokjes netjes aan elkaar te kunnen passen, blijf je hoe dan ook in het platte vlak. Meer mogelijkheden worden verkregen door ervoor te zorgen dat de zaagdoorsnede een vierkant wordt. Dat betekent dat je niet meer van een vierkante balk van A bij A cm uit kunt gaan. Om een vierkante zaagdoorsnede van bijvoorbeeld A bij A cm te verkrijgen bij een zaagrichting is een balk nodig met een dwarsdoorsnede van A bij L cm. Daarbij is L = A × cos
Om bijvoorbeeld een zaagdoorsnede te krijgen van 10 bij 10 cm onder een zaaghoek van 30° is dus een balk
nodig met een dwarsdoorsnede van 10 bij 10 × cos 30°, dus van 10 bij 8,66 cm (figuur 13).
Dit soort trapeziumvormige blokjes kunnen netjes aan elkaar worden gezet onder achtereenvolgens hoeken van 90, 180 en 270 graden (figuur 14). Zo kunnen deze blokjes bijvoorbeeld aan elkaar gekoppeld worden door elk volgend blokje met de wijzers van de klok mee over 90° te draaien ten opzichte van het voorgaande blokje. Op die manier ontstaat een soort gedraaide of getordeerde balk (figuren 15a en 15b).
In het kunstwerk Monument voor de branding worden de golven verbeeld door dit soort gedraaide balken (figuur 16). Daarin zijn de ‘golven’ achtereenvolgens opgebouwd uit 9, 11, 13, 15 en 17 dezelfde trapeziumvormige bouwstenen. De afmetingen van dit object zijn 2,42 m bij 2,57 m bij 2,13 m.
In plaats van elk volgend blokje steeds over 90° ‘met de klok mee’ te draaien kan dat ook afwisselend worden gedaan door een volgend blokje 90° ‘tegen de klok in’ te draaien en het daaropvolgende weer 90° ‘met de klok mee’ te draaien, enzovoort.
Dat levert een stukje van een cirkelboog op, zoals te zien is in figuur 17, waar de blokjes zijn gemaakt uit een balk van 10 bij 9,7 cm met zaagsneden onder hoeken van 14°. Een kleinere zaaghoek levert een flauwere boog (vergelijk bijvoorbeeld met figuur 12).
Afhankelijk van de zaaghoek sluit de boog netjes tot een cirkel. Zo zijn er 18 van die blokjes nodig om een bijna sluitende cirkel te maken (figuur 18), want de uiteinden zullen hier niet op elkaar aansluiten. Je kunt ook twee van die bijna sluitende cirkels aan elkaar koppelen (figuur 19). Dat levert al een wat ruimtelijker geheel. Door combinatie van drie cirkelbogen, zoals je kan zien in figuur 19, met een stuk van de getordeerde balk uit figuur 15b, bekom je uiteindelijk het ontwerp voor Een komen en gaan (figuur 20).
De twee delen van de sculptuur Een komen en gaan hebben elk afmetingen van 2,35 m hoog, 3,80 m breed en 10,20 m lang en zijn uitgevoerd in staal. Zoals al aangegeven, bestaat elk deel uit 72 identieke trapeziumvormige bouwstenen. Die zijn denkbeeldig verkregen door een grote stalen balk (die net niet vierkant is op de dwarsdoorsnede) onder hoeken van 14° door te zagen. Zo’n balk bestaat natuurlijk niet. Voor elke module moesten dus steeds vier platen aan elkaar worden gelast. Oftewel: twee identieke trapeziumvormige platen, een rechthoek en een vierkant (figuur 21). Let wel dat de ‘onderkant’ van de hier gebruikte trapeziumvormige ‘blokken’ dus ook een vierkant is. De afmetingen daarvan zijn gelijk aan de vierkante denkbeeldige zaagdoorsneden. In totaal waren er dus 2 × 72 × 4 = 576 platen nodig die stuk voor stuk aan elkaar gelast moesten worden. Een behoorlijk bewerkelijk karwei!
Elke week een nieuw probleem om op te lossen met jouw klas.
Bestel jouw kalender nu via onze webshop!
Elke week een nieuw probleem om op te lossen met jouw klas.
6
KleinePathoekeweg3,B-8000Brugge – 050471262 – so@diekeure.be – www.diekeure.be/educatief
Scheurkalender_A5_Probleem van de week_wiskunde_850001405_2025_gevorderden_20258.indd 1
Maxime heeft zes kaarten met een cijfer op. Twee kaarten met het cijfer 3, twee kaarten met het cijfer 5 en twee kaarten met het cijfer 7.
3 3 5 5 7 7
Als ze nu de waarde van één of meerdere kaarten optelt, krijgen we getallen van 3 tot 30. (bv. 11 = 3 + 3 + 5).
Hoeveel getallen kan ze maken als som van één of meer van deze kaarten?
Uma duidt op een honderdveld een 3x3 vierkant aan. Ze laat weten dat de som van de getallen van de diagonalen 171 is.
Welke 9 getallen staan in het vierkant dat Uma aanduidde?
WISKUNDE EN ONDERWIJS
DE EERSTE MECHANISCHE REKENMACHINE IS MEER DAN 400 JAAR GELEDEN UITGEVONDEN. EEUWENLANG WAREN DE MOGELIJKHEDEN VAN ZO’N MACHINES BEPERKT TOT OPTELLEN, AFTREKKEN, VERMENIGVULDIGEN
EN DELEN. PAS IN DE TWEEDE HELFT VAN DE NEGENTIENDE EEUW
VIND JE IN DE HANDLEIDINGEN VAN DIE REKENMACHINES UITLEG OVER HOE JE ER VIERKANTSWORTELS MEE KON TREKKEN. WE BESCHRIJVEN
HIER DE GEBRUIKTE METHODE, EN BESPREKEN OOK KORT DE MEEST
NOTOIRE MECHANISCHE REKENMACHINES DIE AUTOMATISCH EEN VIERKANTSWORTEL KONDEN TREKKEN.
PAUL LEVRIE IS WISKUNDIGE EN WAS DOCENT WISKUNDE AAN DE FACULTEIT TOEGEPASTE INGENIEURSWETENSCHAPPEN (UANTWERPEN).
HIJ IS AUTEUR VAN O.A. EEN BOEK OVER PRIEMGETALLEN EN GEEFT LEZINGEN VOOR EEN BREED PUBLIEK OVER WISKUNDE EN GERELATEERDE ZAKEN. (PAUL.LEVRIE@UANTWERPEN.BE)
ERWIN SMET ONDERWEES ROBOTICA EN MECHANISCH ONTWERPEN AAN DE INDUSTRIEEL INGENIEURS ELEKTROMECHANICA (UANTWERPEN), EN HEEFT SINDS TIENTALLEN JAREN EEN COLLECTIE REKENHULPMIDDELEN OPGEBOUWD. ZIJN JAARLIJKSE REIZEN NAAR BERLIJN, OOK VÓÓR DE VAL VAN DE MUUR, HEBBEN STERK BIJGEDRAGEN TOT HET VINDEN VAN MACHINES EN HULPMIDDELEN MET EEN OOST-EUROPEES SMAAKJE. (ERWIN.SMET@UANTWERPEN.BE)
CHRISTOPHE VANDE VELDE GEEFT LES AAN DE INDUSTRIEEL INGENIEURS CHEMIE (UANTWERPEN) EN IS AL TWINTIG JAAR GEFASCINEERD DOOR MECHANISCHE REKENMACHINES, MET DE FOCUS OP NIET-ELEKTRISCHE MACHINES VOOR DE VIER HOOFDBEWERKINGEN, MAAR MET AF EN TOE EEN EXCURSIE NAAR ELEKTRISCHE EN AUTOMATISCHE MACHINES.
(CHRISTOPHE.VANDEVELDE@UANTWERPEN.BE)
Het leren met de hand uitrekenen van de vierkantswortel van een getal is al een tijdje geen eindterm meer in het secundair onderwijs (SO) in Vlaanderen. De eerste auteur van dit artikel herinnert zich echter nog zeer goed hoe zijn leraar wiskunde van de laatste drie jaar van het SO plots afweek van de leerplannen (en van de handboeken van de reeks Wis en Kundig) en tijd uittrok om een methode uit te leggen waarmee dit kon gedaan worden. Het leek een beetje op een staartdeling en het gaat als volgt. Stel dat je de vierkantswortel wil berekenen van 135683, dan verdeel je dat getal vertrekkend van de decimale komma in groepjes van 2 cijfers:
Stap 1.
We nemen nu eerst de meest linkse groep en zoeken het grootste getal waarvan het kwadraat past in die groep. Hier gaat het om 13, en dus vinden we 3, met kwadraat 9. Deze 3 is het eerste cijfer van de vierkantswortel die we zoeken en we schrijven het rechts van de verticale streep, bovenaan. We maken nu links (een beetje zoals bij een staartdeling) het verschil van 13 en het kwadraat van 3, en laten dan de volgende groep van 2 cijfers zakken.
Stap 2.
Voor de volgende stap (zie het deel met de rode 6) nemen we tweemaal de reeds gevonden 3, en gaan op zoek naar een cijfer dat op de plaats van het punt komt zodat het product met 6 net past in 456. De verdubbeling van de 3 is een gevolg van een dubbel product.
Dat zie je zo: we willen het grootste kwadraat bepalen dat past in 1356. Dat kwadraat heeft als eerste cijfer 3, dat weten we al. Het is dus van de vorm . We zoeken dus de grootste waarvoor past in 456. Hier is dan gelijk aan 6 en het tweede cijfer van de vierkantswortel is een 6. We trekken links 66×6=396 af van 456, en laten de volgende groep van 2 cijfers zakken.
Stap 3.
We verdubbelen het resultaat van dit moment (zie deel met de groene 8) en bepalen de waarde van het punt. Die is 8, dus het gehele deel van de vierkantswortel van 135683 is 368.
Merk op dat we op dezelfde manier verder kunnen gaan voor de cijfers na de komma door in het gegeven getal nullen na de komma te schrijven.
Het intrigerende aan de hele zaak, en de reden waarom dit beklijft, is de bepaling van het cijfer dat op de plaats van die 2 punten komt. Het ligt absoluut niet voor de hand hoe je dat doet. We komen hierop terug.
Recent ontdekten we dat bovenstaande methode al zo oud is als de straat. We vinden ze namelijk terug in het boek Rabdologiae uit 1617 van de hand van John Napier (1550-1617). Het probleem met de 2 punten lost Napier op een elegante manier op. Hij maakt hiervoor gebruik van een rekenhulp, meer bepaald van zijn Neperse staafjes die in datzelfde boek worden voorgesteld.
Op figuur 1 zie je links een set van die Neperse staafjes, in feite zijn dit tafels van vermenigvuldiging. Rechts op de figuur zie je een extra staafje (met links de opeenvolgende kwadraten, rechts de cijfers van 1 t.e.m. 9, en in het midden het dubbele daarvan) dat Napier gebruikt voor het trekken van een vierkantswortel.
Je kan ze als volgt gebruiken om een product van 2 getallen te berekenen. Neem bijvoorbeeld 314×825. Leg de staafjes met bovenaan de cijfers van de eerste factor (314) in de juiste volgorde (zie figuur 2). Bekijk nu
enkel de rijen met links een cijfer van de tweede factor, te beginnen bij de eenheden, dus achtereenvolgens 5, 2 en 8. Bij elk van die cijfers hoort het ‘getal’ dat rechts ervan staat (groen) waarbij de afspraak is dat we de twee
cijfers die diagonaal boven elkaar staan moeten optellen. Indien een van deze deelsommen 10 of meer geeft, dan moet een overdracht worden gedaan.
Dit geeft dan voor de eenheden van de tweede factor:
Voor de tientallen van de tweede factor volgen we dezelfde werkwijze. Omdat we hier met tientallen te maken hebben bekomen we het tussenresultaat door een “0” achteraan toe te voegen.
Idem voor de honderdtallen (let op voor de overdracht):
Het uiteindelijk product wordt bekomen door de tussenresultaten op te tellen:
Voor het trekken van vierkantswortels had Napier dus dat extra staafje. Dat gaat als volgt (zie figuur 3). We nemen opnieuw het voorbeeld van in het begin.
Stap 1 is hetzelfde als voorheen, maar Napier noteert het anders. Tussen de 2 strepen staat het eerste cijfer van de wortel, onder de strepen het kwadraat ervan en boven het getal, waarvan we de vierkantswortel zoeken, het verschil van de linkse cijfergroep en het kwadraat van het eerste cijfer (rood).
In stap 2 vullen we het gevonden cijfer uit stap 1 aan met de volgende groep van twee cijfers (rood). Dan nemen we het Neperse staafje voor de worteltrekking erbij en plaatsen links ervan het(de) Neperse staafje(s) met bovenaan het dubbel van het tussenresultaat uit de vorige stappen. We doorlopen dan van boven naar onder de twee linkse kolommen waarbij we diagonaal sommeren zoals hierboven uitgelegd. We zoeken de grootste som die kleiner is dan het rode getal 456. We vinden die in de zesde rij, lezen helemaal rechts 6 af. Dat is het tweede cijfer van de gezochte wortel. De som in kwestie wordt onderaan toegevoegd, het verschil bovenaan.
3
Stap 3 verloopt op dezelfde manier. We vullen het verschil aan met de volgende groep van 2 cijfers. Het dubbel van 36 is 72. We plaatsen deze 2 Neperse staafjes vóór dat van de worteltrekking en zoeken in de drie linkse kolommen de grootste som kleiner dan of gelijk aan 6083. Die staat op de achtste rij: het derde cijfer van de wortel is 8.
Na de uitleg voegt Napier in zijn boek ook nog een versie ervan in versvorm toe, “opdat de speciale instructies voor het trekken van vierkantswortels beter in het geheugen zouden blijven zitten”.
Mechanische rekenmachines bestaan al meer dan 400 jaar, maar waren lange tijd beperkt tot de operaties optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Een van de redenen waarom worteltrekken er niet bij was, is waarschijnlijk het probleem met de twee punten. Daar kwam in 1866 verandering in. In dat jaar werd er een artikel gepubliceerd waarin de bovenstaande methode op zo’n manier wordt aangepast dat ze enkel optellingen en aftrekkingen gebruikt. Auteur was de Duitse fysicus August Toepler. Zijn inzicht was gebaseerd op het feit dat elk geheel kwadraat de som is van opeenvolgende oneven getallen. Zo is 16 de som van 1 + 3 + 5 + 7, zoals je kan zien op de volgende figuur:
Het is op een gelijkaardige manier eenvoudig te bewijzen dat het kwadraat van een getal n gelijk is aan de som van de eerste n oneven getallen. Dat gebruiken we nu als volgt. In het eerste deel van dit artikel hebben we het probleem van de twee punten in symbolische vorm geschreven. In het voorbeeld moesten we de grootste bepalen waarvoor geldt dat kleiner is dan of gelijk is aan 456. We kunnen die uitdrukking met nu ook anders bekijken:
of nog
Dit levert de volgende praktische methode op om te bepalen: vertrek van het getal 456 en trek er een voor een de opeenvolgende oneven getallen vanaf 60 van af, tot je een negatief resultaat krijgt. De laatste aftrekking annuleer je. Het aantal niet geannuleerde aftrekkingen is . Merk op dat de ‘60’ afkomstig is van het eerste cijfer van de wortel maal 10, maal 2 (van het dubbel product). Als we dit gebruiken, dan kunnen we op een mechanische rekenmachine met enkel optellingen en aftrekkingen een wortel berekenen. We passen het systeem toe op ons voorbeeld. In figuur 4 is een mechanische rekenmachine afgebeeld met de benaming en het doel van enkele onderdelen ervan.
Eerst brengen we het getal 135683 in het resultaatregister in, en zetten we het instelregister op nul. En dan beginnen we eraan. De opeenvolgende resultaten van elke stap staan naast elkaar. ‘-+’ staat voor: aftrekken en aftrekking annuleren. Een dubbele pijl naar links betekent: de wagen van het toestel wordt één plaats verschoven naar links. Achteraan krijgen we één voor één de cijfers van de gezochte wortel:
Een cijfer in een kadertje met witte achtergrond is een instelling die moet gedaan worden in het instelregister. In dit geval zijn het er in totaal 24. De plaats van deze cijfers is belangrijk, vergelijk steeds met het voorbeeld in het begin. Het resultaat komt in het telregister (zie figuur).
Het getal 259 (rechtsonder) is de rest: 3682 + 259 = 135683.
Bijna onmiddellijk na de publicatie van de methode van Toepler werd aan de handleidingen van de mechanische rekenmachines een paragraaf toegevoegd over worteltrekking.
Het kan beter. In 1952 nam de Friden Calculating Machine Co een patent op een mechanische rekenmachine die wortels kon trekken. In het patent beschrijven ze een verbeterde methode, die gebaseerd is op het volgende principe: we vermenigvuldigen het getal waarvan we de wortel willen trekken met 5, en alle daaropvolgende operaties met oneven getallen worden ook met 5 vermenigvuldigd. Dit is het resultaat voor ons voorbeeld:
De Friden SRW is niet de eerste mechanische rekenmachine die automatisch wortels berekent. In Frankrijk bouwde Léon Bollée op het einde van de negentiende eeuw ook rekenmachines, en in figuur 6 zie je een toestel waarmee Bollée in 1889 een gouden medaille won op de Wereldtentoonstelling in Parijs. Een aangepaste versie uit 1892 kon in 30
Er zijn minder instellingen nodig (22) en de methode heeft nog enkele bijkomende voordelen, bijvoorbeeld dat het resultaat cijfer per cijfer verschijnt bij de instellingen (rode cijfers). Dit is een gevolg van de extra vermenigvuldiging met 5: in de originele methode moesten we het tussenresultaat (door John Napier ‘quotumus’ genoemd) maal 2 doen, in de aangepaste versie is dat maal 10. In figuur 5 zie je een foto van het toestel van het patent, de Friden SRW, uit 1952.
Dit toestel berekent met één druk op de juiste toets automatisch de gezochte vierkantswortel, gebruikmakend van bovenstaande methode.
seconden – met veel lawaai – de vierkantswortel van een getal van 18 cijfers berekenen. Een spectaculair resultaat voor die tijd.
Bollée gebruikt een vereenvoudiging van de originele methode. Hij merkte op dat je de operaties met de oneven getallen kan optimaliseren:
Dan moet je 1 twee keer aftrekken, 2 ook, enz. Bollée voorzag een manier om de instelling automatisch dubbel te laten aftrekken. Een bijkomend voordeel is dat de instellingen die je moet doen met 1 toenemen i.p.v. met 2.
In 1958 kwam er een mechanische rekenmachine van Brunsviga uit die automatisch wortels kon trekken, en die in essentie dezelfde methode gebruikt als de Bollée. Basis was een patent van 1958 van Willy Faber. Figuur 7 (Bron: Arithmeum, Rheinische Friedrich WilhelmsUniversität Bonn) toont deze Faber Brunsviga D13 R-1.
Iets later waren er dan de eerste elektronische rekenmachines, met een knop voor worteltrekking:
Levrie, P., Smet, E., Vande Velde, Chr., 400 jaar mechanisch rekenen, catalogus van de tentoonstelling, UAntwerpen, 2023. Rice, B., González-Velasco, E., Corrigan, A., The life and works of John Napier, Springer Cham, 2017.
EÉN VAN DE THEORIEVRAGEN OP HET MONDELING JANUARI-EXAMEN
VOOR STUDENTEN VAN DE LERARENOPLEIDING (TOEKOMSTIGE WISKUNDELERAREN VOOR DE EERSTE EN TWEEDE GRAAD S.O.) LUIDDE: “BEWIJS OP TWEE MANIEREN DAT DE SOM VAN DE HOEKEN VAN EEN DRIEHOEK GELIJK IS AAN 180°”. IN DE LES WAREN DRIE MANIEREN AAN BOD GEKOMEN: HET BEWIJS DOOR DE HOEKEN AF TE SCHEUREN, HET BEWIJS DOOR EEN EVENWIJDIGE TE CONSTRUEREN EN HET BEWIJS MET
HET TELEGELEIDE AUTOOTJE (ZIE VERDEROP). MIEK, DIE DE BEHANDELDE BEWIJZEN NIET KENDE, PROBEERDE (TERECHT!) ZELF EEN BEWIJS OP TE STELLEN.
MICHEL ROELENS
HET BEWIJS VAN MIEK
Stel de som van de hoeken in een driehoek gelijk aan x. We moeten bewijzen dat x = 180°. Neem een willekeurige driehoek ABC en verdeel die in twee driehoeken ACP en BCP met P op [AB] zoals op de figuur. We hebben:
1
Uit het gesprek bleek dat Miek overtuigd was dat haar bewijs volledig correct was. Ook toen ik uitdrukkelijk vroeg of ze niet steunde op een onbewezen veronderstelling, zag ze het probleem niet. Ik heb uiteindelijk zelf moeten uitleggen dat ze, door alle hoekensommen van driehoeken dezelfde naam x te geven, aannam dat de som van de hoeken van een driehoek voor elke driehoek dezelfde is. Miek bewees dat als de hoekensom van elke driehoek dezelfde is, deze som dan niets anders kan zijn dan 180°.
Is haar bewijs dan waardeloos? Zeker niet. Ten eerste is het altijd goed iets te proberen en niet te denken “ik weet het of ik weet het niet”. Ten tweede kan het hiaat in haar bewijs worden opgevuld, door de impliciete veronderstelling te bewijzen (uiteraard zonder te steunen op de som van de hoeken in een driehoek). Samen toonden we aan dat de som van de hoeken niet verandert als je bv. de zijde BC rond het hoekpunt B draait tot de zijde BC’ met C’ op de rechte AC
De driehoek ABC wordt de driehoek ABC’. Wat erbij komt in de hoek , gaat er af van de hoek : dit toonden we aan door in C’ een rechte te tekenen evenwijdig met BC en te steunen op verwisselende binnenhoeken.
Door deze operatie te herhalen kun je van een driehoek een willekeurige andere driehoek maken zonder dat de som van de hoeken verandert. Dus hebben alle driehoeken een zelfde hoekensom, die je dus één naam x mag geven. Hiermee is het bewijs van Miek ‘gered’.
Ik hoop dat Miek en haar medestudenten later de redeneringen van hun leerlingen niet zomaar goed of fout rekenen afhankelijk van de afwezigheid van rekenfouten of van de overeenkomst met de handleiding bij het handboek. Ik hoop dat zij in staat zullen zijn om mee te denken met hun leerlingen, om eventuele hiaten in de redeneringen van de leerlingen te herkennen, om onvolledige redeneringen samen met de leerlingen aan te vullen, enz. Hiertoe is het nodig dat de leraren een ruimere en diepere wiskundecultuur bezitten dan enkel ‘begrijpen wat in het handboek staat’…
Hier eindigt het verhaal over het interessante maar onvolledige bewijs van Miek. De tekst hieronder is toegevoegd voor lezers die intussen benieuwd zijn naar de drie bewijzen van de hoekensom van een driehoek die in de les aan bod waren gekomen.
Een eerste bewijs is de onmiddellijke wiskundige vertaling van een experiment. Van een grote papieren driehoek scheur ik twee hoeken af en leg ze bij de derde hoek. De studenten zien meteen dat de som van de drie hoeken 180° is. Ze krijgen de opdracht dit te ‘vertalen’ in een wiskundig bewijs.
Het ‘scheuren’ wordt ‘construeren’: je construeert twee hoeken met hoekpunt C die aanliggend zijn met hoek : een hoek ₁ tegen het been [CA, even groot als hoek , en een hoek ₂ tegen het been [CB, even groot als hoek . De ‘vaststelling’ van het experiment, dat in C de som van de hoeken 180° is, moet nu worden verantwoord. Het buitenste been van ₁ is evenwijdig met AB (verwisselende binnenhoeken omgekeerd) en idem voor het buitenste been van 2. Dus vormen beide benen één rechte want er bestaat maar één rechte door C evenwijdig met AB. Dus =180°. Door constructie is en dus is de stelling bewezen.
Spontaan vertalen sommige studenten het experiment in een bewijs dat wiskundig iets eenvoudiger is maar dat verder af ligt van wat je in het experiment doet. In feite wordt de redenering van het scheurexperiment hier omgedraaid.
Voor het derde bewijs teken ik met krijt een driehoek op de vloer (je mag als docent meer dan de studenten) en zet ik er een telegeleid autootje op. Als het autootje de driehoek volgt tot het weer in de beginpositie staat, moet het bij elk hoekpunt draaien over de buitenhoek. Het draait dus in totaal over
Door in gedachten de driehoek te verkleinen of van op een grote afstand te bekijken, is het duidelijk dat het autootje in totaal één volledige omwenteling heeft gemaakt. Een meer wiskundige versie voor het verkleinen van de driehoek: verschuif de buitenhoeken van de driehoek zo dat ze één zelfde hoekpunt hebben. We hebben dus: , waaruit volgt
Dit artikel verscheen in Uitwiskeling 24/2. Op www.uitwiskeling.be vind je meer info.
Construeer door C een evenwijdige aan AB. Dan is (verwisselende binnenhoeken).
Dus: .
De figuren bij beide bewijzen zijn identiek maar waar je in het ene bewijs voor zorgt is in het andere bewijs het ‘te bewijzen’ en omgekeerd.
19/20 SEPTEMBER IN ANTWERPEN EN 26/27 SEPTEMBER IN AMSTERDAM
DE NAZOMERCURSUS (VOORHEEN DE VAKANTIECURSUS) VOOR
WISKUNDELERAREN WORDT VANAF 1946 JAARLIJKS GEORGANISEERD. SINDS 2010 LIGT DE ORGANISATIE IN HANDEN VAN PLATFORM WISKUNDE NEDERLAND EN SINDS 2023 IN SAMENWERKING MET PLATFORM WISKUNDE VLAANDEREN. DE CURSUS RICHT ZICH IN NEDERLAND VOORAL OP DOCENTEN IN DE BOVENBOUW VWO. DE STOF IS BIJ UITSTEK GESCHIKT VOOR WISKUNDE D: UITDAGEND, FASCINEREND EN TOCH CONCREET EN TOEGANKELIJK. VOOR VLAANDEREN RICHT DE CURSUS ZICH IN HET BIJZONDER OP LERAREN DIE LESGEVEN IN STERK WISKUNDIGE RICHTINGEN IN DE DERDE GRAAD, MAAR ZEKER OOK OP DE MEERWAARDEZOEKERS DIE LESGEVEN IN EEN RICHTING WAAR DE COMPLEXE GETALLEN OP HET
LEERPLAN STAAN (UITGEBREIDE WISKUNDE I.F.V. WETENSCHAPPEN, ...)! ANDERE BELANGSTELLENDEN ZIJN NATUURLIJK OOK VAN HARTE WELKOM!
Complexe getallen zijn uitgevonden om het leven van wiskundigen gemakkelijker te maken. Zoals de Franse wiskundige Painlevé zei: De kortste en gemakkelijkste weg tussen twee waarheden in het reële domein loopt vrij vaak door het complexe vlak (entre deux vérités du domaine réel, le chemin le plus facile et le plus court passe bien souvent par le domaine complexe). Er zijn theoretische toepassingen, zoals oplossingen van derdegraadsvergelijkingen of begrijpen waarom de machtreeksontwikkeling van de functie
bij x=-1 of x=1 ophoudt met convergeren zonder dat daarvoor een reële aanleiding lijkt te bestaan in de grafiek van f. Er zijn pragmatische toepassingen, zoals het afleiden of onthouden van additieformules van sinus en cosinus (een fluitje van een cent met complexe getallen). En er zijn toepassingen buiten de wiskunde, zoals in de theorie van elektrische schakelingen.
In de nazomercursus van 2025 in Antwerpen en in Amsterdam zullen onderzoekers u op een toegankelijke wijze meenemen in dergelijke reële toepassingen van de complexe getallen, die op school vaak zo mysterieus blijven.
Het cursusgeld bedraagt €99. Voor studenten van lerarenopleidingen is het cursusgeld slechts €39. Voor gepensioneerden geldt een speciaal tarief van €55. Bij de cursus is inbegrepen een warme maaltijd op vrijdag, een lunch op zaterdag, en een syllabus.
Alle informatie en het aanmeldformulier vindt u op: htps://www.platformwiskunde.nl/nazomercursus
Voor vragen kunt u mailen naar nazomercursus@ platformwiskunde.nl
vakantiecursus voor leraren wiskunde
Els Vanlommel
Jeroen Spandaw en Els Vanlommel
organiseert Platform Wiskunde Nederland aan het einde van de zomervakantie voor leraren wiskunde. Zo ook komende zomervakantie. Traditioneel gaat de Amsterdam, dit jaar op 23 en 24 augustus, om enkele weken later herhaald Eindhoven. Sinds vorig jaar echter gaat die herhaling niet meer door in Eindhoven, Antwerpen en dit op 6 en 7 september. De editie in Antwerpen is een samenwerking Wiskunde Vlaanderen. Door die samenwerking kan nu ook Vlaanderen fenomeen 'vakantiecursus'! Het thema van dit jaar is ‘Banach-Tarski en Hoofdsprekers zijn prof. dr. Stefaan Vaes uit Leuven en dr. habil. Jeroen
Al sinds 1946 organiseert Platform Wiskunde Nederland aan het einde van de zomervakantie een vakantiecursus voor leraren wiskunde. Zo ook komende zomervakantie. Traditioneel gaat de cursus eerst door in Amsterdam, dit jaar op 23 en 24 augustus, om enkele weken later herhaald te worden in Eindhoven. Sinds vorig jaar echter gaat die herhaling niet meer door in Eindhoven, maar wel in Antwerpen en dit op 6 en 7 september. De editie in Antwerpen is een samenwerking met het Platform Wiskunde Vlaanderen. Door die samenwerking kan nu ook Vlaanderen genieten van het fenomeen 'vakantiecursus'! Het thema van dit jaar is ‘Banach-Tarski en groepentheorie’. Hoofdsprekers zijn prof. dr. Stefaan Vaes uit Leuven en dr. habil. Jeroen Spandaw uit Delft.
we je iets over deze prachtige cursus. Voor gedetailleerde informatie en we graag naar de websites van Platform Wiskunde Nederland
https://platformwiskunde.nl/) en Platform Wiskunde Vlaanderen
https://platformwiskunde.be/).
© Kangoeroe Editie Numbat, 2025, vraag 7
In seizoen 4 van Squidt Game moeten de 64 deelnemers aan de laatste opdracht per twee ‘strootje trek’ spelen. Wie het langste strootje trekt, krijgt een tegenspeler in de volgende ronde. Wie het kortste strootje trekt, wordt uitgeschakeld. Uiteindelijk blijft alleen de winnaar over. Hoeveel keer is er in totaal gespeeld?
In dit artikel vertellen we je iets over deze prachtige cursus. Voor gedetailleerde informatie en inschrijving verwijzen we graag naar de websites van Platform Wiskunde Nederland (https://platformwiskunde.nl/) en Platform Wiskunde Vlaanderen (https://platformwiskunde.be/).
wordt pittige wiskunde op een toegankelijke wijze gepresenteerd door onderzoekers. Deelnemers aan de cursus ontvangen een syllabus in boekvorm die cursus is geschreven door de hoofdspreker(s). De cursus richt zich op leraren graad met component wiskunde.
keer 51 keer 55 keer 59 keer 63 keer
In de vakantiecursus wordt pittige wiskunde op een toegankelijke wijze gepresenteerd door wiskundig onderzoekers. Deelnemers aan de cursus ontvangen een syllabus in boekvorm die speciaal voor de cursus is geschreven door de hoofdspreker(s). De cursus richt zich op leraren wiskunde uit de derde graad met component wiskunde.
afgelopen jaren waren priemgetallen, stochastische netwerken, meetkunde stangconstructies, speltheorie, deep learning en cryptografie. Om je een indruk te geven van kijken we eerst vooruit naar de komende editie en geven we mee wat de lespraktijk door o.a. terug te blikken op de vorige editie.
De thema’s van de afgelopen jaren waren priemgetallen, stochastische netwerken, meetkunde van stangconstructies, speltheorie, deep learning en cryptografie. Om je een indruk te geven van de vakantiecursus, kijken we eerst vooruit naar de komende editie en geven we mee wat de meerwaarde is voor je lespraktijk door o.a. terug te blikken op de vorige editie.
Vooruitblik op de cursus van 2024
Victor heeft 5 touwen. Hij trekt aan de uiteinden van elk touw. In welk touw trekt Victor een knoop?
Sam is inpakker bij een postorderbedrijf.
Soms let hij niet goed op. Hoeveel dozen zette hij zeker niet met de juiste kant naar boven?
De nevenstaande figuur is een zeshoek die bestaat uit 54 congruente gelijkzijdige driehoekjes, waarvan sommige al rood zijn geverfd.
Als je wil dat de volledige figuur een symmetrieas heeft, hoeveel extra driehoekjes moet je dan minimaal rood verven?
De figuur toont hoe men bij houtskeletbouw een laagenergiewand en een passiefwand bouwt.
Van links naar rechts zie je metselwerk, luchtspouw, houtvezelplaat, isolatie, uitstijvingsplaat, isolatie en gipsplaat. De afmetingen zijn uitgedrukt in mm.
Hoeveel dikker is een passiefwand dan een laagenergiewand?
1> 2 2> 3 van het 1e naar het 2e jaar van het 2e naar het 3e jaar
Herhaal de leerstof wiskunde op een speelse en creatieve manier tijdens de zomervakantie! Scan de QR-code bij het boekje en bestel jouw vakantieboekje via onze webshop!
De vakantieboekjes zijn ideaal voor leerlingen die tijdens de vakantie de leerstof van het voorbije jaar willen onderhouden en goed voorbereid aan volgend schooljaar willen beginnen.
