4 Derdemachtswortel van een reëel getal

We bepalen de zijde van de onderstaande kubussen :

V = 64 cm3

V = 64 cm3

V = 8 cm3

V = 8 cm z = 4 cm z = 2 cm derdemachtswortel in woorden : De derdemachtswortel van een reëel getal is het reëel getal waarvan de derde macht gelijk is aan dat gegeven getal. in symbolen : ∀

Aangezien a = b 3 zowel positief als negatief kan zijn, heeft een negatief reëel getal ook een derdemachtswortel.

Voorbeelden :

Merkopdat 3 √2, 3 √ 2en 3 √4irrationalegetallenzijn.

2 Grafische interpretatie :

Hier zie je duidelijk dat elk positief getal juist één derdemachtswortel heeft. Je ziet ook dat elk negatief getal juist één derdemachtswortel heeft.

5 n-demachtswortels in r

n -demachtswortel in woorden : in symbolen :

Voor een van nul verschillend natuurlijk getal n is de n-demachtswortel van een reëel getal elk reëel getal waarvan de n -de macht gelijk is aan het gegeven getal.

∀ n ∈ N0, ∀ a , b ∈ R : b is een n -demachtswortel van a ⟺ bn = a

Voorbeelden : 5 en

5 zijn vierdemachtswortels van 625, want 54 = ( –5)4 = 625.

–3 is de vijfdemachtswortel van –243 want ( –3)5 = –243.

–2 is de negatieve

Elk positief getal heeft twee vierdemachtswortels. Een negatief getal heeft geen vierdemachtswortels.

Besluit : n oneven : a ∈ R : a heeft één n -demachtswortel genoteerd als n √a n even : a ∈ R 0 –: a heeft in R geen n -de wortel. a ∈ 0 : a heeft in R één n -de wortel, nl. 0. a ∈ R0 + : a heeft in R twee n -de wortels die elkaars tegengestelde zijn. één positieve wortel : n √a a : grondtal één negatieve wortel : –n √a n : wortelexponent

Gevolg : n oneven: ∀ x ∈ R : n √ x n = x n even: ∀ x ∈ R : n √ x n = | x |

Om heel wat problemen te vermijden zullen we in het vervolg stellen dat zowel het grondtal a als de wortel b positief moet zijn. De nieuwe definitie kunnen we dan beperken tot : n -demachtswortel

Elk positief reëel getal a heeft in R+ precies één n -demachtswortel b

∀n ∈ N0 , ∀a , b ∈ R + : n √a = b ⇐⇒ b n = a

Elk reëel getal heeft één vijfdemachtswortel.

Voorbeelden:

4 √81 = 3 want 34 = 81

5 √ 100000 = 10 want ( 10)5 = 100000

4 √ 64 isnietgedefinieerd

3 √0 = 0 want 03 = 0

5 √ 17 ≈−1,7623