6 Samenvatting

• Je kent de betekenis van een meetkundige rij, je kunt de n-de term van zo’n rij berekenen alsook het meetkundig gemiddelde en je kunt de som en het product van de eerste n termen bepalen.

• Met ICT kun je snel allerlei problemen over getallenrijen oplossen. Je kunt expliciete en recursieve voorschriften invoeren en de som van de termen berekenen.

7 Oefeningen

Bepaal de factor, de 20e term en de som van de eerste 20 termen van volgende meetkundige rijen.

a 1,3,9,27,...

b 1;0,8; 0,64;0,512;...

c 1 2 , 1 3 , 2 9 , 4 27 ,...

d 10,1,10 1 ,10 e √2, √6,3√2,3√6,... g 20;0,2;0,002;0,00002;... h 2,3, 9 2 , 27 4 ,... a Geef de eerste vier termen van de rij met voorschrift u n = 2n 1 3n . b Bepaal het recursief voorschrift van de rij. c Bepaal s 20.

Schrijf de rijen uit de vorige oefening met behulp van een recursief voorschrift. Schrijf de rijen van oefeningen a, b, d, f en h ook met behulp van een expliciet voorschrift.

Geef van de volgende rijen de eerste vijf termen. Welke rijen zijn rekenkundig, welke zijn meetkundig ?

Gegeven : √2,4,8√2,32,...

Gevraagd : a Is die rij rekenkundig of meetkundig ? Geef v of q b Bepaal u 20 en s 20 a √3 3 , 1 3 , √3 9 , 1 9 ,...

Binnen een vierkant met zijde 1 wordt een vierkant getekend dat bepaald wordt door de middens van de zijden van het gegeven vierkant. Als je tien vierkanten hebt getekend, wat is dan de zijde van het tiende vierkant ?

Is de rij rekenkundig of meetkundig ?

Bereken u 20 en s 20 b u n + 1 = un – 2 en u 1 = 3

Geef het expliciet en het recursief voorschrift van de rij.

Is de rij rekenkundig of meetkundig ?

Bereken u 40 en s 40.

Geef het expliciet voorschrift van de rij.

Gegeven : u 1 = 3 2 en u n +1 = u n · ( 2) b Bereken u 20 en s 20 a Als de wereldbevolking op een bepaald moment 7 miljard bedraagt, hoeveel is dat dan één jaar later ? En twee jaar later ? En drie jaar later ? b Als we de rij voortzetten, welk soort rij bekomen we dan ? c Met hoeveel procent zal de wereldbevolking aangegroeid zijn na 20 jaar ? a Bereken de oppervlakte van het witte en blauwe gedeelte na de vierde stap. b Geef een formule voor het witte en blauwe gedeelte na de n -de stap. c Na hoeveel stappen is de oppervlakte van het witte deel kleiner dan 2 cm2 ? a Hoe diep slaat de heimachine de paal in de grond na 15 klappen ? Los ook op met ICT. b Onderzoek met ICT hoe ver de heimachine de paal in de grond kan slaan.

Gevraagd : a Geef de eerste vier termen van de rij.

Bepaal drie getallen die een meetkundige rij vormen als hun som s = –63 en hun product p = 19 683.

Stel je even een slak voor met een stevige versnelling in de benen. Ze bevindt zich op 15 cm van een lekkere krop sla. Ze legt in de eerste seconde op haar weg naar de sla 0,8 mm af. Tijdens elke volgende seconde legt ze steeds 10% meer afstand af. Na hoeveel seconden zal de slak kunnen eten van de sla ?

Stel dat de wereldbevolking per jaar met ongeveer 2% groeit.

Los ook op met ICT.

Tritium is een radioactieve isotoop van waterstof. Elk jaar vervalt 5,5% van de oorspronkelijke hoeveelheid. Hoeveel blijft er na 12 jaar over van 1000 mg tritium ?

Bepaal een eindige meetkundige rij met drie termen waarvan de som s = 31 en het product p = –216.

Zoek een meetkundige rij van vijf termen als je weet dat de som van de termen 484 is. Bovendien is gegeven dat de som van de even termen 120 is.

In een Italiaans handschrift van ongeveer 1535 spreekt een smid af dat hij een paard zal beslaan als hij als beloning één cent krijgt voor de eerste spijker, twee cent voor de tweede, vier cent voor de derde, acht cent voor de vierde enz.

Er waren 24 spijkers in totaal. Hoeveel bedroeg de totale beloning voor de smid ?

Een wit vierkant met een zijde van 1 m wordt in stappen blauw gekleurd. Eerste stap : de helft van het vierkant wordt blauw gekleurd. Tweede stap : van de helft die nog wit is, wordt de helft blauw gekleurd. Derde stap : van het deel dat nu nog wit is, wordt de helft blauw gekleurd enzovoort.

Een heimachine slaat een betonnen paal in de grond. Bij de eerste klap gaat de paal 200 cm de grond in. Bij elke volgende klap gaat de paal 20% minder ver de grond in dan bij de voorgaande klap.

In een meer is 3 m2 van een bepaalde algensoort aanwezig waarvan geweten is dat die wekelijks in oppervlakte verdubbelt. Op het einde van de eerste week is er al 6 m2 van de algensoort aanwezig. Hoeveel m2 algen komen er de achtste week bij ?

Stijn heeft op 1 januari 2010 een bedrag van 500 euro op een spaarrekening gezet. Hij krijgt elk jaar 4% intrest. Met ingang van 1 januari 2011 zal hij jaarlijks 50 euro opnemen van de spaarrekening.

Bij die situatie hoort een van de volgende formules :

I un = 500 ( 1,04)n – 50

II un + 1 = un

50 met u 1 = 500

III un = 500 ( 1,04)n

1

50

IV un + 1 = ( 1,04) un – 50 met u 1 = 500 a Zoek de juiste formule. b Onderzoek met ICT op welke datum het saldo van de spaarrekening voor het eerst ontoereikend zal zijn. a In welk jaar is er op 1 januari voor het eerst minder dan 14 106 m3 water in het meer ? b Hoeveel m3 water is er op de lange duur in het meer aanwezig ? a Wat wordt de netto-omzet na 1 jaar, na 2 jaar na 10 jaar ? b Het bedrijf zou graag een nettogroei hebben van 50%. Na hoeveel jaar zal dat zijn ? c Het bedrijf voorziet een forse investering van 1 300 000 euro. Hoelang zullen zij moeten wachten om dat bedrag als netto-omzetcijfer te halen ? a Hoeveel sneeuw blijft er nog over na 5 uur? b Bepaal hoelang het duurt opdat het volume van de sneeuwman herleid is tot 1 m³ sneeuw. a Geef het voorschrift dat de evolutie van het aantal bomen weergeeft in de tijd. b Na hoeveel jaar zal kweker Mats 6000 bomen hebben?

In een recreatiemeer verdampt elk jaar 7% van de aanwezige hoeveelheid water en er komt door de neerslag elk jaar 84 104 m3 water bij. Op 1 januari 2022 is er 16 106 m3 water in het meer.

Een bedrijf heeft een jaarlijkse omzet van 1 000 000 euro. De CEO voorziet in de toekomst een jaarlijkse groei van 5% en een jaarlijkse kostenmarge van 3% van de omzet van het vorige jaar.

Om een sneeuwman te maken heeft Hanne in totaal 2 m3 sneeuw gebruikt. Door de temperatuurstijging smelt het ijs en gaat er per uur 5% van de resterende sneeuw over in water.

Drie getallen vormen een eindige rekenkundige rij. Verminder je het tweede getal met 4, dan bekom je een meetkundige rij waarvan de som van de termen 26 is. Zoek die getallen.

Drie getallen vormen een eindige meetkundige rij. Vermeerder je het tweede getal met 16, dan bekom je een rekenkundige rij waarvan de som van de termen 78 is. Zoek die getallen.

Welk getal moet ik bij 1, 4 en 10 optellen zodat de drie sommen drie opeenvolgende termen van een meetkundige rij zouden zijn ?

Mats is een kweker van fruitbomen en heeft 4000 bomen staan. Jaarlijks verkoopt hij 25% van zijn bomen en plant hij 1500 nieuwe boompjes.