9 Samenvatting

• Je kent de definitie en de eigenschappen van machten met een natuurlijke en een gehele exponent.

∀a ∈ R , ∀n ∈ N0 : a n = a · a · · a (n factoren)

∀a ∈ R : a 1 = a

∀a ∈ R 0 : a 0 = 1

∀a ∈ R 0 , ∀n ∈ N: a n = 1 a n

Eigenschappen: ∀a , b ∈ R 0 , ∀m , n ∈ Z: a m · a n = a m + n (a · b )n = a n · b n a m a n = a m n a b n = a n b n (a m )n = a m n a b n = b a n

• Je kent de definitie en de eigenschappen van een vierkantswortel van een reëel getal.

Een vierkantswortel van een reëel getal is elk reëel getal waarvan de tweede macht gelijk is aan het gegeven getal.

∀a , b ∈ R : b iseenvierkantswortelvan a ⇐⇒ b 2 = a

Elk positief reëel getal a heeft in R+ precies één vierkantswortel b

∀a , b ∈ R + : b = √a ⇐⇒ b 2 = a

Eigenschappen: ∀a , b ∈ R + : a

Letop! ∀ x ∈ R :

• Je kent de definitie en de eigenschappen van een derdemachtswortel en een n-demachtswortel van een reëel getal.

Een derdemachtswortel van een reëel getal is elk reëel getal waarvan de derde macht gelijk is aan het gegeven getal.

∀a , b ∈ R : b iseenderdemachtswortelvan a ⇐⇒ b 3 = a

Vooreenvannulverschillendnatuurlijkgetal n isde n -demachtswortelvaneenreëelgetal elkreëelgetalwaarvande n -demachtgelijkisaanhetgegevengetal.

∀n ∈ N0 , ∀a , b ∈ R : b iseen n -demachtswortelvan a ⇐⇒ b n = a

Elkpositiefreëelgetal a heeftin R + precieséén n -demachtswortel b

∀n ∈ N0 , ∀a , b ∈ R + : n √a = b ⇐⇒ b n = a

Eigenschappen: ∀m , n ∈ N0 , ∀a , b

• Je kent de definitie en de eigenschappen van een macht met rationale exponenten.

∀

10 Oefeningen

Bereken zonder gebruik te maken van ICT

Bereken zonder gebruik te maken van ICT

Bereken zonder gebruik te maken van ICT

Vereenvoudig. Schrijf de wortelvorm eerst met rationale exponenten. De gebruikte letters stellen positieve getallen voor.

Bereken met ICT. Werk op 10–5 nauwkeurig.

Tussen welke twee opeenvolgende natuurlijke getallen liggen volgende uitdrukkingen ?

Voor het getal a zijn drie benaderende waarden gegeven. Schat de best mogelijke uitkomst.

De Zuid-Chinese zee bevat veel prachtige vissoorten. Blijkbaar is er een verband tussen de oppervlakte van een zeegebied en het aantal verschillende vissoorten dat je er tegenkomt. In formulevorm is dat : s ( x ) = 60 x 0,4 met s ( x ) : het aantal vissoorten x : de oppervlakte van het leefgebied in vierkante kilometer a Bereken het aantal vissoorten in gebieden met een oppervlakte van 100 vierkante kilometer. b In een gebied komen zo’n 709 vissoorten voor. Bereken de oppervlakte van dat gebied. c Een klein gebied wordt met 100 vierkante kilometer uitgebreid en een groot gebied ook. Leg grafisch uit in welke van de twee gevallen het aantal vissoorten het meest zal toenemen. d Wat gebeurt er met het aantal vissoorten als je een gebied in oppervlakte verdubbelt ? e De gegeven formule geeft het aantal vissoorten in functie van de oppervlakte. Zoek de formule die de oppervlakte van een gebied geeft in functie van het aantal vissoorten. Controleer je antwoorden met ICT.

De BMI of body mass index van een persoon is de verhouding van zijn lichaamsgewicht (massa) m (in kg) en het kwadraat van zijn lengte l (in meter).

BMI = gewicht lengte2 of n = m l 2 a Onderzoek of een persoon met een gewicht van 79,5 kg en een lichaamslengte van 174 cm overgewicht heeft. b Een BMI van 25 vormt de grens tussen een gezond gewicht en overgewicht. Welk gewicht moet de persoon uit vraag a nastreven als hij een BMI van 25 wil hebben ? c Zoek een formule die voor een persoon met BMI 25 en met gewicht m kg zijn lichaamslengte l berekent. d Bereken de lengte van een persoon van 70 kg met een BMI van 25. a Schrijf s in functie van t . b Bereken de afstand (in miljoenen km) van de planeet Jupiter tot de zon als je weet dat de omlooptijd 11,862 jaar is. c Hoeveel bedraagt de afstand van Jupiter tot de zon in astronomische eenheden als je weet dat 1 A.E. = gemiddelde afstand aarde-zon = 149 600 000 km.

Het resultaat (zie schema – cijfers : Gezond Leven) bepaalt in welke categorie de persoon in kwestie valt. De BMI is uitgevonden door een Belg, Adolphe Quetelet, in 1870 en wordt nog steeds wereldwijd gebruikt (ondanks kritiek uit verschillende hoeken).

In de tabel hiernaast staan voor enkele planeten in ons zonnestelsel de gemiddelde afstand tot de zon in miljoenen km en de omlooptijd in jaren.

Volgens de derde wet va n Kepler is het kwadraat van de omlooptijd van een planeet rond de zon ( t ) recht evenredig met de derde macht van de gemiddelde afstand tot de zon ( s ).

Controleer je antwoorden met ICT.

Johannes Kepler (Weil der Stadt 1571 - Regensburg 1630)

Deze Duitse astronoom is vooral bekend door de ontdekking van de naar hem genoemde wetten van Kepler. Hij studeerde eerst theologie in Tübingen, waar Michael Mästlin, hoogleraar in wiskunde en astronomie, hem liet kennismaken met het werk van Copernicus, waardoor Kepler een overtuigd aanhanger van het heliocentrische stelsel werd. In 1594 werd hij leraar wiskunde in Graz. Als gewestelijk mathematicus was hij ook belast met het samenstellen van de jaarlijkse kalender waarin astrologische voorspellingen op allerlei gebied gedaan moesten worden. Kepler leidde zijn wetten op empirische wijze af uit zeer nauwkeurige waarnemingen van zijn Deense voorloper Tycho Brahe (1546-1601). Die luiden :

1. De planeten beschrijven elliptische banen met de zon in een van de brandpunten.

2. De voerstraal van elke planeet beschrijft in gelijke tijden sectoren van gelijke oppervlakte (perkenwet).

3. Het kwadraat van de omlooptijd van een planeet is evenredig met de derde macht van de lengte van de halve grote as van de elliptische baan (harmonische wet).

De eerste twee wetten werden geformuleerd in Keplers boek Astronomia Nova (1609). De derde wet werd geformuleerd in het boek Harmonica Mundi (1619). Een verklaring voor de wetten van Kepler kwam er met de algemene gravitatietheorie van Sir Isaac Newton (1643-1727).

Hoe machtig zijn machten? Los elke opgave op. De juiste oplossingen (als je achteraan ook nog het getal 10 toevoegt) leiden naar een boek en een film(pje) waar je heel mooi machten geïllustreerd ziet.