3 Grafische voorstelling van een meetkundige rij

Voorbeeld : Een labo doet onderzoek naar de groei van een bepaalde bacterie. Ze starten met 20 bacteriën en om het uur wordt het totale aantal bacteriën geteld.

We stellen het totale aantal bacteriën voor in functie van de tijd.

Oplossing :

De aantallen vormen blijkbaar een meetkundige rij met u 1 = 20 en q = 1,5. Grafisch voorgesteld geeft dat :

Merk op :

– Alle punten liggen op een vloeiende lijn.

We spreken van een exponentieel verband tussen de tijd en het aantal bacteriën (hiermee maak je kennis in het boek analyse).

4 Som van de eerste n termen van een meetkundige rij

Voor

5 Toepassingen

Toepassing 1 :

Bepaal drie opeenvolgende termen van een meetkundige rij waarvan het product p gelijk is aan 1000 en de kleinste term 2 is.

Oplossing : Drie opeenvolgende termen van een meetkundige rij met reden q kunnen we als volgt voorstellen :

Toepassing 2 : a Stel het expliciete en het recursieve voorschrift op van de rij die voortkomt uit het aantal besmettingen van één persoon. b Hoeveel personen zijn er in totaal besmet na 10 besmettingsfasen (als je vertrekt van één persoon) ? c Op een bepaald moment waren er 10 000 besmette personen en was het reproductiegetal gelijk aan 0,8. Hoeveel besmettingsfasen moeten er plaatsvinden opdat het aantal nieuwe besmette personen zou terugvallen tot 5000 ?

In 2020 brak wereldwijd de coronapandemie uit. De snelheid waarmee zo’n besmetting haar gang gaat, wordt uitgedrukt met behulp van het reproductiegetal R. Zo was dat getal op een bepaald moment gelijk aan 3. Dat wil zeggen dat elke persoon gemiddeld 3 andere personen besmet met het virus.

Fase 1

Fase 2

Fase 3

Oplossing :

We hebben hier te maken met een meetkundige rij met u 1 = 1 en q = 3 aexplicietvoorschrift: u n = 3n 1 recursiefvoorschrift: u 1 = 1en u n +1 = 3 u n b q = 3; u 1 = 1 s10 = 1 1 310 1 10 = 6560,88 c u 1 = 10000; q = 0,8; u n = 5000 u n = u 1 q n 1

Antwoord: Erzijn6561personenbesmet.

Antwoord: Ermoeten4besmettingsfasenplaatsvinden.

Toepassing 3 : ergste nucleair ongeval in Japan

Op 11 maart 2011 beleefde Japan een nachtmerrie : een aardbeving met een kracht van 9,0 op de schaal van Richter lokte een tsunami uit en die veroorzaakte ontploffingen en branden in en rond de kernreactoren in Fukushima. Er ontstond een nucleaire ramp van niveau 7. Dat betekent dat het gaat om een kernramp van de ergste soort, zoals die in Tsjernobyl in 1986.

Er ontsnapte radioactief materiaal. De straling was zo groot dat ongeveer 200 000 mensen uit een gebied binnen een straal van 20 kilometer rondom de kerncentrale werden geëvacueerd als voorzorgsmaatregel.

Bij deze kernramp is een hoeveelheid van de radioactieve isotoop jodium-131 vrijgekomen. Door de radioactiviteit vervalt een deel van de isotoop zodat na elke dag 91,5% van de massa van de vorige dag overblijft.

Taak : a Bereken de hoeveelheid jodium-131 na 1, 2, 3, 4 en 5 dagen. b Toon aan dat er een meetkundige rij ontstaat met u 1 = 1000 en q = 0,915. c Bepaal de hoeveelheid jodium-131 na 30 dagen en na n dagen.

We nemen aan dat in een bepaald gebied 1000 mg radioactief jodium is neergekomen.