Mundua helburu: Matematika II 2. Batxilergoa (demoa)

12HILEKO LIZENTZIA

MATEMATIKA II BATXILERGOA 2

José Colera J., M.ª José Oliveira G., Ramón Colera C., Rosario García P., Ana Aicardo B.

Aurkibidea Ikasturteko oinarrizko jakintzak

M atematikaren historia laburra

0 P roblemen ebazpena

• Zenbait estrategia aztertzea.

• Egiaztapen matematikoa.

• Absurdoaren bidezko metodoa.

• Indukzio-metodo osoa

• Usategiaren printzipioa.

Praktikatzeko problemak

I. MULTZOA. Aljebra

1 Ekuazio-sistemak.

Gaussen metodoa

1. Ekuazio linealen sistemak

2. Ekuazio linealen sistema baten soluzio posibleak

3. Sistema mailakatuak

4. Gaussen metodoa

5. Ekuazio-sistemen eztabaida

Ariketak eta problemak

Autoebaluazioa

2 A ljebra

1. Nomenklatura. Definizioak

2. Eragiketak matrizeekin

3. Matrizeen eragiketen propietateak

4. Matrize karratuak

5. Matrize bateko errenkaden arteko erlazioak

6. Matrize baten heina

Ariketak eta problemak

Autoebaluazioa

3 D eterminanteak

1. Bi ordenako determinanteak

2. Hiru ordenako determinanteak

3. Edozein ordenatako determinanteak

4. Minor osagarria eta kofaktorea

5. Determinante bat errenkada bateko

elementuetatik garatzea

6. Edozein ordenatako determinanteak

kalkulatzeko metodoa

7. Matrize baten heina, minorretatik abiatuta

8. Matrize baten alderantzizkoa

lortzeko beste metodo bat

Ariketak eta problemak

Autoebaluazioa

4 S istemak determinanteen bidez ebaztea

1. Roucheren teorema

2. Cramerren araua

3. Cramerren araua edozein sistematan aplikatzea

4. Sistema homogeneoak

5. Sistemak determinanteen bidez eztabaidatzea

6. Ekuazio-sistema baten matrize-forma

Ariketak eta problemak

Autoebaluazioa

Unibertsitatera sartzeko proba: I. multzoa

I. multzoaren autoebaluazioa

II. MULTZOA. GEOMETRIA

5 Bektoreak espazioan

1. Eragiketak bektoreekin

2. Bektore baten adierazpen analitikoa. Koordenatuak

3. Bektoreen biderketa eskalarra

4. Biderkadura bektoriala

5. Hiru bektoreren biderkadura mistoa

Ariketak eta problemak

Autoebaluazioa

6 Puntuak, zuzenak eta planoak espazioan

1. Erreferentzia-sistema espazioan

2. Bektoreak problema geometrikoak ebazteko

3. Zuzenaren ekuazioak

4. Bi zuzenen posizio erlatiboak

5. Planoaren ekuazioak

6. Plano bat zehazteko moduak

7. Planoen eta zuzenen posizio erlatiboak

8. Ekuazioen hizkuntza: aldagaiak, parametroak

Ariketak eta problemak

Autoebaluazioa

7 Arazo metrikoak

1. Zuzenen eta planoen arteko angeluen neurketa

2. Puntuen, zuzenen eta planoen arteko distantziak

3. Azaleren eta bolumenen neurriak

4. Leku geometrikoak espazioan

Ariketak eta problemak

Autoebaluazioa

Unibertsitatera sartzeko proba: II. multzoa

II. multzoaren autoebaluazioa

III. MULTZOA. Analisia

8 F untzioen limiteak. J arraitutasuna

1. Funtzioen limiteen ideia grafikoa

2. Teoria pixka bat: ikas dezagun limiteak zehazten

3. Eragiketa errazak limiteekin

4. Indeterminazioak

5. Limiteak konparatzea

6. Limiteen kalkulua x → +∞ denean

7. Limiteen kalkulua x → –∞ denean

8. Funtzio baten limite bat puntu batean. Jarraitutasuna

9. Limiteen kalkulua x → c denean

10. Limiteak kalkulatzeko tresna indartsua

11. Jarraipena tarte batean

Ariketak eta problemak

Autoebaluazioa

9 Deribatuak

1. Funtzio baten deribatua puntu batean

2. Funtzio deribatua

3. Deribazio-arauak

4. Funtzio baten deribatua,

5. alderantzizkoa ezagutuz

6. Funtzio inplizitu baten deribatua

7. Deribazio logaritmikoa

8. Deribazio-formulak arrazoituta lortzea

9. Funtzio baten diferentziala

Ariketak eta problemak

Autoebaluazioa

10

Deribatuen erabilerak

1. Kurba batekiko zuzen ukitzailea

2. Funtzio baten hazkundea eta txikiagotzea puntu batean

3. Funtzio baten maximo eta minimo erlatiboak

4. Bigarren deribatutik ateratako informazioa

5. Funtzioen optimizazioa

6. Bi teorema garrantzitsu

7. Batezbesteko balioaren teoremaren aplikazio teorikoak

Ariketak eta problemak

Autoebaluazioa

11

Funtzioen adierazpena

1. Kurbak eraikitzeko funtsezko elementuak

2. Balio absolutua funtzioen adierazpenean

3. Funtzio polinomikoen adierazpena

4. Funtzio arrazionalen adierazpena

5. Beste funtzio mota batzuen adierazpena

Ariketak eta problemak

Autoebaluazioa

12 Primitiboen kalkulua

1. Primitiboak. Kalkulatzeko oinarrizko arauak

2. Berehalako integralen adierazpen konposatua

3. «Zatika» integratzea

4. Funtzio arrazionalen integrazioa

Ariketak eta problemak

Autoebaluazioa

13 Integral mugatua

1. Kurba baten azpiko azalera

2. Baldintza bat funtzio bat [a, b] tartean integragarria izateko

3. Integralaren propietateak

4. Integrala eta deribatuarekin duen erlazioa

5. Barrowen erregela

6. Azalerak integralen bidez kalkulatzea

7. Biraketa-gorputz baten bolumena

Ariketak eta problemak

Autoebaluazioa

Unibertsitatera sartzeko proba: III. multzoa

III. multzoaren autoebaluazioa

IV. MULTZOA. Probabilitatea

14 Zo ria eta probabilitatea

1. Ausazko esperientziak. Gertaerak

2. Maiztasuna eta probabilitatea

3. Laplaceren Legea

4. Probabilitate baldintzatua. Gertaera independenteak

5. Proba konposatuak

6. Probabilitate osoa

7. «A posteriori» probabilitateak.

8. Bayesen formula

Ariketak eta problemak

Autoebaluazioa

15 Pr obabilitate banaketak

1. Banaketa estatistikoak

2. Aldagai diskretuko probabilitate-banaketak

3. Banaketa binomiala

4. Aldagai jarraituko probabilitate-banaketak

5. Banaketa normala

6. Banaketa binomiala normalera hurbiltzen da

Ariketak eta problemak

Autoebaluazioa

Unibertsitatera sartzeko proba: IV. multzoa

Autoebaluazioa del bloc IV

Solucions a les autoavaluacions

Deribatuen erabilerak 10

Optimizazioaren bila

Kurba batekiko ukitzailea lortzea, kurbaren puntu batean, eta higikari baten aldiuneko abiadura kalkulatzea deribatuaren nozioa ekarri zuten problema historikoak dira. Ordura arte planteaturiko problema partikular guztiei orokortasuna emateko teoria baten bilakaerari, hala ere, optimizazio-problemek eman zioten aupadarik indartsuena. Zientzia, teknika, matematika bera, bai eta eguneroko bizimodua ere, optimizazio-problemaz beterik daude (maximoak eta minimoak). Gai garrantzitsu asko honela planteatzen dira: «zer da egokiena horrelako egoera batean». Greziarrek maximo eta minimoen problema asko landu zituzten; esaterako, argiak puntu batetik beste batera islapenaren bidez heltzeko egiten duen bidea (Heron, K.a. i. mendea). Kalkulu diferentziala asmatu baino lehen, problema horietako bakoitza prozedura jakin baten bitartez ebazten zen, eta ez zen inoiz beste problema batzuetara orokortzen. Gaur egun, problema horietako asko deribatuen aplikazio sinpleak dira.

Idazkera on bat

Matematikako kontzeptuak sinbolikoki modu egokian adierazteko idazkera on bat edukitzea oso garrantzitsua da. Newtonek y . idatzita adierazten zuen funtzio baten deribatua, baina gaineko puntu horrek ez zuen deribatuari buruzko informaziorik ematen. Leibnizek, berriz, deribatuaren esanahia oso egoki adierazten duen dx dy , idazkera asmatu zuen

xviii. mendearen hasieran, Britainia Handiaren eta Europaren artean eztabaida sutsua piztu zen kalkulu infinitesimala asmatzen lehenengoa zein izan zenez: Leibniz (kontinentekoa) edo Newton (ingelesa). Hainbeste garraztu zenez giroa, matematikari britainiarrek estu jarraitu zieten Newtonen irakaspenei xviii. mende osoan, eta batere egokia ez zen haren idazkera erabili zuten. Burugogorkeria horren ondorioz matematika britainiarrak 50 urteko atzerapena izan zuela esaten da Idazkera egokiaren maisurik handiena Euler izan zen. Hari zor diogu gaur egun erabiltzen dugun ia idazkera osoa: hark sartutakoak dira π (grekozko periferia hitzaren hasiera) eta e (ziur aski, alemanez «unitate» esan nahi duen Einheit hitzaren hasiera; e logaritmotzat unitatea duen zenbakia da). Eulerrek eman zion ospea Leibnizek deribaturako eta integralerako erabili zuen idazkerari, baita esan nahi zutena adierazteko egokiak eta aproposak ziren beste hainbati ere

Johann Bernoulli eta L’Hôpitaleko markesa

Jakob eta Johann Bernoulli anaien aitak ustez ondo zekien seme bakoitzarentzat arlo egokiena zein zen: Jakobentzat, teologia, eta Johannentzat, medikuntza. Baina ez zuen asmatu, ez batarekin, ez bestearekin. Arlo horietarantz bideratu zituen aitak eta ezarritako bideak jorratzen hasi ziren bi anaiak Basileako Unibertsitatean, Suitzan. Baina benetan erakartzen zituen arloa matematikarena zen, eta, beraz, aitak agindutako ikasketak amaitu ondoren, matematikaren munduan murgildu eta horretan nabarmendu ziren; izugarri nabarmendu, gainera.

1692an, Johannek kalkulu infinitesimalarekin txundituta zegoen G.F.A. L’Hôpital markes gaztea ezagutu zuen Parisera egindako bidaia batean. Topaketa horren ondorioz, markesa Bernoulliren eskolak hartzen hasi zen eta, horrez gain, kontratu bat sinatu zuten: Johannek Basileara itzuli ondoren ere soldata jasoko zuen, baina, trukean, Johannek egindako aurkikuntza guztien berri eman behar zion eta markesak nahi bezala erabil zitzakeen

Johann Bernoulliren ideia eta aurkikuntzak erabiliz, L'Hôpitalek liburu bikain bat idatzi zuen 1696an: Infinitesimalen analisia. Lan horrek arrakasta izugarria izan zuen xviii. mende osoan eta haren izena betiko geratu da historian. L'Hôpitalen asmoa ez zen izan inola ere lan horretan argitaratu zituen emaitzen jabe egitea; kontrara, argi eta garbi aitortu zuen beti meritua Bernoullirena zela

L'Hôpital-en araua, mugak kalkulatzeko tresna eraginkor gisa ezagutzen duzuna eta bere baliotasuna unitate honetan frogatuko dena, Johann Bernoulliren aurkikuntza bat da, bidegabeki egozten zaion markesari. L’Hôpital hil zenean, Johann Bernoullik erregela haren meritua berea zela erreklamatu zuen. Ez zion inork sinetsi. Gerora, Bernoulliren eta markesaren arteko eskutitz trukea aurkitu zenean, gauzak argitu eta egia jakiteko balio izan zuen.

EBATZI

Optimizazioa

• Pertsona bat 2 m-ko altuera duen estatua batera hurbildu da. Pertsonaren begiak eskulturaren oinen azpitik 1 m-ra daude. Zer distantziara hurbildu behar da eskultura ikusteko φ angelua maximoa izateko?

Metodo geometrikoak erabiliz egin daitezkeen ebazpen eder bat dago. Azter ezazu:

A eta B puntuetatik igarotzen den eta r zuzenarekiko ukitzailea den zirkunferentzia marraztuko dugu.

Egiaztatu T

ukitze-puntua

dela AB zuzenkia angelu maximopean ikusteko r zuzeneko lekua

OT zuzenkiaren luzera lortzeko, kontuan hartu behar dugu O puntuak zirkunferentziarekiko duen potentzia OA OB biderkadura adinakoa eta OT 2 adinakoa dela. Beraz:

·· OT OA OB 13 3 == =  ≈ 1,73 m

adi! Problema hau ebazteko beste bide bat φ angelua α eta β angeluekin erlazionatzea da; izan ere, bi angelu horien tangente trigonometrikoak x-ren funtzioan adieraz daitezke

Maximo egin behar duzun funtzio bat lortuko duzu (282. orrialdean arazo hau konpontzen da).

Kurba batekiko zuzen ukitzailea

Kurba batek puntu batean duen zuzen ukitzailea lortzea deribatuen erabilera berehalakoena da, iazko ikasturtetik ondo dakizunez eta aurreko unitatean erabili dugunez. Baina kasu honekin erlazionatuta, hain agerikoak ez diren beste batzuk ere badaude. Ikus ditzagun:

• Oinarrizko kasua: y = f (x) funtzioarekiko ukitzailea x = x0 abzisa-puntuan

• Puntuaren ordenatua: f (x0)

• Zuzenaren malda: m = f ' (x0)

Zuzen ukitzailearen ekuazioa hau da: y = f (x0) + f ' (x0)(x – x0)

Adibidez:

Aurkitu y = x xx 3 2 –2 + funtzioak x0 = 3 puntuan duen zuzen ukitzailearen ekuazioa.

• Ordenatuaren kalkulua: f (x0) = f (3)

3, 2 1 dn puntutik igarotzen da.

• Malda: f ' (x

x = 3 puntuko zuzen ukitzailearen malda

• Funtzioa modu inplizituan dagoenean: ϕ(x, y) = 0 y (x) modu inplizituan emanda dago.

• Puntuaren koordenatuak: baliteke (x0, y0) puntuaren koordenatuak ematea, edo bestela, abzisarena bakarrik. Azken kasu horretan, ordenatua ϕ (x0, y ) = 0 ekuazioa ebatzita lortuko dugu.

• Zuzenaren malda: y ' (x, y )-ren adierazpena eta, ondorioz, y ' (x0, y0))-ren balioa lortzen da ϕ (x, y ) = 0 kasuan deribazio inplizitua eginez.

Adibidez:

Aurkitu x y 25 1 1 6 2 2 += kurbak x0 = 4 abzisa-puntuetan dituen ukitzaileak.

• Dagozkien ordenatuak lortzea:

GOGORATU

Puntu batean funtzio baten zuzen normala puntu horretako zuzen ukitzailearen perpendikularra da.

Bere ekuazioa hau da: y = f (x0) – ´( ) fx 1 0 (x – x0)

➜ Zuzen ukitzailea edozein puntutan.

• Puntu horietan malda zein den lortzeko, modu inplizituan deribatuko dugu:

➜ Elipse baten ukitzailea.

• y = f (x) kurba batekiko ukitzailea, malda jakinda

Bila gabiltzan zuzen ukitzaileen m malda zein den badakigu, baina ez dakigu ukitze-puntuak zein diren. Puntu horietako abzisak f ' (x) = m ekuazioa ebatziz lortuko ditugu

Adibidez:

x + 2y = 0 zuzenarekiko paralelo

• Kurba batekiko ukitzailea, kanpoko puntu batetik

• P (x0, y0) puntua ezagutzen dugu. T (c, f (c)) ukitze-puntua, berriz, ez.

• PT zuzenkiaren malda () xc yf c –

0 0 da, eta bat dator f ' (c)-rekin.

• Berdindu eta ekuazioa ebatziko dugu. Soluzioak ukitze-puntuen abzisak dira.

Adibidez:

Aurkitu P (2, –7) puntutik igarotzen diren y = x 2 – 5x + 3 kurbarekiko zuzen ukitzaileak.

• T ukitze-puntua kurbakoa da. Horren koordenatuak (c, c 2 – 5c + 3).

• PT zuzenaren malda f funtzioak c puntuan duen deribatua izango da c:

Pentsatu eta praktikatu

1 Aurkitu honako kurba hauetako bakoitzarekiko zuzen ukitzaileak, ageri diren baldintzak kontuan hartuz:

a)

= x xx x 2 57 16 ––32 +

0, 1, 3 abzisa-puntuetan.

c) y = x xx 3 36 3 2 +

– x = 9 zuzenarekiko paraleloak.

Funtzio baten handiagotzea eta txikiagotzea puntu batean

Funtzio bat puntu batean gorakorra edo beherakorra den adierazten digun ideia grafikoa oso argia da. Baina, orain, eragiketak egiteko modua ematen digun definizio bat lortuko dugu:

f gorakorra da x0 puntuan, baldin eta x0-ren E = (x0 – a, x0 + a) eremu batek hau betetzen badu x ∈ E, x ≠ x0 denean: () () : () () () () xx fx fx xx fx fx xx fx fx 0

–Horrekhau esan nahi bada, orduan bada, orduan > >> << 0 0 00 00

Era berean, f beherakorra bada, zatidura negatiboa da.

Hazkundearen eta deribatuaren zeinuaren arteko erlazioa f (x) deribagarria eta gorakorra da x0 puntuan ⇒ f ' (x0) ≥ 0 f (x) deribagarria eta beherakorra da x0 puntuan ⇒ f ' (x0) ≤ 0

Egiaztapena

f gorakorra da x0 puntuan ⇒ () () xx fx fx 0 ––> 0 0 da x0-ren E eremu bateko x guztien kasuan

Beraz, f ' (x0) = lm í xx 0 " () () ≥ xx fx fx 0 ––0 0 ; izan ere, balio positiboak hartzen dituen

funtzio baten limitea positiboa edo nulua da Era berean egiaztatzen da f beherakorra bada x0 puntuan, f ' (x0) ≤ 0 dela.

x0 puntuko hazkundearen irizpidea f ' (x0)-ren zeinutik abiatuta

Funtzio bat horren adierazpen analitikotik abiatuta adierazi nahi dugunean, oso lagungarria izango da funtzioa gorakorra edo beherakorra den deribatuaren zeinutik abiatuta jakiteko modua emango digun honako irizpide hau:

f ' (x0) > 0 ⇒ f gorakorra da x0 puntuan

f ' (x0) < 0 ⇒ f beherakorra da x0 puntuan

Inplikazio horien egiaztapenak 289. orrialdean ikusiko ditugu.

Adibidez, aurki dezagun non den gorakorra eta non den beherakorra y = x 3 – 6x 2 + 5 funtzioa, horren deribatua f ' (x) = 3x 2 – 12x = 3x (x – 4) dela jakinda:

Ikusten duzunez, funtzio bat gorakorra izan daiteke puntu batean, puntu horretako deribatua zero izanda ere.

Pentsatu eta praktikatu

1 Egiaztatu y = f (x) funtzioa beherakorra bada x0 puntuan, orduan:

f ' (x0) ≤ 0

2 y = x 3 – 3x 2 – 9x + 5 funtzioa emanda:

a) Non da gorakorra?

b) Non da beherakorra?

Funtzio baten maximo eta minimo erlatiboak

Puntu batean maximo erlatibo bat egoteak esan nahi du funtzioak, puntu horretan, inguruko puntuetan baino gehiago balio duela. Ikus dezagun eragiketei begira lagungarriagoa izango den definizioa:

f funtzioak maximo erlatibo bat du x0 abzisa-puntuan, baldin eta x0 puntuaren

E = (x0 – a, x0 + a) eremuren bat badago, x ∈ E, x ≠ x0 izanez gero f (x) < f (x0) betetzen duena. Hau da, gorakorra da x0-ren ezkerrera, eta beherakorra, eskuinera. Modu berean definitzen da minimo erlatiboa.

Maximoetan eta minimoetan, deribatua 0 da

f (x) deribagarria bada x0 puntuan eta maximo edo minimo bat badu bertan, orduan f ' (x0) = 0. Hau da:

f (x) maximoa edo minimoa x0 puntuan ⇒ f ' (x0) = 0

Dena dela, gerta daiteke f ' (x0) = 0 izatea eta ez egotea ez maximorik ez minimorik x0 puntuan

maximo erlatiboa minimo erlatiboa ez dago maximorik ez minimorik. inflexio-puntua da.

P UNTU SINGULARRAK

Ukitzaile horizontaleko puntuei, hau da, f ' (x) = 0 betetzen duten puntuei puntu singular edo puntu kritiko esaten zaie.

Puntu singular bat izan daiteke:

maximoa f gorakor izatetik beherakor izatera igarotzen da minimoa f beherakor izatetik gorakor izatera igarotzen da inflexiopuntua ez dago aldaketarik hazkundean

EGIAZTAPENAREN IDEIA

x0 puntuan maximoa badago:

— Deribatua x0 puntuan, ezkerretik, 0 edo 0 baino handiagoa da.

— Deribatua x0 puntuan, eskuinetik, 0 edo 0 baino txikiagoa da.

Beraz, deribatua x0 puntuan 0 da.

f deribagarria denez x0-n, hau beteko da: f ' (x0) = () ()fx''fx00 –= + ⇒ f ' (x0) = 0

Adibidea: ikus ditzagun y = 3x 5 – 5x 3 funtzioaren maximoak eta minimoak. Funtzio horren deribatua, f ' (x) = 15(x 4 – x 2) = 15(x – 1) x 2 (x + 1), baliogabetu egiten da –1, 0 eta 1 puntuetan. Nola jakin puntu horietako bakoitzean maximorik edo minimorik dagoen?

— Deribatuaren zeinua aztertuko dugu puntu horren eskuinera eta ezkerrera. Adibidez:

Eta antzekoa gertatzen da minimoekin ere.

' ' f f 0990 1010 beherakorra da 1enezkerrera gorakorra da 1eneskuinera < > 4 Minimo bat dago x = 1 puntuan

(, )

(, )

Edo bestela, hiru puntuak eta adar infinituak adieraziko ditugu. Funtzioa deribagarria denez eta, beraz, jarraitua denez Á osoan, puntuak lotzean funtzioak puntu bakoitzean zer jokabide duen ikusten da

Ikusten dugunez, maximo bat dago x = –1 puntuan, minimo bat x = 1 puntuan eta inflexio-puntu bat x = 0 puntuan.

1 Egiaztatu y = x 3/(x – 2)2 funtzioak bi puntu singular baino ez dituela, x = 0 eta x = 6 puntuetan. Aurkitu zer motatakoa den bi puntu singular horietako bakoitza; horretarako, deribatuaren zeinua aztertu behar duzu

2 a) Aurkitu y = –3x 4 + 4x 3 funtzioaren puntu singular guztiak (abzisa eta ordenatua). Adierazpen egokia erabiliz, esan zer motatakoa den bakoitza. b) Egin gauza bera y = x 4 + 8x 3 + 22x 2 + 24x + 9 funtzioaren kasuan

Pentsatu eta praktikatu

Ahurtasuna, ganbiltasuna eta inflexio-puntua

Azter dezagun honako grafiko hau:

Goitik ikusita, zentzuzkoa da BC eta DE tarteak ahurrak direla esatea, eta AB eta CD tarteak ganbilak direla esatea, ezta? Kurba hori ahur izatetik ganbil izatera (edo alderantziz) pasatzen den B, C, D puntuak inflexio-puntuak dira

Kurbatura mota (ahurtasuna, ganbiltasuna edo inflexioa) bereizteko modurik onena da kurbak bere ukitzailearekiko duen posizioa aztertzea, ondoren egingo dugun moduan.

y = f (x) kurba dugu. Kurba horrek P puntuan duen zuzen ukitzailea marraztuko dugu, y = t (x) ekuazioduna. Orduan:

P-tik hurbil f (x) > t (x) bada, kurba ahurra da P-n

P-tik hurbil f (x) < t (x) bada, kurba ganbila da P-n

Ukitzaileak kurba P puntuan zeharkatzen badu, hau da, P-ren ezkerrera f (x) < t (x) bada, eta eskuinera f (x) > t (x) (edo alderantziz), P inflexio-puntua da.

Kurbak bigarren deribatuarekin duen erlazioa

Aztertu grafiko hau:

Erreparatu AB tarteari. Adierazita dauden lau ukitzaileek gero eta malda txikiagoa dute. Horrek adierazten digu tarte horretan, f ' beherakorra dela, eta, beraz, deribatua ( f '-ren deribatua) negatiboa da. Beste horrenbeste gertatzen da CD tartean.

Eta kontrakoa gertatzen da BC eta DE tarteetan: ukitzaileek malda handitu egiten da eta, beraz, f ' gorakorra da eta f '-ren deribatua positiboa da. Orokorrean:

f funtzioak x0 puntuan bigarren deribatua badu, hau betetzen da:

f ahurra da x0-n ⇒ f ' gorakorra da x0-n ⇒ f '' (x0) ≥ 0

f ganbila da x0-n ⇒ f ' beherakorra da x0-n ⇒ f '' (x0) ≤ 0

f -k inflexio-puntu bat du x0-n ⇒ f '' (x0) = 0

dago.

da.

f-ren grafikoaren gainean dago.

da. Ukitzailea f-ren grafikoaren «zeharkatzen» du.

KONTUAN HARTU

Inplikazio horiek kurbaren formatik abiatuta f '' bigarren deribatuaren joerari buruzko ondorioak ateratzeko balio dute.

Kurba mota bereizteko irizpidea

Interesatzen zaiguna kurbaren adierazpen analitikotik abiatuta haren formari buruzko informazioa lortzea denez, ikus dezagun nolakoak diren ikusi berri ditugun inplikazioen kontrakoak:

f '' (x0) > 0 ⇒ f ahurra da x0

f '' (x0) < 0 ⇒ f ganbila da x0

f '' (x0) = 0 y f ''' (x0) ≠ 0 ⇒ f-k inflexio-puntu bat du x0-n

Maximoak eta minimoak identifikatzeko aplikatzea

f ' (x0) = 0 bada eta f '' (x0) existitzen bada, orduan:

f '' (x0) > 0 ⇒ f-k minimo erlatibo bat du x0-n

f '' (x0) < 0 ⇒ f-k maximo erlatibo bat du x0-n (Egiaztapena 291. orrialdean ikusiko dugu).

1 Aztertu funtzio honen kurba:

f (x) = x 3 + 3x 2 .

Funtzioaren bigarren deribatua lortuko dugu:

f ' (x) = 3x 2 + 6x

f '' (x) = 6x + 6

minimoa (ahurra) maximoa (ganbila)

Bigarren deribatua zer baliok baliogabetzen duten aurkituko dugu:

f '' (x) = 0 → 6x + 6 = 0 → x = –1

f (–1) = (–1)3 + 3(–1)2 = 2

f ''' (x) = 6 ≠ 0 denez, I (–1, 2) puntua inflexio-puntu bat da.

• f '' (x) = 6x + 6 < 0 ⇔ x < –1

f ''' (x) = 6 ≠ 0 denez, I (–1, 2) puntua inflexio-puntu bat da.

• f '' (x) = 6x + 6 > 0 ⇔ x > –1

–1etik + ∞-ra, kurba ahurra da; izan ere, f '' (x) > 0

➜ anayaharitza.es

Indartzeko ariketak: bigarren deribatuaren erabilerak

Pentsatu eta praktikatu

Aztertu

2 Aztertu funtzio honen kurba: y = x

Ebatzitako ariketa

1

funtzio honen kurba:

➜ Deribatu eta zeroren berdina.

Funtzioen optimizazioa

Gogoan izan f (x) funtzio bat optimizatzea dela funtzio horren balio maximoa (edo minimoa) zein den lortzea eta x-ren zer baliorekin lortzen den zehaztea.

Problema mota hauek ebazten ohitzeko, honako hau egin beharko dugu:

• Adierazpen analitikoaren bidez emanda dagoen funtzio baten muturrak ahalik eta modurik eraginkorrenean aurkitzeko teknika ikasi.

• Enuntziatu baten bidez deskribatzen diren funtzioen adierazpen analitikoan trebatu.

Lehenengorako jarraibide zehatz batzuk ematen hasiko gara; eta, gero, bigarrena lantzeko adibide batzuk proposatuko ditugu

f (x) funtzioak [a, b] tartean dituen muturrak kalkulatu

Optimizazio-problemetan, interesatzen zaiguna ez dira funtzioaren mutur erlatiboak, absolutuak baizik. Ikus ditzagun mutur horiek lortzeko erregela batzuk:

a) f (x) deribagarria bada [a, b] tartean, maximo eta minimo absolutuak puntu singularren eta tartearen muturrei dagozkien puntuen artean daude:

max max max

OPTIMIZATZEAREN GARRANTZIA

Bolumen bat, biztanleria jakin bat edo etekin batzuk maximo egitea, edota ekoizpen-kostu batzuk edo azalera bat minimo egitea funtzioen optimizazioaren adibide batzuk baino ez dira, eta ingeniariek, arkitektoek, ekonomialariek,... egunero erabiltzen dituzte.

Problema hauen zailtasunik handiena, normalean, ez da izaten adierazpen analitikoaren bidez emandako funtzioak optimizatzea, baizik eta optimizatu nahi den funtzioaren adierazpen analitikoa aurkitzea.

min min min

a b a b a b

Beraz, puntuok aurkitzeko:

• f ' (x) = 0 ekuazioa ebatziko dugu

• a eta b artean dauden x1, x2, x3, … soluzioak hautatuko ditugu

• f ((a), f (x1), f (x2), … eta f (b) kalkulatuko ditugu. Balio horiekin, maximoa eta minimoa zein diren ikusiko dugu.

b) [a, b] tartearen punturen batean funtzioa deribagarria ez bada, baina bai jarraitua, f funtzioak puntu horretan zer balio duen kalkulatuko dugu, mutur bat izan daiteke eta.

c) f ez bada jarraitua [a, b] tartearen x0 punturen batean, funtzioak x0 puntutik hurbil zer jokabide duen aztertuko dugu.

Ebatzitako ariketak

1

P puntua r zuzenerdian zehar lekuz aldatzen badugu, zer posiziotan lortuko dugu φ angelua maximo izatea?

minimoa (ez-deribagarria)

maximoa (etenduna)

balio du Beraz, φ maximo izateko, P puntuak E puntutik 3 = 1,73 m-ra egon behar du

Unitatearen bigarren orrialdean, honelako problema bat proposatu dugu:

2 Deskonposatu 36 zenbakia bi batugai positibotan, kontuan hartuz lehenengo batugaiaren eta bigarrenaren karratuaren arteko biderkadurak maximoa izan behar duela.

6 912

23636 .batugaia .batugaia: –> < 4

Honako funtzio honen balioak maximoa izan behar du:

36 Lehenengo, deribatua non baliogabetzen den ikusiko dugu:

12 36

3 36 cm-ko aldea duten bi pieza karraturekin eskuinean ageri diren urratsak eman ditugu

Zein izan behar da ebaki dugun laukitxoaren x aldea lortuko dugun kaxaren bolumena maximoa izateko?

(36 ez da baliozkoa, f -ren definizio-eremutik kanpo baitago ).

Kasu honetan, definizio-tartea (0, 36) da; hau da, irekia da. Beraz, ez dugu aztertu behar zein den f-ren jokabidea tartearen muturretan. Dena dela, erraz egiazta dezakezunez, biderkadura 0 da; hau da, f (0) = f (36) = 0.

Beraz, balio maximoa x = 12 kasuan lortzen da, f (12) = 6 912.

Soluzioa: lehenengo batugaia 12 da, eta bigarrena, 24.

➜ anayaharitza.es

Funtzioen optimizazioari buruzko indartzeko ariketak.

Pentsatu eta praktikatu

Kaxaren neurriak hauek izango dira:

x, 36 – x, 36 – x

Beraz, bolumena hau izango da:

V (x) = x (36 – x)2, 0 < x < 36

Hau da, optimizatu behar dugun funtzioa aurreko adibideko funtzio bera da.

Karratutxoaren aldea 12 cm-koa izango da.

Kasu horretan, kaxaren bolumena 6 912 cm3-koa izango da.

1 Aurkitu zenbaki positibo bat, hau jakinda: zenbaki hori bere alderantzizkoarekin hogeita bost bider batuta, batura minimoa ematen du

2 Katetoen arteko batura 10 cm duten triangelu laukizuzen guztien artean, aurkitu azalera maximoa duenaren neurriak

3 12 m-ko perimetroa duten laukizuzen guztien artean, zeinek du diagonalik txikiena?

4 Zehaztu zer neurri izan behar duen 6,28 litroko bolumena duen ontzi zilindriko batek ahalik eta latorri kantitate txikienarekin egiteko

Bi teorema garrantzitsu

Teorema hauek diotena oso erraza eta naturala da. Teorema horiekin izugarri errazten dira unitate honetako hasierako ataletan enuntziatu eta erabili ditugun (baina frogatu ez ditugun) zenbait emaitzaren egiaztapenak. Gogora ditzagun horietako bi:

f ' (x0) > 0 ⇒ f gorakorra da x0 puntuan

f ' (x0) = 0 y f '' (x0) > 0 ⇒ f -k minimo erlatibo bat du x0 puntuan

Rolleren teorema

Rolleren teoremak dio puntu angeludunik ez duen eta tarte baten muturretan balio berdinak hartzen dituen kurba jarraitu batek derrigorrez ukitzaile horizontaleko puntu bat izan behar duela

f jarraitua da [a, b] tartean eta deribagarria (a, b) tartean

f (a) = f (b) bada, existitzen da f ' (c) = 0 betetzen duen c ∈ (a, b) punturen bat. a b

Egiaztapena

hipotesia tesia

• f jarraitua da [a, b] tartean

• f deribagarria da (a, b) tartean

• f (a) = f (b)

c ∈ (a, b) punturen batek hau betetzen du:

f ' (c) = 0

f jarraitua denez [a, b] tartean, tarte horretan balio maximo bat eta balio minimo bat lortuko ditu (Weierstrassen teorema, 7. unitatea). Bereiz ditzagun bi kasu:

I. Maximoa eta minimoa bata a puntuan eta bestea b puntuan daude. f (a) = f (b) denez, maximoa eta minimoa bat datoz. Funtzioa konstantea da tarte osoan eta horren deribatua zero da puntu guztietan, eta ez punturen batean bakarrik.

II. f funtzioak maximoa edo minimoa lortzen du tarteko muturrak ez diren c puntu batean. f deribagarria denez c puntuan, f ' (c) = 0 betetzen da. (3. epigrafean egiaztatu genuena erabili dugu: f funtzioak maximo edo minimo bat badu x0 puntuan eta deribagarria bada x0 puntuan, orduan f ' (x0) = 0).

Oharrak: Zergatik exijitzen dira hipotesi hauek

• «f jarraitua da [a, b] tartean eta deribagarria (a, b) tartean» baldintza harrigarri egingo zaigu, beharbada. Zergatik ez esan [a, b] tartean deribagarria dela, besterik gabe, eta, horrela, alboko deribatuak daudela ziurtzat eman? Bada, funtzio batzuek ukitzaile bertikala dutelako, eta, beraz, ez direlako deribagarriak muturretako batean; ondorioz, teorema honen onuretatik kanpo geratuko lirateke

Adibidez, f (x) = x 1– 2 jarraitua da [–1, 1] tartean, eta deribagarria da (–1, 1) tartean, baina ez [–1, 1] tartean. Konturatzen bazara, f (1) = f (–1) = 0 eta f ' (0) = 0.

• Eta zergatik ez zehaztu, besterik gabe, «f deribagarria izan dadila (a, b) tartean»? Bada, f funtzioa tartearen muturretan jarraitua izatea exijituko ez bagenu, alboko funtzio horren modukoak ere tartean «pasatuko lirateke»; eta argi dagoenez ez du tesia betetzen.

Laburbilduz: funtzioari [a, b] tartean jarraitua izateko exijitu behar zaio, baina komeni da (a, b) tartean deribagarria izatearekin konformatzea.

b

f (a) = f (b) da, baina ez da existitzen f ' (c) = 0 betetzen duen c ∈ (a, b) punturik, f ez delako jarraitua [a, b]-n.

1 Frogatu honako funtzio honek: y = x 3 – 4x + 3

Rolleren teoremaren hipotesiak betetzen dituela [0, 2] tartean. Zer puntutan betetzen du tesia?

2 Rolleren teorema erabiliz, egiaztatu

x 4 – 8x 2 + k = 0 ekuazioak ezin

duela erro bat baino gehiago izan [0, 2] tartean, k-ren balioa edozein dela ere.

Funtzioa deribagarria da, eta, beraz, jarraitua Á osoan.

Horrez gainera, f (0) = f (2) = 3. Hipotesiak betetzen ditu. Beraz, tesia ere beteko du; hau da, deribatu nuluko punturen bat izango du 0 eta 2 artean.

f ' (x) = 3x 2 – 4 → 3x 2

Hala da, c = 3 23 ≈ 1,15 ∈(0, 2)

Absurdora laburtuz egiaztatuko dugu: [0, 2] tartean r eta s bi erro dituela pentsatuko dugu, eta kontraesan batera helduko gara

0 ≤ r < s ≤ 2 ekuazioaren erroak r eta s badira, orduan P (x) = x 4 – 8x 2 + k ekuazioak Rolleren teoremaren hipotesiak beteko ditu [r, s] tartean; izan ere, polinomikoa denez, deribagarria da eta, beraz, jarraitua, eta horrez gain, P (r) = P (s) = 0. Tesi hau betetzen da, beraz: P' (c) = 0 egiten duen c ∈ (r, s) zenbaki bat existitzen da. Eta c ∈ (r, s) denez, orduan 0 < c < 2.

P ' (x) = 4x 3 – 16x ekuazioak hiru erro baino ez ditu: –2, 0, 2. Eta horietako bat ere ez dago (0, 2) tartean. Kontraesan batera heldu gara. Ondorioa: ekuazioak ez ditu bi erro (0, 2) tartean. (Hau da, erro bat du edo bat ere ez).

3 Kalkulatu zein izan behar diren p, m eta n , honako funtzio honek:

Rolleren teoremaren hipotesiak bete ditzan [–1, 5] tartean. Non betetzen du

5]

Adierazitako hiru ekuazioek eraturiko sistemaren soluzioa da p = 10/3, m = – 8/3, n = 9. Balio horietarako Rolleren teoremaren hipotesiak betetzen dira.

1 Egiaztatu f (x) = sin x funtzioak Rolleren teoremaren hipotesiak betetzen dituela [0, π] tartean. Non betetzen du tesia?

2 Kalkulatu zein izan behar den b honako funtzio honek: f (x)= x 3 – 4x + 3

Rolleren teoremaren hipotesiak bete ditzan [0, b] tartean. Non betetzen du tesia?

3 Egiaztatu funtzio honek: () () , fx x x x x 22 52 05 1 14 si –≤ si ≤≤ < 2 = + )

Rolleren teoremaren hipotesiak betetzen dituela [–0,5; 4] tartean. Non betetzen da tesia?

4 Rolleren teorema erabiliz, egiaztatu x 3 – 3x + k = 0 ekuazioak ezin duela erro bat baino gehiago izan [–1, 1] tartean, k-ren balioa edozein izanda ere.

Ebatzitako ariketak

Batezbesteko balioaren teorema

Batezbesteko balioaren teoremak (B.B.T.) dio A-tik B-ra doan angeludun punturik gabeko kurba jarraitu batean, bitarteko punturen batean, kurba horrekiko ukitzailea AB zuzenkiarekiko paraleloa izango dela

f jarraitua da [a, b]-n eta deribagarria (a, b)-n. Orduan, honako hau betetzen duen c ∈ (a, b) puntua existitzen da:

f ' (c) = () () ba fb fa

c b

Egiaztapena

ψ(x) funtzioa aztertuko dugu. Funtzio hori kurbaren f (x) ordenatuari A (a, f (a)) eta B (b, f (b )) puntuetatik igarotzen den r zuzenaren ordenatua kenduta lortu da. (ψ alfabeto greziarreko letra bat da, eta psi deitzen da). r zuzenaren ekuazioa hau da:

Hau da:

Beraz:

hipotesia

• f jarraitua da [a, b]-n

• f deribagarria da (a, b)-n

tesia

c ∈ (a, b) batek hau betetzen du:

–

f ' (c) = () () ba fb fa –

––

y = f (a) + () () () ba fb fa xa –

r (x) = f (a) + () () () ba fb fa xa

ψ(x) = f (x) – r (x) = f (x) – f (a) –

Ikus dezagun:

} }

––

() () () ba fb fa xa –

Funtzio horrek Rolleren teoremaren hipotesiak betetzen ditu [a, b] tartean; izan ere, [a, b] tartean jarraitua eta (a, b) tartean deribagarria izateaz gain, ψ(a) = ψ(b) betetzen du.

KONTUAN HARTU

ψ(x) = f (x) – r (x) jarraitua da [a, b]-n eta deribagarria (a, b)-n, f (x) eta r (x) ere hala direlako.

––

() () () () () () () () () () () ()

== ==

–

––

bf bf a ba fb fa ba af af a ba fb fa aa

0 0

b b b b → ψ(b) = ψ(a)

_ ` a

Beraz, ψ(x) funtzioak Rolleren teoremaren tesia betetzen du: ψ'(c) = 0 betetzen duen c ∈ (a, b) puntu bat existitzen da.

ψ'(x) = f ' (x) – () () ba fb fa –

–denez:

ψ'(c) = f ' (c) – () () ba fb fa –

–= 0

Hau da, f ' (c) = () () ba fb fa –

–betetzen duen c ∈ (a, b) existitzen da.

Ebatzitako ariketak

1 Egiaztatu y = x funtzioak betetzen dituela batezbesteko balioaren teoremaren hipotesiak [0, 9] tartean

x jarraitua da [0, 9]-n eta deribagarria (0, 9)-n. Beraz, B.B.T.-ren hipotesiak betetzen ditu. Ondorioz, tesia betetzen du. Ikus dezagun non:

2 Kalkulatu zein izan behar diren a eta b honako funtzio honek,

B.B.T.-ren hipotesiak betetzeko [–1, 5]

da [–1, 5] tartean eta deribagarria (–1, 5) puntuan

hipotesiak betetzen ditu

Tesia c = 3 2 ∈ (–1, 5) puntuan betetzen da.

3 f (x) = mx 2 + nx + p bada, egiaztatu parabola horretako c puntuan hau gertatzen dela, f ' (c) = () () ba fb fa –

–eta hori, hain zuzen ere, a-ren eta b-ren batezbesteko aritmetikoa dela :

c = (a + b)/2

Pentsatu eta praktikatu

() () () () a fb fa ba mb nb pmanap b –

––

–22 = ++ ++ = = () () ba mb an ba –

22 + = m (b + a) + n

f ' (c) = 2mc + n

Beraz: 2mc + n = m (b + a) + n → 2c = b + a → c = ba 2 +

5 Egiaztatu f (x) = , , x xx x x 23 10 19 4 4 –≥ < 2 + ) funtzioak batez-

besteko balioaren teoremaren hipotesiak betetzen dituela [2, 6] tartean. Zer puntutan betetzen da tesia?

6 Kalkulatu zein izan behar diren a-ren eta b-ren balioak

f a c b (a, b)ren erdiko puntua

7 Ezarri batezbesteko balioaren teorema, ahal bada, [–2, –1] tartean honako funtzio honi::

f (x) = x 2 – 3x + 2

Kalkulatu c-ri dagokion balioa eta egiaztatu grafikoki lortutako emaitza.

> 2 2 ++ +

f (x) = , , xx a xbx x x 20 0

funtzioak batezbesteko balioaren teoremaren hipotesiak betetzeko [–3, 2] tartean. Non betetzen da tesia? Egin grafikoa.

8 Egin aurreko ariketako gauza bera funtzio honen kasuan:

x + 1

Batezbesteko balioaren teoremaren erabilera teorikoak

Unitate honetan zehar hainbat propietate egiaztatu ditugu; adibidez:

«f gorakorra eta deribagarria x0 puntuan ⇒ f ' (x0) ≥ 0»

Horietan, funtzioaren propietate batzuetatik abiatuta, deribatuaren ondorioak lortu ditugu. Hala ere, egiaztatu gabe utzi ditugu era honetako beste propietate batzuk:

«f ' (x0) > 0 ⇒ f gorakorra da x0 puntuan»

Horietan, f ' (x)-ren propietateren batetik abiatuta, funtzioaren datuak lortzen dira. Batezbesteko balioaren teoremarekin, izugarri errazten dira funtzio baten f ' (x) deribatuaren propietate errazetatik abiatuta f (x) funtzioaren propietateak ondorioztatzen dituzten teorema mota horien egiaztapenak.

funtzio konstantea

Badakigu funtzio konstante baten deribatua zero dela puntu guztietan. Orain, kontrakoa frogatuko dugu: funtzio baten deribatua puntu guztietan zero bada, orduan funtzio hori konstantea da.

f jarraitua da [a, b]-n eta deribagarria (a, b)-n

f ' (x) = 0 bada (a, b) tarteko puntu guztietan, orduan f konstantea da [a, b]-n

Egiaztapena

hipotesia

• f jarraitua da [a, b]-n

• f deribagarria da (a, b)-n

• f ' (x) = 0, x ∈ (a, b) edozein dela ere

⇒

tesia f konstantea da [a, b]-n

f funtzioa [a, b]-n konstantea dela frogatzeko, tarteko edozein bi puntu hartu eta f-k bietan balio bera hartzen duela ikusiko dugu

x1, x2 ∈ [a, b], x1 < x2 dira. B.B.T.-ren hipotesiak [x1, x2] tartean betetzen dira, eta, beraz: ∃ c ∈ (x1, x2), eta hau egiaztatzen du: () () xx fx fx ––21 21 = f ' (c)

Baina f ' (x) = 0 denez (a, b) tarte osoan, f ' (c) = 0. Beraz:

f (x2) – f (x1) = 0, hau da, f (x2) = f (x1)

Horrek esan nahi du funtzioak balio bera hartzen duela tarteko edozein bi puntutan, eta, beraz, konstantea dela.

puntu batean gorakorra den funtzioa

Unitate honetako 2. atalean honako hau ikusi eta egiaztatu dugu:

«f gorakorra eta deribagarria x0 puntuan ⇒ f ' (x0) ≥ 0»

Honako hau ere esan genuen: « f ' (x0) > 0 ⇒ f gorakorra da x0 puntuan».

Baina azkeneko inplikazio hori egiaztatu gabe geratu zen. Orain, batezbesteko balioaren teorema erabiliz, erraz froga dezakegu hasierako hipotesia apur bat moldatuz.

f deribagarria da x0 inguru batean eta f ' (x0) > 0 ⇒ f gorakorra da x0 puntuan

ERREPARATU

Funtzio batzuen kasuan, deribatua 0 izan arren deribagarriak diren puntu guztietan, funtzioa ez da konstantea.

Horrelakoa da, adibidez, zeinu (sgn) funtzioa:

Argi ikusten denez, ez da konstantea ez duelako hipotesia betetzen: ez da jarraitua ez deribagarria x = 0 puntuan.

Egiaztapena

hipotesia

• f deribagarria da x0-ren ingurunean

• f ' (x0) > 0 ⇒

tesia f gorakorra da x0 puntuan

f ' (x0) > 0 bada, f ' positiboa den E = (x0 – δ, x0 + δ) ingurune bat dago.

E-ko x1 < x2 edozein bi puntu hartzen baditugu, f -k B.B.T.-ren hipotesiak betetzen ditu [x1, x2] tartean. Beraz, tesia betetzen da:

∃ c ∈ (x1, x2) non () () xx fx fx

21 21 = f ' (c) eta, hipotesiaren arabera, f ' (c) > 0

Hortik lortzen dugu f (x2) – f (x1) > 0 dela eta, beraz, f (x2) > f (x1) dela

Funtzioa, beraz, gorakorra da (x0 – δ, x0 + δ) tartean, eta ondorioz, baita x0-n ere.

minimo erlatiboa

Unitate honetako 3. atalean hau egiaztatu dugu:

«f -k minimo bat badu x0 puntuan eta deribagarria bada, orduan f ' (x0) = 0 da»

Horrez gain, kontrako inplikazioa ez dela beti egia izaten ere ikusi genuen. Orain dakigunarekin, aurkako proposizio horren modukoa enuntziatu eta egiaztatzeko moduan gaude:

f ' (x0) = 0 eta f '' (x0) > 0 ⇒ f -k minimo erlatibo bat du x0 puntuan

Egiaztapena

hipotesia

• f ' (x0) = 0

• f '' (x0) > 0

tesia

f -k minimo erlatiboa du x0 puntuan

f funtzioak x0 puntuan minimo bat duela frogatzeko, ezkerrera beherakorra dela eta eskuinera gorakorra dela egiaztatuko dugu. Horretarako, funtzioaren txikiagotzea edota handiagotzea f ' deribatuaren zeinuarekin erlazionatzen duen aurreko emaitza hartuko dugu kontuan:

f '' (x0) = lm i 0 h "

() ()fx''fx h h–00 + = lm i 0 h "

() ' fx h h 0 + > 0

h < 0 bada, f ' (x0 + h) < 0 ⇒ f beherakorra da x0-ren ezkerrera 1

h > 0 bada, f ' (x0 + h) > 0 ⇒ f gorakorra da x0-ren eskuinera 2

1 eta 2 kontuan hartuz, f funtzioak minimo bat du x0 puntuan

Pentsatu eta praktikatu

1 Egiaztatu f funtzioa x0 puntuaren ingurune batean deribagarria bada eta f ' (x0) < 0 bada, orduan f beherakorra dela x0 puntuan.

FUNTZIO BEHERAKORRA

Jakina, funtzio beherakorren kasuan pareko emaitza bat dago:

f ' (x0) < 0 ⇒ f beherakorra da x0 puntuan

GOGORATU

Modu berean, f ' (x0) = 0 eta f '' (x0) < 0 badira, orduan f funtzioak x0 puntuan maximo erlatibo bat duela egiaztatu dezakegu.

(*) Lehen hipotesiaren arabera.

(**) Bigarren hipotesiaren arabera.

(***) f ' < 0 ⇒ f beherakorra

(****) f ' > 0 ⇒ f gorakorra

2 Egiaztatu f ' (x0) = 0 eta f '' (x0) < 0 badira, orduan f funtzioak maximo erlatibo bat duela x0 puntuan.

Ebatzitako ariketak eta problemak

1. Zuzen ukitzailea eta zuzen normala

f (x) = |x| e –x funtzioa emanda, idatzi, ahal izanez gero, zuzen ukitzailearen ekuazioa eta zuzen normalarena, x = 0 denean eta x = –1 denean.

EGIN ZUK

Idatzi xy yx = 1 kurbak (1,1) puntuan dituen zuzen ukitzailearen eta zuzen normalaren ekuazioak.

Honako kurba hau izanik, f (x) = x 1 1 –aurkitu zer puntutan izango duen P (–3, 2) puntutik ere igarotzen den zuzen ukitzailea

EGIN ZUK

f (x) = x 2 – 2x + 4 kurba izanik, aurkitu zer puntutan izango duen koordenatuen jatorritik ere igarotzen den zuzen ukitzailea.

P puntua xy = 1 funtzioaren puntua bada, frogatu OP zuzenak, kurbarekiko ukitzaileak (P-n) eta y = 0 ardatzak osatutako triangelua isoszelea dela.

EGIN ZUK

Idatzi y = x 1 kurbak (3, 1/3) koordenatuak dituen puntuan daukan zuzen ukitzailearen ekuazioa.

Egiaztatu ukitze-puntuak bi zati berdinetan erdibitzen duela koordenatuardatzen artean dagoen zuzen horretako zuzenkia

• Funtzioa tarteka definituko dugu: f (x) = ≥ xe xe x x 0 0 –bada bada < x x

–– )

Funtzio jarraitua da Á-n, izan ere, () () () limf xlim ff00 0 xx00 –== = "" + .

––+

:

f deribagarria da x = –1 puntuan, baina ez x = 0 puntuan; izan ere, () () '' limf xlim fx –≠11 xx00 –== "" + .

Beraz, ez dago zuzen ukitzailerik, ez zuzen normalik x = 0 puntuan.

Zuzen ukitzailea x = –1 puntuan hau da: y = f (–1) + f ' (–1)(x + 1) → y = e – 2e(x + 1)

Zuzen normala x = –1 puntuan hau da: y = f (–1) – () f 1 1 –l (x + 1) → y = e + e2 1 (x + 1)

(

1 1 –

a) = () a 1 1 ––2 .

dagozkien bi ukitze-puntu daude:

3. Kurbarekiko puntu jakin batean ukitzailea den zuzena

y = x 1 kurbako P edozein puntuk ,a a 1 dn koordenatuak ditu

• P puntuko ukitzailea : m = f ' (a) = –a 1 2 → y = () a a xa 11 2

• Ukitzailearen eta y = 0 ardatzaren arteko ebaki-puntua lortuko dugu: ()

• Triangeluaren aldeen luzerak kalkulatuko ditugu:

Aztertu honako funtzio hauen handiagotze- eta txikiagotze-tarteak eta zehaztu horien maximoak eta minimoak.

a) f (x) = e x (x 2 – 3x + 1)

b) f (x) = ln xx xx x x bada bada 20 0 ≤ > 2

a) Funtzioa jarraitua da, eta deribagarria Á bere definizio-eremu osoan f gorakorra da f ' > 0 den tarteetan, eta beherakorra, f ' < 0 denean. Deribatu nuluko puntuak bilatuko ditugu.

edozein dela ere, f ' baliogabetu egiten da baldin eta:

gorakorra da (– ∞, –1) ∪ (2, +∞) tartean, eta beherakorra, (–1, 2) tartean.

bat du , e 1 5 –dn puntuan, eta minimo bat, (2, –e 2) puntuan

b) Funtzioa jarraitua da Á osoan, baina ez da deribagarria x = 0 puntuan.

Aztertu honako funtzio hauen handiagotze- eta txikiagotze-tarteak:

a) f (x) = x x 4 –2 3

b) f (x) = ln (x 2 + 4x – 5)

Goiko hori Á osoan jarraitua den f funtzio baten deribatuaren grafikoa da.

a) Azaldu, arrazoituz, f deribagarria den Á osoan.

b) Aztertu non den gorakorra eta non beherakorra f funtzioa, eta azaldu mutur erlatiborik duen.

c) Irudikatu f '' (x).

tartean, eta beherakorra, (–1, 0) ∪ , e 0 1 dn tartean.

da (– ∞, –1) ∪

Maximo bat du (–1, 1) puntuan, eta minimo bat, , ee 11 –dn puntuan

a) f (x) ez da deribagarria x = 1 puntuan f ' (1) ez da existitzen, f ' (1–) = 2 ≠ 1 = f ' (1+) baita

b) f (x) gorakorra da (– ∞, 1) ∪ (1, 2) tartean, tarte horretan f' (x) > 0 baita.

f (x) beherakorra da (2, + ∞) tartean, f ' (x) < 0 baita f (x) funtzioak mutur bat du x = 2 puntuan, grafikoan ikusten dugunez f ' (2) = 0 baita Gainera, x = 2 puntuan, f ' (x) positibo izatetik negatibo izatera igarotzen da eta, horregatik, f (x) gorakorra izatetik beherakorra izatera pasatzen da. Beraz, ziurra da f (x)-k maximo bat duela x = 2 puntuan

c) f '' (x)-ren balioak f ' (x) eratzen duten zuzenerdien maldak dira. Grafikoa honako hau da:

4. Hazkunde-tarteak

5. Funtzio deribatua

EGIN ZUK

Ebatzitako ariketak eta problemak

6. f ', f '' eta f ''' baliogabetzen diren puntuak

f (x) = 1 – (2 – x) 5 funtzioa izanda, aztertu maximorik, minimorik edo inflexio-punturik duen x = 2 puntuan.

• f ' , f '' , f ''' kalkulatuko ditugu:

f ' (x) = 5(2 – x)4 → f '' (x) = –20(2 – x)3 → f ''' (x) = 60(2 – x)2

x = 2 egitean, hau betetzen da f ' (2) = f '' (2) = f ''' (2) = 0.

• f '-ren zeinua aztertuko dugu x = 2 puntuaren ezkerrera eta eskuinera: 2 f ' > 0 f ' > 0

f hazi egiten da 2ren ezkerrera eta eskuinera → f-k ez du ez maximorik eta ez minimorik x = 2 puntuan

EGIN ZUK

Funtzio hau daukagu:

f (x) = 3 – (x + 1)4

Aztertu maximorik, minimorik edo inflexio-punturik duen

• f ''-ren zeinua aztertuz, inflexio-puntu bat duela egiaztatuko dugu: 2 f '' < 0 f '' > 0

x = 2 puntuaren ezkerrera, funtzioa ganbila da, eta x = 2 puntuaren eskuinera, funtzioa ahurra da (2, 1) puntua inflexio-puntu bat da

7. Parametroak zatika definitutako funtzio batean

Funtzio hau izanda:

Zehaztu zein izan behar diren a, b eta c-ren balioak funtzioa jarraitua izateko, maximo bat edukitzeko x = –1 puntuan, eta x = –2 puntuan duen ukitzailea y = 2x zuzenarekiko paraleloa izan dadin.

EGIN ZUK

Kalkulatu b-ren eta d-ren balioak f (x) = = –x3 + bx2 + x + d funtzioak maximo erlatibo bat izan dezan (1, 4) puntuan.

8. Rolleren teorema

Funtzio hau dugu:

f (x) = (1 – x 2) sin x

Egiaztatu 0, 2 r bl tartekoa den maximo erlatibo bat duela.

• Jarraitua izateko, izan behar da: lim x 0 –" f (x) = lim x 0 " + f (x) = f (0) = c lim x 0 " + cos x x 1 0 0 –2 = dn = lim x 0 " + sn cos ix x 1 –2 = 0 → c = 0

• x = –1 puntuan maximo bat badu, izan behar da:

f ' (–1) = 0; hau da, deribatua denez f ' (x) = 2ax + b → –2a + b = 0

• x = –2 puntuan duen ukitzailea paraleloa bada y = 2x zuzenarekiko, izan behar da:

f ' (–2) = 2 → – 4a + b = 2

• Sistema ebatziko dugu: ab ab 20 42 ––+= += ) ; a = –1, b = –2

Eskatutako balioak hauek dira: a = –1, b = –2, c = 0.

• f jarraitua eta deribagarria da Á osoan.

•–

() () () () sn sn i i f f 01 00 0 11 11 0

•–== == 4 f-k Rolleren teoremaren hipotesiak betetzen ditu [0, 1]-en

[0, 1] tartea 0, 2 r bl tartearen barruan dagoenez, ziurta dezakegu existitzen dela c ∈ 0, 2 r bl bat, eta, bertan, f ' (c) = 0.

c puntuan maximo edo minimo bat dagoen jakiteko, bigarren deribatua erabiliko dugu:

f ' (x) = –2x sin x + (1 – x 2)cos x

f '' (x) = (x 2 – 3)sin x – 4x cos x

c ∈(0, 1) bada: c 2 – 3 < 0, sin c > 0, 4c > 0, cos c > 0 da

f '' (c) = (– · +) – (+ · +) < 0 → f funtzioak maximo bat du x = c puntuan

10 m-ko erradioa duen zirkuluerdi baten itxura daukan lorategi batean parterre laukizuzen bat jarriko dute. Parterre horren aldeetako bat diametroaren gainean egongo da, eta alde horren aurkakoak zati kurbatuan izango ditu muturrak Kalkulatu zer neurri izan behar dituen parterreak azalera maximoa izan dezan.

➜ Simulatu eremua eta lortu hura deskribatzen duen kurba.

EGIN ZUK

Zilindro itxurako depositu bat egin nahi dute latorriz, 54 cm2-ko azalera izango duena guztira. Zehaztu zer erradio izan behar duen oinarriak eta zenbatekoa izan behar den altuera zilindroaren bolumena maximoa izateko.

y P (x, y )

Koordenatuen jatorri moduan zirkunferentziaren zentroa hartuko dugu.

P (x, y) zirkunferentziako puntu bat da

Parterrearen azalera hau da S = 2xy

P puntua zirkunferentziakoa denez, hau bete behar du:

x 2 + y 2 = 100 → y = x 100 –2

Beraz, S (x) = 2x x 100 –2 maximizatu behar da

S'(x) kalkulatuko dugu: S'(x)

() x x 52 52 –ezdubalio = =

x = 52 puntuan maximo bat dago; izan ere, S'(x) > 0 da, baldin eta x < 52 bada; eta

S'(x) < 0 da, baldin eta x > 52 bada.

Parterrearen neurriak hauek izango dira: 2 10 m eta 52 m, eta azalera maximoa 100 m2 izango da.

10. Gutxieneko denboraren problema

A igerilaria hondartzatik 3 km-ra dago, egurrezko txabola baten aurrez aurre. Eta hondartza horretan bertan txabolatik

6 km-ra dagoen B punturaino joan

nahi du

3 km/h-ra igeri egiten duela eta hareatan

5 km/h-ra dabilela jakinda, esan noraino joan beharko duen igerian, ahalik eta denbora gutxien behar izateko B-ra iristeko.

Erabili

Hau ikusten dugu:

EGIN ZUK

Itsasontzi bateko oihal nagusiak

triangelu angeluzuzenaren itxura du.

Hipotenusak 6 m baditu, kalkulatu

zein izan behar diren oihalaren neurriak azalera maximoa izateko

Txabolatik igerian joan behar duen P lekura dagoen distantziari x esango diogu.

Egin beharreko bidea:

AP x 9 2 =+ 3 km/h eta

PB = 6 – x a 5 km/h

• x < 2,25 bada, t' (x) < 0; izan ere, t ' (0) = –1/5 da, adibidez.

• x > 2,25 bada, t' (x) > 0; izan ere, t ' (4) = 1/15 da.

Txabolatik 2,25 km-raino joan behar du igerian.

B-ra iristeko beharko duen denbora hau da: t = , ,

9. Azalera maximoa

Ariketa eta problema gidatuak

1. Zuzen batekiko ukitzaile perpendikularra

Idatzi x + y – 2 = 0 zuzenarekiko perpendikularrak izan eta f (x) = 4x 3 – 2x + 1 funtzioarekiko ukitzaile diren zuzenen ekuazioak

• Zuzenaren malda m bada, bere perpendikularrarena da m –1

• Ukitze-puntuak lortzeko, ebatzi f ' (x) = m –1 ekuazioa.

• Ukitze-puntuak zein diren jakinda, eskatutako ekuazioak idatziko ditugu

Soluzioa: y = x; y = x + 2

2. Ahurtasun- eta ganbiltasun-tarteak

Esan zein diren honako funtzio honen ahurtasun- eta ganbiltasun-tarteak eta inflexio-puntuak:

f (x) = x x 1 –2 2

3.

Kalkulatu honako funtzio honek [–1, 2] tartean dituen maximo eta minimo absolutuak:

f (x) = ln (x 2 + x + 1) – x

f (x) = x xx47 –2 + funtzioa izanda, egiaztatu f ' (c) = 4 betetzen duen c ∈ (1, 3) balio bat dagoela.

• Ebatzi f '' (x) = 0 ekuazioa

• Gogoan izan inflexio-puntu bat egoteko kurba ganbila izatetik ahurra izatera igaro behar dela, edo alderantziz.

• Kontuan izan funtzioaren definizio-eremua, f '' (x)-ren zeinua zer tartetan aztertu behar duzun erabakitzeko.

Soluzioa:

Ahurra (– ∞, –1) ∪ (1, +∞) tartean eta ganbila (–1, 1) tartean. Ez du inflexio-punturik

• Aztertu f (x)-ren definizio-eremua eta emandako tartean jarraitua den

• Gogoan izan tarte itxi batean jarraitua den funtzio batek maximo eta minimo absolutuak tartearen muturretan lortzen dituela, edo, bestela, mutur erlatiboetan

• Lortu mutur erlatiboen abzisak. Kalkulatu f (x)-ren balioa puntu horietan eta konparatu x = –1 eta x = 2 puntuetan dituenekin.

Soluzioa: Maximo absolutua (–1, 1) puntuan du, eta minimo absolutua, (2, ln 7 – 2) puntuan.

• Aztertu f (x)-ren definizio-eremua eta [1, 3] tartean jarraitua den.

• Aurkitu f (x)-ren deribatua, logaritmoak hartuz.

• Egiaztatu deribatua existitzen dela (1, 3) tartean. Erabili batezbesteko balioaren teorema eta lortu c.

Soluzioa: f (x) jarraitua da [1, 3] tartean eta deribagarria (1, 3) tartean. Beraz, existitzen da f ' (c) = () () ff 31 31 4 ––= betetzen duen c balio bat

f (x) = x 2 e –ax da a ≠ 0 izanik.

a) Kalkulatu zein izan behar den a-ren balioa funtzioak mutur erlatibo bat izan dezan x = 2 abzisa-puntuan.

b) Sailkatu mutur erlatiboak a = 2 den kasuan.

a) Mutur erlatiboak f ' (x) = 0 ekuazioaren soluzioen artean daude. Ekuazio horren soluzioetako bat a-ren araberakoa da. x = 2 kasuan, a-ren balioa lortuko dugu

b) Aztertu f ' (x)-ren zeinua puntu singularrek zehazten dituzten tarteetan

Soluzioa:

a) a = 1

b) Minimo erlatibo bat du (0, 0) puntuan, eta maximo erlatibo bat, (1, e –2) puntuan

Maximo eta minimo absolutua

4. Batezbesteko balioaren teorema

5. Mutur erlatiboak

Proposatutako ariketak eta problemak

Trebatzeko

Zuzen ukitzailea

1 Idatzi kurba hauek adierazitako puntuan daukaten zuzen ukitzailearen ekuazioa:

a) y = ln (tg 2x), x =  8 r puntuan

b) y =  senx 5 , x =  6 r puntuan

c) x 2 + y 2 – 2x – 8y + 15 = 0, x = 2 puntuan

d) y = (x 2 + 1)sin x , x = 0 puntuan

2 Kurba honekiko ukitzaileen artean: y =  x x 1 2 –aurkitu 2x + y = 0 zuzenarekiko paraleloak direnak.

3 Lortu kurba hauekiko ukitzailea eta, horrez gainera, abzisaardatzarekiko paraleloa den zuzenaren ekuazioa:

a) y = x ln x b) y = x 2 e x c) y = sin 2x

4 Aurkitu y = 2 x kurbaren grafikoko zer puntutan eratzen duen kurbarekiko ukitzaileak 60°-ko angelua X ardatzarekin. Idatzi ukitzaile horren ekuazioa.

5 a) Idatzi f (x) = x 3 – 3x 2 + 2x + 2 funtzioaren grafikoak x = 3 puntuan duen zuzen ukitzailearen ekuazioa.

b) Ba al dago aurkitu duzun zuzen horrekiko paraleloa den f-rekiko beste zuzen ukitzailerik? Erantzuna baietz bada, aurkitu.

6 Aurkitu zein den honako kurba honekiko zuzen ukitzailea kurbaren inflexio-puntuan: y = 4x 3 – 2x 2 – 10

7 Kurba hau dugu: y = 3x 2 – 5x + 12

Aurkitu zer puntutan izango dituen koordenatuen jatorritik igarotzen diren zuzen ukitzaileak.

8 Kurba hau daukagu: y =  4 1 x 2 + 4x – 4

Aurkitu, kurba horrekiko ukitzaileen artean, zer puntutakoa igaroko den (0, –8) puntutik. Idatzi puntu horietako zuzen ukitzaileen ekuazioak.

9 Aurkitu, kasu hauetako bakoitzean, kurbarekiko ukitzaile izateaz gain X ardatzarekiko paralelo diren zuzenen ekuazioak:

Maximoak eta minimoak. Inflexio-puntuak

10 Aurkitu honako funtzio hauen maximoak, minimoak eta inflexio-puntuak:

a) y = x 3 – 6x 2 + 9x b) y =  ()xx 12 38 –3

c)

e)

11 Aurkitu honako funtzio hauen tarte gorakorrak eta beherakorrak, eta maximoak eta minimoak: a)

12 Adierazi honako funtzio hauen ahurtasuna, ganbiltasuna eta inflexio-puntuak:

a) y = x 3 – 3x + 4 b) y = x 4 – 6x 2

c) y = (x – 2)4 d) y = x e x

e) y =  x x 1 2–+ f) y = ln(x + 1)

13 Aztertu honako funtzio hauek maximoak, minimoak edo inflexio-puntuak dituzten x = 1 abzisa-puntuan:

a) y = 1 + (x – 1)3 b) y = 2 + (x – 1)4

c) y = 3 – (x – 1)6 d) y = –3 + 2(x – 1)5

14 Zehaztu honako funtzio hauen maximoak eta minimoak:

a) f (x) = x +  () x 1 4 –2 b) f (x) = x ln x

c) f (x) = sin x – cos x d) f (x) = e –x2

15 Funtzio hauek izanda: f (x) =  ≤ xx x x x 21 42 1 1 ––bada bada > 2 + ) g (x) =  ≥ xx xx x x 74 23 2 2 –bada bada < 2 2 + + *

a) Egiaztatu deribagarriak direla Á osoan.

b) Zehaztu funtzio horien tarte gorakorrak eta beherakorrak, eta maximoak eta minimoak.

16 Aztertu f (x) = x | x | funtzioaren tarte gorakorrak eta beherakorrak. Maximorik edo minimorik du?

Zehaztu ahurtasun- eta ganbiltasun-tarteak. Inflexio-punturik du?

Proposatutako ariketak eta problemak

Funtzio baten koefizienteak

17 f (x) = 1 +  x a x 6 2 + funtzioa izanda, kalkulatu a-ren balioa zein den f (x) funtzioak x = 3 abzisa-puntuan mutur erlatibo bat duela jakinda. Maximo bat da, ala minimo bat?

18 f (x) =  ax 3 +  bx funtzioari buruz badakigu (1, 1) puntutik igarotzen dela eta puntu horretan 3x + y = 0 zuzenarekiko paraleloa den ukitzaile bat duela. Aurkitu a eta b

19 Aurkitu x = 2 abzisa-puntuan mutur erlatibo bat duen eta P (1, 2) puntuan inflexio-puntu bat duen

f (x) = x 3 + ax 2 + bx + c funtzioa.

20 Kalkulatu f (x) = x 4 + ax 3 + bx 2 + cx funtzioaren a, b eta c koefizienteak, honako hau jakinda:

a) x = 0 puntuan duen ukitzailea y = x da.

b) Mutur erlatibo bat du (–1, 0) puntuan.

21 Zer balio izan behar dute a, b, c eta d koefizienteek

f (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d funtzioak maximo erlatibo bat izateko (0, 4)-n eta minimo erlatibo bat (2, 0)-n.

22 f (x) =  x 4  +  ax 2  +  bx eta g(x) =  x –  cx 2 funtzioak (1, 0) puntutik igarotzen dira. Zehaztu zein izan behar diren a, b eta c koefizienteak, puntu horretan zuzen ukitzaile bera izan dezaten, eta kalkulatu ezazu.

23 y = ax4 + 3bx3 – 3x2 – ax funtzioa izanda, kalkulatu a eta

b koefizienteen balioak, kontuan hartuz bi inflexio-puntu dituela: x = 1 puntuan eta x = 1/2 puntuan.

24 y = x3 + ax2 + bx + c kurbak abzisa-ardatza ebakitzen du x = –1 puntuan eta inflexio-puntu bat du (2, 1) puntuan. Kalkulatu a, b eta c.

25 f (x) = x3 + ax2 + bx + c funtzioak hauek betetzen ditu: f(1) = 1, f ' (1) = 0 eta f-k ez duela mutur erlatiborik x = 1 puntuan. Kalkulatu a, b eta c

26 f (x) = x 3 + ax 2 + bx + 5 da. Aurkitu zein izan behar diren a eta b koefizienteak y = f(x) kurbak ukitzaile horizontaleko inflexio-puntu bat izan dezan x = 1 puntuan.

27 Aurkitu zein izan behar den c-ren balioa y = xc e x 2 + funtzioak puntu kritiko bakarra izan dezan.

Maximo bat da, minimo bat edo inflexio-puntu bat?

28 a) Kalkulatu zer balio izan behar duten a eta b parametroek honako funtzio hau deribagarri izateko:

f (x) =  e x x 1 0 –bada bada < x 2 ≥ xaxb x 0 ++ *

b) Aurkitu mutur erlatiboak a = –2, b = 1 kasuan.

Ebazteko

29 Aurkitu x 2  – y 2 + 2x – 6 = 0 kurbak y = 3 ordenatu-puntuetan dituen zuzen ukitzailearen eta zuzen normalaren ekuazioak.

30 (x – 3)2 + (y + 2)2 = 16 zirkunferentzia izanik, zehaztu zer puntutan izango den zuzen ukitzailea lehenengo koadranteko erdikariarekiko paralelo.

31 Kurba hau daukagu: y = arc tg x x 1 1 –+ Idatzi x – 2y + 3 = 0 zuzenarekiko paraleloa ere baden zuzen ukitzailearen ekuazioa.

32 Aurkitu x = e abzisa-puntuan y = x x/2 kurbarekiko ukitzaile izango den zuzenaren ekuazioa.

33 Aurkitu zer angelu eratzen duten f(x) eta g(x) funtzioek 2 abzisa-puntuan dituzten zuzen ukitzaileek:

f (x) = 2x – x 2 g (x) = x 2  – x – 2

34 f (x) = | x – 3|(x + 1) funtzioa izanda, aurkitu zer puntutan diren ukitzaileak y = 6x – 2 zuzenarekiko paraleloak.

35 f (x) = 4 – x 2 funtzioa emanda, hau eskatzen da:

a) Kurbako zer puntutan den ukitzailea (–1, 3) eta (2, 0) puntuak lotzen dituen kordarekiko paraleloa.

b) Zein diren (–2, 1) puntutik igaro eta kurbarekiko ukitzaile diren zuzenak.

36 Aurkitu f (x) = x 3 + 3x 2 – 1 kurbarekiko ukitzaileen artean, malda minimoa duen zuzenaren ekuazioa.

37 y =  x 3 1 2 + kurba izanda:

a) Adierazi kurbak x puntuan daukan zuzen ukitzailearen malda ematen duen m(x) funtzioa.

b) Kalkulatu x-ren zer baliorekin lortzen den malda maximoa.

38 Aurkitu honako funtzio honen definizio-eremua eta tarte gorakorrak eta beherakorrak:

f (x) =  ln x x 1 1 –2 2 + e o

39 Aztertu funtzio honen hazkunde-tarteak, eta maximoak eta minimoak:

y = |x 2 + 2x – 3|

40 Aztertu y = |x2 – 4| funtzioak maximo eta minimo erlatibo eta absoluturik duen.

41 Aurkitu a-ren balioa f (x) = x 2 ln a x funtzioak, a > 0 izanik, puntu singularra izateko x = e puntuan.

42 f (x) =

≤ ln ax bx c xx x x 0 0 bada bada > 2 ++

funtzioa daukagu.

Zehaztu zein izan behar diren a, b eta c funtzio hori jarraitua izateko, x = –1 puntuan maximo bat izateko eta x = –2 puntuko ukitzailea y = 2x zuzenarekiko paralelo izateko.

2 2 + ++

xmxn

52 Kono itxurako ontzi bat egin nahi dugu, 10 cm-ko sortzailea eta edukiera maximoa izango dituena. Zein izan behar da oinarriaren erradioa?

53 10 cm-ko aldea duen karratu batean 50 cm2-ko alboko azalera duen zilindro bat dugu. Zein izan behar da erradioa bolumena maximoa izateko?

≤

Kalkulatu m, n eta p-ren balioak f deribagarria izateko

Á osoan eta mutur erlatibo bat izateko x = 2 1 – puntuan

b) Maximo bat ala minimo bat da?

c) Aztertu beste puntu singularrik dagoen eta irudikatu funtzioa.

≤ xe ab x x x 20 0 –si si > x–+ * .

a) Zehaztu a-ren eta b-ren balioak, f (x) funtzioak x = 0 puntuan deribagarria dela jakinda.

b) Puntu singularrik du?

45 Aurkitu y = x 2 – 1 parabolako zer puntu egongo diren

A 2, 2 1 dn puntutik gutxieneko distantziara.

46 Kalkulatu funtzio hauen mutur erlatiboak, tarte gorakor eta beherakorrak, eta ahurtasun- eta ganbiltasun-tarteak:

a) f (x) = x 2 + | x – 2 | b) f (x) = 3e –2| x |

47 Calcula el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo [–2, 3] de la función f (x) = ln (x 2 + 1) + (x – 3).

48 a) f (x) = x 4 + x 3 + x 2 – x + 1 funtzioko P (x, f (x)) puntuaren koordenatuen arteko batura h (x) dela jakinda, kalkulatu h (x)-ren mutur erlatiboak.

b) h (x)-k mutur absoluturik du?

49 P(x, y) puntua x y 25 9 2 2 + = 1 elipsean zehar dabil.

Esan P puntuak zer posiziotan izango duen (0, 0) punturainoko distantzia maximoa, baita zer puntutan izango duen distantzia minimoa.

50 x eta y bi zenbaki positiboren biderkadura 16 da. Izan daiteke x + y batura 7 baino txikiagoa? Arrazoitu.

51 Laukizuzen itxurako lursail bat 100 m hesi metaliko erabilita itxi nahi da. Sailaren alde batean 20 m hesi gabe irekita uztea erabaki da, atea jartzeko. Kalkulatu horrela itxi daitekeen azalera maximoko lursail laukizuzenaren alde guztien dimentsioak. Kalkulatu, horrez gain, azalera maximo horren balioa.

h

10 cm r

10 cm

54 Triangelu isoszele batek 12 cm-ko oinarria du (alde desberdina), eta 10 cm-ko altuera. Bertan laukizuzen bat inskribatu dugu, aldeetako bat triangeluaren oinarrian jarriz, eta bi erpin, alde berdinen gainean:

a) Adierazi laukizuzenaren A azalera x oinarriaren funtzioan eta esan zein den funtzioaren definizio-eremua. b) Kalkulatu funtzio horren balio maximoa.

55 Meta 7.3. Oinarri karratua eta 80 cm3-ko edukiera duen prisma erregular baten itxurako ontzi bat egin nahi dugu. Tapa eta alboko gainazala egiteko, material jakin bat erabiliko dugu; baina oinarrirako, % 50 garestiagoa den beste bat erabili behar dugu. Kalkulatu zer neurri izan behar duen ontzi horrek prezioa ahalik eta txikiena izateko.

56 12 m-ko eta 18 m-ko altuera duten bi poste bata bestetik 30 m-ra daude. Kable bat bota nahi dugu, poste horien artean lurzoruan dagoen puntu bat posteen muturrekin lotzeko. Non jarri behar da lurzoruko puntua kablearen luzera osoa minimoa izateko?

57 (1, 2) puntutik igarotzen diren zuzen guztien artean, aurkitu zeinek zehazten duen koordenatuen ardatzekin, lehenengo koadrantean, azalera minimoko triangelu bat.

58 Liburu bateko orrialde bakoitzak 600 cm2-ko azalera izan behar du, eta testuaren inguruan 2 cm-ko marjina utzi behar da goialdean, 3 cm-koa behealdean, eta 2 cm-koa alboetan. Kalkulatu orrialdearen zer dimentsiok emango duten aukera inprimatutako azalera ahalik eta handiena izateko.

59 Laukizuzen batek erpinak (0, 0), (a, 0), (0, b) eta (a, b) puntuetan ditu, jakinda a > 0, b > 0 direla eta gainera, (a, b) puntua y = x 1 2 + 9 ekuazioa duen kurban dagoela

Baldintza horiek betetzen dituzten laukizuzen guztien artean, zehaztu azalera minimoko laukizuzena eta kalkulatu azalera minimo hori.

Proposatutako ariketak eta problemak

60 Triangelu isoszele bat daukagu, alde desberdina 12 cm-koa duena, eta altuera, 5 cm-koa. Altueraren gainean, oinarritik x distantziara dagoen A puntu bat zehaztu nahi dugu, kontuan izanda A puntu horretatik triangeluaren hiru erpinetara dauden distantzien batura minimoa dela. Aztertu irudia: A x 5 cm } 12 cm

a) Egiaztatu A puntutik triangeluaren hiru erpinetara dauden distantzien batura f (x) = 5 – x + 2 x 36 2 + adierazpenak ematen digula.

b) Kalkulatu zein izan behar den x-ren balioa distantzien batura minimoa izateko..

c) Kalkulatu kantitate minimo hori.

61 Erloju bateko orratzek 4 cm eta 6 cm dituzte. Muturrak lotuz gero, triangelu bat eratzen da.

a) Egiaztatu triangelu horren azalera A (x) = 12sin x funtzioak ematen duela, x orratzen angelua izanik.

b) Kalkulatu zein izan behar den x triangeluaren azalera maximoa izateko, eta kalkulatu azalera hori.

62 Partikula baten abiadura, m/s-tan, funtzio honek ematen digu: v (t ) = (t 2 + 2t)e –t , t ≥ 0 izanik.

a) [0, 3] tarteko zer unetan lortzen da abiadura maximoa?

b) Kalkulatu lm i x ∞ " + v (t ) eta interpretatu emaitza.

63 f : [1, e ] → Á daukagu, f (x) = x 1 + ln x funtzioaren bidez definituta Zehaztu f-rekiko ukitzaile diren zuzenen artean zeinek duten malda maximoa.

64 Kalkulatu 4 m-ko erradioa duen zirkunferentzia batean inskribaturik dagoen azalera maximoko triangelu isoszelearen neurriak.

66 y = x3 – 5x2 + 3x – 2 funtzioak betetzen ditu batezbesteko balioaren teoremaren hipotesiak [0, 4] tartean? Erantzuna baietz bada, esan zein den tesia betetzen duen x0

67 Funtzio hau daukagu: f (x) =  x –≤21 ≤–x x x

Galdera teorikoak

65 Egiaztatu [0, 3 2 ] tartean definitutako f(x) = x3 – 18x funtzioak Rolleren teoremaren hipotesiak betetzen dituela, eta aurkitu, f ' (c) = 0 izateko, zein izan behar den c ∈ (0, 3 2 )

] ] ] ]

Z [ \

1 2 3 10 –

bada –≤ bada < 2

Frogatu f funtzioak betetzen dituela batezbesteko balioaren teoremaren hipotesiak [–2, 0] tartean, eta kalkulatu zer puntutan (bat baino gehiago izan daitezke) betetzen den teorema.

68 Kalkulatu daiteke a, b, c zein diren, honako funtzio honek: f (x) =  ≥ x ax bx x x 51 3 1 1 bada bada < 2 + ++ )

Rolleren teorema bete dezan [0, c] tartean?

69 f (x) = | cos x | funtzioak 1 balioa hartzen du [0, π] tartearen muturretan. Beteko du Rolleren teorema?

70 f funtzioa jarraitua eta deribagarria da, f (0) = 3 izanik. Kalkulatu zein izan behar den f (5)-en balioa, [0, 5] tartean f ' (c) = 8 betetzen duen c existitzen dela ziurtatzeko.

71 Kalkulatu zein diren a eta b, honako funtzio honek:

f (x) =  ≥ ax xx b x x 3 10 4 4 – bada bada < 2 + )

batezbesteko balioaren teoremaren hipotesiak bete ditzan [2, 6] tartean. Non betetzen du tesia?

72 f (x) = 1 – x 2/3 da.

Frogatu f(1) = f(–1) = 0 dela, baina f'(x) ez dela inoiz zero [–1, 1] tartean. Azaldu zergatik dagoen emaitza hori, itxuraz, kontraesanean Rolleren teoremak dioenarekin.

73 f funtzio baten deribatua positiboa da aldagaiaren balio guztietarako. Egon daitezke f (a) = f (b) betetzen duten a eta b bi zenbaki desberdin? Arrazoitu.

74 Kalkulatu a, b eta c, honako funtzio hone:

f (x) =  ≥ xaxb cx x x 1 2 2 bada bada < 2 ++ + )

Rolleren teoremaren hipotesiak bete ditzan [0, 4] tartean. Zer puntutan betetzen da tesia?

75 Funtzio hau dugu:

f (x) =  () () ln ln xx x 31020 –x 2 ++ +

Egiaztatu f ' (a) = 0 betetzen duen a ∈ (1, 2) balio bat existitzen dela. Aipatu eta arrazoitu erabilitako emaitza teorikoak.

76 Egia ala gezurra? Arrazoitu erantzuna.

a) Zuzen bat ez den funtzio batek infinitu puntutan izan dezake y = 1 zuzen ukitzailea.

b) f ' (a) = 0, f '' (a) = 0 badira, orduan f-k ezin du ez maximorik ez minimorik izan x = a puntuan.

c) 3. mailako polinomio batek minimo bat badu x = 2 puntuan, minimo hori ezin da minimo absolutua izan.

d) [0, 5] tartean jarraitua den funtzio batek ezin du maximorik izan x = 3 puntuan, puntu horretan deribagarria ez bada.

e) y = f (x) gorakorra bada x = a puntuan, orduan y = –f (x) beherakorra da x = a puntuan.

f ) f ' (a) = 0 bada, f-k maximo edo minimo bat du x = a puntuan.

g) f ' (a) = 0, f '' (a) = 0 eta f ''' (a) = –5 badira, f-k inflexiopuntu bat du x = a puntuan.

h) Honako hau f ' (x)-ren grafikoa bada, f-k minimo bat du x = –1 puntuan eta maximo bat x = 1 puntuan.

Sakontzeko

77 Esperimentu batean, objektu beraren bost neurketa egin ditugu, eta honako emaitza hauek lortu ditugu:

m1= 0,92; m2 = 0,94; m3 = 0,89; m4 = 0,90; m5 = 0,91 Neurri errealarekiko hurbilketa onena izango da erroreen karratuen arteko batura minimo egiten duen x-ren balioa. Hau da, funtzio hau:

E(x) = (x – m1)2 + (x – m2)2 + … + (x – m5)2 minimo egiten duen balioa. Kalkulatu x-ren balio hori.

78 Egiaztatu existitzen dela α ∈ (–1,3) non f ' (α) =  4 –1 den,

f (x) =  [( )] log xx x2 7 –x 22 4 3– 3 ++ izanik.

Aipatu zer emaitza teoriko erabili dituzun, eta arrazoitu horien erabilera.

79 Globo bat lurretik 200 m-ra egon eta goraka 15 m/s-ra doan unean, azpitik auto bat igarotzen da 45 km/h-ko abiaduran. Zer abiadurarekin urruntzen dira bata bestetik autoa eta globoa segundo bat geroago?

Kontuan hartu honako hauek:

— Globoa 200 + 15t m-ko altueran dago t unean.

— Autoa globoaren bertikaletik (45/3,6) · t m-ra dago. Aurkitu bien arteko distantzia eta kalkulatu urruntze-abiadura t = 1 denean.

➜ anayaharitza.es Ariketa hauen ebazpena.

1 Funtzio hau izanda:

f (x) = ln cos cos x x 1 1–+ aurkitu zer puntutan den zuzen ukitzailea y = 2x – 3 zuzenarekiko paraleloa.

2 Kalkulatu funtzio honen mutur erlatiboak, tarte gorakorrak eta beherakorrak eta ahurtasun- eta ganbiltasun-tarteak:

f (x) = x | x – 2 |

3 Aztertu f (x) = e x (cos x + sin x) funtzioaren hazkundea eta zehaztu zein diren maximoak eta minimoak x ∈ [0, 2π] tartean

4 a) Aztertu honako funtzio honen kurba:

f (x) = x 2 ln x

b) Idatzi funtzio horren inflexio-puntutik igarotzen den zuzen ukitzailearen ekuazioa.

5 Zehaztu a, b, c eta d zein izan behar diren g (x) = ax 3 + + bx 2 + cx + d funtzioak maximo erlatibo bat izan dezan (0, 4) puntuan eta minimo erlatibo bat (2, 0) puntuan.

6 Kalkulatu y = x 1 1 2 + kurbaren zer puntutan izango den zuzen ukitzailearen malda maximoa

7 9 cm-ko erradioa duen esfera batean inskribatu daitezkeen zilindro guztien artean, aurkitu bolumenik handiena duenaren altuera eta erradioa.

8 f (x) = 1 – | x | funtzioak, x ∈ [–2, 2] bada, f (–2) = f (2) berdintza egiaztatzen du.

Arrazoitu f ' (c) = 0 betetzen duen c ∈ (–2, 2) punturik aurki daitekeen.

Funtzioen adierazpena 11

Funtzio kontzeptua

xv. eta xvi. mendeetan sinbologia aljebraikoaren oinarriak ezarri ziren. Horrek matematikaren erabilera oso praktikoa ahalbidetu zuen, eta bidea ireki zuen funtzio baten aldagaiak eta ekuazio baten ezezagunak bereizteko, ezinbesteko bereizketa funtzioaren nozioa ezartzeko.

xvii. mendearen hasieran, Galileok lehen aldiz erabili zuen esperimentazio kuantitatiboa informazio-iturri gisa. Kausak eta efektuak modu funtzionalean lotzen hasi zen. Hori funtsezkoa izan zen mendeko aldagaiaren kontzeptua zehazteko.

Galileok bi aldagairen (x eta y, kausak eta efektuak) arteko erlazio matematikoei buruz egindako ikerketak funtzio kontzeptuaren aurrekari oso argia dira, eta xvii. mendean zehar itxura hartuz joan zen.

xvii. mendeko ideia emankor eta distiratsuenetako bat funtzio kontzeptuaren eta kurba baten irudikapen grafikoaren arteko lotura ezartzea izan zen.

Diagrama kartesiarren bidezko irudikapen grafikoak funtzioak bistaratzea ahalbidetu zuen. Horrela, funtzioaren kontzeptua orokortu egin zen, eta ardatz koordenatu batzuen gaineko grafiko bat adierazten duen edozein zenbaki-erlaziotarako erabili zen. Baina garai hartako matematikariek formula bati zegozkion grafikoak bakarrik onartzen zituzten funtzio gisa. xix. mendearen erdialdean, Dirichletek kontzeptua zabaldu zuen, eta grafikoki (edo beste era batera) emandako erlazio mota jakin batzuk ere funtzio adieran barneratu zituen, nahiz eta ez egoen funtzio horiek deskribatzen zituen «formula» bat. Limiteak eta deribatuak kalkulatzeko kontzeptuek eta prozedurek aukera ematen dute, gaur egun, formulen bidez emandako funtzioen ezaugarri garrantzitsuenak modu eroso eta eraginkorrean ikertzeko eta, ondorioz, funtzio horien irudikapen grafikoa egiteko. Kalkulagailu edo ordenagailu batekin automatikoki eta berehala lortzen da.

Dirichlet

Funtzio kontzeptuaren bere definizioak analisiaren oinarriak finkatzeko balio izan zuen. Baina Berlinen irakasle zebilen Gustav Dirichletek beste ekarpen asko ere egin zizkien matematikari eta fisikari; hala, 1855ean Gauss hil zenean, denek pentsatu zuten Dirichlet izango zela bere oinordeko duina, eta Göttingeneko katedra betetzeko deia egin zioten.

Gustav Dirichlet (1805-1859)

Funtzio bitxia eta jakintsu nahigabetua

Dirichletek, puntu batean ere jarraitua ez zen funtzioaren adibide bat jartzearren, hau definitu zuen: D (x) = Á

bada bada x x 1 0 !

Funtzio xelebre eta bitxi horiek funtzioaren kontzeptua zehazteko diseinatu ziren. Poincare, xx. mendearen hasierako matematikari garrantzitsuentzat hartu izan dena, kexu zen «gure aurrekoen arrazoitzea okerra izan zela erakusteko asmaturiko funtzio bitxi horietaz», eta kontrajarri egiten zituen «zerbaitetarako balio duten funtzio zintzoekin».

Bi kurba interesgarri

traktrizea

X ardatzaren gainean, jatorritik 4 m-ra, bola bat dago 4 m-ko soka batekin lotuta. Pertsona bat, sokaren muturrari oratzen diola, Y ardatzean zehar oinez doa, bola arrastaka daramala. Bolak egiten duen ibilbidea kurba bat da, traktize izenekoa, eta sokarekiko ukitzailea da sokaren puntuetako bakoitzean.

katenaria

2,35 m-ko luzera duen kate baten bi muturrak 1,54 m-ko altuera duten eta bata bestetik 2 m-ra dauden bi zutoin sendoetara lotuz gero, kateak katenaria izeneko kurba bat eratzen du. Ardatzak egoki kokatuz gero, kurba horren ekuazioa hau da:

EBATZI

Limiteak eta deribatuak funtzio bat adierazteko

• Hartu paper koadrikulatua, marraztu koordenatu-ardatz batzuk eta adierazi honako baldintza hauek betetzen dituen ahalik eta kurbarik sinpleena:

• Deskribatu honako funtzio hau ahalik eta datu-kantitaterik txikiena erabiliz eta aurreko ariketan egin dugun bezala:

• f deribagarria da Á osoan, x = 2 puntuan izan ezik.

Kurbak eraikitzeko oinarrizko elementuak

Funtzio baten grafikoa puntu multzo bat bada ere, funtzioak adieraztean, honezkero ondo jakingo duzun moduan, ez da egokia besterik gabe hainbat punturen koordenatuak lortzea. Bi arrazoirengatik ez da bide hori egokia:

— Denbora asko beharko litzateke

— Puntu horiek ziur aski ez dira nahikoa izango kurba nolako den egoki adierazteko; izan ere, litekeena da kurbako zatirik interesgarrienak aurkitu ditugun puntu horien artean egotea edo aztertu dugun tartetik kanpo

Orokorrean, kurbek zenbait alderdi interesgarri izaten dituzte (puntu singularrak, adarrak, etenak,…) eta horietatik kanpo ez dute aparteko interesik izaten. Kurba bat behar bezala adierazteko, kurba bereizten duten ezaugarri horiek aurkitzen jakin behar da. Eta helburu horrekin aztertzen dira limiteak, asintotak, deribatuak,…

Unitate honetan, kurba baten ezaugarri interesgarriak zein diren jakiteko helburuarekin, eskura ditugun tresna matematiko guztiak berrikusi, sistematizatu eta ordenan jarriko ditugu, ondoren adierazpen egokia egiteko. Gogora ditzagun tresna horiek zein diren:

• Funtzioa zer eremutan aztertu erabakitzea

— Definizio-eremua. Jarraitua da? Deribagarria da?

— Simetriak (izan ere, Y ardatzarekiko edo koordenatuen jatorriarekiko simetrikoa bada, nahikoa izango da x ≥ 0 kasuan aztertzea).

— Periodikotasuna (periodikoa bada, nahikoa izango da periodo batean aztertzea).

• Adar infinituak

— x → ±∞ denean. Zer motatakoak dira?

— x → a denean. Badaude?

• Deribatuak

— Puntu singularrak: maximo eta minimo erlatiboak edo inflexio-puntuak.

• Puntu osagarriak lortzea

— Ardatzekin dituen ebaki-puntuak

— Kurbaren itxura zehazteko balio duten beste puntu batzuk Kurbaren adierazpen grafikoa egitean, ia inoiz ez ditugu elementu horiek guztiak aztertu beharko. Zerrenda hori eskulangileek tresna guztiak gordetzeko erabiltzen duten kaxaren antzekoa da. Lan bat egitean, normalean ez ditu tresna guzti-guztiak erabili beharko. Baina ona da eskura izatea, baita nola eta noiz erabiltzen diren jakitea ere Izan ditzagun, bada, prest tresna horiek guztiak, erabiltzeko moduan

Definizio-eremua

y = f (x) funtzio baten definizio-eremua (x-ren zer baliorekin existitzen den funtzioa)

Á osoa da, ezinezkoak diren eragiketak edo murrizketaren bat adierazten ez bada behintzat. Gogora ditzagun murrizketa garrantzitsuenak zein diren:

• Izendatzaileak badaude, funtzioa ez dago definituta izendatzaileak baliogabetzen diren puntuan.

• () x n { , n bikoitia denean, φ (x) ≥ 0 denean soilik dago definituta.

• log φ (x) funtzioa φ (x) > 0 denean baino ez dago definituta

• arc sin φ (x) eta arc cos φ (x) funtzioak –1 ≤ φ (x) ≤ 1 denean baino ez daude definituta.

• tg φ (x) funtzioa ez dago definituta baldin eta φ (x) = k 2 r r + bada, k ∈ .

1. Adar infinituak

2. Maximoak eta minimoak: f ' (x) = 0

3. Inflexio-puntuak: f '' (x)= 0

4. Ebaki-puntuak ardatzekin: f (x) = 0 eta x = 0

Simetrikoa Y ardatzarekiko

funtzio bakoitia 1 1 2 2

2 3 4 4 4 4 1

➜ anayaharitza.es Funtzio ezagunak berrikusteko ariketak.

➜ Diseinuaren definizio-eremuak.

Ebatzitako ariketa

1 Aurkitu honako funtzio hauen definizio-eremua:

a) y = arc sin (x + 3)

b) y = ln (3 – x 25 –2 )

a)

b)

Jarraitutasuna, deribagarritasuna

Funtzio zatiak elkarri lotuz modu artifizialean definitzen direnak kenduta, maila honetan erabiltzen ditugun funtzioak jarraituak dira haien definizio-eremu osoan. Deribagarriak ere badira, salbuespen batzuekin: «Erro» funtzioek ukitzaile bertikala izan dezakete (eta, beraz, ez dira deribagarriak izango) errokizuna baliogabetzen den puntuetan.

Adibidez, y = x 4 –2 3 funtzioa ez da deribagarria x = –2 eta x = 2 puntuetan. Balio absolutuak puntu angeludunak ematen ditu.

Adibidez, y = | x 2 – 4 | funtzioak puntu angeludunak ditu x = –2 eta x = 2 puntuetan

Pentsatu eta praktikatu

FUNTZIO JARRAITUAK ETA DERIBAGARRIAK IRUDIKATU

Tarte bateko jarraitutasunak funtzioari ezagutzen dizkiogun zehaztasun guztiak (puntuak, adarrak,…) marra bakar batekin irudikatzeko modua ematen du. Horrez gainera, deribagarria ere bada, ez du puntu angeludunik izango.

1 Aurkitu funtzio hauen definizio-eremua eta esan non diren jarraituak eta non deribagarriak.

2 Esan non diren jarraituak eta non deribagarriak honako funtzio hauek:

Simetriak

• f funtzio batek f (x) = f (–x) betetzen badu, funtzio horren grafikoa Y ardatzarekiko simetrikoa da. Arrazoia oso erraza da: (a, b) puntua grafikokoa bada, f (a) = b eta, beraz, f (–a) = b; eta horrek esan nahi du (–a, b) puntua ere grafikokoa dela

Adibidez: y = xx 5 87 –42 + (alboan adierazita dago), y = cos x, y = xx xx 2 5 –3 3 +

• Funtzio batek f (–x) = –f (x) betetzen badu, horren grafikoa koordenatuen jatorriarekiko simetrikoa da; izan ere, (a, b) puntua f-ren grafikokoa bada, orduan f (a) = b da, eta, beraz, f (–a) = –b da; eta horrek esan nahi du (–a, –b) ere f-ren grafikokoa dela. (–a, –b) puntua (a, b) puntuaren simetrikoa da O (0, 0)-rekiko

Adibidez: y = x 3 – 3x (alboan adierazita dago), y

sin

Funtzio bat simetrikoa dela baldin badakigu, nahikoa izango da kurba erdia egitea eta, gero, beste erdia simetriari jarraituz egitea

Periodikotasuna

Funtzio bat periodikoa dela jakiteak asko errazten du adierazpena. Periodikotasunak antzematen laguntzeko, hona hemen propietate batzuk. Irakurri arretaz eta arrazoitu adibideren bat erabiliz:

Ezagutzen dituzun funtzio periodiko bakarrak trigonometrikoak dira

f (x) periodikoa bada, T periododuna, f (mx + n) ere periodikoa da eta horren

periodoa m T da

Adibidez, erreparatu hiru funtzio hauen grafikoei:

Aurreko ikasturtean x-ren zati hamartarra funtzioa ikusi zenuen.

(x) = x – Oso (x)

Mant → Mantisa; Oso → Zati osoa) Funtzio hori periodikoa da, 1 periododuna.

➜

diruditen baina ez diren funtzioak.

Aurkitu honako funtzio hauen simetriak eta periodikotasunak:

Adar infinituak puntu batean. Asintota bertikalak lm í xa " f (x) = ±∞ bada, x = a zuzena asintota bertikala da

ASINTOTA BERTIKALDUNAK DIRA

Funtzioa ezkerretik edo eskuinetik hurbildu daiteke x = a asintotara, eta plus edo minus infiniturantz jo dezake. Ikus ditzagun kasu posibleak: a a

a a

• () () x x z } forma hartzen duten funtzioak, ϕ(x) = 0 den puntuetan (zatikia sinplifikatuta dagoela).

• log φ(x) funtzioak, puntu hauetan: φ(x) = 0.

• tg φ(x) funtzioak, puntu hauetan: φ(x) = π 2 + kπ, k ∈ .

Funtzioa asintotaren bi aldeetara definituta badago, alboko bi limiteak aztertuko ditugu:

lim xa –" f (x) eta lim xa " + f (x)

Adibideak:

• y = x x 2 21 –+ funtzioak asintota bertikal bat du x = 2 puntuan x = 2 ( lm i x 2 " f (x) = ±∞).

f (x) funtzioak 2ren inguruan zer zeinu duen jakiteko, x-ri 2tik hurbil dauden balioak emango dizkiogu («zertxobait txikiagoak» eta «zertxobait handiagoak»).

ezkerretik: x = 1,99 → f (x) = , , 1992 21 99 1 –·+ = – 498 (negatiboa) → → lim x 2 –" f (x) = – ∞

eskuinetik: x = 2,01 → f (x) = , ·, 2012 22 01 1 –+ = 502 (positiboa) →

→ lim x 2 " + f (x) = +∞

• y = x 5 1 + funtzioak asintota bertikal bat du x = –5 puntuan. Baina funtzioak asintotaren eskuinera baino ez dago definituta, eta, beraz, lim

• y = ln (x 2 – 1)

ln (x 2 – 1) → – ∞, baldin eta x 2 – 1 → 0+ Hau da, x → 1+ edo x → –1– badoa:

asintota bertikalak eta kokatu kurbak asintotekiko:

Kontuan izan atal batzuetan zenbakitzaileak eta izendatzaileak erro komunak izan ditzaketela.

➜ Jarri asintota bertikalak diskrezioa.

Adar infinituak infinituan

• ∞ lm i x " + f (x) = l bada, orduan y = l zuzena asintota horizontala da x → +∞ doanean.

Kurbak asintotarekiko zer posizio hartzen duen jakiteko, f (x) – l kendurak x-ren balio handietarako zer zeinu duen aztertu behar dugu

• ∞ lm i x " + f (x) = ±∞ , ∞ lm i x " + () x fx = m ≠ 0 eta ∞ lm i x " + [ f (x) – mx] = n badira, y = mx + n zuzena asintota zeiharra da x → +∞ doanean

Kurbak asintotarekiko zer posizio hartzen duen jakiteko, f (x) – (mx + n) kendurak x-ren balio handietarako zer zeinu duen aztertu behar dugu

Adi! Aurreko ikasturtetik badakizun moduan, funtzio arrazionaletan askoz errazagoa da asintota zeiharrak kokatzea (ikusi 281. orrialdea).

• ∞ lm i x " + f (x) = ±∞ bada eta asintota zeiharrik ez badago, adar parabolikoa egon daiteke, mota hauetakoren bateko adarra:

asintota zeiharra

1. mota. Gero eta hazkunde azkarragoa.

Kurba gero eta azkarrago handiagotzen edo txikiagotzen da. Mota honetakoak dira funtzio polinomiko eta esponentzialen adar parabolikoak.

2. mota. Gero eta hazkunde geldoagoa.

Kurba gero eta geldoago handiagotzen edo txikiagotzen da. Mota honetakoak dira funtzio errodunak eta logaritmikoak.

→ – ∞ denean ageri diren kasuak azaldu ditugun horien modukoak dira.

–

xx

funtzioak asintota zeihar bat du x → +∞ doanean. Aurki dezagun:

y = e x

y = ln x

adar parabolikoak

IDAZKERA

Asintotari y = mx + n esaten diogu.

Asintota zeiharra dago x → +∞ doanean. Horren ekuazioa y = x – 1 da.

Kurbak asintotarekiko hartzen duen posizioa:

x = 1 000 denean, xx 2 –2 – (x – 1) adierazpenak –0,0005 balio du.

Kurba asintotaren azpitik geratzen da.

➜ anayaharitza.es

y = x2 –2x funtzioaren asintota zeiharra lortzea x → –   ∞ denean.

Laburpena: x → +∞ (*) doanean egon daitezkeen adar infinituak

5 Aurkitu funtzio hauek infinituan dituzten adarrak:

a) y = 3x 5 – 20x 3 b) y = x x 1 –2 4

c) y = () x x 2 –2 3 d) y = xx 2 –2

e) y = ln (x 2 + 1) f ) y = 2x – 1

g) y = x sin x h) y = x – cos x

6 Zer adar mota dituzte funtzio hauek infinituan?

a) y = x 1 1 + b) y = x x 1 3 +

c) y = x x 1 2 + d) y = x x 1 4 +

e) y = e x x 2 f ) y = x 3 2 3 + g) y = x + x h) y = tg x

Puntu interesgarriak

ukitzaile horizontaleko puntuak (singularrak edo kritikoak)

• Ukitzaile horizontaleko puntuen abzisak f ' (x) = 0 ekuazioa ebazten dugunean lortzen ditugu

x1, x2, …, xk soluzioak aurkitu eta gero, soluzio horiei grafikoan dagozkien (x1, f (x1)), (x2, f (x2)), …, (xk, f (xk)) puntuek kurbaren gorako eta beherako tarteak zehazteko balioko digute; jakina, f (x) funtzioa deribagarria baldin bada puntu horiek egongo diren tarte osoan

PUNTU SINGULARRAK

Ukitzaile horizontaleko puntu guztiak (puntu singularrak) jakitea oinarri-oinarrizkoa da grafiko baten adierazpena egiteko. Horrelako punturik ez dagoela jakitea ere oso datu garrantzitsua izaten d.

• Maximoak eta minimoak berez ageri dira kurba marraztean, adar infinituak eta deribatu nuluko puntuak lotzen ditugunean. Horrez gain, gogoan izan ukitzaile horizontaleko puntu bat maximoa edo minimoa den jakin dezakegula, bigarren deribatua erabiliz:

f ' (a) = 0 eta f '' (a) > 0 badira ⇒ (a, f (a)) puntuan minimo erlatibo bat dago f ' (a) = 0 eta f '' (a) < 0 badira ⇒ (a, f (a)) puntuan maximo erlatibo bat dagoo.

• Ukitzaile horizontaleko puntu bat maximoa edo minimoa den jakiteko beste modu bat ere badago: f ' (x)-ren zeinua ezkerretik eta eskuinetik aztertzea.

ebaki-puntuak ardatzekin

• Ebaki-puntuak X ardatzarekin: abzisak f (x) = 0 ekuazioaren soluzioak dira.

• Ebaki-puntuak Y ardatzarekin: (0, f (0)) puntua da

inflexio-puntuak

Funtzioa ahurra izatetik ganbila izatera, edo ganbila izatetik ahurra izatera igarotzen den puntuak dira. f '' (x) = 0 ekuazioaren erroetako batzuk izaten dira

beste puntu batzuk

Batzuetan, komeni da beste (a, f (a)) puntu batzuk lortzea kurbaren itxura zehazteko.

➜ Aurkitu zero deribatuaren puntuak.

Pentsatu eta praktikatu

7 Aurkitu honako funtzio hauen puntu singularrak eta inflexio-puntuak:

a) y = x 3 – 6x 2 + 9x + 5

b) y = ln (x 2 + 1)

INFLEXIO-PUNTUAK

Inflexio-puntuek kurbaren forma zehazten dute. Batzuetan, oso lagungarriak dira.

8 Aurkitu honako hauen puntu singularrak:

a) y = 3x 5 – 20x 3

c) y = () x x 2 –2 3

b) y = x x 1 –2 2

d) y = xx 2 –2

Balio absolutua funtzioen adierazpenean

Funtzio baten balio absolutua

y = | f (x) | adierazteko, y = f (x) funtzioa adieraziko dugu lehenengo, eta, gero, simetria bidez, X ardatzaren azpian dagoen kurbaren zati osoa gorantz pasatuko dugu

➜ anayaharitza.es

Teoria berrikusi: funtzio baten balio absolutua.

3 + adierazteko, y = xx 3 1 21 –3 + eta, behean dagoena, X ardatzetik «gora botako dugu», simetria bidez

Adibidez, y = xx 3 1 21

eragiketak «balio absolutuekin»

Funtzio bat aztertzen dugunean, aparteko arreta jarri behar dugu zer abzisatan aldatzen duten zeinua balio absolutua duten batugai batzuek.

1

1 Adierazi y = ||

Balio absolutu bakarra | x | da. x

Funtzio polinomikoen adierazpena

y = P (x) erako funtzio polinomikoak Á osoan dira deribagarriak (eta, beraz, baita jarraituak ere).

Ez dute inolako asintota motarik. Adar parabolikoak dituzte – ∞-n eta +∞-n. Bi adar infinitu horiek eta puntu singularrak jakinda, oso zehatz adieraz daitezke. Zehatzago marraztu nahi izanez gero, ardatzekin dauden ebaki-puntuak eta inflexio-puntuak ere lor daitezke.

Simetriak izan ditzakete:

• Maila bikoitiko gaiak baino ez badituzte, Y-rekiko simetrikoak dira

Adibidez: y = 2x 4 – 3x 2 + 5

• Maila bakoitiko gaiak baino ez badituzte, koordenatuen jatorriarekiko simetrikoak dira

Adibidez: y = x 5 – 4x 3 + 2x

y = P (x) funtzio polinomiko bat adierazteko:

• Simetria motaren bat duen aztertuko dugu.

• Bi adar infinituak aurkituko ditugu: ∞ lm i x – " f (x), ∞ lm i x " + f (x)

• P' (x) = 0 ekuazioa ebatziko dugu.

Ekuazio horren soluzioak (soluziorik badago) puntu singularren abzisak dira. Hori egin ostean, ordenatuak lortuko ditugu.

• Lortu ditugun puntu guztiak elkarrekin eta adar infinituekin lotuko ditugu, baina lortutako puntu singularrak bakarrik marraztuz. Horrela, maximo eta minimo erlatiboak zein diren jakingo dugu.

• Ahal izanez gero, komeni da ardatzekin dauden ebaki-puntuak ere lortzea, adierazpena zehatzago egiteko

Ebatzitako ariketak

1 Adierazi honako funtzio hau:

f (x) = x 3 – 6x 2 + 9x + 5

GOGORATU

Oso garrantzitsua da funtzio polinomikoak bereiztea eta hasieratik jakitea zer itxura izango duten.

KONTUAN HARTU

Puntu singularrak eta adar infinituak izanda, erraz ikusten da kurbak zer forma izango duen.

➜

Adierazi funtzio polinomikoak.

➜ anayaharitza.es Funtzio polinomikoen adierazpena berrikusteko ariketak.

Simetriak: Ez da simetrikoa, ez Y ardatzarekiko, ezta koordenatuen jatorriarekiko ere.

Adar infinituak:

Puntu singularrak:

f ' (x) = 3x 2 – 12x + 9

f ' (x) = 0 ⇔ x = 1, x = 3

f (1) = 9, f (3) = 5 → (1, 9), (3, 5)

Ebaki-puntuak ardatzekin:

Y ardatza (0, 5) puntuan ebakitzen du, eta X ardatza, –1 eta 0 artean; izan ere, f (–1) = –11 eta f (0) = 5

Inflexio-puntuak:

f '' (x) = 6x – 12

f '' (x) = 0 ⇔ x = 2 → (2, 7)

Datu horiekin kurba irudikatu dezakegu

(x) = 3x 5 – 20x 3

Simetriak: Ikusten dugunez, gai guztiak dira maila bakoitikoak. Beraz, simetrikoa da koordenatuen jatorriarekiko. (Gogoan izan funtzio hauei bakoiti esaten zaiela ). Adar infinituak:

3

(x) = x 4 + 8x 3 + 22x 2 + 24x + 9

Puntu singularrak (–2, 64), (0, 0) eta (2, – 64) dira. Datu horiek nahikoa dira grafikoa irudikatzeko.

Simetriak: ez da ez bikoitia ez bakoitia. Beraz, ez da simetrikoa Y ardatzarekiko, ezta koordenatuen jatorriarekiko ere. Adar infinituak:

Puntu singularrak:

' (x) = 4x 3 + 24x 2 + 44x + 24. Hirugarren mailako polinomio bat denez, erroetako batzuk aurkitzeko, gai askearen (24) zatitzaileekin saiatuko gara. Gainera, koefiziente guztiak positiboak direnez, erro negatiboak baino ezin ditu izan. x = –1 probatuko

dugu:

4 24 44 24 –1 – 4 –20 –24

Erro bat x = –1 da, eta beste bi erroak 4x 2 + 20x + 24 = 0 ekuazioa ebatziz lortzen dira.

4 20 24 0 x = –2 eta x = –3 dira.

Ebaki-puntuak ardatzekin:

Puntu singularretako bi X ardatzean daude

Kurbaren zirriborro bat egiten badugu, X ardatza ez duela puntu gehiagotan ebakitzen ikusten dugu.

Y

2 Adierazi honako funtzio hau:

Adierazi funtzio hau:

Funtzio arrazionalen adierazpena

y = P (x)/Q (x) erako funtzio arrazionaletan, x zer baliorekin baliogabetzen den da kontuan hartu beharreko ezaugarri nagusia: balio horietako bakoitzean asintota bertikal bat egongo da. Funtzioa deribagarria da (eta, beraz, jarraitua) Á-ko gainerako puntu guztietan

P (x)-ren eta Q (x)-ren mailaren arabera, kurbak asintota horizontala edo asintota zeiharra izango du, edo ez du ez bata eta ez bestea izango.

Asintota horizontala edo zeiharra badu, berdina izango da x → – ∞ doanean eta x → + ∞ doanean

y = f (x) = P (x)/Q (x) erako funtzio arrazional bat adierazteko:

• SSimetria motaren bat duen aztertuko dugu.

• Asintota bertikalak aurkituko ditugu: abzisak Q (x) = 0 ekuazioaren soluzioak dira. Kurbak asintota horietako bakoitzarekiko zer posizio duen aztertuko dugu

• Asintota horizontala edo zeiharra duen aztertuko dugu:

P (x)-ren maila ≤ Q (x)-ren maila bada, hau aurkituko dugu:

∞ lm i x " + P (x)/Q (x) = l y = l zuzena asintota horizontala da.

P (x)-ren maila = Q (x) + 1-ren maila bada, asintota zeihar bat dago. Asintota horren ekuazioa y = mx + n da, mx + n adierazpena P (x) : Q (x) zatiketaren zatidura izanik

(Asintota horizontala zein zeiharra egon, kurbak asintotarekiko zer posizio duen aztertuko dugu x → – ∞ doanean eta x → + ∞ doanean).

P (x)-ren maila > Q (x) + 1-ren maila bada, adar parabolikoak daude

• Puntu singularrak lortuko ditugu. Abzisak f ' (x) = 0 ekuazioaren soluzioak izango dira

• Nahi izanez gero, beste puntu batzuk ere lortu daitezke, hala nola ardatzekin dauden ebaki-puntuak, f (x) = 0 egiten duten x-ren balioak; eta (0, f (0)). Horrez gainera, baita inflexio-puntuak ere, f '' (x) = 0.

ADI!

P (x) eta Q (x) polinomioek erro berdinik ez dutela pentsatuko dugu.

Ebatzitako ariketak

1 Adierazi honako funtzio hau:

f (x) = x x 1 –2 4

Funtzio arrazionaletan, asintotak zein diren eta kurbak asintota horiekiko zer posizio erlatibo duten jakinda, kurbaren forma zein den argi erakutsiko digun zirriborroa egin dezakegu.

➜ Lortu asintotak.

➜ anayaharitza.es

Funtzio arrazionalen adierazpena berrikusteko ariketak.

Simetriak: f (–x) = f (x). Beraz, Y ardatzarekiko simetrikoa da

Asintota bertikalak: x 2 – 1 = 0 ⇔ x = –1, x = 1

x = 1 asintotarekiko posizioa:

f (0,99) = – 48, … → lim x 1

; f (1,01) = 51, … → lim

Simetria bidez, x = –1 asintotarekiko duen posizioa lortuko dugu

Adar infinituak infinituan:

Ez du asintota horizontalik, ez zeiharrik; izan ere:

P (x)-ren maila = Q (x) + 2-ren maila

(x) = +∞ denez, bi adar paraboliko ditu.

Beste funtzio mota batzuen adierazpena

Adierazi nahi dugun funtzioa ez bada, ez polinomikoa, ez arrazionala, funtzioa adierazteko, unitatearen hasieran deskribatu ditugun alderdiak sistematiko aztertu behar ditugu. Dena dela, kontuan izango ditugu oinarrizko funtzio batzuen ezaugarriak:

• Funtzio errodunetan, definizio-eremua hartu behar dugu aintzat. Asintota eduki dezake x → + ∞ doanean eta x → – ∞ doanean, baina desberdinak izaten dira.

• Funtzio esponentzialek asintota horizontal bat eta I. motako adar paraboliko bat izaten dute.

• Funtzio logaritmikoek asintota bertikal bat eta oso-oso astiro hazten den adar infinitu bat (II. motako adar parabolikoa) izaten dute.

• Funtzio trigonometrikoak periodikoak izaten dira, ia beti.

1 Adierazi honako funtzio hau:

f (x) = xx 2 –2

• f (–x) = () ·( )xx xx22 –22=+ ez da f (x)-ren berdina, ezta –f (x)-ren berdina ere

Beraz, ez da simetrikoa Y ardatzarekiko, ezta koordenatuen jatorriarekiko ere

• x 2 – 2x = 0 ⇒ x = 0, edo, bestela, x = 2

x ∈ (0, 2) bada, x 2 – 2x < 0; hau da, errokizuna negatiboa da. Beraz, ez dago definituta (0, 2) tartean

Definizio-eremua: (– ∞, 0] ∪ [2, + ∞)

Kurba deribagarria da (– ∞, 0) ∪ (2, + ∞) tartean. 0 2

• Ikusi dugu (306. orrialdea) asintota zeiharrak dituela x → +∞ eta x → – ∞ denean, eta kurbak zer posizio duen asintotekiko.

Asintota zeiharrak aurkitzeko beste modu bat: () ≈( )| | xx xx xx x 22 11 11 11 –22 22 =+ ==

f (x) = xx 2 –2 funtzioa y = | x – 1 | funtziora hurbiltzen da | x |-ren balio handiekin. Gainera, «apur bat txikiagoa da», errokizunean 1 kentzen da eta

Hori honela zehazten da:

x → – ∞ doanean, y = f (x) ≈ y = –x + 1

x → +∞ doanean, y = f (x) ≈ y = x – 1

Kurba azpitik hurbiltzen da asintotetara

• Puntu singularrak:

• Adierazpena:

x = 1 puntuan baliogabetzen da, baina puntu horretan funtzioa ez dago definituta. Beraz, ez du puntu singularrik.

Badakigu (0, 0) eta (2, 0) puntuetatik igarotzen dela

2 Adierazi honako funtzio hau:

(x) = ln (x 2 + 1)

• Simetrikoa da Y ardatzarekiko; izan ere, f (x) = f (–x).

• x 2 + 1 positiboa denez beti, Á osoan dago definituta eta deribagarria da. Gainera, f (x) positiboa da beti; izan ere, x 2 + 1 ≥ 1

ez du inolako asintotarik

3 Adierazi honako funtzio hau:

• sin x batugaiaren periodoa 2π da, eta sin 2x batugaiarena, π. Beraz, funtzioa periodikoa da, 2π periododuna. [0, 2π] tartean baino ez dugu aztertuko.

• Deribagarria da Á osoan (funtzio deribagarrien batura da).

• Ebaki-puntuak ardatzekin: (0, 0), (π, 0)

• Inflexio-puntuak:

4 Adierazi honako funtzio hau: f (x) = x e x

• Ez da simetrikoa.

• Asintota bertikala du x = 0 puntuan: x = 0: lim x 0 " + f (x) = +∞ , lim

• Adar infinitua x → + ∞ doanean:

∞ lm i x " + f (x) = +∞ , ∞ lim x " + () x fx () x fx = +∞ . Adar paraboliko bat da. Adar infinitua x → – ∞ doanean:

∞ lm i x – " f (x) = 0 balio negatiboak hartuz

• Adierazpena: y = 0 asintota horizontala da Kurba azpitik geratzen d.

• f ' (x) = () x xe e x ex 1 –– xx x 22 = f ' (x) = 0 ⇔ x = 1

f (1) = e Puntu singular bat du: (1, e).

5 Adierazi honako funtzio hau: f (x) = (ln x) 2 y = ln x funtzioaren grafikoa ekarriko dugu gogora, oinarri moduan hartzeko.

• ln x funtzioa (0, +∞) tartean definituta dagoenez, y = (ln x)2 funtzioaren definizio-eremua D = (0, +∞) da. Eremu horretan funtzioa jarraitua da, eta, ziur aski, deribagarria ere bai.

• Adar infinituak: y = ln x funtzioaren asintota bertikala funtzio honena ere bada. Kontua da karratura jasotzean, balio positiboak hartzen dituelas: lm i x 0 " + (ln x)2 = +∞ x → +∞ doanean, adar paraboliko bat du

• Puntu singularrak:

f (1) = (ln 1)2 = 0. Beraz, (1, 0) puntua ukitzaile horizontalekoa da. (ln x)2 ≥ 0 denez bere definizio-eremuan, (1, 0) puntuan minimo bat dago

• Inflexio-puntuak:

f '' (x) = 2 ln x x 1–2

f '' (x) = 0 ⇔ ln x = 1 ⇔ x = e

f (e) = (ln e)2 = 1. Inflexio-puntua (e, 1) puntuan.

• Adierazpena:

Ebatzitako ariketak eta problemak

1. Azterketatik grafikora (simetriak, asintota horizontalak, zeiharrak eta bertikalak)

Adierazi y = f (x) kasu hauetako bakoitzean:

a) I. Dom f = Á – {0} eta f deribagarria da bere definizio-eremu osoan.

II. ∞ lm i x – " f (x) = 0 +; ∞ lm i x " + f (x) = 0 –

lim x0 – " f (x) = + ∞; lim x0 " + f (x) = +∞

III. f (1) = 0;

f ' (x) = 0 ⇔ x = 2;

f (2) = –1; f '' (2) > 0

b) I. Dom f = Á – {–1, 1} eta f deribagarria da bere definizio-eremu osoan.

II. Funtzioa bikoitia da.

f (x)-ri buruzko informazioa, x ≥ 0

denean

III. ∞ lm i x " + f (x) = + ∞; ∞ lm i x " + () x fx = 1

∞ lm i x " + [ f (x) – x] = –2–;

lim x1 –" f (x) = + ∞; lim x1 + " f (x) = – ∞

IV. f (3/4) = 0; f (3) = 0;

f ' (x) = 0 ⇔ x = 0;

f (0) = –1; f '' (0) > 0

EGIN ZUK

Adierazi y = f (x):

Dom f = Á – {–2, 2}; funtzio bakoitia.

∞ lm i x " + f (x) = – ∞; ∞ lm i x " + () x fx = –1

∞ lm i x " + [ f (x) – (–1) · x] = –1+

lim x 2 –" f (x) = + ∞; lim x 2 " + f (x) = +∞

f (3) = 0; f ' (x) = 0 ⇔ x = 0; f (0) = 0

2. Grafiko baten deskribapena

Deskribatu funtzio baten honako grafiko hau: 2 –2

a) I. Deribagarria denez definizio-eremu osoan, Á – {0}, jarraitua da eta ez du puntu erzdunik.

II. x → – ∞ denean, asintota horizontal bat dago, y = 0, eta funtzioa gainetik hurbiltzen zaio.

x = 0 puntuan asintota bertikal bat dago. Bai ezkerretara, bai eskuinetara, grafikoak + ∞-rantz jotzen du.

x → + ∞ denean, asintota horizontal bera dago, y = 0, eta funtzioa behetik hurbiltzen zaio.

III. f (1) = 0 denez, esan nahi du X ebakitzen duela

x = 1en.

f ' (x) = 0 ⇔ x = 2 baliokidetasunak adierazten du tangente horizontaleko puntu bat dagoela x = 2n, eta, gainera, bakarra dela. f (2) = –1 denez, (2, –1) puntuan dago, eta f '' (2) > 0 denez, minimo bat da. Kurba marraztuko dugu.

b) I. Funtzio jarraitua da eta ez du puntu erzdunik Á – {–1, 1} eremuan.

II. Funtzioa bikoitia izateak esan nahi du simetrikoa dela Y ardatzarekiko. Hortik abiatuta, x > 0 kasurako soilik lortuko dugu informazioa, eta, gero, simetrikoa marraztuko dugu.

III. Limiteek hau erakusten dute: x → + ∞ denean, asintota zeihar bat, y = x – 2, eta kurba behetik hurbiltzen zaio; eta x = 1 puntuan, asintota bertikal bat, eta kurbak + ∞-rantz jotzen du ezkerretik eta – ∞-rantz eskuinetik.

IV. f ' (x) = 0 ⇔ x = 0 baliokidetasunak esan nahi du x = 0 dela zero deribatuko puntu bakarra. Horrez gain, f '' (0) > 0 denez, minimo erlatibo bat da.

Informazio horretatik abiatuta, funtzioaren grafikoaren zirriborroa egingo dugu.

Aurrena, funtzioa x ≥ 0 denean adieraziko dugu, eta, gero, Y ardatzarekiko simetria bidez, funtzio osoa.

• Dom f = Á – {–2, 2}

• Bakoitia da. Hau da, simetrikoa da koordenatuen jatorriarekiko.

• x = –2 asintota bertikala da →

• x = 2 asintota bertikala da →

• f ' (x) > 0 da definizio-eremu osoan; hau da, gorakorra da, eta ez du ez maximorik, ez minimorik.

• f '' (x) = 0 ⇔ x = 0; gainera, f (0) = 0. Inflexio-puntu bat du (0, 0) puntuan.

Ebatzitako ariketak eta problemak

3. Asintota zeiharrak dituen funtzio arrazional bat adieraztea

Aztertu honako funtzio honen definizioeremua, asintotak eta puntu singularrak:

f (x) = x 42x –2

Irudikatu grafikoa

• Á – {0} eremuan definituta dago eta jarraitua da definizio-eremu osoan. Adierazpenari begiratuta, definizio-eremu osoan deribagarria dela ematen du.

• Simetria: f (–x) = () x x x x 42 42 –––2 2 = = –f (x)

Simetrikoa da koordenatuen jatorriarekiko.

• Asintota bertikala: x = 0

• Asintota zeiharra: y = –2x

Honako zatiketa hau eginez lortzen dugu:

• Puntu singularrak: asintotetatik abiatuta egin dugun kurbaren zirriborroa kontuan hartuz, ematen du ez duela ez maximorik ez minimorik izango. Benetan hala den ikusteko, deribatua aztertuko

EGIN ZUK

Adierazi honako funtzio hau: f (x) = () ()xx x 21 2 34

4. Adar parabolikoak dituen funtzio arrazional bat adieraztea

Aztertu honako funtzio honen definizioeremua, asintotak, tarte gorakorrak eta beherakorrak, eta maximoak eta minimoak: f (x) = () x x 31 3 +

• Definizio-eremua: Á – {–1}. Ez du simetriarik

• Asintota bertikala: x =

EGIN ZUK

Aztertu funtzio honen definizioeremua, asintotak, tarte gorakor eta beherakorrak, eta maximoak eta minimoak, ondoren irudikatzeko: f (x) = () x x 1 4 –2

Irudikatu funtzio honen grafikoa:

(x) = | x + 3 | + | x – 1 | – | 2x + 4 |

Aurrena, adierazi funtzio horri dagokion zatika definituriko funtzioa.

Balio

bakoitza zatika definituriko funtzio moduan adieraziko dugu:

Adierazi funtzio honen grafikoa:

= ln x x 1 3

EGIN ZUK

Adierazi beheko funtzioa, jakinda, x ≥ 0 bada, f ' (x) soilik baliogabetzen dela x = 1,98 denean:

5. Balio absolutu eta guztiko funtzioa

6. Funtzio logaritmikoa

Ebatzitako ariketak eta problemak

7. Beste funtzio batzuen azterketa eta grafikoa

a)

8. Funtzio trigonometrikoak

a) Adierazi honako funtzio hauek: y = cos 2x – cos x

a) Definizio-eremua: Á. Jarraitua eta deribagarria da. Periodikotasuna: 2

b) Adierazi honako funtzio hauek: y = snix 1 r

0 da x = 0 + kπ puntuan → maximoak: (0 + 2kπ, 0), (π + 2kπ, 2), k ∈

y'' > 0 da x = 1,32 + 2kπ eta x = 4,96 + 2kπ puntuetan →

→ minimoak: (1,32 + 2kπ; –1,12), (4,96 + 2kπ; –1,12), k

b) Definizio-eremua: Á – {k}, k ∈ . Jarraitua eta deribagarria da. Periodikotasuna: 2. Bakoitia.

• Ez ditu ardatzak ebakitzen.

• Asintota bertikalak: x = k con k ∈ .

Kurbak asintotarekiko duen posizioa:

lim xk –" y = – ∞ lim xk " + y = + ∞ , k bikoitia bada

lim xk –" y = + ∞ lim xk " + y = – ∞ , k bikoitia bada

• Maximoak eta minimoak: y' = –() sn cos ix x 2 r rr = 0 → x = 1/2 + k, k ∈

Orain, y'' = sn coss n i i x xx 2 3 22 22 r rr rr + deribatuaren zeinua aztertuko dugu.

Zenbakitzailea positiboa da beti. Izendatzailea positiboa da (2k, 1 + 2k) tarterako eta negatiboa (1 + 2k, 2 + 2k) tarterako, k ∈ izanik. Beraz:

y'' > 0 da x = 1/2 + 2k puntuan → minimoak: (1/2 + 2k, 1), k ∈ .

y'' < 0 da x = 3/2 + 2k puntuan → maximoak: (3/2 + 2k, –1), k ∈

EGIN ZUK

Adierazi honako funtzio hauek:

a) y = 2sin x + cos 2x

b) y = cosx 1 r

Ariketa eta problema gidatuak

Beheko grafiko hori kontuan hartuz, deskribatu ikaskide batek grafikoa adierazi ahal izateko beharrezkoak izango diren elementuak

• Adierazi funtzioa non dagoen definituta eta zehaztu jarraitutasuna eta deribagarritasuna.

• Deskribatu, limite baten bidez, asintota horizontala eta kurbak zer posizio duen asintota horrekiko.

• Deskribatu, limiteen bidez, asintota bertikala eta kurbak asintotarekiko zer posizio duen ezkerretik eta eskuinetik.

• Deskribatu asintota zeiharra limiteen bidez. Horietako batean, esan kurbak zer posizio duen asintotarekiko

• Deskribatu zer baldintzaren arabera lortzen diren puntu singularrak. Adierazi maximoak eta minimoak zein diren jakiteko behar diren baldintzak

• Osatu puntu singularrei buruzko informazioa ordenatuak zehaztuz

Soluzioa: Dom f = Á – {1}; deribagarria definizio-eremu osoan

Asintota horizontala x → – ∞ denean: y = 4. Asintota bertikala: x = 1

Asintota zeiharra x → + ∞ denean: y = x – 2

Maximo erlatiboa (3, 2) puntuan. Minimo erlatiboak (–1, –1) eta (5, –2) puntuetan).

Ardatzekin dituen ebaki-puntuak: (–2, 0), (0, 0), (2, 0), (4, 0) eta (6, 0).

2.

Adierazi honako funtzio hau:

Aztertu simetrikoa den. Adierazi zein Soluzioa: den definizio-eremua eta eremu osoan deribagarria den.

Aurkitu funtzioa adierazteko beharrezkoak diren elementuak: asintotak, puntu singularrak, etab.

Kalkulatu zein izan behar diren a, b, c eta d parametroak, f -ren kurbak bi mutur erlatibo izateko 1, 0) eta (0, 1) puntuetan.

f (x) = ax3 + bx2 + cx + d Adierazi funtzioa.

Kalkulatu zein izan behar den k parametroaren balioa, honako funtzio honek:

f (x) = xx xk 41 2 + ++

asintota zeihar moduan y = 4x + 5 izateko.

Adierazi funtzioa.

• Funtzioaren adierazpena erabiliz, f (x) = ax3 + bx2 + cx + d, eta emandako datuak, f (0) = 1, f (1) = 0, f' (0) = 0 eta f ' (1) = 0, sistema bat eratuko dugu: 4 ezezagun eta 4 ekuazio dituen sistema.

• Ebatzi eta adierazi funtzioa.

Asintota zeiharraren ekuazioa lortzeko, egin zatiketa hau: (4x 2 + x + 1) : (x + k)

Kalkulatu k-ren zer baliorekin izango diren berdinak zatidura eta asintotaren ekuazioa, y = 4x + 5. Adierazi funtzioa.

Soluzioa:

1. Grafiko baten deskribapena

Balio absolutua duen funtzio logaritmiko baten adierazpena

3. Funtzio polinomiko parametroduna

4. Funtzio arrazional parametroduna

Trebatzeko

Grafiko baten deskribapena

1 Adierazi Á osoan jarraitua eta deribagarria den funtzio bat, honako hauek kontuan hartuz:

∞ lm i x " + f (x) = +∞ ∞ lm i x – " f (x) = – ∞

f (2) = 1, f ' (x) ≥ 0 edozein x-tarako, f ' (2) = 0

2 y = f (x) funtzio bati buruz honako informazio hau dugu:

D = Á – {1, 4}

lim x 1 –" f (x) = +∞ lim x 1 " + f (x) = – ∞

Funtzioen ezaugarriak

6 Adierazi honako funtzio bakoitzaren definizio-eremua:

a) y =  xx25 –42 + b) y = 3 –  x x 1 2 +

c) y =  xx34 –2 ++ d) y =  x 321 1 –

e) y = ln (4 –  x ) f) y =  () ln x 1 9– 2

g) y =  tg x 1 h ) y =  tg x 1 1 –2

7 Aztertu honako funtzio hauen simetriak:

lim

x 4 –" f (x) = – ∞ lim x 4 " + f (x) = +∞

∞ lm i x ± " f (x) = 0

x → +∞ badoa, f (x) > 0 x → – ∞ badoa, f (x) < 0

f ' (2) = 0, f (2) = –1; f ' (–1) = 0, f (–1) = –1 Adierazi.

3 Irudikatu beheko datu horiek ezagun dituen funtzio baten grafikoa, Á osoan jarraitua eta deribagarria dela jakinda:

∞ lm i x – " f (x) = – ∞ ∞ lm i x " + f (x) = +∞

f ' (x) = 0, baldin eta x = –2, x = 0, x = 3, x = 4 bada f (–2) = 2; f (0) = 0; f (3) = 5; f (4) = 4

4 Adierazi funtzio hauek, bakoitzaren definizio-eremua, simetriak (baldin eta badaude), asintotak eta adar infinituak, puntu singularrak eta tarte gorakorrak eta beherakorrak zehaztuz. Egizu funtzioaren, horren deribatuaren eta zenbait limiteren balioak emanez.

a) y = x 2 + 1 b) y =  x x 3 –2 c) y = tg πx

d) y = e | x | e) y =  || xx x 2 –2 f ) y = 2cos x 2

8 Zehaztu funtzio hauek periodikoak diren, eta hala badira, aurkitu periodoa:

a) y = sin 3x b) y = sin 2πx

c) y = tg πx d) y = sin x + cos 2x

e) y = cos x 2 r bl  · sin x f ) y = sin (x 2 + 1)

9 Aurkitu funtzio hauen asintota bertikalak eta esan zer posizio erlatibo duen kurba bakoitzak asintota horiekiko:

a) y =  x x 1 1 –2 2 + b) y =  x x 9 22 ––2

c) y =  ln x 1 d) y =  () xx xx 2 1 –

–2

1

e) y =  snix 1 1 –2 f ) y =  cos x 2

10 Aurkitu asintota horizontalak eta esan zein den kurba bakoitzak asintotekiko duen posizio erlatiboa.

2 2

a) y =  x x 2 1 –2 + b) y =  x x 2 3 1 ––

x 1 –

c) y =  x x 2 1–2 + d) y =  e e 2 3–|| x

11 Aurkitu funtzio hauen asintota zeiharrak eta adierazi zer posizio erlatibo duen kurba bakoitzak asintotekiko:

a) y =  x xx32 –2 + b) y =  x x x 23 52 –2 + +

c) y =  (/ ) x x 12 2 –2

2 + d) y =  x 35 2 +

5 Deskribatu honako funtzio hau:

Proposatutako ariketak eta problemak

Funtzio polinomikoak

12 Aztertu eta adierazi honako funtzio hauek:

a) y = x 3 + 3x 2 b) y = x 3 – 3x 2 + 5

c) y =  x 4 2 9 –4 x 2 + 10 d) y =  xx 64 5–45

e) y = x 5 – 5x 3 f ) y = (x – 1)3 – 3x

g) y = x 4 – 4x 2 h) y = 1 – (x – 1)3

13 Aztertu honako funtzio hauen adar infinituak, tarte gorakor eta beherakorrak, maximoak, minimoak eta inflexiopuntuak. Adierazi grafiko bidez:

a) y = 3 + (2 – x)3 b) y = 2 – (x – 3)4

c) y = (x + 1)6 – 5 d) y = 3 – (1 – x)3

e) y = x (x – 1) (x + 3) f ) y = (x – 2)2 (x + 1) x 3

14 Adierazi funtzio hauek:

a) y = x 2  – x4 b) y = 3x 4 + x3 – 1

c) y = x 3  – x2 d) y = 2x 3 + 3x2 – 12x

Funtzio arrazionalak

15 Funtzio hauetan, aztertu definizio-eremua, asintotak eta kurbak asintotekiko zer posizio duten, eta lortutako emaitzetatik abiatuta, irudikatu:

Balio absolutudun funtzioak eta zatika definitutako funtzioak

18 Adierazi funtzio hau: f (x) =  ≥ xx xx x x 22 22 0 0 –bada bada < 2 2 + + )

*

16 Irudikatu funtzio hauek, definizio-eremua, asintotak, adar infinituak eta mutur erlatiboak aztertuz:

Gogoan izan zatiki bat zenbakitzailea eta izendatzailea zati (x – a) eginez sinplifikatzen bada, eten saihesgarria dagoela x

a puntuan.

bada bada *

0 0 –

x x 1 1 1

< 2 + +

Aztertu tarte gorakorrak eta beherakorrak, mutur erlatiboak eta kurba.

21 Irudikatu honako funtzio hauen grafikoak eta adierazi zer puntutan diren deribagarriak:

a) y = x + | x + 2 | b) y = 2x – | x – 3 |

c) y = | x | + | x – 3 | d) y = x | x – 1 |

22 f (x) = x 2 | x – 3 | funtzioa izanda:

a) Aurkitu zer puntutan ez den deribagarria f.

b) Kalkulatu maximoak eta minimoak.

c) Adierazi grafiko bidez.

23 Adierazi grafiko bidez honako funtzio hauetako bakoitza:

a) y =  || x 2 1 –b) y =  || x x 1 2 2 +

c) y =  || || x x 1 3 + + d) y = –|x 3  – x 2 + 2|

Beste funtzio mota batzuk

24 Aztertu eta adierazi honako funtzio hauek:

a) y =  x 4– 2 3 b) y =  xx –2

c) y =  xx45 –2 + d) y =  x x 1 –2 2

25 Aztertu eta adierazi honako funtzio hauek:

a) y =  e x x b) y =  ln x x

c) y = x ln x d) y = (x – 1) e x

e) y =  e x–2 f ) y = x 2 e –x

g) y =  ln x x 3 h) y = ln (x 2 – 1)

26 Aztertu eta adierazi honako funtzio hauek:

a) y = sin x + cos x b) y = 2sin x – cos 2x

c) y = cos 2x – cos 4x d) y = 3sin πx + 2

e) y = sin πx – 2 f ) y = tg πx + cos 2πx

Ebazteko

27 Aztertu funtzio hauen definizio-eremua, asintotak eta muturrak, eta informazio hori erabiliz, erlazionatu bakoitzari dagokion grafikoarekin:

32 y = 2x + 6 zuzena honako funtzio honen asintota zeihar bat da: f (x) = xk x 21 –2 +

Aurkitu k-ren balioa eta adierazi horrela lortu duzun funtzioa.

33 f (x) = x 2 · e –ax funtzioa daukagu, a ≠ 0 izanik.

a) Kalkulatu zein izan behar den a-ren balioa funtzio horrek mutur erlatibo bat izateko x = 2 abzisa-puntuan.

b) Sailkatu mutur erlatiboak a = 2 denean.

34 Funtzio hau dugu: f (x) = ax + b +  x 8 kalkulatu zein izan behar diren a-ren eta b-ren balioak f-ren grafikoa (–2, – 6) puntutik igaro dadin, eta puntu horretan ukitzaile horizontala izan dezan. Irudikatu funtzioa a-ren eta b-ren balio horietarak.

35 Aurkitu zein izan behar diren a, b eta c-ren balioak:

f (x) =  x ax bx c 4 –2 2 ++

funtzioak asintota horizontal moduan y = –1 zuzena izateko eta minimo bat edukitzeko (0, 1) puntuan.

36 Partikula bat y = x x 1 2 –2 kurbaren grafikoan zehar mugitzen da, x > 1 kasuan

P (2, –4/3) puntuan, kurba utzi eta kurbarekiko ukitzaile den zuzenean zehar doa.

a) Aurkitu ibilbidea deskribatzen duen zatikako funtzioa.

28 Gogoan izan sinu hiperbolikoa eta kosinu hiperbolikoa honela definitzen direla: sinh x =  ee 2 –xx –cosh x =  ee 2 xx –+

Aztertu funtzio horien maximoak, minimoak eta inflexiopuntuak, eta adierazi grafiko bidez.

29 Zehaztu honako funtzio hauen asintotak:

a) y =  x x 3 1– b) y =  x xx 1 2 ++

30 Aztertu eta irudikatu honako funtzio hauetako bakoitza:

a) y =  ln x x 1 1 –2 2 + eo b) y =  e e 1 1 –x x +

c) y =  ln x x 1 + bl d) y =  xx e 23 –|| x 2 1 –+

31 Kalkulatu zein diren a, b eta

c-ren balioak, jakinda funtzio

hori y = a + b cos c xr bl motakoa dela.

b) Ezkerretik eskuinera mugitzen bada, aurkitu zer puntutan ebakitzen duen partikulak X ardatza.

37 Konposatu bateko nitrogeno-kontzentrazioa (%-tan) funtzio honen bidez emanda dago t ∈ [0, +∞) denboraren arabera (minututan neurtuta): N (t ) =  e12 60 t–+

a) Egiaztatu nitrogeno kontzentrazioa hazi egiten dela denborarekin. Zer t-rekin izango da minimoa nitrogenokontzentrazioa eta zenbatekoa da kontzentrazio hori?

b) Zer baliotara jotzen du nitrogeno-kontzentrazioak denborak infinitura jotzen duenean?

38 Beheko funtzio honek adierazten digu enpresa batek t denboraren poderioz (urteetan) bildutako irabaziak (ehunka mila eurotan) zenbatekoak izan diren azken 5 urteetan:

2 6 2 3 03 35

bada bada 2 ! !

a) Adierazi noiz hazi den irabazi hori eta zehaztu zer unetan egon diren maximo eta minimo lokalak, eta zein balio dagozkion une bakoitzari.

b) Noiz lortu zituen 500 000 €-ko irabaziak?

c) Adierazi b(t) funtzioa.

Proposatutako ariketak eta problemak

Galdera teorikoak

39 Zer esan dezakegu bi maximo eta bi minimo erlatibo dituen funtzio polinomiko bati buruz? Funtzio horretan, egon daiteke minimoetako bat maximoak baino altuago?

40 f (x) funtzio batek ezaugarri hauek ditu:

Dom f = Á – {0} eta jarraitua eta deribagarria da bere definizio-eremu osoan.

∞ lm i x – " f (x) = – ∞ ∞ lm i x " + f (x) = +∞ lim x 0 –" f (x) = +∞ lim x 0 " + f (x) = – ∞

Honako baieztapen hauetatik, esan zein diren ziurrak, zein izan litezkeen eta zein diren ezinezkoak:

a) f (x) bikoitia da.

b) f (x) bakoitia da.

c) Ez du ez maximorik ez minimorik.

d) Maximo bat eta minimo bat ditu.

e) X ardatza bi puntutan ebakitzen du.

f ) X ardatza gutxienez bi puntutan ebakitzen du.

g) Asintota bertikal bat du gutxienez.

h) Asintota bertikal bakarra du.

i) Asintota zeihar bat du.

j) Ahurra da x < 0 denean, eta ganbila, x > 0 denean.

41 Zenbat inflexio-puntu izan ditzake, gehienez, laugarren mailako funtzio polinomiko batek?

42 Egiaztatu y = || x x 1 + funtzioak bi asintota horizontal dituela.

43 y = | x 2 – 4 | kurbaren grafikoaren gainean, adierazi ahurtasun- eta ganbiltasun-tarteak. Zein dira inflexio-puntuak?

44 y = x x 1 1 –2 + ez dago definituta x = 1 eta x = –1 puntuetan; hala ere, asintota bertikal bat du. Arrazoitu

45 Zenbat asintota bertikal izan ditzake funtzio batek? Eta horizontalak?

46 Eman x = 1 puntuan minimo bat duen eta puntu horretan deribagarria izango ez den funtzio baten adibidea. Adierazi.

47 Eman x = 1 puntuan deribagarria den, f ' (1) = 0 deribatua duen eta puntu horretan ez maximorik ez minimorik ez duen funtzio baten adibidea.

48 Irudikatu [0, 4] tartean jarraitua den eta (2, 3) puntuan maximo erlatibo bat eta (3, 4) puntuan minimo erlatibo bat gutxienez izango dituen funtzio bat. Funtzio hori polinomikoa balitz, zer mailatakoa izan beharko litzateke gutxienez?

49 f (x) = x + e –x funtzioak asintotarik du? Asintota badu, aurkitu. 50 Zer simetria mota dute honako funtzio hauek?

51 f (x) funtzioa ezagututa:

zer grafiko dagokien beste funtzio hauei:

f eta g funtzioen grafikoak ditugu:

Erlazionatu ondorengo funtzioak dagozkien adierazpenekin:

f /g II. g/f III. g

Sakontzeko

54 Asintota hitza grafiko batera hurbiltzen diren zuzenak adierazteko erabili badugu ere, esanahi zabalagoa du: bi kurba asintotikoak direla esaten dugu kurbak jatorritik urruntzean horien arteko distantziak zerora jotzen duenean.

Adibidez, y =  x 2 + 1 parabola asintotikoa da y =  x x 1 –2 4

funtzioarekiko (ikusi horren grafikoa 313. orrialdean). Oso erraz egiaztatzen da hala direla, zatiketa eginez:

y =  x x x x 1 1 1 1 2 4 2 2 =+ + . Bi ekuazioen arteko x 1 1 –2 zatidurak 0ra jotzen du x → ± ∞ doanean, Horrez gain, balio positiboak hartzen ditu, eta, beraz, y = f (x) funtzioaren grafikoa parabolaren gainetik dago.

Emaitza horrek funtzioa zehatzago adierazteko modua ematen du, parabolaren adierazpenean oinarrituta:

parabola asintotikoa

zuzen asintotikoak

a) Aurkitu y =  x xx x 28 –32 ++ funtzioarekiko parabola asintotikoa. Zer posizio du kurbak parabola horrekiko.

b) Adierazi funtzioa datu horiek erabiliz, baita asintota bertikala eta puntu singularra ere (bakarra, x = 2 puntuan).

1 Irudikatu f funtzioaren grafikoa, honako hau jakinda:

∞ lm i x " + f (x) = +∞ , ∞ lm i x – " f (x) = –3, lm i x –3 " f (x) = – ∞ f ' (–5) = 0; f ' (0) = 0; f (–5) = 0; f (0) = 2

2 Deskribatu funtzio hauek:

3 Irudikatu Á osoan jarraitua den funtzio bat, kontuan hartuz minimo erlatibo bat duela (1, 6) puntuan, eta maximo erlatibo bat, (6, 2) puntuan. Polinomio bat bada, zein mailatakoa izango da, gutxienez?

55 Aztertu kurba hauen eta horien parabola asintotikoen posizio erlatiboak. Adierazi lortutako informazioa:

56 10.5 ataleko 1. ariketa ebatzian, prozedura erraz bat ikusi genuen y = xx 2 –2 funtzioaren asintotak urrats hauen bidez kalkulatzeko: () || xx xx21 –≈11 –22 = Lortu beste funtzio hauen asintotak modu berean:

57 f funtzio bat periodikoa bada, g [ f (x)] ere periodikoa da, berdin dio g (x) zein den, izan ere f funtzioa T periodoko funtzioa bada, orduan f (x + kT ) = f (x) da. Beraz: g [f (x + kT )] = g [f (x)], hau da g ° f periodikoa da Baina, oro har, f [g (x)] ez da periodikoa, izan ere f [ g (x + kT )] ≠ f [g(x)] da g(x + kT) ≠ g(x) delako.

Baieztapen horiek aintzat hartuta, adierazi honako funtzio hauetako zein diren periodikoak eta zein ez diren.

a) y = 2sin x b) y = sin2 x c) y = sin x2

d) y =  snix e) y = sin x f ) y = sin 2x

* Gogoan izan f funtzio bat T periododuna bada, orduan f(mx + n) ere periodikoa dela, eta bere periodoa T/m dela.

4 Adierazi honako funtzio hauek:

a) f (x) = |x + 3| + |x – 1| b) g (x) =  () ln x x x x x 1 1 21 1 1 ––

bada ≥bada < 2 + *

5 Adierazi funtzio hauek:

a) f (x) =  () x x 2 1 2 + + b) g (x) =  () x e 1 x

2 +

6 Kalkulatu y = ln (–x 2 + 1) funtzioak ardatzekin dituen ebakipuntuak eta puntu singularrak. Zehaztu zer tartetan den gorakorra eta zeinetan beherakorra, eta egin grafikoaren zirriborroa.

7 Aurkitu f (x) = x x 3 + funtzioaren maximoak eta minimoak. Esan asintotarik duen eta adierazi grafiko batean.

8 Aztertu funtzio hauek eta adierazi grafiko bidez:

a) 3x 4 + 4x 3 – 12x 2 b) y = sin 2x + 2cos x

AUTOEBALUAZIOA ➜ anayaharitza.es Ariketa hauen ebazpena.

© GRUPO ANAYA, S.A., 2022 - C/ Valentín Beato, 21 - 28037 Madrid.

Eskubide guztiak gordeta. Legeak lan honen edukia babestu eta espetxe-zigorrak edota isunak eta kalte-galeren ondoriozko kalte-ordainak ezartzen ditu honako hauentzat: edozein literatura-lan, artelan zein zientzia-lan, edo horren eraldaketa, interpretazioa edo gauzapena (edozein euskarritan finkatuta edo edozein eratan komunikatuta), oso-osorik edo zati batean, baimenik gabe erreproduzitu, plagiatu, banatu edo komunikatzen dutenentzat.