Proposatutako ariketak eta problemak

Funtzio baten koefizienteak

17 f (x) = 1 + x a x 6 2 + funtzioa izanda, kalkulatu a-ren balioa zein den f (x) funtzioak x = 3 abzisa-puntuan mutur erlatibo bat duela jakinda. Maximo bat da, ala minimo bat?

18 f (x) = ax 3 + bx funtzioari buruz badakigu (1, 1) puntutik igarotzen dela eta puntu horretan 3x + y = 0 zuzenarekiko paraleloa den ukitzaile bat duela. Aurkitu a eta b

19 Aurkitu x = 2 abzisa-puntuan mutur erlatibo bat duen eta P (1, 2) puntuan inflexio-puntu bat duen f (x) = x 3 + ax 2 + bx + c funtzioa.

20 Kalkulatu f (x) = x 4 + ax 3 + bx 2 + cx funtzioaren a, b eta c koefizienteak, honako hau jakinda: a) x = 0 puntuan duen ukitzailea y = x da. b) Mutur erlatibo bat du (–1, 0) puntuan.

21 Zer balio izan behar dute a, b, c eta d koefizienteek f (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d funtzioak maximo erlatibo bat izateko (0, 4)-n eta minimo erlatibo bat (2, 0)-n.

22 f (x) = x 4 + ax 2 + bx eta g(x) = x – cx 2 funtzioak (1, 0) puntutik igarotzen dira. Zehaztu zein izan behar diren a, b eta c koefizienteak, puntu horretan zuzen ukitzaile bera izan dezaten, eta kalkulatu ezazu.

23 y = ax4 + 3bx3 – 3x2 – ax funtzioa izanda, kalkulatu a eta b koefizienteen balioak, kontuan hartuz bi inflexio-puntu dituela: x = 1 puntuan eta x = 1/2 puntuan.

24 y = x3 + ax2 + bx + c kurbak abzisa-ardatza ebakitzen du x = –1 puntuan eta inflexio-puntu bat du (2, 1) puntuan. Kalkulatu a, b eta c.

25 f (x) = x3 + ax2 + bx + c funtzioak hauek betetzen ditu: f(1) = 1, f ' (1) = 0 eta f-k ez duela mutur erlatiborik x = 1 puntuan. Kalkulatu a, b eta c

26 f (x) = x 3 + ax 2 + bx + 5 da. Aurkitu zein izan behar diren a eta b koefizienteak y = f(x) kurbak ukitzaile horizontaleko inflexio-puntu bat izan dezan x = 1 puntuan.

27 Aurkitu zein izan behar den c-ren balioa y = xc e x 2 + funtzioak puntu kritiko bakarra izan dezan.

Maximo bat da, minimo bat edo inflexio-puntu bat?

28 a) Kalkulatu zer balio izan behar duten a eta b parametroek honako funtzio hau deribagarri izateko: f (x) = e x x 1 0 –bada bada < x 2 ≥ xaxb x 0 ++ * b) Aurkitu mutur erlatiboak a = –2, b = 1 kasuan.

Ebazteko

29 Aurkitu x 2 – y 2 + 2x – 6 = 0 kurbak y = 3 ordenatu-puntuetan dituen zuzen ukitzailearen eta zuzen normalaren ekuazioak.

30 (x – 3)2 + (y + 2)2 = 16 zirkunferentzia izanik, zehaztu zer puntutan izango den zuzen ukitzailea lehenengo koadranteko erdikariarekiko paralelo.

31 Kurba hau daukagu: y = arc tg x x 1 1 –+ Idatzi x – 2y + 3 = 0 zuzenarekiko paraleloa ere baden zuzen ukitzailearen ekuazioa.

32 Aurkitu x = e abzisa-puntuan y = x x/2 kurbarekiko ukitzaile izango den zuzenaren ekuazioa.

33 Aurkitu zer angelu eratzen duten f(x) eta g(x) funtzioek 2 abzisa-puntuan dituzten zuzen ukitzaileek: f (x) = 2x – x 2 g (x) = x 2 – x – 2

34 f (x) = | x – 3|(x + 1) funtzioa izanda, aurkitu zer puntutan diren ukitzaileak y = 6x – 2 zuzenarekiko paraleloak.

35 f (x) = 4 – x 2 funtzioa emanda, hau eskatzen da: a) Kurbako zer puntutan den ukitzailea (–1, 3) eta (2, 0) puntuak lotzen dituen kordarekiko paraleloa. b) Zein diren (–2, 1) puntutik igaro eta kurbarekiko ukitzaile diren zuzenak.

36 Aurkitu f (x) = x 3 + 3x 2 – 1 kurbarekiko ukitzaileen artean, malda minimoa duen zuzenaren ekuazioa.

37 y = x 3 1 2 + kurba izanda: a) Adierazi kurbak x puntuan daukan zuzen ukitzailearen malda ematen duen m(x) funtzioa. b) Kalkulatu x-ren zer baliorekin lortzen den malda maximoa.

38 Aurkitu honako funtzio honen definizio-eremua eta tarte gorakorrak eta beherakorrak: f (x) = ln x x 1 1 –2 2 + e o

39 Aztertu funtzio honen hazkunde-tarteak, eta maximoak eta minimoak: y = |x 2 + 2x – 3|

40 Aztertu y = |x2 – 4| funtzioak maximo eta minimo erlatibo eta absoluturik duen.

41 Aurkitu a-ren balioa f (x) = x 2 ln a x funtzioak, a > 0 izanik, puntu singularra izateko x = e puntuan.

42 f (x) =

≤ ln ax bx c xx x x 0 0 bada bada > 2 ++ funtzioa daukagu.

Zehaztu zein izan behar diren a, b eta c funtzio hori jarraitua izateko, x = –1 puntuan maximo bat izateko eta x = –2 puntuko ukitzailea y = 2x zuzenarekiko paralelo izateko.

2 2 + ++ xmxn

52 Kono itxurako ontzi bat egin nahi dugu, 10 cm-ko sortzailea eta edukiera maximoa izango dituena. Zein izan behar da oinarriaren erradioa?

53 10 cm-ko aldea duen karratu batean 50 cm2-ko alboko azalera duen zilindro bat dugu. Zein izan behar da erradioa bolumena maximoa izateko?

≤

Kalkulatu m, n eta p-ren balioak f deribagarria izateko

Á osoan eta mutur erlatibo bat izateko x = 2 1 – puntuan b) Maximo bat ala minimo bat da? c) Aztertu beste puntu singularrik dagoen eta irudikatu funtzioa. a) Zehaztu a-ren eta b-ren balioak, f (x) funtzioak x = 0 puntuan deribagarria dela jakinda. b) Puntu singularrik du?

≤ xe ab x x x 20 0 –si si > x–+ * .

45 Aurkitu y = x 2 – 1 parabolako zer puntu egongo diren

A 2, 2 1 dn puntutik gutxieneko distantziara.

46 Kalkulatu funtzio hauen mutur erlatiboak, tarte gorakor eta beherakorrak, eta ahurtasun- eta ganbiltasun-tarteak: a) f (x) = x 2 + | x – 2 | b) f (x) = 3e –2| x | b) h (x)-k mutur absoluturik du? h

47 Calcula el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo [–2, 3] de la función f (x) = ln (x 2 + 1) + (x – 3).

48 a) f (x) = x 4 + x 3 + x 2 – x + 1 funtzioko P (x, f (x)) puntuaren koordenatuen arteko batura h (x) dela jakinda, kalkulatu h (x)-ren mutur erlatiboak.

49 P(x, y) puntua x y 25 9 2 2 + = 1 elipsean zehar dabil.

Esan P puntuak zer posiziotan izango duen (0, 0) punturainoko distantzia maximoa, baita zer puntutan izango duen distantzia minimoa.

50 x eta y bi zenbaki positiboren biderkadura 16 da. Izan daiteke x + y batura 7 baino txikiagoa? Arrazoitu.

51 Laukizuzen itxurako lursail bat 100 m hesi metaliko erabilita itxi nahi da. Sailaren alde batean 20 m hesi gabe irekita uztea erabaki da, atea jartzeko. Kalkulatu horrela itxi daitekeen azalera maximoko lursail laukizuzenaren alde guztien dimentsioak. Kalkulatu, horrez gain, azalera maximo horren balioa.

10 cm r

10 cm

54 Triangelu isoszele batek 12 cm-ko oinarria du (alde desberdina), eta 10 cm-ko altuera. Bertan laukizuzen bat inskribatu dugu, aldeetako bat triangeluaren oinarrian jarriz, eta bi erpin, alde berdinen gainean: a) Adierazi laukizuzenaren A azalera x oinarriaren funtzioan eta esan zein den funtzioaren definizio-eremua. b) Kalkulatu funtzio horren balio maximoa.

55 Meta 7.3. Oinarri karratua eta 80 cm3-ko edukiera duen prisma erregular baten itxurako ontzi bat egin nahi dugu. Tapa eta alboko gainazala egiteko, material jakin bat erabiliko dugu; baina oinarrirako, % 50 garestiagoa den beste bat erabili behar dugu. Kalkulatu zer neurri izan behar duen ontzi horrek prezioa ahalik eta txikiena izateko.

56 12 m-ko eta 18 m-ko altuera duten bi poste bata bestetik 30 m-ra daude. Kable bat bota nahi dugu, poste horien artean lurzoruan dagoen puntu bat posteen muturrekin lotzeko. Non jarri behar da lurzoruko puntua kablearen luzera osoa minimoa izateko?

57 (1, 2) puntutik igarotzen diren zuzen guztien artean, aurkitu zeinek zehazten duen koordenatuen ardatzekin, lehenengo koadrantean, azalera minimoko triangelu bat.

58 Liburu bateko orrialde bakoitzak 600 cm2-ko azalera izan behar du, eta testuaren inguruan 2 cm-ko marjina utzi behar da goialdean, 3 cm-koa behealdean, eta 2 cm-koa alboetan. Kalkulatu orrialdearen zer dimentsiok emango duten aukera inprimatutako azalera ahalik eta handiena izateko.

59 Laukizuzen batek erpinak (0, 0), (a, 0), (0, b) eta (a, b) puntuetan ditu, jakinda a > 0, b > 0 direla eta gainera, (a, b) puntua y = x 1 2 + 9 ekuazioa duen kurban dagoela

Baldintza horiek betetzen dituzten laukizuzen guztien artean, zehaztu azalera minimoko laukizuzena eta kalkulatu azalera minimo hori.