Funtzio baten maximo eta minimo erlatiboak

Puntu batean maximo erlatibo bat egoteak esan nahi du funtzioak, puntu horretan, inguruko puntuetan baino gehiago balio duela. Ikus dezagun eragiketei begira lagungarriagoa izango den definizioa: f funtzioak maximo erlatibo bat du x0 abzisa-puntuan, baldin eta x0 puntuaren

E = (x0 – a, x0 + a) eremuren bat badago, x ∈ E, x ≠ x0 izanez gero f (x) < f (x0) betetzen duena. Hau da, gorakorra da x0-ren ezkerrera, eta beherakorra, eskuinera. Modu berean definitzen da minimo erlatiboa.

Maximoetan eta minimoetan, deribatua 0 da f (x) deribagarria bada x0 puntuan eta maximo edo minimo bat badu bertan, orduan f ' (x0) = 0. Hau da: f (x) maximoa edo minimoa x0 puntuan ⇒ f ' (x0) = 0

Dena dela, gerta daiteke f ' (x0) = 0 izatea eta ez egotea ez maximorik ez minimorik x0 puntuan maximo erlatiboa minimo erlatiboa ez dago maximorik ez minimorik. inflexio-puntua da.

P Untu Singularrak

Ukitzaile horizontaleko puntuei, hau da, f ' (x) = 0 betetzen duten puntuei puntu singular edo puntu kritiko esaten zaie.

Puntu singular bat izan daiteke: maximoa f gorakor izatetik beherakor izatera igarotzen da minimoa f beherakor izatetik gorakor izatera igarotzen da inflexiopuntua ez dago aldaketarik hazkundean

Egiaztapenaren Ideia

x0 puntuan maximoa badago: f deribagarria denez x0-n, hau beteko da: f ' (x0) = () ()fx''fx00 –= + ⇒ f ' (x0) = 0

— Deribatua x0 puntuan, ezkerretik, 0 edo 0 baino handiagoa da.

— Deribatua x0 puntuan, eskuinetik, 0 edo 0 baino txikiagoa da.

Beraz, deribatua x0 puntuan 0 da.

Adibidea: ikus ditzagun y = 3x 5 – 5x 3 funtzioaren maximoak eta minimoak. Funtzio horren deribatua, f ' (x) = 15(x 4 – x 2) = 15(x – 1) x 2 (x + 1), baliogabetu egiten da –1, 0 eta 1 puntuetan. Nola jakin puntu horietako bakoitzean maximorik edo minimorik dagoen?

— Deribatuaren zeinua aztertuko dugu puntu horren eskuinera eta ezkerrera. Adibidez:

Eta antzekoa gertatzen da minimoekin ere.

' ' f f 0990 1010 beherakorra da 1enezkerrera gorakorra da 1eneskuinera < > 4 Minimo bat dago x = 1 puntuan

(, )

(, )

Edo bestela, hiru puntuak eta adar infinituak adieraziko ditugu. Funtzioa deribagarria denez eta, beraz, jarraitua denez Á osoan, puntuak lotzean funtzioak puntu bakoitzean zer jokabide duen ikusten da

Ikusten dugunez, maximo bat dago x = –1 puntuan, minimo bat x = 1 puntuan eta inflexio-puntu bat x = 0 puntuan.

1 Egiaztatu y = x 3/(x – 2)2 funtzioak bi puntu singular baino ez dituela, x = 0 eta x = 6 puntuetan. Aurkitu zer motatakoa den bi puntu singular horietako bakoitza; horretarako, deribatuaren zeinua aztertu behar duzu

2 a) Aurkitu y = –3x 4 + 4x 3 funtzioaren puntu singular guztiak (abzisa eta ordenatua). Adierazpen egokia erabiliz, esan zer motatakoa den bakoitza. b) Egin gauza bera y = x 4 + 8x 3 + 22x 2 + 24x + 9 funtzioaren kasuan

Ahurtasuna, ganbiltasuna eta inflexio-puntua

Azter dezagun honako grafiko hau:

Goitik ikusita, zentzuzkoa da BC eta DE tarteak ahurrak direla esatea, eta AB eta CD tarteak ganbilak direla esatea, ezta? Kurba hori ahur izatetik ganbil izatera (edo alderantziz) pasatzen den B, C, D puntuak inflexio-puntuak dira y = f (x) kurba dugu. Kurba horrek P puntuan duen zuzen ukitzailea marraztuko dugu, y = t (x) ekuazioduna. Orduan:

Kurbatura mota (ahurtasuna, ganbiltasuna edo inflexioa) bereizteko modurik onena da kurbak bere ukitzailearekiko duen posizioa aztertzea, ondoren egingo dugun moduan.

P-tik hurbil f (x) > t (x) bada, kurba ahurra da P-n

P-tik hurbil f (x) < t (x) bada, kurba ganbila da P-n

Ukitzaileak kurba P puntuan zeharkatzen badu, hau da, P-ren ezkerrera f (x) < t (x) bada, eta eskuinera f (x) > t (x) (edo alderantziz), P inflexio-puntua da.

Kurbak bigarren deribatuarekin duen erlazioa

Aztertu grafiko hau:

Erreparatu AB tarteari. Adierazita dauden lau ukitzaileek gero eta malda txikiagoa dute. Horrek adierazten digu tarte horretan, f ' beherakorra dela, eta, beraz, deribatua ( f '-ren deribatua) negatiboa da. Beste horrenbeste gertatzen da CD tartean.

Eta kontrakoa gertatzen da BC eta DE tarteetan: ukitzaileek malda handitu egiten da eta, beraz, f ' gorakorra da eta f '-ren deribatua positiboa da. Orokorrean: f funtzioak x0 puntuan bigarren deribatua badu, hau betetzen da: f ahurra da x0-n ⇒ f ' gorakorra da x0-n ⇒ f '' (x0) ≥ 0 f ganbila da x0-n ⇒ f ' beherakorra da x0-n ⇒ f '' (x0) ≤ 0 f -k inflexio-puntu bat du x0-n ⇒ f '' (x0) = 0 dago. da. f-ren grafikoaren gainean dago. da. Ukitzailea f-ren grafikoaren «zeharkatzen» du.

KONTUAN HARTU

Inplikazio horiek kurbaren formatik abiatuta f '' bigarren deribatuaren joerari buruzko ondorioak ateratzeko balio dute.

Kurba mota bereizteko irizpidea

Interesatzen zaiguna kurbaren adierazpen analitikotik abiatuta haren formari buruzko informazioa lortzea denez, ikus dezagun nolakoak diren ikusi berri ditugun inplikazioen kontrakoak: f '' (x0) > 0 ⇒ f ahurra da x0 f '' (x0) < 0 ⇒ f ganbila da x0 f '' (x0) = 0 y f ''' (x0) ≠ 0 ⇒ f-k inflexio-puntu bat du x0-n

Maximoak eta minimoak identifikatzeko aplikatzea f ' (x0) = 0 bada eta f '' (x0) existitzen bada, orduan: f '' (x0) > 0 ⇒ f-k minimo erlatibo bat du x0-n f '' (x0) < 0 ⇒ f-k maximo erlatibo bat du x0-n (Egiaztapena 291. orrialdean ikusiko dugu).

1 Aztertu funtzio honen kurba: f (x) = x 3 + 3x 2 .

Funtzioaren bigarren deribatua lortuko dugu: f ' (x) = 3x 2 + 6x f '' (x) = 6x + 6 minimoa (ahurra) maximoa (ganbila)

Bigarren deribatua zer baliok baliogabetzen duten aurkituko dugu: f '' (x) = 0 → 6x + 6 = 0 → x = –1 f (–1) = (–1)3 + 3(–1)2 = 2 f ''' (x) = 6 ≠ 0 denez, I (–1, 2) puntua inflexio-puntu bat da.

• f '' (x) = 6x + 6 < 0 ⇔ x < –1 f ''' (x) = 6 ≠ 0 denez, I (–1, 2) puntua inflexio-puntu bat da.

• f '' (x) = 6x + 6 > 0 ⇔ x > –1

–1etik + ∞-ra, kurba ahurra da; izan ere, f '' (x) > 0

➜ anayaharitza.es

Indartzeko ariketak: bigarren deribatuaren erabilerak

Pentsatu eta praktikatu

Aztertu

2 Aztertu funtzio honen kurba: y = x