Proposatutako ariketak eta problemak

Galdera teorikoak

39 Zer esan dezakegu bi maximo eta bi minimo erlatibo dituen funtzio polinomiko bati buruz? Funtzio horretan, egon daiteke minimoetako bat maximoak baino altuago?

40 f (x) funtzio batek ezaugarri hauek ditu:

Dom f = Á – {0} eta jarraitua eta deribagarria da bere definizio-eremu osoan.

∞ lm i x – " f (x) = – ∞ ∞ lm i x " + f (x) = +∞ lim x 0 –" f (x) = +∞ lim x 0 " + f (x) = – ∞

Honako baieztapen hauetatik, esan zein diren ziurrak, zein izan litezkeen eta zein diren ezinezkoak: a) f (x) bikoitia da. b) f (x) bakoitia da. c) Ez du ez maximorik ez minimorik. d) Maximo bat eta minimo bat ditu. e) X ardatza bi puntutan ebakitzen du. f ) X ardatza gutxienez bi puntutan ebakitzen du. g) Asintota bertikal bat du gutxienez. h) Asintota bertikal bakarra du. i) Asintota zeihar bat du. j) Ahurra da x < 0 denean, eta ganbila, x > 0 denean.

41 Zenbat inflexio-puntu izan ditzake, gehienez, laugarren mailako funtzio polinomiko batek?

42 Egiaztatu y = || x x 1 + funtzioak bi asintota horizontal dituela.

43 y = | x 2 – 4 | kurbaren grafikoaren gainean, adierazi ahurtasun- eta ganbiltasun-tarteak. Zein dira inflexio-puntuak?

44 y = x x 1 1 –2 + ez dago definituta x = 1 eta x = –1 puntuetan; hala ere, asintota bertikal bat du. Arrazoitu

45 Zenbat asintota bertikal izan ditzake funtzio batek? Eta horizontalak?

46 Eman x = 1 puntuan minimo bat duen eta puntu horretan deribagarria izango ez den funtzio baten adibidea. Adierazi.

47 Eman x = 1 puntuan deribagarria den, f ' (1) = 0 deribatua duen eta puntu horretan ez maximorik ez minimorik ez duen funtzio baten adibidea.

48 Irudikatu [0, 4] tartean jarraitua den eta (2, 3) puntuan maximo erlatibo bat eta (3, 4) puntuan minimo erlatibo bat gutxienez izango dituen funtzio bat. Funtzio hori polinomikoa balitz, zer mailatakoa izan beharko litzateke gutxienez?

49 f (x) = x + e –x funtzioak asintotarik du? Asintota badu, aurkitu. 50 Zer simetria mota dute honako funtzio hauek?

51 f (x) funtzioa ezagututa: zer grafiko dagokien beste funtzio hauei: f eta g funtzioen grafikoak ditugu:

Erlazionatu ondorengo funtzioak dagozkien adierazpenekin: f /g II. g/f III. g

Sakontzeko

54 Asintota hitza grafiko batera hurbiltzen diren zuzenak adierazteko erabili badugu ere, esanahi zabalagoa du: bi kurba asintotikoak direla esaten dugu kurbak jatorritik urruntzean horien arteko distantziak zerora jotzen duenean.

Adibidez, y = x 2 + 1 parabola asintotikoa da y = x x 1 –2 4 funtzioarekiko (ikusi horren grafikoa 313. orrialdean). Oso erraz egiaztatzen da hala direla, zatiketa eginez: y = x x x x 1 1 1 1 2 4 2 2 =+ + . Bi ekuazioen arteko x 1 1 –2 zatidurak 0ra jotzen du x → ± ∞ doanean, Horrez gain, balio positiboak hartzen ditu, eta, beraz, y = f (x) funtzioaren grafikoa parabolaren gainetik dago.

Emaitza horrek funtzioa zehatzago adierazteko modua ematen du, parabolaren adierazpenean oinarrituta: parabola asintotikoa zuzen asintotikoak a) Aurkitu y = x xx x 28 –32 ++ funtzioarekiko parabola asintotikoa. Zer posizio du kurbak parabola horrekiko. b) Adierazi funtzioa datu horiek erabiliz, baita asintota bertikala eta puntu singularra ere (bakarra, x = 2 puntuan).

1 Irudikatu f funtzioaren grafikoa, honako hau jakinda:

∞ lm i x " + f (x) = +∞ , ∞ lm i x – " f (x) = –3, lm i x –3 " f (x) = – ∞ f ' (–5) = 0; f ' (0) = 0; f (–5) = 0; f (0) = 2

2 Deskribatu funtzio hauek:

3 Irudikatu Á osoan jarraitua den funtzio bat, kontuan hartuz minimo erlatibo bat duela (1, 6) puntuan, eta maximo erlatibo bat, (6, 2) puntuan. Polinomio bat bada, zein mailatakoa izango da, gutxienez?

55 Aztertu kurba hauen eta horien parabola asintotikoen posizio erlatiboak. Adierazi lortutako informazioa:

56 10.5 ataleko 1. ariketa ebatzian, prozedura erraz bat ikusi genuen y = xx 2 –2 funtzioaren asintotak urrats hauen bidez kalkulatzeko: () || xx xx21 –≈11 –22 = Lortu beste funtzio hauen asintotak modu berean: a) y = 2sin x b) y = sin2 x c) y = sin x2 d) y = snix e) y = sin x f ) y = sin 2x

57 f funtzio bat periodikoa bada, g [ f (x)] ere periodikoa da, berdin dio g (x) zein den, izan ere f funtzioa T periodoko funtzioa bada, orduan f (x + kT ) = f (x) da. Beraz: g [f (x + kT )] = g [f (x)], hau da g ° f periodikoa da Baina, oro har, f [g (x)] ez da periodikoa, izan ere f [ g (x + kT )] ≠ f [g(x)] da g(x + kT) ≠ g(x) delako.

Baieztapen horiek aintzat hartuta, adierazi honako funtzio hauetako zein diren periodikoak eta zein ez diren.

* Gogoan izan f funtzio bat T periododuna bada, orduan f(mx + n) ere periodikoa dela, eta bere periodoa T/m dela.

4 Adierazi honako funtzio hauek: a) f (x) = |x + 3| + |x – 1| b) g (x) = () ln x x x x x 1 1 21 1 1 –– bada ≥bada < 2 + *

5 Adierazi funtzio hauek: a) f (x) = () x x 2 1 2 + + b) g (x) = () x e 1 x

2 +

6 Kalkulatu y = ln (–x 2 + 1) funtzioak ardatzekin dituen ebakipuntuak eta puntu singularrak. Zehaztu zer tartetan den gorakorra eta zeinetan beherakorra, eta egin grafikoaren zirriborroa.

7 Aurkitu f (x) = x x 3 + funtzioaren maximoak eta minimoak. Esan asintotarik duen eta adierazi grafiko batean.

8 Aztertu funtzio hauek eta adierazi grafiko bidez: a) 3x 4 + 4x 3 – 12x 2 b) y = sin 2x + 2cos x