Ariketa eta problema gidatuak

1. Zuzen batekiko ukitzaile perpendikularra

Idatzi x + y – 2 = 0 zuzenarekiko perpendikularrak izan eta f (x) = 4x 3 – 2x + 1 funtzioarekiko ukitzaile diren zuzenen ekuazioak

• Zuzenaren malda m bada, bere perpendikularrarena da m –1

• Ukitze-puntuak lortzeko, ebatzi f ' (x) = m –1 ekuazioa.

• Ukitze-puntuak zein diren jakinda, eskatutako ekuazioak idatziko ditugu

Soluzioa: y = x; y = x + 2

2. Ahurtasun- eta ganbiltasun-tarteak

Esan zein diren honako funtzio honen ahurtasun- eta ganbiltasun-tarteak eta inflexio-puntuak: f (x) = x x 1 –2 2

3.

Kalkulatu honako funtzio honek [–1, 2] tartean dituen maximo eta minimo absolutuak: f (x) = ln (x 2 + x + 1) – x f (x) = x xx47 –2 + funtzioa izanda, egiaztatu f ' (c) = 4 betetzen duen c ∈ (1, 3) balio bat dagoela.

• Ebatzi f '' (x) = 0 ekuazioa

• Gogoan izan inflexio-puntu bat egoteko kurba ganbila izatetik ahurra izatera igaro behar dela, edo alderantziz.

• Kontuan izan funtzioaren definizio-eremua, f '' (x)-ren zeinua zer tartetan aztertu behar duzun erabakitzeko.

Soluzioa:

Ahurra (– ∞, –1) ∪ (1, +∞) tartean eta ganbila (–1, 1) tartean. Ez du inflexio-punturik

• Aztertu f (x)-ren definizio-eremua eta emandako tartean jarraitua den

• Gogoan izan tarte itxi batean jarraitua den funtzio batek maximo eta minimo absolutuak tartearen muturretan lortzen dituela, edo, bestela, mutur erlatiboetan

• Lortu mutur erlatiboen abzisak. Kalkulatu f (x)-ren balioa puntu horietan eta konparatu x = –1 eta x = 2 puntuetan dituenekin.

Soluzioa: Maximo absolutua (–1, 1) puntuan du, eta minimo absolutua, (2, ln 7 – 2) puntuan.

• Aztertu f (x)-ren definizio-eremua eta [1, 3] tartean jarraitua den.

• Aurkitu f (x)-ren deribatua, logaritmoak hartuz.

• Egiaztatu deribatua existitzen dela (1, 3) tartean. Erabili batezbesteko balioaren teorema eta lortu c.

Soluzioa: f (x) jarraitua da [1, 3] tartean eta deribagarria (1, 3) tartean. Beraz, existitzen da f ' (c) = () () ff 31 31 4 ––= betetzen duen c balio bat f (x) = x 2 e –ax da a ≠ 0 izanik. a) Kalkulatu zein izan behar den a-ren balioa funtzioak mutur erlatibo bat izan dezan x = 2 abzisa-puntuan. b) Sailkatu mutur erlatiboak a = 2 den kasuan. a) Mutur erlatiboak f ' (x) = 0 ekuazioaren soluzioen artean daude. Ekuazio horren soluzioetako bat a-ren araberakoa da. x = 2 kasuan, a-ren balioa lortuko dugu b) Aztertu f ' (x)-ren zeinua puntu singularrek zehazten dituzten tarteetan

Soluzioa: a) a = 1 b) Minimo erlatibo bat du (0, 0) puntuan, eta maximo erlatibo bat, (1, e –2) puntuan