Proposatutako ariketak eta problemak

Funtzio polinomikoak

12 Aztertu eta adierazi honako funtzio hauek: a) y = x 3 + 3x 2 b) y = x 3 – 3x 2 + 5 c) y = x 4 2 9 –4 x 2 + 10 d) y = xx 64 5–45 e) y = x 5 – 5x 3 f ) y = (x – 1)3 – 3x g) y = x 4 – 4x 2 h) y = 1 – (x – 1)3

13 Aztertu honako funtzio hauen adar infinituak, tarte gorakor eta beherakorrak, maximoak, minimoak eta inflexiopuntuak. Adierazi grafiko bidez: a) y = 3 + (2 – x)3 b) y = 2 – (x – 3)4 c) y = (x + 1)6 – 5 d) y = 3 – (1 – x)3 e) y = x (x – 1) (x + 3) f ) y = (x – 2)2 (x + 1) x 3

14 Adierazi funtzio hauek: a) y = x 2 – x4 b) y = 3x 4 + x3 – 1 c) y = x 3 – x2 d) y = 2x 3 + 3x2 – 12x

Funtzio arrazionalak

15 Funtzio hauetan, aztertu definizio-eremua, asintotak eta kurbak asintotekiko zer posizio duten, eta lortutako emaitzetatik abiatuta, irudikatu:

Balio absolutudun funtzioak eta zatika definitutako funtzioak

18 Adierazi funtzio hau: f (x) = ≥ xx xx x x 22 22 0 0 –bada bada < 2 2 + + )

*

16 Irudikatu funtzio hauek, definizio-eremua, asintotak, adar infinituak eta mutur erlatiboak aztertuz:

Gogoan izan zatiki bat zenbakitzailea eta izendatzailea zati (x – a) eginez sinplifikatzen bada, eten saihesgarria dagoela x a puntuan. bada bada *

0 0 – x x 1 1 1

< 2 + +

Aztertu tarte gorakorrak eta beherakorrak, mutur erlatiboak eta kurba.

21 Irudikatu honako funtzio hauen grafikoak eta adierazi zer puntutan diren deribagarriak: a) y = x + | x + 2 | b) y = 2x – | x – 3 | c) y = | x | + | x – 3 | d) y = x | x – 1 |

22 f (x) = x 2 | x – 3 | funtzioa izanda: a) Aurkitu zer puntutan ez den deribagarria f. b) Kalkulatu maximoak eta minimoak. c) Adierazi grafiko bidez.

23 Adierazi grafiko bidez honako funtzio hauetako bakoitza: a) y = || x 2 1 –b) y = || x x 1 2 2 + c) y = || || x x 1 3 + + d) y = –|x 3 – x 2 + 2|

Beste funtzio mota batzuk

24 Aztertu eta adierazi honako funtzio hauek: a) y = x 4– 2 3 b) y = xx –2 c) y = xx45 –2 + d) y = x x 1 –2 2

25 Aztertu eta adierazi honako funtzio hauek: a) y = e x x b) y = ln x x c) y = x ln x d) y = (x – 1) e x e) y = e x–2 f ) y = x 2 e –x g) y = ln x x 3 h) y = ln (x 2 – 1)

26 Aztertu eta adierazi honako funtzio hauek: a) y = sin x + cos x b) y = 2sin x – cos 2x c) y = cos 2x – cos 4x d) y = 3sin πx + 2 e) y = sin πx – 2 f ) y = tg πx + cos 2πx

Ebazteko

27 Aztertu funtzio hauen definizio-eremua, asintotak eta muturrak, eta informazio hori erabiliz, erlazionatu bakoitzari dagokion grafikoarekin:

32 y = 2x + 6 zuzena honako funtzio honen asintota zeihar bat da: f (x) = xk x 21 –2 + a) Kalkulatu zein izan behar den a-ren balioa funtzio horrek mutur erlatibo bat izateko x = 2 abzisa-puntuan. b) Sailkatu mutur erlatiboak a = 2 denean.

Aurkitu k-ren balioa eta adierazi horrela lortu duzun funtzioa.

33 f (x) = x 2 · e –ax funtzioa daukagu, a ≠ 0 izanik.

34 Funtzio hau dugu: f (x) = ax + b + x 8 kalkulatu zein izan behar diren a-ren eta b-ren balioak f-ren grafikoa (–2, – 6) puntutik igaro dadin, eta puntu horretan ukitzaile horizontala izan dezan. Irudikatu funtzioa a-ren eta b-ren balio horietarak.

35 Aurkitu zein izan behar diren a, b eta c-ren balioak: f (x) = x ax bx c 4 –2 2 ++ funtzioak asintota horizontal moduan y = –1 zuzena izateko eta minimo bat edukitzeko (0, 1) puntuan.

36 Partikula bat y = x x 1 2 –2 kurbaren grafikoan zehar mugitzen da, x > 1 kasuan a) Aurkitu ibilbidea deskribatzen duen zatikako funtzioa.

P (2, –4/3) puntuan, kurba utzi eta kurbarekiko ukitzaile den zuzenean zehar doa.

28 Gogoan izan sinu hiperbolikoa eta kosinu hiperbolikoa honela definitzen direla: sinh x = ee 2 –xx –cosh x = ee 2 xx –+

Aztertu funtzio horien maximoak, minimoak eta inflexiopuntuak, eta adierazi grafiko bidez.

29 Zehaztu honako funtzio hauen asintotak: a) y = x x 3 1– b) y = x xx 1 2 ++

30 Aztertu eta irudikatu honako funtzio hauetako bakoitza: a) y = ln x x 1 1 –2 2 + eo b) y = e e 1 1 –x x + c) y = ln x x 1 + bl d) y = xx e 23 –|| x 2 1 –+

31 Kalkulatu zein diren a, b eta c-ren balioak, jakinda funtzio hori y = a + b cos c xr bl motakoa dela. b) Ezkerretik eskuinera mugitzen bada, aurkitu zer puntutan ebakitzen duen partikulak X ardatza.

37 Konposatu bateko nitrogeno-kontzentrazioa (%-tan) funtzio honen bidez emanda dago t ∈ [0, +∞) denboraren arabera (minututan neurtuta): N (t ) = e12 60 t–+ a) Egiaztatu nitrogeno kontzentrazioa hazi egiten dela denborarekin. Zer t-rekin izango da minimoa nitrogenokontzentrazioa eta zenbatekoa da kontzentrazio hori? b) Zer baliotara jotzen du nitrogeno-kontzentrazioak denborak infinitura jotzen duenean?

38 Beheko funtzio honek adierazten digu enpresa batek t denboraren poderioz (urteetan) bildutako irabaziak (ehunka mila eurotan) zenbatekoak izan diren azken 5 urteetan:

2 6 2 3 03 35 bada bada 2 ! ! a) Adierazi noiz hazi den irabazi hori eta zehaztu zer unetan egon diren maximo eta minimo lokalak, eta zein balio dagozkion une bakoitzari. b) Noiz lortu zituen 500 000 €-ko irabaziak? c) Adierazi b(t) funtzioa.