Proposatutako ariketak eta problemak

60 Triangelu isoszele bat daukagu, alde desberdina 12 cm-koa duena, eta altuera, 5 cm-koa. Altueraren gainean, oinarritik x distantziara dagoen A puntu bat zehaztu nahi dugu, kontuan izanda A puntu horretatik triangeluaren hiru erpinetara dauden distantzien batura minimoa dela. Aztertu irudia: A x 5 cm } 12 cm a) Egiaztatu A puntutik triangeluaren hiru erpinetara dauden distantzien batura f (x) = 5 – x + 2 x 36 2 + adierazpenak ematen digula. b) Kalkulatu zein izan behar den x-ren balioa distantzien batura minimoa izateko.. c) Kalkulatu kantitate minimo hori. a) Egiaztatu triangelu horren azalera A (x) = 12sin x funtzioak ematen duela, x orratzen angelua izanik. b) Kalkulatu zein izan behar den x triangeluaren azalera maximoa izateko, eta kalkulatu azalera hori. a) [0, 3] tarteko zer unetan lortzen da abiadura maximoa? b) Kalkulatu lm i x ∞ " + v (t ) eta interpretatu emaitza.

61 Erloju bateko orratzek 4 cm eta 6 cm dituzte. Muturrak lotuz gero, triangelu bat eratzen da.

62 Partikula baten abiadura, m/s-tan, funtzio honek ematen digu: v (t ) = (t 2 + 2t)e –t , t ≥ 0 izanik.

63 f : [1, e ] → Á daukagu, f (x) = x 1 + ln x funtzioaren bidez definituta Zehaztu f-rekiko ukitzaile diren zuzenen artean zeinek duten malda maximoa.

64 Kalkulatu 4 m-ko erradioa duen zirkunferentzia batean inskribaturik dagoen azalera maximoko triangelu isoszelearen neurriak.

66 y = x3 – 5x2 + 3x – 2 funtzioak betetzen ditu batezbesteko balioaren teoremaren hipotesiak [0, 4] tartean? Erantzuna baietz bada, esan zein den tesia betetzen duen x0

67 Funtzio hau daukagu: f (x) = x –≤21 ≤–x x x

Galdera teorikoak

65 Egiaztatu [0, 3 2 ] tartean definitutako f(x) = x3 – 18x funtzioak Rolleren teoremaren hipotesiak betetzen dituela, eta aurkitu, f ' (c) = 0 izateko, zein izan behar den c ∈ (0, 3 2 )

] ] ] ]

Z [ \

1 2 3 10 – bada –≤ bada < 2

Frogatu f funtzioak betetzen dituela batezbesteko balioaren teoremaren hipotesiak [–2, 0] tartean, eta kalkulatu zer puntutan (bat baino gehiago izan daitezke) betetzen den teorema.

68 Kalkulatu daiteke a, b, c zein diren, honako funtzio honek: f (x) = ≥ x ax bx x x 51 3 1 1 bada bada < 2 + ++ )

Rolleren teorema bete dezan [0, c] tartean?

69 f (x) = | cos x | funtzioak 1 balioa hartzen du [0, π] tartearen muturretan. Beteko du Rolleren teorema?

70 f funtzioa jarraitua eta deribagarria da, f (0) = 3 izanik. Kalkulatu zein izan behar den f (5)-en balioa, [0, 5] tartean f ' (c) = 8 betetzen duen c existitzen dela ziurtatzeko.

71 Kalkulatu zein diren a eta b, honako funtzio honek: f (x) = ≥ ax xx b x x 3 10 4 4 – bada bada < 2 + ) batezbesteko balioaren teoremaren hipotesiak bete ditzan [2, 6] tartean. Non betetzen du tesia?

72 f (x) = 1 – x 2/3 da.

Frogatu f(1) = f(–1) = 0 dela, baina f'(x) ez dela inoiz zero [–1, 1] tartean. Azaldu zergatik dagoen emaitza hori, itxuraz, kontraesanean Rolleren teoremak dioenarekin.

73 f funtzio baten deribatua positiboa da aldagaiaren balio guztietarako. Egon daitezke f (a) = f (b) betetzen duten a eta b bi zenbaki desberdin? Arrazoitu.

74 Kalkulatu a, b eta c, honako funtzio hone: f (x) = ≥ xaxb cx x x 1 2 2 bada bada < 2 ++ + )

Rolleren teoremaren hipotesiak bete ditzan [0, 4] tartean. Zer puntutan betetzen da tesia?

75 Funtzio hau dugu: f (x) = () () ln ln xx x 31020 –x 2 ++ + a) Zuzen bat ez den funtzio batek infinitu puntutan izan dezake y = 1 zuzen ukitzailea. b) f ' (a) = 0, f '' (a) = 0 badira, orduan f-k ezin du ez maximorik ez minimorik izan x = a puntuan. c) 3. mailako polinomio batek minimo bat badu x = 2 puntuan, minimo hori ezin da minimo absolutua izan. d) [0, 5] tartean jarraitua den funtzio batek ezin du maximorik izan x = 3 puntuan, puntu horretan deribagarria ez bada. e) y = f (x) gorakorra bada x = a puntuan, orduan y = –f (x) beherakorra da x = a puntuan. f ) f ' (a) = 0 bada, f-k maximo edo minimo bat du x = a puntuan. g) f ' (a) = 0, f '' (a) = 0 eta f ''' (a) = –5 badira, f-k inflexiopuntu bat du x = a puntuan. h) Honako hau f ' (x)-ren grafikoa bada, f-k minimo bat du x = –1 puntuan eta maximo bat x = 1 puntuan.

Egiaztatu f ' (a) = 0 betetzen duen a ∈ (1, 2) balio bat existitzen dela. Aipatu eta arrazoitu erabilitako emaitza teorikoak.

76 Egia ala gezurra? Arrazoitu erantzuna.

Sakontzeko

77 Esperimentu batean, objektu beraren bost neurketa egin ditugu, eta honako emaitza hauek lortu ditugu: m1= 0,92; m2 = 0,94; m3 = 0,89; m4 = 0,90; m5 = 0,91 Neurri errealarekiko hurbilketa onena izango da erroreen karratuen arteko batura minimo egiten duen x-ren balioa. Hau da, funtzio hau:

E(x) = (x – m1)2 + (x – m2)2 + … + (x – m5)2 minimo egiten duen balioa. Kalkulatu x-ren balio hori.

78 Egiaztatu existitzen dela α ∈ (–1,3) non f ' (α) = 4 –1 den, f (x) = [( )] log xx x2 7 –x 22 4 3– 3 ++ izanik.

Aipatu zer emaitza teoriko erabili dituzun, eta arrazoitu horien erabilera.

79 Globo bat lurretik 200 m-ra egon eta goraka 15 m/s-ra doan unean, azpitik auto bat igarotzen da 45 km/h-ko abiaduran. Zer abiadurarekin urruntzen dira bata bestetik autoa eta globoa segundo bat geroago?

Kontuan hartu honako hauek:

— Globoa 200 + 15t m-ko altueran dago t unean.

— Autoa globoaren bertikaletik (45/3,6) · t m-ra dago. Aurkitu bien arteko distantzia eta kalkulatu urruntze-abiadura t = 1 denean.

➜ anayaharitza.es Ariketa hauen ebazpena.

1 Funtzio hau izanda: f (x) = ln cos cos x x 1 1–+ aurkitu zer puntutan den zuzen ukitzailea y = 2x – 3 zuzenarekiko paraleloa.

2 Kalkulatu funtzio honen mutur erlatiboak, tarte gorakorrak eta beherakorrak eta ahurtasun- eta ganbiltasun-tarteak: f (x) = x | x – 2 |

3 Aztertu f (x) = e x (cos x + sin x) funtzioaren hazkundea eta zehaztu zein diren maximoak eta minimoak x ∈ [0, 2π] tartean

4 a) Aztertu honako funtzio honen kurba: f (x) = x 2 ln x b) Idatzi funtzio horren inflexio-puntutik igarotzen den zuzen ukitzailearen ekuazioa.

5 Zehaztu a, b, c eta d zein izan behar diren g (x) = ax 3 + + bx 2 + cx + d funtzioak maximo erlatibo bat izan dezan (0, 4) puntuan eta minimo erlatibo bat (2, 0) puntuan.

6 Kalkulatu y = x 1 1 2 + kurbaren zer puntutan izango den zuzen ukitzailearen malda maximoa

7 9 cm-ko erradioa duen esfera batean inskribatu daitezkeen zilindro guztien artean, aurkitu bolumenik handiena duenaren altuera eta erradioa.

8 f (x) = 1 – | x | funtzioak, x ∈ [–2, 2] bada, f (–2) = f (2) berdintza egiaztatzen du.

Arrazoitu f ' (c) = 0 betetzen duen c ∈ (–2, 2) punturik aurki daitekeen.