Funtzioen optimizazioa

Gogoan izan f (x) funtzio bat optimizatzea dela funtzio horren balio maximoa (edo minimoa) zein den lortzea eta x-ren zer baliorekin lortzen den zehaztea.

Problema mota hauek ebazten ohitzeko, honako hau egin beharko dugu:

• Adierazpen analitikoaren bidez emanda dagoen funtzio baten muturrak ahalik eta modurik eraginkorrenean aurkitzeko teknika ikasi.

• Enuntziatu baten bidez deskribatzen diren funtzioen adierazpen analitikoan trebatu.

Lehenengorako jarraibide zehatz batzuk ematen hasiko gara; eta, gero, bigarrena lantzeko adibide batzuk proposatuko ditugu f (x) funtzioak [a, b] tartean dituen muturrak kalkulatu

Optimizazio-problemetan, interesatzen zaiguna ez dira funtzioaren mutur erlatiboak, absolutuak baizik. Ikus ditzagun mutur horiek lortzeko erregela batzuk: a) f (x) deribagarria bada [a, b] tartean, maximo eta minimo absolutuak puntu singularren eta tartearen muturrei dagozkien puntuen artean daude: max max max

Optimizatzearen Garrantzia

Bolumen bat, biztanleria jakin bat edo etekin batzuk maximo egitea, edota ekoizpen-kostu batzuk edo azalera bat minimo egitea funtzioen optimizazioaren adibide batzuk baino ez dira, eta ingeniariek, arkitektoek, ekonomialariek,... egunero erabiltzen dituzte.

Problema hauen zailtasunik handiena, normalean, ez da izaten adierazpen analitikoaren bidez emandako funtzioak optimizatzea, baizik eta optimizatu nahi den funtzioaren adierazpen analitikoa aurkitzea.

min min min a b a b a b

Beraz, puntuok aurkitzeko:

• f ' (x) = 0 ekuazioa ebatziko dugu

• a eta b artean dauden x1, x2, x3, … soluzioak hautatuko ditugu b) [a, b] tartearen punturen batean funtzioa deribagarria ez bada, baina bai jarraitua, f funtzioak puntu horretan zer balio duen kalkulatuko dugu, mutur bat izan daiteke eta. c) f ez bada jarraitua [a, b] tartearen x0 punturen batean, funtzioak x0 puntutik hurbil zer jokabide duen aztertuko dugu.

• f ((a), f (x1), f (x2), … eta f (b) kalkulatuko ditugu. Balio horiekin, maximoa eta minimoa zein diren ikusiko dugu.

Ebatzitako ariketak

1 minimoa (ez-deribagarria) maximoa (etenduna) balio du Beraz, φ maximo izateko, P puntuak E puntutik 3 = 1,73 m-ra egon behar du

P puntua r zuzenerdian zehar lekuz aldatzen badugu, zer posiziotan lortuko dugu φ angelua maximo izatea?

2 Deskonposatu 36 zenbakia bi batugai positibotan, kontuan hartuz lehenengo batugaiaren eta bigarrenaren karratuaren arteko biderkadurak maximoa izan behar duela.

6 912

23636 .batugaia .batugaia: –> < 4

Honako funtzio honen balioak maximoa izan behar du:

36 Lehenengo, deribatua non baliogabetzen den ikusiko dugu:

12 36

3 36 cm-ko aldea duten bi pieza karraturekin eskuinean ageri diren urratsak eman ditugu

Zein izan behar da ebaki dugun laukitxoaren x aldea lortuko dugun kaxaren bolumena maximoa izateko?

(36 ez da baliozkoa, f -ren definizio-eremutik kanpo baitago ).

Kasu honetan, definizio-tartea (0, 36) da; hau da, irekia da. Beraz, ez dugu aztertu behar zein den f-ren jokabidea tartearen muturretan. Dena dela, erraz egiazta dezakezunez, biderkadura 0 da; hau da, f (0) = f (36) = 0.

Beraz, balio maximoa x = 12 kasuan lortzen da, f (12) = 6 912.

Soluzioa: lehenengo batugaia 12 da, eta bigarrena, 24.

➜ anayaharitza.es

Funtzioen optimizazioari buruzko indartzeko ariketak.

Pentsatu eta praktikatu

Kaxaren neurriak hauek izango dira: x, 36 – x, 36 – x

Beraz, bolumena hau izango da:

V (x) = x (36 – x)2, 0 < x < 36

Hau da, optimizatu behar dugun funtzioa aurreko adibideko funtzio bera da.

Karratutxoaren aldea 12 cm-koa izango da.

Kasu horretan, kaxaren bolumena 6 912 cm3-koa izango da.

1 Aurkitu zenbaki positibo bat, hau jakinda: zenbaki hori bere alderantzizkoarekin hogeita bost bider batuta, batura minimoa ematen du

2 Katetoen arteko batura 10 cm duten triangelu laukizuzen guztien artean, aurkitu azalera maximoa duenaren neurriak

3 12 m-ko perimetroa duten laukizuzen guztien artean, zeinek du diagonalik txikiena?

4 Zehaztu zer neurri izan behar duen 6,28 litroko bolumena duen ontzi zilindriko batek ahalik eta latorri kantitate txikienarekin egiteko