Ariketa eta problema gidatuak

Beheko grafiko hori kontuan hartuz, deskribatu ikaskide batek grafikoa adierazi ahal izateko beharrezkoak izango diren elementuak

• Adierazi funtzioa non dagoen definituta eta zehaztu jarraitutasuna eta deribagarritasuna.

• Deskribatu, limite baten bidez, asintota horizontala eta kurbak zer posizio duen asintota horrekiko.

• Deskribatu, limiteen bidez, asintota bertikala eta kurbak asintotarekiko zer posizio duen ezkerretik eta eskuinetik.

• Deskribatu asintota zeiharra limiteen bidez. Horietako batean, esan kurbak zer posizio duen asintotarekiko

• Deskribatu zer baldintzaren arabera lortzen diren puntu singularrak. Adierazi maximoak eta minimoak zein diren jakiteko behar diren baldintzak

• Osatu puntu singularrei buruzko informazioa ordenatuak zehaztuz

Soluzioa: Dom f = Á – {1}; deribagarria definizio-eremu osoan

Asintota horizontala x → – ∞ denean: y = 4. Asintota bertikala: x = 1

Asintota zeiharra x → + ∞ denean: y = x – 2

Maximo erlatiboa (3, 2) puntuan. Minimo erlatiboak (–1, –1) eta (5, –2) puntuetan).

Ardatzekin dituen ebaki-puntuak: (–2, 0), (0, 0), (2, 0), (4, 0) eta (6, 0).

2.

Adierazi honako funtzio hau: f (x) = ax3 + bx2 + cx + d Adierazi funtzioa.

Aztertu simetrikoa den. Adierazi zein Soluzioa: den definizio-eremua eta eremu osoan deribagarria den.

Aurkitu funtzioa adierazteko beharrezkoak diren elementuak: asintotak, puntu singularrak, etab.

Kalkulatu zein izan behar diren a, b, c eta d parametroak, f -ren kurbak bi mutur erlatibo izateko 1, 0) eta (0, 1) puntuetan.

Kalkulatu zein izan behar den k parametroaren balioa, honako funtzio honek: f (x) = xx xk 41 2 + ++ asintota zeihar moduan y = 4x + 5 izateko.

Adierazi funtzioa.

• Funtzioaren adierazpena erabiliz, f (x) = ax3 + bx2 + cx + d, eta emandako datuak, f (0) = 1, f (1) = 0, f' (0) = 0 eta f ' (1) = 0, sistema bat eratuko dugu: 4 ezezagun eta 4 ekuazio dituen sistema.

• Ebatzi eta adierazi funtzioa.

Asintota zeiharraren ekuazioa lortzeko, egin zatiketa hau: (4x 2 + x + 1) : (x + k)

Kalkulatu k-ren zer baliorekin izango diren berdinak zatidura eta asintotaren ekuazioa, y = 4x + 5. Adierazi funtzioa.

Soluzioa:

Trebatzeko

Grafiko baten deskribapena

1 Adierazi Á osoan jarraitua eta deribagarria den funtzio bat, honako hauek kontuan hartuz:

∞ lm i x " + f (x) = +∞ ∞ lm i x – " f (x) = – ∞ f (2) = 1, f ' (x) ≥ 0 edozein x-tarako, f ' (2) = 0

2 y = f (x) funtzio bati buruz honako informazio hau dugu:

D = Á – {1, 4} lim x 1 –" f (x) = +∞ lim x 1 " + f (x) = – ∞

Funtzioen ezaugarriak

6 Adierazi honako funtzio bakoitzaren definizio-eremua: a) y = xx25 –42 + b) y = 3 – x x 1 2 + c) y = xx34 –2 ++ d) y = x 321 1 – e) y = ln (4 – x ) f) y = () ln x 1 9– 2 g) y = tg x 1 h ) y = tg x 1 1 –2

7 Aztertu honako funtzio hauen simetriak: lim x 4 –" f (x) = – ∞ lim x 4 " + f (x) = +∞

∞ lm i x ± " f (x) = 0 x → +∞ badoa, f (x) > 0 x → – ∞ badoa, f (x) < 0 f ' (2) = 0, f (2) = –1; f ' (–1) = 0, f (–1) = –1 Adierazi.

3 Irudikatu beheko datu horiek ezagun dituen funtzio baten grafikoa, Á osoan jarraitua eta deribagarria dela jakinda:

∞ lm i x – " f (x) = – ∞ ∞ lm i x " + f (x) = +∞ f ' (x) = 0, baldin eta x = –2, x = 0, x = 3, x = 4 bada f (–2) = 2; f (0) = 0; f (3) = 5; f (4) = 4 a) y = x 2 + 1 b) y = x x 3 –2 c) y = tg πx d) y = e | x | e) y = || xx x 2 –2 f ) y = 2cos x 2

4 Adierazi funtzio hauek, bakoitzaren definizio-eremua, simetriak (baldin eta badaude), asintotak eta adar infinituak, puntu singularrak eta tarte gorakorrak eta beherakorrak zehaztuz. Egizu funtzioaren, horren deribatuaren eta zenbait limiteren balioak emanez.

8 Zehaztu funtzio hauek periodikoak diren, eta hala badira, aurkitu periodoa: a) y = sin 3x b) y = sin 2πx c) y = tg πx d) y = sin x + cos 2x e) y = cos x 2 r bl · sin x f ) y = sin (x 2 + 1)

9 Aurkitu funtzio hauen asintota bertikalak eta esan zer posizio erlatibo duen kurba bakoitzak asintota horiekiko: a) y = x x 1 1 –2 2 + b) y = x x 9 22 ––2 c) y = ln x 1 d) y = () xx xx 2 1 –

–2

1 e) y = snix 1 1 –2 f ) y = cos x 2

10 Aurkitu asintota horizontalak eta esan zein den kurba bakoitzak asintotekiko duen posizio erlatiboa.

2 2 a) y = x x 2 1 –2 + b) y = x x 2 3 1 –– x 1 – c) y = x x 2 1–2 + d) y = e e 2 3–|| x

11 Aurkitu funtzio hauen asintota zeiharrak eta adierazi zer posizio erlatibo duen kurba bakoitzak asintotekiko: a) y = x xx32 –2 + b) y = x x x 23 52 –2 + + c) y = (/ ) x x 12 2 –2

2 + d) y = x 35 2 +