Deribatuen erabilerak 10

Optimizazioaren bila

Kurba batekiko ukitzailea lortzea, kurbaren puntu batean, eta higikari baten aldiuneko abiadura kalkulatzea deribatuaren nozioa ekarri zuten problema historikoak dira. Ordura arte planteaturiko problema partikular guztiei orokortasuna emateko teoria baten bilakaerari, hala ere, optimizazio-problemek eman zioten aupadarik indartsuena. Zientzia, teknika, matematika bera, bai eta eguneroko bizimodua ere, optimizazio-problemaz beterik daude (maximoak eta minimoak). Gai garrantzitsu asko honela planteatzen dira: «zer da egokiena horrelako egoera batean». Greziarrek maximo eta minimoen problema asko landu zituzten; esaterako, argiak puntu batetik beste batera islapenaren bidez heltzeko egiten duen bidea (Heron, K.a. i. mendea). Kalkulu diferentziala asmatu baino lehen, problema horietako bakoitza prozedura jakin baten bitartez ebazten zen, eta ez zen inoiz beste problema batzuetara orokortzen. Gaur egun, problema horietako asko deribatuen aplikazio sinpleak dira.

Idazkera on bat

Matematikako kontzeptuak sinbolikoki modu egokian adierazteko idazkera on bat edukitzea oso garrantzitsua da. Newtonek y . idatzita adierazten zuen funtzio baten deribatua, baina gaineko puntu horrek ez zuen deribatuari buruzko informaziorik ematen. Leibnizek, berriz, deribatuaren esanahia oso egoki adierazten duen dx dy , idazkera asmatu zuen xviii. mendearen hasieran, Britainia Handiaren eta Europaren artean eztabaida sutsua piztu zen kalkulu infinitesimala asmatzen lehenengoa zein izan zenez: Leibniz (kontinentekoa) edo Newton (ingelesa). Hainbeste garraztu zenez giroa, matematikari britainiarrek estu jarraitu zieten Newtonen irakaspenei xviii. mende osoan, eta batere egokia ez zen haren idazkera erabili zuten. Burugogorkeria horren ondorioz matematika britainiarrak 50 urteko atzerapena izan zuela esaten da Idazkera egokiaren maisurik handiena Euler izan zen. Hari zor diogu gaur egun erabiltzen dugun ia idazkera osoa: hark sartutakoak dira π (grekozko periferia hitzaren hasiera) eta e (ziur aski, alemanez «unitate» esan nahi duen Einheit hitzaren hasiera; e logaritmotzat unitatea duen zenbakia da). Eulerrek eman zion ospea Leibnizek deribaturako eta integralerako erabili zuen idazkerari, baita esan nahi zutena adierazteko egokiak eta aproposak ziren beste hainbati ere

Johann Bernoulli eta L’Hôpitaleko markesa

Jakob eta Johann Bernoulli anaien aitak ustez ondo zekien seme bakoitzarentzat arlo egokiena zein zen: Jakobentzat, teologia, eta Johannentzat, medikuntza. Baina ez zuen asmatu, ez batarekin, ez bestearekin. Arlo horietarantz bideratu zituen aitak eta ezarritako bideak jorratzen hasi ziren bi anaiak Basileako Unibertsitatean, Suitzan. Baina benetan erakartzen zituen arloa matematikarena zen, eta, beraz, aitak agindutako ikasketak amaitu ondoren, matematikaren munduan murgildu eta horretan nabarmendu ziren; izugarri nabarmendu, gainera.

1692an, Johannek kalkulu infinitesimalarekin txundituta zegoen G.F.A. L’Hôpital markes gaztea ezagutu zuen Parisera egindako bidaia batean. Topaketa horren ondorioz, markesa Bernoulliren eskolak hartzen hasi zen eta, horrez gain, kontratu bat sinatu zuten: Johannek Basileara itzuli ondoren ere soldata jasoko zuen, baina, trukean, Johannek egindako aurkikuntza guztien berri eman behar zion eta markesak nahi bezala erabil zitzakeen

Johann Bernoulliren ideia eta aurkikuntzak erabiliz, L'Hôpitalek liburu bikain bat idatzi zuen 1696an: Infinitesimalen analisia. Lan horrek arrakasta izugarria izan zuen xviii. mende osoan eta haren izena betiko geratu da historian. L'Hôpitalen asmoa ez zen izan inola ere lan horretan argitaratu zituen emaitzen jabe egitea; kontrara, argi eta garbi aitortu zuen beti meritua Bernoullirena zela

L'Hôpital-en araua, mugak kalkulatzeko tresna eraginkor gisa ezagutzen duzuna eta bere baliotasuna unitate honetan frogatuko dena, Johann Bernoulliren aurkikuntza bat da, bidegabeki egozten zaion markesari. L’Hôpital hil zenean, Johann Bernoullik erregela haren meritua berea zela erreklamatu zuen. Ez zion inork sinetsi. Gerora, Bernoulliren eta markesaren arteko eskutitz trukea aurkitu zenean, gauzak argitu eta egia jakiteko balio izan zuen.

Ebatzi

Optimizazioa

• Pertsona bat 2 m-ko altuera duen estatua batera hurbildu da. Pertsonaren begiak eskulturaren oinen azpitik 1 m-ra daude. Zer distantziara hurbildu behar da eskultura ikusteko φ angelua maximoa izateko?

Metodo geometrikoak erabiliz egin daitezkeen ebazpen eder bat dago. Azter ezazu:

A eta B puntuetatik igarotzen den eta r zuzenarekiko ukitzailea den zirkunferentzia marraztuko dugu.

Egiaztatu T ukitze-puntua dela AB zuzenkia angelu maximopean ikusteko r zuzeneko lekua

OT zuzenkiaren luzera lortzeko, kontuan hartu behar dugu O puntuak zirkunferentziarekiko duen potentzia OA OB biderkadura adinakoa eta OT 2 adinakoa dela. Beraz:

·· OT OA OB 13 3 == = ≈ 1,73 m adi! Problema hau ebazteko beste bide bat φ angelua α eta β angeluekin erlazionatzea da; izan ere, bi angelu horien tangente trigonometrikoak x-ren funtzioan adieraz daitezke

Maximo egin behar duzun funtzio bat lortuko duzu (282. orrialdean arazo hau konpontzen da).

Kurba batekiko zuzen ukitzailea

Kurba batek puntu batean duen zuzen ukitzailea lortzea deribatuen erabilera berehalakoena da, iazko ikasturtetik ondo dakizunez eta aurreko unitatean erabili dugunez. Baina kasu honekin erlazionatuta, hain agerikoak ez diren beste batzuk ere badaude. Ikus ditzagun:

• Oinarrizko kasua: y = f (x) funtzioarekiko ukitzailea x = x0 abzisa-puntuan

• Puntuaren ordenatua: f (x0)

• Zuzenaren malda: m = f ' (x0)

Zuzen ukitzailearen ekuazioa hau da: y = f (x0) + f ' (x0)(x – x0)

Adibidez:

Aurkitu y = x xx 3 2 –2 + funtzioak x0 = 3 puntuan duen zuzen ukitzailearen ekuazioa.

• Ordenatuaren kalkulua: f (x0) = f (3)

3, 2 1 dn puntutik igarotzen da.

• Malda: f ' (x x = 3 puntuko zuzen ukitzailearen malda

• Funtzioa modu inplizituan dagoenean: ϕ(x, y) = 0 y (x) modu inplizituan emanda dago.

• Puntuaren koordenatuak: baliteke (x0, y0) puntuaren koordenatuak ematea, edo bestela, abzisarena bakarrik. Azken kasu horretan, ordenatua ϕ (x0, y ) = 0 ekuazioa ebatzita lortuko dugu.

• Zuzenaren malda: y ' (x, y )-ren adierazpena eta, ondorioz, y ' (x0, y0))-ren balioa lortzen da ϕ (x, y ) = 0 kasuan deribazio inplizitua eginez.

Adibidez:

Aurkitu x y 25 1 1 6 2 2 += kurbak x0 = 4 abzisa-puntuetan dituen ukitzaileak.

• Dagozkien ordenatuak lortzea:

Gogoratu

Puntu batean funtzio baten zuzen normala puntu horretako zuzen ukitzailearen perpendikularra da.

Bere ekuazioa hau da: y = f (x0) – ´( ) fx 1 0 (x – x0)

➜ Zuzen ukitzailea edozein puntutan.

• Puntu horietan malda zein den lortzeko, modu inplizituan deribatuko dugu:

➜ Elipse baten ukitzailea.

• y = f (x) kurba batekiko ukitzailea, malda jakinda

Bila gabiltzan zuzen ukitzaileen m malda zein den badakigu, baina ez dakigu ukitze-puntuak zein diren. Puntu horietako abzisak f ' (x) = m ekuazioa ebatziz lortuko ditugu

Adibidez: x + 2y = 0 zuzenarekiko paralelo

• Kurba batekiko ukitzailea, kanpoko puntu batetik

• P (x0, y0) puntua ezagutzen dugu. T (c, f (c)) ukitze-puntua, berriz, ez.

• PT zuzenkiaren malda () xc yf c –

0 0 da, eta bat dator f ' (c)-rekin.

• Berdindu eta ekuazioa ebatziko dugu. Soluzioak ukitze-puntuen abzisak dira.

Adibidez:

Aurkitu P (2, –7) puntutik igarotzen diren y = x 2 – 5x + 3 kurbarekiko zuzen ukitzaileak.

• T ukitze-puntua kurbakoa da. Horren koordenatuak (c, c 2 – 5c + 3).

• PT zuzenaren malda f funtzioak c puntuan duen deribatua izango da c:

Pentsatu eta praktikatu

1 Aurkitu honako kurba hauetako bakoitzarekiko zuzen ukitzaileak, ageri diren baldintzak kontuan hartuz: a)

= x xx x 2 57 16 ––32 + c) y = x xx 3 36 3 2 +

0, 1, 3 abzisa-puntuetan.

– x = 9 zuzenarekiko paraleloak.

Funtzio baten handiagotzea eta txikiagotzea puntu batean

Funtzio bat puntu batean gorakorra edo beherakorra den adierazten digun ideia grafikoa oso argia da. Baina, orain, eragiketak egiteko modua ematen digun definizio bat lortuko dugu: f gorakorra da x0 puntuan, baldin eta x0-ren E = (x0 – a, x0 + a) eremu batek hau betetzen badu x ∈ E, x ≠ x0 denean: () () : () () () () xx fx fx xx fx fx xx fx fx 0

–Horrekhau esan nahi bada, orduan bada, orduan > >> << 0 0 00 00

Era berean, f beherakorra bada, zatidura negatiboa da.

Hazkundearen eta deribatuaren zeinuaren arteko erlazioa f (x) deribagarria eta gorakorra da x0 puntuan ⇒ f ' (x0) ≥ 0 f (x) deribagarria eta beherakorra da x0 puntuan ⇒ f ' (x0) ≤ 0

Egiaztapena f gorakorra da x0 puntuan ⇒ () () xx fx fx 0 ––> 0 0 da x0-ren E eremu bateko x guztien kasuan

Beraz, f ' (x0) = lm í xx 0 " () () ≥ xx fx fx 0 ––0 0 ; izan ere, balio positiboak hartzen dituen funtzio baten limitea positiboa edo nulua da Era berean egiaztatzen da f beherakorra bada x0 puntuan, f ' (x0) ≤ 0 dela. x0 puntuko hazkundearen irizpidea f ' (x0)-ren zeinutik abiatuta

Funtzio bat horren adierazpen analitikotik abiatuta adierazi nahi dugunean, oso lagungarria izango da funtzioa gorakorra edo beherakorra den deribatuaren zeinutik abiatuta jakiteko modua emango digun honako irizpide hau: f ' (x0) > 0 ⇒ f gorakorra da x0 puntuan f ' (x0) < 0 ⇒ f beherakorra da x0 puntuan

Inplikazio horien egiaztapenak 289. orrialdean ikusiko ditugu.

Adibidez, aurki dezagun non den gorakorra eta non den beherakorra y = x 3 – 6x 2 + 5 funtzioa, horren deribatua f ' (x) = 3x 2 – 12x = 3x (x – 4) dela jakinda:

Ikusten duzunez, funtzio bat gorakorra izan daiteke puntu batean, puntu horretako deribatua zero izanda ere.

Pentsatu eta praktikatu

1 Egiaztatu y = f (x) funtzioa beherakorra bada x0 puntuan, orduan: f ' (x0) ≤ 0

2 y = x 3 – 3x 2 – 9x + 5 funtzioa emanda: a) Non da gorakorra? b) Non da beherakorra?