Funtzioen adierazpena 11

Funtzio kontzeptua xv. eta xvi. mendeetan sinbologia aljebraikoaren oinarriak ezarri ziren. Horrek matematikaren erabilera oso praktikoa ahalbidetu zuen, eta bidea ireki zuen funtzio baten aldagaiak eta ekuazio baten ezezagunak bereizteko, ezinbesteko bereizketa funtzioaren nozioa ezartzeko. xvii. mendearen hasieran, Galileok lehen aldiz erabili zuen esperimentazio kuantitatiboa informazio-iturri gisa. Kausak eta efektuak modu funtzionalean lotzen hasi zen. Hori funtsezkoa izan zen mendeko aldagaiaren kontzeptua zehazteko. xvii. mendeko ideia emankor eta distiratsuenetako bat funtzio kontzeptuaren eta kurba baten irudikapen grafikoaren arteko lotura ezartzea izan zen.

Galileok bi aldagairen (x eta y, kausak eta efektuak) arteko erlazio matematikoei buruz egindako ikerketak funtzio kontzeptuaren aurrekari oso argia dira, eta xvii. mendean zehar itxura hartuz joan zen.

Diagrama kartesiarren bidezko irudikapen grafikoak funtzioak bistaratzea ahalbidetu zuen. Horrela, funtzioaren kontzeptua orokortu egin zen, eta ardatz koordenatu batzuen gaineko grafiko bat adierazten duen edozein zenbaki-erlaziotarako erabili zen. Baina garai hartako matematikariek formula bati zegozkion grafikoak bakarrik onartzen zituzten funtzio gisa. xix. mendearen erdialdean, Dirichletek kontzeptua zabaldu zuen, eta grafikoki (edo beste era batera) emandako erlazio mota jakin batzuk ere funtzio adieran barneratu zituen, nahiz eta ez egoen funtzio horiek deskribatzen zituen «formula» bat. Limiteak eta deribatuak kalkulatzeko kontzeptuek eta prozedurek aukera ematen dute, gaur egun, formulen bidez emandako funtzioen ezaugarri garrantzitsuenak modu eroso eta eraginkorrean ikertzeko eta, ondorioz, funtzio horien irudikapen grafikoa egiteko. Kalkulagailu edo ordenagailu batekin automatikoki eta berehala lortzen da.

Dirichlet

Funtzio kontzeptuaren bere definizioak analisiaren oinarriak finkatzeko balio izan zuen. Baina Berlinen irakasle zebilen Gustav Dirichletek beste ekarpen asko ere egin zizkien matematikari eta fisikari; hala, 1855ean Gauss hil zenean, denek pentsatu zuten Dirichlet izango zela bere oinordeko duina, eta Göttingeneko katedra betetzeko deia egin zioten.

Funtzio bitxia eta jakintsu nahigabetua

Dirichletek, puntu batean ere jarraitua ez zen funtzioaren adibide bat jartzearren, hau definitu zuen: D (x) = Á bada bada x x 1 0 !

Funtzio xelebre eta bitxi horiek funtzioaren kontzeptua zehazteko diseinatu ziren. Poincare, xx. mendearen hasierako matematikari garrantzitsuentzat hartu izan dena, kexu zen «gure aurrekoen arrazoitzea okerra izan zela erakusteko asmaturiko funtzio bitxi horietaz», eta kontrajarri egiten zituen «zerbaitetarako balio duten funtzio zintzoekin».

Bi kurba interesgarri traktrizea katenaria

X ardatzaren gainean, jatorritik 4 m-ra, bola bat dago 4 m-ko soka batekin lotuta. Pertsona bat, sokaren muturrari oratzen diola, Y ardatzean zehar oinez doa, bola arrastaka daramala. Bolak egiten duen ibilbidea kurba bat da, traktize izenekoa, eta sokarekiko ukitzailea da sokaren puntuetako bakoitzean.

2,35 m-ko luzera duen kate baten bi muturrak 1,54 m-ko altuera duten eta bata bestetik 2 m-ra dauden bi zutoin sendoetara lotuz gero, kateak katenaria izeneko kurba bat eratzen du. Ardatzak egoki kokatuz gero, kurba horren ekuazioa hau da:

EBATZI

Limiteak eta deribatuak funtzio bat adierazteko

• Hartu paper koadrikulatua, marraztu koordenatu-ardatz batzuk eta adierazi honako baldintza hauek betetzen dituen ahalik eta kurbarik sinpleena:

• Deskribatu honako funtzio hau ahalik eta datu-kantitaterik txikiena erabiliz eta aurreko ariketan egin dugun bezala:

• f deribagarria da Á osoan, x = 2 puntuan izan ezik.