Ebatzitako ariketak eta problemak

1. Zuzen ukitzailea eta zuzen normala f (x) = |x| e –x funtzioa emanda, idatzi, ahal izanez gero, zuzen ukitzailearen ekuazioa eta zuzen normalarena, x = 0 denean eta x = –1 denean.

Egin Zuk

Idatzi xy yx = 1 kurbak (1,1) puntuan dituen zuzen ukitzailearen eta zuzen normalaren ekuazioak.

Honako kurba hau izanik, f (x) = x 1 1 –aurkitu zer puntutan izango duen P (–3, 2) puntutik ere igarotzen den zuzen ukitzailea

EGIN ZUK f (x) = x 2 – 2x + 4 kurba izanik, aurkitu zer puntutan izango duen koordenatuen jatorritik ere igarotzen den zuzen ukitzailea.

P puntua xy = 1 funtzioaren puntua bada, frogatu OP zuzenak, kurbarekiko ukitzaileak (P-n) eta y = 0 ardatzak osatutako triangelua isoszelea dela.

EGIN ZUK

Idatzi y = x 1 kurbak (3, 1/3) koordenatuak dituen puntuan daukan zuzen ukitzailearen ekuazioa.

Egiaztatu ukitze-puntuak bi zati berdinetan erdibitzen duela koordenatuardatzen artean dagoen zuzen horretako zuzenkia

• Funtzioa tarteka definituko dugu: f (x) = ≥ xe xe x x 0 0 –bada bada < x x

–– )

Funtzio jarraitua da Á-n, izan ere, () () () limf xlim ff00 0 xx00 –== = "" + .

––+

: f deribagarria da x = –1 puntuan, baina ez x = 0 puntuan; izan ere, () () '' limf xlim fx –≠11 xx00 –== "" + .

Beraz, ez dago zuzen ukitzailerik, ez zuzen normalik x = 0 puntuan.

Zuzen ukitzailea x = –1 puntuan hau da: y = f (–1) + f ' (–1)(x + 1) → y = e – 2e(x + 1)

Zuzen normala x = –1 puntuan hau da: y = f (–1) – () f 1 1 –l (x + 1) → y = e + e2 1 (x + 1)

(

1 1 – a) = () a 1 1 ––2 . dagozkien bi ukitze-puntu daude:

3. Kurbarekiko puntu jakin batean ukitzailea den zuzena y = x 1 kurbako P edozein puntuk ,a a 1 dn koordenatuak ditu

• P puntuko ukitzailea : m = f ' (a) = –a 1 2 → y = () a a xa 11 2

• Ukitzailearen eta y = 0 ardatzaren arteko ebaki-puntua lortuko dugu: ()

• Triangeluaren aldeen luzerak kalkulatuko ditugu: a) f (x) = e x (x 2 – 3x + 1) b) f (x) = ln xx xx x x bada bada 20 0 ≤ > 2 a) Funtzioa jarraitua da, eta deribagarria Á bere definizio-eremu osoan f gorakorra da f ' > 0 den tarteetan, eta beherakorra, f ' < 0 denean. Deribatu nuluko puntuak bilatuko ditugu. edozein dela ere, f ' baliogabetu egiten da baldin eta: gorakorra da (– ∞, –1) ∪ (2, +∞) tartean, eta beherakorra, (–1, 2) tartean. bat du , e 1 5 –dn puntuan, eta minimo bat, (2, –e 2) puntuan b) Funtzioa jarraitua da Á osoan, baina ez da deribagarria x = 0 puntuan.

Aztertu honako funtzio hauen handiagotze- eta txikiagotze-tarteak eta zehaztu horien maximoak eta minimoak.

Aztertu honako funtzio hauen handiagotze- eta txikiagotze-tarteak: a) f (x) = x x 4 –2 3 b) f (x) = ln (x 2 + 4x – 5) a) Azaldu, arrazoituz, f deribagarria den Á osoan. b) Aztertu non den gorakorra eta non beherakorra f funtzioa, eta azaldu mutur erlatiborik duen. c) Irudikatu f '' (x). tartean, eta beherakorra, (–1, 0) ∪ , e 0 1 dn tartean. da (– ∞, –1) ∪

Goiko hori Á osoan jarraitua den f funtzio baten deribatuaren grafikoa da.

Maximo bat du (–1, 1) puntuan, eta minimo bat, , ee 11 –dn puntuan a) f (x) ez da deribagarria x = 1 puntuan f ' (1) ez da existitzen, f ' (1–) = 2 ≠ 1 = f ' (1+) baita b) f (x) gorakorra da (– ∞, 1) ∪ (1, 2) tartean, tarte horretan f' (x) > 0 baita. f (x) beherakorra da (2, + ∞) tartean, f ' (x) < 0 baita f (x) funtzioak mutur bat du x = 2 puntuan, grafikoan ikusten dugunez f ' (2) = 0 baita Gainera, x = 2 puntuan, f ' (x) positibo izatetik negatibo izatera igarotzen da eta, horregatik, f (x) gorakorra izatetik beherakorra izatera pasatzen da. Beraz, ziurra da f (x)-k maximo bat duela x = 2 puntuan c) f '' (x)-ren balioak f ' (x) eratzen duten zuzenerdien maldak dira. Grafikoa honako hau da: