Operación mundo: Matemáticas II 2. Bacharelato (demo)

MATEMÁTICAS II BACHARELATO 2

José Colera J., M.ª José Oliveira G., Ramón Colera C., Rosario García P., Ana Aicardo B.

Os saberes básicos do curso

B reve historia das matemáticas

0 R esoluci ón de problemas

• Análise dalgunhas estratexias

• A demostración matemática

• Método de redución ao absurdo

• O método de indución completa

• Principio do pombal

Problemas para practicar

BLOQUE I. Álxebra

1 Sistemas de ecuacións.

Método de Gauss

1. Sistemas de ecuacións lineais

2. Posibles solucións dun sistema de ecuacións lineais

3. Sistemas graduados

4. Método de Gauss

5. Discusión de sistemas de ecuacións

Exercicios e problemas

Autoavaliación

2 Álxebra

1. Nomenclatura. Definicións

2. Operacións con matrices

3. Propiedades das operacións con matrices

4. Matrices cadradas

5. Relacións lineais entre as filas dunha matriz

6. Rango dunha matriz

Exercicios e problemas

Autoavaliación

3 Determinantes

1. Determinantes de orde dúas

2. Determinantes de orde tres

3. Determinantes de orde calquera

4. Menor complementario e adxunto

5. Desenvolvemento dun determinante polos elementos dunha liña

6. Método para calcular determinantes de orde calquera

7. O rango dunha matriz a partir dos seus menores

8. Outro método para obter a inversa dunha matriz

Exercicios e problemas

Autoavaliación

4 R esolución de sistemas mediante determinantes

1. Teorema de Rouché

2. Regra de Cramer

3. Aplicación da regra de Cramer a calquera sistema

4. Sistemas homoxéneos

5. Discusión de sistemas mediante determinantes

6. Forma matricial dun sistema de ecuacións

Exercicios e problemas

Autoavaliación

Proba de acceso á universidade: bloque I

Autoavaliación do bloque I

BLOQUE II. Xeometría

5 Vectores no espazo

1. Operacións con vectores

2. Expresión analítica dun vector. Coordenadas

3. Produto escalar de vectores

4. Produto vectorial

5. Produto mixto de tres vectores

Exercicios e problemas

Autoavaliación

6 P untos, rectas e planos no espazo

1. Sistema de referencia no espazo

2. Aplicacións dos vectores a problemas xeométricos

3. Ecuacións da recta

4. Posicións relativas de dúas rectas

5. Ecuacións do plano

6. Formas de determinar un plano

7. Posicións relativas de planos e rectas

8. A linguaxe das ecuacións: variables, parámetros

Exercicios e problemas

Autoavaliación

7 P roblemas métricos

1. Medida de ángulos entre rectas e planos

2. Distancias entre puntos, rectas e planos

3. Medidas de áreas e volumes

4. Lugares xeométricos no espazo

Exercicios e problemas

Autoavaliación

Proba de acceso á universidade: bloque II

Autoavaliación do bloque II

BLOQUE III. A nálise

8 L ímites de funcións.

Continuidade

1. Idea gráfica dos límites de funcións

2. Un pouco de teoría: aprendamos a definir os límites

3. Sinxelas operacións con límites

4. Indeterminacións

5. Comparación de infinitos.

6. Cálculo de límites cando x → +∞

7. Cálculo de límites cando x → –∞

8. Límite dunha función nun punto. Continuidade

9. Cálculo de límites cando x → c

10. Unha potente ferramenta para o cálculo de límites

11. Continuidade nun intervalo Exercicios e problemas Autoavaliación

9 D erivadas

1. Derivada dunha función nun punto

2. Función derivada

3. Regras de derivación

4. Derivada dunha función coñecendo a da súa inversa

5. Derivada dunha función implícita

6. Derivación logarítmica

7. Obtención razoada das fórmulas de derivación

8. Diferencial dunha función Exercicios e problemas

Autoavaliación

10 A plicacións das derivadas

1. Recta tanxente a unha curva

2. Crecemento e decrecemento dunha función nun punto

3. Máximos e mínimos relativos dunha función

4. Información extraída da segunda derivada

5. Optimización de funcións

6. Dous importantes teoremas

7. Aplicacións teóricas do teorema do valor medio

Exercicios e problemas

Autoavaliación

11 R epresentación de funcións

1. Elementos fundamentais para a construción de curvas

2. O valor absoluto na representación de funcións

3. Representación de funcións polinómicas

4. Representación de funcións racionais

5. Representación doutros tipos de funcións

12 C á lculo de primitivas

1. Primitivas. Regras básicas para o seu cálculo

2. Expresión composta de integrais inmediatas

3. Integración «por partes»

4. Integración de funcións racionais

Exercicios e problemas

Autoavaliación

13 A integral definida

1. Área baixo unha curva

2. Unha condición para que unha función sexa integrable en [a, b]

3. Propiedades da integral

4. A integral e a súa relación coa derivada

5. Regra de Barrow

6. Cálculo de áreas mediante integrais

7. Volume dun corpo de revolución

Exercicios e problemas

Autoavaliación

Proba de acceso á universidade: bloque III

Autoavaliación do bloque III

BLOQUE IV. Probabilidade

14 Azar e probabilidade

1. Experiencias aleatorias. Sucesos

2. Frecuencia e probabilidade

3. Lei de Laplace

4. Probabilidade condicionada. Sucesos independentes

5. Probas compostas

6. Probabilidade total

7. Probabilidades a posteriori. Fórmula de Bayes

Exercicios e problemas

Autoavaliación

15 Distribucións de probabilidade

1. Distribucións estatísticas

2. Distribucións de probabilidade de variable discreta

3. A distribución binomial

4. Distribucións de probabilidade de variable continua

5. A distribución normal

6. A distribución binomial aproxímase

á normal

Exercicios e problemas

Autoavaliación

Proba de acceso á universidade: bloque IV

Autoavaliación do bloque IV

Solucións ás autoavaliacións

Exercicios e problemas

Autoavaliación

Aplicacións das derivadas 10

Buscando a optimización

A obtención da tanxente a unha curva nun dos seus puntos e o cálculo da velocidade instantánea dun móbil son problemas históricos que deron lugar, no seu momento, á noción de derivada. Non obstante, foron os problemas de optimización os que achegaron maior impulso á busca dunha teoría que lles dese xeneralidade a todos os problemas particulares que se formularan.

A ciencia, a técnica, as propias matemáticas e mesmo a vida cotiá están inzadas de problemas de optimización (máximos e mínimos). Numerosas cuestións importantes formúlanse deste xeito: «Que é o óptimo en tales circunstancias?». Moitos dos problemas de máximos e mínimos xa foron abordados polos gregos, como, por exemplo, o camiño que percorre a luz para chegar dun punto a outro mediante reflexión (Herón, século i d. C.). Antes da invención do cálculo diferencial, cada un destes problemas abordábase mediante un procedemento específico, non xeneralizable aos demais. Actualmente moitos deses problemas son simples aplicacións das derivadas.

Unha boa notación

Ter unha boa notación para designar simbolicamente de maneira axeitada os conceptos matemáticos é enormemente importante. Newton anotaba cun punto enriba, y., a derivada da función, o cal di moi pouco sobre o que é a derivada. Leibniz, en cambio, ideou a notación dx dy , que representa moi adecuadamente o seu significado.

A comezos do século xviii orixinouse unha vehemente disputa entre as illas británicas e o continente sobre se fora Leibniz (continental) ou Newton (inglés) o primeiro que inventara o cálculo infinitesimal. Tanto se agrearon os ánimos que os matemáticos británicos se aferraron durante todo o século xviii non só ás ensinanzas de Newton, senón tamén á súa notación pouco afortunada. Dise que a consecuencia desta obstinación foi un atraso de 50 anos para a matemática británica.

O gran mestre da boa notación foi Euler. A el débese case toda a que hoxe usamos na nosa matemática. Foi quen consagrou, a mitade do século xviii, a notación de Leibniz para a derivada e a integral e outras moitas que quedaron avaladas pola súa autoridade e pola súa adecuación co que querían representar.

Johann Bernoulli e o Marqués de L’Hôpital

O pai dos irmáns Bernoulli, Jakob e Johann, cría saber ben o que lles ía a cada un dos seus fillos: a Jakob, a teoloxía, e a Johann, a medicina. A verdade é que non acertou con ningún. Por aí encarreirounos e por eses camiños comezou cada un na Universidade de Basilea, Suíza. Pero a atracción da matemática foi tal que, despois de rematados os estudos prescritos polo seu pai, esta absorbeunos completamente e nela sobresaíron extraordinariamente.

En 1692, nunha viaxe que Johann fixo a París, coñeceu un mozo marqués, GFA de L’Hôpital, entusiasmado co novo cálculo infinitesimal. Este, á parte de recibir leccións de Bernoulli, asinou con el un contrato polo que Johann, de volta a Basilea, a cambio dun soldo regular, se comprometía a comunicarlle ao marqués os seus descubrimentos e este podería facer deles o uso que lle parecera.

Coas ideas e descubrimentos de Johann Bernoulli, L’Hôpital escribiu en 1696 un magnífico libro, Análise dos infinitésimos, que tivo un éxito extraordinario durante todo o século xviii e o fixo pasar á historia. Este nunca pretendeu facerse coa paternidade dos resultados que publicaba nel, senón que sempre lle recoñeceu claramente o mérito a Bernoulli. A regra de L’Hôpital, que xa coñeces como eficaz ferramenta para o cálculo de límites e cuxa validez se demostrará nesta unidade, é un dos descubrimentos de Johann Bernoulli que se lle atribúen inxustamente ao marquéss.

Ao morrer L’Hôpital, Johann Bernoulli reclamou para si o mérito daquela regra. Ninguén o creu. Máis adiante o descubrimento da correspondencia entre Bernoulli e o marqués puxo as cousas no seu lugar.

RESOLVE Optimización

• Unha persoa achégase a unha estatua de 2 m de altura. Os ollos da persoa están 1 m por debaixo dos pés da escultura. A que distancia se debe achegar para que o ángulo, φ, baixo o cal ve a estatua sexa máximo?

Hai unha fermosa resolución por métodos xeométricos. Obsérvaa:

Trázase unha circunferencia que pasa polos puntos A e B e é tanxente á recta r.

Demostra que o punto de tanxencia, T, é o lugar da recta r desde o que se ve o segmento AB con ángulo máximo.

A lonxitude do segmento OT áchase tendo en conta que a potencia do punto O respecto á circunferencia é igual a

· OA OB e tamén é igual a OT 2 . Así:

·· OT OA OB 13 3 == = ≈ 1,73 m atención! Este problema pódelo resolver, tamén, relacionando o ángulo φ cos ángulos α e β cuxas tanxentes trigonométricas podemos expresar en función de x.

Obterás unha función que debes facer máxima (na páxina 282 resólvese este problema).

Recta tanxente a unha curva

A obtención da recta tanxente a unha curva nun dos seus puntos é a aplicación máis inmediata das derivadas, que xa coñeces desde o curso pasado e que utilizamos na unidade anterior. Pero relacionados con este hai outros casos menos triviais. Vexámolos:

• Caso elemental: tanxente a y = f (x) no punto de abscisa x = x0

• Ordenada do punto: f (x0)

• Pendente da recta: m = f ' (x0)

A ecuación da recta tanxente é: y = f (x0) + f ' (x0)(x – x0)

Por exemplo: Achar a ecuación da recta tanxente a y =

• Cálculo da ordenada: f (x0) = f (3) =

A curva pasa por 3, 2 1 dn

LEMBRA

A recta normal a unha función nun punto é a perpendicular á recta tanxente nese punto. A súa ecuación é: y = f (x0) – ´( ) fx 1 0 (x – x0)

➜ Recta tanxente nun punto calquera.

22 32 –

xx xx

• Pendente: f ' (x) = () () () ()

A ecuación da recta tanxente en x = 3 é: y = () x 2 1 12 7

• Cando a función se dá implicitamente: ϕ(x, y) = 0

A función y (x) vén dada implicitamente.

• Coordenadas do punto: pódennos dar as coordenadas do punto (x0, y0), ou ben só a abscisa. Neste caso a ordenada obtense resolvendo a ecuación ϕ (x0, y ) = 0.

• Pendente da recta: a expresión de y ' (x, y ) e, en consecuencia, o valor de y ' (x0, y0) obtense mediante a derivación implícita en ϕ (x, y ) = 0.

Exemplo:

Achar as tanxentes a x y 25 1 1 6 2 2 += nos puntos de abscisa x0 = 4.

• Obtención das ordenadas correspondentes: y 25 16 16 1 0 2 += → y 16 1 25 16 25 144 – 0 2 == dn → y 5 12 ± 0 =

• Para achar a pendente neses puntos, derivamos implicitamente: ' x yy 25 2 16 2 0 += → ' y y x 25 16

➜ Recta tanxente a unha elipse.

• Tanxente a unha curva y = f (x) coñecendo a súa pendente

Coñecemos a pendente, m, das rectas tanxentes buscadas pero non sabemos cales son os puntos de tanxencia. As abscisas destes obtéñense resolvendo a ecuación f ' (x) = m

Por exemplo:

Achar as rectas tanxentes a y

• Tanxente a unha curva desde un punto exterior

• Coñecemos o punto, P (x0, y0). Descoñecemos o punto de tanxencia, T (c, f (c)).

• A pendente do segmento PT é () xc yf c

e coincide con f ' (c).

• Iguálanse e resólvese a ecuación. As solucións son as abscisas dos puntos de tanxencia.

Por exemplo:

Achar as rectas tanxentes a y = x 2 – 5x + 3 que pasan polo punto P (2, –7).

• O punto T de tanxencia é da curva. As súas coordenadas son (c, c 2 – 5c + 3).

• A pendente da recta PT debe ser igual á derivada de f en c:

Pensa e practica

1 Acha as rectas tanxentes a cada curva que cumpren a condición que se indica:

nos puntos de abscisa 0, 1, 3.

c) y = x xx 3 36 3 2 +

Crecemento e decrecemento dunha función nun punto

A idea gráfica de función crecente ou decrecente nun punto é moi clara. Imos dar unha definición que permita operar con ela:

f é crecente en x0 se existe un contorno de x0, E = (x0 – a, x0 + a) de xeito que, se x ∈ E, x ≠ x0, entón: () () : ,( )( ) ,ó () () ó xx fx fx xx fx fx xx fx fx 0 –

stosignifica sent n se entn I e > >> << 0 0 00 00

Analogamente, se f é decrecente, o cociente é negativo.

Relación do crecemento co signo da derivada

f (x) derivable e crecente en x0 ⇒ f ' (x0) ≥ 0 f (x) derivable e decrecente en x0 ⇒ f ' (x0) ≤ 0

Demostración

f crecente en x0 ⇒ () () xx fx fx 0 ––> 0 0 para todo x dun contorno E de x0

Polo tanto, f ' (x0) = lm í xx 0 " () () ≥ xx fx fx 0 ––0 0 , pois o límite dunha función que toma valores positivos é positivo ou nulo.

Analogamente, demostraríase que se f é decrecente en x0, f ' (x0) ≤ 0.

Criterio de crecemento en x0 a partir do signo de f ' (x0) Cando se pretende representar unha función a partir da súa expresión analítica, resulta útil o seguinte criterio que permite inferir se unha función é crecente ou decrecente a partir do signo da súa derivada:

f ' (x0) > 0 ⇒ f é crecente en x0

f ' (x0) < 0 ⇒ f é decrecente en x0

A demostración destas implicacións verase na páxina 289. Por exemplo, descubramos onde é crecente e onde é decrecente a función y = x 3 – 6x 2 +5, cuxa derivada é f ' (x) = 3x 2 – 12

Observa que unha función pode ser crecente nun punto sendo cero a súa derivada nel

1 Demostra que, se unha función y = f (x) é decrecente en x0, entón: f

2 Dada a función y = x 3 – 3x 2 – 9x + 5:

a) Onde crece?

b) Onde decrece?

Máximos e mínimos relativos dunha función

A idea de máximo relativo nun punto é que a función, nese punto, vale máis que nos puntos que o rodean. Vexamos unha definición máis operativa:

f ten un máximo relativo no punto de abscisa x0 se existe un contorno de x0, E = (x0 – a, x0 + a), de xeito que se x ∈ E,

0, entón f (x) < f (x0). É dicir, é crecente á esquerda de x0 e decrecente á súa dereita.

Analogamente defínese mínimo relativo.

Nos máximos e mínimos, a derivada é 0

Se f (x) é derivable en x0 e ten un máximo ou un mínimo nel, entón f '(x0) = 0. É dicir: f (x) máximo ou mínimo en x0 ⇒ f ' (x0) = 0

Non obstante, pode acontecer que f '(x0) = 0 e que non haxa

nin

en x0.

PUNTOS SINGULARES

Os puntos de tanxente horizontal, é dicir, aqueles onde f ' (x) = 0, chámanse puntos singulares ou puntos críticos.

Un punto singular pode ser:

máximo f pasa de crecer a decrecer

mínimo f pasa de decrecer a crecer

punto de inflexión non hai cambio no crecemento

Demostración

Como f é derivable en x0, será: f ' (x0) = () ()fx''fx00 –= + ⇒ f ' (x0) = 0

Exemplo: vexamos os máximos e mínimos da función y = 3x 5 – 5x 3 .

A súa derivada, f ' (x) = 15(x 4 – x 2) = 15(x – 1) x 2 (x +1) anúlase en –1, 0 e 1. Como saber se hai máximo ou mínimo en cada un deles?

— Estudando o signo da derivada á súa dereita e á súa esquerda. Por exemplo:

IDEA DA DEMOSTRACIÓN

Se hai un máximo en x0:

— A derivada en x0 pola esquerda é maior ou igual que 0.

— A derivada en x0 pola dereita é menor ou igual que 0.

Polo tanto, a derivada en x0 é 0.

E algo parecido acontece para os mínimos.

(, ),

(, ), éá éá ' ' f f 0990 1 1010 1 decrecente de crecente de esquerda dereita < > 4 Hai un mínimo en x = 1.

Ou ben, representando os tres puntos así como as ramas infinitas. Como a función é derivable e, polo tanto, continua en Á, ao unir os puntos apréciase como se comporta a función en cada un deles.

Vemos que hai un máximo en x = –1, un mínimo en x = 1 e un punto de inflexión en x = 0.

Pensa e practica

1 Comproba que a función y = x 3/(x – 2)2 ten só dous puntos singulares, en x = 0 e en x = 6.

Indaga de que tipo é cada un destes dous puntos singulares; para iso, debes estudar o signo da derivada.

2 a) Acha todos os puntos singulares (abscisa e ordenada) da función y = –3x 4 + 4x 3. Mediante unha representación adecuada, descubre de que tipo é cada un deles.

b) Fai o mesmo para y = x 4 + 8x 3 + 22x 2 + 24x + 9.

Información extraída da segunda derivada

Concavidade, convexidade e punto de inflexión

Observemos a seguinte gráfica:

Mirándoa desde arriba, non é razoable que lles chamemos cóncavos aos tramos BC e DE e convexos aos tramos AB e CD ? Os puntos B, C, D, nos que a curvatura pasa de cóncava a convexa, ou viceversa, son os puntos de inflexión.

A mellor forma de caracterizar matematicamente o tipo de curvatura (concavidade, convexidade ou inflexión) é analizar a posición da curva en relación coa súa tanxente, como imos facer a continuación.

Temos unha curva y = f (x). Trazamos a recta tanxente a ela nun punto P, cuxa ecuación é y = t (x). Entón:

Se nas proximidades de P é f (x) > t (x), a curva é cóncava en P

Se nas proximidades de P é f (x) < t (x), a curva é convexa en P

Se a tanxente atravesa a curva en P, é dicir, se á esquerda de P é f (x) < t (x), e á dereita f (x) > t (x), ou viceversa, P é un punto de inflexión.

Relación da curvatura coa segunda derivada

Observa esta gráfica:

Fíxate que no tramo AB as catro tanxentes que hai representadas teñen a súa pendente cada vez menor. Neste intervalo, pois, f ' é decrecente e, polo tanto, a súa derivada (a derivada de f ' ) é negativa. Ocórrelle o mesmo ao tramo CD

E o contrario sucede nos tramos BC e DE : a pendente das tanxentes aumenta e, polo tanto, f ' é crecente e a derivada de f ' é positiva. En xeral:

Se f ten segunda derivada en x0, cúmprese que:

f cóncava en x0 ⇒ f ' é crecente en x0 ⇒ f '' (x0) ≥ 0

f convexa en x0 ⇒ f ' é decrecente en x0 ⇒ f '' (x0) ≤ 0

f ten un punto de inflexión en x0 ⇒ f '' (x0) = 0

(x) > t (x) ⇒ f é cóncava A tanxente está por debaixo da gráfica de f.

(x) < t (x) ⇒ f é convexa

A tanxente está por riba da gráfica de f

P é un punto de inflexión

A tanxente «atravesa» a gráfica de f.

TEN EN CONTA

Estas implicacións serven para extraer conclusións sobre o comportamento da segunda derivada, f '', a partir da forma da curva.

Criterio para detectar o tipo de curvatura

Posto que o que adoita interesarnos é obter información sobre a forma da curva a partir da súa expresión analítica, vexamos como son as implicacións de sentido oposto ás que acabamos de ver:

f '' (x0) > 0 ⇒ f é cóncava en x0

f '' (x0) < 0 ⇒ f é convexa en x0

f '' (x0) = 0 e f ''' (x0) ≠ 0 ⇒ f ten un punto de inflexión en x0

Aplicación á identificación de máximos e mínimos

Se f ' (x0) = 0 e existe f '' (x0), entón:

f '' (x0) > 0 ⇒ f ten un mínimo relativo en x0

f '' (x0) < 0 ⇒ f ten un máximo relativo en x0

(A demostración verase na páxina 291).

Exercicio resolto

1 Estudar a curvatura da función:

f (x) = x 3 + 3x 2

Achamos a derivada segunda da función:

f ' (x) = 3x 2 + 6x

f '' (x) = 6x + 6

➜ Deriva e iguala a cero.

Buscamos os valores que anulan a derivada segunda:

f '' (x) = 0 → 6x + 6 = 0 → x = –1

f (–1) = (–1)3 + 3(–1)2 = 2

Como f ''' (x) = 6 ≠ 0, o punto

I (–1, 2) é un punto de inflexión.

• f '' (x) = 6x + 6 < 0 ⇔ x < –1

Desde – ∞ ata –1, a curva é convexa, pois f '' (x) < 0.

• f '' (x) = 6x + 6 > 0 ⇔ x > –1

Desde –1 ata + ∞, a curva é cóncava, pois f '' (x) > 0.

➜ anayaeducacion.es

Exercicios de reforzo: aplicacións da segunda derivada.

Pensa e practica

1 Estuda a curvatura desta función: y =

mínimo (cóncava)

máximo (convexa)

2 Estuda a curvatura da función seguinte: y =

9

5

Lembra que optimizar unha función, f (x), é descubrir cal é o valor máximo (ou mínimo) e determinar para que valor de x se alcanza.

Para familiarizarnos coa resolución deste tipo de problemas, teremos que:

• Aprender a técnica de achar, da forma máis eficaz posible, os extremos dunha función que vén dada mediante a súa expresión analítica.

• Exercitarnos en expresar analiticamente funcións que se describen mediante un enunciado.

Comecemos dando unhas orientacións moi concretas para o primeiro e, a continuación, propoñeremos unha serie de exemplos como adestramento para o segundo

Cálculo dos extremos dunha función f (x) nun intervalo [a, b]

Nos problemas de optimización, o que interesa non son os extremos relativos da función senón os absolutos. Vexamos algunhas regras para obtelos:

a) Se f (x) é derivable en [a, b], os máximos e os mínimos absolutos están entre os puntos singulares e os correspondentes aos extremos do intervalo:

máx

mín mín mín

• Resólvese a ecuación f ' (x) = 0.

• Selecciónanse as solucións x1, x2, x3, … que están entre a e b.

• Calcúlase f (a), f (x1), f (x2), … e f (b). Con estes valores verase cal é o máximo e cal o mínimo.

b) Se hai algún punto de [a, b] no que a función non sexa derivable, aínda que si continua, calcularemos o valor de f nese punto, pois podería ser un extremo.

c) Se f non é continua nalgún punto x0 de [a, b], estudaremos o comportamento da función nas proximidades de x0.

resoltos

E 2 m 1 m P r {

A IMPORTANCIA DE OPTIMIZAR Facer máximo un volume, unha poboación, uns beneficios, facer mínimos uns custos de produción ou unha área son exemplos de optimización de funcións cos que enxeñeiros, arquitectos, economistas... teñen que tratar habitualmente.

A dificultade destes problemas, normalmente, non estriba en optimizar unha función dada por unha expresión analítica, senón en atopar a expresión analítica da función que se desexa optimizar.

mínimo (non derivable)

máximo (con descontinuidade)

tan α =  x 3 → α = arc tan x 3 dn , tan β =  x 1 → β = arc tan x 1 dn , φ = α – β → φ (x) = arc tan x 3 dn  – arc tan x 1 dn E x 2 1 P { b a Achamos o máximo da función φ (x): φ' (x) =  x 1 3 1 2 + dn  ·  x –3 2 dn  –  x 1 1 1 2 + dn  ·  x –1 2 dn  =  x 9 –3 2 +  –  x 1 –1 2 +  =  xx x 1 9 23 –22 2 ++ + ` ` j` j j φ' (x) = 0 → –x2 + 3 = 0 → x = ± 3 . Só vale a solución positiva. Polo tanto, para que φ sexa máximo, P debe estar a 3 = 1,73 m do punto E.

Exercicios resoltos

2 Descompoñer o número 36 en dous sumandos positivos de maneira que o produto do primeiro sumando polo cadrado do segundo sexa máximo

6 912

23636 sumando sumando:

Deberá ser máximo o valor da seguinte función:

onde se anula a súa derivada:

nonvale (36 non vale porque está fóra do dominio de definición de f ). Neste caso, o intervalo de definición é (0, 36), é dicir, é aberto; polo tanto, non fai falta estudar o comportamento de f nos seus extremos aínda que facilmente podes comprobar que se corresponden co produto 0, é dicir, f (0) = f (36) = 0.

Polo tanto, o valor máximo obtense para x = 12, f (12) = 6 912.

Solución: o primeiro sumando é 12, e o segundo, 24.

3 Con dúas pezas cadradas de 36 cm de lado facemos a operación que aparece á dereita.

Canto debe valer x, o lado do cadradiño que recortamos, para que o volume da caixa resultante sexa máximo?

As dimensións da caixa serán: x, 36 – x, 36 – x

Polo tanto, o volume será:

V (x) = x (36 – x)2, 0 < x < 36 É dicir, a función que debemos optimizar é a mesma do exemplo anterior.

anayaeducacion.es Exercicios de reforzo sobre optimización de funcións.

Pensa e practica

O lado do cadradiño será de 12 cm.

En tal caso, o volume da caixa será de 6 912 cm3.

1 Acha o número positivo cuxa suma con vinte e cinco veces o seu inverso sexa mínima

2 De entre todos os triángulos rectángulos cuxos catetos teñen lonxitudes que suman 10 cm, acha as dimensións daquel cuxa área é máxima.

3 Entre todos os rectángulos de perímetro 12 m, cal é o que ten a diagonal menor?

4 Determina as dimensións que debe ter un recipiente cilíndrico de volume igual a 6,28 litros para que poida construírse coa menor cantidade posible de lata

Dous importantes teoremas

O que din estes teoremas é moi sinxelo e natural. Con eles simplifícanse notablemente as demostracións de varios resultados que enunciamos e utilizamos, sen demostrar, nos primeiros apartados desta unidade. Lembremos dous deles:

f ' (x0) > 0 ⇒ f é crecente en x0

f ' (x0) = 0 e f '' (x0) > 0 ⇒ f ten un mínimo relativo en x0

Teorema de Rolle

A idea do teorema de Rolle é que unha curva continua e sen puntos angulosos que toma os mesmos valores nos extremos dun intervalo necesariamente ten algún punto con tanxente horizontal.

f é continua en [a, b] e derivable en (a, b).

Se f (a) = f (b), existe algún punto c ∈ (a, b) tal que f ' (c) = 0. a b

Demostración

• f continua en [a, b]

• f derivable en (a, b)

• f (a) = f (b)

Posto que f é continua en [a, b], acada no devandito intervalo un valor máximo e un valor mínimo (teorema de Weierstrass, unidade 7). Distingamos dous casos:

I. O máximo e o mínimo están un en a e outro en b. Como f (a) = f (b), o máximo e o mínimo coinciden. A función é constante en todo o intervalo e a súa derivada é cero non só nalgún punto, senón en todos.

II. f alcanza o máximo ou o mínimo nun punto c distinto dos extremos do intervalo. Como f é derivable en c, cúmprese que f ' (c) = 0. (Estamos aplicando o que xa demostramos na epígrafe 3: se f ten máximo ou mínimo en x0 e é derivable en x0, entón f ' (x0) = 0).

Observacións: Por que se esixen estas hipóteses?

• A condición «f continua en [a, b] e derivable en (a, b)» pode resultar chocante. Por que non poñer, simplemente, derivable en [a, b], co cal esixiriamos a existencia de derivadas laterais? Porque hai funcións con tanxente vertical e, polo tanto, non derivables nalgún dos extremos que quedarían inxustamente separadas dos beneficios deste teorema.

Por exemplo, a función f (x) = x 1– 2 , continua en [–1, 1], derivable en (–1, 1) pero non derivable en [–1, 1]. Fíxate en que f (1) = f (–1) = 0 e que f ' (0) = 0.

• E por que non esiximos, simplemente, que «f sexa derivable en (a, b)»? Pois porque se non esixísemos que f sexa continua nos extremos do intervalo «coaríansenos» funcións como a da marxe, que, evidentemente, non é boa candidata para pretender que cumpra a tese.

En definitiva: cómpre esixir a continuidade en [a, b], e é conveniente conformarse coa derivabilidade en (a, b).

existe

0 porque f non é continua en [a, b].

1 Comprobar que a función: y = x 3 – 4x + 3

cumpre as hipóteses do teorema de Rolle no intervalo [0, 2]. En que punto cumpre a tese?

2 Aplicando o teorema de Rolle, demostrar que a ecuación x4 – 8x 2 + k = 0 non pode ter máis dunha raíz no intervalo [0, 2], calquera que sexa o valor de k.

A función é derivable e, polo tanto, continua en todo Á.

Ademais, f (0) = f (2) = 3. Cumpre as hipóteses. Polo tanto, cumprirá a tese; é dicir, terá un punto de derivada nula entre 0 e 2.

f ' (x) = 3x 2 – 4 → 3x 2 – 4 = 0 → x = ± ± 3 4 3 23 = Efectivamente, c = 3 23 ≈ 1,15 ∈(0, 2) e f ' (c) = 0.

Imos demostralo por redución ao absurdo: supoñeremos que ten dúas raíces, r e s, no intervalo [0, 2] e chegaremos a unha contradición. Se r e s son raíces da ecuación, 0 ≤ r < s ≤ 2, entón P (x) = x 4 – 8x 2 + k cumpre as hipóteses do teorema de Rolle no intervalo [r, s], pois por ser polinómica é derivable, e polo tanto continua, e ademais P (r) = P (s) = 0. Cúmprese, pois, a tese: hai un número c ∈ (r, s) para o cal P' (c) = 0. Como c ∈ (r, s), entón 0 < c < 2.

Pero P ' (x) = 4x 3 – 16x só ten tres raíces: –2, 0, 2, ningunha delas está contida no intervalo (0, 2). Chegamos, pois, a unha contradición. Conclusión: a ecuación non ten dúas raíces en (0, 2). (É dicir, ten unha ou ningunha).

3 Calcular p, m e n para que:

as hipóteses do teorema de Rolle no intervalo [–1, 5]. Onde cumpre a tese?

que f tome o mesmo valor nos dous extremos do intervalo [–1, 5] → –1 – p = 5m + n O sistema formado polas tres ecuacións sinaladas ten como solución p = 10/3, m

estes valores cúmprense as hipóteses do teorema de Rolle.

Pensa e practica

1 Comproba que a función f (x) = sen x cumpre as hipóteses do teorema de Rolle no intervalo [0, π]. Onde cumpre a teses?

2 Calcula b para que a función: f (x)= x 3 – 4x + 3

cumpra as hipóteses do teorema de Rolle no intervalo [0, b]. Onde cumpre a tese?

3 Comproba que a función:

cumpre a hipótese do teorema de Rolle no intervalo [–0,5; 4]. Onde se cumpre a tese?

4 Aplicando o teorema de Rolle, demostra que a ecuación x 3 – 3x + k = 0 non pode ter máis dunha raíz no intervalo [–1, 1] calquera que sexa o valor de k.

Teorema do valor medio

A idea do teorema do valor medio (TVM) é que nunha curva continua e sen puntos angulosos que vai de A a B haberá algún punto intermedio no que a súa tanxente sexa paralela ao segmento AB

f é continua en [a, b] e derivable en (a, b). Entón, existe algún punto c ∈ (a, b) tal que:

f ' (c) = () () ba fb fa

c b

Demostración

Imos estudar a función ψ(x), que se obtén ao restar da ordenada da curva, f (x), a ordenada da recta r que pasa por A (a, f (a)) e B (b, f (b )).

(ψ é unha letra do alfabeto grego. Chámase psi ).

hipótese

• f continua en [a, b]

• f derivable en (a, b) ⇒ tese

Existe c ∈ (a, b) tal que f ' (c) = () () ba fb fa –

–

––É dicir: a x b

Polo tanto:

–f (x ) r (x

)

(x) = f (a) + () () () ba fb fa xa –A B

–f (x ) – r (x ) }(x ) = f (x ) – r (x ) a b

ψ(x) = f (x) – r (x) = f (x) – f (a) – () () () ba fb fa xa –

TEN EN CONTA

ψ(x) = f (x) – r (x) é continua en [a, b] e derivable en (a, b) porque f (x) e r (x) o son.

} }

Vexámolo: () () () () () () () () () () () ()

ψ'(c) = 0.

bf bf a ba fb fa ba af af a ba fb fa aa

== ==

Como ψ'(x) = f ' (x) – () () ba fb fa –

–

––

–––

0 0

b b b b

_ ` a

→ ψ(b) = ψ(a)

Polo tanto, ψ(x) cumpre a tese do teorema de Rolle: existe c ∈ (a, b) tal que

–: ψ'(c) = f ' (c) – () () ba fb fa –

–= 0

É dicir, existe un c ∈ (a, b) tal que f ' (c) = () () ba fb fa –

–.

Exercicios resoltos

1 Comprobar que y = x cumpre as hipóteses do teorema do valor medio no intervalo [0, 9].

Onde cumpre a tese?

2 Calcular a e b para que a función

x é continua en [0, 9] e derivable en (0, 9). Cumpre, pois, as hipóteses do TVM. Polo tanto, cumpre a tese.

as hipóteses do TVM no in­

5].

3 Se f (x) = mx2 + nx + p, comprobar que nesta parábola se dá que o punto c para o cal

f ' (c) = () () ba fb fa –

–é, precisamente, a media aritmética da e b :

c = (a + b)/2

Pensa e practica

f ' (c) = 2mc + n

Polo tanto: 2mc + n = m (b + a) + n → 2c = b + a → c = ba 2 +

7 Aplica o teorema do valor medio, se é posible, no intervalo [–2, –1] á función seguinte:

Calcula o valor correspondente a c e comproba graficamente o resultado obtido.

as hipóteses do teorema do valor medio en [–3, 2].

Onde cumpre a tese? Fai a gráfica.

8 Repite o exercicio anterior para a función:

Aplicacións teóricas do teorema do valor medio

Ao longo da unidade demostramos algunhas propiedades como, por exemplo:

«f crecente e derivable en x0 ⇒ f ' (x0) ≥ 0» nas que, a partir de certas propiedades da función, se obteñen consecuencias da súa derivada. Pero deixamos sen demostrar outras do tipo:

«f ' (x0) > 0 ⇒ f é crecente en x0» nas que, a partir dalgunha propiedade de f ' (x), se obteñen datos da función. Co teorema do valor medio simplifícanse notablemente as demostracións deste último tipo de teoremas nos que se deducen propiedades dunha función, f (x), a partir de sinxelas propiedades da súa derivada, f ' (x).

función constante

Sabemos que a derivada dunha función constante é cero en todos os seus puntos. Agora imos probar o recíproco: se a derivada dunha función é cero en todos os seus puntos, entón esa función é constante.

f é continua en [a, b] e derivable en (a, b).

Se f ' (x) = 0 en todos os puntos de (a, b), entón f é constante en [a, b].

Demostración

hipótese

• f continua en [a, b]

• f derivable en (a, b)

• f ' (x) = 0 para calquera x ∈ (a, b)

⇒

OBSERVA

Hai funcións nas que todos os puntos nos que son derivables teñen derivada igual a 0 pero que non son constantes. Por exemplo, a función signo:

tese f é constante en [a, b]

Para probar que f é constante en [a, b], tomaremos dous puntos calquera do intervalo e veremos que f toma o mesmo valor en ambos os dous.

Sexan x1, x2 ∈ [a, b], x1 < x2. Cúmprense as hipóteses do TVM en [x1, x2] e, polo tanto:

∃ c ∈ (x1, x2) que verifica

Evidentemente, a razón é que non cumpre as hipóteses, pois non é continua nin derivable en x = 0.

()

() xx fx fx ––21 21 = f ' (c)

Pero como f ' (x) = 0 en todo o intervalo (a, b), f ' (c) = 0. Polo tanto:

f (x2) – f (x1) = 0, é dicir, f (x2) = f (x1)

Isto significa que a función toma o mesmo valor en dous puntos calquera do intervalo e, polo tanto, é constante.

función crecente nun punto

No apartado 2 desta unidade vimos e demostramos que:

«f crecente e derivable en x0 ⇒ f ' (x0) ≥ 0» tamén afirmamos alí que « f ' (x0) > 0 ⇒ f é crecente en x0».

Esta última implicación quedou sen demostrar. Agora, utilizando o teorema do valor medio poderemos probala facilmente, retocando a hipótese de partida.

f é derivable nun contorno de x0 e f ' (x0) > 0 ⇒ f é crecente en x0

Demostración

hipótese

• f derivable nun contorno de x0

• f ' (x0) > 0

⇒

FUNCIÓN DECRECENTE

tese f é creciente en x0

Se f ' (x0) > 0, hai un contorno E = (x0 – δ, x0 + δ) onde f ' é positiva.

Se tomamos dous puntos calquera, x1 < x2 de E, f cumpre as hipóteses do TVM en [x1, x2]. Polo tanto, cúmprese a tese:

∃ c ∈ (x1, x2) tal que () () xx fx fx ––21 21 = f ' (c) e, por hipótese, f ' (c) > 0

De aí dedúcese que f (x2) – f (x1) > 0 e, polo tanto, que f (x2) > f (x1).

A función é, pois, crecente en (x0 – δ, x0 + δ) e, polo tanto, éo en x0.

mínimo relativo

No apartado 3 desta unidade demostramos que:

«se f ten un mínimo en x0 e é derivable, entón f ' (x0) = 0»

Tamén viamos que a implicación recíproca non sempre é certa. Agora estamos en condicións de enunciar e demostrar unha proposición parecida á súa recíproca:

f ' (x0) = 0 e f '' (x0) > 0 ⇒ f presenta un mínimo relativo en x0

Demostración hipótese

• f ' (x0) = 0

• f '' (x0) > 0

f ten un mínimo relativo en x0

Para probar que f ten un mínimo en x0 demostraremos que é decrecente á súa esquerda e crecente á súa dereita. Para iso, teremos en conta o resultado anterior que asocia o crecemento ou decrecemento co signo da derivada, f ' :

f '' (x0) = lm í 0 h "

() ()fx''fx h h–00 + = lm í 0 h "

() ' fx h h 0 + > 0

Se h < 0, f ' (x0 + h) < 0 ⇒ f é decrecente á esquerda de x0 1

Se h > 0, f ' (x0 + h) > 0 ⇒ f é crecente á dereita de x0 2

Por 1 e 2 , f presenta un mínimo en x0

Pensa e practica

1 Demostra que se f é derivable nun contorno de x0 e f ' (x0) < 0, entón f é decrecente en x0

Naturalmente hai un resultado análogo para funcións decrecentes:

f ' (x0) < 0 ⇒ f decrecente en x0

LEMBRA

Analogamente, pódese demostrar que, se f ' (x0) = 0 e f '' (x0) < 0, entón f presenta un máximo relativo en x0.

(*) Pola primeira hipótese.

(**) Pola segunda hipótese.

(***) f ' < 0 ⇒ f decrecente

(****) f ' > 0 ⇒ f crecente

2 Demostra que se f ' (x0) = 0 e f '' (x0) < 0, entón f presenta un máximo relativo en x0

Exercicios e problemas resoltos

1. Recta tanxente e recta normal

Dada a función f (x) = |x| e –x, escribir, se é posible, a ecuación da recta tanxente e a da recta normal para x = 0 e para x = –1.

≥ xe xe x x 0 0 –si si < x x –– ) se se ≥ xe xe x x 0 0 –si si < x x –– ) É unha

función continua en Á, xa que

FAINO TI

Escribe a ecuación da recta tanxente e a da recta normal á curva xy yx = 1 no punto (1,1).

+ .

+ * :

x x

A recta tanxente en x = –1 é y = f (–1) + f ' (–1)(x + 1) → y = e – 2e(x + 1)

A recta normal en x = –1 é y = f (–1) – () f 1 1 –l (x + 1) → y = e + e2 1 (x + 1)

2. Tanxente que pasa por un punto exterior

Achar os puntos da curva

f (x) = x 1 1 –nos que a recta tanxente a ela pase polo punto P (–3, 2).

• As coordenadas do punto de tanxencia son x = a, f (a) = a 1 1 –

A pendente da tanxente en x = a é f ' (a) = () a 1 1 ––2

• A pendente do segmento da tanxente que pasa polo punto P (–3, 2) e polo punto de tanxencia ,a a 1 1 –dn debe ser igual a f ' (a).

FAINO TI

Acha os puntos da curva

f (x) = x 2 – 2x + 4 nos que a recta tanxente a ela pasa pola orixe de coordenadas.

Se P é un punto calquera da gráfica de xy = 1, probar que o triángulo formado pola recta OP, a tanxente a esa gráfica en P e o eixe y = 0 é isóscele.

FAINO TI

Escribe a ecuación da recta tanxente á

y = x 1 no punto de coordenadas (3, 1/3).

Un punto P calquera da curva y =

Tanxente

ten por coordenadas ,a a 1 dn

eixe

dos

4 =+ = + dn

|| a aa a OP 1 1 2 2

,

4. Intervalos de crecemento

Estudar os intervalos de crecemento e decrecemento das seguintes funcións e determinar os seus máximos e os seus mínimos.

a) f (x) = e x (x 2 – 3x + 1)

b) f (x) = ≤ ln xx xx si x si x 20 0 > 2 * se se ≤ ln xx xx si x si x 20 0 > 2 *

a) A función é continua e derivable en todo o seu dominio, Á f é crecente nos intervalos onde f ' > 0, e decrecente se f ' < 0. Buscamos os puntos de derivada nula.

Como e x > 0 para calquera x, f ' anúlase se: x 2 – x – 2 = 0 → x = –1, x

f crece en (– ∞, –1) ∪ (2, +∞) e decrece en (–1, 2).

Ten un máximo en , e 1 5 –dn e un mínimo en (2, –e 2).

b) A función é continua en Á pero non é derivable en x

FAINO TI

Estuda os intervalos de crecemento e decrecemento das seguintes funcións:

a) f (x) = x x 4 –2 3

b) f (x) = ln (x 2 + 4x – 5)

5. Función derivada

f crece en (– ∞, –1) ∪ ,∞ e 1 + dn e decrece en (–1, 0) ∪ , e 0 1 dn .

Ten un máximo en (–1, 1) e un mínimo en , ee 11 –dn .

a) f (x) non é derivable en x = 1. Non existe f ' (1), xa que f ' (1–) = 2 ≠ 1 = f ' (1+).

b) f (x) é crecente en (– ∞, 1) ∪ (1, 2) porque nese intervalo f' (x) > 0.

f (x) é decrecente en (2, + ∞) porque f ' (x) < 0.

Esta é a gráfica da función derivada dunha función f continua en Á

a) Explicar razoadamente se f é derivable en todo Á.

b) Estudar o crecemento e o decrecemento de f e explica se ten algún extremo relativo.

c) Representar f '' (x).

f (x) ten un extremo en x = 2, porque na gráfica observamos que f ' (2) = 0. Ademais, en x = 2, f ' (x) pasa de positiva a negativa e, por iso, f (x) pasa de crecente a decrecente, o que nos asegura que f (x) ten un máximo en x = 2.

c) Os valores de f'' (x) son as pendentes das semirrectas que forman f' (x). A súa gráfica é a seguinte:

Exercicios e problemas resoltos

6. Puntos nos que se anulan f ', f '' e f '''

Dada a función f (x) =1 – (2 – x)5 estudar se ten máximo, mínimo ou punto de inflexión en x = 2.

• Achamos f ' , f '' , f ''' :

f ' (x) = 5(2 – x)4 → f '' (x) = –20(2 – x)3 → f ''' (x) = 60(2 – x)2

Ao facer x = 2, verifícase f ' (2) = f '' (2) = f ''' (2) = 0.

• Estudamos o signo de f ' á esquerda e á dereita de x = 2:

2 f ' > 0 f ' > 0

f crece á esquerda e á dereita de 2 → f non ten máximo nin mínimo en x = 2.

• Comprobamos que ten un punto de inflexión estudando o signo de f '' :

FAINO TI

Estuda se a función

f (x) = 3 – (x + 1)4 ten algún máximo, mínimo ou punto de inflexión.

f '' < 0 f '' > 0

2

Á esquerda de x = 2, a función é convexa, e á dereita de x = 2, a función é cóncava. O punto (2, 1) é un punto de inflexión.

7. Parámetros nunha función definida a anacos

• Para que sexa continua debe ser:

Determinar os valores de a, b e c para que a función sexa continua, teña un máximo en x = –1 e a tanxente en x = –2 sexa paralela á recta y = 2x.

FAINO TI

Calcula b e d para que a función f (x) = –x 3 + bx 2 + x + d teña un máximo relativo no punto (1, 4).

8. Teorema de Rolle

Demostrar que a función:

f (x) = (1 – x 2) sen x ten un máximo relativo que pertence ao intervalo 0, 2 r bl

• Se ten un máximo en x = –1, debe ser: f ' (–1) = 0, é dicir, como f ' (x) = 2ax + b → –2a + b = 0

• Se a tanxente en x = –2 é paralela a y = 2x, debe ser: f ' (–2) = 2 → – 4a + b = 2

• Resolvemos o sistema: ab ab 20 42 ––+= += ) ; a = –1, b = –2

Os valores pedidos son: a = –1, b = –2, c = 0.

• f é continua e derivable en todo Á

•( )( )

•( )( ) fsen fsen 01 00 0 11 11 0 ––== == 4 f cumpre as hipóteses do teorema de Rolle en [0, 1].

Como [0, 1] está contido en 0, 2 r bl , podemos asegurar que existe un c ∈ 0, 2 r bl tal que f ' (c) = 0.

Para saber se en c hai un máximo ou un mínimo, utilizamos a segunda derivada:

f ' (x) = –2x sen x + (1 – x 2)cos x

f '' (x) = (x 2 – 3)sen x – 4x cos x

Se c ∈(0, 1): c 2 – 3 < 0, sen c > 0, 4c > 0, cos c > 0

f '' (c) = (– · +) – (+ · +) < 0 → f ten un máximo en x = c

9. Área máxima

Nun xardín con forma de semicírculo de raio 10 m vaise instalar un xardín rectangular, un de cuxos lados está sobre o diámetro e o oposto a el ten os seus extremos na parte curva. Calcular as dimensións do xardín para que a súa área sexa máxima.

Tomamos como orixe de coordenadas o centro da circunferencia.

P (x, y) é un punto da circunferencia.

do xardín é: S = 2xy

circunferencia, debe verificar que:

FAINO TI

Deséxase construír un depósito de latón con forma de cilindro de área total 54 cm2. Determina o raio da base e a altura do cilindro para que o volume sexa máximo.

10. Problema de tempo mínimo

Un nadador, A, atópase a 3 km da praia en fronte dunha caseta. Desexa ir a B, na mesma praia, a 6 km da caseta. Sabendo que nada a 3 km/h e anda pola area a 5 km/h, indagar a que lugar debe dirixirse a nado para chegar a B no menor tempo posible.

= 0 () x x 52 52 –novale = = (non vale)

En x = 52 hai, efectivamente, un máximo, xa que S'(x) > 0 se x < 52 , e S'(x) < 0 se x > 52

As dimensións do xardín serán 10 2 m e 5 2 m, e a súa área máxima será 100 m2.

Chamámoslle x á distancia da caseta ao punto P ao que debe chegar a nado.

Ten que percorrer:

AP x 9 2 =+ a 3 km/h e

PB = 6 – x a 5 km/h

O

FAINO TI

A vela maior dun barco ten forma de triángulo rectángulo. Se a hipotenusa debe medir 6 m, calcula as súas dimensións para que a superficie da vela sexa máxima.

•

0 xa que t ' (4) = 1/15.

Debe dirixirse a nado a un punto que diste 2,25 km da caseta.

O tempo que tardará en chegar a B é:

horas

➜ Simula a área e obtén a curva que lla describe.

Exercicios e problemas guiados

1. Tanxente perpendicular a unha recta

Escribir as ecuacións das rectas tanxentes á función f (x) = 4x3 – 2x +1 que son perpendiculares á recta x + y – 2 = 0.

• Se a pendente da recta é m, a da súa perpendicular é m –1

• Para obter os puntos de tanxencia, resolve a ecuación f ' (x) = m –1 .

• Acha os puntos de tanxencia e escribe as ecuacións pedidas.

Solución: y = x; y = x + 2

Determinar os intervalos de concavidade e convexidade e os puntos de inflexión da función:

f (x) = x x 1 –2 2

Calcular o máximo e o mínimo absolutos, no intervalo [–1, 2] da función:

f (x) = ln (x 2 + x + 1) – x

Dada a función f (x) = x xx47 –2 + , demostrar que existe un valor c ∈ (1, 3) tal que f ' (c) = 4.

• Resolve a ecuación f '' (x) = 0.

• Lembra que, para que exista un punto de inflexión, a curva debe pasar de cóncava a convexa ou de convexa a cóncava.

• Ten en conta o dominio de definición da función para determinar os intervalos onde debes estudar o signo de f '' (x).

Solución: Cóncava en (– ∞, –1) ∪ (1, +∞) e convexa en (–1, 1). Non ten puntos de inflexión.

• Estuda o dominio de f (x) e a súa continuidade no intervalo dado.

• Lembra que unha función continua nun intervalo pechado alcanza o máximo e o mínimo absolutos nos extremos do intervalo ou nos extremos relativos.

• Obtén as abscisas dos extremos relativos. Calcula e compara o valor de f (x) neses puntos e en x = –1 e en x = 2.

Solución: O máximo absoluto alcánzase no punto (–1, 1) e o mínimo absoluto en (2, ln 7 – 2).

• Estuda o dominio de f (x) e a súa continuidade no intervalo [1, 3].

• Acha a derivada de f (x) tomando logaritmos.

• Comproba que a derivada existe no intervalo (1, 3). Aplica o teorema do valor medio e obtén c

Solución: f (x) é continua en [1, 3] e derivable en (1, 3). Entón, existe un c tal que f ' (c) = () () ff 31 31 4 ––=

Sexa f (x) = x 2 e – ax con a ≠ 0.

a) Calcular o valor de a para que a función teña un extremo relativo no punto de abscisa x = 2.

b) Clasificar os extremos relativos cando a = 2.

a) Os extremos relativos están entre as solucións da ecuación f ' (x) = 0.

Unha das solucións desa ecuación depende de a. Para x = 2, obterás o valor de a

b) Estuda o signo de f' (x) nos intervalos que determinan os puntos singulares.

Solución:

a) a = 1

b) Ten un mínimo relativo en (0, 0) e un máximo relativo en (1, e –2).

2. Intervalos de concavidade e convexidade

3. Máximo e mínimo absoluto

4. Teorema do valor medio

5. Extremos relativos

Exercicios e problemas propostos

Para practicar Recta tanxente

1 Acha a ecuación da recta tanxente ás seguintes curvas nos puntos que se indican:

a) y = ln (tan 2x) en x =  8 r

b) y =  senx 5 en x =  6 r

c) x 2 + y 2 – 2x – 8y + 15 = 0 en x = 2

d) y = (x 2 + 1)sen x en x = 0

2 Acha as tanxentes á curva:

y =  x x 1 2 –

paralelas á recta 2x + y = 0.

3 Obtén a ecuación da recta tanxente paralela ao eixe de abscisas nas seguintes curvas:

a) y = x ln x b) y = x 2 e x c) y = sen 2x

4 Acha o punto da gráfica de y = 2 x no que a tanxente forma un ángulo de 60° co eixe X. Escribe a ecuación desa tanxente

5 a) Acha a ecuación da recta tanxente á gráfica da función

f (x) = x 3 – 3x 2 + 2x + 2 en x = 3.

b) Existe algunha outra recta tanxente á gráfica de f que sexa paralela á que achaches? En caso afirmativo, áchaa.

6 Acha a ecuación da recta tanxente á curva:

y = 4x 3 – 2x 2 – 10 no seu punto de inflexión

7 Acha os puntos da curva: y = 3x 2 – 5x + 12 nos que a recta tanxente a ela pase pola orixe de coordenadas.

8 Acha os puntos da curva:

y =  4 1 x 2 + 4x – 4 nos que a recta tanxente a esta pase polo punto (0, –8). Escribe as ecuacións das rectas tanxentes nos devanditos puntos

9 Acha, en cada caso, as ecuacións das rectas tanxentes paralelas ao eixe X:

a) y =  () x x 31 –3 b) y =  ln x x 2 c) y =  e xx 2 x 2 +

Máximos e mínimos. Puntos de inflexión

10 Acha os máximos, os mínimos e os puntos de inflexión das seguintes funcións:

a) y = x 3 – 6x 2 + 9x b) y =  ()xx 12 38 –3

c) y = x 4 – 2x 3 d) y = x 4 + 2x 2

e) y =  x 1 1 2 + f) y = e x (x – 1)

11 Acha os intervalos de crecemento e de decrecemento, e os máximos e os mínimos das seguintes funcións:

a) y =  ()xx x 2 83 –– b) y =  x x 1 1 –2 2 +

c) y =  x x 1 –2 3 d) y =  x xx 2 23 ––2

e) y =  x x 1 –2 f ) y =  ()xx 3 8 –2

12 Estuda a concavidade, a convexidade e os puntos de inflexión das seguintes funcións:

a) y = x 3 – 3x + 4 b) y = x 4 – 6x 2

c) y = (x – 2)4 d) y = x e x

e) y =  x x 1 2–+ f) y = ln(x + 1)

13 Estuda se as seguintes funcións teñen máximos, mínimos ou puntos de inflexión no punto de abscisa x = 1:

a) y = 1 + (x – 1)3 b) y = 2 + (x – 1)4

c) y = 3 – (x – 1)6 d) y = –3 + 2(x – 1)5

14 Determina os máximos e mínimos das seguintes funcións:

a) f (x) = x +  () x 1 4 –2 b) f (x) = x ln x

c) f (x) = sen x – cos x d) f (x) = e –x2

15 Dadas as funcións:

a) Comproba que son derivables en Á.

b) Determina os seus intervalos de crecemento e decrecemento e os seus máximos e mínimos.

16 Estuda os intervalos de crecemento e decrecemento da función f (x) = x | x |. Ten máximos ou mínimos?

Determina os intervalos de concavidade e convexidade. Ten algún punto de inflexión?

Exercicios e problemas propostos

Funcións dependentes de parámetros

17 Dada a función f (x) = 1 +  x a x 6 2 + , calcula a sabendo que f (x) en un extremo relativo no punto de abscisa x = 3. Trátase dun máximo ou un mínimo?

18 Da función f (x) = ax 3 + bx sabemos que pasa por (1, 1) e nese punto ten tanxente paralela á recta 3x + y = 0. Acha a e b

19 Acha unha función f (x) = x 3 + ax 2 + bx + c que teña un extremo relativo no punto de abscisa x = 2 e un punto de inflexión en P (1, 2).

20 Calcula os coeficientes de a, b e c da función f (x) = x 4 + ax 3 + bx 2 + cx, sabendo que:

a) A ecuación da recta tanxente a f en x = 0 é y = x

b) Ten un extremo relativo no punto (–1, 0).

21 Acha a, b, c e d para que f (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d teña un máximo relativo no punto (0, 4) e un mínimo relativo no punto (2, 0).

22 As funcións f (x) =  x 4  +  ax 2  +  bx e g(x) =  x –  cx 2 pasan polo punto (1, 0). Determina os coeficientes a, b e c para que teñan a mesma recta tanxente nese punto e calcúlaa.

23 Dada a función y = ax 4 + 3bx 3 – 3x 2 – ax, calcula os valores de a e b sabendo que ten dous puntos de inflexión, un en x = 1 e outro en x = 1/2.

24 A curva y = x 3 + ax 2 + bx + c corta o eixe de abscisas en x = –1 e ten un punto de inflexión no punto (2, 1). Calcula a, b e c

25 A función f (x) = x 3 + ax 2 + bx + c verifica que f (1) = 1, f '(1) = 0 e que f non ten extremo relativo en x = 1. Calcula a, b e c.

26 Sexa f (x) = x 3 + ax 2 + bx + 5. Acha a e b para que a curva y = f (x) teña en x = 1 un punto de inflexión con tanxente horizontal

27 Acha o valor de c de modo que a función y =  xc e x 2 + teña un único punto crítico.

Trátase dun máximo, dun mínimo ou dun punto de inflexión?

28 a) Calcula os valores dos parámetros a e b para que sexa derivable a función:

Para resolver

29 Acha a ecuación da recta tanxente e a da recta normal á curva x 2  – y 2 + 2x – 6 = 0 nos puntos de ordenada y = 3.

30 Determina os puntos da circunferencia (x – 3)2 + (y + 2)2 = 16 nos que a recta tanxente a ela é paralela á bisectriz do primeiro cuadrante.

31 Escribe a ecuación da recta tanxente á curva y = arctan x x 1 1 –+ que é paralela á recta x – 2y + 3 = 0.

32 Acha a ecuación da tanxente á curva y = x x/2 no punto de abscisa x = e

33 Acha o ángulo que forman as rectas tanxentes ás funcións f (x) e g (x) no punto de abscisa 2: f (x) = 2x – x 2 g (x) = x 2  – x – 2

34 Dada a función f (x) = | x – 3|(x +1), acha os puntos onde as tanxentes son paralelas á recta y = 6x – 2.

35 Dada a función f (x) = 4 – x 2 pídese:

a) O punto desa curva no que a tanxente é paralela á corda que une os puntos (–1, 3) e (2, 0).

b) As rectas que pasan polo punto (–2, 1) e son tanxentes á curva.

36 Acha a ecuación da tanxente á curva f (x) = x 3 + 3x 2 – 1 con pendente mínima.

37 Dada a curva: y =  x 3 1 2 + :

a) Expresa a función m(x) que dá a pendente da recta tanxente á curva en cada punto x.

b) Calcula o valor de x onde se alcanza a máxima pendente.

38 Acha o dominio de definición e os intervalos de crecemento e decrecemento da función:

f (x) =  ln x x 1 1 –2 2 + e o

39 Estuda os intervalos de crecemento e os máximos e os mínimos da función dada por: y = |x 2 + 2x – 3|

b) Acha os seus extremos relativos no caso a = –2, b = 1.

40 Estuda a existencia de máximos e mínimos relativos e absolutos da función y = |x 2 – 4|.

41 Acha o valor que debe ter a para que a función f (x) = x 2 ln a x , a > 0, teña un punto singular en x = e.

42 Considérase a función f (x) =  ≤ ln ax bx c xx x x 0 0 se se > 2 ++ )

Determina a, b e c para que sexa continua, teña un máximo en x = –1 e a tanxente en x = –2 sexa paralela á recta y = 2x.

51 Deséxase cercar un terreo rectangular usando 100 m dunha tea metálica. Decidiuse deixar unha abertura de 20 m sen cerrar nun dos lados da parcela para colocar unha porta. Calcula as dimensións de todos os lados da parcela rectangular de área máxima que se pode cercar desa maneira. Calcula tamén o valor desa área máxima.

52 Quérese construír un recipiente cónico de xeratriz 10 cm e de capacidade máxima. Cal debe ser o raio da base?

2 2 + ++

2 2 + ++ * se se ≤ xpx xmxn x x 1 1 –si si > *

calcula os valores de m, n e p para que f sexa derivable en Á e teña un extremo relativo en x =  2 1 –.

b) É un máximo ou un mínimo?

c) Comproba se existen outros puntos singulares e representa a función.

*

b) Ten puntos singulares?

x–+

53 Nun cadrado de lado 10 cm queremos apoiar a base dun cilindro cuxa área lateral é 50 cm2. Cal debe ser o raio do cilindro para que o seu volume sexa máximo?

h

10 cm r

10 cm

54 Nun triángulo isóscele de base 12 cm (o lado desigual) e altura 10 cm, inscríbese un rectángulo de forma que un dos seus lados estea sobre a base do triángulo e dous dos seus vértices sobre os lados iguais:

45 Acha os puntos da parábola y = x 2 – 1 que se atopan a distancia mínima do punto A 2, 2 1 dn

46 Calcula os extremos relativos, os intervalos de crecemento e decrecemento e os de concavidade e convexidade das seguintes funcións:

a) f (x) = x 2 + | x – 2 |

b) f (x) = 3e –2| x |

47 Calcula o máximo e o mínimo absolutos no intervalo [–2, 3] da función f (x) = ln (x 2 + 1) + (x – 3).

48 a) Sendo h (x) a suma das coordenadas do punto P (x, f (x)) da gráfica de f (x) = x 4 + x 3 + x 2  – x + 1. Calcula os extremos relativos de h (x).

b) Ten h (x) algún extremo absoluto?

49 O punto P (x, y) percorre a elipse x y 25 9 2 2 +  = 1.

Deduce as posicións do punto P para as que a súa distancia ao punto (0, 0) é máxima e tamén aquelas para as que a súa distancia é mínima

50 Sexan x e y dous números positivos cuxo produto vale 16. Pode x + y ser menor que 7? Razoa a resposta.

a) Expresa a área, A, do rectángulo en función da súa base, x, e di cal é o dominio da función.

b) Acha o valor máximo desa función.

55 Meta 7.3. Queremos facer un envase con forma de prisma regular de base cadrada e capacidade 80 cm3. Para a tapa e a superficie lateral, usamos un determinado material, pero para a base, debemos empregar un material un 50 % máis caro. Acha as dimensións deste envase para que o seu prezo sexa o menor posible.

56 Dous postes de 12 m e 18 m de altura distan entre si 30 m. Deséxase tender un cable que una un punto do chan entre os dous postes cos extremos destes. Onde hai que situar o punto do chan para que a lonxitude total do cable sexa mínima?

57 De todas as rectas que pasan polo punto (1, 2), encontra a que determina cos eixes de coordenadas, e no primeiro cadrante, un triángulo de área mínima

58 Cada unha das páxinas dun libro debe ter 600 cm2 de superficie, coas marxes arredor do texto de 2 cm na parte inferior, 3 cm na parte superior e 2 cm a cada lado. Calcula as dimensións da páxina que permiten que a superficie impresa sexa o máis grande posible.

Exercicios e problemas propostos

59 Un rectángulo ten os seus vértices nos puntos (0, 0), (a, 0), (0, b) e (a, b), onde a > 0, b > 0 e, ademais, o punto (a, b) está situado na curva de ecuación y = x 1 2 + 9.

De entre todos os rectángulos que cumpren esas condicións, determina o rectángulo de área mínima e calcula esta área mínima.

60 Considera un triángulo isóscele cuxa base de 12 cm é o lado desigual e cuxa altura é de 5 cm. Quérese determinar un punto A situado sobre a altura a unha distancia x da base, de maneira que a suma das distancias do punto A aos tres vértices do triángulo sexa mínima. Observa a figura: A x 5 cm } 12 cm

a) Demostra que a suma das distancias do punto A aos tres vértices do triángulo vén dada pola expresión f (x) = 5 – x + 2 x 36 2 +

b) Calcula o valor de x para que a suma das distancias sexa mínima.

c) Calcula esa cantidade mínima.

61 As agullas dun reloxo miden 4 cm e 6 cm; unindo os seus extremos fórmase un triángulo.

a) Demostra que a área do devandito triángulo vén dada por A (x) = 12sen x, onde x é o ángulo que forman as agullas.

b) Acha x para que a área do triángulo sexa máxima e calcula a devandita área.

62 A velocidade dunha partícula en m/s, vén dada pola función v (t ) = (t 2 + 2t)e –t con t ≥ 0.

a) En que momento do intervalo [0, 3] se alcanza a velocidade máxima?

b) Calcula lm í x ∞ " + v (t ) e interpreta o resultado.

63 Dada f: [1, e] → Á definida por f (x) =  x 1  +  ln x, determina cales das rectas tanxentes á gráfica de f teñen a máxima pendente

64 Calcula as dimensións do triángulo isóscele de área máxima, inscrito nunha circunferencia de 4 m de raio.

Cuestións teóricas

65 Comproba que f (x) = x 3 – 18x, definida no intervalo [0, 3 2 ], verifica as hipóteses do teorema de Rolle e atopa o valor c ∈ (0, 3 2 ) para o que f ' (c) = 0.

66 A función y = x 3 – 5x 2 + 3x – 2, cumpre as hipóteses do teorema do valor medio no intervalo [0, 4]? En caso afirmativo, di cal é o x0 que cumpre a tese

67 Dada a función:

Proba que f satisfai as hipóteses do teorema do valor medio en [–2, 0] e calcula o ou os puntos nos que se cumpre o teorema

68 É posible calcular a, b,

para que a función:

cumpra o teorema de Rolle no intervalo [0, c]?

69 A función f (x) = | cos x | toma nos extremos do intervalo [0, π] o valor 1. Cumprirá o teorema de Rolle?

70 Sexa f unha función continua e derivable tal que f (0) = 3. Calcula canto ten que valer f (5) para asegurar que en [0, 5] existe un c tal que f ' (c) = 8.

71 Calcula a e b para que:

< 2 + )

cumpra as hipóteses do teorema do valor medio no intervalo [2, 6]. Onde cumpre a tese?

72 Sexa f (x) = 1 – x 2/3

Proba que f (1) = f (–1) = 0, pero que f'(x) non é nunca cero no intervalo [–1, 1]. Explica por que este resultado contradí aparentemente o teorema de Rolle.

73 A derivada dunha función f é positiva para todos os valores da variable. Pode haber dous números distintos, a e b, tales que f (a) = f (b)? Razóao.

74 Calcula a, b e c para que a función:

f (x) =  ≥ xaxb cx x x 1 2 2 si si < 2 ++ + ) se se ≥ xaxb cx x x 1 2 2 si si < 2 ++ + )

cumpra as hipóteses do teorema de Rolle no intervalo [0, 4]. En que punto se cumpre a tese?

75 Dada a función:

f (x) =  () () ln ln xx x 31020 –x 2 ++ + demostra que existe un valor a ∈ (1, 2) tal que f ' (a) = 0. Menciona e xustifica os resultados teóricos empregados.

76 Verdadeiro ou falso? Razoa a resposta.

a) Unha función que non sexa unha recta pode ter infinitos puntos nos que a súa recta tanxente sexa y = 1.

b) Se f ' (a) = 0, f '' (a) = 0, entón f non pode ter nin máximo nin mínimo en x = a

c) Se un polinomio de grao 3 ten un mínimo en x = 2, ese mínimo non pode ser mínimo absoluto.

d) Unha función continua en [0, 5], que non é derivable en x = 3, non pode ter un máximo en x = 3.

e) Se y = f (x) é crecente en x = a, entón y = –f (x) é decrecente en x = a

f ) Se f' (a) = 0, f ten un máximo ou un mínimo en x = a.

g) Se f' (a) = 0, f '' (a) = 0 e f '' (a) = –5, f ten un punto de inflexión en x = a.

h) Se esta é a gráfica de f' (x), entón f ten un mínimo en x = –1 e un máximo en x = 1.

Para afondar

77 Nun experimento realizáronse cinco medidas do mesmo obxecto, que deron os resultados seguintes:

m1= 0,92; m2 = 0,94; m3 = 0,89; m4 = 0,90; m5 = 0,91

Tomarase como mellor aproximación á medida real o valor de x tal que a suma dos cadrados dos erros sexa mínima. É dicir, o valor para o que a función:

E(x) = (x – m1)2 + (x – m2)2 + … + (x – m5)2

alcanza o mínimo. Calcula ese valor de x.

78 Demostra que existe α ∈ (–1,3) tal que f ' (α) =  4 –1 sendo

f (x) =  [( )] log xx x2 7 –x 22 4 3– 3 ++

Menciona os resultados teóricos empregados e xustifica o seu uso.

79 Cando un globo está a 200 m sobre o chan e se eleva a 15 m/s, un automóbil pasa por debaixo del con velocidade de 45 km/h. Con que velocidade se separan coche e globo un segundo despois?

Ten en conta o seguinte:

— O globo está a 200 +15t m de altura no intre t.

— O coche está a (45/3,6) · t m da vertical do globo. Acha a distancia entrambos os dous e descubre a velocidade de afastamento cando t = 1.

1 Acha os puntos da función:

f (x) = ln cos cos x x 1 1–+ nos que a recta tanxente sexa paralela á recta y = 2x – 3.

2 Calcula os extremos relativos e os intervalos de crecemento e decrecemento e os de concavidade e convexidade da función seguinte:

f (x) = x | x – 2 |

3 Estuda o crecemento da función f (x) = e x (cos x + sen x) e determina os seus máximos e mínimos para x ∈ [0, 2π].

4 a) Estuda a curvatura da seguinte función:

f (x) = x 2 ln x

b) Escribe a ecuación da recta tanxente que pasa polo seu punto de inflexión.

5 Determina a, b, c e d para que a función:

g (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d teña un máximo relativo no punto (0, 4) e un mínimo relativo no punto (2, 0).

6 Calcula o punto da curva y =  x 1 1 2 + no que a pendente da recta tanxente sexa máxima

7 De todos os cilindros que poden inscribirse nunha esfera de 9 cm de raio, acha a altura e o raio do que ten maior volume.

8 A función f (x) = 1 – | x | si x ∈ [–2, 2] verifica a igualdade f (–2) = f (2).

Xustifica se é posible atopar algún c ∈ (–2, 2) tal que f ' (c) = 0.

Representación de funcións 11

Concepto de función

Nos séculos xv e xvi sentáronse as bases da simboloxía alxébrica que permitiron un manexo moi práctico das matemáticas, o que abriu camiño á diferenciación entre as variables dunha función e as incógnitas dunha ecuación, esencial para chegar a establecer a noción de función.

A principios do século xvii, Galileo utilizou por primeira vez a experimentación cuantitativa como fonte de información. Empezou a relacionar de forma funcional as causas e os efectos. Isto foi fundamental para determinar a concepción de variable dependente. As investigacións de Galileo sobre as relacións matemáticas entre dúas variables (x e y, causas e efectos) son un antecedente moi claro do concepto de función, que vai tomando forma ao longo do século xvii

Unha das ideas máis fecundas e brillantes do século xvii foi a da conexión entre o concepto de función e a representación gráfica dunha curva.

A representación gráfica mediante diagramas cartesianos permitiu a visualización das funcións. Deste xeito, o concepto de función xeneralizouse a calquera relación numérica que responda a unha gráfica sobre uns eixes coordenados. Pero os matemáticos daquela época só admitían como funcións as gráficas que respondían a unha fórmula. Foi a mediados do século xix cando Dirichlet ampliou o concepto de función a relacións de certos tipos dadas graficamente (ou doutro xeito), aínda que non houbese unha «fórmula» que as describise.

Os conceptos e os procedementos do cálculo de límites e derivadas permiten, na actualidade, indagar cómoda e eficazmente sobre as características máis relevantes de funcións dadas mediante fórmulas e, en consecuencia, proceder á súa representación gráfica. Cunha calculadora ou cun ordenador conséguese de forma automática e instantánea.

Dirichlet

A súa definición do concepto de función serviu para afianzar os fundamentos da análise. Pero Gustav Dirichlet, profesor en Berlín, fixo outras moitas achegas ás matemáticas e á física, de xeito que, ao morrer Gauss en 1855, todos pensaron en Dirichlet como o seu digno sucesor e foi chamado a ocupar a cátedra de Gotinga.

Gustav Dirichlet (1805-1859)

Unha estraña función e un sabio contrariado Dirichlet, co fin de poñer un exemplo de función que non fose continua en ningún dos seus puntos, definiu isto:

D (x) = x x 1 0 si si ! ! ) x x 1 0 si si ! ! ) Á –se se

Funcións así de estrafalarias deseñáronse para perfilar o concepto de función. Poincaré, considerado como o máis importante matemático do momento a principios do século xx, queixábase «desas estrañas funcións inventadas co fin de mostrar que o razoamento dos nosos antecesores foi erróneo» e contrapoñíaas ás «funcións honestas que serven para algo».

Dúas curvas interesantes

tractriz

Sobre o eixe X, a 4 m da orixe hai unha bóla atada a unha corda de 4 m. Unha persoa suxeita o extremo da corda e camiña ao longo do eixe Y, arrastrando a bóla. A traxectoria que percorre a bóla é unha curva, chamada tractriz, que é tanxente á corda en cada punto. A súa ecuación é:

catenaria

Se se atan os extremos dunha cadea de 2,35 m a senllos postes de 1,54 m de altura separados entre si 2 m, a cadea forma unha curva chamada catenaria. Situando os eixes de forma adecuada, a súa ecuación é:

RESOLVE

Límites e derivadas para representar unha función

• Traza uns eixes coordenados sobre papel cuadriculado e representa unha curva, o máis sinxela posible, que cumpra as seguintes condicións:

• Describe, coa menor cantidade de datos e de forma similar ao exercicio anterior, a seguinte función:

• f é derivable en todo Á, agás en

Elementos fundamentais para a construción de curvas

Aínda que a gráfica dunha función é un conxunto de puntos, para representala non é bo sistema, como ben sabes, obter indiscriminadamente as coordenadas de moitos puntos desta. E isto por dous motivos:

— Empregaríase moito tempo.

— Eses puntos probablemente sexan insuficientes para dar unha idea correcta de como é a curva, pois as partes máis interesantes desta é posible que se atopen intercaladas entre eles ou ben fóra do tramo en que traballamos.

As curvas, en xeral, presentan algúns detalles interesantes (puntos singulares, ramas, rupturas…) e fóra deles compórtanse de forma anódina. Para representalas eficazmente haberá que saber localizar esas peculiaridades que as caracterizan. Con ese fin estúdanse os seus límites, asíntotas, derivadas…

Nesta unidade imos revisar, sistematizar, poñer orde en todos os instrumentos matemáticos que posuímos para a busca de trazos interesantes dunha curva con vistas á súa representación. Lembremos cales son:

• Campo no que hai que estudar a función

— Dominio de definición. É continua? É derivable?

— Simetrías (pois se é simétrica respecto do eixe Y ou respecto da orixe de coordenadas, abondará con estudala para x ≥ 0).

— Periodicidade (se é periódica, abondará con estudala nun período).

• Ramas infinitas

— Cando x → ±∞. De que tipo son?

— Cando x → a. Hainas?

• Derivadas

— Puntos singulares: máximos, mínimos relativos ou puntos de inflexión.

• Obtención de puntos complementarios

— Puntos de corte cos eixes.

— Outros puntos que poidan servir para perfilar a curva. Case nunca será necesario someter a curva a un estudo tan prolixo que requira todos estes elementos. Esta lista é como o panel no que o artesán pon as súas ferramentas. Rara vez terá que utilizalas todas para executar unha obra. Pero é bo que as teña á man e coñeza como se usan, e cando é oportuno facelo.

Poñamos a punto todas estas ferramentas.

Dominio de definición

O dominio de definición dunha función y = f (x) (valores de x para os cales existe a función) é, en principio, todo Á, salvo que haxa operacións imposibles ou que, expresamente, se nos restrinxa. Lembremos as principais restricións:

• Se hai denominadores, a función non está definida onde estes se anulan.

• () x n { cando n é par, só está definida cando φ (x) ≥ 0.

• log φ (x) só está definida cando φ (x) > 0.

• arc sen φ (x) e arc cos φ (x) só están definidas cando –1 ≤ φ (x) ≤ 1.

• tan φ (x) non está definida se φ (x) = k 2 r r + , k ∈ .

1. Ramas infinitas

2. Máximos e mínimos: f ' (x) = 0

3. Puntos de inflexión: f '' (x)= 0

4. Puntos de corte cos eixes: f (x) = 0 e x = 0

➜ Deseña dominios de definición.

Exercicio resolto

1 Achar o dominio de definición das seguintes funcións:

a) y = arc sen (x + 3)

b) y = ln (3 – x 25 –2 )

a) Posto que arc sen actúa sobre valores do intervalo [–1, 1], deberase cumprirr:

b) Para poder extraer a raíz cadrada, debe ser 25

Continuidade, derivabilidade

As funcións que utilizamos neste nivel son continuas en todo o seu dominio de definición, agás aquelas que se definen artificialmente empalmando anacos. Tamén son derivables, con algunhas excepcións:

As funcións «raíz» poden ter tanxente vertical (e, polo tanto, non ser derivables) nos puntos nos que se anula o radicando.

Por exemplo, y = x 4 –2 3 non é derivable en x = –2 nin en x = 2.

O valor absoluto adoita dar lugar a puntos angulosos.

Por exemplo, y = | x 2 – 4 | tenos en x = –2 e en x = 2.

1 Acha o dominio destas funcións e di onde son continuas e onde derivables.

a) y = x 3 – 5x 2 + 7x + 3 b) y = xx x 54 35 –2 3 + + c) y = senx

2 Di onde son continuas e onde son derivables as funcións:

DEBUXAR FUNCIÓNS CONTINUAS E DERIVABLES

A continuidade nun intervalo permite unir cun só trazo todos os detalles (puntos, ramas…) que coñezamos da función. Se, ademais, é derivable, o trazo será suave, é dicir, sen puntos angulosos.

Simetrías

• Se unha función f verifica que f (x) = f (–x), entón a súa gráfica é simétrica respecto ao eixe Y. A razón é moi sinxela: se o punto (a, b) é da gráfica, f (a) = b e, polo tanto, f (–a) = b, o que quere dicir que o punto (–a, b) tamén é da gráfica.

Por exemplo: y = xx 5 87 –42 + (representada na marxe), y = cos x, y = xx xx 2 5 –3 3 +

• Se unha función verifica que f (–x) = –f (x), entón a súa gráfica é simétrica respecto á orixe de coordenadas, pois se (a, b) pertence á gráfica de f, entón f (a) = b e, polo tanto, f (–a) = –b, o que significa que (–a, –b) pertence tamén á gráfica de f. O punto (–a, –b) é o simétrico de (a, b) respecto de O (0, 0).

Por exemplo: y = x 3 – 3x (representada na marxe), y = sen x, y = x xx 2 5 –2 3 + Se sabemos que unha función é simétrica, podemos construír só media curva e, despois, debuxar a outra parte por simetría.

Periodicidade

Saber que unha función é periódica facilita moito a súa representación. Para axudarche na detección de periodicidades, aquí tes algunhas propiedades. Leas atentamente e razóaas sobre algún exemplo:

As únicas funcións periódicas que coñeces son as trigonométricas.

Si f (x) é periódica de período T, tamén o é f (mx + n), e o seu período é m T

Por exemplo, observa as gráficas destas tres funcións:

No curso pasado viches a función parte decimal de x

Mant (x) = x – Ent (x) (Mant → Mantisa; Ent → Parte enteira) Esta función é periódica de período 1.

Se f (x) e g (x) son periódicas, entón f (x)

son periódicas, e o seu período é, como máximo, o mínimo común múltiplo dos períodos de f e g.

➜ Funcións que parecen ser periódicas pero non o son.

3 Acha as simetrías e as periodicidades das funcións seguintes:

Ramas infinitas nun punto. Asíntotas verticais

Se lm í xa " f (x) = ±∞, entón a recta x = a é unha asíntota vertical.

TEÑEN ASÍNTOTA VERTICAL

A función pódese achegar a x = a pola esquerda ou pola dereita e pode tender a máis ou menos infinito. Vexamos os casos posibles: a a

a a

• As funcións que son da forma () () x x z } nos puntos en que ϕ(x) = 0 (sempre que a fracción estea simplificada).

• log φ(x) nos puntos en que

φ(x) = 0.

• tan φ(x), nos puntos en que φ(x) = 2 r + kπ, k ∈

Se a función está definida aos dous lados da asíntota, estudamos os dous límites laterais:

lm í xa –" f (x) e lm í xa " + f (x)

Exemplos:

• y = x x 2 21 –+ ten unha asíntota vertical en x = 2 ( lm í x 2 " f (x) = ±∞). Para descubrir o signo de f (x) nas proximidades de 2, dámoslle a x valores próximos a 2 («algo menores» e «algo maiores»).

esquerda: x = 1,99 → f (x) = , , 1992 21 99 1 –·+ = – 498 (negativo) →

→ lm í x 2 –" f (x) = – ∞

dereita: x = 2,01 → f (x) = , ·, 2012 22 01 1 –+ = 502 (positivo) → → lm í x 2 " + f (x) = +∞

• y = x 5 1 + ten unha asíntota vertical en x = –5. Pero a función só está definida á

dereita da asíntota, e, evidentemente, lm í

"

• y = ln (x 2 – 1)

ln (x 2 – 1) → – ∞ se x 2 – 1 → 0+ É dicir, se x → 1+ ou x → –1–:

4 Acha as asíntotas verticais e sitúa a curva respecto a elas:

➜ Poñer asíntotas verticais a discreción.

Ten en conta que nalgúns apartados o numerador e o denominador poden ter raíces comúns.

Ramas infinitas no infinito

• Se ∞ lm í x " + f (x) = l, entón a recta y = l é asíntota horizontal cando x → +∞.

A posición da curva respecto da asíntota descóbrese estudando o signo da diferenza f (x) – l para valores grandes de x

• Se ∞ lm í x " + f (x) = ±∞ , ∞ lm í x " + () x fx = m ≠ 0 e ∞ lm í x " + [ f (x) – mx] = n, entón a recta y = mx + n é unha asíntota oblicua cando x → +∞

A posición da curva respecto da asíntota descóbrese estudando o signo de f (x) – (mx + n) para valores grandes de x

Atención! Como sabes do curso anterior, nas funcións racionais a localización das asíntotas oblicuas é moito máis sinxela (véxase a páxina 281).

• Se ∞ lm í x " + f (x) = ±∞ e non hai asíntota oblicua, entón pode haber rama parabólica dun dos seguintes tipos:

asíntota horizontal

asíntota oblicua

tipo 1. Crecemento cada vez máis rápido.

A curva crece, ou decrece, cada vez máis á présa. Deste tipo son as ramas parabólicas das funcións polinómicas e das exponenciais.

tipo 2. Crecemento cada vez máis lento.

A curva crece, ou decrece, cada vez máis devagar. Deste tipo son as funcións radicais e as logarítmicas.

A casuística cando x → – ∞ é análoga á aquí exposta.

• A función y = xx 2 –2 ten unha asíntota oblicua cando x → +∞. Achémola:

ramas parabólicas

NOTACIÓN

Chamámoslle y = mx + n á asíntota.

Hai asíntota oblicua para x → +∞. A súa ecuación é y = x – 1.

Posición da curva respecto da asíntota:

Para x = 1 000, xx 2 –2 – (x – 1) vale –0,0005.

A curva queda por debaixo da asíntota.

Analogamente, obtense a asíntota y = –x +1 para x → – ∞ e próbase que a curva tamén está por debaixo.

➜ anayaeducacion.es Obtención da asíntota oblicua de y = x2 –2x cando x → –   ∞

Síntese: posibles ramas infinitas cando x → +∞

parabólica de tipo II estudio de

de

rama parabólica de tipo I

5 Acha as ramas no infinito das funcións seguintes:

a) y = 3x 5 – 20x 3 b) y = x x 1 –2 4

c) y = () x x 2 –2 3 d) y = xx 2 –2

e) y = ln (x 2 + 1) f ) y = 2x – 1

g) y = x sen x h) y = x – cos x

6 Que tipo de ramas no infinito teñen estas funcións?

a) y = x 1 1 + b) y = x x 1 3 +

e) y = e x x 2

Puntos interesantes

puntos de tanxente horizontal (singulares ou críticos)

• As abscisas dos puntos de tanxente horizontal obtéñense cando resolvemos a ecuación f ' (x) = 0.

Unha vez achadas as súas solucións, x1, x2, …, xk , os puntos da gráfica correspondentes, (x1, f (x1)), (x2, f (x2)), …, (xk, f (xk)), serven para marcar as subidas e as baixadas da curva, sempre que f (x) sexa derivable en todo o tramo no que se atopan.

PUNTOS SINGULARES

O coñecemento de todos os puntos de tanxente horizontal (puntos singulares) é crucial para a representación dunha gráfica. Tamén é un dato moi importante saber que non hai ningún.

• Os máximos e os mínimos maniféstanse espontaneamente ao trazar a curva, unindo razoablemente as ramas infinitas e os puntos de derivada nula. Pero lembremos que tamén se pode saber se un punto de tanxente horizontal é máximo ou mínimo recorrendo á segunda derivada:

Se f ' (a) = 0 e f '' (a) > 0 ⇒ en (a, f (a)) hai un mínimo relativo.

Se f ' (a) = 0 e f '' (a) < 0 ⇒ en (a, f (a)) hai un máximo relativo.

• Tamén se pode descubrir se un punto de tanxente horizontal é máximo ou mínimo estudando o signo de f ' (x) á súa esquerda e á súa dereita.

puntos de corte cos eixes

• Cortes co eixe X: as súas abscisas son as solucións da ecuación f (x) = 0.

• Corte co eixe Y: é o (0, f (0)).

puntos de inflexión

Son os puntos onde a función pasa de cóncava a convexa, ou viceversa. Atópanse entre as raíces da ecuación f '' (x) = 0.

outros puntos

Ás veces, convén achar outros puntos (a, f (a)) para precisar a forma da curva.

Pensa e practica

7 Acha os puntos singulares e os puntos de inflexión destas funcións:

a) y = x 3 – 6x 2 + 9x + 5

b) y = ln (x 2 + 1)

PUNTOS DE INFLEXIÓN

Os puntos de inflexión matizan a forma da curva. Ás veces, son moi útiles.

8 Acha os puntos singulares de:

a) y = 3x 5 – 20x 3

c) y = () x x 2 –2 3

b) y = x x 1 –2 2

d) y = xx 2 –2

➜ Acha os puntos de derivada nula.

O valor absoluto na representación de funcións

Valor absoluto dunha función

Para representar y = | f (x) |, representaremos a función y = f (x) e, despois, pasaremos cara arriba, mediante simetría, todo o anaco de curva que estea baixo o eixe X

Por exemplo, para representar y = xx 3 1 21 –3 + , representamos y = xx 3 1 21 –3 + e «botamos cara a arriba» do eixe X, por simetría, o que está debaixo.

operacións con «valores absolutos»

A análise da función debe realizarse poñendo atención ás abscisas nas que cambia de signo algunha das expresións con valor absoluto.

1 Representar y = || x 1 1 + O único valor absoluto que intervén

Repaso teórico: valor absoluto dunha función.

Representación de funcións polinómicas

As funcións polinómicas, y = P (x), son derivables (e, polo tanto, continuas) en todo Á.

Non teñen asíntotas de ningún tipo. Teñen ramas parabólicas en – ∞ e en +∞. Coñecendo estas dúas ramas infinitas e os puntos singulares, pódense representar con moita precisión. Se se queren perfilar mellor, pódense obter os puntos de corte cos eixes e os puntos de inflexión.

Poden presentar simetrías:

• Se só teñen termos de grao par, son simétricas respecto do eixe Y

Por exemplo: y = 2x 4 – 3x 2 + 5

• Se só teñen termos de grao impar, son simétricas respecto da orixe de coordenadas.

Por exemplo: y = x 5 – 4x 3 + 2x

Para representar unha función polinómica y = P (x):

• Obsérvase se ten algún tipo de simetría.

• Áchanse as súas dúas ramas infinitas: ∞ lm í x – " f (x), ∞ lm í x " + f (x)

• Resólvese a ecuación P' (x) = 0.

As súas solucións, se as hai, son as abscisas dos seus puntos singulares. A continuación, obtéñense as súas ordenadass.

• Os puntos obtidos únense entre si e coas ramas infinitas, coidando de non debuxar máis puntos singulares que os obtidos. Deste xeito sábese cales son os máximos e mínimos relativos.

• Se se pode, convén obter, tamén, os puntos de corte cos eixes para conseguir maior precisión na representación.

LEMBRA

É importante recoñecer as funcións polinómicas e saber, a priori, que podemos esperar delas.

TEN EN CONTA

Cos puntos singulares e as ramas infinitas apréciase claramente a forma da curva.

➜ Representa funcións polinómicas.

➜ anayaeducacion.es

Exercicios para repasar a representación de funcións polinómicas.

Exercicios resoltos

1 Representar a función seguinte: f (x) = x 3 – 6x 2 + 9x + 5

Simetrías: Non é simétrica nin respecto do eixe Y nin respecto da orixe de coordenadas.

Ramas infinitas:

Puntos singulares:

f ' (x) = 3x 2 – 12x + 9

f ' (x) = 0 ⇔ x = 1, x = 3

f (1) = 9, f (3) = 5 → (1, 9), (3, 5)

Cortes cos eixes:

Corta o eixe Y en (0, 5) e o eixe X entre –1 e 0, pois f (–1) = –11 e f (0) = 5.

Puntos de inflexión:

f '' (x) = 6x – 12

f '' (x) = 0 ⇔ x = 2 → (2, 7)

Con estes datos podemos debuxar a curva.

Exercicios resoltos

2 Representar a seguinte función:

= 3x 5 – 20x 3

Simetrías: Observamos que todos os termos son de grao impar. Polo tanto, é simétrica respecto da orixe de coordenadas. (Lembra que a estas funcións se lles chama impares).

3 Representar a función:

= x 4 + 8x 3 + 22x 2 + 24x + 9

son (–2, 64), (0, 0) e (2, – 64). Estes datos son suficientes para representar a gráfica.

Simetrías: Non é nin par nin impar. Polo tanto, non é simétrica respecto do eixe Y nin respecto da orixe de coordenadas.

Puntos singulares:

24. Por ser un polinomio de terceiro grao, debemos localizar algunhas das súas raíces tenteando cos divisores do termo independente (24). Ademais, como todos os coeficientes son positivos, só pode ter raíces negativas. Probamos con x = –1:

Unha raíz é x = –1, e as outras dúas raíces obtéñense resolvendo a ecuación 4x 2 + 20x + 24 = 0. 4

Cortes cos eixes: Dous dos puntos singulares están no eixe X Se facemos un bosquexo da curva, observamos que non corta o eixe X en máis puntos. O eixe Y córtao no punto (0, 9).

1 Representa estas funcións:

Representación de funcións racionais

Nunha función racional y = P (x)/Q (x) debemos prestar especial atención aos valores de x para os que se anula o denominador: en cada un deles hai unha asíntota vertical. A función é derivable (e, polo tanto, continua) en todos os demais puntos de Á Dependendo dos graos de P (x) e de Q (x), a curva pode ter asíntota horizontal, asíntota oblicua ou ningunha delas.

Se ten asíntota horizontal ou oblicua, é a mesma para x → – ∞ e para x → + ∞

Para representar unha función racional y = f (x) = P (x)/Q (x):

• Obsérvase se ten algún tipo de simetría.

• Áchanse as asíntotas verticais: as súas abscisas son as solucións da ecuación Q (x) = 0. Estúdase a posición da curva respecto de cada unha delas.

• Estúdase se ten asíntota horizontal ou oblicua:

Se grao de P (x) ≤ grao de Q (x), achamos:

∞ lm í x " + P (x)/Q (x) = l

A recta y = l é unha asíntota horizontal.

Se grao de P (x) = grao de Q (x) + 1 hai asíntota oblicua. A súa ecuación é y = mx + n, sendo mx + n o cociente da división P (x) : Q (x).

(Tanto se hai asíntota horizontal como oblicua, estúdase a posición da curva respecto dela para x → – ∞ e para x → + ∞).

Se grao de P (x) > grao de Q (x) + 1 hai ramas parabólicas.

• Descóbrense os puntos singulares. As súas abscisas son as solucións da ecuación f ' (x) = 0.

• Pódense obter, se se desexa, outros puntos como os de corte cos eixes, f (x) = 0, e os de inflexión, f '' (x) = 0.

ATENCIÓN

Supoñemos que os polinomios P (x) e Q (x) non teñen raíces comúns.

Nas funcións racionais, coñecendo as asíntotas e a posición da curva respecto delas, podemos realizar un bosquexo no que se aprecie claramente a forma da curva.

➜ Obtén as asíntotas.

➜ anayaeducacion.es Exercicios para repasar a representación de funcións racionais.

Exercicios resoltos

1 Representar a función seguinte:

f (x) = x x 1 –2 4

Simetrías: f (–x) = f (x). Polo tanto, é simétrica respecto do eixe Y

Asíntotas verticais: x 2 – 1 = 0 ⇔ x = –1, x = 1

Posición respecto da asíntota x = 1:

f (0,99) = – 48, … → lm í x 1 –" f (x) = – ∞; f (1,01) = 51, … → lm í x 1 " + f (x) = + ∞

Por simetría, dedúcese a posición respecto da asíntota x = –1. Ramas infinitas no infinito: Non ten asíntota horizontal nin oblicua, pois:

grao P (x) = grao Q (x) + 2 Como ∞ lm í x " + f (x) = ∞ lm í x – " f (x) = +∞, ten dúas ramas parabólicas.

1 –1

Representación doutros tipos de funcións

Se a función que pretendemos representar non é polinómica nin racional, debemos proceder analizando sistematicamente os aspectos que describimos ao principio da unidade. Aínda así, teremos en conta as características dalgunhas funcións elementais:

• Nas funcións con radicais, temos que coidar o dominio. Poden ter asíntotas para x → + ∞ e x → – ∞, pero adoitan ser distintas.

• As funcións exponenciais adoitan ter unha asíntota horizontal e unha rama parabólica de tipo II.

• As funcións logarítmicas adoitan ter unha asíntota vertical e unha rama infinita que crece extremadamente amodo (rama parabólica de tipo II).

• As funcións trigonométricas é moi probable que sexan periódicas.

Exercicios resoltos

1 Representar a función seguinte: f (x) = xx 2 –2

• f (–x) = () ·( )xx xx22

22=+ no es igual a f (x) ni a –f (x). Polo tanto, non é simétrica respecto do eixe Y nin da orixe de coordenadas.

• x 2 – 2x = 0 ⇒ x = 0 ou ben x = 2

Se x ∈ (0, 2), x 2 – 2x < 0; é dicir, o radicando é negativo. Polo tanto, non está definida en (0, 2).

Dominio de definición: (– ∞, 0] ∪ [2, + ∞)

A curva é derivable en (– ∞, 0) ∪ (2, + ∞).

• Xa vimos (páxina 306) que ten asíntotas oblicuas para x → +∞ e x → – ∞ e a posición da curva respecto delas.

Outra forma de localizar as dúas asíntotas oblicuas:

22 22 =+ ==

() ≈( )| | xx xx xx x 22 11 11 11

Vemos desta forma que f (x) = xx 2 –2 , para valores grandes de |x | aproxímase a y = | x – 1 |. Ademais, é «un pouco menor», pois réstase 1 no radicando.

Isto concrétase así:

Cando x → – ∞ , y = f (x) ≈ y = –x + 1

Cando x → +∞ , y = f (x) ≈ y = x – 1

A curva aproxímase ás asíntotas por debaixo.

• Puntos singulares:

f ' (x) = xx x xx x 22 22 2 1 ––––22 =

Anúlase en x =1, pero aquí a función non está definida. Polo tanto, non ten puntos singulares.

Sabemos que a curva pasa por (0, 0) e (2, 0).

• Representación:

2 Representar a seguinte función:

(x) = ln (x 2 + 1)

• É simétrica respecto ao eixe Y, pois f (x) = f (–x).

• Como x 2 + 1 é sempre positivo, está definida e é derivable en todo Á. Ademais, f (x) é sempre positivo, pois x 2 + 1 ≥ 1.

Polo tanto, non ten asíntota de ningún tipo.

3 Representar a seguinte función:

(x) = 2 1 sen 2x + sen x O período de sen x é 2π e o de sen 2x, é π. Polo tanto, a función é periódica de período 2π. Estudámola só no intervalo [0, 2π].

• É derivable en todo Á (é suma de funcións derivables). •

Os puntos singulares son ;, ,; ,, (, ) 3 13 3 5 13 0 –r r r b d l n

• Puntos de corte cos eixes: (0, 0), (π, 0)

• Puntos de inflexión:

A partir de aquí, esténdese periodicamente en todo Á

4 Representar a función seguinte: f (x) = x e x

• Non é simétrica.

• Asíntota vertical en x = 0: lm í x 0 " + f (x) = +∞ , lm í x 0 –" f (x) = – ∞

• Rama infinita cando x → + ∞: ∞ lm í x " + f (x) = +∞ , ∞ lm í x " + () x fx = +∞. É unha rama parabólica. Rama infinita cando x → – ∞: ∞ lm í x – " f (x) = 0 tomando valores negativos.

• Representación: y = 0 é unha asíntota horizontal. A curva queda por debaixo.

• f ' (x) = () x xe e x ex 1 –– xx x 22 = f ' (x) = 0 ⇔ x = 1 f (1) = e. Ten un punto singular: (1, e).

5 Representar a función seguinte: f (x) = (ln x) 2

Lembremos a gráfica de y = ln x para inspirarnos nela.

• Posto que ln x está definido en (0, +∞), D = (0, +∞) é o dominio de definición de y = (ln x)2 Nel a función é continua e, seguramente, tamén será derivable.

• Ramas infinitas:

A asíntota vertical de y = ln x tamén o é desta función, só que ao elevar ao cadrado tomará valores positivos:

lm í x 0 " + (ln x)2 = +∞

Cando x → +∞, ten unha rama parabólica.

• Puntos singulares:

f (1) = (ln 1)2 = 0. Polo tanto, o punto (1, 0) é de tanxente horizontal. Posto que (ln x)2 ≥ 0 no seu dominio, entón en (1, 0) hai un mínimo.

• Puntos de inflexión: f '' (x) = 2 ln x x 1–2

Exercicios e problemas resoltos

1. Do estudo á gráfica (simetrías, asíntotas horizontais, oblicuas e verticais)

Representar y = f (x) en cada caso:

a) I. Dom f = Á – {0} e f é derivable en todo o seu dominio.

II. ∞ lm í x – " f (x) = 0 +; ∞ lm í x " + f (x) = 0 –

lm í x0 – " f (x) = + ∞; lm í x0 " + f (x) = +∞

III. f (1) = 0;

f ' (x) = 0 ⇔ x = 2;

f (2) = –1; f '' (2) > 0

b) I. Dom f = Á – {–1, 1} e f é derivable en todo o seu dominio.

II. A función é par.

Información de f (x) cando x ≥ 0:

III. ∞ lm í x " + f (x) = + ∞; ∞ lm í x " + () x fx = 1

∞ lm í x " + [ f (x) – x] = –2–;

lm í x1 –" f (x) = + ∞; lm í x1 + " f (x) = – ∞

IV. f (3/4) = 0; f (3) = 0;

f ' (x) = 0 ⇔ x = 0;

f (0) = –1; f '' (0) > 0

FAINO TI

Representa y = f (x):

Dom f = Á – {–2, 2}; función impar.

lm í x " + f (x) = – ∞; ∞ lm í x " + () x fx = –1

∞

∞ lm í x " + [ f (x) – (–1) · x] = –1+

lm í x 2 –" f (x) = + ∞; lm í x 2 " + f (x) = +∞

f (3) = 0; f ' (x) = 0 ⇔ x = 0; f (0) = 0

2. Descrición dunha gráfica

Describir a seguinte gráfica dunha función: 2 –2

a) I. Como é derivable en todo o seu dominio, Á – {0}, é continua e non ten puntos angulosos.

II. Cando x → – ∞ hai unha asíntota horizontal, y = 0, á que a función se achega por encima.

En x = 0 hai unha asíntota vertical. Tanto á súa esquerda como á súa dereita, a gráfica tende a + ∞ . Cando x → + ∞ está a mesma asíntota horizontal, y = 0, á que a función se achega por baixo.

III. f (1) = 0 quere dicir que corta o eixe X en x = 1. A equivalencia f ' (x) = 0 ⇔ x = 2 significa non só que hai un punto de tanxente horizontal en x = 2, senón que é o único. Como f (2) = –1, está en (2, –1) e como f '' (2) > 0, é un mínimo. Trazamos a curva.

b) I. A función é continua e non ten puntos angulosos en Á – {–1, 1}.

II. Que a función sexa par quere dicir que é simétrica con respecto ao eixe Y. A partir de aquí, obtemos a información só para x > 0 e trazamos logo a súa simétrica.

III. Os límites mostran: cando x → + ∞ unha asíntota oblicua, y = x – 2, á que a curva se achega por baixo; e en x = 1 unha asíntota vertical á que a curva tende a + ∞ pola esquerda e a – ∞ pola dereita.

IV. A equivalencia f ' (x) = 0 ⇔ x = 0 quere dicir que x = 0 é o único punto de derivada cero. Como, ademais, f '' (0) > 0, trátase dun mínimo relativo.

Trazamos, a partir desta información, un esbozo da gráfica da función.

Representamos primeiro a función para x ≥ 0, e logo, por simetría respecto ao eixe Y, a función completa.

• Dom f = Á – {–2, 2}

• É impar. É dicir, simétrica respecto da orixe de coordenadas.

• x = –2 é asíntota vertical →

• x = 2 é asíntota vertical

• f ' (x) > 0 en todo o seu dominio, é dicir, é crecente, non ten máximos nin mínimos.

• f '' (x) = 0 ⇔ x = 0; ademais, f (0) = 0. Ten un punto de inflexión en (0, 0).

Exercicios e problemas resoltos

3. Representación dunha función racional con asíntotas oblicuas

Estudar o dominio, as asíntotas e os puntos singulares desta función:

f (x) = x 42x –2

Representar a súa gráfica.

• Está definida en Á – {0} e é continua en todo o seu dominio. A súa expresión parece indicar que será derivable en todo o dominio.

• Simetría: f (–x) = ()

42 42

2 2 = = –f (x)

É simétrica respecto da orixe de coordenadas.

• Asíntota vertical:

• Asíntota oblicua: y = –2x Obtémola efectuando o cociente:

2 = –2x +

4

• Puntos singulares: a partir do bosquexo da curva que fixemos coas asíntotas, quedamos coa impresión de que non vai ter nin máximos nin mínimos. Comprobámolo estudando a derivada:

FAINO TI

Representa a seguinte función:

(x) = () ()xx x 21 2 4

–2x 2 – 4 = 0 ⇔ x 2 + 2 = 0

Efectivamente, a ecuación x 2 + 2 = 0 non ten solución. Non hai, pois, puntos de tanxente horizontal.

4. Representación dunha función racional con ramas parabólicas

Estudar o dominio de definición, as asíntotas e os intervalos de crecemento e de decrecemento, máximos e mínimos, da función:

f (x) = () x x 31 3 + Despois, representala.

• Dominio de definición: Á – {–1}. Non ten simetrías.

• Asíntota vertical:

•

no infinito:

Ten ramas parabólicas, pois

• Puntos singulares:

FAINO TI

Estuda o dominio, as asíntotas, os intervalos de crecemento e de decrecemento, os máximos e os mínimos para representar esta función:

f (x) = () x x 1 –2 4

•

de x = –1.

5.

Debuxar a gráfica desta función:

f (x) = | x + 3 | + | x – 1 | – | 2x + 4 |

Indicar antes a función a anacos correspondente. FAINO TI

Representa a seguinte función:

Expresamos cada un dos valores absolutos como función definida a anacos:

6.

Representar a gráfica desta función:

3

Efectuamos a suma tendo en conta os puntos onde cambia de signo cada sumando,

FAINO TI

Representa esta función sabendo que para x ≥ 0, f ' (x) só se anula en

• A función está definida se x x 1 3 –– > 0. Dominio: (–∞, 1) ∪ (3, +∞).

• Comportamento da función nas proximidades de x = 1 e x = 3:

• As rectas x = 1 e x = 3 son asíntotas verticais.

• y = 0 é unha síntota horizontal, xa que:

Función con valor absoluto

Función logarítmica

Exercicios e problemas resoltos

7. Estudo e gráfica doutras funcións

a) Estudar e representar a seguinte función: y = ln x x

b) Estudar e representar esta función: y = e xx 2 x 2 + FAINO TI

Representa as seguintes funcións:

a) y =

x x 2

b) y = e x 21 x–+

8. Funcións trigonométricas

a) Representar esta función: y = cos 2x – cos x

a) Dominio: Á. É continua e derivable. Periodicidade: 2π. Función par.

• Punto de corte co eixe Y: x = 0, y = 0 → (0, 0)

• Puntos de corte co eixe X: cos 2x – cos x = 0 → (cos 2 x – sen 2 x) – cos x = 0 →

→ cos 2 x – (1 – cos 2 x) – cos x = 0 → 2cos 2 x – cos x – 1 = 0 → / cos cos x x 1 –12 = = )

Se cos x = 1 → x = 0 + 2 kπ con k ∈

Se cos x = –1/2 → x = (2π/3) + 2kπ; x = (4π/3) + 2kπ con k ∈

• Máximos e mínimos: y' = –2sen 2x + sen x = 0 →

→ –2(2sen x cos x) + sen x = 0 → sen x (– 4cos x + 1) = 0 →

→ * sen x = 0 → x = 0 + kπ –4cos x + 1 = 0 → cos x = 1/4 → x ≈ 1,32 + 2kπ; x ≈ 4,96 +2kπ k ∈

Estudamos o signo de y '' = – 4cos 2x + cos x neses puntos:

y'' < 0 en x = 0 + kπ → máximos: (0 + 2kπ, 0), (π + 2kπ, 2) con k ∈ y'' > 0 en x = 1,32 + 2kπ e en x = 4,96 + 2kπ →

→ mínimos: (1,32 + 2kπ; –1,12), (4,96 + 2kπ; –1,12) con k

b) Representar a seguinte función: y = senx 1 r

b) Dominio: Á – {k}, con k ∈ . É continua e derivable. Periodicidade: 2. Impar.

• Non corta cos eixes.

• Asíntotas verticais: x = k con k ∈ .

Posición da curva con respecto á asíntota:

lm í xk –" y = – ∞ lm í xk " + y = + ∞, se k é par

lm í xk –" y = + ∞ lm í xk " + y = – ∞, se k é impar

• Máximos e mínimos: y' = –() cos senx x 2 r rr = 0 → x = 1/2 + k con k ∈

Estudamos agora o signo de y'' = cos senx xsen x 2 3 22 22 r rr rr + .

O numerador é sempre positivo. O denominador é positivo para os intervalos (2k, 1 + 2k) e negativo para (1 + 2k, 2 + 2k), con k ∈ . Polo tanto:

y'' > 0 en x = 1/2 + 2k → mínimos: (1/2 + 2k, 1) con k ∈ .

y'' < 0 en x = 3/2 + 2k → máximos: (3/2 + 2k, –1) con k ∈

FAINO TI

Representa as seguintes funcións:

a) y = 2sen x + cos 2x

b) y = cosx 1 r

Exercicios e problemas guiados

1. Descrición dunha gráfica

Describir a seguinte gráfica dando os elementos necesarios para que un compañeiro a poida representar a partir da descrición.

• Indica onde está definida a función e refírete á súa continuidade e á súa derivabilidade.

• Describe, mediante un límite, a asíntota horizontal, e a posición da curva con respecto a esta.

• Describe, mediante límites, a asíntota vertical e a posición da curva tanto á súa esquerda como á súa dereita.

• Describe a asíntota oblicua mediante límites. Refire nun deles a posición da curva respecto á asíntota.

• Describe a condición pola que se obteñen os puntos singulares. Engade condicións para saber cales son máximos e mínimos.

• Completa a información dos puntos singulares coas súas ordenadas.

Solución: Dom f = Á – {1}; derivable en todo o seu dominio.

Asíntota horizontal para x → – ∞: y = 4. Asíntota vertical: x = 1.

Asíntota oblicua para x → + ∞: y = x – 2. Máximo relativo en (3, 2). Mínimos relativos en (–1, –1) e (5, –2).

Cortes cos eixes en (–2, 0), (0, 0), (2, 0), (4, 0) e (6, 0).

2. Representación dunha función logarítmica con valor absoluto

Representar a seguinte función:

3.

Calcular os parámetros a, b, c e d para que a curva de f teña dous extremos relativos en (1, 0) e (0, 1).

f (x) = ax3 + bx2 + cx + d

Representar a función.

Estuda se é simétrica. Indica o seu do-

Solución: minio de definición e se é derivable en todo el.

Acha os elementos necesarios para a súa representación: asíntotas, puntos singulares, etc.

• Coa expresión da función, f (x) = ax3 + bx2 + cx + d, e os datos que temos, f (0) = 1, f (1) = 0, f' (0) = 0 e f ' (1) = 0, formamos un sistema de 4 incógnitas e 4 ecuacións.

• Resólveo e representa a función.

4. Función racional con parámetros

Calcular o valor do parámetro k para que a función:

f (x) = xx xk 41 2 + ++ teña y = 4x + 5 como asíntota oblicua. Representar a función.

Para achar a ecuación da asíntota oblicua, realiza esta división: (4x 2 + x + 1) : (x + k)

Calcula o valor de k que fai que o cociente coincida coa ecuación da asíntota, y = 4x + 5.

Representa a función.

Solución:

Solución:

Función polinómica con parámetros

Exercicios e problemas propostos

Para practicar

Descrición dunha gráfica

1 Representa unha función continua e derivable en Á tal que:

∞ lm í x " + f (x) = +∞ ∞ lm í x – " f (x) = – ∞

f (2) = 1, f ' (x) ≥ 0 para calquera x, f ' (2) = 0

2 Dunha función y = f (x) temos a seguinte información:

D = Á – {1, 4}

lm í x 1 –" f (x) = +∞ lm í x 1 " + f (x) = – ∞

lm í x 4 –" f (x) = – ∞ lm í x 4 " + f (x) = +∞

lm í x ± " f (x) = 0

∞

se x → +∞ , f (x) > 0 se x → – ∞ , f (x) < 0

f ' (2) = 0, f (2) = –1; f ' (–1) = 0, f (–1) = –1

Represéntaa.

3 Debuxa a gráfica dunha función continua e derivable en Á da que se coñecen os seguintes datos:

∞ lm í x – " f (x) = – ∞ ∞ lm í x " + f (x) = +∞

f ' (x) = 0 se x = –2, x = 0, x = 3, x = 4 f (–2) = 2; f (0) = 0; f (3) = 5; f (4) = 4

4 Describe as seguintes funcións indicando o seu dominio, as súas simetrías (se as teñen), as súas asíntotas e ramas infinitas, os seus puntos singulares e os intervalos de crecemento e decrecemento. Faino dando valores da función, da súa derivada e de certos límites.

Características das funcións

6 Indica o dominio de cada unha das seguintes funcións:

a) y =  xx25 –42 + b) y = 3 –  x x 1 2 +

c) y =  xx34 –2 ++ d) y =  x 321 1 –

e) y = ln (4 –  x ) f) y =  () ln x 1 9– 2

g) y =  tanx 1 h ) y =  tanx 1 1 –2

7 Estuda a simetría das seguintes funcións:

a) y = x 2 + 1 b) y =  x x 3 –2 c) y = tan πx

d) y = e | x | e) y =  || xx x 2 –2 f ) y = 2cos x 2

8 Determina se estas funcións son periódicas e, de ser o caso, acha o período:

a) y = sen 3x b) y = sen 2πx

c) y = tan πx d) y = sen x + cos 2x

e) y = cos x 2 r bl  · sen x f ) y = sen (x 2 + 1)

9 Acha as asíntotas verticais destas funcións e indica a posición relativa de cada curva respecto a elas:

a) y =  x x

c) y =  ln x

5 Describe a seguinte función:

y= x

y= x

b) y =  x x 9 22 ––2

d) y =  () xx xx 2 1 –

–2

1

e) y =  senx 1 1 –2 f ) y =  cos x 2

10 Acha as asíntotas horizontais e indica a posición relativa de cada curva respecto delas.

2 2

a) y =  x x 2 1 –2 + b) y =  x x 2 3 1 ––

x 1 –

c) y =  x x 2 1–2 + d) y =  e e 2 3–|| x

11 Acha as asíntotas oblicuas destas funcións e indica a posición relativa de cada curva respecto delas:

a) y =  x xx32 –2 + b) y =  x x x 23 52 –2 + +

c) y =  (/ ) x x 12 2 –2

2 + d) y =  x 35 2 +

Exercicios e problemas propostos

Funcións polinómicas

12 Estuda e representa as seguintes funcións:

a) y = x 3 + 3x 2 b) y = x 3 – 3x 2 + 5

c) y =  x 4 2 9 –4 x 2 + 10 d) y =  xx 64 5–45

e) y = x 5 – 5x 3 f ) y = (x – 1)3 – 3x

g) y = x 4 – 4x 2 h) y = 1 – (x – 1)3

13 Estuda as ramas infinitas, intervalos de crecemento e de decrecemento, máximos, mínims e puntos de inflexión das seguintes funcións. Represéntaas graficamente:

a) y = 3 + (2 – x)3 b) y = 2 – (x – 3)4

c) y = (x + 1)6 – 5 d) y = 3 – (1 – x)3

e) y = x (x – 1) (x + 3) f ) y = (x – 2)2 (x + 1) x 3

14 Representa as seguintes funcións:

a) y = x 2  – x4 b) y = 3x 4 + x3 – 1

c) y = x 3  – x2 d) y = 2x 3 + 3x2 – 12x

Funcións racionais

15 Nas seguintes funcións, estuda o seu dominio, asíntotas e posición da curva respecto destas, e represéntaas a partir dos resultados obtidos:

a) y =  x 1 2 b) y =  x 1 1 –2 c) y =  x x 1 –2

d) y =  x x 1 –2 e) y =  x x 1 2 + f ) y

16 Representa estas funcións estudando previamente o seu dominio, asíntotas, ramas infinitas e extremos relativos: a)

34

17 Representa as seguintes funcións racionais: a) y =  xx xx 1 1 –2 2 ++ + b) y =  x xx 1 22 ––2 +

c) y =  x xx 1 32 –2 2 + + d) y =  x xx x 2 44 3 32 +

Lembra que se se simplifica unha fracción dividindo numerador e denominador por (x – a), hai unha descontinuidade evitable en

Funcións con valor absoluto e funcións a anacos

18 Representa esta función:

19 Representa esta función definida a anacos: f

20 Representa a seguinte función: f (x) =  () ≥ xx x x x 31 1 0 0 ––si si < 3 2 + * se se () ≥ xx x x x 31 1 0 0 ––si si < 3 2 + *

Estuda os seus intervalos de crecemento e de decrecemento, os seus extremos relativos e a súa curvatura.

21 Debuxa a gráfica das seguintes funcións e indica en que puntos non son derivables:

a) y = x + | x + 2 | b) y = 2x – | x – 3 |

c) y = | x | + | x – 3 | d) y = x | x – 1 |

22 Considera a función f (x) = x 2 | x – 3 |:

a) Acha os puntos onde f non é derivable.

b) Calcula os seus máximos e mínimos.

c) Represéntaa graficamente.

23 Representa graficamente cada unha das seguintes funcións:

a) y =  || x 2 1 –b) y =  || x x 1 2 2 +

c) y =  || || x x 1 3 + + d) y = –|x 3  – x 2 + 2|

Outros tipos de funcións

24 Estuda e representa as seguintes funcións:

a) y =  x 4– 2 3 b) y =  xx –2

c) y =  xx45 –2 + d) y =  x x 1 –2 2

25 Estuda e representa as seguintes funcións:

a) y =  e x x b) y =  ln x x

c) y = x ln x d) y = (x – 1) e x

e) y =  e x–2 f ) y = x 2 e –x

g) y =  ln x x 3 h) y = ln (x 2 – 1)

26 Estuda e representa as seguintes funcións:

a) y = sen x + cos x b) y = 2sen x – cos 2x

c) y = cos 2x – cos 4x d) y = 3sen πx + 2

e) y = sen πx – 2

f ) y = tan πx + cos 2πx

Para resolver

27 Estuda o dominio de definición, as asíntotas e os extremos de cada unha destas funcións e, con esa información, relaciónaas coas súas respectivas gráficas:

32 A recta y = 2x + 6 é unha asíntota oblicua da función:

f (x) =  xk x 21 –2 +

Acha o valor de k e representa a función así obtida.

33 Sexa a función f (x) = x 2  · e –ax con a ≠ 0.

a) Calcula o valor de a para que esta función teña un extremo relativo no punto de abscisa x = 2.

b) Clasifica os extremos relativos cando a = 2.

34 Dada a función: f (x) = ax + b +  x 8 calcula a e b para que a gráfica de f pase polo punto (–2 – 6) e teña, nese punto, tanxente horizontal. Para eses valores de a e b, representa a función.

35 Acha os valores de a, b e c para os cales a función:

f (x) =  x ax bx c 4 –2 2 ++

ten como asíntota horizontal a recta y = –1 e un mínimo no punto (0, 1).

36 Unha partícula móvese ao longo da gráfica da curva de ecuación y =  x x 1 2 –2 para x > 1.

No punto P (2, –4/3) déixaa e desprázase ao longo da recta tanxente á devandita curva.

a) Acha a función a anacos que describe a súa traxectoria.

b) Se o desprazamento é de esquerda a dereita, acha o punto no que a partícula corta o eixe X.

28 Lembra que o seno hiperbólico e o coseno hiperbólico se definían así:

ee

Estuda os máximos, os mínimos e os puntos de inflexión destas funcións e represéntaas graficamente.

29 Determina as asíntotas das seguintes funcións: a) y =  x x 3 1– b) y =  x xx 1 2 ++

30 Realiza un estudo e representa cada unha das seguintes funcións:

a) y =  ln x x 1 1 –2 2 + eo b) y =  e e 1 1 –x x +

c) y =  ln x x 1 + bl d) y =  xx e 23 –|| x 2 1 –+

31 Calcula o valor de a, b e c, sabendo que esta función é do tipo y = a + b cos c xr bl

37 A concentración (en %) de nitróxeno dun composto vén dada, en función do tempo t ∈ [0, +∞) medido en segundos, pola función:

N (t ) =  e12 60 t–+

a) Comproba que a concentración de nitróxeno medra co tempo. Para que t a concentración de nitróxeno é mínima e cal é esta concentración?

b) A que valor tende a concentración de nitróxeno cando o tempo tende a infinito?

38 O beneficio dunha empresa, en centos de miles de euros, co paso do tempo, t (en anos), durante os 5 últimos anos, vén dado por esta función:

b (t) =  () si [, ] si (, ]

03 35

se se () si [, ] si (, ]

a) Indica cando creceu o beneficio e determina en que momentos houbo máximos e mínimos locais e cales foron os seus correspondentes valores.

b) Cando tivo un beneficio de 500 000 €?

c) Representa a función b(t).

Exercicios e problemas propostos

Cuestións teóricas

39 Que podemos dicir do grao dunha función polinómica con dous máximos e dous mínimos relativos? Nesa función, pode estar un dos mínimos máis alto que os máximos?

40 Unha función f (x) ten as seguintes características:

Dom f =  Á – {0} e é continua e derivable en todo o seu dominio.

∞ lm í x – " f (x) = – ∞ ∞ lm í x " + f (x) = +∞

lm í x 0 –" f (x) = +∞ lm í x 0 " + f (x) = – ∞

Indica cales das seguintes afirmacións son seguras, cales son probables e cales son imposibles:

a) f (x) é par.

b) f (x) é impar.

c) Non ten máximos nin mínimos.

d) Ten un máximo e un mínimo.

e) Corta o eixe X en dous puntos.

f ) Corta o eixe X polo menos en dous puntos.

g) Ten, polo menos, unha asíntota vertical.

h) Ten só unha asíntota vertical.

i) Ten unha asíntota oblicua.

j) É cóncava en x < 0 e convexa en x > 0.

41 Cantos puntos de inflexión pode ter, como máximo, unha función polinómica de cuarto grao?

42 Comproba que y =  || x x 1 + ten dúas asíntotas horizontais.

43 Sobre a gráfica de y = | x 2 – 4 | indica os intervalos de concavidade e de convexidade e os seus puntos de inflexión.

44 y =  x x 1 1 –2 + non está definida en x = 1 nin en x = –1; non obstante, ten só unha asíntota vertical. Xustifícao.

45 Cantas asíntotas verticais pode ter unha función? E horizontais?

46 Pon un exemplo dunha función que teña un mínimo en x = 1 e que non sexa derivable nese punto. Represéntaa.

47 Dá un exemplo dunha función derivable en x = 1 con f ' (1) = 0 que non teña máximo nin mínimo nese punto.

48 Se é posible, debuxa unha función continua no intervalo [0, 4] que teña, polo menos, un máximo relativo en (2, 3) e un mínimo relativo en (3, 4). Se a función fose polinómica, cal debería ser, como mínimo o seu grao?

49 Ten f (x) = x + e –x algunha asíntota? Se é así, áchaa.

50 Que tipo de simetría ten as seguintes funcións?

a) y = sen 2 x b) y

51 Dada a función f (x):

Indica que gráfica corresponde a estas outras:

52 Relaciona cada gráfica coa súa función.

53 Dadas as gráficas de f e g:

Relaciona estas funcións coas súas representacións:

f /g II. g/f III. g – f IV. f

Para afondar

54 Aínda que a palabra asíntota a aplicamos a rectas que se aproximan a unha gráfica, ten un significado máis amplo: dise que dúas curvas son asintóticas cando, ao se afastaren da orixe, a distancia entre elas tende a cero. Por exemplo, a parábola y = x 2 + 1 é asintótica á función y =  x x 1 –2 4 revisa a súa gráfica na páxina 313), xa que y =  x x x x 1 1 1 1 2 4 2 2 =+ + e, ademais, x 1 1 –2 tende a 0 cando x → ± ∞ tomando valores positivos, polo que a gráfica de y = f (x) queda por riba da parábola.

Este resultado permite representar a función de forma máis precisa apoiándonos na representación da parábola:

parábola asintótica

rectas asintóticas

a) Acha a parábola asintótica a y =  x xx x 28 –32 ++ . Determina a posición da curva respecto dela.

b) Representa a función utilizando eses datos, así como a asíntota vertical e o punto singular (único, en x = 2).

55 Estuda a posición relativa entre estas curvas e as súas parábolas asintóticas. Representa a información obtida: a) y =  x x

x 4 –2 4

56 No Exercicio resolto 1 do apartado 11.5, vimos un sinxelo procedemento para calcular as asíntotas da función y =  xx 2 –2 mediante os pasos seguintes:

() || xx xx21 –≈11 –22 =

Descubre, de forma similar, as asíntotas destas funcións:

a) y =  xx 2 2 + b) y =  xx612 –2 + c) y =  xx 4 2 + Indica a posición de cada curva respecto das asíntotas.

57 Se unha función, f, é periódica, tamén o é g [ f (x)] calquera que sexa g (x), xa que se f é periódica de período T, entón f (x + kT ) = f (x). Polo tanto: g [f (x + kT )] = g [f (x)], é dicir g ° f é periódica Non obstante, en xeral, f [g (x)] non é periódica, xa que f [ g (x + kT )] ≠ f [g(x)] porque g(x + kT) ≠ g(x).

Segundo estas afirmacións, indica cales das seguintes funcións son ou non periódicas.

a) y = 2sen x b) y = sen2 x c) y = sen x2 d) y =  senx e) y = sen x f ) y = sen 2x

* Lembra que, se unha función f é periódica de período T, entón tamén é periódica f(mx + n), e o seu período é T/m.

1 Debuxa a gráfica dunha función f da que sabemos:

∞ lm í x " + f (x) = +∞ , ∞ lm í x – " f (x) = –3, lm í x –3 " f (x) = – ∞ f ' (–5) = 0; f ' (0) = 0; f (–5) = 0; f (0) = 2

2 Describe as seguintes funcións:

4 Representa as seguintes funcións:

y= x

5 Representa estas funcións:

6 Calcula os puntos de corte cos eixes e os puntos singulares da función y = ln (–x 2 + 1). Determina os intervalos de crecemento e de decrecemento e esboza a gráfica.

7 Acha os máximos e os mínimos de f (x) = x x 3 + Indica se ten asíntotas e represéntaa graficamente.

3 Debuxa unha función continua en Á que teña un mínimo relativo en (1, 6) e un máximo relativo en (6, 2). Se é un polinomio, cal será, como mínimo, o seu grao?

8 Estuda estas funcións e represéntaas graficamente: a) 3x 4 + 4x 3 – 12x 2 b) y = sen 2x + 2cos x

Reservados todos os dereitos. O contido desta obra está protexido pola Lei, que establece penas de prisión e/ou multas, amais das correspondentes indemnizacións por perdas e danos, para quen reproduza, plaxie, distribúa ou comunique publicamente, en todo ou en parte, unha obra literaria, artística ou científica, ou a súa transformación, interpretación ou execución artística fixada en calquera tipo de soporte ou comunicada a través de calquera medio, sen a preceptiva autorización.

© GRUPO ANAYA, S.A., 2022 - C/ Valentín Beato, 21 - 28037 Madrid.