Exercicios e problemas propostos

Cuestións teóricas

39 Que podemos dicir do grao dunha función polinómica con dous máximos e dous mínimos relativos? Nesa función, pode estar un dos mínimos máis alto que os máximos?

40 Unha función f (x) ten as seguintes características:

Dom f = Á – {0} e é continua e derivable en todo o seu dominio.

∞ lm í x – " f (x) = – ∞ ∞ lm í x " + f (x) = +∞ lm í x 0 –" f (x) = +∞ lm í x 0 " + f (x) = – ∞

Indica cales das seguintes afirmacións son seguras, cales son probables e cales son imposibles: a) f (x) é par. b) f (x) é impar. c) Non ten máximos nin mínimos. d) Ten un máximo e un mínimo. e) Corta o eixe X en dous puntos. f ) Corta o eixe X polo menos en dous puntos. g) Ten, polo menos, unha asíntota vertical. h) Ten só unha asíntota vertical. i) Ten unha asíntota oblicua. j) É cóncava en x < 0 e convexa en x > 0. a) y = sen 2 x b) y

41 Cantos puntos de inflexión pode ter, como máximo, unha función polinómica de cuarto grao?

42 Comproba que y = || x x 1 + ten dúas asíntotas horizontais.

43 Sobre a gráfica de y = | x 2 – 4 | indica os intervalos de concavidade e de convexidade e os seus puntos de inflexión.

44 y = x x 1 1 –2 + non está definida en x = 1 nin en x = –1; non obstante, ten só unha asíntota vertical. Xustifícao.

45 Cantas asíntotas verticais pode ter unha función? E horizontais?

46 Pon un exemplo dunha función que teña un mínimo en x = 1 e que non sexa derivable nese punto. Represéntaa.

47 Dá un exemplo dunha función derivable en x = 1 con f ' (1) = 0 que non teña máximo nin mínimo nese punto.

48 Se é posible, debuxa unha función continua no intervalo [0, 4] que teña, polo menos, un máximo relativo en (2, 3) e un mínimo relativo en (3, 4). Se a función fose polinómica, cal debería ser, como mínimo o seu grao?

49 Ten f (x) = x + e –x algunha asíntota? Se é así, áchaa.

50 Que tipo de simetría ten as seguintes funcións?

51 Dada a función f (x):

Indica que gráfica corresponde a estas outras:

52 Relaciona cada gráfica coa súa función.

53 Dadas as gráficas de f e g:

Relaciona estas funcións coas súas representacións: f /g II. g/f III. g – f IV. f

Para afondar

54 Aínda que a palabra asíntota a aplicamos a rectas que se aproximan a unha gráfica, ten un significado máis amplo: dise que dúas curvas son asintóticas cando, ao se afastaren da orixe, a distancia entre elas tende a cero. Por exemplo, a parábola y = x 2 + 1 é asintótica á función y = x x 1 –2 4 revisa a súa gráfica na páxina 313), xa que y = x x x x 1 1 1 1 2 4 2 2 =+ + e, ademais, x 1 1 –2 tende a 0 cando x → ± ∞ tomando valores positivos, polo que a gráfica de y = f (x) queda por riba da parábola.

Este resultado permite representar a función de forma máis precisa apoiándonos na representación da parábola: parábola asintótica rectas asintóticas a) Acha a parábola asintótica a y = x xx x 28 –32 ++ . Determina a posición da curva respecto dela. b) Representa a función utilizando eses datos, así como a asíntota vertical e o punto singular (único, en x = 2).

55 Estuda a posición relativa entre estas curvas e as súas parábolas asintóticas. Representa a información obtida: a) y = x x x 4 –2 4

56 No Exercicio resolto 1 do apartado 11.5, vimos un sinxelo procedemento para calcular as asíntotas da función y = xx 2 –2 mediante os pasos seguintes:

() || xx xx21 –≈11 –22 =

Descubre, de forma similar, as asíntotas destas funcións: a) y = xx 2 2 + b) y = xx612 –2 + c) y = xx 4 2 + Indica a posición de cada curva respecto das asíntotas. a) y = 2sen x b) y = sen2 x c) y = sen x2 d) y = senx e) y = sen x f ) y = sen 2x

57 Se unha función, f, é periódica, tamén o é g [ f (x)] calquera que sexa g (x), xa que se f é periódica de período T, entón f (x + kT ) = f (x). Polo tanto: g [f (x + kT )] = g [f (x)], é dicir g ° f é periódica Non obstante, en xeral, f [g (x)] non é periódica, xa que f [ g (x + kT )] ≠ f [g(x)] porque g(x + kT) ≠ g(x).

Segundo estas afirmacións, indica cales das seguintes funcións son ou non periódicas.

* Lembra que, se unha función f é periódica de período T, entón tamén é periódica f(mx + n), e o seu período é T/m.

1 Debuxa a gráfica dunha función f da que sabemos:

∞ lm í x " + f (x) = +∞ , ∞ lm í x – " f (x) = –3, lm í x –3 " f (x) = – ∞ f ' (–5) = 0; f ' (0) = 0; f (–5) = 0; f (0) = 2

2 Describe as seguintes funcións:

4 Representa as seguintes funcións: y= x

5 Representa estas funcións:

6 Calcula os puntos de corte cos eixes e os puntos singulares da función y = ln (–x 2 + 1). Determina os intervalos de crecemento e de decrecemento e esboza a gráfica.

7 Acha os máximos e os mínimos de f (x) = x x 3 + Indica se ten asíntotas e represéntaa graficamente.

3 Debuxa unha función continua en Á que teña un mínimo relativo en (1, 6) e un máximo relativo en (6, 2). Se é un polinomio, cal será, como mínimo, o seu grao?

8 Estuda estas funcións e represéntaas graficamente: a) 3x 4 + 4x 3 – 12x 2 b) y = sen 2x + 2cos x