Exercicios e problemas guiados

1. Tanxente perpendicular a unha recta

Escribir as ecuacións das rectas tanxentes á función f (x) = 4x3 – 2x +1 que son perpendiculares á recta x + y – 2 = 0.

• Se a pendente da recta é m, a da súa perpendicular é m –1

• Para obter os puntos de tanxencia, resolve a ecuación f ' (x) = m –1 .

• Acha os puntos de tanxencia e escribe as ecuacións pedidas.

Solución: y = x; y = x + 2

Determinar os intervalos de concavidade e convexidade e os puntos de inflexión da función: f (x) = x x 1 –2 2

Calcular o máximo e o mínimo absolutos, no intervalo [–1, 2] da función: f (x) = ln (x 2 + x + 1) – x

Dada a función f (x) = x xx47 –2 + , demostrar que existe un valor c ∈ (1, 3) tal que f ' (c) = 4.

• Resolve a ecuación f '' (x) = 0.

• Lembra que, para que exista un punto de inflexión, a curva debe pasar de cóncava a convexa ou de convexa a cóncava.

• Ten en conta o dominio de definición da función para determinar os intervalos onde debes estudar o signo de f '' (x).

Solución: Cóncava en (– ∞, –1) ∪ (1, +∞) e convexa en (–1, 1). Non ten puntos de inflexión.

• Estuda o dominio de f (x) e a súa continuidade no intervalo dado.

• Lembra que unha función continua nun intervalo pechado alcanza o máximo e o mínimo absolutos nos extremos do intervalo ou nos extremos relativos.

• Obtén as abscisas dos extremos relativos. Calcula e compara o valor de f (x) neses puntos e en x = –1 e en x = 2.

Solución: O máximo absoluto alcánzase no punto (–1, 1) e o mínimo absoluto en (2, ln 7 – 2).

• Estuda o dominio de f (x) e a súa continuidade no intervalo [1, 3].

• Acha a derivada de f (x) tomando logaritmos.

• Comproba que a derivada existe no intervalo (1, 3). Aplica o teorema do valor medio e obtén c

Solución: f (x) é continua en [1, 3] e derivable en (1, 3). Entón, existe un c tal que f ' (c) = () () ff 31 31 4 ––= a) Calcular o valor de a para que a función teña un extremo relativo no punto de abscisa x = 2. b) Clasificar os extremos relativos cando a = 2. a) Os extremos relativos están entre as solucións da ecuación f ' (x) = 0.

Sexa f (x) = x 2 e – ax con a ≠ 0.

Unha das solucións desa ecuación depende de a. Para x = 2, obterás o valor de a b) Estuda o signo de f' (x) nos intervalos que determinan os puntos singulares.

Solución: a) a = 1 b) Ten un mínimo relativo en (0, 0) e un máximo relativo en (1, e –2).