Exercicios e problemas propostos

59 Un rectángulo ten os seus vértices nos puntos (0, 0), (a, 0), (0, b) e (a, b), onde a > 0, b > 0 e, ademais, o punto (a, b) está situado na curva de ecuación y = x 1 2 + 9.

De entre todos os rectángulos que cumpren esas condicións, determina o rectángulo de área mínima e calcula esta área mínima.

60 Considera un triángulo isóscele cuxa base de 12 cm é o lado desigual e cuxa altura é de 5 cm. Quérese determinar un punto A situado sobre a altura a unha distancia x da base, de maneira que a suma das distancias do punto A aos tres vértices do triángulo sexa mínima. Observa a figura: A x 5 cm } 12 cm a) Demostra que a suma das distancias do punto A aos tres vértices do triángulo vén dada pola expresión f (x) = 5 – x + 2 x 36 2 + b) Calcula o valor de x para que a suma das distancias sexa mínima. c) Calcula esa cantidade mínima. a) Demostra que a área do devandito triángulo vén dada por A (x) = 12sen x, onde x é o ángulo que forman as agullas. b) Acha x para que a área do triángulo sexa máxima e calcula a devandita área. a) En que momento do intervalo [0, 3] se alcanza a velocidade máxima? b) Calcula lm í x ∞ " + v (t ) e interpreta o resultado.

61 As agullas dun reloxo miden 4 cm e 6 cm; unindo os seus extremos fórmase un triángulo.

62 A velocidade dunha partícula en m/s, vén dada pola función v (t ) = (t 2 + 2t)e –t con t ≥ 0.

63 Dada f: [1, e] → Á definida por f (x) = x 1 + ln x, determina cales das rectas tanxentes á gráfica de f teñen a máxima pendente

64 Calcula as dimensións do triángulo isóscele de área máxima, inscrito nunha circunferencia de 4 m de raio.

Cuestións teóricas

65 Comproba que f (x) = x 3 – 18x, definida no intervalo [0, 3 2 ], verifica as hipóteses do teorema de Rolle e atopa o valor c ∈ (0, 3 2 ) para o que f ' (c) = 0.

66 A función y = x 3 – 5x 2 + 3x – 2, cumpre as hipóteses do teorema do valor medio no intervalo [0, 4]? En caso afirmativo, di cal é o x0 que cumpre a tese

67 Dada a función:

Proba que f satisfai as hipóteses do teorema do valor medio en [–2, 0] e calcula o ou os puntos nos que se cumpre o teorema

68 É posible calcular a, b, para que a función: cumpra o teorema de Rolle no intervalo [0, c]?

69 A función f (x) = | cos x | toma nos extremos do intervalo [0, π] o valor 1. Cumprirá o teorema de Rolle?

70 Sexa f unha función continua e derivable tal que f (0) = 3. Calcula canto ten que valer f (5) para asegurar que en [0, 5] existe un c tal que f ' (c) = 8.

71 Calcula a e b para que:

< 2 + ) cumpra as hipóteses do teorema do valor medio no intervalo [2, 6]. Onde cumpre a tese?

72 Sexa f (x) = 1 – x 2/3

Proba que f (1) = f (–1) = 0, pero que f'(x) non é nunca cero no intervalo [–1, 1]. Explica por que este resultado contradí aparentemente o teorema de Rolle.

73 A derivada dunha función f é positiva para todos os valores da variable. Pode haber dous números distintos, a e b, tales que f (a) = f (b)? Razóao.

74 Calcula a, b e c para que a función: f (x) = ≥ xaxb cx x x 1 2 2 si si < 2 ++ + ) se se ≥ xaxb cx x x 1 2 2 si si < 2 ++ + ) cumpra as hipóteses do teorema de Rolle no intervalo [0, 4]. En que punto se cumpre a tese?

75 Dada a función: f (x) = () () ln ln xx x 31020 –x 2 ++ + demostra que existe un valor a ∈ (1, 2) tal que f ' (a) = 0. Menciona e xustifica os resultados teóricos empregados. a) Unha función que non sexa unha recta pode ter infinitos puntos nos que a súa recta tanxente sexa y = 1. b) Se f ' (a) = 0, f '' (a) = 0, entón f non pode ter nin máximo nin mínimo en x = a c) Se un polinomio de grao 3 ten un mínimo en x = 2, ese mínimo non pode ser mínimo absoluto. d) Unha función continua en [0, 5], que non é derivable en x = 3, non pode ter un máximo en x = 3. e) Se y = f (x) é crecente en x = a, entón y = –f (x) é decrecente en x = a f ) Se f' (a) = 0, f ten un máximo ou un mínimo en x = a. g) Se f' (a) = 0, f '' (a) = 0 e f '' (a) = –5, f ten un punto de inflexión en x = a. h) Se esta é a gráfica de f' (x), entón f ten un mínimo en x = –1 e un máximo en x = 1.

76 Verdadeiro ou falso? Razoa a resposta.

Para afondar

77 Nun experimento realizáronse cinco medidas do mesmo obxecto, que deron os resultados seguintes: m1= 0,92; m2 = 0,94; m3 = 0,89; m4 = 0,90; m5 = 0,91

Tomarase como mellor aproximación á medida real o valor de x tal que a suma dos cadrados dos erros sexa mínima. É dicir, o valor para o que a función:

E(x) = (x – m1)2 + (x – m2)2 + … + (x – m5)2 alcanza o mínimo. Calcula ese valor de x.

78 Demostra que existe α ∈ (–1,3) tal que f ' (α) = 4 –1 sendo f (x) = [( )] log xx x2 7 –x 22 4 3– 3 ++

Menciona os resultados teóricos empregados e xustifica o seu uso.

79 Cando un globo está a 200 m sobre o chan e se eleva a 15 m/s, un automóbil pasa por debaixo del con velocidade de 45 km/h. Con que velocidade se separan coche e globo un segundo despois?

Ten en conta o seguinte:

— O globo está a 200 +15t m de altura no intre t.

— O coche está a (45/3,6) · t m da vertical do globo. Acha a distancia entrambos os dous e descubre a velocidade de afastamento cando t = 1.

1 Acha os puntos da función: f (x) = ln cos cos x x 1 1–+ nos que a recta tanxente sexa paralela á recta y = 2x – 3.

2 Calcula os extremos relativos e os intervalos de crecemento e decrecemento e os de concavidade e convexidade da función seguinte: f (x) = x | x – 2 |

3 Estuda o crecemento da función f (x) = e x (cos x + sen x) e determina os seus máximos e mínimos para x ∈ [0, 2π].

4 a) Estuda a curvatura da seguinte función: f (x) = x 2 ln x b) Escribe a ecuación da recta tanxente que pasa polo seu punto de inflexión.

5 Determina a, b, c e d para que a función: g (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d teña un máximo relativo no punto (0, 4) e un mínimo relativo no punto (2, 0).

6 Calcula o punto da curva y = x 1 1 2 + no que a pendente da recta tanxente sexa máxima

7 De todos os cilindros que poden inscribirse nunha esfera de 9 cm de raio, acha a altura e o raio do que ten maior volume.

8 A función f (x) = 1 – | x | si x ∈ [–2, 2] verifica a igualdade f (–2) = f (2).

Xustifica se é posible atopar algún c ∈ (–2, 2) tal que f ' (c) = 0.