Aplicacións das derivadas 10

Buscando a optimización

A obtención da tanxente a unha curva nun dos seus puntos e o cálculo da velocidade instantánea dun móbil son problemas históricos que deron lugar, no seu momento, á noción de derivada. Non obstante, foron os problemas de optimización os que achegaron maior impulso á busca dunha teoría que lles dese xeneralidade a todos os problemas particulares que se formularan.

A ciencia, a técnica, as propias matemáticas e mesmo a vida cotiá están inzadas de problemas de optimización (máximos e mínimos). Numerosas cuestións importantes formúlanse deste xeito: «Que é o óptimo en tales circunstancias?». Moitos dos problemas de máximos e mínimos xa foron abordados polos gregos, como, por exemplo, o camiño que percorre a luz para chegar dun punto a outro mediante reflexión (Herón, século i d. C.). Antes da invención do cálculo diferencial, cada un destes problemas abordábase mediante un procedemento específico, non xeneralizable aos demais. Actualmente moitos deses problemas son simples aplicacións das derivadas.

Unha boa notación

Ter unha boa notación para designar simbolicamente de maneira axeitada os conceptos matemáticos é enormemente importante. Newton anotaba cun punto enriba, y., a derivada da función, o cal di moi pouco sobre o que é a derivada. Leibniz, en cambio, ideou a notación dx dy , que representa moi adecuadamente o seu significado.

A comezos do século xviii orixinouse unha vehemente disputa entre as illas británicas e o continente sobre se fora Leibniz (continental) ou Newton (inglés) o primeiro que inventara o cálculo infinitesimal. Tanto se agrearon os ánimos que os matemáticos británicos se aferraron durante todo o século xviii non só ás ensinanzas de Newton, senón tamén á súa notación pouco afortunada. Dise que a consecuencia desta obstinación foi un atraso de 50 anos para a matemática británica.

O gran mestre da boa notación foi Euler. A el débese case toda a que hoxe usamos na nosa matemática. Foi quen consagrou, a mitade do século xviii, a notación de Leibniz para a derivada e a integral e outras moitas que quedaron avaladas pola súa autoridade e pola súa adecuación co que querían representar.

Johann Bernoulli e o Marqués de L’Hôpital

O pai dos irmáns Bernoulli, Jakob e Johann, cría saber ben o que lles ía a cada un dos seus fillos: a Jakob, a teoloxía, e a Johann, a medicina. A verdade é que non acertou con ningún. Por aí encarreirounos e por eses camiños comezou cada un na Universidade de Basilea, Suíza. Pero a atracción da matemática foi tal que, despois de rematados os estudos prescritos polo seu pai, esta absorbeunos completamente e nela sobresaíron extraordinariamente.

En 1692, nunha viaxe que Johann fixo a París, coñeceu un mozo marqués, GFA de L’Hôpital, entusiasmado co novo cálculo infinitesimal. Este, á parte de recibir leccións de Bernoulli, asinou con el un contrato polo que Johann, de volta a Basilea, a cambio dun soldo regular, se comprometía a comunicarlle ao marqués os seus descubrimentos e este podería facer deles o uso que lle parecera.

Coas ideas e descubrimentos de Johann Bernoulli, L’Hôpital escribiu en 1696 un magnífico libro, Análise dos infinitésimos, que tivo un éxito extraordinario durante todo o século xviii e o fixo pasar á historia. Este nunca pretendeu facerse coa paternidade dos resultados que publicaba nel, senón que sempre lle recoñeceu claramente o mérito a Bernoulli. A regra de L’Hôpital, que xa coñeces como eficaz ferramenta para o cálculo de límites e cuxa validez se demostrará nesta unidade, é un dos descubrimentos de Johann Bernoulli que se lle atribúen inxustamente ao marquéss.

Ao morrer L’Hôpital, Johann Bernoulli reclamou para si o mérito daquela regra. Ninguén o creu. Máis adiante o descubrimento da correspondencia entre Bernoulli e o marqués puxo as cousas no seu lugar.

RESOLVE Optimización

• Unha persoa achégase a unha estatua de 2 m de altura. Os ollos da persoa están 1 m por debaixo dos pés da escultura. A que distancia se debe achegar para que o ángulo, φ, baixo o cal ve a estatua sexa máximo?

Hai unha fermosa resolución por métodos xeométricos. Obsérvaa:

Trázase unha circunferencia que pasa polos puntos A e B e é tanxente á recta r.

Demostra que o punto de tanxencia, T, é o lugar da recta r desde o que se ve o segmento AB con ángulo máximo.

A lonxitude do segmento OT áchase tendo en conta que a potencia do punto O respecto á circunferencia é igual a

· OA OB e tamén é igual a OT 2 . Así:

·· OT OA OB 13 3 == = ≈ 1,73 m atención! Este problema pódelo resolver, tamén, relacionando o ángulo φ cos ángulos α e β cuxas tanxentes trigonométricas podemos expresar en función de x.

Obterás unha función que debes facer máxima (na páxina 282 resólvese este problema).

Recta tanxente a unha curva

A obtención da recta tanxente a unha curva nun dos seus puntos é a aplicación máis inmediata das derivadas, que xa coñeces desde o curso pasado e que utilizamos na unidade anterior. Pero relacionados con este hai outros casos menos triviais. Vexámolos:

• Caso elemental: tanxente a y = f (x) no punto de abscisa x = x0

• Ordenada do punto: f (x0)

• Pendente da recta: m = f ' (x0)

A ecuación da recta tanxente é: y = f (x0) + f ' (x0)(x – x0)

Por exemplo: Achar a ecuación da recta tanxente a y =

• Cálculo da ordenada: f (x0) = f (3) =

A curva pasa por 3, 2 1 dn

LEMBRA

A recta normal a unha función nun punto é a perpendicular á recta tanxente nese punto. A súa ecuación é: y = f (x0) – ´( ) fx 1 0 (x – x0)

➜ Recta tanxente nun punto calquera.

22 32 – xx xx

• Pendente: f ' (x) = () () () ()

A ecuación da recta tanxente en x = 3 é: y = () x 2 1 12 7

• Cando a función se dá implicitamente: ϕ(x, y) = 0

A función y (x) vén dada implicitamente.

• Coordenadas do punto: pódennos dar as coordenadas do punto (x0, y0), ou ben só a abscisa. Neste caso a ordenada obtense resolvendo a ecuación ϕ (x0, y ) = 0.

• Pendente da recta: a expresión de y ' (x, y ) e, en consecuencia, o valor de y ' (x0, y0) obtense mediante a derivación implícita en ϕ (x, y ) = 0.

Exemplo:

Achar as tanxentes a x y 25 1 1 6 2 2 += nos puntos de abscisa x0 = 4.

• Obtención das ordenadas correspondentes: y 25 16 16 1 0 2 += → y 16 1 25 16 25 144 – 0 2 == dn → y 5 12 ± 0 =

• Para achar a pendente neses puntos, derivamos implicitamente: ' x yy 25 2 16 2 0 += → ' y y x 25 16

➜ Recta tanxente a unha elipse.

• Tanxente a unha curva y = f (x) coñecendo a súa pendente

Coñecemos a pendente, m, das rectas tanxentes buscadas pero non sabemos cales son os puntos de tanxencia. As abscisas destes obtéñense resolvendo a ecuación f ' (x) = m

Por exemplo:

Achar as rectas tanxentes a y

• Tanxente a unha curva desde un punto exterior

• Coñecemos o punto, P (x0, y0). Descoñecemos o punto de tanxencia, T (c, f (c)).

• A pendente do segmento PT é () xc yf c e coincide con f ' (c).

• Iguálanse e resólvese a ecuación. As solucións son as abscisas dos puntos de tanxencia.

Por exemplo:

Achar as rectas tanxentes a y = x 2 – 5x + 3 que pasan polo punto P (2, –7).

• O punto T de tanxencia é da curva. As súas coordenadas son (c, c 2 – 5c + 3).

• A pendente da recta PT debe ser igual á derivada de f en c:

Pensa e practica

1 Acha as rectas tanxentes a cada curva que cumpren a condición que se indica: nos puntos de abscisa 0, 1, 3. c) y = x xx 3 36 3 2 +