Representación de funcións polinómicas

As funcións polinómicas, y = P (x), son derivables (e, polo tanto, continuas) en todo Á.

Non teñen asíntotas de ningún tipo. Teñen ramas parabólicas en – ∞ e en +∞. Coñecendo estas dúas ramas infinitas e os puntos singulares, pódense representar con moita precisión. Se se queren perfilar mellor, pódense obter os puntos de corte cos eixes e os puntos de inflexión.

Poden presentar simetrías:

• Se só teñen termos de grao par, son simétricas respecto do eixe Y

Por exemplo: y = 2x 4 – 3x 2 + 5

• Se só teñen termos de grao impar, son simétricas respecto da orixe de coordenadas.

Por exemplo: y = x 5 – 4x 3 + 2x

Para representar unha función polinómica y = P (x):

• Obsérvase se ten algún tipo de simetría.

• Áchanse as súas dúas ramas infinitas: ∞ lm í x – " f (x), ∞ lm í x " + f (x)

• Resólvese a ecuación P' (x) = 0.

As súas solucións, se as hai, son as abscisas dos seus puntos singulares. A continuación, obtéñense as súas ordenadass.

• Os puntos obtidos únense entre si e coas ramas infinitas, coidando de non debuxar máis puntos singulares que os obtidos. Deste xeito sábese cales son os máximos e mínimos relativos.

• Se se pode, convén obter, tamén, os puntos de corte cos eixes para conseguir maior precisión na representación.

Lembra

É importante recoñecer as funcións polinómicas e saber, a priori, que podemos esperar delas.

Ten En Conta

Cos puntos singulares e as ramas infinitas apréciase claramente a forma da curva.

➜ Representa funcións polinómicas.

➜ anayaeducacion.es

Exercicios para repasar a representación de funcións polinómicas.

Exercicios resoltos

1 Representar a función seguinte: f (x) = x 3 – 6x 2 + 9x + 5

Simetrías: Non é simétrica nin respecto do eixe Y nin respecto da orixe de coordenadas.

Ramas infinitas:

Puntos singulares: f ' (x) = 3x 2 – 12x + 9 f ' (x) = 0 ⇔ x = 1, x = 3 f (1) = 9, f (3) = 5 → (1, 9), (3, 5)

Cortes cos eixes:

Corta o eixe Y en (0, 5) e o eixe X entre –1 e 0, pois f (–1) = –11 e f (0) = 5.

Puntos de inflexión: f '' (x) = 6x – 12 f '' (x) = 0 ⇔ x = 2 → (2, 7)

Con estes datos podemos debuxar a curva.

Exercicios resoltos

2 Representar a seguinte función:

= 3x 5 – 20x 3

Simetrías: Observamos que todos os termos son de grao impar. Polo tanto, é simétrica respecto da orixe de coordenadas. (Lembra que a estas funcións se lles chama impares).

3 Representar a función:

= x 4 + 8x 3 + 22x 2 + 24x + 9 son (–2, 64), (0, 0) e (2, – 64). Estes datos son suficientes para representar a gráfica.

Simetrías: Non é nin par nin impar. Polo tanto, non é simétrica respecto do eixe Y nin respecto da orixe de coordenadas.

Puntos singulares:

24. Por ser un polinomio de terceiro grao, debemos localizar algunhas das súas raíces tenteando cos divisores do termo independente (24). Ademais, como todos os coeficientes son positivos, só pode ter raíces negativas. Probamos con x = –1:

Unha raíz é x = –1, e as outras dúas raíces obtéñense resolvendo a ecuación 4x 2 + 20x + 24 = 0. 4

Cortes cos eixes: Dous dos puntos singulares están no eixe X Se facemos un bosquexo da curva, observamos que non corta o eixe X en máis puntos. O eixe Y córtao no punto (0, 9).

1 Representa estas funcións: