Exercicios e problemas propostos

Funcións polinómicas

12 Estuda e representa as seguintes funcións: a) y = x 3 + 3x 2 b) y = x 3 – 3x 2 + 5 c) y = x 4 2 9 –4 x 2 + 10 d) y = xx 64 5–45 e) y = x 5 – 5x 3 f ) y = (x – 1)3 – 3x g) y = x 4 – 4x 2 h) y = 1 – (x – 1)3

13 Estuda as ramas infinitas, intervalos de crecemento e de decrecemento, máximos, mínims e puntos de inflexión das seguintes funcións. Represéntaas graficamente: a) y = 3 + (2 – x)3 b) y = 2 – (x – 3)4 c) y = (x + 1)6 – 5 d) y = 3 – (1 – x)3 e) y = x (x – 1) (x + 3) f ) y = (x – 2)2 (x + 1) x 3

14 Representa as seguintes funcións: a) y = x 2 – x4 b) y = 3x 4 + x3 – 1 c) y = x 3 – x2 d) y = 2x 3 + 3x2 – 12x

Funcións racionais

15 Nas seguintes funcións, estuda o seu dominio, asíntotas e posición da curva respecto destas, e represéntaas a partir dos resultados obtidos: a) y = x 1 2 b) y = x 1 1 –2 c) y = x x 1 –2 d) y = x x 1 –2 e) y = x x 1 2 + f ) y

16 Representa estas funcións estudando previamente o seu dominio, asíntotas, ramas infinitas e extremos relativos: a)

34

17 Representa as seguintes funcións racionais: a) y = xx xx 1 1 –2 2 ++ + b) y = x xx 1 22 ––2 + c) y = x xx 1 32 –2 2 + + d) y = x xx x 2 44 3 32 +

Lembra que se se simplifica unha fracción dividindo numerador e denominador por (x – a), hai unha descontinuidade evitable en

Funcións con valor absoluto e funcións a anacos

18 Representa esta función:

19 Representa esta función definida a anacos: f

20 Representa a seguinte función: f (x) = () ≥ xx x x x 31 1 0 0 ––si si < 3 2 + * se se () ≥ xx x x x 31 1 0 0 ––si si < 3 2 + *

Estuda os seus intervalos de crecemento e de decrecemento, os seus extremos relativos e a súa curvatura.

21 Debuxa a gráfica das seguintes funcións e indica en que puntos non son derivables: a) y = x + | x + 2 | b) y = 2x – | x – 3 | c) y = | x | + | x – 3 | d) y = x | x – 1 |

22 Considera a función f (x) = x 2 | x – 3 |: a) Acha os puntos onde f non é derivable. b) Calcula os seus máximos e mínimos. c) Represéntaa graficamente.

23 Representa graficamente cada unha das seguintes funcións: a) y = || x 2 1 –b) y = || x x 1 2 2 + c) y = || || x x 1 3 + + d) y = –|x 3 – x 2 + 2|

Outros tipos de funcións

24 Estuda e representa as seguintes funcións: a) y = x 4– 2 3 b) y = xx –2 c) y = xx45 –2 + d) y = x x 1 –2 2

25 Estuda e representa as seguintes funcións: a) y = e x x b) y = ln x x c) y = x ln x d) y = (x – 1) e x e) y = e x–2 f ) y = x 2 e –x g) y = ln x x 3 h) y = ln (x 2 – 1)

26 Estuda e representa as seguintes funcións: a) y = sen x + cos x b) y = 2sen x – cos 2x c) y = cos 2x – cos 4x d) y = 3sen πx + 2 e) y = sen πx – 2 f ) y = tan πx + cos 2πx

Para resolver

27 Estuda o dominio de definición, as asíntotas e os extremos de cada unha destas funcións e, con esa información, relaciónaas coas súas respectivas gráficas:

32 A recta y = 2x + 6 é unha asíntota oblicua da función: f (x) = xk x 21 –2 + a) Calcula o valor de a para que esta función teña un extremo relativo no punto de abscisa x = 2. b) Clasifica os extremos relativos cando a = 2.

Acha o valor de k e representa a función así obtida.

33 Sexa a función f (x) = x 2 · e –ax con a ≠ 0.

34 Dada a función: f (x) = ax + b + x 8 calcula a e b para que a gráfica de f pase polo punto (–2 – 6) e teña, nese punto, tanxente horizontal. Para eses valores de a e b, representa a función.

35 Acha os valores de a, b e c para os cales a función: f (x) = x ax bx c 4 –2 2 ++ ten como asíntota horizontal a recta y = –1 e un mínimo no punto (0, 1). a) Acha a función a anacos que describe a súa traxectoria. b) Se o desprazamento é de esquerda a dereita, acha o punto no que a partícula corta o eixe X.

36 Unha partícula móvese ao longo da gráfica da curva de ecuación y = x x 1 2 –2 para x > 1.

No punto P (2, –4/3) déixaa e desprázase ao longo da recta tanxente á devandita curva.

28 Lembra que o seno hiperbólico e o coseno hiperbólico se definían así: ee

Estuda os máximos, os mínimos e os puntos de inflexión destas funcións e represéntaas graficamente.

29 Determina as asíntotas das seguintes funcións: a) y = x x 3 1– b) y = x xx 1 2 ++

30 Realiza un estudo e representa cada unha das seguintes funcións: a) y = ln x x 1 1 –2 2 + eo b) y = e e 1 1 –x x + c) y = ln x x 1 + bl d) y = xx e 23 –|| x 2 1 –+

31 Calcula o valor de a, b e c, sabendo que esta función é do tipo y = a + b cos c xr bl

37 A concentración (en %) de nitróxeno dun composto vén dada, en función do tempo t ∈ [0, +∞) medido en segundos, pola función:

N (t ) = e12 60 t–+ a) Comproba que a concentración de nitróxeno medra co tempo. Para que t a concentración de nitróxeno é mínima e cal é esta concentración? b) A que valor tende a concentración de nitróxeno cando o tempo tende a infinito?

38 O beneficio dunha empresa, en centos de miles de euros, co paso do tempo, t (en anos), durante os 5 últimos anos, vén dado por esta función: b (t) = () si [, ] si (, ]

03 35 se se () si [, ] si (, ] a) Indica cando creceu o beneficio e determina en que momentos houbo máximos e mínimos locais e cales foron os seus correspondentes valores. b) Cando tivo un beneficio de 500 000 €? c) Representa a función b(t).