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Dinámica en la naturaleza: el movimiento Contenido en extenso
A partir de la definición de hipérbola, podemos deducir su ecuación con centro en el origen, resultando ésta en su forma estándar de la siguiente manera:
Donde:
Ejemplo 3.4 Dos estaciones de un sistema de navegación de largo alcance están separadas 250 km a lo largo de una costa recta. Un barco registra una diferencia de tiempo de 0.00086 segundos entre las señales del sistema de navegación. Si el barco debe entrar a un puerto localizado entre las dos estaciones a 25 millas desde la estación principal, ¿qué diferencia de tiempo debe observar? Si el barco está a 80 millas de la costa cuando se obtiene la diferencia de tiempo deseada, ¿cuál es su ubicación exacta? Nota: La velocidad de cada señal de radio es de 186 000 km por segundo.
Solución
En primer lugar, ubiquemos al barco en una hipérbola cuyos focos son las dos estaciones de radio. La razón de esto es que la diferencia de tiempo constante de las señales desde cada estación tiene como resultado una diferencia constante en la distancia del barco a cada una de las estaciones. Como las diferencias de tiempo son 0.00086 segundos y la velocidad de la señal es de 186 000 km por segundo, la diferencia en las distancias del barco a cada estación (focos) es: Distancia = velocidad x tiempo = 186 000 x 0.00086= 160 millas La diferencia entre las distancias del barco a cada estación, 160, es igual a 2a, así que a=80 y el vértice de la hipérbola correspondiente está en (80,0). Como el foco está en (125,0), al seguir sobre esta hipérbola el barco alcanzará la costa a 45 km de la estación principal. Ahora, para alcanzar la costa a 25 millas de la estación principal, el barco debe seguir una hipérbola con vértice en (100, 0). Para esta hipérbola a =100, de modo que la diferencia constante entre las distancias del barco a cada estación es de 200 km. La diferencia de tiempo que el barco debe observar es:
Para encontrar la ubicación exacta del barco, necesitamos determinar la ecuación de la hipérbola con vértice en (100, 0) y foco en (125, 0). La forma de la ecuación de esta hipérbola es:
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