1.1.2 Ecuación del (MUA

Si completamos la tabla anterior tendríamos:

Tiempo (s) 0 1 2 3 4 5

Posición (m) 0 3 12 27 48 75

Velocidad (m/s) +3 +9 +15 +21 +27

No podemos hablar de una sola velocidad, pues ésta se encuentra en constante cambio en el tiempo, es decir, no es un valor constante. A partir de este ejemplo, podemos imaginar que lo que sucede es que el conductor del automóvil está presionando el acelerador, a este proceso en el que un cuerpo en movimiento cambia su velocidad, en física se le denomina aceleración. Dado que la aceleración se deriva de la velocidad que es una magnitud vectorial, la aceleración también es un vector y se denota como y a la magnitud de la aceleración como . Velocidad: magnitud vectorial que mide el cambio de la posición con respecto al tiempo. Aceleración: medida del cambio de la velocidad de los cuerpos.

Nota: El símbolo griego delta mayúscula (Δ) cuando está antes de una variable se lee como “el cambio en…”, por ejemplo, Δt se lee como “el cambio en el tiempo”.

Midamos este cambio, para hacerlo de igual manera como medimos la velocidad, obteniendo el cambio de la posición dividida entre el tiempo. Vamos a obtener la aceleración midiendo el cambio de la velocidad dividida entre el tiempo. La fórmula quedaría así:

Entonces, si calculamos la aceleración en las distintas posiciones tenemos:

Observamos que la aceleración es constante a lo largo del tiempo. A este tipo de movimiento se le llama movimiento uniformemente acelerado (MUA). Las unidades de la aceleración corresponden a unidades de longitud sobre una unidad del tiempo al cuadrado. La más común es .

1.1.2. Ecuación del (MUA) Veamos ahora cómo afecta el valor de la aceleración a un movimiento. Primero observemos cómo afecta a la velocidad. Por la definición de la aceleración, que es el cambio de la velocidad en el tiempo:

Si despejamos el cambio de la velocidad tendríamos:

Dado que es igual a , podemos sustituir y despejar para obtener la relación de la velocidad final.

Eso significa, por ejemplo, que si un objeto que lleva una velocidad inicial de y tiene una aceleración de , la velocidad aumentará en por cada segundo que pase sobre los iniciales. Si sustituimos segundo a segundo los valores del tiempo en la fórmula de la velocidad obtenemos:

Lo cual generaría la siguiente tabla de velocidades que coincide justamente con lo antes mencionado.

Tiempo (s) 0 1 2 3 4

Velocidad (m/s) 5 7 9 11 13

Ahora, para obtener cómo se comporta la posición de ese objeto en el tiempo veamos lo siguiente. Tomemos como punto de partida la gráfica de velocidad contra el tiempo (ver figura 1) que genera un movimiento constante, por ejemplo para un objeto que durante 10 segundos se mueva a una velocidad

Podemos observar que, dado que el área del rectángulo es igual al producto de la base: ( ), por la altura ( ), es decir, el tiempo por la velocidad, el área del rectángulo azul es equivalente al desplazamiento que produce:

4m/s

3m/s

velocidad 2m/s

1m/s

10s

Área = (3–m s )(10s) = 30m

3m/s

0 1s 2s 3s 4s 5s 6s 7s 8s 9s 10s tiempo

Figura 1. Equivalencia entre el desplazamiento y el área bajo la recta en la gráfica de velocidad contra tiempo de un movimiento a velocidad constante.

Tomando en cuenta lo anterior, veamos el caso de un movimiento acelerado, en el movimiento acelerado la velocidad final tiene un comportamiento lineal, en donde la intersección con el eje y, o punto de partida es y el valor de la pendiente es . Para comprender mejor, veamos la gráfica que produce el siguiente ejemplo (ver figura 2). Sea un objeto que parte del reposo ( ) y tiene una aceleración durante 6 segundos. Su gráfica sería la de una recta que parte del origen y tiene una pendiente .

3m/s

velocidad 2m/s

1m/s

A

0 1s

6 s

2s 3s 4s 5s 6s 7s 8s 9s tiempo

Figura 2. Equivalencia entre el desplazamiento y el área bajo la recta en la gráfica de velocidad contra tiempo de un movimiento acelerado.

Podemos observar que en lugar de un rectángulo, se produce un triángulo, por lo tanto, el desplazamiento dado durante la aceleración será de manera similar al caso anterior, el área formada en este caso es el área del triángulo en azul. De esta manera, la base b corresponde al tiempo, y la altura a la velocidad final. Entonces el desplazamiento dado por un movimiento lo podemos relacionar con el área de este triángulo.

Dado que la velocidad final cuando se parte del reposo es el producto de la aceleración por el tiempo ( ), y con lo que contamos es con el valor de la aceleración, sustituimos ese valor en la fórmula anterior y tenemos:

Éste será el desplazamiento que se debe únicamente a la aceleración (sin tomar en cuenta lo debido a la velocidad que ya tenía). Por lo tanto, el desplazamiento total deberá ser:

Como el desplazamiento es la diferencia entre las posiciones inicial y final nos queda que:

Por lo tanto, la posición de un cuerpo será igual a la posición inicial más la contribución de su velocidad inicial (velocidad inicial por tiempo), más la contribución de su aceleración (la mitad de su aceleración por el tiempo elevado al cuadrado).