Contenido Extenso para Unidad 2 del Módulo 19 (Física y Geometría Analítica) de Prepa en Línea SEP.

19 Módulo

Dinámica en la naturaleza: el movimiento

UNIDAD II

CONTENIDO EN EXTENSO

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in

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1

m 5 1 m in 2 0

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1

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Energía en movimiento: movimiento rectilíneo, fuerza y energía

19 Módulo

Dinámica en la naturaleza: el movimiento Contenido en extenso

CONTENIDO UNIDAD II. Energía en movimiento: movimiento rectilíneo, fuerza y energía

5

Presentación

5

Propósito

5

Aprendizajes esperados

5

Punto de partida

6

1. El movimiento rectilíneo acelerado

7

1.1 Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

7

1.1.1 Significado del movimiento uniformemente acelerado (MUA)

7

1.1.2 Ecuación del (MUA)

8

1.2 La segunda ley de Newton

12

1.3 La aceleración de la gravedad y el peso

14

1.4 Caída libre y tiro vertical

15

1.5 La tercera ley de Newton

19

1.6 El equilibrio

20

1.7 Fuerza de fricción

24

1.8 Gráficas de movimientos acelerados

25

1.9 Diferencias entre reposo, MRU y MUA

27

2. El tiro parabólico

31

2.1 Comportamiento no lineal y ecuación de segundo grado

31

2.2 La parábola y sus propiedades geométricas

32

2.3 Elementos de la ecuación general de la parábola

35

2.4 La primera y segunda ley de Newton en el tiro parabólico

36

2

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3. La ley de la gravitación universal

42

3.1 La ecuación de la circunferencia

42

3.2 Concepto y ejemplos del movimiento circular en la naturaleza

44

3.2.1 Movimiento circular uniforme

46

3.3 La fuerza centrípeta

47

3.4 La elipse y la hipérbola

48

3.5 Historia de la mecánica celeste

53

3.6 La fuerza de gravedad

54

4. La energía del movimiento

55

4.1 Trabajo

55

4.2 Energía potencial

57

4.3 Energía cinética

59

4.4 Energía mecánica total

60

4.5 Pérdidas por fricción

63

4.6 Potencia

64

5. Cierre

66

Fuentes

67

3

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Guía de navegación En este documento encontrarás gran cantidad de información, lo cual demanda generar estrategias de aprendizaje, para analizarla y que te apropies de los conocimientos haciéndolos, útiles para tu entorno. Por ello, te proporcionamos la siguiente guía de navegación para darle un mejor uso al contenido, describiendo los íconos que te permitirán relacionar cada uno de estos elementos.

Con este ícono identificarás algún Tip de aprendizaje, es decir, sugerencias de cómo reforzar tu aprendizaje, a partir de algunas actividades propuestas.

Cuando encuentres este ícono, distinguirás los ¿Sabías qué?, mediante datos curiosos que te permitirán conocer información adicional sobre el contenido revisado.

Mediante este ícono encontrarás Vocabulario, que puede ir desde palabras nuevas y definiciones hasta datos biográficos de personajes importantes para el contenido a revisar.

Cuando veas este ícono, podrás conocer algo más Acerca de lo que estás leyendo en ese momento, es decir, de profundizar sobre el contenido de tu lectura.

Para cuando quieres conocer más información sobre el contenido que estés leyendo, en recursos de internet, donde se aborda más a profundidad lo revisado, encontrarás este símbolo Para saber más.

Para encontrar algunos ejemplos contextualizados, reflexiones o preguntas detonadoras sobre el contenido que estás revisando, podrás reconocer este símbolo, con el cual descubrirás Mi mundo y yo.

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UNIDAD II. Energía en movimiento: movimiento rectilíneo, fuerza y energía Presentación En esta unidad revisarás todo lo relacionado con el movimiento acelerado y su relación con las leyes de Newton, así como su representación matemática de este movimiento y, a partir de ello, desarrollarás las competencias necesarias que plantea el perfil de egreso en la educación media superior, es decir, que logres aplicar de manera efectiva tus conocimientos, habilidades y actitudes en situaciones o problemas concretos.

Propósito Interpretar matemáticamente fenómenos físicos relacionados con energía, fuerza y movimiento en el entorno.

Aprendizajes esperados • Distingue los conceptos de velocidad como razón de cambio en la posición respecto al tiempo y aceleración como derivada de la velocidad respecto del tiempo.

• Utiliza software matemático para la representación e interpretación de las leyes de Newton de fenómenos físicos observables en su vida cotidiana.

• Identifica variables y constantes en las relaciones y funciones que expresan la primera, segunda y tercera ley de Newton en fenómenos físicos observables en situaciones de su entorno.

• Examina las limitaciones, veracidad y aportaciones de distintas fuentes de información en la red relacionadas con la aplicación de las matemáticas para explicar el fenómeno físico del movimiento.

• Interpreta a la fuerza como explicación de los cambios en la velocidad de una masa respecto al tiempo.

• Atribuye la energía disipada en forma de calor al producto de la fuerza de fricción por la longitud del desplazamiento.

• Construye e interpreta gráficas de desplazamiento-tiempo, velocidad-tiempo para diferenciar los tipos de movimientos y relacionarlos a situaciones de su entorno.

• Utiliza software matemático para la representación e interpretación del movimiento rectilíneo.

• Utiliza mediciones de variables asociadas al cambio de posición y tiempo para describir, extrapolar e interpolar las características de diversos tipos de movimientos.

• Analiza los elementos y la estructura de la ecuación general de segundo grado para las cónicas e identifica qué valores deben tener los coeficientes de la ecuación para generar las diferentes cónicas.

• Dibuja un cono, realiza cortes e identifica los tipos de curvas que se pueden generar (circunferencia, elipse, parábola e hipérbola).

• Caracteriza y distingue a los lugares geométricos según sus disposiciones y sus relaciones.

• Caracteriza y distingue los lugares geométricos de acuerdo con las restricciones algebraicas del conjunto de números se encuentran dentro de dicho lugar geométrico.

• Representa e interpreta el movimiento circular con respecto al tiempo en situaciones de su vida cotidiana por medio de la aplicación de herramientas matemáticas (sistema de referencia).

• Utiliza software matemático para la representación e interpretación del movimiento circular.

• Construye un modelo matemático de la energía cinética y potencial donde se aprecien los efectos de la fricción.

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• Distingue las diferentes ecuaciones de transformación de la energía y las relaciones de igualdad que existen entre ellas.

• Explica procesos de cambio en términos de las ecuaciones de conservación de energía como una propiedad del sistema.

• Interpreta al calor como una forma de transferencia de energía disipada al ambiente producto de las fuerzas de rozamiento.

• Infiere el impacto del tiempo en el valor de la pendiente de la gráfica de potencia y sus implicaciones.

• Discrimina los conceptos de potencia como el trabajo realizado entre un intervalo de tiempo (o como el producto de una fuerza por la velocidad), fuerza como el producto de una masa por su aceleración y energía como el producto de una fuerza por unidad de longitud.

• Utiliza software matemático para la representación e interpretación de las leyes de Newton de fenómenos físicos observables en su vida cotidiana.

Punto de partida En esta unidad conocerás el movimiento acelerado y su relación con la segunda y tercera ley de Newton, mediante el tiro parabólico, así como la representación y análisis de gráficas de movimiento; posteriormente, comprenderás el origen de la aceleración de los cuerpos cayendo mediante la ley de la gravitación universal, a través de las cónicas presentes en el movimiento de los cuerpos estelares. Finalmente, comprenderás la energía mecánica como una cantidad que se conserva en los cuerpos en movimiento y la potencia como la velocidad de gasto de la misma.

Te sugerimos navegar e interactuar con todos los elementos didácticos del presente contenido en extenso para tener una mayor comprensión de los temas abordados y, de esta forma, logres desarrollar todas las competencias y aprendizajes esperados planteados para este módulo. ¡Mucho éxito!

Te has detenido a preguntarte... ¿Por qué si la Luna es atraída por la Tierra no se cae sobre ésta como el resto de los objetos? ¿Qué causa que los cuerpos caigan al suelo? ¿Cómo puedo saber cuánto tardará un objeto al llegar al suelo? Ésta y otras preguntas las podrás responder con lo que verás en esta unidad. Aprenderás sobre los distintos tipos de movimientos y las causas que generan cada uno de ellos y las leyes que describen sus propiedades. También, conocerás el significado de energía y cómo ésta se conserva en cualquier proceso.

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1. El movimiento rectilíneo acelerado En la unidad anterior estudiamos al movimiento rectilíneo uniforme, sin embargo, la mayoría de los movimientos tienen cambios tanto en su rapidez como en su dirección. En este capítulo veremos cómo se comporta y sus causas.

1.1. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado De acuerdo con lo estudiado en la unidad anterior, el movimiento es constante y viaja en línea recta, pero sabemos que no todos los movimientos son así.

En este subtema, veremos estos tipos de movimientos en donde la velocidad cambia.

1.1.1. Significado del movimiento uniformemente acelerado (MUA) Tratemos el caso de un automóvil en movimiento rectilíneo que registra las siguientes posiciones en el tiempo.

Tiempo (s)

0

1

2

3

4

5

Posición (m)

0

3

12

27

48

75

¿Cuál es la velocidad del auto?

Para calcular esto necesitamos las medidas del desplazamiento y el tiempo. Para ello vamos a usar dos instantes con sus respectivas posiciones y obtener su diferencia.

Si usamos los primeros dos puntos, tenemos:

El signo + significa que hablamos de un vector en una dimensión y que va “hacia adelante”.

Si calculamos la velocidad en los puntos siguientes:

7

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Si completamos la tabla anterior tendríamos:

Tiempo (s)

0

1

2

3

4

5

Posición (m)

0

3

12

27

48

75

Velocidad (m/s)

+3

+9

+15

+21

+27

No podemos hablar de una sola velocidad, pues ésta se encuentra en constante cambio en el tiempo, es decir, no es un valor constante. A partir de este ejemplo, podemos imaginar que lo que sucede es que el conductor del automóvil está presionando el acelerador, a este proceso en el que un cuerpo en movimiento cambia su velocidad, en física se le denomina aceleración.

Dado que la aceleración se deriva de la velocidad que es una magnitud vectorial, la aceleración también es un vector y se denota como y a la magnitud de la aceleración como .

Velocidad: magnitud vectorial que mide el cambio de la posición con respecto al tiempo.

Aceleración: medida del cambio de la velocidad de los cuerpos.

Nota: El símbolo griego delta mayúscula (Δ) cuando está antes de una variable se lee como “el cambio en…”, por ejemplo, Δt se lee como “el cambio en el tiempo”.

Midamos este cambio, para hacerlo de igual manera como medimos la velocidad, obteniendo el cambio de la posición dividida entre el tiempo. Vamos a obtener la aceleración midiendo el cambio de la velocidad dividida entre el tiempo. La fórmula quedaría así:

Entonces, si calculamos la aceleración en las distintas posiciones tenemos:

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Observamos que la aceleración es constante

a lo largo del tiempo. A este tipo de movimiento se le llama

movimiento uniformemente acelerado (MUA). Las unidades de la aceleración corresponden a unidades de longitud sobre una unidad del tiempo al cuadrado. La más común es .

1.1.2. Ecuación del (MUA) Veamos ahora cómo afecta el valor de la aceleración a un movimiento. Primero observemos cómo afecta a la velocidad. Por la definición de la aceleración, que es el cambio de la velocidad en el tiempo:

Si despejamos el cambio de la velocidad

Dado que

es igual a

tendríamos:

, podemos sustituir y despejar para obtener la relación de la velocidad final.

Eso significa, por ejemplo, que si un objeto que lleva una velocidad inicial de y tiene una aceleración de , la velocidad aumentará en por cada segundo que pase sobre los iniciales. Si sustituimos segundo a segundo los valores del tiempo en la fórmula de la velocidad obtenemos:

Lo cual generaría la siguiente tabla de velocidades que coincide justamente con lo antes mencionado.

Tiempo (s)

0

1

2

3

4

Velocidad (m/s)

5

7

9

11

13

9

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Ahora, para obtener cómo se comporta la posición de ese objeto en el tiempo veamos lo siguiente.

Tomemos como punto de partida la gráfica de velocidad contra el tiempo (ver figura 1) que genera un movimiento constante, por ejemplo para un objeto que durante 10 segundos se mueva a una velocidad 4m/s 10s

velocidad

3m/s

2m/s

m Área = (3–)(10s) = 30m s

3m/s

1m/s

0

1s

2s

3s

4s

5s tiempo

6s

7s

8s

9s

10s

Figura 1. Equivalencia entre el desplazamiento y el área bajo la recta en la gráfica de velocidad contra tiempo de un movimiento a velocidad constante.

Podemos observar que, dado que el área del rectángulo es igual al producto de la base: ( ), por la altura ( ), es decir, el tiempo por la velocidad, el área del rectángulo azul es equivalente al desplazamiento que produce:

Tomando en cuenta lo anterior, veamos el caso de un movimiento acelerado, en el movimiento acelerado la velocidad final tiene un comportamiento lineal, en donde la intersección con el eje y, o punto de partida es y el valor de la pendiente es .

Para comprender mejor, veamos la gráfica que produce el siguiente ejemplo (ver figura 2).

Sea un objeto que parte del reposo ( ) y tiene una aceleración sería la de una recta que parte del origen y tiene una pendiente

.

durante 6 segundos. Su gráfica

velocidad

3m/s

2m/s

1m/s A 0

6s 1s

2s

3s

4s

5s tiempo

6s

7s

8s

9s

Figura 2. Equivalencia entre el desplazamiento y el área bajo la recta en la gráfica de velocidad contra tiempo de un movimiento acelerado.

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Podemos observar que en lugar de un rectángulo, se produce un triángulo, por lo tanto, el desplazamiento dado durante la aceleración será de manera similar al caso anterior, el área formada en este caso es el área del triángulo en azul.

De esta manera, la base b corresponde al tiempo, y la altura a la velocidad final. Entonces el desplazamiento dado por un movimiento lo podemos relacionar con el área de este triángulo.

Dado que la velocidad final cuando se parte del reposo es el producto de la aceleración por el tiempo ( ), y con lo que contamos es con el valor de la aceleración, sustituimos ese valor en la fórmula anterior y tenemos:

Éste será el desplazamiento que se debe únicamente a la aceleración (sin tomar en cuenta lo debido a la velocidad que ya tenía). Por lo tanto, el desplazamiento total deberá ser:

Como el desplazamiento es la diferencia entre las posiciones inicial y final nos queda que:

Por lo tanto, la posición de un cuerpo será igual a la posición inicial más la contribución de su velocidad inicial (velocidad inicial por tiempo), más la contribución de su aceleración (la mitad de su aceleración por el tiempo elevado al cuadrado).

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Para trabajar con esta fórmula veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1 Un automóvil viaja a 72 km/h cuando de repente ve una señal de alto y comienza a frenar a a) ¿Cuánto tiempo tarda en frenar? b) ¿Cuántos metros recorre antes de frenar?

Solución a) Lo primero que tenemos que hacer es manejar el mismo tipo de unidades, dado que la aceleración usa metros y segundos y la velocidad kilómetros y horas, debemos usar una u otra unidad. Pero como se espera que frene en cuestión de segundos en lugar de horas, es conveniente convertir la velocidad a metros por segundo, como se muestra a continuación:

Ahora hacemos la recopilación de los datos disponibles y tenemos:

Los datos con los que trabajamos se obtienen con la fórmula de la velocidad final en un movimiento acelerado, por lo que debemos despejar el tiempo de esta ecuación.

Sustituimos los valores en la fórmula y tenemos:

Velocidad: es positiva o negativa, dependiendo de si la dirección del movimiento está a favor o en contra de la dirección elegida como positiva.

Aceleración: es positiva o negativa dependiendo de si la fuerza resultante está a favor o en contra de la dirección elegida como positiva, por ejemplo, un objeto al frenar tiene una aceleración negativa a pesar que sigue avanzando.

Por lo que el automóvil tarda 4 segundos en detenerse totalmente.

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b) Del primer problema se obtuvo la velocidad en metros sobre segundo y el tiempo. Por tanto, lo que necesitamos es el desplazamiento antes de frenar, cuyo resultado puede obtenerse de la fórmula del desplazamiento: Sustituimos los valores:

1.2. La segunda ley de Newton Para este tema primero formularemos algunas preguntas.

1. ¿Por qué en el futbol americano los jugadores en la defensa son los más pesados y lo corredores los más ligeros?

2. La Tierra se encuentra a 150 millones de kilómetros del Sol, su órbita es muy cercana a una circunferencia, por lo que orbitar a esa distancia en un año significa que lleva una rapidez de aproximadamente 30 km/s o 108,000 km/h. ¿Por qué si vamos tan rápido no lo sentimos?

En el estudio de los movimientos acelerados aprendimos que la aceleración es la medida del cambio de la velocidad de los cuerpos. Pero, ¿qué es lo que causa estas aceleraciones? De lo estudiado en la primera ley de Newton en la unidad 1, vimos que la velocidad permanecerá constante, pero este estado podrá ser alterado por una fuerza. ¿Qué es una fuerza?, en su libro Principia, Isaac Newton enunció también lo que se conoce como la segunda ley de Newton, de la siguiente manera: "La aceleración que experimenta un cuerpo es directamente proporcional a la fuerza motriz impresa e inversamente proporcional a la masa del cuerpo y ocurre según la línea recta a lo largo de la cual aquella fuerza se imprime." ¿Eso qué significa? Primero, hay dos conceptos que tenemos que entender: “directamente proporcional” e “inversamente proporcional”. a. Directamente proporcional: supongamos que vas a la tienda por arroz y el kilogramo cuesta $24.

Si compras cierta cantidad de arroz podríamos calcular su costo con la siguiente operación:

¿Sabías qué?

Newton fue autor de los Philosophiae naturalis principia mathematica, más conocidos como Principia, donde describió la ley de gravitación universal y estableció las bases de la mecánica clásica mediante las leyes que llevan su nombre.

Si compras 1 kg pagarás $24, si compras dos pagarás el doble ($48) y si compras la mitad pagarás la mitad ($12). Esto es una proporción directa o directamente proporcional. Significa que las dos cantidades se ven relacionadas de la misma forma (si una se duplica, triplica o se parte a la mitad, la otra también). De manera general, podemos expresar que un valor A es directamente proporcional a otro B si se relacionan de la forma:

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b) Inversamente proporcional: para entender este concepto, supongamos que se rifa un premio, pero hay más de un ganador. Lo que le tocaría a cada uno de ellos sería menos entre más ganadores sean. Podríamos establecer que lo que le tocará a cada uno se puede calcular por la expresión matemática:

Si el número de ganadores se duplica, lo que le toca a cada uno es la mitad de la cantidad original, si se triplica, la tercera parte, etcétera. Esto es una proporción inversa y se relaciona de manera general así. Si A es inversamente proporcional a B entonces: Ahora, regresamos al enunciado de la segunda ley de Newton. La aceleración es directamente proporcional a la fuerza e inversamente proporcional a la masa m. Entonces, al mezclar los dos últimos resultados, tendremos que: Podrás notar que la relación matemática implica que, si el valor de la fuerza aumenta, el valor de la aceleración también, mientras que aumentar el valor de la masa hará que disminuya el valor de la aceleración. Si despejamos la fuerza de esta fórmula, se obtiene la expresión más conocida de la segunda ley de Newton: Como las unidades de masa son kilogramos y las de aceleración son metros sobre segundo al cuadrado, la unidades de fuerza serán: A esta unidad de medida se le conoce como newton y es la unidad de medida de la fuerza. La fuerza, también tiene dirección, por lo tanto es una magnitud vectorial:

Ejemplo 1.2 Ahora veamos cómo se comporta esto en la realidad. Supón que quieres mover un vehículo descompuesto sobre una calle plana. ¿A qué vehículo le puedes cambiar su velocidad (acelerar) de manera más sencilla? ¿A un automóvil o a una camioneta? ¿Cuál tiene mayor masa?

Veámoslo de manera numérica con el siguiente ejemplo.

Si se empuja un vehículo en horizontal sobre una calle plana, con una fuerza hacia adelante de 1,000 N, qué aceleración presentará para: a) Un automóvil de 1,343 kg b) Una camioneta de 2,584 kg

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Solución

a) Para el automóvil, sustituimos los valores de fuerza y masa en la fórmula de la aceleración.

b) Para la camioneta, igualmente sustituimos los valores de fuerza y masa en la fórmula de la aceleración.

Por lo tanto, como era de esperarse, la aceleración de la camioneta fue menor que en el caso del automóvil, debido a que, al contar con mayor masa, tendrá menor aceleración en cambio el coche tendrá una mayor aceleración al tener menor masa.

Para responder a la pregunta acerca de por qué no sentimos la alta velocidad a la que se desplaza la Tierra por el espacio, partimos de la ecuación de la fuerza en la segunda ley de Newton . Pues para “sentir” algo, en este caso en cómo se mueve la Tierra, debe existir una fuerza, que es lo que se siente. Así que vamos a obtener la magnitud de la aceleración del movimiento de traslación de la Tierra.

Mi mundo y yo

Partiendo de lo visto, ¿cómo esperas que deba ser la masa corporal de un jugador en la defensa si no quieres que lo muevan (aceleren) en el juego? y ¿qué sucede en el caso de los corredores?

Dado que la velocidad de traslación de la Tierra es en la práctica la misma de un día, para otro:

El cero entre cualquier valor del tiempo es igual a 0. Si sustituimos esa aceleración en la segunda ley de Newton, nos da que . Al no haber fuerza, no hay nada que percibir.

1.3. La aceleración de la gravedad y el peso En el lenguaje cotidiano el peso se suele tratar en kilogramos, pero en la física esto es un error puesto que los kilogramos son una unidad de medida de la masa, mientras que el peso está catalogado como la fuerza con la que un objeto es atraído al suelo.

Como sabes, en 1969 el ser humano llegó por primera vez a la Luna. Los astronautas tenían que desplazarse en saltos para poder moverse debido al menor peso que tenían en la Luna, sin embargo, eso no significaba que los astronautas tuvieran menos masa muscular, grasa, etc. Tenían los mismos kilogramos de masa, sólo cambió la fuerza con la que eran atraídos hacia el suelo.

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Es difícil que las personas salgamos del planeta Tierra, mientras éste sea el caso, el peso se puede relacionar con la masa, por ello se suele hablar del peso en kilogramos, sin embargo, debido a que la física es una ciencia universal debemos dejar clara la diferencia entre ambas magnitudes. ¿Cómo calculamos el peso? Dado que estamos calculando una fuerza, debemos usar la fórmula de la segunda ley de Newton.

El peso vendrá a tomar el lugar de la fuerza y la aceleración será el valor al que se acelera ese cuerpo hacia el suelo, a ese valor se le conoce como la aceleración de la gravedad . Entonces, al sustituir estos valores la fórmula del peso queda como:

Figura 3. Hombre en la Luna.

Ejemplo 1.3 ¿Cuál es el peso en la Tierra de una persona que posee una masa de 75 kg?

Solución Simplemente sustituimos los valores en la fórmula del peso y tenemos:

El valor es negativo porque el peso apunta hacia abajo (suelo). Al ser una fuerza, el peso se mide igual en newtons y es una magnitud vectorial.

1.4. Caída libre y tiro vertical Probablemente hayas visto o experimentado tanto con la caída libre al observar cómo cae un objeto o el tiro vertical al lanzar una pelota que sube y termina volviendo a bajar. Ambos casos son fenómenos acelerados pues están sujetos a la aceleración de la gravedad, en la caída libre es lo que hace que los cuerpos vayan cada vez a mayor velocidad conforme van cayendo y en el tiro vertical es lo que cambia su velocidad de ser inicialmente positiva (en ascenso) a ser negativa (en la caída de regreso).

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Figura 4. Caída libre y tiro vertical.

Vamos a estudiar cada uno de los ejemplos con un ejercicio.

Ejemplo 1.4 Caída libre De un puente de 50 metros de altura se deja caer una piedra de modo que el aire no alcanza a afectar su velocidad de caída de manera importante. Si la aceleración a la que caen los cuerpos en la Tierra es (el signo menos significa que apunta hacia abajo). a) ¿Cuál será la altura de la piedra después de 2 segundos? b) ¿Cuánto tiempo tarda la piedra en llegar al suelo?

Solución a) Para calcular su altura, necesitamos obtener su posición final. Así que hacemos un análisis de los datos que nos da el problema. La posición inicial es la altura del puente, la velocidad inicial es cero porque “se deja caer”, la aceleración es de −9.81 m\s y el tiempo es de 2 segundos.

Sustituyendo estos valores en la fórmula tenemos que:

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b) Para encontrar el tiempo que tarda la piedra en llegar al suelo, debemos considerar que la posición final es cero, la aceleración, velocidad inicial y posición inicial son la mismas que en el caso anterior.

Entonces los datos son:

Al igual que en el inciso anterior, como la velocidad inicial vale cero la posición final sólo dependerá de la posición inicial, la aceleración y el tiempo.

Despejamos el tiempo y tenemos:

Sustituyendo los valores en la ecuación:

Podemos notar que en general para problemas de caída libre la velocidad inicial siempre valdrá cero, y la posición final sólo dependerá de la posición inicial, la aceleración y el tiempo.

Ejemplo 1.5 Tiro vertical A un cohete que asciende en vertical se le acaba el combustible cuando alcanzó una altura de 15 metros y lleva una velocidad de 35 m/s. Calcula: a) El tiempo de vuelo. b) La altura máxima alcanzada.

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Solución a) Los valores con los que disponemos son: la velocidad inicial, la posición inicial, la gravedad que será de (mientras no se indique que se encuentra en un planeta que no sea la Tierra). La posición final es de cero, pues terminará en el suelo.

La fórmula de la posición es la que relaciona las variables anteriores con el tiempo. Si sustituimos los valores:

Podemos notar que tenemos una ecuación de segundo grado; para resolver esta ecuación usamos la fórmula general, donde a = −4.905, b= 35, c = 15.

Dado que el tiempo negativo no nos interesa porque estamos buscando un evento posterior al lanzamiento, el tiempo de vuelo será igual a 7.54 segundos.

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b) La altura máxima ocurre cuando el cohete deja de ascender y comienza a descender. Esto es cuando la velocidad pasa de ser positiva a negativa, lo cual ocurre en v = 0 m/s. Por lo tanto, debemos encontrar el momento en el cual la velocidad final es de cero, para esto sustituimos los valores de la velocidad y la aceleración que tenemos en la fórmula de velocidad final.

Al sustituir en la ecuación:

Por tanto, el tiempo t = 3.57 s, es el tiempo en el que el proyectil alcanza su altura máxima. Sustituyendo ese tiempo en la ecuación de la posición final, tendremos:

1.5. La tercera ley de Newton ¿Alguna vez has intentado empujar un objeto en un suelo resbaloso? ¿Por qué es tan resbaloso? ¿Por qué una persona en una lancha tiene que remar el agua en dirección contraria hacia donde quiere avanzar? ¿Por qué un globo que se desinfla sale disparado? ¿Por qué se eleva un helicóptero? Estas preguntas pueden explicarse con una de las propiedades naturales del movimiento.

Acción Reacción Figura 5. Ejemplo de movimiento debido a la tercera ley de Newton.

El enunciado estándar de la tercera ley de Newton es:

“

Acción le corresponde una Reacción de la misma magnitud y de Sentido contrario A toda

“

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Matemáticamente la escribimos así:

¡CUIDADO!

Los subíndices que parecen ser 12 y 21, se leen uno-dos, no doce y dos-uno, no veintiuno.

Donde es la fuerza que el cuerpo 2 (agente) le aplica al cuerpo 1 y es la fuerza que el cuerpo 1 (objeto) le aplica al agente. Los subíndices son, entonces, muy importantes. El primero de ellos se refiere al objeto y el segundo al agente. El signo menos (−) indica que las fuerzas son opuestas; esto es, que están aplicadas en direcciones contrarias.

De la expresión matemática de la tercera ley se puede concluir lo siguiente: 1. Las fuerzas denominadas acción y reacción se aplican sobre cuerpos diferentes.

2. En este contexto, el resultado de una interacción es un par de fuerzas denominado par acción-reacción.

3. Para resolver problemas o analizar situaciones referentes a la tercera ley de Newton, lo primero que se debe hacer es establecer un sistema de referencia del cual hay que especificar sentidos y direcciones. En segundo lugar, se tienen que identificar el agente y el objeto y, con ello, la acción y la reacción (recordar que éstas son fuerzas y no actos). Lo siguiente será describir la situación o resolver el problema.

Para saber más…

Para mejorar tu comprensión del tema te recomendamos ingresar a la siguiente liga donde hay un simulador con el que podrás interactuar. http://www.objetos.unam.mx/fisica/terceraLeyNewton/index.html#/introduccion 1.6. El equilibrio Hemos observado que las fuerzas y las aceleraciones van de la mano. Pero, por ejemplo, en un puente, no se está acelerando, ¿entonces hay fuerzas?

Figura 6. Un puente se mantiene en equilibrio porque las fuerzas de tensión de los cables cancelan al peso de la estructura.

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No olvidemos que la fuerza es una magnitud vectorial y por tanto se pueden cancelar entre sí si se producen dos iguales en sentidos contrarios.

A este caso en donde existen fuerzas, pero se anulan entre todas y generan una resultante igual a cero y por tanto una aceleración de cero, se le llama equilibrio. Su formulación matemática es:

Esto se lee como que la suma de todas las fuerzas en equilibrio es igual a cero. Vista por componentes en dos dimensiones tenemos:

Para ver la aplicación de esto veamos el siguiente problema.

Ejemplo 1.6 Se tiene una estructura de 8 toneladas sostenida por dos cables de acero de igual longitud a manera que ambos forman un ángulo de 30° con respecto a la horizontal, como se muestra en la figura 7.

6x19

Alma de fibra acero arado mejorado T=?

T=?

30º

30º

DIÁMETRO mm.

3.18

Figura 7. Diagrama de fuerzas del problema.

3/16”

7.94

5/16”

11.11

7/16”

14.30

9/16”

19.05

3/4”

9.53

12.70 15.90

22.23

Se va a usar el siguiente tipo de cable y en la siguiente tabla se muestran las especificaciones para distintos diámetros. ¿Cuál es el diámetro del cable que tenemos que comprar para que soporte el peso?

1/8”

4.76 6.35 8000 kg

pulg.

25.40

1/4” 3/8”

47.62

50.80

0.360 0.460

3.86 5.53 7.50

5/8”

0.980

15.1

7/8” 1”

1-3/8”

44.45

0.240

1.4

2.4

9.71

34.93 41.27

0.150

0.620

1-1/8”

38.10

0.080

1/2”

28.60 31.75

Peso aprox. Resistencia a la ruptura en en kgs. toneladas. por metro Efectiva 0.040 0.63

1-1/4” 1-1/2” 1-5/8” 1-3/4”

1-7/8” 2”

0.790 1.400

12.2 21.6

1.900

29.2

3.120

47.7

2.480 3.760 4.550 5.430 6.370 7.380

8.480 9.640

37.9 58.6 70.5 83.5 97.1

112.0

128.0 145.0

Tabla 1. Resistencias de cables de acero dependiendo de su diámetro.

22

19 Módulo

Dinámica en la naturaleza: el movimiento Contenido en extenso

Solución Para comenzar las unidades de medida deben corresponder a unidades de fuerza. Los kilogramos son unidades de masa, no de fuerza, sin embargo, dado que la aceleración de la gravedad es constante, se puede generar una relación entre ambas medidas. Al peso que genera un 1 kg de masa en la Tierra se le conoce como kilogramo-fuerza o kilopondio (kp). De esta manera 1 kg pesa 1 kp o 9.81 N.

Un kilopondio (kp) se define como la fuerza con que la Tierra atrae a una masa de un kilogramo.

Lo siguiente que tenemos que hacer es hacer el análisis de los vectores de las fuerzas presentes en el equilibrio. Usaremos la notación , para las direcciones horizontales y para las direcciones en vertical.

Como en un plano cartesiano, usaremos el signo + para la derecha y para arriba, y el signo − para la izquierda y para abajo.

T=?

T=?

Peso = 8000 kp Figura 8. Análisis de vectores de fuerza en el problema de equilibrio.

Analizando la geometría del sistema, podemos distinguir que se forman triángulos rectángulos, en donde los catetos opuestos representan las componentes en el eje y y los catetos adyacentes las componentes en el eje x.

Ty

T=?

T=?

30º

Ty

30º Tx

Tx

Peso = 8000 kp

Figura 9. Análisis de las fuerzas por componentes.

23

19 Módulo

Dinámica en la naturaleza: el movimiento Contenido en extenso

T, indica la fuerza de tensión del cable. Dado que el problema se trabaja en dos dimensiones se aplican las ecuaciones de equilibrio por componentes.

De las componentes en y podemos despejar el valor de la componente en y de la tensión.

A partir de esto podemos usar la función seno para despejar el valor de la tensión total que viene representando la hipotenusa del triángulo.

T=?

6x19

Ty = 4000kp

Alma de fibra acero arado mejorado

30º Tx

DIÁMETRO mm.

3.18

Figura 10. Uso de la función seno para calcular la componente vertical de la tensión.

1/8”

4.76

3/16”

7.94

5/16”

11.11

7/16”

14.30

9/16”

19.05

3/4”

6.35 9.53

12.70 15.90

22.23 25.40

47.62

50.80

3.86

0.360 0.460

2.4

5.53 7.50

1/2”

0.620

9.71

5/8”

0.980

15.1

7/8” 1”

1-3/8”

44.45

0.240

3/8”

34.93 41.27

1.4

0.150

1-1/8”

38.10

0.080

1/4”

28.60 31.75

Por lo tanto, la tensión que tiene que soportar el cable es de 8,000 kp. Vamos a la tabla 2 y buscamos el primer valor por encima de esta tensión y corresponde al de 12.70 mm de diámetro.

pulg.

Peso aprox. Resistencia a la ruptura en en kgs. toneladas. por metro Efectiva 0.040 0.63

1-1/4” 1-1/2” 1-5/8” 1-3/4”

1-7/8” 2”

0.790 1.400 1.900 2.480 3.120 3.760 4.550 5.430 6.370 7.380

8.480 9.640

12.2 21.6 29.2 37.9 47.7 58.6 70.5 83.5 97.1

112.0

128.0 145.0

Tabla 2. Características del cable por diámetro.

24

19 Módulo

Dinámica en la naturaleza: el movimiento Contenido en extenso

1.7. Fuerza de fricción Observa la siguiente imagen. ¿Por qué el auto puede estacionarse en un terreno inclinado?

Siguiente pregunta, ¿por qué si la primera ley de Newton dice que todo cuerpo en MRU permanecerá en ese estado mientras no haya fuerzas externas que lo cambien, una pelota se termina deteniendo después de avanzar cierta distancia?

Evidentemente, la ley es incorrecta o no estamos considerando alguna fuerza. Afortunadamente la ley es correcta y la fuerza que no estábamos considerando es lo que se conoce como fuerza de fricción.

Figura 11. Fuerza de fricción como causa de equilibrio.

La fuerza de fricción es aquella que se opone al movimiento de los cuerpos y se produce por el rozamiento de los cuerpos. Dependerá de factores como la rugosidad de la superficie o el área de contacto.

Se distinguen dos tipos de fricción: estática y cinética.

La primera se observa cuando las dos superficies en contacto se encuentran en reposo relativo y la segunda cuando están en movimiento relativo.

Experimentalmente, se determina que, en general, la primera es mayor que la segunda para las mismas superficies en contacto.

Se consideran dos objetos en contacto, tales que uno de ellos es algo semejante a un piso o una mesa, es decir, algo que se encuentra en reposo, y el otro es un cuerpo que se encuentra sobre el primero; por ejemplo, una caja sobre una mesa horizontal. Es claro que la caja, por virtud de su peso, ejerce una presión sobre la superficie de la mesa. Por consiguiente, la mesa reacciona con una fuerza igual y opuesta al peso sobre la caja. Si la caja está en reposo, ambas fuerzas están equilibradas y la fuerza neta sobre la caja es cero.

N

Si se aplica una fuerza a la caja en dirección horizontal a la izquierda, la caja se moverá si tal fuerza es capaz de superar la fricción estática. Una vez iniciado el movimiento, se requiere mantener la fuerza, aunque con menor intensidad para continuar el movimiento.

La fuerza de fricción es directamente proporcional a la fuerza aplicada por la superficie al objeto, dada su naturaleza, dicha fuerza recibe el nombre de fuerza normal, porque su dirección siempre es perpendicular a la superficie que la aplica. En general, se utilizará el símbolo para esta fuerza. Entonces, la fuerza de fricción, se escribe como:

f

F mg

(masa por gravedad) Figura 12. Fuerzas que actúan sobre un cuerpo al desplazarse.

25

19 Módulo

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Donde la constante de proporcionalidad se denomina coeficiente de fricción y está relacionada con el tipo de superficies en contacto. Sus valores se encuentran entre 0 y 1, de manera que cuando se da el caso de ausencia de fricción y cuando se presenta fricción máxima.

Las fricciones estática y cinética se diferencian por sus respectivos coeficientes de fricción. Se utilizará el símbolo para el coeficiente de fricción estática y para el coeficiente de fricción cinética .

Entonces, las respectivas fuerzas de fricción quedan como:

La fricción estática permite a los objetos mantener su estado de reposo cuando así se requiera, ya que gracias a ella un auto puede estar frenado en una bajada. Por su parte, conocer las características de la fricción dinámica permite explicar los diferentes usos de accesorios o aditamentos que, con una fuerza mínima, logran mantener en movimiento diversos objetos, como por ejemplo los rodamientos en las llantas de los vehículos.

Para saber más…

Si quieres conocer más sobre la diferencia entre fricción estática y cinética te recomendamos ver el siguiente video: https://www.youtube.com/watch?v=Gx7q1AgwUbQ

1.8. Gráficas de movimientos acelerados Si graficamos un movimiento acelerado, por ejemplo caída libre, la manera más sencilla es si planteamos su ecuación.

Como en caída libre se parte del reposo la velocidad inicial es cero y sólo nos queda:

Si tomamos los valores de y para la caída de un objeto suficientemente denso para que el aire no afecte su caída de manera significativa, nos queda la relación:

26

19 Módulo

Dinámica en la naturaleza: el movimiento Contenido en extenso

De la cual se obtiene la siguiente gráfica: 50

Podemos observar que a diferencia del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado no se forma una línea recta. Esto se debe a que inclinación es una medida de la velocidad y en un movimiento acelerado la inclinación va cambiando con el tiempo.

Altura (metros)

40

En el caso de frenar, en donde un cuerpo lleva velocidad negativa, pero va siendo contrarrestada con una aceleración negativa. Por ejemplo, un objeto que parta de la posición cero con valores de velocidad de 20 m/s y aceleración de hasta detenerse por completo.

30

20

10

0

La ecuación de su movimiento sería la siguiente: 1 2 Tiempo (segundos)

3

4

Figura 13. Gráfica de la altura en función del tiempo de la caída de un objeto.

Y su gráfica de posición contra tiempo:

Posición (metros)

30

20

Podemos observar que de igual manera se presenta una curva, pues su inclinación, al igual que su velocidad va cambiando, en este caso disminuyendo, hasta hacerse su valor igual a cero.

10

0

0.5

1 1.5 Tiempo (segundos)

2

2.5

Figura 14. Gráfica de posición contra tiempo en un movimiento de desaceleración (aceleración negativa).

27

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1.9. Diferencias entre reposo, MRU y MUA De lo visto en este tema, podemos distinguir tres tipos de estados relacionados con el movimiento de un objeto: el reposo, el movimiento rectilíneo uniforme y el movimiento uniformemente acelerado, y dos tipos de gráficas: posición contra tiempo y velocidad contra tiempo.

Reposo En el reposo, al no haber un movimiento respecto al marco de referencia, la posición permanece igual a lo largo del tiempo. Su expresión matemática sería:

Su representación en una gráfica de posición contra tiempo deberá trazar una recta horizontal.

6

posición (metros)

5

4

3

2

1

–1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

tiempo (segundos) –1

–2

–3

Figura 15. Gráficas de posición en función del tiempo en el reposo.

La imagen anterior muestra las gráficas de posición contra tiempo en las posiciones de 5 m, 1 m y −2 m.

Los mismos comportamientos en una gráfica de velocidad contra tiempo serían horizontales en y = 0 pues la velocidad es cero en los tres casos dado que en ninguno hay desplazamiento.

velocidad (metros/segudos)

4

–2

–1

3

2

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

tiempo (segundos)

–1

Figura 16. Gráficas de velocidad contra tiempo en el reposo.

28

19 Módulo

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Movimiento rectilíneo uniforme Durante un movimiento rectilíneo uniforme la velocidad es la misma. La ecuación de movimiento es:

Dicho comportamiento es el de una ecuación lineal y por tanto se representa por una recta. En donde corresponde al valor de la pendiente y corresponde a la intersección con el eje de las ordenadas o punto de partida de la recta. Sean las ecuaciones de movimiento rectilíneo uniforme:

Sus gráficas serían en el caso de , una recta que asciende pues al tener una velocidad positiva el objeto se mueve hacia adelante y su posición es cada vez mayor. En el caso de se trata de una recta que desciende, pues al tener una velocidad negativa el objeto se mueve hacia atrás y su posición es cada vez menor. Obsérvese a continuación la gráfica: 5

posición (metros)

4

–2

–1

3

2

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

tiempo (segundos)

–1

Figura 17. Gráficas de posición en función del tiempo de un movimiento rectilíneo uniforme.

En una gráfica de velocidad contra tiempo tendríamos rectas horizontales pues en este caso, la velocidad es constante a lo largo del tiempo. velocidad (metros/segudos)

5

4

3

2

1

–2

–1

0 –1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

tiempo (segundos)

Figura 18. Gráficas de posición en función del tiempo de un movimiento rectilíneo uniforme.

29

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Movimiento uniformemente acelerado En el movimiento uniformemente acelerado la posición está descrita por la siguiente ecuación:

Como observamos en el subtema anterior, en una gráfica de posición contra tiempo, una aceleración positiva (la velocidad se incrementa) se comporta como una curva abierta hacia arriba; y en el caso de una aceleración negativa (la velocidad disminuye) se observa una curva abierta hacia abajo. Por ejemplo, si tenemos la ecuaciones de movimiento:

Éstas generan gráficas de curvas, pues la velocidad que es representada por la inclinación de la gráfica, va variando a través del tiempo. En la aceleración negativa la velocidad disminuye o se hace cada vez más negativa; y en las aceleraciones positivas, aumenta o se hace cada vez mayor.

posición (metros)

4

3

2

1

–1

0 –1

1

2

3

4

5

tiempo (segundos)

–2

–3 Figura 19. Gráficas de posición en función del tiempo de movimiento acelerados.

30

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velocidad (metros/segundos)

Las gráficas de posición contra tiempo de los movimientos anteriores corresponden a líneas rectas, pues el cambio de la velocidad se da de manera constante.

–1

2

1

0

1

2

3

4

tiempo (segundos)

–1

–2

Figura 20. Gráficas de velocidad en función del tiempo de movimiento acelerados.

En resumen, podemos crear la siguiente tabla:

Reposo

MRU

MUA posición (metros)

4

Posición contra tiempo

3

2

1

–1

0

2

1

3

4

tiempo (segundos)

–1

–2

Velocidad contra tiempo

velocidad (metros/segundos)

–3

–1

2

1

0

1

2

3

4

tiempo (segundos)

–1

–2

Tabla 3. Representación de tipo de movimiento de acuerdo con su posición y velocidad contra tiempo.

31

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2. El tiro parabólico Cuando lanzas un objeto hacia adelante habrás observado que toma la trayectoria de una curva, a esta curva se le conoce como parábola, en este capítulo estudiaremos las propiedades y causas de este tipo de movimiento.

2.1. Comportamiento no lineal y ecuación de segundo grado Anteriormente se han estudiado las funciones lineales, recordemos que éstas formarán una línea recta al ser graficadas en el plano cartesiano. En el caso de una función no lineal los valores de ésta no formarán una línea recta al ser graficadas.

Una de las maneras más sencillas de identificar una función lineal o no lineal es ver sus gráficas.

Observa las siguientes gráficas y nota la diferencia.

Función lineal

Función no lineal

y

y

10

10

(9,9)

9

9

8

8

7

7

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1 –10 –9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1 0 –1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

–10 –9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

(–1,–1)

–1 0 –1 –2

–3

–3

–4

–4

–5

–5

–6

–6

–7

(–9,–9)

(1,1)

1 1

–2

–8

(2,8)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

–7

(–2,–8)

–8

–9

–9

–10

–10

Figura 21. Gráficas de una función lineal y una no lineal.

La primera gráfica representa una función lineal con una línea recta; la segunda, representa una función no lineal, notarás que esta segunda gráfica no es una recta sino una curva.

Una función no lineal no siempre se verá como la gráfica anterior, en general cualquier gráfico distinto a una línea recta, representa una función no lineal. Otro ejemplo de una ecuación no lineal muy estudiada en el campo de la física es la función de posición dada por:

Donde es la posición inicial, es la velocidad inicial, “a” es la aceleración y “t” el tiempo. Notemos que la aparición de significa que hay dos instantes en que el desplazamiento podría ser el mismo. Tales ecuaciones reciben el nombre de ecuaciones cuadráticas o ecuaciones de segundo grado.

Este tipo de ecuaciones representan un ejemplo común de ecuaciones no lineales, son de la forma ; donde “a”, “b” y “c” son números reales (distinto de cero) a “x” se llama variable o incógnita, “a” y “b” se llaman coeficientes de las incógnitas y “c” recibe el nombre de término independiente. Es muy importante reconocer las formas estandarizadas que surgen de una clasificación de ecuaciones de segundo grado.

32

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2.2. La parábola y sus propiedades geométricas La cónica es la resultante de hacer un corte en el cono con un plano inclinado de manera que sea paralelo a un (y solo uno) generador y corte a un solo manto del cono se le conoce como parábola. En la imagen siguiente se muestra el corte en el cono que genera la curva de una parábola.

Una parábola, se define como el conjunto de todos los puntos P en el plano que están a la misma distancia de un punto fijo F y de una recta fija D. El punto F es llamado foco de la parábola; la recta D es la directriz de la parábola. Como consecuencia, una parábola es el conjunto de puntos P para los cuales:

Para deducir la ecuación de la parábola, usaremos un sistema de coordenadas rectangulares de modo que el vértice V, el foco F y la directriz D de la parábola estén ubicados de manera adecuada. Si ubicamos al vértice F en el origen (0,0), entonces podremos colocar al foco F en cualquiera de los ejes x o y.

Consideremos el caso donde el foco F está sobre la parte positiva del eje x. Dado que la distancia desde F hasta V es “a”, las coordenadas de F serán (0, a) con a > 0. De manera análoga, ya que la distancia desde el vértice V a la directriz D también es “a” y como D debe de ser perpendicular al eje x ( ya que es el eje de simetría), la ecuación de la directriz D debe ser . Ahora, si es cualquier punto en la parábola, entonces P debe de satisfacer: .

Figura 22. Corte del cono que produce una parábola.

De esta manera tenemos, utilizando la fórmula para distancia entre dos puntos, que:

De forma que la ecuación de una parábola con vértice en (0,0), foco en (a,0) y directriz

, a > 0 es:

33

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Veamos ahora, algunas formas en las que se puede presentar una parábola con vértice en (0,0) y foco en el eje x, a > 0.

Tabla 4. Elementos de una parábola centrada en el origen.

Vértice

Foco

Directriz

Ecuación

Descripción

(0,0)

(a,0)

El eje de simetría es x, abre hacia la derecha

(0,0)

(-a,0)

El eje de simetría es el eje x, abre hacia la izquierda

(0,0)

(0,a)

El eje de simetría es el eje y, abre hacia arriba

(0,0)

(0,-a)

El eje de simetría es el eje y, abre hacia abajo

0 0

F (a,0)

F (–a,0)

F (0,a)

0

F (0,–a)

0

(a)

(b)

(c)

(d)

Figura 23. Gráficas de parábolas con centro en el origen.

Si una parábola con vértice en el origen y eje de simetría a lo largo de uno de los ejes de coordenadas es recorrida en h unidades horizontalmente y k unidades verticalmente, el resultado será una parábola con el vértice en (h,k) y eje de simetría paralelo a un eje de coordenadas. las ecuaciones de las parábolas tienen la misma forma que la tabla anterior, pero con x reemplazada por x − h y “y” reemplazada por y – k.

34

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De modo que las parábolas con vértice en (h, k), eje de simetría paralelo a uno de los ejes de coordenadas y con a > 0.

Tabla 5. Elementos de una parábola centrada fuera del origen.

Vértice

Foco

Directriz

Ecuación

Descripción Eje de simetría paralelo al eje x, abre hacia la derecha.

Eje de simetría paralelo al eje x, abre hacia la izquierda.

(h, k)

(h + a , k)

(h, k)

(h − a , k)

(h, k)

(h , k + a)

Eje de simetría paralelo al eje y, abre hacia arriba.

(h, k)

(h , k − a)

Eje de simetría paralelo al eje y, abre hacia abajo.

4

3

Eje horizontal y la parábola abre hacia la parte positiva de x:

1 0

F

V (h,k)

01

3

Eje horizontal y la parábola abre hacia la parte negativa de x:

2

23

F

V (h,k)

2 1

4

0

–1

–1

01

2

–1

2

F

Eje vertical y la parábola abre hacia la parte positiva de y:

1

V (h,k) –4

–3

–2

Eje vertical y la parábola abre hacia la parte negativa de y:

2

–1

0

01

–1

1

V (h,k) –3

–2

–1

F

0

01

–1

–2

Figura 24. Gráficas de parábolas con centro fuera del origen.

35

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Para saber más…

Si quieres conocer más sobre los conceptos básicos de la parábola, te sugerimos revisar el siguiente video: https://www.youtube.com/watch?v=FlsYCYbmJGU Veamos ahora un ejemplo del análisis de la ecuación de una parábola con vértice fuera del origen.

2.3 Elementos de la ecuación general de la parábola Ya se han estudiado los elementos de una parábola como el foco, el vértice y la directriz, ahora veremos cómo a partir de la ecuación de una parábola, es posible identificar estos puntos.

Ejemplo 2.1 Se tiene la ecuación:

Solución

Ejemplo 2.2 Encuentra los elementos de la parábola, cuya ecuación general es:

Solución

Para analizar esta ecuación, completamos el cuadrado que involucra la variable x, como sigue:

De igual forma se busca completar el cuadrado de la variable x, como sigue:

Esta ecuación es de la forma: con h = −2, k = −1 y a = 1. Por lo tanto, la gráfica es una parábola con vértice en (h, k) = (−2 , −1) que abre hacia arriba.

El foco está en (−2, 0) y la directriz es la recta y = −2.

La ecuación es de la forma:

con h = 6, k = 6 y a = −1. Por lo tanto, la gráfica es una parábola con vértice en (h, k) = (6 , 6) que abre hacia arriba y el foco está en (6 , 5).

Las parábolas son ampliamente estudiadas gracias a sus aplicaciones en la vida cotidiana y sus propiedades, como es la propiedad de reflexión.

36

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Dinámica en la naturaleza: el movimiento Contenido en extenso

Supongamos que se tiene un espejo con forma de paraboloide de revolución, una superficie formada de girar una parábola alrededor de su eje de simetría. Si una fuente de luz (o cualquier otra fuente emisora) es colocada en el foco de la parábola, todos los rayos que emanen de ahí se reflejarán en el espejo en líneas paralelas al eje de simetría. Este principio es usado en el diseño de faros buscadores, lámparas de flash para fotografía, ciertos faros de automóviles y otros dispositivos parecidos. De manera recíproca, supongamos que rayos de luz (u otras señales) emanan desde una fuente distante de modo que en esencia son paralelos. Cuando los rayos llegan a la superficie de un espejo parabólico cuyo eje de simetría es paralelo a ellos, son reflejados hacia un solo punto en el foco de dicho espejo. Este principio es usado en el diseño de algunos dispositivos de energía solar, antenas parabólicas y los espejos usados en algunos telescopios.

Línea de ondas

fuente luminosa

Superficie parabólica

Foco Reflexión

Figura 26. Cuando rayos paralelos inciden en un espejo parabólico serán concentrados en el foco.

Figura 25. Cuando una fuente luminosa se coloca en el foco de un espejo parabólico, los rayos saldrán reflejados de forma paralela al exterior.

2.4 La primera y segunda ley de Newton en el tiro parabólico Cuando lanzas una piedra o una pelota y quieres que llegue lo más lejos posible, sabes que no debes lanzarla de manera horizontal, sino un “poco hacia arriba” pues su trayectoria se curva.

Figura 27. Trayectoria parabólica en el lanzamiento de una pelota.

37

19 Módulo

Dinámica en la naturaleza: el movimiento Contenido en extenso

Para entender este tipo de movimiento hay que estudiar las fuerzas y condiciones iniciales de este movimiento.

Para obtener (cateto adyacente) nos valemos de la relación que nos da el coseno:

= 0 = Trayectoria

Mientras que para tener: (cateto opuesto) utilizamos la relación que nos da el seno:

h Eje de simetría

R Figura 28. Componentes de la velocidad a lo largo de una trayectoria parabólica.

Para que se origine este tipo de trayectoria, la pelota debe ser lanzada con un ángulo mayor a 0° y menor a 90° (si fuera a 90° sería un tiro vertical). Este ángulo se representa con la octava letra del alfabeto griego, la cual se denomina theta . Además, el proyectil debe lanzarse con una velocidad inicial representada por .

Identifica en la figura anterior los dos elementos nombrados: • Ángulo • Velocidad inicial Como trabajamos sobre un plano, la velocidad inicial con la que se lanza el proyectil tiene dos componentes: y , los cuales se calculan usando trigonometría pues corresponden a los catetos adyacente y opuesto del triángulo rectángulo donde es la hipotenusa.

El trabajar por componentes nos permitirá analizar adecuadamente el comportamiento de la trayectoria.

Componente horizontal La ecuación de movimiento general en un movimiento acelerado está descrita por:

Como la aceleración de los cuerpos en caída es totalmente vertical, la componente horizontal de la aceleración es cero. Por lo tanto, la ecuación que representa la coordenada horizontal de la posición final es: Esto se debe a que, al no haber fuerzas horizontales presentes, el balón se moverá a velocidad constante en ese componente como dicta la primera ley de Newton.

Componente vertical La ecuación de movimiento general en un movimiento acelerado está descrita por:

Se usa y en lugar de x porque estamos trabajando con la coordenada vertical. En este caso, la componente corresponde a la aceleración de la gravedad . Con esto nos queda: Figura 29. Componentes de la velocidad inicial en el tiro parabólico.

38

19 Módulo

Donde

Dinámica en la naturaleza: el movimiento Contenido en extenso

. Por tanto, las ecuaciones del vector de la posición final

son:

Eso significa que horizontalmente la posición tendrá un comportamiento lineal, por lo que su velocidad será constante en el tiempo, pero en su componente vertical tendrá un comportamiento acelerado, en donde su velocidad al subir se irá haciendo menor hasta detenerse, y comenzar a caer cada vez a mayor rapidez.

Ejemplo 2.3 Un balón es lanzado a 40° con una velocidad de gráficas de su movimiento de: a. Coordenada horizontal b. Coordenada vertical

.Si consideramos que parte de origen, obtén las

contra el tiempo. contra el tiempo.

c. Coordenada vertical contra coordenada horizontal.

Solución Primero, calculamos las componentes de la velocidad:

Para facilitarlo, usaremos el programa Excel.

Figura 30. Paso 1. Abrimos el programa Excel.

39

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En la primera columna pondremos el tiempo, en la segunda la posición x y en la tercera la posición y.

Usamos en el tiempo, pasos de 0.2 segundos hasta llegar a 4 segundos.

Figura 31. Paso 2. hacemos la columna para los datos del tiempo a graficar.

Ahora, planteamos las ecuaciones de movimiento en x y en y. Los datos que tenemos son:

A partir de estos datos, las ecuaciones de movimiento quedan como:

Planteamos estas fórmulas en Excel y tenemos:

Figura 32. Paso 3. Se plantea calcular la coordenada horizontal en función de la columna con los valores del tiempo.

40

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Figura 33. Paso 4. Se plantea calcular la coordenada vertical en función de la columna con los valores del tiempo.

Arrastramos las columnas para que se repita la fórmula para todos los valores del tiempo.

Figura 34. Paso 5. Se arrastra el cursor sobre la columna para que se repita la fórmula para todos los valores del tiempo.

Finalmente, obtenemos la siguiente tabla:

Figura 35. Paso 6. Se obtienen los valores y se grafican.

41

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posición (metros)

posición (metros)

Y las gráficas:

tiempo (segundos)

tiempo (segundos) Figura 37. Gráfica de la coordenada vertical de la posición respecto al tiempo.

posición (metros)

Figura 36. Gráfica de la coordenada horizontal de la posición respecto al tiempo.

tiempo (segundos) Figura 38. Gráfica de la trayectoria del tiro parabólico.

Podemos ver que la trayectoria tiene la fórmula de una parábola y es de esperarse pues la relación está dada por una ecuación de segundo grado. A este tipo de movimiento se le conoce en la física como tiro parabólico.

Tip de aprendizaje Te sugerimos hacer un mapa conceptual sobre las características de cada una de las leyes de Newton, visita el siguiente sitio sobre las leyes de Newton para reforzar tus conocimientos: https://es.khanacademy.org/science/physics/forces-newtons-laws/newtons-laws-of-motions/v/newton-s-1stlaw-of-motion

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3. La ley de la gravitación universal Hasta el momento hemos estudiado a la caída de los cuerpos como un movimiento acelerado, pero de la segunda ley de Newton sabemos que para que esto ocurra debe existir una fuerza que cause esa aceleración. Esa fuerza es lo que se conoce como la fuerza de gravedad y fue enunciada por Isaac Newton (1642-1727) como ley de la gravitación universal.

La ley de la gravitación universal es la más conocida de las leyes de Newton, se llama universal ya que aplica de igual manera en cualquier parte del universo, desde la caída de una manzana, hasta la formación de una galaxia.

Esta ley explica el porqué del movimiento de las estrellas y los planetas en el cielo y las distintas trayectorias que siguen. En este capítulo estudiaremos dichas trayectorias (circunferencia, elipse o hipérbola) y su relación con esta ley.

3.1. La ecuación de la circunferencia Cuando dibujamos a un satélite orbitando a la Tierra lo más probable es que dibujes una circunferencia, debido a que esperas que la distancia a la tierra siempre sea a misma. A continuación, estudiaremos un poco más sobre ella.

Como vimos, las cónicas son curvas que resultan de la intersección de un cono (circular recto) y un plano.

Ahora veremos la circunferencia, la cual surge cuando el plano que corta es perpendicular al eje del cono, como se puede observar a continuación: En el siguiente enunciado definimos de manera precisa un círculo: Un círculo es un conjunto de puntos en el plano xy que están a una distancia fija, r, de un punto fijo (h, k). La distancia fija r es llamada radio, y el punto fijo (h, k) es el centro del círculo.

En la siguiente figura podemos observar la gráfica de un círculo, en donde se aprecian los elementos mencionados anteriormente:

ra

(h,k)

di

r

o

(x,y)

centro 0

Figura 39. Corte del cono que genera la circunferencia.

Figura 40. Elementos de la circunferencia.

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Ahora bien, ¿cuál es la ecuación del gráfico anterior? Para hallarla tomemos el punto (x, y) como un punto cualquiera en la circunferencia, r su radio y el centro en (h, k). Como podemos ver en la siguiente figura, dentro de la circunferencia podemos formar un triángulo rectángulo, del cual ya conocemos su hipotenusa, r, y, aplicando el teorema de Pitágoras, resulta: Luego, aplicando el teorema de Pitágoras podemos deducir la ecuación de la circunferencia:

P(x,y)

y

(y–k)

r k

C

(x–h) A

O de manera equivalente,

Así, la forma estándar de la ecuación de un círculo con radio r y centro (h, k) es:

Cuando la circunferencia tiene su centro en el origen (0, 0) la ecuación se reduce a:

0 h

x

Figura 41. Triángulo rectángulo formado por un punto sobre la circunferencia.

Ya que h=0 y k=0.

Veamos dos ejemplos de la ecuación de la circunferencia, en uno de los cuales vamos a resolver un problema aplicado.

Ejemplo 3.1 Determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (5,4) y cuyo radio es r = 5.

Solución

Basta con sustituir los datos en nuestra ecuación en forma estándar con r = 5, h = 5 y k = 4.

Obteniendo así la ecuación en su forma estándar. Sin embargo, si requerimos esta ecuación en su forma general, debemos realizar todo el desarrollo y las operaciones algebraicas respectivas:

Y simplificando e igualando a cero resulta:

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Ejemplo 3.2 Una explosión de gas tóxico se ha propagado con un radio de 3 kilómetros a la redonda. La casa más cercana se halla a medio kilómetro al este y a 3 kilómetros al norte de la explosión. Determina si esta vivienda será afectada por el gas tóxico.

Solución Para facilitarnos los cálculos, supongamos que nuestra circunferencia tiene su centro en el origen (0,0), de esta forma la vivienda se encontrará en el punto (0.5,3). La ecuación de la circunferencia con centro en el origen es:

Sustituyendo el radio r = 3 resulta:

Ahora, sustituyendo el punto (0.5,3) en la ecuación resulta:

Así que la vivienda más cercana se encuentra un poco más allá del radio de propagación, puesto que 9.25>9, con lo cual se concluye que no será afectada. ¡Afortunadamente!

3.2. Concepto y ejemplos del movimiento circular en la naturaleza Cuando nos referimos al movimiento, lo común es relacionarlo con un objeto que se desplaza como un automóvil, motocicleta o bicicleta que avanza en línea recta o dando vuelta en curvas, subiendo o bajando.

Estos vehículos terrestres usan las llantas para producir este movimiento. El movimiento que realizan las llantas para que un vehículo se pueda desplazar se denomina circular.

Figura 42. Trayectoria circular en una pista de carrera.

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De forma parecida al movimiento rectilíneo uniforme y uniformemente acelerado, este tipo de movimiento tiene leyes que lo rigen en nuestra vida cotidiana.

Para representar el comportamiento de este tipo de movimiento es necesario usar las diversas herramientas matemáticas que nos permitan interpretar cada una de las relaciones existentes entre las variables y constantes del movimiento circular.

Para iniciar, identifiquemos algunos objetos cotidianos que realizan este tipo de movimiento.

Aunque todos los movimientos representados por las llantas de los vehículos son circulares, tienen características que los diferencian. Por ejemplo, el movimiento de las llantas de una bicicleta puede variar de lento a rápido dependiendo de la velocidad que requiera el ciclista.

Por otro lado, la rueda de la fortuna tiene forma circular y su movimiento es lento para permitir disfrutar del paseo sin peligro.

Figura 43. Movimientos circulares en una bicicleta

La hélice de una avioneta tiene un movimiento circular sumamente rápido, tanto que produce sonidos fuertes al momento de encender el motor y aumentan de intensidad a medida que aumenta la frecuencia del giro de las hélices, lo que le permite despegar y volar.

Por último, el ejemplo del motor eléctrico. Los hay de muchos tamaños y potencias que giran en una amplia gama de velocidades. Los hay rápidos como los de los ventiladores, licuadoras y taladros; así como lentos, por ejemplo, el de una lavadora de ropa.

Figura 44. Movimiento circular en una rueda de la fortuna.

Figura 45. Movimiento circular en la hélice de un avión.

Figura 46. Movimientos circulares en un motor.

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3.2.1 Movimiento circular uniforme Si lo que gira da siempre el mismo número de vueltas por segundo, decimos que posee movimiento circular uniforme (MCU).

Un ejemplo de movimiento circular uniforme es el de la Tierra. Realiza una vuelta sobre su eje cada 24 horas.

También gira alrededor del Sol y da una vuelta cada 365 días.

Figura 47. Trayectoria circular uniforme de la Luna alrededor de la Tierra.

Genoveva Martínez en Lecciones de Física General, define que el movimiento circular es “el realizado por una partícula que describe una trayectoria a lo largo de una circunferencia, manteniendo el módulo de su velocidad constante. Aunque la velocidad no cambia de valor, si lo hace su dirección, ya que está siempre tangente al punto de la trayectoria en que se encuentra la partícula”.

= cte P r O

Figura 48. Velocidad en el movimiento circular.

Figura 49. El tacómetro es el instrumento de medida que indica las revoluciones por minuto de un movimiento circular.

Si queremos medir qué tan rápido gira algo podemos basarnos en el número de vueltas que da por cierta cantidad de tiempo, a dicha medida se le conoce como velocidad angular, el más usado en la práctica es lo que se conoce como revoluciones por minuto, que probablemente hayas podido observar junto al velocímetro de algún vehículo.

En física, sin embargo, la más usada es una medida del ángulo girado en radianes, por unidad de tiempo (segundo) y se designa por la letra griega ω.

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Al movimiento circular se le identifica como un movimiento periódico, pues cada cierto tiempo se regresa a la misma posición, a ese tiempo se le conoce como periodo (T) y se mide en segundos. Al número de ciclos que ocurren por unidad de tiempo se le conoce como frecuencia (f) y es el inverso del periodo, ya que por ejemplo si algo tarda ½ segundo en completar un ciclo significa que puede dar 2 vueltas en un segundo; si tarda 3 segundos en completar un ciclo entonces en un segundo alcanza a dar sólo 1/3 de vuelta. La relación matemática entre el periodo y la frecuencia es:

La unidad de la frecuencia es por ser el inverso del periodo, a esta unidad también se le conoce como hertz.

En términos de la frecuencia y el periodo, la velocidad angular es:

3.3 La fuerza centrípeta ¿Alguna vez te ha tocado estar en un automóvil cuando toma una curva cerrada a alta velocidad? ¿Qué es lo que se siente?

1

Fuerza (peso) = 6700 N

Fuerza “Centrífuga” = 20100 N (curva de 3G)

Figura 50. Fuerza centrífuga debido a un movimiento circular.

Recordarás que sientes una fuerza que te hace moverte en dirección contraria al movimiento del vehículo. Sabemos, por la segunda ley de Newton, que para que haya una fuerza debe haber una aceleración. Pero habrás notado que el efecto se siente igual, aunque el velocímetro del auto no marque cambios durante la curva. Entonces, ¿hay o no hay aceleración? Recordemos que la aceleración es una magnitud vectorial y que es igual al cambio de la velocidad en el tiempo, entonces ¿la velocidad cambia? Si bien el velocímetro no marca cambios, sino la rapidez; sin embargo, la velocidad, al ser un vector definido por su magnitud y su dirección sí cambia a lo largo de la curva, para realizar ese cambio de dirección, se requiere una fuerza y en este ejemplo es la ejercida por el conductor sobre el volante y por las llantas sobre el pavimento.

Por tal motivo, si el conductor o las llantas no aplican esa fuerza de manera correcta el vehículo se saldrá de camino.

r ac

Centro de rotación

v

Figura 51. Radio de curvatura en una trayectoria circular.

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A esa medida de la aceleración que genera el cambio de la dirección de la velocidad se le conoce como aceleración centrípeta y la fórmula de su magnitud es: Donde r es el radio del círculo sobre el que se da el giro. La fuerza que genera esa aceleración se le conoce como fuerza centrípeta y su magnitud se obtiene por la segunda ley de Newton.

Nota: En algunos textos se le llama fuerza centrífuga a esa fuerza que sientes al salir del auto, a este tipo de fuerzas se le conoce como fuerza ficticia, pues lo que está generando la aceleración es en realidad la fuerza centrípeta y esa sensación de fuerza que te hace salir es la tendencia natural de los objetos por seguir en línea recta de acuerdo con lo que dicta la primera ley de Newton.

Este fenómeno tiene múltiples aplicaciones en la vida, por ejemplo, muchas lavadoras cuentan con una centrifugadora, que al girar con la ropa a alta velocidad angular hace que el agua se separe de la ropa y seque más rápido. En la industria y en la ciencia se usa también este fenómeno para separar mezclas.

3.4 La elipse y la hipérbola Poco más tarde de los estudios que publicó Galileo Galilei sobre las trayectorias de los planetas alrededor del Sol, Johannes Kepler (1571-1630) descubrió que en realidad la trayectoria no era circular, sino elíptica. En algunos casos cuando un cuerpo llega con demasiada velocidad al sistema solar ni siquiera vuelve a regresar, describiendo una trayectoria a la que se le conoce como hipérbola. A continuación, estudiaremos este tipo de trayectorias.

La elipse y la hipérbola son curvas que, al igual que el círculo, surgen de la intersección de un cono (circular recto) y un plano. Para el caso de la elipse, el corte se hace con el plano ligeramente inclinado, mientras que, para la hipérbola, el corte se hace de la misma manera que la parábola, pero cortando a ambos conos, como se puede observar en las siguientes figuras:

Figura 52. Corte sobre el cono que genera una elipse.

Figura 53. Corte sobre el cono que genera una hipérbola.

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P d1

Elipse Una elipse es el conjunto de todos los puntos en el plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

F1

En la siguiente figura podemos observar la distancia que se mantiene constante, así como el lugar donde se ubican los focos.

d2 F2

Figura 54. La suma de la distancia entre los focos y un punto de la elipse siempre es la misma.

Además, la recta que contiene a los focos es llamada eje mayor. El punto medio del segmento de recta que une a los focos es llamado centro de la elipse. Finalmente, la línea que pasa por el centro y es perpendicular al eje mayor es el eje menor. Estos elementos los podemos apreciar en la siguiente figura:

V2

Eje menor

B1

F2 a

b Eje mayor

C

F1

V1

c

B2 Figura 55. Elementos de la elipse.

A partir de la definición de la elipse, podemos deducir su ecuación con centro en el origen, resultando ésta en su forma estándar de la siguiente manera:

En donde a > b > 0 y:

La excentricidad es un valor que determina la forma de la elipse. Ésta puede tomar valores entre 0 y 1.

Es 0 cuando la elipse es una circunferencia. Cuando la excentricidad crece y tiende a 1, la elipse se aproxima a un segmento.

La fórmula para calcular la excentricidad es:

La a representa la longitud del semieje mayor y la b la longitud del semieje menor. La letra c representa la distancia del centro a cualquiera de los focos.

50

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Ejemplo 3.3 La distancia media de la Tierra al Sol es de 149,600,000 km. Esta distancia es el semieje mayor de la elipse descrita por su trayectoria orbital alrededor del Sol. La excentricidad de la órbita, calculada por los astrónomos, es de 0.02. Como este valor es cercano a cero, indica que la órbita tiene forma de una elipse no muy alargada, sino más bien parecida a una circunferencia. a. ¿Cuál es la distancia mínima a la que se acerca la Tierra al Sol, durante su trayectoria alrededor de este? b. Escribe la ecuación de la elipse que describa la trayectoria de la Tierra en su viaje alrededor del Sol.

Solución Conocemos el valor del semieje mayor a, el cual es a=149600000. Debemos encontrar los valores de b y c.

Sabemos que la excentricidad es igual a 0.02. Por tanto:

Podemos calcular el valor de b con la fórmula:

Ahora, para encontrar la distancia mínima, observa el siguiente diagrama: Tierra

Tierra

Mínima distancia Sol - Tierra

Máxima distancia Sol - Tierra

Sol

Tierra

Tierra

Figura 56. La trayectoria de la Tierra alrededor del Sol es una elipse.

El Sol está ubicado en uno de los focos.

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Como sabemos, por las leyes de Kepler, el Sol se ubica en uno de los focos formados por la elipse de la trayectoria de la Tierra alrededor de él, por lo tanto, la distancia mínima la podemos encontrar restando a la longitud del semieje mayor a, la distancia del centro al Sol, es decir, la distancia focal c. Así que: Distancia mínima = a−c Distancia mínima= 149600000-29920000=119680000 Luego, al haber calculado los valores de a, b y c ya podemos sustituir en la ecuación para obtener aquella que describe la trayectoria de la Tierra en su viaje alrededor del Sol:

Hipérbola Es el conjunto de todos los puntos en el plano tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados los focos, es constante.

En la siguiente figura podemos observar los elementos de la hipérbola.

y

L2 F2 R2

L1

B1 V2

C

V1

B2

F1

x

R1

Figura 57. Elementos de la hipérbola.

Puedes ver que la hipérbola tiene su centro en C, dos vértices y dos focos marcados en puntos rojos, y dos líneas rectas en verde llamadas asíntotas, las cuales se aproximan a la hipérbola, pero nunca llegan a tocarla. También posee dos lados rectos con líneas punteadas y terminaciones L y R. La recta que contiene a los focos es llamada eje transverso y la recta perpendicular al eje transverso es llamada eje conjugado.

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A partir de la definición de hipérbola, podemos deducir su ecuación con centro en el origen, resultando ésta en su forma estándar de la siguiente manera:

Donde:

Ejemplo 3.4 Dos estaciones de un sistema de navegación de largo alcance están separadas 250 km a lo largo de una costa recta. Un barco registra una diferencia de tiempo de 0.00086 segundos entre las señales del sistema de navegación.

Si el barco debe entrar a un puerto localizado entre las dos estaciones a 25 millas desde la estación principal, ¿qué diferencia de tiempo debe observar?

Si el barco está a 80 millas de la costa cuando se obtiene la diferencia de tiempo deseada, ¿cuál es su ubicación exacta?

Nota: La velocidad de cada señal de radio es de 186 000 km por segundo.

Solución

En primer lugar, ubiquemos al barco en una hipérbola cuyos focos son las dos estaciones de radio. La razón de esto es que la diferencia de tiempo constante de las señales desde cada estación tiene como resultado una diferencia constante en la distancia del barco a cada una de las estaciones.

Como las diferencias de tiempo son 0.00086 segundos y la velocidad de la señal es de 186 000 km por segundo, la diferencia en las distancias del barco a cada estación (focos) es: Distancia = velocidad x tiempo = 186 000 x 0.00086= 160 millas La diferencia entre las distancias del barco a cada estación, 160, es igual a 2a, así que a=80 y el vértice de la hipérbola correspondiente está en (80,0).

Como el foco está en (125,0), al seguir sobre esta hipérbola el barco alcanzará la costa a 45 km de la estación principal.

Ahora, para alcanzar la costa a 25 millas de la estación principal, el barco debe seguir una hipérbola con vértice en (100, 0). Para esta hipérbola a =100, de modo que la diferencia constante entre las distancias del barco a cada estación es de 200 km. La diferencia de tiempo que el barco debe observar es:

Para encontrar la ubicación exacta del barco, necesitamos determinar la ecuación de la hipérbola con vértice en (100, 0) y foco en (125, 0). La forma de la ecuación de esta hipérbola es:

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En la que a = 100 y c = 125, por lo tanto: Así que la ecuación de la hipérbola es:

Y sabiendo que el barco está a 80 millas de la costa, usamos y = 80 en la ecuación y resolvemos para x.

Así, el barco está en la posición (146,80).

3.5 Historia de la mecánica celeste Desde los principios de la humanidad, el estudio de los astros ha sido tomado con mucha importancia, la mayoría de las civilizaciones antiguas tuvo sus respectivos estudios de movimiento de las estrellas en el cielo, pues la posición de las éstas ayudó a predecir sequías, estaciones, migración de especies para caza, etcétera. Este fue la base de la creación de los calendarios.

Aunque muchas civilizaciones descubrieron que la Tierra giraba alrededor del Sol, el modelo aceptado en la edad media de Europa fue el desarrollado por el griego Claudio Ptolomeo (100 d. C.-Canopo, c. 170 d. C.) quien propuso un modelo con la Tierra en el centro. Fue hasta 1543 que el monje polaco Nicolás

Figura 58. Estudio de los astros en la antigüedad.

Copérnico publicó en el año de su muerte el modelo heliocéntrico (Sol al centro), considerada una de las teorías más importantes en la historia de la ciencia, sin embargo, sus libros serían incluidos en los libros prohibidos por la iglesia por muchos años.

Galileo Galilei (1564 - 1642), fue un astrónomo, filósofo, ingeniero, matemático y físico italiano, precursor de lo que se conoce como la “revolución científica” y considerado por algunos como el “padre de la astronomía moderna” y el “padre de la ciencia”. Su trabajo se considera una ruptura de las teorías asentadas de la física aristotélica y su enfrentamiento con la Inquisición romana de la Iglesia católica se presenta como un ejemplo de conflicto entre religión y ciencia en la sociedad occidental. Se le conoce por desafiar a la iglesia al publicar sus estudios sobre la mecánica celeste (movimiento de los cuerpos en el cielo), que confirmaban un modelo heliocéntrico. Sin embargo, a pesar de todo no explicó la causa de que los movimientos de los planetas, la Tierra y la Luna se comporten tal y como lo hacen.

Galileo Galilei

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En la Navidad del año en que murió Galileo, nació Isaac Newton (1642-1727). Newton fue un físico, filósofo, teólogo, inventor, alquimista y matemático inglés. La obra que lo dio a conocer al mundo fueron los Philosophiæ naturalis principia mathematica, que son más conocidos como los Principia. En estas publicaciones estableció las bases de la mecánica clásica, las tres leyes que llevan su nombre y describió la ley de la gravitación universal. Esta última ley fue la que brindó la explicación del porqué los astros se mueven de la forma en que lo hacen. La fuerza de gravedad es la fuerza que rige a todos los planetas, estrellas y galaxias en el universo.

Isaac Newton

3.6 La fuerza de gravedad

A lo largo del módulo vimos que la caída de los cuerpos es un movimiento acelerado. De la segunda ley de Newton hemos visto que para que haya una aceleración debe haber una fuerza que cause dicha aceleración. En este caso, la fuerza que ocasiona esta aceleración se le conoce como la fuerza de gravedad y actúa sobre todos los cuerpos con masa. ¿De qué manera funciona? ¿Qué fue lo que descubrió Isaac Newton y qué tiene que ver con el movimiento de los astros?

¿Sabías qué?

La gravedad es una fuerza fundamental de la naturaleza, una fuerza invisible que domina nuestro planeta, desde sus entrañas rocosas a los océanos. Se trata de un fenómeno de atracción constante, estudiado hace siglos, pero que todavía arroja interrogantes a la comunidad científica. Si eliminamos o añadimos masa en un punto geográfico determinado, cambia la fuerza de la gravedad.

Si te preguntas hoy en día por qué la Luna gira alrededor de la Tierra, la mayoría de la gente te diría “por la gravedad”, aunque no tenga mucha idea de qué es y cómo funciona. Actualmente es un conocimiento relativamente popular, pero antes de Isaac Newton esto no tenía explicación. Lo que Newton descubrió es que la misma fuerza que hace caer a los cuerpos, es la misma que hace que la Luna y el resto de planetas se muevan como lo hacen ¿Cómo se relacionan estos dos fenómenos?

Para explicarlo revisemos el siguiente caso.

Imagina que tenemos un cañón muy poderoso de manera que tiene un alcance de miles de kilómetros.

Si la Tierra fuera plana tendría un alcance diferente como se ve en el ejemplo, pero como no lo es, llegará un poco más lejos.

A

Alcance Tierra plana

f

Alcance real Figura 59. Aumento del alcance en el tiro parabólico por la curvatura de la tierra.

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Si el proyectil sale aún con más velocidad, el alcance sería todavía mayor, tanto por lo que se conoce del tiro parabólico, pero también por lo que el suelo se aleja de una línea recta. Si la bala va lo suficientemente rápido llegará a un punto en el que lo mismo que cae hacia el suelo será lo mismo que se aleja el suelo, fallando en su caída, de tal manera que nunca caería. A ese fenómeno se le conoce como orbitar. Y es lo que está haciendo la Luna con la Tierra, la Tierra y el resto de planetas con el Sol, y el Sol con el centro de la galaxia.

Newton descubrió también que la relación matemática que describe la magnitud de esta fuerza de atracción entre dos cuerpos, y existe para todos los cuerpos con masa es:

Donde G es la constante de la gravitación universal y vale . Podemos observar que las unidades de esta constante cancelan las unidades de que surgen de y las unidades de que se generan de multiplicar las dos masas de los cuerpos, dejándonos unidades de Newton.

Quizá te preguntes ¿por qué si la fuerza existe entre cualesquiera dos cuerpos con masa no siento atracción por los demás objetos si tienen masa? Para responder a esta pregunta pon atención al valor de la constante G y observarás que es sumamente pequeño. De esta manera, la masa de los cuerpos debe ser muy grande para que tenga un valor significativo, como la masa de un planeta o una estrella. En el caso de cuerpos con masa más pequeña como dos seres humanos la fuerza sigue existiendo, sólo que su valor es tan pequeño que no seremos capaces de percibirla.

4. La energía del movimiento Con el desarrollo de la ciencia en los siglos XVI y XVII los físicos de la época encontraron que en los fenómenos de la física hay un valor que siempre se conserva, sólo cambia de forma y a esta cantidad la llamaron energía. Existen muchas formas de energía, en el caso del movimiento se le conoce como energía mecánica. En este capítulo estudiaremos a esta cantidad presente en el movimiento.

4.1 Trabajo Hasta este punto, hemos visto cómo se mueven los cuerpos y cuáles son las causas.

Ahora falta tratar sobre las cantidades que se conservan. Comenzaremos con un concepto muy importante, el trabajo. Hagamos el siguiente experimento, sostén un libro a la altura de tu pecho y no lo muevas de esa posición, ¿estás haciendo trabajo? Aunque tú creas que sí, en física no cuenta como trabajo. El trabajo es una manera de cambiar la energía de un sistema. Si dejaras caer el libro contra el suelo, el impacto sería el mismo que si lo sostienes por un minuto o por 1 hora, esto se debe al trabajo; lo que le incrementó la energía al libro fue el levantarlo del suelo hasta esa altura.

Figura 60. Distinción entre fuerza y trabajo.

Entonces el trabajo es una magnitud escalar en física y está dado por la fórmula:

Donde

es el ángulo formado entre los vectores de la fuerza y el desplazamiento.

es el trabajo,

es la magnitud de la fuerza aplicada y

es la magnitud del desplazamiento o distancia.

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Ejemplo 4.1 Una persona arrastra por 8 metros una caja, por el suelo, con un cable que forma 40° con la horizontal, aplicando una fuerza de 100 newtons. ¿Cuánto trabajo realiza?

F = 100N 40º

Figura 61. El trabajo depende de la fuerza, el desplazamiento y el ángulo formado entre ambos.

Solución Primero analizamos la información del problema, tenemos:

Sustituyendo estos valores en la fórmula:

J es la abreviación de la unidad joules, donde

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Ejemplo 4.2 Una persona baja con una cuerda una cubeta con ladrillos de una masa de 20 kg a lo largo de 3 m. ¿Cuánto trabajo realiza?

Solución La fuerza que deberá aplicar la persona debe ser igual al peso de la cubeta para poder bajarla.

Fuerza

Calculamos la magnitud de esa fuerza primero.

Por lo tanto los datos son:

Al sustituir en la fórmula, tendremos:

Un trabajo negativo significa que reducimos la energía del objeto, en este caso, la cubeta.

20 Kg

3m

Desplazamiento

Figura 62. Al aplicar fuerza en sentido contrario al desplazamiento se realiza un trabajo negativo.

La energía es una propiedad intrínseca de los cuerpos, por consiguiente, la manera correcta de expresarse con respecto a la energía es que un objeto tiene energía y no que algo es energía. La energía no posee existencia en sí misma, existe como propiedad de la materia.

4.2 Energía potencial

Para entender este concepto, veamos el siguiente caso: ¿de qué dependerá el trabajo que se realizará al elevar un objeto un piso? Pues son dos factores, el peso del objeto y la altura del piso. Justamente el primero es una fuerza y el otro una distancia, por lo que el trabajo realizado es:

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Ese trabajo realizado incrementó la energía del objeto, la energía acumulada del objeto se puede ver reflejada en forma de movimiento si se deja caer de ese piso.

A esa energía acumulada por su altura se le llama energía potencial, ésta es una magnitud escalar y también se mide en joules: Esta energía es el trabajo que tiene la capacidad de generar este objeto por caer de esta altura.

Podemos también observar que la energía potencial sólo depende de la altura final, por lo que es independiente del camino para llegar a esa altura.

Ejemplo 4.3 Se tiene un tinaco de 1 100 litros a 6 metros de altura de la cisterna. ¿Cuánta energía deberá gastar la bomba para llenarlo? Tomando en cuenta que un litro tiene una masa de aproximadamente un kilogramo y que:

Solución La energía que se gastará es la misma que la energía potencial que adquirirá el agua del tinaco por estar a esa altura.

Así que lo que tenemos que hacer es usar la fórmula de la energía potencial.

Del problema tenemos la siguiente información:

Sustituyendo estos valores en la fórmula.

Finalmente, convertimos eso a kilowatt*hora para saber cómo se registrará en nuestro recibo de energía eléctrica.

Para saber más…

Si quieres aprender más sobre energía potencial, te sugerimos ver el siguiente experimento: https://www.youtube.com/watch?v=IQ37qobDuQs

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4.3 Energía cinética Si dejáramos caer un cuerpo de cierta altura irá perdiendo altura mientras gana velocidad. Al perder altura pierde energía potencial, pero al ganar velocidad gana otro tipo de energía. A esta energía relacionada con la velocidad del objeto se le llama energía cinética.

Vi

Fuerza

Vf

Desplazamiento

Figura 63. Podemos aumentar la energía cinética de un objeto dejándolo caer o aplicando un trabajo positivo sobre él.

Si a un cuerpo se le aplica una fuerza y éste se desplaza en la misma dirección que la fuerza aplicada entonces tendrá una velocidad y, por lo tanto, tendrá una energía cinética. Si se considera que el trabajo es el producto de la fuerza aplicada por la distancia que recorre; y que la fuerza en la segunda ley de Newton es la masa por la aceleración entonces se podrá hacer la siguiente relación de la segunda ley de Newton y la fórmula del trabajo:

Si la fuerza y el desplazamiento están sobre la misma dirección y sentido, entonces

Sustituyendo la fuerza en la fórmula de trabajo se obtiene:

Aplicando la definición de la aceleración la rapidez promedio

, con

y la ecuación para la distancia recorrida en términos de se tiene que

.

Como el tiempo medido es el mismo, las variables de la expresión anterior se cancelan algebraicamente. Después de la cancelación, se obtiene un producto de binomios conjugado, por lo que, tras separar la masa y el 1/2, la expresión anterior se reduce a:

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Esto es, el trabajo es igual al cambio de la cantidad que el tipo adquirió.

. Pero este trabajo realizado es la energía cinética

Entonces: La energía cinética es una magnitud escalar y siempre es positiva, puesto que también lo son la masa y la velocidad al cuadrado.

Para saber más…

Si quieres más sobre la energía cinética, te sugerimos el siguiente video: https://www.youtube.com/watch?v=L_g2qemzTGE

4.4 Energía mecánica total

Continúa explorando los tipos de energía. Las cosas que se mueven tienen energía. ¿Y las que no se mueven? ¡También tienen energía! ¡Todo tiene energía!

Figura 64. La energía mecánica se encuentra presente siempre en el movimiento de los cuerpos.

Así, la energía se puede definir como la capacidad que tienen los cuerpos para realizar un trabajo.

• La energía cinética (Ec) que tiene un cuerpo es la cantidad del trabajo para mantener en movimiento cuerpo.

• La energía potencial gravitacional (Ep) que tiene un cuerpo es la cantidad del trabajo realizado para llevar a un objeto en su posición relativa con respecto a la Tierra.

En los dos tipos de energía se requiere de un trabajo

.

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La siguiente tabla compara los dos tipos de energía.

Tabla 5. Características de los tipos de energía.

Tipo de energía

Cinética

Potencial gravitacional

Las cosas que se mueven tienen energía cinética.

Las cosas que no se mueven y que están elevadas a cierta altura de la Tierra tienen energía potencial gravitacional.

W=Ec

W=Ep

F=F (Fuerza aplicada al objeto)

F=P (Peso del objeto)

D=d (Distancia recorrida)

d=h (Altura del objeto)

Característica General

Esquema

Expresión matemática del trabajo

Representación de las magnitudes para cada una de las energías

Sustituyendo la fórmula segunda ley de Newton: Expresión matemática del trabajo representativa de cada energía

Donde:

de

la

Sustituyendo la fórmula de: y Donde:

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Ejemplo 4.4 y 4.5 Si una pelota que tiene una masa de 1 kg recorre una distancia de 10 m con una aceleración de 20 m/s^2. ¿Qué energía cinética tiene?

10 m

Si una pelota que tiene una masa de 1.5 kg y se encuentra a 2 m sobre un taburete, ¿qué energía potencial tiene?

A. Pelota con energía potencial, pero sin energía cinética B. Pelota con energía potencial y cinética C. Pelota con energía cinética

2m

B

C

La energía es una propiedad intrínseca1 de los cuerpos, por consiguiente, la manera correcta de expresarse con respecto a la energía es que un objeto tiene energía y no que algo es energía. La energía no posee existencia en sí misma, existe como propiedad de la materia, como ya se había mencionado.

Un objeto tiene energía potencial gravitacional si está en reposo a una altura de la tierra y tiene energía cinética cuando está en movimiento, pero si está en movimiento y a cierta altura entonces tiene energía potencial y cinética.

1

Figura 65. Cuando los objetos caen transforman su energía potencial en cinética, pues disminuye su altura, pero aumenta su velocidad.

En cambio, un objeto con cierta velocidad puede ascender transformando su energía cinética en potencial.

Como has observado en las imágenes anteriores, los objetos poseen una energía potencial cuando están a cierta altura y tienen una energía cinética cuando están en movimiento. Además, en algunos momentos, pueden tener los dos tipos de energía si se encuentran a cierta altura y además en movimiento.

Que es propio o característico de la cosa que se expresa por sí misma y no depende de las circunstancias.

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4.5 Pérdidas por fricción Cuando vas en bicicleta y quieres reducir tu rapidez aprietas los frenos y lo consigues, ¿a dónde fue a parar esa energía cinética? Si por curiosidad tocas las gomas del freno, notarás que se encuentran calientes. Este fenómeno sucede en varios casos más, por ejemplo, cuando frotas tus manos para calentarlas en invierno, o cuando una lija se calienta por usarla con mucha fuerza. ¿A qué se debe este fenómeno? Recordemos que la fricción también es una fuerza y por lo tanto al actuar a lo largo de una distancia generará un trabajo, aunque en este caso no es un trabajo por definición, sino una forma de energía a la que llamamos energía térmica.

La energía mecánica total se transforma en energía térmica por calor. En este caso el calor se calcula por la misma fórmula que el trabajo.

Figura 66. En una bicicleta se usan los frenos para disipar la energía cinética en calor mediante la fricción.

Ejemplo 4.6 Una persona arrastra una caja de 30 kg por el piso a lo largo de 6 m. El piso es plano y tiene un coeficiente de fricción cinética de ¿Cuánta energía se disipa por calor?

Solución Para calcular el calor necesitamos del valor de la fuerza de fricción, la distancia ya la tenemos y es de 6 metros. Para calcular esta fuerza requerimos de la fuerza normal del piso sobre la caja.

Con esto, podemos calcular: La fuerza de fricción.

La energía disipada por calor:

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4.6 Potencia Observa la siguiente figura e identifica en cuál de los tres casos se realiza un trabajo (fuerza por distancia) con mayor rapidez.

Seguramente acertaste. En el caso del guepardo, el trabajo que realizará es mayor con respecto al hombre y a la tortuga, dado que moverá la carga con mayor fuerza y a mayor distancia, además en un menor tiempo. Estos tres elementos: fuerza y distancia (trabajo) con el tiempo se conjuntan en la definición de potencia: “La potencia se define como la rapidez con la que se realiza el trabajo. Así, cuando decimos que un agente es muy potente, lo que se quiere decir es que puede realizar trabajo en forma muy rápida”. (Núñez, 2006, p. 153)

Figura 67. Distintas potencias en los seres vivos.

Matemáticamente, la potencia se define por la expresión:

Donde:

Para profundizar, observa otro ejemplo.

h= 40 m

Figura 68. Dos personas pueden tener distinta potencia aunque realicen el mismo trabajo.

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Considerando que los escalones son del mismo tamaño, ¿cuál de las dos personas llegará primero a la parte de arriba?

Es evidente que la persona que sube corriendo llegará primero, sin embargo ¿quién realiza mayor trabajo? y ¿quién es más potente? La aplicación de las fórmulas de trabajo y potencia darán la respuesta.

Calcula el trabajo y la potencia de cada individuo. Considera que cada uno tiene una masa de 90 kg. a. El que subió corriendo lo hizo en un tiempo de 50 segundos.

b. El que subió caminando lo hizo en un tiempo de 120 segundos.

Después de calcular la potencia en cada caso, se puede llegar a una conclusión: ¡El trabajo es igual en ambos casos!

Ambas personas realizan el mismo trabajo porque las dos tienen que recorrer la misma distancia, así que la fuerza que necesitan es la misma caminando que corriendo. En el caso de la potencia las cosas cambian, ya que la persona que va corriendo realiza el trabajo en menos tiempo (con mayor rapidez), por lo tanto, es más potente que la persona que sube las escaleras caminando.

En resumen, el trabajo realizado en menos tiempo genera mayor potencia.

De la fórmula de la potencia podemos despejar al trabajo y observamos que el trabajo es una función lineal del tiempo.

Por lo tanto, si graficamos el trabajo realizado en función del tiempo para una potencia fija tendremos las gráfica de una recta. Por ejemplo, si tenemos dos motores, uno de 300 watts y otro de 500 watts, el trabajo realizado en función del tiempo se puede describir por las funciones:

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Obtendremos las siguientes gráficas:

De la gráfica podemos observar que el valor de la pendiente de la recta estará dada por el valor de la potencia.

A mayor potencia la cantidad de trabajo realizado en función del tiempo crece aún más.

Tip de aprendizaje Te sugerimos realizar una tabla comparativa con los elementos y características de la energía del movimiento.

5. Cierre En esta unidad aprendiste sobre el movimiento acelerado y su relación con la segunda y tercera ley de Newton, esto a través del tiro parabólico, así como la representación y análisis de gráficas de movimiento. Posteriormente, conociste el origen de la aceleración de los cuerpos cayendo mediante la ley de la gravitación universal a través de las cónicas presentes en el movimiento de los cuerpos estelares. Finalmente, comprendiste a la energía mecánica como una cantidad que se conserva en los cuerpos en movimiento y la potencia como la velocidad de gasto de la misma.

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Khan Academy, Matemáticas: Trigonometría [en línea], https://es.khanacademy.org/math/trigonometry (consultado el 17 de septiembre de 2019).

Núñez, Héctor, Física I. Un enfoque constructivista. México, Pearson Educación, 2006.

Olmo Nave, R. Mecánica. Hyper Physic [en línea], http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/newt.html (consultado el 21 de agosto de 2020) Oyetza Elena, Conocimientos fundamentales de matemáticas: trigonometría y geometría analítica, México, Pearson, 2007.

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