Limes 2022

PRVA BOŠNJAČKA GIMNAZIJA SARAJEVO CAMBRIDGE INTERNATIONAL SCHOOL

NAUČNO-ISTRAŽIVAČKI MATEMATIČKI KLUB PRVE BOŠNJAČKE GIMNAZIJE

U ovom broju:

- Uspjesi učenika Fatiha Žgalja

- Fraktali

- STE(A)M časovi u Prvoj bošnjačkoj gimnaziji

- Matematički festival

- MASTERCLASS u Prvoj bošnjačkoj gimnaziji

Prva bošnjačka gimnazija je registrirana Cambridge međunarodna škola. Prva bošnjačka gimnazija je dobitnica Šestoaprilske nagrade Grada Sarajeva.

The 4 C’s of 21st Century Skills

Critical Thinking (kritičko mišljenje) Finding solutions to problems

Creativity (kreativnost)

theThinkingoutside box

Collaboration (kolaboracija)

Working with others

Communication (komunikacija)

Conveying ideas

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Sadržaj

Uvodnik

Uspjesi Fatiha Žgalja, učenika Prve bošnjačke gimnazije

Mapa matematike

Al-Havarizmi

Velika crvena pjega na Jupiteru Fraktali

REPLIKACIONI TRENINZI U PRVOJ

BOŠNJAČKOJ

“Matematički filmski festival 2021”

Gdje se sve koristi trigonometrija?

MASTERCLASS u Prvoj bošnjačkoj

Dekartov kvadrat: Najlakši način da donesete najteže odluke

Redakcijski odbor

Glavna i odgovorna urednica: mr.sc. Belma Alihodžić, prof.

Lektorica: Emina Tucaković, prof.

Tehnička savjetnica: Merisa Skalonjić, MA elektrotehnike

Izdavač: Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Članovi redakcije: Agić Tarik, Medina Una Hamzić, Gusinac Dženisa, Pilav Amina, Karić Berina, Porić Medina, Alihodžić Lamija, Hajrić Nejra

Štampa:

Tiraž: 100 komada

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije

Sarajevo

Emela Mehmedspahić, direktorica Prve bošnjačke gimnazije

Dragi čitatelji,

Prva bošnjačka gimnazija od osnivanja slijedi inovativne pristupe u obrazovanju, tako da već odavno, kroz multidisciplinarne projekte i nastavu u Cambridge međunarodnoj školi, posvećuje pažnju svemu onome što je trenutno aktuelno u oblasti obrazovanja, pojmovima kao što su: kurikularna reforma, ishodi učenja, STEAM pristup i dr. S tim u vezi bitno je naglasiti i da su naši učenici i profesori bili dio velikog projekta TABLA. Svjesni činjenice da učenje nije produkt samo zalaganja nastavnika, nego da je učenje rezultat aktivnosti onih koji uče, učenika stavljamo u centar procesa sticanja znanja. Posebnu pažnju posvećujemo razvijanju tzv. 4K vještina kod učenika: kritičkog mišljenja, komunikacije, kolaboracije (timski rad i saradnja) i kreativnosti.

U vremenu u kojem samo jedan klik čini dostupnim mnoštvo informacija u bilo kojem trenutku, postaje pravi izazov izdvojiti bitne i tačne informacije ali i pravilno ih procesuirati. Članovi redakcije časopisa “Limes” vrijedno i marljivo su radili kako bi vam pružili najkorisnije članke iz oblasti nauke na jednom mjestu.

Imajte na umu da je onaj kome je znanje darovano darovan blagom neizmjernim. Čitajte neumorno i neprestano vođeni latinskom izrekom: “Kap probuši kamen tako što padne ne dva puta, nego mnogo puta; tako i osoba postane mudra tako što pročita ne dvije, nego mnogo knjiga.”

Emela Mehmedspahić, direktorica

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke

gimnazije Sarajevo

Riječ direktorice

BELMA ALIHODŽIĆ, urednica

Dragi čitaoci, ljubitelji prirodnih nauka!

Direktorica se u svom obraćanju osvrnula na pojmove koji su aktuelni u oblasti obrazovanja 21. vijeka. Bez obzira na to, ističemo angažman profesora Prve bošnjačke gimnazije u održanim STE(A) M časovima o kojima smo i pisali. Prve stranice dvanaestog broja časopisa “Limes” smo posvetili uspjesima maturanta Fatiha Žgalja, uz nesebičnu podršku učenice prvog razreda Amine Pilav. Pored mnogih takmičarskih obaveza i ostvarenih rezultata, Nejra Hajrić nam pojašnjava podjelu matematike na čistu i primijenjenu.

S obzirom na to da se malo zna o životu Al-Havarizmija, perzijskog učenjaka, Medina Una Hamzić piše o njegovom doprinosu matematici, geografiji i astronomiji.

Dženisa Gusinac, zaljubljenica astronomije, ovaj put piše o Velikoj crvenoj pjegi na Jupiteru. Priroda pokazuje svoje blagodati i ljepotu čovjeku, što je inspirisalo Medinu Porić da se pozabavi temom “Fraktali”. Zahvaljujemo se dvjema profesoricama, profesorici matematike Lejli Hujdur i profesorici fizike Aidi Agić-Hadžić, na njihovim prilozima “Matematički filmski festival” i “Masterclass u Prvoj bošnjačkoj gimnaziji”. Čestitamo učesnicima Matematičkog festivala i učenicima na osvojenim certifikatima u dvije sesije Masterclassa.

Tarik Agić, takmičar, u svome tekstu objašnjava gdje se to primjenjuje trigonometrija. Uživajte u svim naslovima, a odmorite se uz sudoku i logaritamsku križaljku.

Riječ urednice broj Limesa

Urednica mr. sc. Belma Alihodžić, prof.

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Uspjesi učenika Prve bošnjačke gimnazije, Fatiha Žgalja

PRIPREMILA: AMINA PILAV, UČENICA I RAZREDA PRVE BOŠNJAČKE GIMNAZIJE

Kada se javila tvoja ljubav prema fizici i zbog čega smatraš da se fizika izdvaja od drugih nauka?

Počeci naših ambicija i sklonosti su skoro uvijek u djetinjstvu, iako nekad ne prepoznajemo faktore koji su nas tada oblikovali u ono što smo danas. Mislim da je i moj slučaj takav. Kao djeca ispitujemo svijet oko sebe onako kako to rade fizičari: isprobavamo i dovodimo stvari u međusobnu vezu. Einstein bi rekao da kao djeca razmišljamo o prostoru i vremenu, o osnovnim problemima i pitanjima (za to kao odrasli nemamo vremena), a on je, eto,

ostao dijete, razmišljao o prostoru i vremenu i došao do teorije relativnosti. Imao sam tada knjigu „A zašto?“, jednu od onih poznatih hiljadu zašto –hiljadu zato (čuvam je i danas). Dobio sam je kada sam tek počeo da čitam. Tu su velika pitanja poput toga kako nastaju crne rupe, šta će biti sa našim Suncem ili zašto se javljaju plime, bila objašnjena na veoma zanimljive i razumljive načine, tako da su me odmah privukla. Volio sam prepričavati ta objašnjenja, uvijek i sam otkrivajući nešto novo što sam mogao zaključiti ili nešto nepoznato što

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

me kopkalo. Smatram da je fizika temeljna prirodna nauka. Povezana je sa svijetom u kojem živimo tako da možemo vidjeti veliki dio onoga što izučava, ili makar vršiti eksperimente (u tom pogledu matematika je veoma apstraktna). S druge strane, široka je i generalna jer se ne bavi samo pojedinostima, već općim zakonitostima prirode (hemija i biologija su, s druge strane, veoma primijenjene i „specijalizovane“). Čovjekovo iskustvo prirode i njegov doživljaj svijeta bazira se na otkrivanju uzročno-posljedičnih veza među događajima. To je jedan racionalni postupak kojim pokušavamo objasniti i definisati stvari oko sebe. Upravo se time bavi fizika: želi odgovoriti na pitanja kako i zašto, o čemu god bilo to pitanje, i želi otkriti zakonitosti po kojima se uspostavljaju te uzročnoposljedične veze. Te zakonitosti neko naziva prirodnim, a neko Božijim zakonom (a to dvoje su jedno te isto, barem ja tako gledam na to). Meni se fizika učinila zanimljivom i bliskom, zajedno sa još nekim stvarima, a neke stvari nisu. Za nekog drugog taj skup interesovanja bit

će, naravno, drugačiji, i dobro je što je tako. Mislim da djeci treba dozvoliti da odaberu ono što ih zanima, umjesto da se na nešto tjeraju ili prisiljavaju. Sve što se radi preko volje ne može imati jednako dobre rezultate kao ono što se radi sa iskrenom ljubavlju i željom za napredovanjem i znanjem. Moj put je bio takav i na tome sam zahvalan Bogu i svojim roditeljima i porodici. Moglo bi se reći da sam ka fizici povučen, a ne nužno gurnut.

Kada si se počeo takmičiti i na kojim takmičenjima si učestvovao?

Počeo sam se takmičiti od 8. razreda osnovne škole, kada kod nas i počinju takmičenja iz fizike. U osnovnoj školi, pa malo i u srednjoj, pored fizike učestvovao sam i na takmičenjima iz matematike, informatike, geografije i engleskog jezika. Vremenom sam izlazio iz takmičarskih krugova nekih od tih predmeta, ali u fizici sam ostao do danas. Pored takmičenja, učestvovao sam na kampovima fizike (to je odlična prilika da steknete nova znanja i prijateljstva i preporučio bih ih svakome), masterclassovima, predavanjima, susretima fizičara... Pokušavam otići na što više mjesta gdje mogu naučiti nešto novo.

Možeš li nam spomenuti svoje najbolje rezultate do sada?

Nije zahvalno pričati o vlastitim postignućima, pa ću kratko, i to o onome što ja smatram najbitnijim. Pored kantonalnih, federalnih i državnih takmičenja na kojima sam učestvovao, istaknuo bih

Međunarodnu olimpijadu iz fizike na kojoj sam osvojio bronzu, Evropsku olimpijadu iz fizike (također bronza), dvije Svjetske olimpijade metropola (dva puta srebro) i Balkansku olimpijadu iz fizike (bronza). Da ne bude samo o fizici, spomenut ću da sam u srednjoj školi na Evropskoj olimpijadi iz geografije osvojio srebrnu medalju.

Smatraš li da se u našem obrazovnom sistemu fizika treba na drugačiji način podučavati?

Naš obrazovni sistem općenito ima mnogo mana, što ne znači da nema i prednosti. Što se fizike tiče, šteta je što više pažnje nije posvećeno eksperimentima. Neke škole imaju mogućnost za izvođenje eksperimenata na nastavi, ali u većini slučajeva, eksperimentalni dio je sveden na minimum ili ga nikako nema. Mislim da je to veliki nedostatak, jer svaki eksperiment doprinosi boljem razumijevanju teorije i obratno. Također, ne sviđa mi se kada vidim da se fizika svodi na učenje formula napamet kako bi se u njih uvrstili dati brojevi, a formule zaboravile odmah nakon toga. To može i računar i kalkulator. Volio bih da je veći akcenat stavljen na stvarno razumijevanje pojava i procesa iza tih formula, kao i izvođenje formula (ako ne detaljno, makar opisno). Mislim da je važnije znati kako i zašto se nešto dešava nego formulu koja to opisuje (formula se i izvodi iz opisa samog procesa). S tim u vezi, isti prirodni fenomen može se

matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

objasniti u više nivoa težine, od onog prilagođenog djeci do onog koji razumiju stručnjaci u toj oblasti. I formule su podijeljene na više nivoa, i uvijek je ona ispod zapravo poseban slučaj one iznad. Kada pređete sa nižeg na viši nivo, uvijek je lijepo vidjeti kako se nova formula koja je komplikovanija i obuhvatnija u nekom posebnom slučaju svodi na onu koju ste prije znali. Tada shvatite da ste zaista naučili nešto novo. San svakog fizičara je ujedinjena teorija fizike, jedna formula iz koje se sve ostale mogu dobiti. Ali takav nivo moguće je dostići samo uz potpuno razumijevanje prirode oko nas.

Koliko profesor ima značaja u interesovanju za neki predmet?

U mom slučaju, veliki utjecaj na moje interesovanje i dosadašnji razvoj na polju fizike imali su oni koji su me podučavali: nastavnica fizike u osnovnoj školi, profesori u srednjoj školi, i ostali profesori i osobe s kojima sam radio i od kojih sam učio. Općenito, stav učenika prema predmetu uveliko je određen načinom na koji profesor podučava i prezentuje taj predmet. To može imati i pozitivan i negativan efekat na učenje. Svakako, ne utječu samo profesori na rad i zanimanje za neki predmet, pogotovo danas kada nam je dostupno toliko izvora za učenje. Neki

fizičari se u metodama podučavanja toliko ističu da od njih uče i oni koji ih nikada nisu sreli u učionici. Feynman je bio jedan takav profesor. Njegova predavanja iz fizike skupljena su u knjige iz kojih danas mnogi uče. Njegov pristup učenju je zanimljiv: išao bi u pojedinosti i detalje stvari dok ih potpuno ne bi razumio. Iz toga je i nastala tzv. Feynmanova tehnika učenja, koja, ukratko, podrazumijeva da prvo naučite nešto o određenom predmetu, a potom tome podučavate druge. Prilikom podučavanja, naići ćete na praznine u vlastitom znanju. Tada se vraćate na prvi korak i ponovo učite. Na kraju, bitno je da ono što znate možete pojednostaviti i prenijeti znanje drugome. Suština je u sljedećem: ako nešto ne možete jednostavno objasniti, ne razumijete to dovoljno dobro. Ima osoba koje posjeduju veliko znanje o nekom predmetu, ali ga ne mogu dobro iskomunicirati. S druge strane, neko sa manje znanja možda će bolje podučavati. Zato dobar profesor treba biti u mogućnosti pristupiti učenicima na način koji će njima biti razumljiv. Dobar profesor nije onaj koji vam “servira” odgovor i rješenje, već onaj koji vam pomogne da sami do njega dođete i time napredujete.

Čime se želiš baviti u budućnosti?

Ono što bih volio raditi kreće se u prostoru između istraživačkog rada i podučavanja fizike. Mislim

da po tom pitanju nisam pretjerano izbirljiv (barem trenutno), pa zavisi od toga kakva se prilika ukaže. Ono što mogu reći jeste da bih sigurno volio raditi nešto što je vezano za fiziku, a pogotovo me zanima astrofizika i fizika čestica (dvije oblasti na suprotnim stranama spektra fizike). Čvrsto vjerujem da je svaki rad i doprinos u fizici ujedno i doprinos za društvo u cjelini. Iako fizičari mogu raditi u brojnim granama (ta zanimanja ne moraju uvijek ni biti direktno vezana za fiziku), u našoj zemlji još uvijek nema toliko različitih opcija koliko ih ima na drugim mjestima, posebno kad se radi o modernim oblastima fizike. Nadam se i vjerujem da će se to u bliskoj budućnosti promijeniti.

Uredništvo

Mapa matematike

PRIPREMILA: NEJRA HAJRIĆ, UČENICA III RAZREDA PRVE

Razlog koji matematici opravdava titulu kraljice nauka je taj što bavljenje njome najviše razvija našu moždanu aktivnost. Tako se matematičar ne snalazi dobro samo u matematici, već i u jezicima, prirodnim naukama, organizaciji, prostoru… Počela je sa brojanjem u prahistoriji (graduisane kosti), a danas je osnova mnogim poljima ljudskog djelovanja. Može se podijeliti na dva dijela: čistu i primijenjenu matematiku.

ČISTA MATEMATIKA

proučava matematičke pojmove neovisno o primjeni u izvanmatematičkom svijetu, a sadrži studije o sistemima brojeva, strukturama, prostoru i promjenama. Ljudi koji se bave njome uglavnom su motivirani samo svojom znatiželjom ili su jednostavno vođeni smislom za estetiku u rješavanju problema proizašlih iz osnovnih principa. Kao posljedica nastaje puno

„nove matematike“ koja ne služi ničemu. Međutim, nakon nekog vremena čovjek će u PRIMIJENJENOJ

MATEMATICI rješavati

određeni problem iz

svakodnevnice i sjetiti se da postoji stara teorija koja mu

sada treba. Naprimjer, da bi udovoljili svojoj potrebi da riješe kvadratnu jednačinu oblika , matematičari uvode imaginarnu jednicu i potpuno novi skup brojeva. Decenijama kasnije, ljudi su u mogućnosti, između ostalog, kontrolirati glasnoću klavira i predstaviti kako brojevi afektiraju zvučne signale. Dakle kompleksni brojevi pronalaze svoju svrhu u stvarnosti.

Čistu matematiku možemo nazvati jednom vrstom umjetnosti s obzirom da svoje

uporište nema u materijalnom svijetu, a bavljenje njom okarakterisano je ljepotom i elegancijom.

Studije o sistemima brojeva

Postoje prirodni (1, 2, 3,…), cijeli (-1, -4, 56…), racionalni (3, ,…), realni ( i kompleksni brojevi (. Neki brojevi poput prostih ili broja imaju posebna svojstva. Postoje još neke specifičnosti – skup realnih brojeva je, naprimjer, veći od skupa cijelih brojeva (, a oba imaju beskonačno

BOŠNJAČKE GIMNAZIJE

mnogo članova. Dakle, neke beskonačnosti su veće od drugih. Studije o strukturama

U ovom segmentu matematike:

- Brojevi se stavljaju u jednačine u formi varijabli (promjenjivih veličina). ALGEBRA sadrži pravila kako manipulirati tim jednačinama.

- Uvode se vektori i matrice koji predstavljaju multidimenzionalne brojeve. Pravila o tome kako se oni odnose data su u LINEARNOJ ALGEBRI.

- Formira se TEORIJA BROJEVA.

- Izdvaja se i KOMBINATORIKA – bavi se prebrojavanjem elemenata konačnih skupova i prebrojavanjem načina da se ti elementi poredaju. Naprimjer, na koliko se načina može izvući sedam brojeva (od 49) u igri Loto?

- TEORIJA REDA je grana matematike koja istražuje intuitivni pojam reda koristeći binarne relacije. Ona opisuje izjave kao što su „ovo je manje od toga“ ili „ovo prethodi tome“. Redoslijeda je mnogo i u matematici i u srodnim oblastima poput računarstva. Prvi red o kojem se često govori u osnovnoj školi je u vezi sa prirodnim brojevima, npr. „2 je manje od 3“, „10 je veće od 5“ ili „Da li Faris ima man-

je kolačića od Esme?“. Drugi poznati primjer reda je abecedni red riječi u rječniku. Redovi prirodnih brojeva i slova imaju posebno svojstvo – njihovi članovi se mogu komparirati. Međutim, postoje redovi u kojima to nije moguće. Kao primjer uzmimo skup životinja. Iako mu pripadaju i skup ptica i skup mačaka, njihove elemente ne možemo porediti.

- TEORIJA GRUPA povezuje objekte u grupe. Grupe se sastoje od elemenata i binarnih operacija koje se mogu primijeniti na dva elementa skupa. Zajedno moraju zadovoljavati određene aksiome. Rubikova kocka je primjer permutacijske grupe. Ima 54 mala kvadrata koja se mogu poredati (grupisati) na kvintilion načina ().

Studije o prostoru

- GEOMETRIJA je grana matematike koja proučava položaj, oblik, svojstva geometrijskih tijela u prostoru, te njihov međusobni odnos.

- TRIGONOMETRIJA se bavi odnosima između stranica i uglova trougla.

- DIFERENCIJALNA GEOMETRIJA istražuje svojstva oblika na zakrivljenoj površini. Pritom je važna primjena metoda matematičke analize (limes niza i funkcije, neprekidnost funkcije, diferencijalni i in-

tegralni račun…)

- TOPOLOGIJA proučava neprekidna preslikavanja, tj. transformiše jedan prostor u drugi. To su deformacije bez kidanja i lijepljenja, pa se npr. mogu izvoditi s objektima od elastične gume. Kocka i kugla su sa stajališta topologije ekvivalentne, jer se opisanim deformacijama može prijeći iz kocke u kuglu i obrnuto. Poznata je jednostrana Mobiusova traka 1(Möbius strip) koja ostaje u jednom dijelu i kada se podijeli po sredini i ponovo ima samo jednu stranu.

- FRAKTALNA GEOMETRIJA sadrži matematičke “obrasce” koji bez obzira na to koliko ih uvećavali uvijek izgledaju isto.

Studije o promjenama

- Diferencijalni i integralni račun, te primjeri korištenja limesa, teorija (beskonačnih) redova, beskonačnih proizvoda, varijacijski račun i sl. područje su bavljenja MATEMATIČKE ANALIZE.

- VEKTORSKA ANALIZA također obuhvata diferencijalni i integralni račun ali u vezi sa vektorima.

- DINAMIČKI SISTEMI su sistemi u kojima funkcija

1 Traka kod koje se jedan kraj zarotira za , a zatim zalijepi za drugi kraj.

opisuje vremensku zavisnost tačke u geometrijskom prostoru. Primjeri su opis ljuljanja klatna sata, protok vode u cijevi i broj riba svakog proljeća u jezeru.

- TEORIJA HAOSA opisuje nelinearne dinamičke sisteme koji se ponašaju na nepredvidljiv način. Da u svijetu vrijedi determinizam ii određenost, mogli bismo sve predvidjeti i kontrolirati (ponašanje nekog sistema zapisati u obliku jednačine – kao u vremenskoj prognozi). Međutim, s pojavom računara postalo je jasno da to nije moguće. Naučnici su uočili povezanost i ovisnost među naizgled nespojivim pojavama i to opisali rečenicom: „Ako leptir zamahne krilima u Pekingu, on može uzrokovati uragan na Floridi“. Dakle svi su faktori bitni. Haotično ponašanje postoji u mnogim prirodnim sistemima, uključujući protok tečnosti, nepravilnosti otkucaja srca, vremenske prilike i klimu. Također se javlja spontano u nekim sistemima sa vještačkim komponentama, kao što su berza i kopneni saobraćaj. Koliko god utjecaja uzeli u obzir, ne bismo nikada bili u mogućnosti potpuno predvidjeti buduća zbivanja.

Neke od mnogih oblasti primijenjene matematike su:

- Matematička fizikamatematičke metode sa

posebnom primjenom u rješavanju problema i formulaciji teorija fizike. Naprimjer, Newton je izumio račun koji je pomogao u opisivanju kretanja. Fizika svojim teorijskim konceptima matematičarima daje podsticaj za razvijanje novih načina rješavanja problema.

- Numerička analiza – algoritmi za bavljenje zadacima sa kontinuiranim varijablama. Takvi zadaci (problemi) se javljaju u prirodnim i društvenim naukama, inžinjerstvu, medicini i biznisu.

- Teorija igara - analiza situacije u kojoj igrači donose međusobno zavisne odluke. Ta međuzavisnost uzrokuje da svaki igrač razmotri moguće odluke ili strategije drugog igrača. Najčešće je primijenjena u ekonomiji i politici.

- Teorija vjerovatnoće – analiza slučajnih pojava. Te-

melj statistike, a koristi se u biologiji, genetici, fizici i ekonomiji.

- Statistika – analiza podataka, teži kontroli izvora promjena.

- Finansijska matematika – spoj ekonomije, matematike i statistike; pitanje visine cijena; upotreba u komercijalnim i investicionim bankama.

- Optimizacija - odabir najboljeg elementa iz skupa dostupnih alternativa s obzirom na određeni kriterij. Problemi optimizacije se javljaju u inžinjerstvu, računarstvu, ekonomiji…

- Kriptografija – slanje poruka u obliku razumljivom samo osobama kojima su namijenjene. Već dugo se upotrebljava u vojnoj i diplomatskoj komunikaciji. Oslanja se na teoriju brojeva.

TEMELJI I FILOZOFIJA: matematička logika (osno-

matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

va rada računarskih procesora), teorija skupova i teorija kategorija (opća teorija funkcija; matematičke strukture u obliku označenih i usmjerenih grafova).

Detaljno istraživanje cjelokupne matematike daje zaključak da ova nauka nije tek nešto što su izmislili ljudi. Ona postoji u prirodi, a čovjek je promatra i zapisuje pomoću simbola na sebi razumljiv način. Možda neki naslovi zaista i nisu direktni odgovori na pojave u stvarnosti, ali jesu posljedice osnovnih principa koji se temelje na realnoj pojavi. (Npr. čovjek ima urođenu potrebu za kontrolom nad stvarima koje se nađu u njegovom posjedu pa počinje da broji. Evolucijom i razvojem moždane strukture, više se postavlja pitanje “Šta ako?”

i ti se brojevi kombinuju na različite načine. Posljedično nastaju skupovi brojeva, jednačine, analiza…)

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Al-Havarizmi

PRIPREMILA: MEDINA-UNA HAMZIĆ, UČENICA II RAZREDA PRVE BOŠNJAČKE GIMNAZIJE

Abu Abudllah Muhammed bin

Musa al-Havarizmi (cca. 780.cca. 840.) bio je perzijski učenjak koji se bavio matematikom, geografijom i astronomijom.

ocem algebre i što je po njemu algoritam dobio ime, zaslužan je i za prenošenje indijskih brojeva u Evropu (koji se po Arapima, koji su ih prenijeli, danas zovu arapskim), kao i za unapređenje jevrejskog kalendara.

Malo se zna o njegovom životu. Poznato je da je bio član bagdadske akademije nauka i da je pisao o matematici, astronomiji i geografiji. Rođen je u Horezmu, današnjoj Hivi (Uzbekistan).

Al-Havarizmi je uveo modernu numeričku notaciju. Također je uspio da objasni staru indijsku baštinu i starogrčke naučne rezultate iz oblasti matematike.

Mnogi ga smatraju ocem algebre. Osim toga, izraz algoritam, kojim se prvobitno opisivao način računanja decimalnih brojeva, a formulisao ga je Havarizmi, preuzet je iz latinske transkripcije njegovog imena.

Al-Havarizmijeva zasluga za razvoj čovječanstva je neprocjenjiva. Osim što se smatra

Havarizmijeva slava ponajviše potiče od njegovog eminentnog remek-djela „Algebra“, zbog kojeg ova matematička disciplina, koju je Havarizmi utemeljio, dobija upravo taj naziv u kasnijoj literaturi, a na Zapadu se koristi i danas. On također daje opći metod, takozvano Al-Havarizmijevo rješenje, za nalaženje dva korijena kvadratne jednačine.

Drugo Al-Havarizmijevo djelo po značaju je knjiga  aritmetike, to jeste „Knjiga računanja sa indijskim brojevima“. On u njoj opisuje indijsku notaciju, brojeve koje su Indijci koristili, a koje danas nazivamo arapskim, jer su ih Arapi donijeli u Evropu.

Vrijednost tih brojeva zavisi od njihovog položaja, uključujući i nulu kao broj. Prilikom prevođenja ovog djela na latinski jezik knjiga je dobila naslov „Algoritmi de numero indorum“ (Al-Havarizmi o indijskim brojevima). Riječ algoritam (algorithmus) se tako udomaćila i danas označava način računanja sa tim brojevima. Prijevod ovog djela u XII stoljeću na latinski jezik omogućio je vezu između velikih hinduističkih i arapskih matematičara i evropskih naučnika. Nakon što je predstavio prirodne brojeve, uvodi glavno pitanje – rješenje jednačina. Njegove jednačine su ili linearne ili kvadratne

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

i sastavljene su od jedinica, korijena i kvadrata. Za njega je, naprimjer, jedna jedinica bila jedan broj, jedan korijen je bila nepoznata i kvadrat nepoznata na kvadrat. Iako ćemo u daljim primjerima koristiti današnju algebarsku notaciju brojeva, kako bi čitalac mogao bolje da razumije, trebalo bi istaći da AlHavarizmi nije koristio nikakve simbole, već samo riječi. Prvo postavlja jednačinu u neki od sljedećih oblika:

Zatim rješava jednačinu i dolazi do konačnog rješenja. Također ispituje aritmetičke zakone i kako se oni pojavljuju i koriste među algebarskim objektima,

naprimjer kako pomnožiti izraze kao (а + bx)(c + dx), te ih razređuje i daje primjere. U nastavku opisuje pravila za nalaženje površine geometrijskih figura kao što je krug i zapremine tijela kao što su sfera i piramida. Među kasnijim matematičarima na koje je uticao Al-Havarizmi bili su Omer Hajjam, Leonardo Fibonači iz Pize i Jakob iz Firence. Al-Havarizmi je svoje nadaleko poznate astronomske tablice (zij) zasnovao na Al-Fazarijevom djelu i objedinio indijski i grčki astronomski sistem te u isto vrijeme dao svoj doprinos. Te tablice je poslije dva stoljeća revidirao španski astronom i one su postale osnov za druga djela na Istoku i Zapadu.

Al-Havarizmi je na zahtjev halife Mamnuna priredio veliki atlas

svijeta. Priredio je i dragocjenu zbirku pod naslovom „Surat al-ard“ , što u prijevodu znači „Slika zemlje“, koja predstavlja ispravljenu i kompletnu verziju Ptolomejeve geografije, koja se sastoji od 2.402 kordinate gradova i drugih geografskih pojmova.

Velika crvena pjega na Jupiteru

PRIPREMILA: DŽENISA GUSINAC, UČENICA II RAZREDA PRVE BOŠNJAČKE GIMNAZIJE

Jupiter je danas poznat kao najveća planeta u Sunčevom sistemu, a također je i stanište najveće oluje, čije su brzine vjetra veće nego naši najrazorniji uragani. Takva oluja nosi naziv Velika crvena pjega (Crvena mrlja). Velika crvena pjega je područje visokog pritiska, tj. anticiklonski sistem u atmosferi Jupitera. Smještena je 22 stepena južno od Jupiterovog ekvatora i u njoj se proizvode vjetrovi brzine do 432 km/h.

na satu, sa periodom od šest zemaljskih dana. Široka je 16.350 km od 3. aprila 2017., što je čini 1,3 puta većom od prečnika Zemlje.

Ovaj fenomen prvi put je opažen u 17. stoljeću. Naučnici kao što su Robert Hook i Giovanni Cassini su u svojim spisima i djelima, opisivali ovaj fenomen kao “stalno mjesto”, a slikar Donato Kretije je, pod nadzorom astronoma Eustachia Manfredija, oslikao vizualni prikaz pjege u njenoj autentičnoj crvenoj boji.

Istraživanje i nadgledanje Velike crvene pjege nije lahko za astronome. Planeta Jupiter se sastoji uglavnom od gasova vodika i helija. Zbog toga nema čvrstog tla koji bi usporio i oslabio oluje. Također imamo i Jupiterove oblake koji ometaju opažanja njegove donje atmosfere. Zbog ovog problema, kroz orbitalne sonde1 i teleskope, često vidimo oblake rasute visoko u atmosferi.

Smjer kretanja pjege je suprotan kretanju kazaljke

1 Svemirska sonda - svemirski letjelica koja istražuje dalje u svemir i može da kruži oko drugih planeta.

Dosada nam nije poznato šta uzrokuje crvenkastu boju pjege. Pretpostavlja se da je uzrokovano hemijskim proizvodima nastalim sunčevim ultraljubičastim zračenjem amonij hidrosulfida i organskog jedinjenja acetilena koji proizvodi crvenkasti materijal.

Iako dovoljno velika da proguta našu Zemlju, Velika crvena pjega je u trendu smanjivanja svoje površine. Uviđa se da se njena dužina smanjuje u posljednih 150 godina. Od 1879. godine do danas dužina joj je opala sa 40.000 km na 16.000 km. Istraživanja još uvijek nisu utvrdila uzroke smanjenja, a ni kako je ta pjega uopće nastala.

Ne zna se mnogo o ovoj oluji, niti o Jupiteru kao planeti Sunčevog sistema. Razmatranje više mogućih slučajeva u njemu nam omogućuje da to znanje primijenimo na egzoplanete2. Naučnici tvrde da bi više znanja o Jupiteru i njegovoj Velikoj crvenoj pjegi moglo pomoći da bolje razumiju Zemljin vremenski sistem i da bi pomoglo u istraživanju svijeta van našeg Sunčevog sistema.

2 Egzoplanete ili ekstrasolarne planete - planete izvan Sunčevog sistema.

Smjer kretanje vjetrova pjege

Fraktali

PRIPREMILA: MEDINA PORIĆ, UČENICA III RAZREDA PRVE BOŠNJAČKE GIMNAZIJE

Od pamtivijeka majka priroda je pokazivala svoje blagodati i kompleksne ljepote čovjeku. U njoj tražimo rješenja jer je ona sama po sebi u savršenom balansu koji ljudski um ne može postići. Kažu da čovjek uči dok je živ. Da, to je zaista tako. Koliko god da je nauka i tehnologija napredovala, neke stvari još uvijek ne možemo shvatiti, kao naprimjer pitanje problema kvantne fizike ili svemira. U ovom članku govorit ću o novom pristupu u razmišljanju i poimanju stvarnosti i prirode. Vjerovatno vam je nekada bilo dosadno na času, pa ste, kako biste se zabavili, počeli švrljati stranicu ispunjavajući njen prazan prostor. Možda ste odabrali jednu vrstu krivulje i tako ispunjavali stranicu, ili pak jedan određen oblik pa tako gradili veće oblike koji podsjećaju na manji. Vjerovali ili ne, crtali ste fraktale!

Definicija: Fraktal je “grubi ili fragmentirani geometrijski oblik koji se može podijeliti na dijelove, od kojih je svaki (barem približno) kopija cjeline u smanjenoj veličini”, svojstvo koje se naziva samosličnost.

Ovakvu samosličnost nalazimo svugdje u prirodi. Uzmimo za primjer brokulu (slika 1). Ukoliko otkinemo jednu granu brokule, opet ćemo vidjeti onaj prvobitni uvećani oblik.

u ljudski grudni koš), hromatin, cirkulatorni sistem... Ali kako su pronašli svoj put prema nauci, posebno prema matematici?

Historija

Slika 1: Brokula

Fraktali su još i drveće, pahuljice, riječni sistemi, munje, morske školjke, galaksije pa čak i dijelovi čovjeka kao što su pluća (zato pluća mogu da stanu

Prema Pikoveru, matematika iza fraktala počela je da se oblikuje u 17. vijeku kada je matematičar i filozof Gottfried Leibniz razmišljao o rekurzivnoj samosličnosti (iako je pogriješio misleći da je samo prava linija sama sebi slična u tom smislu). U svojim spisima Leibniz je koristio izraz “razlomački eksponenti”, ali se žalio da geometrija još nije znala za njih. Zaista, prema različitim historijskim izvještajima, nakon tog trenutka nekoliko matematičara se pozabavilo pitanjima, a rad onih koji jesu ostao je zamagljen uglavnom zbog otpora takvim nepoznatim konceptima koji se pojavljuju, koji su ponekad nazivani „matematičkim čudovištima“. Dakle, tek kada su prošla dva vijeka, Karl Weierstrass je 18. jula 1872. predstavio prvu definiciju funkcije s grafom koji bi se danas smatrao fraktalom, koji ima neintuitivno svojstvo da je svuda kontinuiran. Uz to, razlika količnika postaje proizvoljno velika kako se indeks sumiranja povećava. Nedugo nakon toga, 1883. godine, Georg Cantor, koji je pohađao predavanja Weierstrassa, objavio je primjere podskupova realne linije poznatih kao Cantor skupovi, koji su imali neobična svojstva i sada se prepoznaju kao fraktali. Također, u poslednjem djelu tog vijeka, Felix Klein i Henri Poincaré uveli su kategoriju fraktala koja se naziva “samoobrnutim” fraktalima. Jedna od sljedećih prekretnica dogodila se 1904. godine, kada je Helge von Koch, proširujući Poincaréove ideje i nezadovoljan Weierstrassovom apstraktnom i analitičkom definicijom, dao geometrijsku definiciju uključujući ručno nacrtane slike slične funkcije, koja se sada naziva Kochova pahulja. Još jedna prekretnica dogodila se deceniju kasnije, 1915. godine, kada je Wacław Sierpiński konstruisao svoj čuveni trougao,

a zatim, godinu dana kasnije, svoj tepih. Do 1918. godine dva francuska matematičara, Pierre Fatou i Gaston Julia, iako su radili neovisno, u suštini su istovremeno došli do rezultata koji opisuju ono što se danas vidi kao fraktalno ponašanje povezano s preslikavanjem kompleksnih brojeva i iterativnih funkcija i koje je dovelo do daljnjih ideja o atraktorima i repelerima (tj. tačke koje privlače ili odbijaju druge tačke), koje su postale veoma važne u proučavanju fraktala.

Kochova pahulja

Započet ćemo crtežom jednakostraničnog trougla.

Zatim dodajmo još jedan jednokostranični trougao na sredini svake stranice. Ponovite isti proces, ali ovaj put sa 12 stranica. Ako ovo budete ponavljali ponovno i ponovno, oblik bi izgledao poput slike 2.

jednačinu grafika. Svaki put kada dodamo trougao, jedna stranica Kochove pahulje će preći u 4. Nakon prvog ponavljanja, dobit ćemo: 3×4^1=12

Nakon drugog ponavljanja, dobit ćemo: 3×4^2=48

Nakon n ponavljanja, dobit ćemo: 3×4^n

Ako ovo budemo radili beskonačan broj puta, dobit ćemo beskonačno mnogo stranica: 3×4^∞=∞

Obim Kochove pahulje će biti beskonačan. Međutim, površina pahulje ne bi bila beskonačna. Ukoliko nacrtamo kružnicu sa ograničenom površinom oko pahulje, ona će stati bez obzira koliko smo puta povećali broj stranica (slika 3).

slučaj takvog skupa. Generalno, Mandelbrotov skup označava skup tačaka u kompleksnoj ravni tako da je odgovarajući Julijev skup povezan i nije izračunljiv. Mandelbrotov skup je skup dobiven iz jednačine kvadratnog ponavljanja:

sa z0 = C, gdje su tačke C u kompleksnoj ravni za koje orbita z n ne teži beskonačnosti u skupu. Postavljanje z0 jednako bilo kojoj tački u skupu koja nije periodična tačka daje isti rezultat. Mandelbrotov skup je izvorno nazvao a μ molekulom od strane Mandelbrota. J. Hubbard i A. Douady je dokazao da je Mandelbrotov skup povezan.

Slika 2: Kochova pahulja

Ovaj oblik se naziva Kochova pahulja i ima posebnu osobinu. Bez obzira gdje pogledamo ili koliko uvećamo oblik, vidjet ćemo samoponavljajući obrazac. Beskonačni obrasci kao što je ovaj, koji na bilo kojoj udaljenosti i bilo kojem mjerilu izgledaju isto, nazivaju se fraktali. Kochovu pahulju možemo nacrtati na računarskom programu ponavljajući matematičku

Slika 3: Zaokružena Kochova pahulja

Zaključujemo da Kochova pahulja ima beskonačan obim, ali ograničenu površinu.

Mandelbrotov skup

Termin Mandelbrotov skup se odnosi i na opštu klasu fraktalnih skupova i na poseban

Slika 4: Mandelbrotov skup

Mandelbrot je bio jedan od prvih koji je koristio kompjutersku grafiku za kreiranje i prikaz fraktalnih geometrijskih slika, što je dovelo do njegovog otkrića Mandelbrotovog skupa 1979. To je bilo zato što je imao pristup IBM-ovim računarima. Bio je u stanju da pokaže kako se vizuelna složenost može stvoriti iz jednostavnih pravila. Rekao je da stvari koje se obično smatraju “grube”, “nered” ili “haotične”, poput oblaka ili obala, zapravo imaju “stepen reda”. Jednačina bila je poznata mnogo prije nego što je Benoit Mandelbrot koristio računar da je vizualizira. Slike

se kreiraju primjenom jednačine na svaki piksel u iterativnom procesu, koristeći poziciju piksela na slici za broj ‘c’. Broj ‘c’ se dobija mapiranjem položaja piksela na slici u odnosu na poziciju tačke na kompleksnoj ravni. Oblik Mandelbrotovog skupa predstavljen je crnom bojom na slici 4.

Naprimjer, ako je c = 1 onda je niz 0, 1, 2, 5, 26,…, koji ide u beskonačnost. Dakle, 1 nije element Mandelbrotovog skupa, pa stoga nije obojen crnom bojom. S druge strane, ako je c jednako kvadratnom korijenu od -1, također poznat kao i, tada je niz 0, i, (−1 + i), −i, (−1 + i), −i… koji ne ide u beskonačnost i tako pripada Mandelbrotovom skupu. Kada se grafički prikaže kako bi se prikazao cijeli skup, rezultirajuća slika je upečatljiva, lijepa i prilično prepoznatljiva. Postoje mnoge varijacije Mandelbrotovog skupa, kao što su Multibrot, Buddhabrot i Nebulabrot. Multibrot je generalizacija koja dozvoljava bilo koji eksponent: . Ovi skupovi se nazivaju Multibrot setovi. Multibrotov skup za d = 2 je Mandelbrotov skup.

Zanimljivosti

Krajem XX i početkom XXI stoljeća, ljudi su pomoću svoje kreativnosti kreirali aplikacije koje mogu slikovito ispisivati fraktale.

stalno pojednostavljuje i filtrira ono što gledate kako bi ga učinio razumljivijim. Ljudi koji su imali psihodelična iskustva ponekad kažu da se čini kao da su ti filteri uklonjeni i da sve informacije prođu odjednom. I to je neka vrsta senzornog preopterećenja. Pretpostavljamo da, kada ovako gledamo fraktale, razlog što imaju sličan učinak je to što su toliko komplikovani da naš mozak ne zna kako da ih pojednostavi. Tako filteri ne rade i sve informacije prolaze direktno. Stvara ogromno čulno iskustvo. Postoje neke zanimljive implikacije ovoga. Nedavno su postojale neke preliminarne studije koje, izgleda, pokazuju da kontrolirane doze hemikalija poput psilocibina zapravo mogu imati vrlo mjerljiv pozitivan učinak na neke pacijente koji pate od PTSP-a ili depresije. Ako ove fraktalne slike aktiviraju neke od istih područja mozga, moguće je da imaju neke od istih korisnih učinaka.

Slika 5: Digitalni fraktali

Zanimljivo je kako mozak čovjeka percipira te slike: Kada gledate nešto ili nekoga, ili lice, naprimjer, ne percipirate svjesno sve do posljednjeg detalja odjednom, svaku poru, svaku trepavicu. Vaš mozak

Ako su pluća, hromatin i cirkulatorni sistem fraktali, da li je onda i mozak fraktal? Jedan način da razmislimo o ovom pitanju jeste kroz objektiv umjetne inteligencije i mašinskog učenja, jer su to jedni od najboljih instrumenata koje imamo koji mogu simulirati ono što se dešava unutar našeg mozga. Neke od najuspješnijih od ovih dubokih neuronskih mreža rade tako što prerađuju informaciju ponovno i ponovno, periodično, šaljući originalnu informaciju kako bi se proces nastavio. I to možda zvuči poznato, zbog toga što je slično principu na koji Mandelbrotov skup funkcionira. I to nas dovodi do zaključka da nije bitno da li je mozak fraktal ili ne, jer nas dovodi do nečega mnogo snažnijeg: to je motor za generiranje fraktalnih nivoa složenosti. Može biti da mozak nije fraktal, ali um jeste. Možda zato ove fraktalne slike tako duboko odjekuju s nama. Kada gledamo u njih, na neki način, vidimo odraz samih nas. To nam govori da ove slike možda imaju jednu veliku praktičnu korist, a to je dodatni uvid u misterije ljudske percepcije i savjesti. Fraktali nas imaju mnogo čemu naučiti. Oni su konstantna inspiracija za nauku i matematiku. Oni nas podsjećaju da, kada gledamo u nešto strašno komplikovano, ključ za razumijevanje možda ispadne nešto iznenađujuće jednostavno.

REPLIKACIONI TRENINZI U PRVOJ BOŠNJAČKOJ GIMNAZIJI

Replikacioni treninzi Projekta Tabla održani su u januaru 2022. godine. Učesnici iz OŠ „Malta“ i Prve bošnjačke gimnazije su imali priliku da učestvuju na plenarnim predavanjima uz mnogo radionica sa predavačima mentorima Adnanom Glamočićem i Belmom Alihodžić.

TABLA projekat koristi inovativan pristup u svrhu povećanja efikasnosti obrazovnih sistema u BiH, a kako bi doveo do unapređenja ishoda učenja kod učenika i nastavnike osnažio u primjeni elemenata „Obrazovanja za 21. vijek“, kao što su STEAM (nauka, tehnologija, inženjerstvo, umjetnost i matematika) i 4Cs/4K (kritičko razmišljanje, kreativnost, komunikacija i kolaboracija-saradnja) u odgojno-obrazovni proces.

Naučno-istraživački matematički klub Prve

bošnjačke gimnazije Sarajevo

matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

STE(A)M ČASOVI U PRVOJ BOŠNJAČKOJ GIMNAZIJI

Nakon održanih replikacionih treninga, profesori Prve bošnjačke gimnazije održali su STEAM časove: Emina Tucaković („Sofokle: Car Edip“), Azamela Nezović („Proučavanje složenih kretanja“), Nina Šeremet-Pepa („Sevdalinka“), Nezira Lopo („Način kuhanja u arapskom svijetu“), Sead Srna („Osobine i značaj vode“) i Armina Nukić (“Očuvanje okoliša”).

PrirodnenaukeTehnologija

humanističkopodručjeMatematika

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Proučavanje složenih kretanja (Kosi hitac)

Sofokle „ Car Edip“ (obrada lektire)

“Matematički filmski festival 2021”

PRIPREMILA: LEJLA HUJDUR, PROFESORICA MATEMATIKE U SREDNJOJ EKONOMSKOJ ŠKOLI, SARAJEVO

Poznati je stereotip da je matematika dosadan i suhoparan predmet, zanimljiva samo onim sretnicima kojima “dobro ide” i koji su za nju talentovani. Mnogi učenici je smatraju “nužnim zlom” i ne vide vezu između matematike koju uče u školi i svakodnevnog života.

Kako bi pokazali da je matematika itekako povezana sa životom, te da se, uz pomoć nje, može “proviriti” i u svijet književnosti i filma, nastavnici matematike iz Hrvatske, Sjeverne Makedonije, Turske i Bosne i Hercegovine su u školskoj 2020/2021. godini realizovali nesvakidašnji eTwinning projekat pod nazivom “Matematički filmski festival 2021”.

U projektu je učestvovalo 20 nastavnika i preko 160 učenika iz 15 osnovnih i srednjih škola. Tokom trajanja projekta učenici su najprije pročitali knjigu M. Tahan “Čovjek koji je brojao”, a potom su kroz nekoliko online radionica učili kako se književno djelo prilagođava filmskoj izvedbi, te kako se prave animirani i igrani filmovi.

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Pravili su logo i poster projekta…

… te učestvovali u online debati: “Šta je važnije u filmu: glumci ili scenarij?”

Nakon svih ovih aktivnosti učenici su odabrali po jednu priču iz knjige “Čovjek koji je brojao”, te pristupili njenoj ekranizaciji. Sami su pisali scenarij, osmišljavali kostime i scenografiju, te glumili ili pravili animirani film. Svaka škola je napravila bar po jedan film, a neke i više. Svi radovi su postavljeni na web stranicu projekta https://sites.google.com/view/etwinningproject-mafif2021/po%C4%8Detna-stranica .

U maju 2021. godine je upriličena manifestacija “Matematički filmski festival” u školi Richmond Park International Secondary School u Sarajevu.

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Na manifestaciji je prikazan po jedan, onaj najbolji, film iz svake od škola učesnica projekta. Potom je žiri, u sastavu: Almir Alić – književnik i Almir Zametica – novinar, proglasio pobjedničke filmove, i to:

- u konkurenciji osnovnih škola, youtube kanal

https://www.youtube.com/ playlist?list=PLznyKRciS_gxC_ OzVEudm5XBvDw_I4H7w :

1. mjesto: “Osam hljebova” Richmond Park International Primary School Tuzla

2. mjesto:  “Nasljedstvo” OŠ “Pofalići” i “Plan igre” OŠ “Kočo Racin” Ohrid

3. mjesto: «Tovarne životinje” OŠ “Zmijavci” Imotski

- u konkurenciji srednjih škola, youtube kanal

https://www.youtube.com/playlist?list=PLznyKRciS_gzlc-lQIQRz96dAe_rki59q:

1. mjesto: «Pisanje po zidu” Druga gimnazija Sarajevo

2. mjesto: «Geometrija prijateljstva” SŠ “Uskoplje” Gornji Vakuf

3. mjesto: «The Woman Who Counted» Richmond Park International Secondary School Sarajevo

Ovaj eTwinning projekat je nagrađen Evropskom oznakom kvaliteta, a stav svih učesnika je da su svi pobjednici jer su vrlo uspješno razbili predrasude o matematici i pokazali da su u stanju spojiti nespojivo - povezati matematiku sa književnošću i sa umjetnošću.

Gdje se sve koristi trigonometrija?

PRIPREMIO: TARIK AGIĆ, UČENIK II RAZREDA PRVE BOŠNJAČKE

GIMNAZIJE

Trigonometrija (grč. trigonos = trougao, metron= mjera) je grana matematike koja se bavi odnosom uglova i stranica u trouglu. Iako nam na prvi pogled djeluje kao da trigonometriju nikada nećemo koristiti izvan okvira učionice, ona ima brojne primjene u svakodnevnom životu. Ovo su samo neke od njih.

Muzika

Trigonometrija igra veliku ulogu u teoriji i produkciji muzike. Zvučni talasi putuju u ponavljajućim uzorcima koji se grafički mogu predstaviti uz pomoć sinusne i kosinusne funkcije.

veće ako lopta ima putanju poput luka nego kada putuje po pravoj liniji. Idealni ugao za šutanje je oko 45o, mada zavisi od mnogih faktora. Slično i u fudbalu, da bi se uputilo efikasno dodavanje, igrač mora udariti loptu pod određenim uglom, tačno određenim dijelom stopala. Također, trigonometrija je bitna za pozicioniranje. Igrač mora instiktivno izračunati gdje će lopta doći i koji je najbrži način da on dođe do nje.

Naravno, kompjuter ne može interpretirati muziku na način na koji mi to radimo, već je sebi predstavlja matematički. Grafički prikaz talasa pomaže audio inženjerima da na slikovit način sebi prikažu zvuk i tako podese jačinu, visinu, boju tona. Trigonometrija je bitna i pri postavljanju zvučnika, budući da ugao pod kojim zvučni talasi dolaze u uho ima uticaj na kvalitet zvuka.

Sport

Naš mozak polusvjesno vrši izvjesne trigonometrijske proračune i dok igramo različite sportove. Recimo, u košarci, šanse za pogodak su

Vojna industrija

Trigonometrija je veoma bitna u artiljeriji. Kretanje projektila je definisano preko trigonometrijskih funkcija, pa tako, da bismo pogodili željenu metu, moramo prvobitno analizirati kretanje projektila. Uz pomoć trigonometrije možemo izračunati željeni domet, a upravo odatle i znamo da ugao od 45o daje maksimalan domet. Također, trigonometrija se koristi i pri bombardiranju iz zraka. Trigonometrija nam može pomoći da izračunamo trajektoriju projektila, da procjenimo

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke

gimnazije Sarajevo

odakle je određeni predmet pao, iz kojeg pravca je ispaljen metak i slično.

Videoigrice

Videoigrice bi bile nezamislive bez trigonometrije. Uglavnom se koristi da bi se napravili različiti likovi, objekti i scena, za njihovo kretanje i pozicioniranje. Često se ciklični procesi koji se dešavaju na ekranu mogu definisati uz pomoć trigonometrijskih funkcija. U 2D igricama potrebno je definisati x-osu i y-osu kako bi mogli naći poziciju i brzinu nekog objekta.

Najbolji primjeri su igrice Super Mario i Angry Birds. Kada Mario skače, on ne skače isključivo po y-osi, već ima neku zakrivljenu putanju. Angry Birds koristi formule za kosi hitac koje se mogu izvesti preko trigonometrije i uz pomoć njih možemo izračunati gdje će koja ptica sletjeti.

će konstruktor koristiti u konstrukciji. Naročito tokom renesanse, uz pomoć trigonometrije, arhitekti su računali širinu fasade, kao i brojne druge detalje.

Fizika

U fizici se trigonometrija najčešće koristi kako bi se izračunale komponente vektora, opisala mehanika talasa i oscilacija, sabirale jačine polja. Veliki broj formula u fizici je definisan pomoću vektorskog proizvoda dvaju veličina, npr. Lorentzova i Amperova sila, a vektorski proizvod je ujedno i razlog zašto koristimo famozno pravilo desne ruke.

Arhitektura

Trigonometrija pomaže arhitektima da izračunaju nagib krova, površinu tla, male uglove, konstrukcijska opterećenja, te širinu i visinu struktura kako bi dizajnirali matematički nacrt koje

Navigacija

GPS koristi 24 satelita u Zemljinoj orbiti, od kojih svaki emituje jedinstven šifriran signal do prijemnika na Zemlji. Da bi se odredila tačna lokacija, prijemnik mora primiti signal od četiri različita satelita istovremeno. Imaginarna linija od satelita do GPS uređaja, te linije između svakog od satelita, formiraju trouglove koje prijemnik koristi za trigonometrijske proračune. Dužinu imaginarne linije GPS uređaj računa množenjem vremena koje je potrebno da signal dođe i brzine radiosignala (koja je približna brzini svjetlosti).

Masterclass u Prvoj bošnjačkoj gimnaziji

Prvi masterclass po nazivu ALICE (prema detektoru iz CERN-a) u kojem su učenici saznali nešto više o egzotičnim česticama koje sadrže strange kvark, lovljenju tih čestica u detektorima i sl. održan je u petak 11. 03. 2022. godine. Masterclass je uključivao i predavanja koja su održali: Azra Gazibegović-Busuladžić (UNSA), Dr Yiota Foka (GSI & CERN), Arman Korajac (Institut Jozef Štefan, Ljubljana), Haris Đapo (Lab. TARLA, ANKARA), Ajla Lejlić (CERN), Dr Despina Hatzifotiadou (Universita e INFN, Bologna (IT)), real-time obradu podataka i zajednički kontakt sa CERN-om i drugom djecom iz svijeta koja taj dan prisustvuju masterclassu. Nakon kompletiranih tabela, otkrivenih raspada i analize dobivenih podataka, učenici su diskutovali i odgovarali na kviz pitanja zajedno sa svojim kolegama/icama iz ostatka BiH, te Grčke, Meksika i Indije, a potom se zaputili u virtuelni obilazak samog detektora ALICE.

Drugi masterclass, iz medicinske fizike - tj. radioterapije (PTMC), održan je 18. 3. 2022. godine. Učenici su ovaj put bili u prilici da stvore

predstavu o tome šta je to radioterapija, kako djeluje, kako se planira, te koja je razlika između hadronske terapije i klasične terapije fotonima Nakon nekoliko zanimljivih predavanja, koje su održali: Yiota Foka (GSI & CERN), mr. Edis Đedović (CC London, Parkside hospital), dr. Amra Skopljak Beganović (KCUS), Benjamin Dedić (UNSA), Melika Damadžić (KCUT), sami su pokušavali napraviti plan radioterapije i ispitivati dozu koju bi pacijent primio na taj način. Radili su to za konkretne slučajeve tumora prostate i tumora jetre, uz pomoć MatRad programa za koji su bili prethodno educirani. Nakon kompletiranih histagrama i dobivenih rezultata za različite vrste terapije, te različite uglove zračenja, naši učenici Amina Hajrić i Adin Frljak su pripremili i izlaganje pred više od 200 učesnika širom svijeta, na Zoom pozivu, i dobili pohvale od organizatora i poznatih svjetskih stručnjaka u polju medicinske fizike.

Sretni smo što su naši učenici i ove godine dobili priliku učestvovati na ovako značajnom naučnom i edukativnom događaju i zahvalni

smo organizatorima sa Prirodno-matematičkog fakulteta u Sarajevu na tome. Naši učenici se trude biti bolji i uspješniji u svojim naučnim postignućima uz znanje koje upijaju i dijele sa drugima kad god im se za to pruži prilika.

Pročitajte iskustva učenika Prve bošnjačke gimnazije na učešćima u masterclassu

Bakir Ganić, IVc

Kada sam se prijavio za svoj prvi masterclass, za mene je to bila jedna u nizu aktivnosti za koju sam se javio samo kako bih popunio vrijeme tokom pandemije. Detalje sam saznao tek kada su počeli stizati mailovi o uputama kako se pripremiti za neke od predavanja. Prve godine tema je bila “Particle therapy”, koja je bila odličan primjer kako izgleda proces koji vodi od nekog naučnog saznanja do njegove primjene u čovjekom životu, pogotovo zato što postoji neka predrasuda da se nauka izučava nauke radi. Nova revolucionarna tehnologija bi se mogla koristiti za liječenje raka, a

njena najveća prednost je ta što bi mogla izolovano pogađati kancerogene ćelije. Kolateralna šteta za ostala tkiva bi bila zanemariva.

Tako sam, iz udobnosti svog doma, prisustvovao predavanjima o toj temi, dok smo nešto kasnije svi imali priliku u simulatoru testirati liječenje hadronima koji nam je prikazivao i vizuelno i matematički rezultate naših eksperimenata. Tako sam u toku jednog dana od potpuno nepoznate teme došao do novih saznanja koja čovjeku daju poleta u njegovom traganju za znanjem - da može otkriti nešto što će barem jednom čovjeku učiniti život lakšim i ljepšim. Godinu dana kasnije prisustvovao sam novom masterclassu o temi “ALICE (A Large Ion Collider Experiment)”, na kojem smo učestvovali u detektiranju novonastalih čestica nakon sudara.

Masterclass predavanja su prilika za učenje o stvarima koje nisu u nastavnom planu i programu. Koncept predavanja je drugačiji od onih na koja smo navikli u školi. Oba predavanja na kojima sam prisustvovao su divna iskustva koja su mi dala uvid u neka nova znanja i teme. Pozvao bih sve one koji mogu iskoristiti ovu priliku da to učine jer se na jedan novi način mogu upoznati sa aktuelnim naučnim saznanjima čiju implementaciju ćemo tek vidjeti u budućnosti.

Ovogodišnji Particle Therapy Masterclass bio je drugi CERN-ov masterclass na kojem sam imala priliku učestvovati. Prošle godine sam prisustvovala ALICE Masterclassu. Teško mi je odlučiti koji mi je bio zanimljiviji. Oba su, naravno, usko vezana za fiziku čestica, koja je nesumnjivo najatraktivnija oblast fizike danas. Kroz prvi sam imala priliku naučiti više o akceleratorima čestica u CERN-u i procedurama analize podataka, ali i saznati mnogo toga novog o gorućim pitanjima vezanim za postanak svemira i fundamentalne zakonitosti prirode. Ova godina je

Esma Jakupović, IIIb

bila malo drugačija jer smo se na PTMC-u bavili direktnom primjenom fizike u medicini, te smo dobili uvid u različite čestične terapije zračenjem (fotonima, hadronima, ugljikovim jonima...) i njihove prednosti i nedostatke. Osim svega što sam naučila i znanja kojim sam se obogatila, ono što mi je ove radionice učinilo posebnim bili su druženje i lijepa atmosfera. Neprocjenjivo je iskustvo zajedno sa kolegama iz škole, ali i cijelog svijeta, dijeliti entuzijazam za fiziku – tim više jer doba u kojem živimo briše granice između naučnih disciplina i traži saradnju različitih struka kako bi se došlo do odgovora na najveća pitanja. Vrijednost kolektiva nikada nije bila važnija, a ovakve radionice su od velikog značaja za otvaranje vidika mladim generacijama budućih naučnika.

Koristeći program MatRad, kojem je bio posvećen dio predavanja, pokušali smo i sami djelovati na tumor te pronaći dozu zračenja najmanje štetnu za pacijenta. Praktični dio nam je pomogao u konačnom razumijevanju lekcije, a uz to je bio i zabavan. Pored teorijskih osnova zračenja, saznali smo o dalekosežnosti fizike koja svoju primjenu pronalazi i u medicini. Predavanje je tako ukazalo na nove mogućnosti rada i studiranja o kojima se inače ne govori mnogo. Prisustvom na masterclassu

Nejra Hajrić, IIIc

Na masterclassu iz medicinske fizike, održanom 18. 3. 2022. godine, naučili smo više o radioterapiji, njenom planiranju, nedostacima i napredovanju.

Naučno-istraživački matematički klub

Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

također smo se povezali sa mrežom učenika i profesora iz drugih evropskih zemalja te svjetskim stručnjacima iz medicinske fizike. Prilika da pratimo njihova izlaganja učinila je cjelokupno iskustvo vrlo posebnim.

Alija

Masterclass, kao svjetski važan naučni seminar, nosi neprocjenjivo iskustvo kada je u pitanju shvaćanje fizike čestica. Meni kao osobi koja će se u budućnosti baviti naukom koja je bliska spomenutoj oblasti fizike, masterclass je pomogao da sagledam fiziku čestica iz perspektive tehnike i utjecaja nauke na globalne tokove, što mi je do tada bilo nepoznato. Neizmjerno mi je drago što sam bio dio ovog projekta i cijeli život ću nositi sjećanje na isti.

Ovo nam je bio prvi susret sa ovim znanjem, novom tehnologijom i njenom primjenom u fizici i

medicini. Zanimljivo je bilo slušati naučnike iz drugih zemalja te gledati prezentacije rezultata

Delić, IV b

Iman Hadžić, Bekir Sadiković i Esma Džaka

ekspiremnata naših vršnjaka iz raznih krajeva svijeta. Uvrštavanje podataka i izračunavanje štetnosti radijacijske zrake na ljudski organ je bilo jedno zabavno i nezaboravno iskustvo i dalo nam je uvid u raznovrsnost zanimanja koje možemo steći uz fiziku. Također smo zaključili da nisu sve samo puste formule kao što osnovci misle.

matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Dekartov kvadrat: Najlakši način da donesete najteže odluke

Ideja koja stoji iza Dekartovog kvadrata jeste da možete da analizirate bilo koji problem ili situaciju iz različitih uglova, i to samo odgovarajući na četiri pitanja. Pogledajte kako to izgleda.

Dajte iskrene odgovore na sljedeća pitanja:

1. Šta će biti ako se to dogodi? (Štaćudobitiizsvega?)

3. Šta se neće desiti ako se dogodi? (Slabosti, mane, greške, šteta koja bi proizašla ako bismo nešto uradili.)

2. Šta će biti ako se to ne dogodi? (Da li će sve ostati isto? Koje su prednosti ako ne uradim nešto?)

4. Šta se neće desiti ako se to ne dogodi? (Greške i mane ukoliko nešto ne uradimo.) *

*Budite pažljivi kada odgovarate na ovo pitanje – mozak će pokušati da ignoriše duplu negaciju i vaš odgovor mogao bi da bude sličan kao i onaj prvi. Ne dozvolite da se to desi!

Zašto je ova metoda toliko efektivna?

Kada smo u situaciji koja

zahtijeva od nas da donesemo

tešku odluku, često zastanemo

na prvom pitanju – Šta će biti

ako se to dogodi? Dakle, Dekart nam je omogućio da uz pomoć

kvadrata jedan isti problem

sagledamo iz četiri različita

ugla, čime se omogućava da napravimo dobro izbalansiran i svjestan izbor.

IN MEMORIAM Doc. dr. FARUK ZEJNULAHI

1959 - 2022

U februaru 2022. godine preminuo je profesor, kolega, veliki zaljubljenik u matematiku, Faruk Zejnulahi. Dobar i pravedan nastavnik, reći će mnogi studenti Odsjeka za matematiku Prirodno- matematičkog fakulteta.

Dragi profesore, počivajte u miru! Ostat ćete u sjećanju mnogih generacija Prirodno-matematičkog fakulteta u Sarajevu.

Preporuke za čitanje

Logaritamska križaljka

Vodoravno

Vodoravno

1) Rješenje jednačine log ���� 9 = 1 2

3) Rješenje jednačine log √2 log 2 log 4 (���� 15) = 0

1) Rješenje jednačine log ���� 9 = 1 2

5) Rješenje jednačine 1 2 + 1 3 log(2���� + 4) = 7 6 uvećano za 324

3) Rješenje jednačine log √2 log 2 log 4 (����− 15) =0

7) Rješenje jednačine log 9 ���� + log ���� 2 3 = 1

5) Rješenje jednačine 1 2 + 1 3 log(2����+4) = 7 6 uvećano za 324

8) Rješenje jednačine 8 ∙ 2 ���� = 32

7) Rješenje jednačine log 9 ����+log ���� 2 3=1

9) Cijeli dio broja ���� = log 52.6 ∙ 100

8) Rješenje jednačine 8∙2 ���� = 32

9) Cijeli dio broja ����=log 52.6∙ 100

pomnožimo sa 1000.

11) Cijeli dio broja kojeg dobijemo kada rješenje jednačine 3���� + 8 ∙

11) Cijeli dio broja kojeg dobijemo kada rješenje jednačine

12) cijeli dio broja ln 9.445 ∙ 10000

3���� + 8 ∙ 3 ����−3 = 7 ∙ 5 ���� + 2 ∙ 5 ����+1 pomnožimo sa 1000.

12) cijeli dio broja ln 9.445 ∙ 10000

Uspravno

Uspravno

1) Rješenje jednačine ���������������� 1−������������2 = 2 dodaj broj 807

1) Rješenje jednačine ���������������� 1 ������������2 = 2 dodaj broj 807

2) Rješenje jednačine log(����+7) −log(����−5) =log2

3) Rješenje jednačine log 9 ����+log ���� 2 3=1

2) Rješenje jednačine log(���� + 7) log(���� 5) = log 2

4) Cijeli dio broja ln 3.775 ∙10000

3) Rješenje jednačine log 9 ���� + log ���� 2 3 = 1

4) Cijeli dio broja ln 3.775 ∙ 10000

6) Rješenje jednačine 7−���� = 60 pomnoženo sa (-1000)

6) Rješenje jednačine 7 ���� = 60 pomnoženo sa (-1000)

10) Rješenje jednačine √2 ���� 3 ∙ √3���� 3 = 1296 pomnoži sa 60 i proizvod

uvećaj za 15

11) 5∙ [������������š���������������� ��������������������č������������ log����=log2+log5] +2

10) Rješenje jednačine √2 ���� 3 ∙ √3���� 3 = 1296 pomnoži sa 60 i proizvod uvećaj za 15

12) Rješenje jednačine 52����−1 + 5 ����+1 = 250

11) 5∙ [������������š���������������� ��������������������č������������ log ���� = log 2 + log 5] + 2

12) Rješenje jednačine 52���� 1 + 5 ����+1 = 250

Tablicu za sudoku precrtaj u svesku. Na odgovarajuća mjesta u tablici upišite odgovore na pitanja od a) do n). zatim prazna polja popunite tako da u svakoj vrsti i u svakoj koloni te u svakom pravougaonika 3x2 budu upisani svi brojvi od 1 do 6.

matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

UČI IZ ZADOVOLJSTVA, A NE ZATO ŠTO MORAŠ zato što:

učenje daje znanje koje donosi moć,

učenje daje znanje koje ti niko ne može oduzeti,

učenje čini da postaneš bolja osoba,

učeći rasteš i

učenje čini da znaš više o

životu i svijetu.