Issuu

Broj 10, juni 2020. godine

P RVA B O Š N J A Č K A G I M N A Z I J A S A R A J E V O C A M B R I D G E I N T E R NAT I O NA L S C H O O L

godina

N A U Č N O - I S T R A Ž I V A Č K I M A T E M A T I Č K I K L U B P R V E B O Š N J A Č K E G I M N A Z I J E

U OVOM BROJU: v

- Uspjesna karijera alumniste adnana mehonica - matopol v i v - takmicenje u izradi balansirajucih igracaka - etwining rubrika

Prva bošnjačka gimnazija je registrirana Cambridge međunarodna škola. Prva bošnjačka gimnazija je dobitnica Šestoaprilske nagrade Grada Sarajeva.

Naša putovanja 2016.-2020. godina Limes

Upoznavanje svijeta, različitih kultura i ljudi, od krucijalnog je značaja za razvoj vlastitog mišljenja i stava. Stoga se trudimo putovati što više i na taj način razviti naše kritičko, ali i apstraktno mišljenje, neophodno u primjeni matematike.

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Limes

Sadržaj Uvodnik Uspješna karijera alumniste PBG, Adnana Mehonića Matematika savršene fotografije Osnove kriptografije Bosna i Hercegovina dobila zvijezdu i planetu u sazviježđu vodolije Primjena fizike u medicini Matopol – matematika na drugačiji način Takmičenje u izradi balansirajućih igračaka eBee - aplikacija za urbano pčelarstvo učenika Prve bošnjačke gimnazije Zavirili smo u maturske radove naših učenika... Funkcije i primjeri grafika proizvoljnih funkcija Zadaci i rješenja za Kantonalnog takmičenja učenika IX razreda Promjene u obrazovanju... INTERVJU sa Nadom Sokolović i Lejlom Hujdur eTwining rubrika Prve bošnjačke gimnazije Geometrija životinjskog krzna O Udruženju matematičara KS O broju 2020 UKRŠTENICA

4 6 8 9 11 13 15 16 17 20 22 24 28 29 32 33 34 37 38

godina

Redakcijski odbor Glavna i odgovorna urednica: mr.sc. Belma Alihodžić, prof. Lektorica: Emina Tucaković, prof. Tehnička savjetnica: Merisa Skalonjić, MA elektrotehnike Izdavač: Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo Članovi redakcije: Merjem Bećirović, Medina Dobrača, Zakira Jašarević, Anisa Ratković, Selma Fočo, Nejra Gurbeta, Ilma Gusinac, Irma Salkić, Anida Tinjak, Lamija Gutić, Burhan Ljubović, Harun Alibašić, Bakir Ibišević, Faruk Ibišević, Nejra Habibović, Amila Neretljaković, Emina Belko, Esma Zalihić, Azra Žunić, Furkan Nurović, Lejla Kahriman, Nerma Fazlibašić. Štampa: Blicdruk, Sarajevo Tiraž: 100 komada Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Limes

Riječ direktorice

NA I DA H O TA- M U M I N O V I Ć , direktorica Prve bošnjačke gimnazije Dragi čitatelji, pred vama je deseti broj časopisa „Limes“. Jubileji su lijepi, jer one koji idu stazom dovedu do markacije. Na njoj se revidiraju planovi. Odredi se novi tempo kojim se ide. Sagleda se uspon i detaljno prouči mapa kretanja. Matamatički časopis „Limes“, obilježavajući svoj jubilej u godini u kojoj i Prva bošnjačka gimnazija obilježava jubilej od četvrt stoljeća, može se smatrati vrijednim planinarom koji ide sigurnom stazom. Čak i promijenjene okolnosti - pandemija uzrokovana novim virusom korona, kao i činjenica da je profesorica Belma Alihodžić ovu godinu provela angažirana na izradi novih nastavnih planova i programa pri Ministarstvu za obrazovanje, nauku i mlade Kantona Sarajevo - nisu obeshrabrili našeg planinara u namjeri da osvoji novi vrh. Naprotiv, mladi matematičari, okupljeni na zadatku izrade prvog matematičkog časopisa u Federaciji Bosne i Hercegovine, uz mentorstvo profesorice Alihodžić, donose nam svjež, nov i kvalitatan broj. Radujem se novim vrhovima do kojih će nas dovesti urednički kolegij časopisa „Limes“. Neka dugo traje ovo čudesno putovanje! Naida Hota-Muminović, direktorica

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Limes

Riječ urednice

BELMA ALIHODŽIĆ, urednica Dragi čitaoci, ljubitelji prirodnih nauka! Prve stranice jubilarnog, desetog broja časopisa ¨Limes¨ posvetili našem alumnisti Adnanu Mehoniću.

Vezu između matematike i kriptografije, matematike i savršene fotografije kao i fizike i medicine potrudile su se da nam pojasne maturantice: Ilma Gusinac, Nerma Fazlibašić, Nejra Gurbeta, Iman Mahmutović i Amila Begić. Bosna i Hercegovina je dobila zvijezdu i planetu u sazviježđu Vodolije, o čemu nas obavještava Anida Tinjak, također maturantica naše škole. Svake godine se potrudimo organizirati radionicu u našoj školi. Ovaj put smo zaigrali Matopol uz upotrebu microbita, a na principu monopola društvene igre koju većina nas rado igra. Profesorica fizike Aida Agić je organizirala takmičenje u izradi balansirajućih igračaka, te vrijedi obratiti pažnju na to šta sve naši učenici mogu osmisliti i realizirati, a mislimo i na eBee aplikaciju za urbano pčelarstvo. Kao škola smo dobili nagradu za evropsku oznaku kvaliteta na eTwining projektu ¨Famous female mathematicians 2¨. Prigodnim tekstom čestitali smo profesoricama Nadi Sokolović i Lejli Hujdur na nagradi za najboljeg nastavnika Kantona Sarajevo, a zahvaljujemo se učenicama Azri Žunić i Lejli Kahriman na obavljenim intervjuima.

U ovom broju pročitajte i o funkcijama i njihovim graficima, zadacima sa takmičenja, udruženju matematičara KS, a svakako odvojite vrijeme i za zanimljivosti o broju 2020. Ukrštenicu, koja je samostalni rad maturanata Bakira Ibiševića i Selme Fočo, nemojte zaobići. Naša škola, Prva bošnjačka gimnazija obilježava 25 godina postojanja i jako smo ponosni na to.

Urednica sa redakcijom ¨Limesa¨

Naslovnica prvog broja “Limesa” iz 2009. godine

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Limes

Uspješna karijera alumniste Prve bošnjačke gimnazije, Adnana Mehonića Dr. Adnan Mehonić je profesor na Fakultetu za elektroniku i elektroinženjering na University College London – UCL i naučni član Kraljevske akademije za tehničke nauke Velike Britanije. Završio je Prvu bošnjačku gimnaziju u Sarajevu sa priznanjem Učenik generacije i Bachelor studij na Elektrotehničkom fakultetu u Sarajevu 2006.

Kao najbolji student dobitnik je nagrade “Zlatna značka”. Magistrirao je na UCL u oblasti nanotehnologije i dobitnik je “Oxford Instruments Award” za najbolji magistarski rad u 2009. godini. Titulu doktora nauka elektronike i elektrotehnike na UCL dobio je 2013, a njegov je doktorski rad ocijenjen kao jedan od tri najbolja te godine. Od 2017. je naučni

član Kraljevske akademije za tehničke nauke Velike Britanije, a na profesorsku poziciju Fakulteta za elektroniku i elektroinženjering na UCL-u je izabran 2019. godine. Autor je preko 40 radova objavljenih u prestižnim naučnim časopisima i preko 60 konferencijskih radova i izlaganja. Kao inovator potpisuje

Adnan Mehonić sa ceremonije dodjele nagrade za najinovativnijeg akademika na UCL 2015.g.

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Limes

pet međunarodna patenta, te je suosnivač kompanije “Intrinsic Semiconductor Technology”. Odlikovan je priznanjem za najinovativnijeg akademika na UCL-u u 2015. godini. U osnovnoj školi je volio da rješava matematičke probleme i da čita o poznatim fizičarima i njihovim otkrićima i o mogućim scenarijima budućnosti. Za vrijeme srednjoškolskih dana je dobio serijal knjiga ¨Lectures on Physics¨ Richarda Feynmama, a nekoliko godina nakon toga su se počela ta predavanja pojavljivati i na internetu. Mišljenja je da treba zainteresirati cijelo akademsko/ naučno društvo, ne samo mlade. Kampovi, radionice, uključivanje u naučni rad i posjeta istraživačkim centrima je za Adnana dobar način da se nauka približi mladim ljudima. Dugoročna vizija je njegov akademski poziv i bavljenje naukom, te savjetuje mladim ljudima da budu vrijedni i hrabri i da iskoriste mnogobrojne prilike i raznovrsne opcije za put ka uspjehu. Sve vrijeme provedeno u Velikoj Britaniji nastojao je doprinijeti razvoju akademskog društva u BiH, pa je suosnivač i član Upravnog odbora Asocijacije za napredak nauke i tehnologije (ANNT). Jedna od aktivnosti te Asocijacije je i drugi STEM Youth Camp za srednjoškolce iz BiH sa afinitetima prema prirodnim naukama i tehnologiji.

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Limes

Matematika savršene fotografije

N E J R A G U R B E T A , maturantica Prve bošnjačke gimnazije Pri tome nam pomažu linije rešetke (engl. grid lines) koje dijele fotografiju na devet Poznavanje matematike čini jednakih dijelova. Objekat koji neizostavan tehnički aspekt želimo istaknuti na fotografiji fotografskog procesa. S ciljem bitno je smjestiti na sjecište dobivanja savršenog fotografskog horizontalnih i vertikalnih linija snimka bitno je brzo baratati čime se postiže simetričnost kompliciranim vrijednostima kompozicije. Odnosi trećina na kao što su otvor blende ili f-broj fotografiji bazirani su na zlatnom (engl. Aperture), brzina zatvarača rezu, pravilu simetričnosti u (engl. Shutter Speed), ekspozicija umjetnosti koje je zasnovano na i fotoosjetljivost (ISO - Fibonaccijevoj spirali. Kada su osjetljivost). Svaka od ovih stavki objekti na fotografiji smješteni bitno utiče na fotografski snimak. prema pravilu trećina odnosno Otvor blende i brzina zatvarača zlatnom rezu, kompozicija dva su primarna sredstva za fotografije je vizualno i umjetnički upravljanje ekspozicijom: pravilno oblikovana. za zadanu brzinu zatvarača, zatamnjeno osvjetljenje zahtijeva Fokusna tačka veći otvor blende, koji dopušta Na svakoj fotografiji izdvaja se prolaz veće količine svjetlosti jedna tačka u koju je smješten na površinu senzora, a bolje objekat koji želimo istaknuti osvjetljenje zahtijeva manji otvor i koji je ujedno i glavni motiv blende za optimalnu ekspoziciju. fotografije. To mjesto se naziva Dakle, smanjenjem veličine fokusna tačka (engl. Focal otvora blende će se smanjiti i Point). Pomoću pravila trećina količina svjetlosti koja dolazi do pronalazimo fokusnu tačku svoje senzora. Standardni f-brojevi su fotografije koja se izdvaja po 1.4, 2, 2.8, 4, 5.6, 8, 11, 16, 22 i značajnoj poziciji u fotografskoj ponekad 32 (matematičarima kompoziciji – fokusu, odnosno je jasno da su to potencije zamućenju pozadine, veličini, kvadratnog korijena broja 2). naglašenim bojama i obliku.

Tehnički aspekt digitalne fotografije

Geometrija kao osnova kompozicije

Pravilo trećina Kako bismo postigli željenu kompoziciju bitno je znati koji objekat želimo istaknuti na fotografiji. 8

Prirodne linije vodilje kao što su putevi, zidovi, ograde, šine i slični linearni objekti često se koriste za postizanje kompozicije. Horizont Pri fotografisanju pejzaža važno je da je linija horizonta paralelna sa horizonatalnim linijama rešetke. Osim toga, poželjno je da se linija horizonta nalazi ispod ili iznad centralne linije, odnosno da se ne podudara sa sredinom fotografije.

Promjena perspektive Perspektiva je jedna od najvažnijih stavki svakog fotografskog snimka. Zanimljivu kompoziciju fotografije najčešće postižemo promjenom tačke gledišta i položaja fotografisanja.

Linije vodilje Pri fotografisanju linearnih objekata ističu se linije koje usmjeravaju pogled posmatrača Promijeniti perspektivu znači ka fokusnoj tački. Linije vodilje posmatrati isto, a vidjeti različito. daju fotografiji dubinu i stvaraju zanimljive uzorke za kojima ljudski mozak neprestano traga.

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Limes

Osnove kriptografije

I lma G usinac i N erma F azlibašić , maturantice Prve bošnjačke gimnazije

Kriptografija (kriptos - skriven i grafo - pisati) je nauka koja se bavi lingvističkim i matematičkim načinima zaštite informacija u komunikaciji. Kriptogram je vrsta slagalice koja se sastoji od kratkih komada šifrovanog teksta. Kriptoanaliza je obrnuti inžinjering kriptografije - pokušaj prepoznavanja slabosti različitih kriptografskih algoritama i njihovih implementacija. Kriptologija obuhvata kriptografiju i kriptoanalizu i promatra matematičke probleme koji su u njihovoj osnovi. Kriptografija se bavi lingvističkim i matematičkim načinima zaštite informacija u komunikaciji. Kako bi poruke ostale tajne, korištene su matematičke metode koje bi zbunile i obeshrabrile svakog neželjenog primatelja poruke. Najviše su utjecaja u klasičnoj kriptografiji imale matematičke metode supstitucije i transpozicije. Razvojem računara u 20. stoljeću stvara se mogućnost implementacije novih matematičkih metoda u kriptografiji. Kako bi sistemi bili sigurni, a kako bismo sebi olakšali život pri

Slika 1. Podjele kriptografije

računanju i stvaranju strukture algoritma, kriptografi se koriste modularnom aritmetikom u svim novijim sistemima.

metoda nesigurna za slanje poruka zbog malog broja kombinacija kojim se originalna poruka može dešifrirati.

Transpozicija Metoda šifriranja koja se naziva transpozicija koristi se anagramima koji se dobijaju premještanjem slova otvorenog teksta. U slučaju korištenja malog broja slova, ova je

Primjer 1. Otvoreni tekst: OVA Broj mogućih transpozicija: 6 (3 faktorijela1) Moguće transpozicije: OVA, VAO, AVO, OAV, AOV, VOA.

1 Matematička funkcija kojom se izračunava proizvod prirodnih brojeva od 1 do nekog određenog prirodnog broja n, označeno kao n!.

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Limes

Supstitucija Supstitucija se definira kao matematiÄ?ka metoda kojom svako slovo ili znak mijenja svoj identitet ali zadrĹžava svoje mjesto. Tehnika je jednostavno definirana nasumiÄ?nim povezivanjem slova abecede, nakon Ä?ega se znakovi sparuju (slova otvorenog teksta se zamjenjuju nasumiÄ?no odabranim parovima).

Slika 2. Cezarova ĹĄifra

Primjer 1. Ĺ ifrat je tada izraÄ?unat kao: đ?‘Ś1 , Otvoreni tekst: MATEMATIKA đ?‘Ś2 , đ?‘Ś3 .... đ?‘Ś9 = 15, 20, 4, 22, 3, 16, 5, 25, 12 = PUEWDQFZM Supstitucija: M â†’ G, A â†’ R, T â†’ N, E â†’ O, I â†’ P, K â†’ L Fibonaccijev brojni sistem Fibonaccijevi kodovi Ĺ ifrat: GRNOGRNPLR atraktivniji su u odnosu na ostale univerzalne kodove jer Cezarova ĹĄifra Ĺ ifra nastaje pomicanjem omoguÄ‡uju lako odreÄ‘ivanje abecede za 3 mjesta. Svakom polaznih podataka i jednostavnu, slovu otvorenog teksta odgovara zahvalnu manipulaciju. Zbog zanimljivog svojstva jedinstveno slovo abecede tog koje ga zamjenjuje, te zbog Fibonaccijevi kodovi Ä?esto toga ovaj tip ĹĄifre nazivamo i nalaze svoju primjenu u programiranju i analizi trĹžiĹĄta monoalfabetska ĹĄifra. kapitala. Neka je otvoreni tekst oznaÄ?en oznakom x, dok je ĹĄifrirani U binarnom sistemu svaki niz tekst y, a kljuÄ? oznakom k tada varijabli Â 0Â iÂ 1Â predstavlja neki moĹžemo zapisati: x,y,z âˆˆ đ?‘?26. broj. PogreĹĄka bilo koje vrste, poput nedostatka neke varijable, Iz toga moĹžemo zakljuÄ?iti: opet daje valjani prikaz nekog Enkripcija: đ?‘’đ?‘˜ (x)â‰Ą x + k mod 26 drugog broja, stoga lako moĹže proÄ‡i neopaĹženo. Fibonaccijev Dekripcija: đ?‘‘đ?‘˜ (y)â‰Ą y â€“ k mod 26 sistem pretvara brojeve u nizove varijabli nula i jedinica, u Primjer 2. kojem se nikada dvije jednice ne Otvoreni tekst = DISKRETNA mogu pojaviti zajedno u toku. Kada je god 0 koja prethodi 1, KljuÄ? k = 12 sluÄ?ajno zamijenjena s 1, takva DISKRETNA = đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , đ?‘Ľ3 .... đ?‘Ľ9 se pogreĹĄka lako uoÄ?ava. Ovo svojstvo Fibonaccijeva sistema = 3, 8, 18, 10, 17, 4, 19, 13, 0. 10

daje Fibonaccijevu kodu veliku prednost u odnosu na druge postojeÄ‡e kodove. OĹĄteÄ‡eni niz podataka ne postaje beskoristan, nego se tokom procesa dekodiranja gube najviĹĄe tri varijable. Ĺ ifre toka Ĺ ifre toka (engl. Stream Ciphers) ĹĄifriraju svaki bit zasebno. Za kljuÄ? ove ĹĄifre se koristi nizovni kljuÄ? koji je stvoren od niza bitova. Prikaz osnovnih funkcija u ĹĄifri toka: Enkripcija: đ?‘Śđ?‘– = đ?‘’ đ?‘Ľđ?‘– = đ?‘Ľđ?‘– + đ?‘ đ?‘– mod 2

Dekripcija: đ?‘Ľđ?‘– = đ?‘’ đ?‘Śđ?‘– = đ?‘Śđ?‘– + đ?‘ đ?‘– mod 2

Prvo ĹĄto moĹžemo zakljuÄ?iti iz funkcije enkripcije i dekripcije je da sabiramo u obje funkcije. U dosadaĹĄnjim primjerima kriptografije uvijek je postojala razlika, odnosno u dekripciji se koristio suprotni operator od enkripcije.

NauÄ?no-istraĹživaÄ?ki matematiÄ?ki klub Prve boĹĄnjaÄ?ke gimnazije Sarajevo

Limes

Bosna i Hercegovina dobila zvijezdu i planetu u sazviježđu vodolije

A nida T injak , maturantica Prve bošnjačke gimnazije

Zvijezda i planeta u sazviježđu Vodolije nazvane su po imenu Bosne iz 10. stoljeća, Bosona, te jednim od prvih naziva njene južne rijeke Neretve – Naron. Tokom posljednje dvije decenije otkriveno je na hiljade novih planeta i planetarnih sistema koji kruže oko drugih planeta. Međunarodna astronomska unija – IAU je povodom stote godišnjice svoga rada raspisala konkurs za imenovanje tih planeta, IAU100 NameExoWorlds. Učešće su prijavile 22 države, među kojima je bila i Bosna i Hercegovina. Na Globalnoj konferenciji u Parizu 17. decembra 2019. godine ozvaničena su pristigla imena. Upravni odbor je svakoj zemlji dodijelio sistem zvijezde i planete, pazeći na poveznicu s tom zemljom i vidljivost sa njene teritorije. Našoj domovini je dodijeljen sistem u sazviježđu Vodolije. Na konkursu je glasalo 2.026 osoba i kao najbolji je odabran prijedlog planeta Naron, zvijezda Bosona.

Bosona i Naron – imena koja su otišla u svemir

Bosona, koji označava regiju. U rukopisu bizantijskog cara Konstantina VII Porfirogeneta, O upravljanju carstvom, Bosna je opisana kao mala zemlja, Horion Bosona. Smatra se da je ovo ime nastalo od naziva rijeke iz njenog centralnog vodotoka. Rijeka njenog južnog dijela, Neretva, bila je poznata kao Naron, Narona, Narenta. Kelti su je nazvali Nera Etwa, što znači tekuće božanstvo.

Zvijezda Bosona od nas je udaljena oko 482 svjetlosne godine. Malo je hladnija od Ime Bosne kao teritorije sunca i spada u narandžaste je prvi put zabilježeno u divove. Planeta koja kruži oko 10. vijeku u grčkom obliku nje, Naron, plinoviti je div oko dva puta veći od Jupitera,

otkriven 2009. godine. BiH je imenovala zvijezdu HD206610 i njen prateći planet HD 206610b. Riječ je o narandžastoj divovskoj zvijezdi u sazviježđu Vodolije. A šta je sa susjedima? Hrvatska je imenovala žutu patuljastu zvijezdu i njenu prateću planetu koje se nalaze u sazviježđu Ris. Zvijezda je dobila ime Stribor, po bogu vjetra u slavenskoj mitologiji i liku iz knjige Priče iz davnine Ivane Brlić-Mažuranić, dok je prateća planeta nazvana Veles, po slavenskom bogu tla, voda i

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Limes

podzemnog svijeta.

ime Morava, po najdužoj rijeci u ovoj zemlji. Egzoplaneta je Srbiji je dodijeljen sistem nazvana Vlasina, po južnoj žute patuljaste zvijezde i njene pritoci rijeke Morave. prateće planete u sazviježđu Pegaz. Za zvijezdu je odabrano Za Sloveniju je odabrana

bijelo-žuta patuljasta zvijezda, opet sa svojom pratećom planetom. Dobile su imena po likovima iz romana Pod slobodnim suncem, autora Frana Saleškog – Irena i Iztok.

Mini mjesec kruži oko Zemlje

Umjetnički prikaz asteroida (mini mjeseca) uhvaćenog gravitacijom Zemlje Autor Juan Gartner

Astronomi Kacper Wierzchos i Teddy Pruyne koji rade u okviru Catalina Sky Survey opazili su mini mjesec koji kruži oko Zemlje. Radi se o projektu NASA-e za rano otkrivanje Zemlji bliskih asteroida koji mogu potencijalno da nas

ugroze. Dimenzije ovog objekta sa zvanično identifikacijskim nazivom 2020 CD3 (ili C26FED2) su 1,80 metara sa 3,30 metara. Astronomi smatraju da se najvjerovatnije radi o asteroidu koji je “zalutao” u orbitu oko Zemlje. Ovakva mala tijela ne

mogu ostati dugo u stabilnoj orbiti i najčešće sagorjevaju u atmosferi kao sjajni meteoribolidi. Takav slučaj je zabilježen 2016. godine u Australiji. Preuzeto sa web stranice astronomskog društva Orion https://adorion.ba/

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Limes

Primjena fizike u medicini

I man M ahmutović i A mila B egić , maturantice Prve bošnjačke gimnazije zračenje ili X-zrake, koje je 1895. unutrašnjih organa, kao i protok opisao Wilhelm Conrad Röntgen. krvi u krvnim žilama. Rendgenske zrake proizvode jako fiziološko djelovanje CT dijagnostika jer razaraju ćelije ljudskog organizma. Na tome se zasniva njihovo ljekovito djelovanje. Ako se na bolesno mjesto u tijelu uprave rendgenske zrake, one mogu izazvati raspadanje ćelija koje prouzrokuju bolest i dovesti do ozdravljenja. Međutim, prekomjerna upotreba tih zraka Ova oblast obuhvata tri ima štetan utjecaj na zdrave ćelije. područja: Računarska tomografija, skraćeno CT, kompjuterska je • dijagnostička radiologija rekonstrukcija tomografirane • nuklearna medicina ravnine tijela. To je slikovna radiološka metoda koja nudi • radijacijska onkologija slojeviti prikaz određenog dijela tijela, a za nastanak slike koristi se ionizirajuće-rendgensko Ultrazvuk Ultrazvučni pregled, sonografija zračenje. ili ehosonografija, koristi malu Nuklearna medicina ultrazvučnu sondu i gel kako bi tijelo pacijenta izložili Dijagnostička visokofrekventnim valovima radiologija zvuka. Ultrazvuk je sigurna i bezbolna dijagnostička metoda, Rendgen a stvara slike unutrašnjosti P o č e t a k tijela koristeći valove zvuka. medicinske Ultrazvučni pregled ne koristi radiologije se ionizirajuće zračenje. S obzirom veže za otkriće na to da se ultrazvučne slike Nuklearna medicina je relativno zračenja koje je stvaraju u realnom vremenu, mlada grana medicine koja danas poznato ultrazvukom je moguće se naglo razvila prvenstveno pod nazivom prikazati i strukturu i gibanje zahvaljujući brzom razvoju rendgensko informatike i elektronike. Često na časovima fizike obrađujemo teme koje su teško razumljive i nepristupačne, kao naprimjer fizika atoma ili astrofizika. Nerijetko nas zbunjuje njihova primjena u medicini. Apstrakcijama, vremenom, zaboravljajući na praktičnu stranu tih tema, nastala je potreba za osnivanjem nove grane fizike koja se naziva medicinska fizika.

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Limes Koristi funkcionalne pretrage (scintigrafije) u svrhu procjene funkcionalne rezerve određenog organa, odnosno da li je određeni organ oštećen i koliko. Za razliku od puno češće korištenih dijagnostičkih pretraga kao što su ultrazvuk, RTG, CT, MR i drugih, koje otkrivaju izgled određenih organa, scintigrafije daju odgovor na pitanje kako određeni organ radi, odnosno kakva je njegova funkcija. Sama tehnologija scintigrafija zasniva se na praćenju sudbine određenih hemijskih tvari u ljudskom organizmu pomoću radionuklida (elemenata koji emitiraju gama zrake).

tkiva. Najčešće se primjenjuje u liječenju oboljelih od zloćudnih tumora. Zračenje na taj način može umanjiti ili kompletno uništiti tumorski čvor, odnosno umanjiti neugodne pojave prouzrokovane pritiskom tumora na okolinu. Mnoge vrste raka mogu biti posve izliječene samo radioterapijom, kao što su početni tumori glasnica, lokalizirana Hodgkinova bolest,

tj. limfomi, i neki drugi.Kod drugih se radioterapijom može postići smanjenje tumora i istovremeno redukcija opsežnosti planiranog operativnog zahvata. Zračenje se može primijeniti na gotovo svakom dijelu ljudskoga tijela, može se upotrebljavati prije, za vrijeme ili nakon operacije, ili kemoterapije.

Radijacijska onkologija Grana medicine koja se bavi korištenjem zračenja u svrhe liječenja kod nas se naziva radioterapija, a u svijetu još i radijacijska onkologija. Radioterapija je metoda liječenja koja upotrebljava prodorne snopove ionizirajućih zraka koje prodiru u tijelo na zadanom mjestu i u ciljnoj željenoj dubini, odnosno lokalizaciji izazivaju uništenje i umiranje bolesnog

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Limes

Matopol – matematika na drugačiji način

A nisa R atković , I rma S alkić i M edina D obrača , maturantice Prve bošnjačke gimnazije Po uzoru na svjetski poznatu društvenu igru Monopol koju je osmislila i prvi put izdala 1903. godine u Sjedinjenim Američkim Državama Lizzie Magie, članovi kluba Limes su, uz pomoć profesorice Belme Alihodžić, organizovali igru Matopol, a potom organizovali i takmičenje. Igra je osmišljena kao ploča sa poljima po kojima se igrač kreće svojim pijunom shodno broju dobijenom prilikom bacanja kocke. Kako bi igru učinili drugačijom, umjesto kockice je korišten micro bit, a stajanjem na određeno polje učenik je morao riješiti zadatak da bi se mogao nastaviti kretati dalje ka cilju.

Zajednička fotografija u biblioteci PBG nakon dodjele zahvalnica učesnicima brzini i tačnosti izrade zadataka i pokušavali na taj način ostvariti pobjedu. Izradu zadataka je nadgledala komisija, koja je provjeravala i njihovu tačnost.

osvojile Esma Jakupović i Lamija Ademović, a treće mjesto je pripalo Umi Hasanović i Adinu Frljku, dok je četvrto mjesto zauzeo takmičarski par Dalila Habibija i Faruk Čaluk.

Ovom radionicom su na interaktivan način stavljene na test matematičke vještine učenika, njihova spretnost i brzina, te strpljenje u rješavanju zadataka, ali i sposobnost za Microbit i matopol timski rad. Učenici su za svoj uspjeh dobili zahvalnice, te Rješavanje zadataka tokom Na samom takmičenju/radionici, radionice prigodno nagradno putovanje. održanom 12. 12. 2019. u Osim takmičenja, učenici su školskoj biblioteci, učestvovalo Pobjednički par, kojem je trebalo razmijenili mišljenja i iskustva, te je osam učenika prvih razreda najmanje vremena da riješi stekli nova poznanstva. raspoređenih u četiri para, koji zadatke, činili su Alija Avdić i su se, željni znanja, takmičili u Nejra Hajrić. Drugo mjesto su Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Limes

Takmičenje u izradi balansirajućih igračaka

A I D A A G I Ć - H A D Ž I Ć , prof. fizike u Prvoj bošnjačkoj gimnaziji

Nakon obrađene nastavne jedinice iz predmeta Fizika sa IGCSE PHYSICS o težištu tijela, centru masa, ravnoteži i uspostavljanju balansa, učenici prvog razreda Curriculuma B su dobili domaći zadatak da kod kuće izrade svoju balansirajuću igračku. Ne samo da su odgovorili zadatku, nego su i ispunili potrebne kriterije, a to su bili kreativnost, originalnosti i, naravno, funkcionalnost. Da svaki pregled zadaće i njeno ocjenjivanje ne Učenici Prve bošnjačke gimnazije i Cambridge mora biti stresno, pokazali smo tako što smo međunarodne škole još su jednom imali priliku organizovali malo zabavno takmičenje u kojem da: je glavnu ulogu odigrao žiri sačinjen od tri člana • nauče i savladaju koncept; rukovodstva odjeljenja. • razviju svoje praktične vještine; • razviju način kritičkog razmišljanja i možda najvažnije od svega: • primijene svoje znanje u praksi. Nadamo se da su inspirisani i motivirani za savladavanje još težih i još zanimljivijih tema iz fizike.

Pažljivo su saslušali svakog učenika, posmatrali balansiranje igračke i bilježili bodove, te odabrali one najzanimljivije.

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Limes

eBee - aplikacija za urbano pčelarstvo učenika Prve bošnjačke gimnazije

M E R I S A S K A L O N J I Ć , prof. informatike u Prvoj bošnjačkoj gimnaziji U ovoj školskoj godini, učenici srednjih škola BiH imali su priliku takmičiti se u kreiranju mobilnih aplikacija. Takmičenje je organizirala kompanija m:tel. Cilj takmičenja i aplikacije Cilj takmičenja je bio da se osmisli i napravi zanimljiva, inovativna i korisna aplikacija u Android™ OS-u ili iOS-u, za mobilni telefon ili tablet. Aplikacije koje su učestvovale u takmičenju su trebale imati društveno odgovornu namjenu i njihovo korištenje je trebalo da, na određeni način, unaprijedi upotrebu mobilnih uređaja. Tim Prve bošnjačke gimnazije je na ovom takmičenju učestvovao sa aplikacijom eBee, čiji je cilj razvoj i održavanje urbanog pčelarstva u Kantonu Sarajevo. Tim su činili učenici: Emina Bavčić, Kemal Delić i Nerma Fazlibašić pod mentorstvom profesorice informatike Merise Skalonjić. Vodeći se činjenicom koliki je značaj pčela za biodiverzitet, kao i činjenice da je izumiranje pčela nažalost u porastu, aplikacija se bazira na istraživanju povoljnih lokacija u urbanim sredinama, a koje nisu ugrožene pesticidima. Cilj je, prije svega, dovesti pčele u zdravu sredinu i time spriječiti njihovo izumiranje. Ugledajući se na mnoge evropske zemlje, želja učenika je potaknuti razvoj pčelarstva u urbanim dijelovima našeg grada te omogućiti pčelarima da saznaju sve bezbjedne lokacije za postavljanje košnica.

Prikupljanje informacija Izrada ove aplikacije je tekla u nekoliko faza. U prvoj fazi učenici su, u saradnji sa Općinom Novo Sarajevo, došli do informacija o tome koje su to lokacije koje se potencijalno mogu iskoristiti za postavljanje košnica u urbanim sredinama. Istraživanjem, učenici su došli i do informacija o postojanju tzv. „Nebeskih košnica“ koje postoje u holandskom gradu Maastrihtu. Lokacije za koje je utvrđeno da su pogodne za uzgoj pčela bi se mogle iskoristiti za instalaciju ovih košnica. Ovakve košnice su sigurne i ne ugrožavaju okolno stanovništvo. Inovacija “Nebeska košnica” U Holandiji se već duže vrijeme testira novi sistem pčelarstva pod nazivom “Nebeske košnice”.

U mnogim evropskim zemljama, već duže vrijeme, mnogo se ulaže u urbano pčelarstvo, što je uveliko poslužilo kao inspiracija prilikom odabira teme za učešće. Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Limes Košnice se postavljaju na podesivi stalak, koji je vezan za stub i koji se podiže pomoću ugrađenog mehanizma. Ovaj sistem omogućava pčelaru da košnicu podigne i do šest metara od zemlje, daleko od alergične i “prestravljene” publike. Prototip “Nebeske košnice” je smješten u Sfinks Parku, u samom centru Maastrichta. Budući da postoje određeni zakoni koji ograničavaju držanje klasičnih košnica u urbanim sredinama, holandski urbani pčelari su došli na ideju da naprave košnicu koja je odvojena od zemlje. Ovo je naročito važno zbog osoba koje imaju problem sa alergijama. Dizajn i princip košnica je prilično jednostavan. Dvije košnice su postavljene na platformu koja se uz pomoć stuba može podizati i spuštati na željenu visinu. Kada se košnice spuste, pčelari obavljaju sve neophodne poslove poput održavanja i pregleda stanja kolonije. Nakon toga, pčele se podižu na sigurnu udaljenost gdje su zaštićene od vandala, a javnost ne mora da brine za ubode i napade alergije. Pčele koje se nalaze u „Nebeskoj košnici“ napuštaju košnice i u potrazi za polenom prelaze i do tri kilometra, oprašujući i skupljajući nektar iz cvijeća iz okolnih parkova i zelenih površina. Svaka košnica je također povezana na Internet tako da pčelari mogu razmjenjivati i uspoređivati podatke u realnom vremenu. Također, mehanizam podizanja i spuštanja košnica radi uz pomoć napajanja sunčevom energijom. Solarne ploče se nalaze na krovovima košnica, što olakšava rad pčelarima jer ne moraju sa sobom nositi nikakvu opremu kada odlaze na obilazak kolonija. Postavljanjem “Nebeske košnice” na javno mjesto, pčelarstvo je postalo dostupno svima, bez obzira bili pčelari ili ne.1

Aplikacija eBee ima slijedeće funkcionalnosti: - Osnovne informacije o aplikaciji i korištenju aplikacije - Pregled povoljnih lokacija na Google mapama - Info dio koji sadrži korisne informacije - Kontakt forma koja omogućava korisniku da pošalje poruku administratoru aplikacije i zatraži dodatne informacije i/ili predloži novu lokaciju kao pogodnu.

Skica aplikacije

Kreiranje aplikacije Prije nego što je započeto programiranje, bilo je potrebno osmisliti koncept aplikacije. Za sve prikupljene lokacije, u lokalnu bazu unijete su koordinate i kreirana je aplikacija. _________________________________ izvor: bhpcelar.com

Dio “O aplikaciji” 18

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Limes Planovi za budućnost Uz određena planirana tehnička unaprijeđenja aplikacije, također je želja da se aplikacija proširi i počne koristiti i van općina Kantona Sarajevo, ali i da se proširi i na druge gradove i države. Nadamo se da će aplikacija doprinijeti razvoju urbanog pčelarstva pružajući tako pčelama nadu za opstanak na površinama koje nisu zagađene pesticidima.

Centralni dio aplikacije na kojem su simbolom pčele označene pogodne lokacije

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Limes

Zavirili smo u maturske radove naših učenika... Naši vrijedni maturanti su, u ovoj školskoj godini, za teme svojih maturskih radova izabrali mnoštvo zanimljivih i aktuelnih tema. Iako su odbrane njihovih radova bile u drugačijim okolnostima nego što smo navikli, to ih nije ni najmanje spriječilo da predstave svoje radove na najbolji mogući način.

globalnog zagrijavanja, te pronalazaka i simulacija potencijalnih rješenja i “popravaka”.¨ Furkan Nurović: Kreiranje web sajta pomoću HTML i CSS tehnologija uz upotrebu JavaScript-a

U ovom radu govori se o procesu kreiranja jedne web U nastavku vam predstavljamo samo neke maturske stranice uz upotrebu različitih tehnologija. Također radove mada, moramo priznati, bilo nam je teško je opisan i pojam pretraživača kao softvera na kojem odlučiti koje od njih da vam predstavimo jer su se stranica prikazuje. Primjer koji je kreiran je web nadmašili sva naša očekivanja. Našim maturantima stranica o odjeljenju IV-b. Na stranici postoji sekcija čestitamo i želimo da nastave marljivo raditi na o profesorima koji su predavali odjeljenju, ali i sekcija ostvarenju svojih snova. o učenicima. Na početnoj stranici implementiran je brojač koji odbrojava vrijeme do maturske svečanosti. Medina Dobrača: Fibonačijev niz brojeva i njegova primjena Burhan Ljubović: Algoritmi sortiranja u C++ Fibonačijevi brojevi u vezi sa zlatnim rezom se pojavljuju svuda oko nas, od broja latica na cvijeću, ¨Svijet informatike i programiranja napreduje slike Mona Lize, moderne zgrade CN tornja, egipatskih nevjerovatnom brzinom, učenjem i istraživanjem piramida pa do izgleda naše galaksije. Osim prirode dosadašnjih načina sortiranja nizova mladi ljudi svoj koja zadivljujuće prati Fibonačijeve brojeve, oni svoju mozak prilagođavaju „računarskoj logici“ te samim primjenu pronalaze u poljima arhitekture, slikarstva, time trebaju nastaviti razmišljati kako stvoriti nešto kiparstva, muzike, anatomije te moderne tehnologije. novo što će biti mnogo naprednije od onoga što mu je predhodilo. U ovom radu sam istakao hronološki Bakir Ibišević: Machine learning razvoj nekih od postojećih algoritama za sortiranje te sam samim time pokušao ukazati da je uvijek Ako postoji AI, postojat će AI++ (super inteligencija). moguće napraviti algoritam koji ima bolju efikasnost ¨Mnoštvo je onih koji su zabrinuti kako će jednog i jednostavniju implementaciju u odnosu na ranije dana umjetna inteligencija, ili kako to kažu manje kreirane algoritme sortiranja.¨ upućeni ljudi, roboti, preuzeti svijet. Šanse da se to dogodi u bližoj budućnosti su veoma male, mada Ishak Dervišević: Razvoj emulatora CHIP-8 sistema šansa da se to dogodi nekada u dalekoj budućnosti ipak postoji. Automatizacijom poslova koji zahtijevaju ¨Kroz ovaj projekat implementiran je potpuno izlaganje čovjeka rizičnim situacijama opasnim po funkcionalan emulator Chip8 računara. Sav kod je život, poslovima koji su fizički zahtjevni ili poslovima dostupan na https://github.com/ishakd00/CHIPkoji vremenom uništavaju ljudski organizam zbog 8-Emulator. Finalni proizvod može pokrenuti sve izloženosti štetnim materijama, produžio bi se programe napisane za ovaj sistem. U procesu sam životni vijek i poboljšao standard življenja. Takvom naučio mnogo o arhitekturi računara i operaciji napretku prethodi i napredak i razvoj robotike, te su računarskih komponenti i vjerujem da sam stekao potrebne enormne količine energije za održavanje solidnu podlogu za dalju edukaciju o ovoj i povezanim i sam rad tih mašina. Smatram da bi se AI mogao temama.¨ kvalitetno inkorporirati u istraživanje razloga 20

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Limes

Online odbrane maturskih radova

“Dragi maturanti i maturantice, vaši mentori imaju riječi hvale za vašu posvećenost koje ste pokazali na odbrani maturskog rada. Sretni smo što u svakoj prilici pokazujete da se trud koji ulažu vaši roditelji i vaša škola vidi. Vaši maniri i vaša temeljitost ideali su kojima smo svi zajedno stremili.”

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Limes

Funkcije i primjeri grafika proizvoljnih funkcija

BELMA ALIHODŽIĆ, prof. matematike u Prvoj bošnjačkoj gimnaziji

Funkcije se mogu prikazati na grafiku tako da im je domena na x-osi, a kodomena na y-osi. Grafik funkcije najčešće označavamo sa ili Svaka od dole opisanih karakterističan grafik.

funkcija

daje

Linearna funkcija Funkcija koja ima oblik )

( gdje je Grafik funkcije Kubna fukcija Svaka funkcija koja ima oblik ( gdje su a, b, c i d konstante,

Grafik funkcije Kvadratna funkcija Svaka funkcija koja ima oblik (gdje su a, b i c konstante,

Grafik funkcija

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Limes

Eksponencijalna funkcija Svaka funkcija koja ima oblik a konstanta).

Grafik funkcija

(gdje je

Hiperbolna funkcija Funkcija oblika

(gdje je a konstanta).

Grafik funkcije

Trigonometrijska funkcija Funkcije oblika nazivamo trigonometrijske funkcije. Grafici funkcija:

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Limes

Zadaci i rješenja za Kantonalnog takmičenja 1. 1. 1. 1. 1.

2. 2. 2. 2. 2.

Neka su su 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥 ii 𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑦𝑦𝑦𝑦 različiti različiti realni realni brojevi brojevi takvi takvi da da je je 2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + +1 1≠ ≠0 0 ii neka neka su: su: Neka Neka su 𝑥𝑥𝑥𝑥 i 𝑦𝑦𝑦𝑦 različiti realni brojevi takvi da je 2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + 1 ≠ 0 i neka su: 2 2 2 Neka su 𝑥𝑥𝑥𝑥 i 𝑦𝑦𝑦𝑦 različiti 6𝑥𝑥𝑥𝑥 realni 2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦22 + i neka 6𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 − −takvi 1 da je𝑥𝑥𝑥𝑥(𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥(𝑥𝑥𝑥𝑥 − 11) 1)≠− −0𝑦𝑦𝑦𝑦(𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑦𝑦𝑦𝑦(𝑦𝑦𝑦𝑦 1) 2 𝑦𝑦𝑦𝑦 2 brojevi 2 −su: 𝑦𝑦𝑦𝑦 + 1 − − 1) 𝐴𝐴𝐴𝐴 = ; 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 = realni ; 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦2 + 1𝑥𝑥𝑥𝑥≠−0𝑦𝑦𝑦𝑦i neka Neka su 𝑥𝑥𝑥𝑥 i 𝑦𝑦𝑦𝑦 različiti 2brojevi 2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 +𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦1 1 −takvi ++ 1 da je𝑥𝑥𝑥𝑥(𝑥𝑥𝑥𝑥 − 1) 1) 6𝑥𝑥𝑥𝑥 2 𝑦𝑦𝑦𝑦 2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦(𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑦𝑦𝑦𝑦 2 −su: 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 6𝑥𝑥𝑥𝑥 2 𝑦𝑦𝑦𝑦 2 + 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 − 1 ; 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝑥𝑥𝑥𝑥(𝑥𝑥𝑥𝑥 2 − 1) − 𝑦𝑦𝑦𝑦(𝑦𝑦𝑦𝑦 2 − 1) 2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + 1 𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦 ; 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 2 2 2 Odrediti koji je broj veći, 𝐴𝐴𝐴𝐴 ili 𝐵𝐵𝐵𝐵. 𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦(𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑦𝑦𝑦𝑦 2 − 1) 𝑥𝑥𝑥𝑥(𝑥𝑥𝑥𝑥 − 1) 6𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑦𝑦𝑦𝑦2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦++𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦1 − 1 Odrediti koji je broj ; 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 =veći, 𝐴𝐴𝐴𝐴 ili 𝐵𝐵𝐵𝐵. 2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 +1 𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦 Odrediti koji je broj veći, 𝐴𝐴𝐴𝐴 ili 𝐵𝐵𝐵𝐵. Odrediti koji je broj veći, 𝐴𝐴𝐴𝐴 ili 𝐵𝐵𝐵𝐵. Rješenje: Rješenje: Odrediti koji je broj veći, 𝐴𝐴𝐴𝐴 ili 𝐵𝐵𝐵𝐵. Rješenje:

učenika IX razreda 2018. godine

Rješenje: datih algebarskih razlomaka dobijamo: Sređivanjem Sređivanjem datih algebarskih razlomaka dobijamo: Rješenje: Sređivanjem datih algebarskih razlomaka dobijamo: 2 2 Sređivanjem datih algebarskih 6𝑥𝑥𝑥𝑥 razlomaka dobijamo: − 2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 − −1 1 6𝑥𝑥𝑥𝑥 2 𝑦𝑦𝑦𝑦 2 + 3𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑦𝑦𝑦𝑦 + 3𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 − 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 = razlomaka Sređivanjem datih algebarskih dobijamo: 2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 +−1 12𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 − 1 6𝑥𝑥𝑥𝑥 2 𝑦𝑦𝑦𝑦 2 +2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 3𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 6𝑥𝑥𝑥𝑥 2 𝑦𝑦𝑦𝑦 2 + 3𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 − 2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 − 1 3𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦(2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + 1)+−1 (2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + 1) 𝐴𝐴𝐴𝐴 = = 3𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦(2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + 1) − (2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + 1) = 6𝑥𝑥𝑥𝑥 2 𝑦𝑦𝑦𝑦 2 +2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 3𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 − 2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + 1 (2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦−+1 1) 1)++ −11 2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 𝐴𝐴𝐴𝐴 = = 3𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦(2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + 2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 3𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦(2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + 1)+ (2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + 1)(3𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 1)(3𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 −+−11) 1) 2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 1(2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + 1) (2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + − = = = 3𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 3𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 − −1 1 = 3𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦(2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 = (2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + 1 + 1) − + 1) 2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + 1 (2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + 1)(3𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + 1 − 1) == 1 = 3𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 − 1 (2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + 1)(3𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 +2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 1 −+1) = = 3𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 − 1 (2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + 1 + 1)(3𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 − 1) Analogno dobijamo dobijamo ii = Analogno = 3𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 − 1 2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + 1 Analogno dobijamo i Analogno dobijamo (𝑥𝑥𝑥𝑥33 − (𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑥𝑥(𝑥𝑥𝑥𝑥22 − − 1) 1)i − − 𝑦𝑦𝑦𝑦(𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑦𝑦𝑦𝑦(𝑦𝑦𝑦𝑦22 − − 1) 1) 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥33 − − 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥 − − 𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑦𝑦𝑦𝑦33 + + 𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑦𝑦𝑦𝑦 (𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑦𝑦𝑦𝑦33 )) − − (𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦) 𝑦𝑦𝑦𝑦) 𝑥𝑥𝑥𝑥(𝑥𝑥𝑥𝑥 𝐵𝐵𝐵𝐵 = = = 𝐵𝐵𝐵𝐵 = = = Analogno dobijamo 𝑥𝑥𝑥𝑥i − − 𝑦𝑦𝑦𝑦(𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑦𝑦𝑦𝑦 2 − 1) 𝑥𝑥𝑥𝑥 3 − 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 − − 𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑦𝑦𝑦𝑦3 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 (𝑥𝑥𝑥𝑥 3 − 𝑦𝑦𝑦𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥3 )− −−𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑦𝑦𝑦𝑦(𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦) 𝑥𝑥𝑥𝑥(𝑥𝑥𝑥𝑥 2 − 1) 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑦𝑦𝑦𝑦 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝑥𝑥𝑥𝑥(𝑥𝑥𝑥𝑥 2 − 1)2 − 𝑦𝑦𝑦𝑦(𝑦𝑦𝑦𝑦 2 −21) = 𝑥𝑥𝑥𝑥 3 − 𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦 3 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 = (𝑥𝑥𝑥𝑥 3 − 𝑦𝑦𝑦𝑦 3 ) − (𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦) (𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦)(𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥2 − 𝑦𝑦𝑦𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 (𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦)𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑦𝑦𝑦𝑦2 )) − − (𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦 𝐵𝐵𝐵𝐵==(𝑥𝑥𝑥𝑥 −2𝑦𝑦𝑦𝑦)(𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + = 3− 𝑦𝑦𝑦𝑦) = 3 2 3 = 𝑥𝑥𝑥𝑥(𝑥𝑥𝑥𝑥 − 1) 𝑥𝑥𝑥𝑥2 − 𝑦𝑦𝑦𝑦(𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑦𝑦𝑦𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦−21) 𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 (𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥3 )−−𝑦𝑦𝑦𝑦(𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦) 𝑥𝑥𝑥𝑥 −+𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 ) −=(𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦) 𝐵𝐵𝐵𝐵 =(𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦)(𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 = = (𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦)(𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥22 − 2) 𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦 2 (𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 − − 𝑦𝑦𝑦𝑦) (𝑥𝑥𝑥𝑥 − − 𝑦𝑦𝑦𝑦)(𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑦𝑦𝑦𝑦)(𝑥𝑥𝑥𝑥2 − − 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦−+ +𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑦𝑦𝑦𝑦2 − − 1) 1) (𝑥𝑥𝑥𝑥 2 2 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 = = = 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥2 − − 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + + 𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑦𝑦𝑦𝑦2 − −1 1 = (𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦)(𝑥𝑥𝑥𝑥 22𝑥𝑥𝑥𝑥−−𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦−+𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 22 ) − (𝑥𝑥𝑥𝑥= − 𝑦𝑦𝑦𝑦) (𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦)(𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 − 1) 𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦 = = (𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦)(𝑥𝑥𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝑥𝑥𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 2 − 1 − 𝑦𝑦𝑦𝑦 2 𝑥𝑥𝑥𝑥 −𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 − 1) = 𝑥𝑥𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 2 − 1 = 2𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦 2 (𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦)(𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 − 1) Kako bi bi=odredili odredili koji koji je je broj broj veći, veći, posmatrajmo posmatrajmo razliku brojeva 𝐵𝐵𝐵𝐵 ii 𝐴𝐴𝐴𝐴. 𝐴𝐴𝐴𝐴. Kako razliku = 𝑥𝑥𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 2brojeva − 1 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦 Kako bi odredili koji je broj veći, posmatrajmo razliku brojeva 𝐵𝐵𝐵𝐵 i 𝐴𝐴𝐴𝐴. 2 2 razliku (3𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 Kako bi odredili koji je𝐵𝐵𝐵𝐵 brojeva (𝑥𝑥𝑥𝑥posmatrajmo 𝐵𝐵𝐵𝐵broj − 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 veći, = (𝑥𝑥𝑥𝑥 1) − − (3𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 − 𝐵𝐵𝐵𝐵 1)i 𝐴𝐴𝐴𝐴. 2 − 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 2 − − = − 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 − 1) − 1) Kako bi odredili koji je𝐵𝐵𝐵𝐵 broj brojeva 𝐵𝐵𝐵𝐵 i 𝐴𝐴𝐴𝐴. 2 22𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 2 = 2 razliku (𝑥𝑥𝑥𝑥1) = 𝑥𝑥𝑥𝑥22 (𝑥𝑥𝑥𝑥 −posmatrajmo −− 𝑦𝑦𝑦𝑦)(3𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 −= 𝐴𝐴𝐴𝐴 veći, = − 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 − 2 ≥ 0− 1) (𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 ++ 𝑦𝑦𝑦𝑦 2𝑦𝑦𝑦𝑦= − 𝑦𝑦𝑦𝑦) ≥0 2 2 𝐵𝐵𝐵𝐵 − 𝐴𝐴𝐴𝐴 =2 (𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 +2𝑦𝑦𝑦𝑦 − 1) − (3𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 − 1) = 𝑥𝑥𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 = (𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦)2 ≥ 0 2 2 2 𝐵𝐵𝐵𝐵 − = 𝐴𝐴𝐴𝐴 = − 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + (𝑥𝑥𝑥𝑥1) 𝑥𝑥𝑥𝑥 2 (𝑥𝑥𝑥𝑥 − da 2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝑦𝑦𝑦𝑦<2𝑦𝑦𝑦𝑦𝐵𝐵𝐵𝐵. =− −− 𝑦𝑦𝑦𝑦)(3𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 ≥ 0− 1) Budući da je 𝑥𝑥𝑥𝑥 ≠ 𝑦𝑦𝑦𝑦, zaključujemo je 𝐴𝐴𝐴𝐴 Budući da je 𝑥𝑥𝑥𝑥 ≠ 𝑦𝑦𝑦𝑦, zaključujemo da je 𝐴𝐴𝐴𝐴 < 𝐵𝐵𝐵𝐵. = 𝑥𝑥𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 2 = (𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦)2 ≥ 0 Budući da je 𝑥𝑥𝑥𝑥 ≠ 𝑦𝑦𝑦𝑦, zaključujemo da je 𝐴𝐴𝐴𝐴 < 𝐵𝐵𝐵𝐵. Budući je 𝑥𝑥𝑥𝑥 ≠ 𝑦𝑦𝑦𝑦, zaključujemo je 𝑎𝑎𝑎𝑎𝐴𝐴𝐴𝐴 ≠<0,𝐵𝐵𝐵𝐵.𝑎𝑎𝑎𝑎 ≠ 0) za koga važi 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 9 Odreditida trocifren trocifren broj 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎, 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎, ((𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎 da ≠ 0, 0, ≠ 𝑎𝑎𝑎𝑎 ≠ 0, 𝑎𝑎𝑎𝑎 ≠ 0) za koga važi 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 9 Odrediti broj Budući da2je 𝑥𝑥𝑥𝑥 ≠2𝑦𝑦𝑦𝑦, zaključujemo da3jePrve 𝐴𝐴𝐴𝐴 < 𝐵𝐵𝐵𝐵. Naučno-istraživački matematički klub 2 3 Odrediti broj 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎, ≠𝑎𝑎𝑎𝑎30,+𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎≠33 .bošnjačke 0, 𝑎𝑎𝑎𝑎 ≠ 0) gimnazije za koga Sarajevo važi 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 9 9𝑎𝑎𝑎𝑎 + 9𝑎𝑎𝑎𝑎 ≤ 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 2 + 9𝑎𝑎𝑎𝑎2trocifren 2 − 6𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 3(𝑎𝑎𝑎𝑎 9𝑎𝑎𝑎𝑎 + 9𝑎𝑎𝑎𝑎 + 9𝑎𝑎𝑎𝑎 − 6𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 ≤ 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 . (𝑎𝑎𝑎𝑎 ≠ 0, 𝑎𝑎𝑎𝑎 ≠ 0, 𝑎𝑎𝑎𝑎 ≠ 0) za koga važi 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 9 Odrediti trocifren broj 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎, 9𝑎𝑎𝑎𝑎2 + 9𝑎𝑎𝑎𝑎 2 + 9𝑎𝑎𝑎𝑎 2 − 6𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 ≤ 𝑎𝑎𝑎𝑎3 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 3 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 3 . Odrediti trocifren broj 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎, (𝑎𝑎𝑎𝑎 ≠ 0, 𝑎𝑎𝑎𝑎 ≠ 0, 𝑎𝑎𝑎𝑎 ≠ 0) za koga važi 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 9 9𝑎𝑎𝑎𝑎2 + 9𝑎𝑎𝑎𝑎 2 + 9𝑎𝑎𝑎𝑎 2 − 6𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 ≤ 𝑎𝑎𝑎𝑎3 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 3 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 3 .

ii i i i

𝐵𝐵𝐵𝐵 − 𝐴𝐴𝐴𝐴 = (𝑥𝑥𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 2 − 1) − (3𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 − 1) = 𝑥𝑥𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 2 = (𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦)2 ≥ 0

Limes Budući da je 𝑥𝑥𝑥𝑥 ≠ 𝑦𝑦𝑦𝑦, zaključujemo da je 𝐴𝐴𝐴𝐴 < 𝐵𝐵𝐵𝐵.

2. Odrediti trocifren broj 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎, (𝑎𝑎𝑎𝑎 ≠ 0, 𝑎𝑎𝑎𝑎 ≠ 0, 𝑎𝑎𝑎𝑎 ≠ 0) za koga važi 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 9 i 9𝑎𝑎𝑎𝑎2 + 9𝑎𝑎𝑎𝑎 2 + 9𝑎𝑎𝑎𝑎 2 − 6𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 ≤ 𝑎𝑎𝑎𝑎3 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 3 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 3 .

Rješenje: Datu nejednakost možemo napisati u obliku 𝑎𝑎𝑎𝑎2 (9 − 𝑎𝑎𝑎𝑎) + 𝑎𝑎𝑎𝑎2 (9 − 𝑎𝑎𝑎𝑎) + 𝑎𝑎𝑎𝑎2 (9 − 𝑎𝑎𝑎𝑎) ≤ 6𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎

odnosno zbog 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 9 dobijamo

𝑎𝑎𝑎𝑎2 (𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎) + 𝑎𝑎𝑎𝑎2 (𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎) + 𝑎𝑎𝑎𝑎2 (𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎) ≤ 6𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎

Nakon dijeljenja gornje nejednakosti sa 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 > 0, imamo 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎 + + + + + ≤ 6 (∗) 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎

Kako na osnovu poznate nejednakosti vrijedi da je 𝑎𝑎𝑎𝑎

𝑎𝑎𝑎𝑎

𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑦𝑦𝑦𝑦

≥ 2, za sve 𝑥𝑥𝑥𝑥, 𝑦𝑦𝑦𝑦 ∈ ℝ+

dobijamo 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 ≥ 2, 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 ≥ 2, 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 ≥ 2, te nakon sabiranja ovih nejednakosti imamo 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎 + + + + + ≥ 6 (∗∗) 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎 Sada iz (∗) i (∗∗) zaključujemo da vrijedi samo jednakost

u slučaju kada je 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝑎𝑎𝑎𝑎.

𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎 + + + + + =6 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎

Tada je 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 3𝑎𝑎𝑎𝑎 (= 3𝑎𝑎𝑎𝑎 = 3𝑎𝑎𝑎𝑎), odnosno 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 3. Dakle, u pitanju je broj 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 = 333.

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐷𝐷

𝐶𝐶𝐷𝐷 ൌ 𝐶𝐶𝐸𝐸

𝑀𝑀 𝑃𝑃

𝐶𝐶𝐷𝐷 ൌ 𝐶𝐶𝐸𝐸

𝑀𝑀 𝑃𝑃

𝐷𝐷𝐸𝐸

𝑀𝑀𝑃𝑃 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐷𝐷

𝐷𝐷𝐸𝐸

𝑃𝑃𝑁𝑁 ൌ

𝑀𝑀𝑃𝑃

𝑁𝑁

𝐷𝐷𝐸𝐸

𝑁𝑁 𝑁𝑁

𝐷𝐷𝐸𝐸 𝐷𝐷𝐸𝐸 𝑃𝑃

𝐴𝐴𝐷𝐷

𝑃𝑃𝑁𝑁 𝐴𝐴𝐷𝐷 𝑁𝑁 𝐷𝐷𝐸𝐸 𝑃𝑃 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐷𝐷 𝐴𝐴𝐷𝐷 𝐵𝐵𝐶𝐶 𝑃𝑃𝑁𝑁 𝑃𝑃𝑁𝑁 𝐴𝐴𝐷𝐷 𝐶𝐶𝑀𝑀 ൌ 𝑃𝑃𝑁𝑁 ൌ 𝐶𝐶𝑀𝑀 ʹ ൌ ʹ 𝐶𝐶𝑀𝑀

𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐷𝐷

𝑃𝑃𝑁𝑁 ൌ

𝑛𝑛 ൌ ͳʹǢ 𝑛𝑛 ൌ ͳ͵

𝑛𝑛 ൌ ͳʹǢ

𝐵𝐵𝐶𝐶 ʹ

ൌ 𝐶𝐶𝑀𝑀

𝑛𝑛

Limes𝐸𝐸 𝐸𝐸

𝐶𝐶𝐷𝐷 ൌ 𝐶𝐶𝐸𝐸

𝐶𝐶𝑁𝑁 𝑀𝑀𝑃𝑃 𝐶𝐶𝐷𝐷 ൌ 𝐶𝐶𝐸𝐸 𝐴𝐴𝐸𝐸 𝐶𝐶𝑁𝑁 𝑀𝑀𝑃𝑃 𝐴𝐴𝐸𝐸

𝑃𝑃𝑀𝑀𝐶𝐶𝑁𝑁 𝑃𝑃𝑀𝑀𝐶𝐶𝑁𝑁

𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐷𝐷

𝐵𝐵𝐶𝐶 𝐴𝐴𝐸𝐸

𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐷𝐷

𝐵𝐵𝐶𝐶 𝐴𝐴𝐸𝐸

𝐶𝐶𝑁𝑁

𝐷𝐷𝐸𝐸

𝐶𝐶𝑁𝑁 𝑃𝑃𝑁𝑁

𝐷𝐷𝐸𝐸

𝑃𝑃𝑁𝑁

𝐵𝐵𝐶𝐶

𝑃𝑃𝑁𝑁

𝐵𝐵𝐶𝐶

𝑛𝑛

𝑛𝑛 ൌ ͳ͵

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

∆𝐴𝐴𝐷𝐷𝐸𝐸 ∆𝐴𝐴𝐷𝐷𝐸𝐸

𝐶𝐶𝑁𝑁 𝑃𝑃𝑀𝑀 𝐶𝐶𝑁𝑁 𝑃𝑃𝑀𝑀

ͳǡʹǡ Ǥ Ǥ Ǥ ǡ 𝑛𝑛 ͳǡʹǡ Ǥ Ǥ Ǥ ǡ 𝑛𝑛

Limes Rješenje: a) Broj 12 je lijep je što potvrđuje ovaj raspored brojeva na krugu

b) Dokazat ćemo da broj 13 nije lijep.

Među brojevima 1, 2, . . . , 13 nalazi se 7 neparnih i 6 parnih brojeva.

Zbog toga ćemo, ma kako rasporedili ovih 13 brojeva na krug, po Dirihleovom

principu imati 2 susjedna neparna broja na krugu.

Njihov zbir je sigurno paran broj i veći ili jednak od 4 pa ne može biti prost broj pa broj 13 nije lijep broj.

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Limes

Promjene u obrazovanju...

Docentica Pedagoškog fakulteta Sanela Nesimović u januaru 2020. održala je profesorima i nastavnicima matematike predavanje ¨Ishodi učenja u nastavi matematike (smjernice za implementaciju)¨. Kurikularna reforma u Kantonu Sarajevo je počela da dobija na značaju. Trenutno je u fazi pisanja dokumenata predmetnih kurikuluma. Osnovna karakteristika kurikuluma je učenje usmjereno na učenika. Limes vam donosi nekoliko fotografija sa prezentacije. Urednica

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Limes

INTERVJU sa Nadom Sokolović i Lejlom Hujdur

AZRA ŽUNIĆ I LEJLA KAHRIMAN, učenice III razreda Prve bošnjačke gimnazije

Naše dvije učenice III razreda Prve bošnjačke gimnazije, Azra Žunić i Lejla Kahriman, potrudile su se da istraže i naprave intervju sa profesoricama koje su ponijele titulu ¨Nastavnik godine¨. Treba napomenuti da je ovo prvi vid javnog nagrađivanja nastavnika. Profesorice većinu intervjua posvećuju eTwining platformi i njenim mogućnostima u razvoju nastavničke profesije. Pročitajmo odgovore na postavljena pitanja: Kako ste postale član eTwinning platforme?

je prisutnim učesnicima dala informacije o eTwinning-u, koje su njegove mogućnosti i prednosti u podizanju kvaliteta nastave, kao i u profesionalnom razvoju nastavnika koji ga koriste. Tom prilikom sam se registrirala na eTwinning portal i postala članica najzanimljivije zajednice odgajatelja, učitelja, nastavnika, profesora, pedagoga i bibliotekara u Evropi. Od tada sam u prilici da komuniciram sa registriranim nastavnicima i nastavnicama, da sa njima sarađujem i radim na zajedničkim projektima.

L: Članica eTwinning platforme sam postala još davne 2015. godine, čim je eTwinning omogućen u Bosni i Hercegovini. Na sastanku Aktiva nastavnika matematike KS je gospođa Žaneta Džumhur, članica Državne službe za podršku pri APOSO spomenula eTwinning kao novi projekat Evropske komisije. Odmah sam uvidjela prednosti koje on donosi nastavnicima, registrovala se na platformu, te već iste godine realizovala projekat „Matematički kalendar“ i učestvovala u brojnim online edukacijama koje Na kojim projektima ste radile do sada? je eTwinning organizovao. Od tada je eTwinning nezamjenjiv alat u mojoj učionici. L: Do sad sam radila na mnogim eTwinning projektima. Spomenuću samo one za koje sam N: Na stručnom seminaru u Fojnici u januaru dobila državnu ili evropsku oznaku kvaliteta: 2017. godine, koji je za nastavnike i profesore „Family Budget“ (2017), „Svjetski dan štednje matematike organizovalo UMKS u saradnji sa 2017“ (2017), „f(counts in)=functions“ (2017), udruženjima matematičara u FBiH, eTwinning „Famous Female Mathematicians“ (2017), ambasadorica u Bosni i Hercegovini Lejla Hujdur Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Limes

„Obilježimo Međunarodni dan broja Pi“ (2017), „Famous Female Mathematicians 2“ (2018), „Geogebra with Mathematics“ (2018) „World Savings Day 2018“ (2018), „Pi day“ (2019), te trenutno aktuelne projekte: „World Savings Day 2019“ (2019), „Math in Media“ (2019), „Domovini za rođendan“ (2020), „International Day of Mathematics“ (2020), „Math is everywhere“ (2020), „Famous Female Mathematicians 3“ (2020), „History of Mathematics“ (2019) i „International Women in Science Day“ (2020). Za više informacija o eTwinning aktivnostima Srednje ekonomske škole Sarajevo posjetite stranicu:

U projektu „Famous female mathematicians 2“ saradnici su uspjeli poznate matematičarke, među kojima je i Vera Šnajder, otrgnuti od zaborava. Istakla bih još projekte: „Geogebra with mathematics“ , „Geometry of countries“, „World savings day 2019“, „Netiquette“, „International day of mathematics 2020“ i „History of mathematics“.

Na koji način pokušavate približiti matematiku učenicima?

L: Na način da se ne pitaju: „Šta će ovo meni u životu?“. Dakle, uvijek nastojim povezati matematičke koncepte koje predajem sa svakodnevnim životom. Svaku oblast koju započnemo obrađivati otvorim sa kratkom prezentacijom primjene te oblasti u ekonomiji ili u svakodnevnom životu. Jako mi je važno da učenici shvate da će im to što nauče u učionici sutra koristiti u životu. Takođe nastojim aktuelne koncepte iz života, poput medijske pismenosti ili demokratije, primijeniti u matematici. Tako učenici shvaćaju da matematika nije suhoparna nauka koja nema veze sa današnjim svijetom, nago da se može itekako aktualizirati i iskoristiti kao alat u rješavanju savremenih problema iz N: Do sada sam radila na više projekata, od stvarnog života. kojih su: „A bouquet of emotions“ u kome su saradnici napravili rječnik emocija na devet jezika: N: Svojim učenicima matematiku nastojim približiti na razne načine: organizovanjem https://www.storyjumper.com/book/ radionica na kojima učenici rješavaju zadatke read/47529946/5a2f680cd53de igrajući društvene igre (Poruka u cvijetu i Matopol), rješavanjem online kvizove, „Fun and games math“, u kome su saradnici predstavljanjem web alata i organizovanjem videokonferencija sa saradnicima iz škola širom napravili matematički rječnik na devet jezika Evrope. https://issuu.com/spmako/docs/geometry http://tiny.cc/SESeTwinning

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Limes

N: Veoma sam zahvalna Nastavničkom vijeću JU OŠ “Osman Nakaš“ koje je na svojoj sjednici usvojilo prijedlog i nominovalo me za nagradu „Nastavnik godine“. Priznanje „Nastavnik godine“ mi mnogo znači i trenutno se nalazi u holu OŠ “Osman Nakaš“. Ovo priznanje je ujedno i obaveza da primjere dobre prakse približim zainteresovanim kolegicama i kolegama. Nadam se da će Ministarstvo za obrazovanje nauku i mlade Kantona Sarajevo realizirati projekat „Svjetski dan učitelja 5. oktobar“ i u narednim školskim godinama.

Obzirom da ste dobile nagradu za najboljeg profesora i nastavnika Kantona Sarajevo, šta za Vas predstavlja ta nagrada i koliko vam znači?

L: Nagrada za najboljeg profesora Kantona Sarajevo je za mene velika čast ali i obaveza. To je priznanje da je ono što radim i što sam radila svih ovih 18 godina koliko sam u učionici kvalitetno. Nagrada mi je pokazatelj da trebam nastaviti u ovom smjeru: edukovati se i konstantno profesionalno usavršavati, uvoditi inovacije u nastavu, širiti mrežu profesionalnih kontakata i učestvovati u razmjeni dobrih praksi sa kolegama iz regiona, Evrope i svijeta.

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Limes

eTwining rubrika Prve bošnjačke gimnazije U prošlom, devetom broju časopisa smo pisali o našem angažmanu kao školi na projektu ¨Famous female mathematicians 2¨Učenici su imali priliku odabrati zajednički logo projekta, kreirati prezentacije, postere, stripove, e-magazin i blog.

U međuvremenu nam je stigla Evropska oznaka kvalitete za taj isti projekat, na šta smo kao škola veoma ponosni. Pogledajte još fotografija i rezultata sa našeg projekta...

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Limes

Geometrija životinjskog krzna Na ideju da se matematika, prije svega geometrija, primijeni u proučavanju oblika živih bića prvi je došao britanski mislilac Darsi Tompson 1917. godine. Već 1950. godine engleski matematičar Alan Tjuring je podržao ovu zamisao, predlažući poseban mehanizam za primjenu matematike u proučavanju šara na životinjskom krznu. Novu oblast nazvao je morfogeneza. Tjuringova ideja bila je da se formulišu jednačine koje opisuju način formiranja šara na krznu, a baziraju se na biološkim ili hemijskim procesima. Bila je to dobra zamisao, ali godinamau tome nije postignut veći napredak, sve do razvoja kompjutera i kompjuterske grafike.

neočekivanu vezu između oblika i veličine oblasti Krajem osamdesetih godina matematičar Džejms kože. Mari započeo je postupak kojim bi se u tri koraka sproveo Tjuringov program. Otkrio je da na malim dijelovima kože uopšte Prvi korak je pisanje jednačina koje opisuju ne nastaju šare, na dugačkim i uskim oblastima hemijske procese usljed kojih nastaju boje nastaju poprečne pruge, a na kvadratnim na životinjskom krznu, drugi je pisanje dijelovima formiraju se tufne čija veličina zavisi kompjuterskog programa koji bi riješio ove od dimenzije oblasti. Ovo je veoma jednostavno jednačine, a treći korak je da se dobijena objašnjene na pitanje zašto nekoliko vrsta rješenja transformišu u slike uz pomoć tehnika životinja ima tufnasto tijelo i prugasti rep, ali ni kompjuterske grafike. Dobijene slike bi ličile na jedna nema prugasto tijelo i tufnasti rep. skoro sve vrste životinjskih šara koje se mogu vidjeti u prirodi. Ustvari, mjenjanjem parametara Matematika životinjskog krzna je samo jedna od u jednačinama Mari je otkrio jednostavnu i nekoliko vrsta „geometrije života“.

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Limes

O Udruženju matematičara Kantona Sarajevo

D r . D ina K amber , katedra za Metodiku nastave matematike, PMF-a u Sarajevu

Udruženje matematičara Kantona Sarajevo je Od početka svog rada, Udruženje je organiziralo: nevladino neprofitno dobrovoljno nestranačko udruženje građana zainteresiranih za 1) Federalno takmičenje iz matematike učenika srednjih škola, 23.04.2016. (domaćin: unapređivanje svih aspekata matemačkih nauka Prirodno-matematički fakultet Sarajevo); i njihovih primjena u Kantonu Sarajevo. 2) Federalno takmičenje iz matematike učenika osnovnih škola, 14.05.2016. (domaćin: Osma osnovna škola “Amer Ćenanović”); 3) Federalno takmičenje iz matematike učenika srednjih škola, 01.04.2017. (domaćin: Gimnazija “Bugojno”); 4) Federalno takmičenje iz matematike učenika srednjih škola, 24.03.2018. (domaćin: Prirodno-matematički fakultet Sarajevo); Ciljevi Udruženja su širenje i unapređivanje 5) Federalno takmičenje iz matematike učenika svih matematičkih disciplina i njihovih srednjih škola, 30.03.2019. (domaćin: primjena, unapređivanje nastave matematike Prirodno-matematički fakultet Sarajevo); na svim nivoima obrazovanja, podizanje nivoa 6) Federalno takmičenje iz matematike učenika stručnih i naučnih znanja članova Udruženja osnovnih škola, 13.04.2019. (domaćin: organiziranjem matematičkih konferencija Prirodno-matematički fakultet Sarajevo). domaćeg i međunarodnog karaktera, stručnih i naučnih predavanja, seminara, savjetovanja, simpozija i razgovora, pripremanje učenika Osim federalnih takmičenja i bh. matematičkih i studenata za takmičenja na svim nivoima, olimpijada, Udruženje matematičara Kantona organiziranje takmičenja i sudjelovanje u Sarajevo i Odsjek za matematiku u saradnji sa takmičenjima učenika i studenata na svim Asocijacijom studenata Prirodno-matematičkog nivoima. fakulteta organiziraju i PMF Programming contest - takmičenje iz programiranja za studente Udruženje matematičara Kantona Sarajevo je prvog i drugog ciklusa bilo kojeg fakulteta i registrovano u martu 2016. godine. Predsjednica univerziteta. Udruženja je prof. dr. Senada Kalabušić. Već dvije godine, prije početka Škole matematike Iako relativno mlado, Udruženje matematičara za nadarene učenike u septembru, Udruženje Kantona Sarajevo je dosad organiziralo niz organizira Talent search - kratko takmičenje aktivnosti, škola, seminara i takmičenja. 34

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Limes

učenika osnovnih škola sa ciljem otkrivanja i Škola programiranja je počela sa radom stimulisanja mladih matematičkih talenata. 04.03.2017, i od tada kontinuirano radi u dva ciklusa godišnje, svaki u trajanju od 12 sedmica. Dana 17.09.2016. počela je sa radom Škola matematike za nadarene učenike, koja od tada kontinuirano nastavlja sa radom svake školske godine. Škola matematike za nadarene učenike traje sedam ciklusa, pri čemu svaki ciklus obuhvaća četiri termina (subota ili nedjelja), a svaki termin traje tri školska časa. U ovoj školskoj godini Školu matematike za nadarene učenike pohađa 145 učenika osnovnih i srednjih škola. Treba naglasiti da to nisu samo učenici iz Sarajeva, već i učenici iz Visokog, Kaknja, Zenice, Foče, Novog Travnika, Jablanice, Banja Luke, Gračanice,…

Sa zatvaranja i dodjele certifikata na jednom od kampova za nadarene matematičare

Krajem augusta svake godine Udruženje organizira ljetni kamp za nadarene matematičare, a u januaru zimski kamp za nadarene matematičare na kojem učestvuje preko 100 učenika iz cijele BiH. Cilj ovih kampova je da omogući učenicima iz cijele BiH kondenzovanu nastavu Sa takmičenja Programming Contest takmičarske matematike, pogotovo onima koji u svojim mjestima nemaju adekvatnu pripremu za takmičenja u toku cijele godine. Predavači na kampovima su, kao i u našoj redovnoj Školi U ovoj Školi je ponuđeno nekoliko programa, matematike za nadarene učenike, sadašnji i bivši od osnovnog programa za one koji se prvi put susreću sa programiranjem do programa za uspješni takmičari iz BiH i regiona. takmičarsko programiranje.

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Limes

Zimski ciklus Škole programiranja počinje u septembru i traje do decembra, a ljetni ciklus Škole programiranja počinje u februaru i traje do maja. Predavači su asistenti Prirodnomatematičkog fakulteta, stručnjaci iz prakse (zaposleni u IT firmama) i bivši takmičari sa informatičkih olimpijada.

jedan od domaćina konferencije ICDEA 2020 - Međunarodne konferencije o diferentnim jednadžbama i primjenama. Konferenciji će prisustvovati najbolji svjetski matematičari koji se bave ovom oblašću.

U saradnji sa International 2+2 Math School, Udruženje je 16.09.2017. pokrenulo i Školu matematike 2+2 za mlade matematičare uzrasta od drugog do šestog razreda osnovne škole. U ovoj školi kombinuje se redovna i zabavna matematika usmjerena prvenstveno ka razvijanju logičkog i kombinatornog kao i geometrijskog razmišljanja kod mlađih učenika. Rad škola Udruženja prepoznali su i kompanija Završetak jednog ciklusa i dodjela certifikata u školi Logosoft d.o.o., kao i Ministarstvo za obrazovanje, programiranja nauku i mlade Kantona Sarajevo, koji pokrivaju dio troškova održavanja ovih škola. Udruženje je organiziralo i dva stručna seminara za nastavnike i profesore matematike u osnovnim i srednjim školama: 1) Stručni seminar u Fojnici, 13.-14.01.2017. 2) Stručni seminar u Bugojnu, 25.-26.08.2017. Zajedno sa Odsjekom za matematiku Prirodnomatematičkog fakulteta Univerziteta u Sarajevu i Odsjekom za matematiku Prirodnomatematičkog fakulteta Univerziteta u Tuzli, Udruženje je organiziralo BMS matematičku konferenciju u Sarajevu u julu 2018. godine. Zajedno sa Odsjekom za matematiku Prirodnomatematičkog fakulteta Univerziteta u Sarajevu Udruženje je od 28.01.2019. do 01.02.2019. bilo organizator Zimske škole stohastičke analize u Sarajevu 2019.

Komisija za pregledanje radova na Federalnom takmičenju iz matematike za učenike srednjih škola 2019. godine

Više informacija o Udruženju matematičara Kantona Sarajevo, dosadašnjim, trenutnim i planiranim aktivnostima, kao i načinu pristupanja Udruženju možete naći na našoj web stranici umks.pmf.unsa.ba ili nam se obratiti na mail umks2016@gmail.com.

Krajem jula 2020. godine Udruženje će biti i

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Limes

O broju 2020 U nadi da ćemo biti zdravi i uspješni u 2020. godini članovi redakcije su za Vas pripremili zanimljivost o broju 2020.

Broj 2020 će biti u službi sedamnaest Pitagorinih Pravougli trougao kome su dužine stranica prirodni trojki. I to u trinaest trojki u ulozi katete i u četiri u brojevi zove se Pitagorin trougao. ulozi hipotenuze. Pitagorine trojke su brojevi koji su stranice tog Pogledajte koji su to brojevi:

trougla tj. trojke brojeva jednakost

koji zadovoljavaju .

(3,4,5) je egipatski trougao, (5,12,13) je indijski trougao

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Limes

UKRŠTENICA

Ukrštenicu za vas pripremili Bakir Ibišević i Selma Fočo, maturanti Prve bošnjačke gimnazije. 1. dio ravni ograničen dvjema polupravim 2. četverougao kojem su sve stranice jednake i nasuprotni uglovi jednaki 3. dio ravni koji je određen presjekom koordinatnih osa 4. y osa /okomiti pravac koordinatnog sistema 5. zbir dužina svih stranica nekog geometrijskog lika 6. rezultat dijeljenja dva broja 7. trigonometrijska funkcija koja predstavlja omjer sinusa i kosinusa 8. skup svih uređenih parova funkcije u vidu crteža Rješenje prve ukrštenice: _____________________________

9. usmjerena duž 10. dvije prave koje se ne dodiruju 11. odnos obima kruga i prečnika 12. duž koja spaja dvije nasuprotne tačke i prolazi središtem kružnice 13. duž koja spaja vrh sa polovištem nasuprotne stranice 14. dolazni skup neke funkcije / skup rješenja neke funkcije 15. najduža stranica pravouglog trougla 16. EKSPONENT – stepen / broj koji označava stepenovanje 17. broj koji dobijamo pri cjelobrojnom dijeljenju, a manji je od djelioca 18. proizvod svih uzastopnih prirodnih brojeva

Rješenje druge ukrštenice: ___________________________

19. prava koja ima jednu zajedničku tačku sa krivom 20. z-osa / treća koordinatna osa u koordinatnom sistemu 21. broj ispod razlomačke crte 22. odnos dva broja Rješenje treće ukrštenice: _________________________ Pitanje: ______________________________________ Odgovor: ________________

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Limes

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo