Matematički list učenika Prve bošnjačke gimnazije by Prva bošnjačka gimnazija

P RVA B O Š N J A Č K A G I M N A Z I J A S A R A J E V O C A M B R I D G E I N T E R NAT I O NA L S C H O O L

N A U Č N O - I S T R A Ž I V A Č K I M A T E M A T I Č K I K L U B P R V E B O Š N J A Č K E G I M N A Z I J E

U ovom broju: -Maturant Fahrudin Delić među najboljim fizičarima -Histogrami u fotografiji -Matematika u košarci -O Rubikovoj kocki

Prva bošnjačka gimnazija je registrirana Cambridge međunarodna škola. Prva bošnjačka gimnazija je dobitnica Šestoaprilske nagrade Grada Sarajeva.

Limes

Trogir U periodu od 13. do 15. aprila 2019 godine, trideset tri učenika Prve bošnjačke gimnazije su u pratnji profesorica Belme Alihodžić, Nezire Lopo i Sabrije Mehmedović posjetili Trogir i Split. Putovanje je proteklo u obilasku znamenitosti: Gradska loža, Crkvica sv.Sebastijana, Palača Ćipiko i Katedrala sv.Lovre.

novi

imes i čla

aL va časopis t iš n d e r u u Članovi a u Trogir ik n e č u a Vijeć

Grad koji vrijedi posjetiti....

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Limes

Sadržaj Uvodnik Maturant Fahrudin Delić među najboljim fizičarima u Evropi Intervju sa Imanom Alibašić Statistika za najmlađe Histogrami u fotografiji Posjeta osnovnoj školi ¨Mirsad Prnjavorac¨ u Vogošći Posjeta izložbi ART @CMS&PHYSICS IN CERN Astronomija - podjela astronomije Lov na asteroide Matematika u košarci Matematika i geografija Funkcija eTwinning projekat “Famous female mathematicians 2” STEM pristup u podučavanju matematike sa zanimljivim primjerima iz života Zadaci sa školskog takmičenja iz matematike u PBG u šk. 2018/2019. g. Chesstival O Rubikovoj kocki IN MEMORIAM Vera Šnajder - život i djelo

4 5 7 8 10 12 13 14 16 17 19 20 22 25 28 30 31 33 34

Redakcijski odbor Glavna i odgovorna urednica: mr.sc. Belma Alihodžić, prof. Lektorica: Emina Tucaković, prof. Tehnička savjetnica: Merisa Skalonjić, ma.elektrotehnike Izdavač: Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo Članovi redakcije: Merjem Bećirović, Medina Dobrača, Zakira Jašarević, Anisa Ratković, Selma Fočo, Nejra Gurbeta, Ilma Gusinac, Irma Salkić, Anida Tinjak, Lamija Gutić, Burhan Ljubović, Harun Alibašić, Bakir Ibišević, Faruk Ibišević, Nejra Habibović, Ilhana Tinjak, Amila Neretljaković, Emina Belko, Esma Zalihić, Azra Žunić, Isa Zuhrić, Amina Gabela, Furkan Nurović, Lejla Kahriman, Nerma Fazlibašić. Štampa: Blicdruk, Sarajevo Tiraž: 100 komada Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Limes

Riječ direktorice

NA I DA H O TA- M U M I N O V I Ć direktorica Prve bošnjačke gimnazije Naši matematičari pod mentorstvom profesorice Belme Alihodžić kroz ovogodišnji Limes opet uspijevaju komunicirati apstraktno i konkretno, blisko i daleko, fizičko i metafizičko, kvalitativno i kvantitativno... Tako grade koordinate u mreži svoje spoznaje koje će u tom formativnom sučelju kasnije igrati važnu ulogu u tome da li će biti uspješni u svome logiciranju, kako u društvenim tako i matematičkim naukama. Ali to neće biti dovoljno. Ovim vrijednim učenicima želim da tu koordinatnu mrežu dobro kalibriraju i da ona služi i za samo razumijevanje života kao takvog. Jer naša pozicija u toj mreži sadrži tajne uspjeha čovjekovog namjesništva na Zemlji. Oko nas su drugi ljudi koji također zauzimaju svoje koordinate. Razumjeti ispravno veličine udaljenosti, zakrivljenja, intenziteta, te faktore koji utječu na varijacije, poput ljubavi i milosti, pravednosti i britkosti, spada među ključne kompetencije za uspješnu izgradnju međuljudskih odnosa. Naida Hota-Muminović, direktorica

Riječ urednice

BELMA ALIHODŽIĆ urednica Dragi čitaoci, deveti broj časopisa ¨Limes¨ donosi nove priloge iz oblasti fizike, matematike i astronomije, članke o interesantnim projektima, radionicama, putovanjima i posjetama, kao i nove intervjue. Na samome početku čast nam je predstaviti razvojni put jednog od ovogodišnjih najboljih evropskih fizičara, Fahrudina Delića, maturanta Prve bošnjačke gimnazije, kojeg predstavlja njegova profesorica i mentorica Aida Agić-Hadžić. U intervjuu koji donosimo u ovom broju, Imana Alibašić, učenica Međunarodne srednje škole Richmond Park College i matematičarka sa zavidnim rezultatima, govori o tome kako srednjoškolci mogu poboljšati svoje matematičke sposobnosti. Pročitajte također i tekstove naših saradnika o statistici, histogramima u fotografiji, o matematici u košarci, funkcijama te o astronomiji i lovu na asteroide. Prisjetili smo se i onih koji više nisu među nama, profesora Prirodno-matematičkog fakulteta u Sarajevu, Harryja Millera i Nedžada Dukića, a prilozima o Rubikovoj kocki, šahovskom takmičenju i STEM podučavanju, te mnoštvom takmičarskih zadataka završavamo ovaj broj. U nadi da ćete biti zadovoljni sadržajem ovog broja, toplo vas pozdravljam! Urednica

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Limes

Maturant Fahrudin Delić među najboljim fizičarima u Evropi AIDA AGIĆ-HADŽIĆ profesorica fizike u Prvoj bošnjačkoj gimnaziji Fahrudin Delić je učenik IV2 odjeljenja Cambridge International School u Prvoj bošnjačkoj gimnaziji. Prva dva razreda srednjoškolskog obrazovanja Fahrudin je pohađao u Curriculumu A Prve bošnjačke gimnazije, a nakon što je izabrao matematičko-informatičko izborno područje, nastavio je školovanje u programu Curriculuma B. To je bilingvalni program koji je Fahrudinu omogućio ne samo da usavrši svoje već odlično poznavanje engleskog jezika nego da ujedno upozna nove prijatelje i stekne iskustvo u radu po Cambridge međunarodnom programu. Fahrudin je jedan briljantan mladi čovjek koji vam dopušta da ga upoznajete postepeno. Što više saznajete, to više želite da znate o njemu. Već u prvom razredu gimnazije bez većih poteškoća našao se među 5% najuspješnijih učenika. Narednih godina nastavio je pokazivati izuzetne rezultate, naročito u fizici, matematici i informatici. Mnogi profesori su ga prepoznali kao učenika nadarenog za rješavanje problemskih zadataka kao i učenika sa izuzetnim sposobnostima logičkog zaključivanja. Njegova zrelost i sposobnost rada u timu su došle do izražaja tokom rada na školskim

projektima. Fahrudin je veoma motiviran, visokog samopouzdanja i svjestan svojih potencijala. Jako je odgovoran i komunikativan, na što ukazuje dobra saradnja sa članovima tima sa kojima sarađuje, kao i munjevito izvršavanje zadanih zadataka. Iznad svega tu su i njegova kreativnost i činjenica da uvijek ima ideju za neki projekt ili za rješenje nekog problema. Fahrudina krasi požrtvovanost i istrajnost u bilo kakvom izazovu.

U odjeljenju je obavljao dužnost predsjednika i predstavnika odjeljenja u vijeću učenika, te samim tim pokazao odgovornost i profesionalnost u izuzetnoj mjeri. Fahrudin ima objektivan stav izgrađen o svemu što je predmet diskusije i smatram da je to kvalitet njegove ličnosti. On je od prvog dana ambiciozni, samouvjereni i marljivi član vannastavnih aktivnosti. Posebnu posvećenost pokazao je Klubu fizike kroz cjelogodišnje pri-

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Limes

Fahrudinova dostignuća na naučnim takmičenjima I razred: Matematika: Školsko takmičenje, IV mjesto Fizika: Školsko takmičenje: I mjesto Kantonalno takmičenje: A3 grupa, VII mjesto Federalno takmičenje: A3 grupa, VII mjesto II razred: Fizika: Školsko takmičenje: B grupa, I mjesto; Kantonalno takmičenje: B grupa, VI mjesto Federalno takmičenje: B grupa, IV mjesto

sustvo časovima iz svih oblasti. Njegova razmišljanja su uvijek usmjerena na praktičnu primjenu i dosta su realistična. On je analitičar koji često izražava svoje poglede i stavove na vrlo originalan način. U svakom slučaju, to je jedna dobro informisana mlada osoba, koja je razvila svoje stavove o društvu koje ju okružuje. 6

Fahrudinovi odgovori na času su uvijek potkrijepljeni informacijama iz različitih izvora, što govori o znatiželji i mogućnosti da postane mladi istraživač u području inžinjerskih nauka. Fahrudin Delić je vrijedan učenik Prve bošnjačke gimnazije koji je svoj matematički talent odlučio usmjeriti na fiziku. Njegove kvalitete su: aktivnost i komunikativnost, te spremnost da pomaže ljudima oko sebe i da se bori za principe u koje vjeruje.

III razred: Fizika: Školsko takmičenje: A3 grupa, I mjesto Kantonalno takmičenje: A3 grupa, IV mjesto Federalno takmičenje: D grupa, cjelokupna fizika, VI mjesto (II po bodovima) Državno takmičenje: D grupa, cjelokupna fizika, VI mjesto IV razred: Fizika: Školsko takmičenje: C grupa, I mjesto Kantonalno takmičenje: C grupa, II mjesto Federalno takmičenje: D grupa, cjelokupna fizika, V mjesto Izborno takmičenje za EuPho: D grupa, cjelokupna fizika, V mjesto Državno takmičenje: D grupa, cjelokupna fizika, I mjesto Internacionalno takmičenje: EuPho (European Physics Olympiad) , 31. maj-4. juni Internacionalno takmičenje: IPho (European Physics Olympiad) , 7. juli-15. juli

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Limes

INTERVJU SA IMANOM ALIBAŠIĆ

Postanite bolji matematičari HARUN ALIBAŠIĆ učenik trećeg razreda Prve bošnjačke gimnazije Kada i kako si počela da vježbaš matematiku? Matematikom sam se ozbiljno počela baviti u 7. razredu osnovne škole. Prijavila sam se na školsko takmičenje na kojem sam osvojila () mjesto i time prošla na općinsko takmičenje. Iz ovog uspjeha javlja se želja za ozbiljnijim vježbanjem, te sam se počela spremati za predstojeća takmičenja. Kroz te pripreme sam shvatila da imam talenta za matematiku i odlučila sam nastaviti vježbati. Na koji način se spremaš za takmičenja? Matematiku vježbam svakodnevno, i individualno i na „Školi matematike“ na Prirodno-matematičkom fakultetu. Ona se održava subotom te je odličns prilika za vježbanje matematike uz pomoć profesora. U pripremi mi mnogo pomažu i matematički kampovi, koji se održavaju dva puta godišnje i na kojima imam priliku da se družim sa takmičarima iz svih dijelova BiH. Samostalni rad je također neophodan. Šta preporučuješ drugim matematičarima koji žele da postignu uspjeh? Najbolje je da počnu raditi uz pomoć svojih profesora na dodatnoj nastavi i sekcijama iz matematike. Preporučujem da se upišu u Školu matematike, a i matematički kampovi, koji se odražavaju za vrijeme raspusta, odličan su način da se

stekne znanje iz matematike, ali i da se steknu poznanstva sa drugim takmičarima. No najvažnije jeste da ne odustaju te treba da znaju da je svaki početak težak, naročito kada je matematika u pitanju. Ko ti daje najviše podrške i čija je podrška najznačajnija? Najviše podrške dobila sam od svoje porodice, naročito od roditelja, čija podrška mi najviše znači. Značajna je svakako i podrška moje škole, u prvom redu pomoć profesora matematike. Ne smijem zaboraviti ni prijatelje, te kolege takmičare sa kojima mogu zajedno da vježbam, što rad čini lakšim i zabavnijim. Koliko vremena vježbaš matematiku? Trudim se da vježbam kontinuirano, tokom čitave godine, ne praveći velike pauze. Svakodnevno vježbanje mi ne oduzima više od dva sata. Pred takmičenja matematici posvećujem mnogo pažnje te intenziviram vježbanje. Mnogo mi pomaže to što budem oslobođena škole i školskih obaveza. Da li ti matematika pomaže u nekim drugim oblastima? Naravno! Znanja iz matematike primjenjiva su i u drugim naukama ali i u životu. Ovo se najviše odnosi na prirodne nauke, hemiju i fiziku. Ali svakako da je matematika jako bitna i za informatiku, pogotovo programiranje, za što se također interesujem.

Čime se želiš baviti u budućnosti? U srednjoj školi se planiram nastaviti baviti matematikom, a i kasnije ću se vjerovatno baviti nečim što je u vezi sa tom naukom. Pored matematike, za šta se još interesuješ? Pored matematike, bavim se programiranjem. Pohađam Školu programiranja na Prirodno-matematičkom fakultetu. Učim i strane jezike, njemački i turski. Da li imaš neki savjet za učenike koji počinju da vježbaju matematiku? Preporučujem im da se upišu na sekciju matematike u školi u koju idu. Zatim, ukoliku pokažu više interesovanja, da počnu odlaziti na „Školu matematike“ na PMF-u. No, ipak najbitniji jeste svakako samostalni rad, rad sa profesorom te motivacija koju mladi matematičar ima. Također, ukoliko imate potrebu da se odmorite od vježbanja, napravite pauzu na određeni period.

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Limes

Statistika za najmlađe A rijana - A mina R amić diplomirani matematičar i statističar, Savezni statistički zavod Njemačke Uveliko je poznato da je neki vole, neki mrze, ali svi moraju da je uče. Koliko često smo samo čuli: „Nikad to neću koristiti!“ ili „Ma gdje ću to koristiti?“ Najčešće se ovdje misli na matematiku. Ali matematika nas okružuje sa svih strana i prožima sve naučne oblasti u jednom ili drugom obliku. Jedan od najčešćih oblika koji matematika poprima u svojoj svakodnevnoj primjeni je statistika. Statistika doprinosi boljem razumijevanju svijeta u kojem živimo. Ima je svuda: u politici, sportu, socijalnim medijima... Zašto i kako svuda? Jer je to nauka ili praktična primjena prikupljanja i analize velike količine podataka s ciljem pronalaženja osnovnih karakteristika, prevladavajućih šema, ponavljajućih fenomena, vjerovatnoće pojavljivanja, distribucije različitih vrijednosti itd. Evo nekih primjera korištenja statistike u svakodnevnom životu za koje možda i ne znate da su statistički primjeri: - često kada skidamo muziku ili želimo da gledamo neki film po-

gledamo u ocjene korisnika ili broj pregleda - gledajući sport analiziramo najbolje rezultate, najbolje igrače, najbolje sezone i sl. - igrajući videoigrice vodimo statistiku o broju ili procentu pređenih nivoa, prosječnom vremenu potrebnom za prelazak nivoa, najdužem i najkraćem vremenu potrebnom za prelazak jednog nivoa, analiziramo iste podatke kod protivnika da učimo o njegovom načinu igranja, jačinama i manjkavostima - prateći prognozu vremena vidimo rezultate analize prikupljenih podataka o šematskim promjenama kroz historiju u odnosu na određene parametre i predviđanje nadolazećih promjena korištenjem određene vjerovatnoće - planirajući godišnji odmor ili izlet na osnovu pročitanog da u prosjeku je u tom mjestu 20 sunčanih dana sa temperaturama većim od 25 stepeni već u maju, te da je prošle godine u istom mjesecu pet dana bilo sa temperaturama od 30 stepeni, zaključujemo da možemo

očekivati ponovo sunčano i (jako) toplo vrijeme i da nam ne trebaju topla odjeća niti čvrsta obuća - rezultate naših testova čekamo u prosjeku između tri i sedam dana, ali najčešće pet - čitamo uputstvo o korištenju lijeka u kojem stoji da „u 10 od 1000 slučajeva pacijenti mogu osjećati...“ - između više istih proizvoda različitih marki, cijena i dizajna biramo onaj koji nam se najviše sviđa po jednom ili više određenih nama bitnih kriterija koji stoje u vezi s našim izborom - prilikom političkih izbora analiziramo koliko od obećanog u predizbornoj kampanji je ispunjeno u proteklom periodu da bismo znali ko ima tendencije da nastavi sa dobrim radom i dalje - da bismo bili zdravi i zdravo se razvijali, najbolje je da spavamo u prosjeku osam sati, jedemo više puta manje količine hrane, unosimo više proteina a manje masnoća itd. - devet od deset nastavnika preporučuje redovno učenje i javljanje

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Limes za postizanje najboljih rezultata Ovo je samo mali broj primjera iz statistike koji su dio naše svakodnevnice. Korišteni su osnovni pojmovi statistike: apsolutni ili relativni broj, prosjek, minimum, maksimum, interval, mod, korelacija, uporedba, historijski podaci, vjerovatnoća i sl. Koliko puta smo čitali ili čuli sljedeće: “Posljednje istraživanje provedeno na 3 000 ispitanika pokazalo je da…” ili “U posljednjih deset godina ispitivanje je obuhvatilo 21 000 osoba…” Jesmo li se ikad zapitali kako istraživanje na 3 000 ispitanika može dati pouzdane rezultate validne za sve? Statistika i statističke metode daju tačno obašnjenje kako i zašto se ispitivanje nad određenim brojem osoba može referencirati na šire mase – cijelu državu, čak i cijeli svijet. Nedavno je Japanska svemirska agencija JAXA uspjela da lansira i sigurno prizemlji dva robota na asteroid u svemiru. Ovi roboti će skupljati podatke o stijenama i kamenju na površini asteroida, te temperaturama i promjenama, fotografisat će sve promjene i zapažanja. Dakle, u naučne svrhe prikupljaju se podaci koji će se analizirati i na osnovu kojih će se donijeti zaključci o određenim uzrocima i posljedicama koji imaju veze sa nastankom našeg solarnog sistema. Statistika po klasičnoj definiciji ima ogromnu vrijednost za čovječanstvo. Ideja da je statistika, tačnije statističko razmišljanje i zaključivanje, od izuzetne važnosti za moderno društvo počela se razvijati početkom 20. vijeka: „Statističar drži svoje prste na bilu ljudskosti i daje potrebno upozorenje

kad nešto nije kako treba“ je citat iz 1945. godine (Walker, 1945). Ovo „bilo ljudskosti“ je u današnjem vremenu postalo jako kompleksno i obuhvata mnogo više segmenata nego je nekada moglo i da se zamisli. Zato je sve više potrebno da se čovječanstvo obrazuje i osposobljava za statistiku, odnosno za analize raznovrsnih dostupnih i bitnih informacija današnjeg svijeta sa ogromnim potencijalom podataka. Već u 2014. godini istraživanja nekih najvećih zavoda za zapošljavanje u svijetu pokazala su da se očekuje da će broj poslova koji su u vezi sa statistikom do 2024. godine porasti čak i za više od 30%. Budući da razvoj relevantnog znanja treba da počne već u školskom dobu, sve više se statistika uključuje ne samo u studije već i u srednjoškolsko i osnovno obrazovanje. Mnoge zemlje intenzivno rade na ovom cilju. Npr. u Americi i Novom Zelandu postoje programi za učenike i nastavnike sa interaktivnim i interesantnim učenjem statistike na raznim nivoima, u raznim oblastima, sa raznim alatima i sa različitim metodama. Ovi programi kroz interaktivne igre i zadatke ohrabruju korisnike da istražuju koristeći osnovne koncepte statistike i pomažu razvoj sposobnosti potrebnih za napredovanje u ovoj oblasti koja, na temelju podataka, sve više raste. Radeći na poboljšanju statističkog opismenjavanja za sljedeće generacije, i krovna statistička institucija Evropske unije EUROSTAT je u saradnji sa volontirajućim statističkim institucijama određenih zemalja Evropske unije organizovala prvo takmičenje za najmlađe

statističare pod nazivom European Statistics Competition (ESC). Glavni ciljevi ESC-a su buđenje znatiželje i zanimanja za statistiku među učenicima, poticanje nastavnika da koriste nove materijale za podučavanje statistike uz korištenje stvarnih podataka dobivenih u službenim statistikama, te traženje primjene stečenog statističkog znanja. Štaviše, ima za cilj pokazati ulogu statističkih podataka učenicima i nastavnicima u različitim aspektima društva, te promovisati timski rad i saradnju među učenicima kako bi se postigli zajednički ciljevi. Pobjednički timovi, kao i njihovi pobjednički videoklipovi, predstavljeni su na ovogodišnjoj Evropskoj konferenciji o kvalitetu u statistici održanoj u Krakovu, u Poljskoj, pri čemu su pobjednicima dodijeljene i nagrade, koje je uručila direktorica EUROSTAT-a Marijana Kotzeva. Ukoliko ste zainteresirani za učešće u ovom takmičenju, molimo da pročitate više detalja na linku https://www. eso2018.eu/ i prijavite se u našu redakciju, koja bi pod određenim uslovima poduzela naredne korake za omogućavanje učešća na spomenutom takmičenju.

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Limes

Histogrami u fotografiji lamija gutić učenica Prve bošnjačke gimnazije i Cambridge International School U pogledu statistike, histogram predstavlja način prikazivanja podataka raspoređenih u određene kategorije ili grupe. Histogram je grafički prikaz tabelarnog predstavljanja frekvencije uz pomoć podešenih pravougaonika. Razvojem digitalne fotografije i grafičkog dizajna posljednjih dvadeset godina, došlo se do ideje da se i digitalne fotografije mogu predstaviti histogramom. Danas histogrami mogu pomoći fotografima da provjere ekspozicije svojih fotografija i poprave ih ukoliko su na nekim mjestima podeksponirane ili preeksponirane svjetlu. Kada su u pitanju histogrami fotografija, postoje tri histograma za tri boje – crvenu, zelenu i plavu. Vodoravna osa prikazuje tonalni raspon, a okomita prikazuje broj piksela u pojedinom tonu. Na samom kraju sa lijeve strane prikazuju se crna područja, dok desna prikazuju svijetla područja fotografije. Ono gdje histogrami posebno pomažu i gdje je preporučeno da se koriste je kontrola ekspozicije po jakom suncu i u noćnoj fotografiji jer su rezultati snimanja u ovakvim okolnostima upravo ili podeksponirane ili preeksponirane, tzv. izgorjele fotografije. U primjerima su prikazani trostruki histogrami – na jednom koordinatnom sistemu su predstavljeni histogrami za sve tri boje.

Podeksponirano

Histogram podeksponirane fotografije i podeksponirana fotografija snimljena u Muzeju prirodnjačke historije u Beču Eksponirano tamnije (low key fotografije)

Histogram tamnije eksponirane fotografije i tamnije eksponirana fotografija snimljena u Muzeju prirodnjačke historije u Beču Eksponirano normalno

Histogram normalno eksponirane fotografije i normalno eksponirana fotografija unutrašnjosti Muzeja prirodnjačke historije u Beču

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Limes

Eksponirano svjetlije

Histogram svjetlije eksponirane fotografije i svjetlije eksponirana fotografija dvorca Belvedere u Beču

Preeksponirano

Histogram preeksponirane fotografije i preeeksponirana fotografija snimljena u dvorcu Schönbrunn u Beču

Kao što je prikazano u primjerima, ekspozicija fotografije je u jednoj od krajnjih vrijednosti kada je histogram strm i nalazi se na jednoj strani. Histogram tačno eksponirane fotografije se prostire preko cijelog koordinatnog sistema i ispod histograma su date vrijednosti koje se koriste u statistici: medijan i srednja vrijednost. Može se zaključiti da se te vrijednosti kod nor-

malno eksponiranih fotografija u rasponu od 100 do 120. Sve ispod ili preko su preeksponirane ili podeksponirane fotografije. Danas se na digitalnim fotoaparatima odmah može prikazati histogram fotografije i dio koji je izgorio je posebno istaknut. Ukoliko dođe do toga, mijenjaju se postavke i pravi se nova fotografija. Naprimjer, iz tog razloga se često na ja-

kom suncu koristi vrlo uzak otvor blende i ISO vrijednost je spuštena na minimum, dakle, ISO vrijednost je 100. Naravno, u uslovima sa vrlo malo svjetla sve se te postavke mijenjaju sa ciljem kvalitetne fotografije. Histogrami imaju vrlo važnu primjenu i od velike su pomoći fotografima u pronalaženju idealne ekspozicije.

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Limes

Posjeta Osnovnoj školi ¨Mirsad Prnjavorac¨ u Vogošći SELMA FOČO učenica trećeg razreda Prve bošnjačke gimnazije jasnila naš princip rada te ostavila prostor za dodatna pitanja. Šta da kažem, bilo je to zanimljivo iskustvo. Možda smo upoznali buduće velike matematičare. Saznali smo ponešto o njihovim uspjesima na takmičenjima, pa i vlastita podijelili s njima. Neki su čak napomenuli da ih matematika posebno inspiriše i da je to nauka koju najviše vole. Sat je otkucavao minute, našoj posjeti se bližio kraj. Nadali smo se novoj školskoj saradnji, a kao podsjetnik na ovaj događaj, nastavnici je uručen simObilazak škole uz predah za zajedničku fotografiju bolični poklon uz nekoliko brojeva Bio je to jedan običan jesenji dan. Počeli smo dugom vožnjom do našeg “Limesa”. Ponovo je došao Nakon redovnih časova, svako ide Vogošće. red na dugu vožnju kući. Za nas je svojim putem. To je bio zanimljiv put za one koji to bio period za razgovor o posjeNas, članove Naučno-istraživačkog prvi put putuju tim pravcem. Tamo ti. Zajedno smo spomenuli neke kluba “Limes”, na jedno mjesto je nas je dočekalo popločano dvorište nedostatke, ali svakako da su se u okupila posjeta jednoj od saraje- puno djece, osmijeha i ukrasa. nama pojavile i nove ideje koje tek vskih škola. Kao i uvijek, imali smo Obišli smo prostor Osnovne škole treba realizirati. tremu jer ipak je trebalo predstavi- “Mirsad Prnjavorac”, a zatim smo ti sebe i školu u najboljem svjetlu. srdačno dočekani u prostorijama njihove muzičke škole. Prvo nam se predstavila nastavnica matematike, a zatim učenici osmih i devetih razreda, članovi Matematičke sekcije. Razmijenili smo nekoliko pitanja, pa smo riječ prepustili našoj profesorici, koja je ponosno Vrijeme je da se pozdravimo i pozovepredstavila nas, našu skolu i naš mo domaćine nama u goste, u Prvu matematički časopis. Pobliže je obbošnjačku gimnaziju

Uručivanje Monografije Prve bošnjačke gimnazije školi domaćina

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Limes

Posjeta izložbi ART@CMS&PHYSICS IN CERN AIDA AGIĆ- HADŽIĆ profesorica fizike u Prvoj bošnjačkoj gimnaziji U prostorijama Akademije likovnih umjetnosti u Sarajevu 16.10. 2018. godine otvorena je izložba pod naslovom CERN u Sarajevu. Organizator ovog događaja bilo je Društvo za promociju prirodnih nauka „Nauka i svijet“ u kooperaciji sa CERN-om i Ambasadom Republike Francuske u Bosni i Hercegovini. Cilj izložbe je povezivanje društva u cjelini sa segmentom nauke i sinteza umjetnosti, humanističkih nauka sa naučnom zajednicom koju okuplja kadar zaposlen na LHC – Large Hadron Collideru u Švicarskoj, a

glavni inicijator dolaska ove svjetski poznate izložbe u Sarajevo je bio prof. Daniel Denegri, jedan od članova tima CERN-a koji je detektovao i čuveni Higgsov bozon. Učenici Prve bošnjačke gimnazije imali su priliku razgovarati sa njim, postavljati mu pitanja, te naučiti puno toga o procesima koji se dešavaju na subatomskom nivou u svemiru i na kraju povezati znanje stečeno u učionici sa stvarnim eksperimentima koji se izvode u CERN-u. Zajedno sa profesoricom fizike Aidom Agić-Hadžić i kolegama iz drugih srednjih ško-

la Kantona Sarajevo družili su se i razmjenjivali znanja o najnovijim dostignućima iz oblasti fizike elementarnih čestica.

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Limes

Atronomija i njena podjela BA K I R i FA RU K I B I ŠE V I Ć učenici II i III razreda Prve bošnjačke gimnazije Astronomija je nauka koja se bavi promatranjem i objašnjenjem događaja koji se dešavaju izvan Zemlje i njene atmosfere. Etimološko značenje astronomije potiče od grčke riječi astronomia - „zakon zvijezda“, složenice riječi: astros i nomos. Uz pomoć matematike, fizike i hemije astronomija izučava porijeklo, evoluciju, te fizikalna i hemijska svojstva svih nebeskih tijela (kao što su planete, zvijezde, galaksije) kao i procese (naprimjer širenje svemira i kosmičko pozadinsko zračenje) koje ih obuhvataju. Astronomija je jedna od najstarijih prirodnih nauka. Najranije civilizacije poput Babilonaca, Grka, Egipćana, Kineza i Maja su

vršile metodičko posmatranje na noćnom nebu. Zbog njihova vjerovanja u duhove i brojna nadnaravna bića, mnoge od ovih civilizacija imale su posvećene hramove za promatranje neba i tumačenje položaja zvijezda i planeta. U to vrijeme se vjerovalo da je Zemlja centar svemira i da se ostala nebeska tijela kreću oko nje – takvo ustrojstvo svemira poznato je kao geocentrični sistem. Srednjovjekovna astronomija, kao i većina drugih nauka, nije imala napretka, dok je u islamskom svijetu doživljavala renesansu. Arapski astronomi su bili veoma napredni i njihovim djelima su se vjerovatno služili kršćanski učenjaci u kasnijim godinama. Jedno od

Jedan od drevnih hramova koji su služili za posmatranje neba i zvijezda

najznačajnijih otkrića tog vremena objavljeno je u knjizi perzijskog astronoma Abdurrahmana Sufija na zapadu poznatog pod imenom Azofi. U svojoj knjizi „Knjiga o nepomičnim zvijezdama“ 964. godine je opisao galaksiju Andromeda, najveću galaksiju u lokalnoj grupi galaksija. U vrijeme renesanse Nikola Kopernik, utemeljitelj savremene astonomije, uspostavio je u prvoj polovini 16. stoljeća heliocentrični sistem po kojem je Sunce središte oko kojeg se kreću planete. Naročito značajnu ulogu u razvoju novog pogleda na svemir imao je njemački astronom i matematičar Johan Kepler, koji je, poslije dugogodišnjeg promatranja i analize kretanja Marsa i drugih planeta, sa tri fundamentalna zakona o kretanju planeta dokazao Kopernikovu hipotezu o heliocentričnom sistemu. Od tada se astronomija ubrzano razvija, a mnogi veliki naučnici kao što su italijanski astronomi Đordano Bruno i Galileo Galilei doprinijeli su boljem razumijevanju svemira. Savremena astronomija je usko povezana sa matematičkim i prirodnim naukama, zbog čega je mnogi dijele na astrometriju i astrofiziku. Postoje i mnogobrojne druge podjele, od kojih su podjela prema predmetu proučavanja i podjela prema elektromagnetskom

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Limes

spektru najviše korištene. Podjela prema predmetu proučavanja astronomiju dijeli na: - astrohemiju, koja proučava hemijske supstance pronađene u svemiru, obično u molekularnim gasovitim oblacima (jedna od najpoznatijih pojava i fenomena u intergalaktičkim oblacima jeste takozvana Horsehead Nebula, nakupina svemirske prašine toliko guste i tamne da apsorbira okolnu svjetlost) - astrobiologiju, koja proučava postanak i evoluciju bioloških sistema u svemiru - astrofiziku, koja se bavi fizikom svemira, uključujući i fizikalna svojstva nebeskih tijela i njihovih sistema - kozmologiju, koja proučava svemir kao cjelinu i njegovu evoluciju - galaktičku astronomiju, koja proučava strukturu i komponente galaktika - ekstragalaktičku astronomiju koja proučava nebeska tijela (uglavnom galaktike) van Mliječnog puta

- arheoastronomiju, interdisciplinarnu nauku koja povezuje astronomiju i arheologiju i proučava prošle astronomske događaje. Podjela prema elektromagnetskom spektru astronomiju dijeli na: - optičku i radioastronomiju, koje se praktikuju u prizemljenim opservatorijima, jer je atmosfera prozirna pri ovim talasnim dužinama. Proučavaju i opisuju tehnike koje se upotrebljavaju za otkrivanje i analizu svjetlosti u blizini talasnih dužina koje su vidljive golim okom. - visokoenergetsku astronomiju koja proučava nebeska tijela i njihove sisteme koji odašilju elektromagnetske talase vrlo velikih energetskih talasnih dužina - rentgenska astronomija, astronomija gama-zračenja, ultraljubičasta astronomija i astronomija dalekog infracrvenog zračenja se bave proučavanjem talasnih dužina kod kojih je atmosfera neprozirna, te se opservacije mogu vršiti samo iz balona ili svemirskih opservatorija. Astronomija je specifična po tome

što je jedna od rijetkih nauka u kojima amateri astronomi mogu najviše doprinijeti. Poznato je da su astronomi amateri otkrili nekoliko kometa kao i promatrali promjene u životu zvijezda. Daljnji razvoj tehnologije doprinijet će svim astronomima, kako profesionalnim tako i amaterima, da dođu do velikih otkrića.

Prikaz geocentričnog sistema

Galaksija Andromeda – otkrio ju je Abdurrahman Sufi

Heliocentrični sistem Nikole Kopernika

Nikola Kopernik – uspostavio teoriju heliocentricnog sistema i utemeljitelj savremene astronomije

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Limes

Lov na asteroide ILHANA TINJAK maturantica Prve bošnjačke gimnazije Asteroidima se nazivaju kamena ili metalna svemirska tijela prečnika većeg od 1 m koja samostalno ili u skupini sličnih tijela obilaze oko Sunca. Većina asteroida obilazi Sunce u glavnom planetoidnom pojasu između Marsa i Jupitera; dio prilazi bliže Suncu od Marsa i Zemlje, a dio se kreće u putanji Jupitera. S obzirom na to da ih ima veoma mnogo, svemirske organizacije u svijetu omogućile su manjim nevladinim organizacijama (poput astronomskih društava) “hvatanje” ovih zanimljivih pojava. Tako su se astronomska društva „Orion“ iz Sarajeva i “Eureka” iz Kruševca od oktobra 2018. godine uključila u internacionalni „lov na asteroide“ nakon što su njihovi učesnici prošli kroz kraći kurs korištenja programa “Astrometrica”. Učesnicima su dostavljene fotografije na koji-

Certifikat o učešću

ma su uhvaćene razne svemirske pojave. Fotografije su napravljene tako da je nemoguće golim okom zamijetiti razliku između tijela kao što su zvijezde i asteroida.

Program “Astrometrica”: isječak jedne od fotografija koje su poslane na analizu

Međutim, tu je ključno poznavanje programa koji se koristio. Svaki učesnik bi dobio set od nekoliko slika istog dijela neba, te bi brzim smjenjivanjem slika mogao uočiti svemirske strukture koje se kreću. Praćenjem nekoliko podataka koje program očituje, kao što su Gausova kriva i “object designation”, moguće je tačno odrediti koji objekt je asteroid. Nakon što bi učesnici skupili svoje izvještaje, oni bi bili profesionalno analizirani. Iskustvo je divno i uspješno jer je ove godine Astronomsko društvo “Orion” je detektovalo veliki broj asteroida.

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Limes

Matematika u košarci FA R I S D Ž U H O maturant Prve bošnjačke gimnazije Košarka je jedan od najpoznatijih sportova danas i igra se širom svijeta. Od blještavih dvorana u SAD-u do betonskih terena u Kini, ljudi se mogu povezati tom igrom. Iako se običnom igraču na prvi pogled matematika čini nevažnom, ona zapravo može da se pronađe u svakom aspektu igre. Dimenzije košarkaškog terena su 28 X 15 m (FIBA), a u NBA-u 28,65 X 15,24 m. Visina obruča je univerzalna: 3,05 m. Udaljenost linije za 3 poena u NBA je 7,24 m (6,70 m u ćoškovima), dok pod FIBA pravilima udaljenost iznosi 6,75 m (6,60 u ćoškovima). Udaljenost slobodnog bacanja je 4,6 m, od linije za bacanje do tačke ispod table. Obim košarkaške lopte je 75 cm a teži 620 g. Prosječni igrač u NBA je visok 2 m, dok je prosječno težak 100 kg. Matematika osnovnih pokreta a. Geometrija u košarci Bilo da shvate to ili ne, košarkaši

koriste mnoge geometrijske koncepte u toku igre. Putanja kojom će se lopta kretati kada se šutira svodi se na ugao pod kojim je izbačena, silu koja se primjenjuje i visinu ruke igrača. Prilikom šutiranja iza linije slobodnog bacanja potreban je manji ugao da bi lopta prošla kroz obruč. Međutim, kada se vrši obični šut, traži se veći ugao, s obzirom da je ispred odbrambeni igrač koji pokušava blokirati loptu. Razumijevanje lukova će pomoći da se odredi kako najbolje da se šutira lopta. Košarkaši shvataju da bacanje lopte pravo na koš neće omogućiti ulazak u obruč, ali bacanje lopte sa većim lukom povećava šanse ulaska. Dobijanje pravog luka je važno kako bi se osiguralo da lopta ne padne na pogrešno mjesto u slučaju promašaja. U tom slučaju povećavaju sebi šansu za ofanzivni skok. Najbolja visina za driblanje se također može odrediti matematički. Kada stoje, košarkaši pokušavaju

driblati loptu što niže jer im to omogućava najbolju kontrolu lopte. Kada trče, vode je bliže visini kukova, što pomaže bržem kretanju sa loptom. Da bi dodali loptu iz kretanja, igrači koriste prave uglove, tako da lopta može najbrže baciti i doći u ruke saigrača.

Razumijevanje geometrije je također od ključne važnosti i za dobru odbranu. Pomoći će u predviđanju poteza igrača, kao i za zauzimanje najboljeg položaja prema protivničkom igraču. Direktno suočavanje s njim dat će mu veći prostor za kretanje na bilo koju stranu, ali suočavanje pod uglom ograničit će njegovu slobodu. Kada treneri objašnjavaju odbranu, uvijek pokušavaju naglasiti koliko je bitno navoditi igrača na slabiju ruku. To radimo tako što mu pod uglom zatvorimo prolaz na dominantnu stranu i odbranom ga guramo van terena. b. “Triangle” napad Jedna od najpoznatijih taktika u napadu je “triangle offense” ili trokut napad. Legendarni NBA trener

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Limes

Phil Jackson je pomoću ovog napada osvojio 11 titula. Sam napad, kao što mu možemo vidjeti iz imena, zasniva se na tome da se igrači postave u obliku jednog ili više trokutova kao na slici:

Na ovaj način odbrambeni igrači su skupljeni na jednom dijelu terena te je napadačima lakše probiti njihovu odbranu. U slučaju da im odbrana brani prodor, ostat će barem jedan napadač neodbranjen i u najboljem slučaju imati slobodan šut. c. Statistika u košarci Statistika je ključna za analizu košarke. Koristi se za određivanje snaga i slabosti svakog pojedinog igrača. Za gledaoce, statistika se koristi za određivanje vrijednosti igrača i analizu učinka pojedinca ili cijelog tima. Procenat je uobičajen način poređenja učinka igrača. Koristi se za dobijanje vrjednosti kao što su skokovi za promašen šut koji igrači uhvate. Statistika se takođe koristi za rangiranje igrača na osnovu broja šuteva, ukradenih lopti i asistencija tokom igre. Prosjeci se koriste za dobijanje vrjednosti kao što su prosjek poena po utakmici, a omjeri se koriste za dobijanje vrednosti kao što je omjer izgubljenih lopti i asistencija. Ova vrsta informacija pomaže trenerima da uvide propuste u igri svoje ekipe. Danas košarkaši u NBA ligi imaju prednost tehnologije. Većina ek18

ipa koji su u konkurenciji za prvenstvo iz godine u godinu koriste tehnologiju koja im omogućuje da prate kretnje igrača, njihov doprinos u napadu i odbrani, pa čak i komponente njihove igre koje trebaju popraviti. Pomoću ove opreme treneri vide koji im igrači imaju najbolje šuteve.

Steph Curry je trenutno jedan od najboljih košarkaša na svijetu i igra za jednu od najboljih ekipa svih vremena. Šta to njega čini nezaustavljivom silom? Iako niže građe (190 cm, 10 cm manji od prosječne visine) i prosječne snage, njegov šut je skoro nemoguće odbraniti. U trku brzine do 16 km/h Curry se uspije zaustaviti i pripremiti za šut u 0,33 s. Nakon što je pokupi, potrebno mu je samo 0,4s da ošuta loptu. Njegova podlaktica je svaki Informacije se prikupljaju tako što put pet stepeni udaljena od pravog kamere snimaju i spašavaju sni- ugla. Kada mu lopta izađe iz ruku, mak 3D prostora. Prati se svaki ugao njegovog šuta je uvijek 50 - 55 igrač i svaka kretnja lopte (sve je stepeni, dok je prosjek šuteva drusnimljeno u 25 fps). Zahvaljujući gih igrača 45 stepeni. Tako što povogromnoj bazi podataka, mogu eća ovaj ugao istovremeno povećaizračunati vjerovatnoću ulaska va područje kroz koje lopta može šuta od trenutka kada lopta iza- ući za 19%. đe iz igračevih ruku. Zahvaljujući tim podacima treneri mogu raz- Svoju sposobnost je dokazao tako viti različite taktike i vrste napada što se trenutno nalazi na trećem koje će prilagoditi stilu odbrane mjestu ukupno ubačenih šuteva za protivničke ekipe. Te napade jed- tri poena, a njegova karijera je još nako oblikuju prema sposobnosti uvijek na početku. svojih igrača. Primjer napada koji je oblikovan prema potrebi utak- Izvori mice je napad na zonsku odbranu. - https://www.youtube.com/ Ako treneri pomoću analize usta- watch?v=HOiH1eVCggw nove da će protivnici igrati zonsku - https://www.youtube.com/ odbranu, mogu sa svojim igračima watch?v=oUvvfHkXyOA vježbati određene kretnje koje će - https://www.thehoopsgeek.com/ omogućiti učinkovitiji napad. average-nba-height/ Iz podataka također možemo saz- - https://en.wikipedia.org/wiki/ nati da svake sezone procenat Basketball_(ball)#Characteristics ošutanih trica raste. U 2008/09. go- - https://en.wikipedia.org/wiki/ dini procenat ošutanih trojki je bio Basketball_court#Diagrams 22,3%, dok je u 2017/18. procenat bio 33,7%. Kako jedan elitni košarkaš koristi matematiku

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Limes

Matematika i geografija A mina G abela učenica III razreda Prve bošnjačke gimnazije

Zbog svoje apstraktnosti, matematika je univerzalna u smislu u kojem druge oblasti ljudske misli nisu. Veza između matematike i drugih nauka ima dugu historiju. Svaka nauka na svoj način traži prisustvo matematike kao neizbježnog faktora svog uspjeha. Prvo što povezujemo sa matematikom su fizika, hemija i informatika. No, postoji još niz nauka koje su u korelaciji sa matematikom, a neke od njih su geografija i geodezija. Geografija je interdisciplirana nauka te se može povezati sa mnogim drugim naukama. Povezanost geografije i matematike nameće se sama po sebi već od osnovnoškolskih i srednjoškolskih udžbenika. Prisjetimo se samo zadataka sa omjerima u kojima se spominje mjerilo karte, računanje udaljenosti ili vremenske razlike između gradova. Prvo s čime se učenici susreću iz geografije su oblik i veličina

Zemlje, kao i dužina njenog omjera i poluomjera. S obzirom na to da se u osnovnoj školi uči da je Zemlja kugla, u razumijevanju ovih pojmova iz geografije može pomoći znanje o tom geometrijskom tijelu. Još jedna očita korelacija je koordinatni sistem iz matematike i mreža merdijana i paralela tj. geografske mreže. Da bi učenici sa lakoćom

određivali položaj nekog grada ili objekta na Zemlji preko računanja njegove geografske dužine i širine, važno je dobro poznavanje pojma koordinatnog sistema. Sljedeći primjer koreliranja je također vrlo čest i nalazimo ga u zadacima iz matematike. Radi se o mjerilu geografske karte, a u nastavi matematike to se može iskoristiti u zadacima sa razlomcima ili omjerima. Ne smijemo izostaviti ni demografske promjene, kretanje broja stanovnika, prikaz temperature zraka kroz neki period, računanje stope rodnosti i smrtnosti itd. Upravo u ovim primjerima možemo uočiti direktnu povezanost između geografije i matematike koja učenicima može da približi i učini ova dva predmeta mnogo zanimljivijim.

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Limes

Funkcija BEKIR ROVČANIN alumnista Prve bošnjačke gimnazije, doktor medicine Jedna od najčešćih riječi koje spominjemo kada govorimo o matematici je zasigurno funkcija, lat. Functio, vršenje dužnosti. Tu riječ tako često spominjemo a da nismo svjesni njene prošlosti i strmog puta kojim je prošla. Ideja o samoj funkciji se javlja u vremenu novih matematičkih otkrića krajem 17.st.. I prije je postojala ideja o dvije veličine koje su povezane mada se nikada te ideje nisu iskristilizirale do pojma funkcije koju mi danas poznajemo. Početkom 18.st. u matematici se snažno razvijaju analitičke metode u matematici i u analitičkoj geometriji. Pomoću novih matematičkih saznanja interpretira se Njutunova fizika, koja poslije dobiva naziv klasična fizika. Otkrivanjem novih problema u fizici i matematici snažno se traži definisanje nama poznate funkcije. Sada ćemo spomenuti neke od historijskih pokušaja definisanja funkcije.

Prava kvadratura kruga i hiperbole kada je uveo pojam sastavljanja nove veličine iz zadane veličine (veličina), pomoću matematičkih operacija. Slijedeći na ovom putu je bio G.W.Leibnitz koji opisuje vezu između apscise i ordinate koja je dana nekom algebarskom jednačinom. Ali pod ovim pojmom Leibnitz podrazumjeva „oznaka za dužine koje ovise o prirodi krive“. Da bi bolje shvatili Leibnitzov pojam funkcije citirat ćemo njegovu definiciju funkcije: „Ja nazivam funkcijama svaki dio pravca koji se dobiva ako se povuku bezbrojni pravci koji odgovaraju nepomičnoj tački i tačkama krive, kakvi su apcisa AB i Aβ, ordinata BC ili βC, tetiva AC, tangenta CT ili Cϑ, normala CP ili Cπ, suptangeta BT ili βϑ, subnormala BP ili βπ... i bezbroj mnoštvo drugih tačaka čije je postavljanje kompliciranije..“

vezi s tim uveo izraz promjenjiva veličina i konstanta. Leibnitz i njegov učenik su obrazložili funkciju, ali ona nije bila prihvaćena, nego je prihvaćena podjela na konstantne i promjenjive veličine. Godine 1716, Christian Wolff u Matematičkom leksikonu je dao definiciju funkcije kao promjenjive veličine kao one veličine koja se uvijek povećava ili smanjuje kada se druge veličine povećavaju ili smanjuju, davši primjer zavisnoNi sam Leibnitz nije shvatao svo- sti apscise i ordinate. Tek ovim je ju definiciju i nije mu bilo jasno shvaćena funkcijska veza između Već Dekartovim uvođenjem koor- šta predstavlja funkcijska veza. Taj koordinatne krive u Dekartovom dinatnog sistema uspostavlja pojam je spoznavao, nakon par sistemu. Korak dalje učinio je se funkcijska veza između dvije godina, sa svojim učenikom Jo- opet Johann Bernulli. On je 1718. promjenljive veličine, ali to vri- hannom Bernoullijem. Johann je u Memoarima zapisao: „Funkcijeme nije još bilo u stanju da ovu označio slovom n ma koju veličinu jom promjenljive veličine ovdje se pojavu nazove funkcijom. Pojam kako god sastavljenu od određenih naziva veličina koja je sastavljena funkcije se veoma polahko raz- veličina i konstanti. Poslije je on na bilo koji način od promjenljivih vijao od predodžbi pa do svjesne upotrijebio simbole ε i X pokaza- veličina i konstanti“ spoznaje. Među prvima na ovome vši da oni označavaju funkcije neke putu je bio James Gregory u djelu promjenjive veličine. Leibnitz je u Tada se ide i dalje i govori se da funkcija ne mora biti veza između 20

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Limes

ordinate i apscise ili bilo kakvih geometrijskih objekata. Ovo je zapravo analitički izraz funkcije oslobođen geometrijskih predodžbi. Odlučan korak u tom pogledu učinio je Leonard Euler koji je funkciju definisao ovako: „Funkcija promjenljive veličine analitički je izraz sastavljen na bilo koji način od te promjenljive veličine i broja ili konstanti“

leme Euler je shvatio da njegova definicija funkcije nije obuhvatila sve ono što je on smatrao funkcijom pa ga je to potaklo da u djelu Institutiones calculi differentialis (Pouke diferencijalnog računa), 1755.godine, objavi novu definiciju koja je obuhvatila sva tadašnja znanja. A ovako on piše: „ Kad neke veličine tako ovise o drugim da se mijenjanjem drugih i one same podvrgavaju promjeni, te prve se naziPoslije rješavajući fizičke prob- vaju funkcijama drugih. Taj naziv

ima izvanredno širok karakter, on obuhvata sve načine na koje se jedna veličina može odrediti pomoću drugih veličina. I tako se nazivaju funkcijom sve veličine koje bilo kako ovise o x, odnosno one koje su određene njime.“ Danas postoje mnoge definicije funkcije, ovisno o području matematike u kojem se pojavljuju. Ovdje smo iznijeli kratku historiju definisanja funkcije.

Crtanje funkcija Postoji nekoliko načina crtanja funkcije: crtanjem skupova, brojne prave, dijagrama toka ili grafika.

Dijagram toka

Dijagram koji prikazuje tok operacija za određivanje Svaki element domene odgovara nekom elementu ko- vrijednosti funkcije. Kružni okviri pokazuju vrijednosti na početku i kraju svake operacije, a pravougli domene. prikazuju funkcije. npr. za f(x)=2x Domena

Kodomena

Na slici je dijagram toka koji prikazuje funkciju

pomnoži sa 3

dodaj 1

3x + 1

Kako biste dobili inverznu funkciju krenite s desne strane dijagrama toka, te promijenite svaku operaciju.

Brojna prava

Brojna prava dolje lijevo, predstavlja domenu, a desno kodomenu. Svaka vrijednost u domeni odgovara jed- Na primjer, inverzna funkcija gornje funkcije je noj vrijednosti u kodomeni. npr. za f(x)=x+1

-1

-2

podijeli sa 3

oduzmi 1

3x + 1

U sljedećem broju ćemo reći nešto o funkcijama i graficima.

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Limes

eTwinning projekat ¨Famous female mathematicians 2¨ RADIONICE U SARAJEVU Učenici su imali priliku zajednički odabrati logo projekta, kreirati prezentacije, postere, stripove, e-magazin i blog U eTwinning projektu “Famous female mathematicians 2” saradnici su istraživali o životu i radu poznatih matematičarki i o njihovom položaju u društvu u odnosu na njihove savremenike matematičare. Učenici su zajednički odabrali logo projekta, kreirali prezentacije, postere, stripove, e-magazin i blog, na čemu su prikazali rezultate svoga istraživanja. Instrumenti koje su saradnici koristili u ovom projektu su: TwinSpace, videokonferencija, Padlet, Adobe Spark, Madmagz, PosterMyWall, Genially, Thinglink, Smore, Tricider, Pixiz, Pizap, Tuerchen, Piktochart, Jigsawplanet, Emaze, Canva, Flipsnack i dr. Pored online saradnje, u Sarajevu su održane i dvije radionice. Prva je održana u prostorijama Srednje ekonomske škole u Sarajevu 7. 2. 2019. godine pod nazivom “Matematičarke u Bosni i Hercegovini”. Ova radionica ugostila je učenike i nastavnice/profesorice iz pet škola (Srednje ekonomske škole, Gimnazije „Dobrinja“, Srednje zubotehničke škole, OŠ ”Pofalići” i OŠ ”Osman Nakaš”). Tom prilikom učenici su prezentirali rezultate svog istraživanja o poznatim matematičarkama u Bosni i Hercegovini. Rasema Sirčo, prof.matematike u Gimnaziji „Visoko“, Lejla Hujdur, prof.matematike u Srednjoj 22

ekonomskoj školi, prof. dr. MirjanaVuković, akademik, Šemsija Kulenović, prof. matematike u Srednjoj zubotehničkoj školi, Mirela Avdibegović, nastavnica matematike u OŠ „Pofalići“ i Nada

Sokolović, nastavnica matematike u OŠ „Osman Nakaš“ Druga radionica održana je 21. 2. 2019. godine u OŠ ”Osman Nakaš” u Sarajevu. Ovoj radionici prisustvovali su učenici i profesorice iz

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Limes

Gimnazije „Visoko“, Prve bošnjačke gimnazije, Srednje ekonomske škole, Srednje zubotehničke škole, OŠ ”Pofalići” i OŠ ”Osman Nakaš”. Specijalni gost na ovoj radionici bila je akademik profesor doktor matematičkih nauka Mirjana Vuković, koja je prisutnima održala predavanje o životu i radu profesorice Vere Šnajder, prve matematičarke iz Bosne i Hercegovine, i položaju matematičarki u društvu, posebno Sofije Kovaljevske i Emi Neter.

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Limes

Utisci učesnika eTwinning projekta

Učešćem u e twinning projektu ¨Famous female mathematicians 2¨, članovi naše redakcije su se upoznali sa web 2.0 alatima. Preporučujemo i Vama da ovladate njima i dajemo Vam linkove za praktični dio edukacije o web 2.0 alatima.Uživajte... 1. www.padlet.com 2. www.smore.com 3. www.tricider.com 4. www.canvanizer.com 5. www.poll-maker.com 6. www.storyjumper.com 7. www.pixton.com 8. www.postermywall.com 9. www.edmodo.com

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Limes

STEM pristup u podučavanju matematike sa zanimljivim primjerima iz života aida rizvanović i B elma A lihodžić profesorice matematike STEM je akronim sastavljen od početnih slova engleskog naziva za prirodne nauke, matematiku i tehniku (Science, Technology, Engineering, Mathematics). STEM predstavlja specifičan program, dizajniran s ciljem da se prilikom rješavanja problema iz svakodnevnog života koriste znanja iz matematike i nauke. Učenici koji slušaju nastavu po STEM principu razvijaju vještine koje su ključne za uspjeh: kritičko razmišljanje, kreativnost, inovativnost, komunikativnost, saradnju i poduzetništvo. Današnje tržište rada zahtjeva radnike sa vještinama koje mnogi diplomanti nemaju. Učenicima je potrebno pružiti više znanja iz matematike i nauke, te ih osposobiti da stečeno znanje znaju primijeniti u svakodnevnom životu ( Jolly, 2014). Studija iz 2014. godine, koju je objavilo Američko društvo za inženjerstvo u obrazovanju, identifikovalo je nekoliko karakteristika kvaliteta STEM programa: 1. Kontekst je motivirajući, primjenljiv i realan, 2. Učenici integrišu i primjenjuju značajan i važan matematički i naučni sadržaj, 3. Metode izučavanja su zasnovane na istraživanju i usmjerene su na učenike,

4. Učenici su uključeni u rješavanje inženjerskih izazova korištenjem inženjerskog dizajna, 5. Glavni fokus je na timskom radu i komunikaciji. Tokom čitavog programa, učenici imaju slobodu da kritički, kreativno i inovativno razmišljaju, kao i mogućnost da ne uspiju, te pokušaju ponovo u sigurnim okruženjima. Savremeni trendovi u STEM području naglašavaju podučavanje u kojem učenici sami izrađuju makete, modele, mini robote, rakete, strujne krugove i sl. te pritom uče nove sadržaje često metodom uvida, te pokušaja i pogrešaka. Za izvedbu ovakve nastave potrebne su modrene STEM učionice opremljene brojnom opremom, u kojoj učenici imaju 3D printere, robote koji se mogu programirati, različite senzore za mjerenje, elektroničke

setove (npr. LittleBits), (Glasnović i saradnici, 2018). “Učenje je veoma važan proces neophodan svakoj osobi da bi postala socijalno biće. Zahvaljujući procesu učenja stvorena je cjelokupna kultura i umjetnost čovječanstva.” (Tomić i Osmić, 2006: 113). Aktivno učenje podrazumijeva razvijanje mišljenja u višesmjernoj komunikaciji. Kako bi učenje postalo aktivan proces, ponajprije treba zadane sadržaje dobro osmisliti, a potom otkriti i razraditi puteve i metode prezentacije istih (Kovačević, 2005). Aktivno učenje je način novog pristupa procesu učenja. U ovaj proces svi dolaze s novim idejama, mišljenjima, iskustvima, s različitim stilovima učenja (Omerović, 2012). U procesu učenja vrlo je važna ulo-

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Limes

Tradicionalna nastava mehaničko (doslovno) Verbalno receptivno (primanje, usvajanje) konvergentno (logičko, deduktivno) učenje uz minimum pomagala preovladava frontalni rad

Aktivna nastava smisleno multimedijsko, praktično aktivno, učenje putem otkrića divergentno (stvaralačko, induktivno) samostalni rad učenika na izvorima znanja rad u malim grupama, timska nastava, individualizacija

Tabela 1. Razlike između učenja u tradicionalnoj i aktivnoj nastavi (Suzić, 1999)

ga nastavnika. Njegova funkcija se mijenjala i prilagođavala potrebama savremenog vremena. Interakcija nastavnika i učenika u toku učenja i nastave odražava se na brzinu, trajanje i kvalitet usvojenog znanja (Omerović, 2012). Prema Suziću (1999), uloge nastavnika u aktivnoj nastavi su:  primjena novih metoda aktivne nastave,  dijagnosticiranje,  građenje novih interpersonalnih odnosa,  građenje emocionalne klime u odjeljenju,  uloga u ciljno-vođenom učenju,

ja značajna pri analizi i opisivanju nekih značajnih prirodnih i društvenih pojava i fenomena. Kakva su očekivanja neke osobe kada je u pitanju njen životni vijek? Kojom se brzinom širi neka zarazna bolest? Koliko se komaraca može očekivati u nekom močvarnom području u ljetnjem periodu? Na ovo ali i druga, mnoga pitanja odgovor daje eksponencijalna funkcija. Zadatak1: Bolesniku je kao terapija propisan antibiotik čija je pojedinačna masa 250 mg. Tokom vremena, nakon uzimanja lijeka, količina lijeka se u krvotoku umanjuje pa nakon svakog sata u krvotoku ostaje 60% prethodne količine.

 i druge uloge kao što je samoevaluacija učenika, individualizacija i sl.

2) Koliko često u toku 24 sata bolesnik mora uzimati antibiotik? 3) Nacrtati grafikon funkcije Q(t). Rješenje 1) Q(t) = 250·0,6t 2) Q(1)= 150 mg Q(2)= 90 mg Q(3)= 54 mg Q(4)= 32,4 mg Q(5)= 19,44 mg Q(6)= 11,66 mg Q(7)= 6,70 mg Q(8)= 4,02 mg Q(9)= 2,41 mg Q(10)= 1,45 mg Q(11)= 0,87 mg Q(12)= 0,52 mg Zaključak: Bolesnik treba svakih 12 sati uzimati antibiotik. 3) Grafikon funkcije Grafikon 2. Funkcija Q(t) = 250·0,6t

Motivacija učenika se sastoji u sljedećem: 1) Odrediti Q(t), količinu antibioNastavnik razgovara sa učenicima i tika izraženu u miligramima (mg) ističe da je eksponencijalna funkci- t sati nakon uzimanja. 26

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Limes

Zadatak 4: Graf funkcije u formi Q (t) = = B − Ae−kt gdje su A, B i k pozitivne konstante, često se naziva krivulja učenja. Psiholozi su otkrili da za t ≥ 0 funkcije ovog oblika često realno modeliraju odnos između efikasnosti s kojom pojedinac izvršava Zadatak 3: Zadatak 2: zadatak i količinom vremena za učenje ili iskustva koju pojedinac Iznos novca u banci kojim ulagač ima. Pretpostavimo da u velikom U kopačkom ritu u proljeće broj komaraca naglo raste i njihov broj raspolaže nakon n godina dat je gradu nakon t mjeseci na radnom po jednom hektaru iznosi n(t) = funkcijom I(n) = I0·rn, gdje je I0 mjestu, prosječni službenik može −0.6t 2,5·100,1t+2, gdje je t broj dana nakon početni iznos novca, I(n) konačni sortirati Q (t) = 500 − 250e iznos novca nakon n godina, a je pošiljki na sat. posljednjeg mraza. dekurzivni kamatni faktor.

1) Koliko će komaraca biti u ritu nakon 15 dana? 2) Nacrtati grafikon funkcije. Rješenje:

1) Ako ulagač uloži 15000 KM u 1) Izračunati koliko pošiljki može banku uz godišnju kamatnu stopu sortirati novi službenik? od 7%, izračunati koliko će novca 2) Nacrtati grafikon funkcije. ulagač imati nakon 6 godina. 2) Nacrtati grafikon funkcije. Rješenje: 1) I(6) = 15000·(1,07)6=22500 KM 2) Grafikon funkcije

1) n(15) = 2,5·100,1·15+2=2,5·103,5=7906 Grafikon 4. Funkcija I(n) = I0·rn komaraca.

Rješenje: 1) Q (0) = 500 − 250e−0.6·0=250 2) Grafikon funkcije Grafikon 5. Funkcija Q (t) = 500 − 250e−0.6t

2) Grafikon funkcije Grafikon 3. Funkcija n(t) = 2,5·100,1t+2

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Limes

Zadaci sa školskog takmičenja iz matematike u PBG u šk. 2018/2019. g. 1 PRVI RAZRED 1. Ako je:

, koliko iznosi

2. Dokazati da za sve pozitivne realne brojeve a, b vrijedi nejednakost:

3. U konveksnom četverouglu ABCD dijagonale AC i BD sijeku se u tački O pod uglom od 90°. Neka su K, L, M, N ortogonalne projekcije tačke O na stranice AB, CD, CD, DA četverougla ABCD redom. Dokazati da je četverougao ABCD tetivan. 4. Za koje vrijednosti

broj

nije dijeljiv sa 18.

2 DRUGI RAZRED 1. Neka su a i b prirodni brojevi. Dokazati da ako je

cijeli broj, tada je on potpun kvadrat. cio za sve prirodne brojeve

2. Naći najmanji prirodan broj N > 2018 takav da je broj n1, n2, ..., nN koji nisu djeljivi sa 5. 3. U oštrouglom trouglu vrijedi jednakosti uglova:

duž AD je njegova visina

. Ako tačke dokazati da je PQ||BC.

tako da

4. Odrediti sve vrijednosti realnog parametra m tako da jednačina x2-(m+1)x+2m-4=0 ima realna riješenja i zbir kvadrata tih rješenja bude minimalan.

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Limes

3 TREĆI RAZRED 1. U pravouglom trouglu trougla je

dužina hipotenuze je C, a dužina simetrale jednog njegovog oštrouglog

. Koliko iznosi površina trougla?

2. Riješiti u skupu realnih brojeva sljedeću jednačinu: 3. Ukoliko su a, b i c realni brojevi iz intervala

. dokazati:

4. Riješiti jednačinu u skupu prostih brojeva: p2q + q2p = r.

4 ČETVRTI RAZRED 1. Neka su a, b i c stranice trougla. Dokazati nejednakost:

upisan u kružnicu k. Poznato je da tangenta iz tačke A na kružnicu k 2. Neka je dat oštrougli trougao siječe pravu BC u tački P. Neka je M sredina od AP i neka je R drugi presjek prave BM i kružnice k. Prava PR siječe kružnicu k u tački M različita od R. Dokazati da su prave AP i CS paralelne. 3. Neka su n i p cijeli brojevi tako da je n>1 i p je prost broj. Ako vrijedi n|p - 1 i p|n3 - 1 dokazati da je 4p - 3 potpun kvadrat. 4. Nad kvadratnim trinomom ax2 + bx + c (a ≠ 0) dozvoljeno je vršiti sljedeće operacije: 1°) međusobno zamjeniti a i c za c≠0 2°) zamjeniti x sa x+t gdje je t realan broj Može li se primjenom ovih operacija: a) polinom x2−x−2 transformisati u x2−x−1 i b) polinom x2−x−2 transformisati u 4x2+3x ?

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Limes

Istanbul: 19. internacionalno šahovsko takmičenje Chesstival Učenici su odmjerili snage sa preko 36 ekipa učesnika

Učenici Prve bošnjačke gimnazije: Nedim Bečić (I1), Faruk Imamović (II2), Taha Viđen (IIIb) i Asja Kantardžić (IVa) učestvovali su 27. i 28. 4. 2019. godine na 19. internacionalnom šahovskom takmičenju Chesstival koje je održano u Istanbulu u pratnji profesorice Matematike Elvire Imamović-Hadžiabdić.

zali čari carskog Istanbula: od krstarenja Bosforom do obilaske užeg jezgra grada i Plave džamije i Aja Sofije - veličanstvenih građevina svjedoka velikOdmjerili su snage sa preko 36 ekih historijskih ipa učesnika ovog respektabilnog tokova, Topkapi šampionata, a naši učenici su igrali palače i mnogih šest kola. Svaki od učenika je osjedrugih znamenitio slatki ukus pobjede, a kao ekipa tosti. su ostvarili solidan rezultat. Domaćini su takmičarima poka30

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Limes

O Rubikovoj kocki B elma A lihodžić profesorica matematike u Prvoj bošnjačkoj gimnaziji Mali je broj onih koji se nikada nisu okušali u slaganju Rubikove kocke. To je 3D igračka mozgalica. Kocka je ime dobila po svom tvorcu, mađarskom matematičaru Ernu Rubiku. Kako je Rubik bio profesor na jednom od mađarskih univerziteta, dizajnirao je kocku da bi pomogao svojim studentima da lakše razumiju kompleksne 3D objekte. Kocka je bila planirana samo kao pomoćno sredstvo u njegovom radu da bi ukazao na mogućnost pomjeranja dijelova cjelina bez narušavanja sklada cijelog mehanizma. Već nakon što je prvi put izmiješao kocku, a zatim pokušao da je sastavi, Erno je uvidio da je zapravo napravio mozgalicu. Dizajnirao ju je još 1974. Međutim, tek 1978. godine se prvi put našla u mađarskim prodavnicama, jer su mu trebale četiri godine da je konstruiše, ali i da pronađe proizvođača. Do danas kupljeno je više od 3∙108 originalnih primjeraka. Početkom 80-ih godina Rubikova kocka postaje najpopularnija igračka, ali je mali broj onih koji je uspijevaju složiti sami. Originalna (3x3x3) Rubikova kocka ima osam uglova i 12 ivica. Postoji osam (!) načina da se podese uglovi kocke. Sedam uglova se može podesiti nezavisno od ostalih, dok posljednji zavisi od prethodno složenih

sedam, što daje dodatnih 37 mogućnosti. Također postoji 12 (!) / 2 načina da se slože ivice, a kao i prethodnom slučaju sve osim posljednje ivice slažu se nezavisno. Ovo nam ukupno daje ≈ 43∙1018 načina za rješavanje Rubikove kocke. Rubikova kocka sastoji se od 26 kockica, a svaka strana kocke od devet kvadratića. Unutar kocke nalazi se mehanizam koji daje mogućnost rotiranja svakog sloja (koji se također sastoji svaki od po devet kvadratića), a neki taj mehanizam nazivaju i 27. (dvadeset sedmom) zamišljenom kockicom.

Kockice koje čine ovaj sistem dijelimo u tri vrste: - šest središnjih kockica (vidi im se samo jedna strana), - osam ugaonih kockica (vidljive su im tri strane), - dvanaest ivičnih kockica (vidljive su im dvije strane). Dimenzije kocke procijenje su na 57 mm po strani pojedinačno.

Naravno, kada je original u pitanju, moguća su odstupanja. WORLD CUBE ASSO CIAT I ON ( WC A ) Ova organizacija zvanično je osnovana od strane Rona van Bruchema (Holandija) i Tysona Maoa (SAD), a u sadašnjem obliku funkcionira od 2005. godine, kada je uveden i aktualni logo. Zlatni cilj organizacije jeste da se ljudi iz cijelog svijeta zabavljaju zajedno na prijateljski način i u sportskom duhu. WCA broji 13 reprezentacija članica asocijacije: • Kanada • SAD • Japan • Filipini • Indonezija • Hong Kong • Kina • Poljska • Rusija • Švedska • Velika Britanija • Francuska • Italija

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Limes

Član 10 statuta WCA: Riješeno stanje Mozgalica je riješena kada su složene boje na svim licima i kada su svi dijelovi poravnani unutar određenih granica. 10.1) Za svaki od susjednih dijelova (naprimjer: dva paralelna dijela kocke) koji su manje poravnani od graničnih vrijednosti 45°, ta dva dijela se smatraju kao da je potreban još jedan potez da bi se složila (Half Turn Metric). 10.2) Ako nijedan potez nije potreban da bi se mozgalica dovela u riješeno stanje, mozgalica se smatra riješenom bez kaznenih bodova. 10.3) Ako je potreban jedan potez, mozgalica se smatra riješenom s kaznom od dvije sekunde. 1. Feliks Zemdegs 5.66 (Australia) 2. Mats Valk 6.41 (Netherlands) 3. Nipat Charoenpholphant 6.78 (Thailand) 4. Che-Ting Chu 6.89 (Taiwan) 5. Anthony Brooks 6.93 (USA) 6. Rowe Hessler 6.94 (USA) 7. Erik Akkersdijk 7.08 (Netherlands) 8. Robert Yau 7.28 (United Kingdom) 9. Harris Chan 7.33 (Canada)

Feliks Zemdegs – aktualni svjetski rekorder u sklapanju kocke

10. Kanneti Sae Han 7.40 (France) kocke. • Kada bi prosječno trebao jedan R ubikova kocka potez po sekundi bilo bi potrebkroz brojeve no oko 1.400 triliona godina da se prođe kroz sve moguće kombi• Najmlađi je Yi Hui koji je imao 3 nacije rješavanja kocke (uključugodine 6 mjeseci i 5 dana (2:43:34). jući i one pogrešne). • Najstariji je Egon Micheelsen sa 90 godina 7 mjeseci i 25 dana S laganje R ubikove (5:52:16). kocke u • Najviše medalja osvojio je Erik P rvoj bošnjačkoj Akkersdjik (37 zlatnih, 16 sregimnaziji brenih i 3 bronzane). • Feliks Zemdegs ima čak 40 rezu- U poslijepodnevnim satima 23. ltata u aktualnih top 100. aprila 2019. u Prvoj bošnjačkoj • Do danas je prodato preko 300 gimnaziji održano je takmičenje miliona zvaničnih primjeraka u slaganju Rubikove kocke. Takmičenju je pristupilo sedam učenika, od kojih su dva takmičara učenici četvrtog razreda iz dvije osnovne škole pozvani kao gosti. Nakon uzbudljivog i korektnog takmičenja u slaganju Rubikove kocke postignuti su sljedeći rezultati: 1. Bečić Nedim 2. Kartal Deen 3. Džuzdanović Ajdin 4. Begović Abdurrahman Učesnici školskog takmičenja sa profesorima 5. Imamović Faruk Kerimom Sušićem i Belmom Alihodžić

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Limes

IN MEMORIAM H arry M iller U Sarajevu je 17. decembra 2018. godine preminuo bosanskohercegovački akademik i profesor Odsjeka za matematiku Prirodno-matematičkog fakulteta, prof. dr. Harry Miller. Profesor Miller je rođen u Čikagu 1939. godine. Diplomirao je matematiku na Univerzitetu Ilinoj, a doktorirao na Ilinoj institutu tehnologije. Tu je upoznao svoju buduću suprugu, Nazu Tanović-Miller. Nakon završetka studija odlučili su nastaviti život u Bosni. Njihova prva kćerka Lejla se rodila u Čikagu, a godinu dana nakon dolaska u Bosnu na svijet je došla i Alica. Danas su obje profesori matematike u Bosni i Americi. Veći dio rata je ostao u Sarajevu, iako ga je sa američkim pasošem mogao odmah napustiti. Ova činjenica pokazuje koliko je zapravo volio Bosnu i Bosance. Pomagao je da strani mediji što vjernije objasne tadašnja dešavanja u Bosni. Sa suprugom Nazom je organizirao liječenje boraca u SAD-u, održavao brojna predavanja o karakteru rata,

bio direktno uključen u slanje humanitarne i finansijske pomoći u BiH. Predavao je na 12 univerziteta širom svijeta, među kojima su i Prirodno-matematički fakultet i Internacionalni univerzitet u Sarajevu. Za 80 godina svoga života je napisao 86 naučnih radova, koji su objavljivani u mnogim prestižnim naučnim časopisima. Ima 37 zajedničkih radova sa 24 koautora iz 10 različitih zemalja.U svom 50-godišnjem radu dao je ogroman doprinos razvoju matematičkih nauka u Bosni i Hercegovini. Zajedno sa svojom suprugom i drugim kolegama skoro 40 godina je neumorno radio kako bi doveo bh. matematiku na međunarodnu scenu i kako bi na Odsjeku za matematiku PMF-a unio dio atmosfere američkih univerziteta. Profesor Harry je pomogao velikom broju mladih ljudi da započnu karijere u matematici ovdje i u inostranstvu i mnogi od njih su danas ugledni naučnici. Dao je fundamentalan doprinos u oblasti realne

analize i teorije sumabilnosti, o čemu svjedoče njegova naučna djela. Bio je jedan od osnivačkih urednika časopisa Radovi matematički, sada pod nazivom Sarajevo Journal of Mathematics. Profesor Miller je Sarajevu poklonio svoja velika akademska saznanja iz matematike, obogatio znanjem bezbroj studenata, doslovno poklonio sebe prije, tokom i poslije rata. Osoba je koja je oko sebe širila samo ono najbolje i najplemenitije. Njegovom smrću je akademska zajednica u našoj domovini izgubila velikog naučnika, profesora i humanistu. Članak napisale: Anida Tinjak i Medina Dobrača

N edžad D ukić Prof.dr.Nedžad Dukić (1957-2018) bio je redovni profesor na oblasti Teorijska kompjuterska nauka na Odsjeku za matematiku Prirodno-matematičkog fakulteta u Sarajevu. Objavio je velik broj naučnih i stručnih radova, knjiga, učestvovao na brojnim konferencijama i sem-

inarima, te bio mentor značajnom broju studenata u izradi njihovih diplomskih, magistarskih i doktorskih radova. Ostat će nam u lijepom sjećanju kao vrstan profesor i metodičar, a prije svega, kao dobar čovjek.

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Limes

Život i djelo Vere Šnajder Vera Šnajder je rođena prije 115 godina, a bila je žena koja je uspjela opstati u svijetu muškaraca. Profesorica Ženske gimnazije u Sarajevu, a kasnije i direktorica u Drugoj ženskoj gimnaziji u Sarajevu, učestvovala je u osnivanju Filozofskog fakulteta u Sarajevu i u historiju ušla kao prva žena dekanesa jednog od prvih bosanskohercegovačkih fakulteta, ali i kao prva dekanesa u Jugoslaviji. Pored toga, autorica je prvog naučnog rada iz matematike, a ujedno i prva autorica iz Bosne i Hercegovine. Naročitu aktivnost pokazala je kao predsjednica Društva matematičara, fizičara i astronoma BiH, a bila je i glavna organizatorica Četvrtog kongresa matematičara, fizičara i astronoma Jugoslavije održanog u Sarajevu 1965. godine. Iako joj je ponuđeno da radi za Ministarstvo zrakoplovstva Francuske, ona ostaje u Bosni i Hercegovini i posvećuje život prosvjeti i radu sa učenicima. To govori koliko je velika bila Verina ljubav prema prosvjeti i radu sa mladima.

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo

Split

Limes

U Splitu nas nije zaobišla šetnja Marijanom, rodna kuća Marka Marulića, Peristil, Prokurative, Kuća slave splitskog sporta...

Profesorice sa učenicima u Splitu (Delić Kemal, Ibišević Faruk, Voloder Haris i Ljubović Burhan)

Split je drugi po veličini grad u Hrvatskoj, a smješten je 28 km južno od grada Trogira. To je najveći i najvažniji grad u srednjoj Dalmaciji, a predstavlja lučki grad. Oba grada spadaju u UNESCO-vu svjetsku kulturnu baštinu.

Radost u Splitu Srce grada je Stari grad, koji u velikoj mjeri zauzima Dioklecijanova palača. S pogledom na more, duž gradske obale, nalazi se najpoznatiji simbol grada, šetalište Riva – omiljeno okupljalište mladih, ali i onih starijih.

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo