Mapa matematike

PRIPREMILA: NEJRA HAJRIĆ, UČENICA III RAZREDA PRVE

Razlog koji matematici opravdava titulu kraljice nauka je taj što bavljenje njome najviše razvija našu moždanu aktivnost. Tako se matematičar ne snalazi dobro samo u matematici, već i u jezicima, prirodnim naukama, organizaciji, prostoru… Počela je sa brojanjem u prahistoriji (graduisane kosti), a danas je osnova mnogim poljima ljudskog djelovanja. Može se podijeliti na dva dijela: čistu i primijenjenu matematiku.

ČISTA MATEMATIKA proučava matematičke pojmove neovisno o primjeni u izvanmatematičkom svijetu, a sadrži studije o sistemima brojeva, strukturama, prostoru i promjenama. Ljudi koji se bave njome uglavnom su motivirani samo svojom znatiželjom ili su jednostavno vođeni smislom za estetiku u rješavanju problema proizašlih iz osnovnih principa. Kao posljedica nastaje puno

„nove matematike“ koja ne služi ničemu. Međutim, nakon nekog vremena čovjek će u PRIMIJENJENOJ

MATEMATICI rješavati određeni problem iz svakodnevnice i sjetiti se da postoji stara teorija koja mu sada treba. Naprimjer, da bi udovoljili svojoj potrebi da riješe kvadratnu jednačinu oblika , matematičari uvode imaginarnu jednicu i potpuno novi skup brojeva. Decenijama kasnije, ljudi su u mogućnosti, između ostalog, kontrolirati glasnoću klavira i predstaviti kako brojevi afektiraju zvučne signale. Dakle kompleksni brojevi pronalaze svoju svrhu u stvarnosti.

Čistu matematiku možemo nazvati jednom vrstom umjetnosti s obzirom da svoje uporište nema u materijalnom svijetu, a bavljenje njom okarakterisano je ljepotom i elegancijom.

Studije o sistemima brojeva

Postoje prirodni (1, 2, 3,…), cijeli (-1, -4, 56…), racionalni (3, ,…), realni ( i kompleksni brojevi (. Neki brojevi poput prostih ili broja imaju posebna svojstva. Postoje još neke specifičnosti – skup realnih brojeva je, naprimjer, veći od skupa cijelih brojeva (, a oba imaju beskonačno mnogo članova. Dakle, neke beskonačnosti su veće od drugih. Studije o strukturama

U ovom segmentu matematike:

- Brojevi se stavljaju u jednačine u formi varijabli (promjenjivih veličina). ALGEBRA sadrži pravila kako manipulirati tim jednačinama.

- Uvode se vektori i matrice koji predstavljaju multidimenzionalne brojeve. Pravila o tome kako se oni odnose data su u LINEARNOJ ALGEBRI.

- Formira se TEORIJA BROJEVA.

- Izdvaja se i KOMBINATORIKA – bavi se prebrojavanjem elemenata konačnih skupova i prebrojavanjem načina da se ti elementi poredaju. Naprimjer, na koliko se načina može izvući sedam brojeva (od 49) u igri Loto?

- TEORIJA REDA je grana matematike koja istražuje intuitivni pojam reda koristeći binarne relacije. Ona opisuje izjave kao što su „ovo je manje od toga“ ili „ovo prethodi tome“. Redoslijeda je mnogo i u matematici i u srodnim oblastima poput računarstva. Prvi red o kojem se često govori u osnovnoj školi je u vezi sa prirodnim brojevima, npr. „2 je manje od 3“, „10 je veće od 5“ ili „Da li Faris ima man- je kolačića od Esme?“. Drugi poznati primjer reda je abecedni red riječi u rječniku. Redovi prirodnih brojeva i slova imaju posebno svojstvo – njihovi članovi se mogu komparirati. Međutim, postoje redovi u kojima to nije moguće. Kao primjer uzmimo skup životinja. Iako mu pripadaju i skup ptica i skup mačaka, njihove elemente ne možemo porediti.

- TEORIJA GRUPA povezuje objekte u grupe. Grupe se sastoje od elemenata i binarnih operacija koje se mogu primijeniti na dva elementa skupa. Zajedno moraju zadovoljavati određene aksiome. Rubikova kocka je primjer permutacijske grupe. Ima 54 mala kvadrata koja se mogu poredati (grupisati) na kvintilion načina ().

Studije o prostoru

- GEOMETRIJA je grana matematike koja proučava položaj, oblik, svojstva geometrijskih tijela u prostoru, te njihov međusobni odnos.

- TRIGONOMETRIJA se bavi odnosima između stranica i uglova trougla.

- DIFERENCIJALNA GEOMETRIJA istražuje svojstva oblika na zakrivljenoj površini. Pritom je važna primjena metoda matematičke analize (limes niza i funkcije, neprekidnost funkcije, diferencijalni i in-

tegralni račun…)

- TOPOLOGIJA proučava neprekidna preslikavanja, tj. transformiše jedan prostor u drugi. To su deformacije bez kidanja i lijepljenja, pa se npr. mogu izvoditi s objektima od elastične gume. Kocka i kugla su sa stajališta topologije ekvivalentne, jer se opisanim deformacijama može prijeći iz kocke u kuglu i obrnuto. Poznata je jednostrana Mobiusova traka 1(Möbius strip) koja ostaje u jednom dijelu i kada se podijeli po sredini i ponovo ima samo jednu stranu.

- FRAKTALNA GEOMETRIJA sadrži matematičke “obrasce” koji bez obzira na to koliko ih uvećavali uvijek izgledaju isto.

Studije o promjenama

- Diferencijalni i integralni račun, te primjeri korištenja limesa, teorija (beskonačnih) redova, beskonačnih proizvoda, varijacijski račun i sl. područje su bavljenja MATEMATIČKE ANALIZE.

- VEKTORSKA ANALIZA također obuhvata diferencijalni i integralni račun ali u vezi sa vektorima.

- DINAMIČKI SISTEMI su sistemi u kojima funkcija opisuje vremensku zavisnost tačke u geometrijskom prostoru. Primjeri su opis ljuljanja klatna sata, protok vode u cijevi i broj riba svakog proljeća u jezeru.

1 Traka kod koje se jedan kraj zarotira za , a zatim zalijepi za drugi kraj.

- TEORIJA HAOSA opisuje nelinearne dinamičke sisteme koji se ponašaju na nepredvidljiv način. Da u svijetu vrijedi determinizam ii određenost, mogli bismo sve predvidjeti i kontrolirati (ponašanje nekog sistema zapisati u obliku jednačine – kao u vremenskoj prognozi). Međutim, s pojavom računara postalo je jasno da to nije moguće. Naučnici su uočili povezanost i ovisnost među naizgled nespojivim pojavama i to opisali rečenicom: „Ako leptir zamahne krilima u Pekingu, on može uzrokovati uragan na Floridi“. Dakle svi su faktori bitni. Haotično ponašanje postoji u mnogim prirodnim sistemima, uključujući protok tečnosti, nepravilnosti otkucaja srca, vremenske prilike i klimu. Također se javlja spontano u nekim sistemima sa vještačkim komponentama, kao što su berza i kopneni saobraćaj. Koliko god utjecaja uzeli u obzir, ne bismo nikada bili u mogućnosti potpuno predvidjeti buduća zbivanja.

Neke od mnogih oblasti primijenjene matematike su:

- Matematička fizikamatematičke metode sa posebnom primjenom u rješavanju problema i formulaciji teorija fizike. Naprimjer, Newton je izumio račun koji je pomogao u opisivanju kretanja. Fizika svojim teorijskim konceptima matematičarima daje podsticaj za razvijanje novih načina rješavanja problema.

- Numerička analiza – algoritmi za bavljenje zadacima sa kontinuiranim varijablama. Takvi zadaci (problemi) se javljaju u prirodnim i društvenim naukama, inžinjerstvu, medicini i biznisu.

- Teorija igara - analiza situacije u kojoj igrači donose međusobno zavisne odluke. Ta međuzavisnost uzrokuje da svaki igrač razmotri moguće odluke ili strategije drugog igrača. Najčešće je primijenjena u ekonomiji i politici.

- Teorija vjerovatnoće – analiza slučajnih pojava. Te- melj statistike, a koristi se u biologiji, genetici, fizici i ekonomiji.

- Statistika – analiza podataka, teži kontroli izvora promjena.

- Finansijska matematika – spoj ekonomije, matematike i statistike; pitanje visine cijena; upotreba u komercijalnim i investicionim bankama.

- Optimizacija - odabir najboljeg elementa iz skupa dostupnih alternativa s obzirom na određeni kriterij. Problemi optimizacije se javljaju u inžinjerstvu, računarstvu, ekonomiji…

- Kriptografija – slanje poruka u obliku razumljivom samo osobama kojima su namijenjene. Već dugo se upotrebljava u vojnoj i diplomatskoj komunikaciji. Oslanja se na teoriju brojeva.

TEMELJI I FILOZOFIJA: matematička logika (osno- va rada računarskih procesora), teorija skupova i teorija kategorija (opća teorija funkcija; matematičke strukture u obliku označenih i usmjerenih grafova).

Detaljno istraživanje cjelokupne matematike daje zaključak da ova nauka nije tek nešto što su izmislili ljudi. Ona postoji u prirodi, a čovjek je promatra i zapisuje pomoću simbola na sebi razumljiv način. Možda neki naslovi zaista i nisu direktni odgovori na pojave u stvarnosti, ali jesu posljedice osnovnih principa koji se temelje na realnoj pojavi. (Npr. čovjek ima urođenu potrebu za kontrolom nad stvarima koje se nađu u njegovom posjedu pa počinje da broji. Evolucijom i razvojem moždane strukture, više se postavlja pitanje “Šta ako?” i ti se brojevi kombinuju na različite načine. Posljedično nastaju skupovi brojeva, jednačine, analiza…)

Al-Havarizmi

PRIPREMILA: MEDINA-UNA HAMZIĆ, UČENICA II RAZREDA PRVE BOŠNJAČKE GIMNAZIJE

Abu Abudllah Muhammed bin ocem algebre i što je po njemu algoritam dobio ime, zaslužan je i za prenošenje indijskih brojeva u Evropu (koji se po Arapima, koji su ih prenijeli, danas zovu arapskim), kao i za unapređenje jevrejskog kalendara.

Musa al-Havarizmi (cca. 780.cca. 840.) bio je perzijski učenjak koji se bavio matematikom, geografijom i astronomijom.

Malo se zna o njegovom životu. Poznato je da je bio član bagdadske akademije nauka i da je pisao o matematici, astronomiji i geografiji. Rođen je u Horezmu, današnjoj Hivi (Uzbekistan).

Al-Havarizmi je uveo modernu numeričku notaciju. Također je uspio da objasni staru indijsku baštinu i starogrčke naučne rezultate iz oblasti matematike.

Mnogi ga smatraju ocem algebre. Osim toga, izraz algoritam, kojim se prvobitno opisivao način računanja decimalnih brojeva, a formulisao ga je Havarizmi, preuzet je iz latinske transkripcije njegovog imena.

Al-Havarizmijeva zasluga za razvoj čovječanstva je neprocjenjiva. Osim što se smatra

Havarizmijeva slava ponajviše potiče od njegovog eminentnog remek-djela „Algebra“, zbog kojeg ova matematička disciplina, koju je Havarizmi utemeljio, dobija upravo taj naziv u kasnijoj literaturi, a na Zapadu se koristi i danas. On također daje opći metod, takozvano Al-Havarizmijevo rješenje, za nalaženje dva korijena kvadratne jednačine.

Drugo Al-Havarizmijevo djelo po značaju je knjiga aritmetike, to jeste „Knjiga računanja sa indijskim brojevima“. On u njoj opisuje indijsku notaciju, brojeve koje su Indijci koristili, a koje danas nazivamo arapskim, jer su ih Arapi donijeli u Evropu.

Vrijednost tih brojeva zavisi od njihovog položaja, uključujući i nulu kao broj. Prilikom prevođenja ovog djela na latinski jezik knjiga je dobila naslov „Algoritmi de numero indorum“ (Al-Havarizmi o indijskim brojevima). Riječ algoritam (algorithmus) se tako udomaćila i danas označava način računanja sa tim brojevima. Prijevod ovog djela u XII stoljeću na latinski jezik omogućio je vezu između velikih hinduističkih i arapskih matematičara i evropskih naučnika. Nakon što je predstavio prirodne brojeve, uvodi glavno pitanje – rješenje jednačina. Njegove jednačine su ili linearne ili kvadratne

Naučno-istraživački matematički klub Prve bošnjačke gimnazije Sarajevo i sastavljene su od jedinica, korijena i kvadrata. Za njega je, naprimjer, jedna jedinica bila jedan broj, jedan korijen je bila nepoznata i kvadrat nepoznata na kvadrat. Iako ćemo u daljim primjerima koristiti današnju algebarsku notaciju brojeva, kako bi čitalac mogao bolje da razumije, trebalo bi istaći da AlHavarizmi nije koristio nikakve simbole, već samo riječi. Prvo postavlja jednačinu u neki od sljedećih oblika:

Zatim rješava jednačinu i dolazi do konačnog rješenja. Također ispituje aritmetičke zakone i kako se oni pojavljuju i koriste među algebarskim objektima, naprimjer kako pomnožiti izraze kao (а + bx)(c + dx), te ih razređuje i daje primjere. U nastavku opisuje pravila za nalaženje površine geometrijskih figura kao što je krug i zapremine tijela kao što su sfera i piramida. Među kasnijim matematičarima na koje je uticao Al-Havarizmi bili su Omer Hajjam, Leonardo Fibonači iz Pize i Jakob iz Firence. Al-Havarizmi je svoje nadaleko poznate astronomske tablice (zij) zasnovao na Al-Fazarijevom djelu i objedinio indijski i grčki astronomski sistem te u isto vrijeme dao svoj doprinos. Te tablice je poslije dva stoljeća revidirao španski astronom i one su postale osnov za druga djela na Istoku i Zapadu.

Al-Havarizmi je na zahtjev halife Mamnuna priredio veliki atlas svijeta. Priredio je i dragocjenu zbirku pod naslovom „Surat al-ard“ , što u prijevodu znači „Slika zemlje“, koja predstavlja ispravljenu i kompletnu verziju Ptolomejeve geografije, koja se sastoji od 2.402 kordinate gradova i drugih geografskih pojmova.