Fraktali

PRIPREMILA: MEDINA PORIĆ, UČENICA III RAZREDA PRVE BOŠNJAČKE GIMNAZIJE

Od pamtivijeka majka priroda je pokazivala svoje blagodati i kompleksne ljepote čovjeku. U njoj tražimo rješenja jer je ona sama po sebi u savršenom balansu koji ljudski um ne može postići. Kažu da čovjek uči dok je živ. Da, to je zaista tako. Koliko god da je nauka i tehnologija napredovala, neke stvari još uvijek ne možemo shvatiti, kao naprimjer pitanje problema kvantne fizike ili svemira. U ovom članku govorit ću o novom pristupu u razmišljanju i poimanju stvarnosti i prirode. Vjerovatno vam je nekada bilo dosadno na času, pa ste, kako biste se zabavili, počeli švrljati stranicu ispunjavajući njen prazan prostor. Možda ste odabrali jednu vrstu krivulje i tako ispunjavali stranicu, ili pak jedan određen oblik pa tako gradili veće oblike koji podsjećaju na manji. Vjerovali ili ne, crtali ste fraktale!

Definicija: Fraktal je “grubi ili fragmentirani geometrijski oblik koji se može podijeliti na dijelove, od kojih je svaki (barem približno) kopija cjeline u smanjenoj veličini”, svojstvo koje se naziva samosličnost.

Ovakvu samosličnost nalazimo svugdje u prirodi. Uzmimo za primjer brokulu (slika 1). Ukoliko otkinemo jednu granu brokule, opet ćemo vidjeti onaj prvobitni uvećani oblik.

u ljudski grudni koš), hromatin, cirkulatorni sistem... Ali kako su pronašli svoj put prema nauci, posebno prema matematici?

Historija

Slika 1: Brokula

Fraktali su još i drveće, pahuljice, riječni sistemi, munje, morske školjke, galaksije pa čak i dijelovi čovjeka kao što su pluća (zato pluća mogu da stanu

Prema Pikoveru, matematika iza fraktala počela je da se oblikuje u 17. vijeku kada je matematičar i filozof Gottfried Leibniz razmišljao o rekurzivnoj samosličnosti (iako je pogriješio misleći da je samo prava linija sama sebi slična u tom smislu). U svojim spisima Leibniz je koristio izraz “razlomački eksponenti”, ali se žalio da geometrija još nije znala za njih. Zaista, prema različitim historijskim izvještajima, nakon tog trenutka nekoliko matematičara se pozabavilo pitanjima, a rad onih koji jesu ostao je zamagljen uglavnom zbog otpora takvim nepoznatim konceptima koji se pojavljuju, koji su ponekad nazivani „matematičkim čudovištima“. Dakle, tek kada su prošla dva vijeka, Karl Weierstrass je 18. jula 1872. predstavio prvu definiciju funkcije s grafom koji bi se danas smatrao fraktalom, koji ima neintuitivno svojstvo da je svuda kontinuiran. Uz to, razlika količnika postaje proizvoljno velika kako se indeks sumiranja povećava. Nedugo nakon toga, 1883. godine, Georg Cantor, koji je pohađao predavanja Weierstrassa, objavio je primjere podskupova realne linije poznatih kao Cantor skupovi, koji su imali neobična svojstva i sada se prepoznaju kao fraktali. Također, u poslednjem djelu tog vijeka, Felix Klein i Henri Poincaré uveli su kategoriju fraktala koja se naziva “samoobrnutim” fraktalima. Jedna od sljedećih prekretnica dogodila se 1904. godine, kada je Helge von Koch, proširujući Poincaréove ideje i nezadovoljan Weierstrassovom apstraktnom i analitičkom definicijom, dao geometrijsku definiciju uključujući ručno nacrtane slike slične funkcije, koja se sada naziva Kochova pahulja. Još jedna prekretnica dogodila se deceniju kasnije, 1915. godine, kada je Wacław Sierpiński konstruisao svoj čuveni trougao, a zatim, godinu dana kasnije, svoj tepih. Do 1918. godine dva francuska matematičara, Pierre Fatou i Gaston Julia, iako su radili neovisno, u suštini su istovremeno došli do rezultata koji opisuju ono što se danas vidi kao fraktalno ponašanje povezano s preslikavanjem kompleksnih brojeva i iterativnih funkcija i koje je dovelo do daljnjih ideja o atraktorima i repelerima (tj. tačke koje privlače ili odbijaju druge tačke), koje su postale veoma važne u proučavanju fraktala.

Kochova pahulja jednačinu grafika. Svaki put kada dodamo trougao, jedna stranica Kochove pahulje će preći u 4. Nakon prvog ponavljanja, dobit ćemo: 3×4^1=12

Započet ćemo crtežom jednakostraničnog trougla.

Zatim dodajmo još jedan jednokostranični trougao na sredini svake stranice. Ponovite isti proces, ali ovaj put sa 12 stranica. Ako ovo budete ponavljali ponovno i ponovno, oblik bi izgledao poput slike 2.

Nakon drugog ponavljanja, dobit ćemo: 3×4^2=48

Nakon n ponavljanja, dobit ćemo: 3×4^n

Ako ovo budemo radili beskonačan broj puta, dobit ćemo beskonačno mnogo stranica: 3×4^∞=∞ slučaj takvog skupa. Generalno, Mandelbrotov skup označava skup tačaka u kompleksnoj ravni tako da je odgovarajući Julijev skup povezan i nije izračunljiv. Mandelbrotov skup je skup dobiven iz jednačine kvadratnog ponavljanja: sa z0 = C, gdje su tačke C u kompleksnoj ravni za koje orbita z n ne teži beskonačnosti u skupu. Postavljanje z0 jednako bilo kojoj tački u skupu koja nije periodična tačka daje isti rezultat. Mandelbrotov skup je izvorno nazvao a μ molekulom od strane Mandelbrota. J. Hubbard i A. Douady je dokazao da je Mandelbrotov skup povezan.

Obim Kochove pahulje će biti beskonačan. Međutim, površina pahulje ne bi bila beskonačna. Ukoliko nacrtamo kružnicu sa ograničenom površinom oko pahulje, ona će stati bez obzira koliko smo puta povećali broj stranica (slika 3).

Slika 2: Kochova pahulja

Ovaj oblik se naziva Kochova pahulja i ima posebnu osobinu. Bez obzira gdje pogledamo ili koliko uvećamo oblik, vidjet ćemo samoponavljajući obrazac. Beskonačni obrasci kao što je ovaj, koji na bilo kojoj udaljenosti i bilo kojem mjerilu izgledaju isto, nazivaju se fraktali. Kochovu pahulju možemo nacrtati na računarskom programu ponavljajući matematičku

Slika 3: Zaokružena Kochova pahulja

Zaključujemo da Kochova pahulja ima beskonačan obim, ali ograničenu površinu.

Mandelbrotov skup

Termin Mandelbrotov skup se odnosi i na opštu klasu fraktalnih skupova i na poseban

Slika 4: Mandelbrotov skup

Mandelbrot je bio jedan od prvih koji je koristio kompjutersku grafiku za kreiranje i prikaz fraktalnih geometrijskih slika, što je dovelo do njegovog otkrića Mandelbrotovog skupa 1979. To je bilo zato što je imao pristup IBM-ovim računarima. Bio je u stanju da pokaže kako se vizuelna složenost može stvoriti iz jednostavnih pravila. Rekao je da stvari koje se obično smatraju “grube”, “nered” ili “haotične”, poput oblaka ili obala, zapravo imaju “stepen reda”. Jednačina bila je poznata mnogo prije nego što je Benoit Mandelbrot koristio računar da je vizualizira. Slike se kreiraju primjenom jednačine na svaki piksel u iterativnom procesu, koristeći poziciju piksela na slici za broj ‘c’. Broj ‘c’ se dobija mapiranjem položaja piksela na slici u odnosu na poziciju tačke na kompleksnoj ravni. Oblik Mandelbrotovog skupa predstavljen je crnom bojom na slici 4.

Naprimjer, ako je c = 1 onda je niz 0, 1, 2, 5, 26,…, koji ide u beskonačnost. Dakle, 1 nije element Mandelbrotovog skupa, pa stoga nije obojen crnom bojom. S druge strane, ako je c jednako kvadratnom korijenu od -1, također poznat kao i, tada je niz 0, i, (−1 + i), −i, (−1 + i), −i… koji ne ide u beskonačnost i tako pripada Mandelbrotovom skupu. Kada se grafički prikaže kako bi se prikazao cijeli skup, rezultirajuća slika je upečatljiva, lijepa i prilično prepoznatljiva. Postoje mnoge varijacije Mandelbrotovog skupa, kao što su Multibrot, Buddhabrot i Nebulabrot. Multibrot je generalizacija koja dozvoljava bilo koji eksponent: . Ovi skupovi se nazivaju Multibrot setovi. Multibrotov skup za d = 2 je Mandelbrotov skup.

Zanimljivosti

Krajem XX i početkom XXI stoljeća, ljudi su pomoću svoje kreativnosti kreirali aplikacije koje mogu slikovito ispisivati fraktale.

stalno pojednostavljuje i filtrira ono što gledate kako bi ga učinio razumljivijim. Ljudi koji su imali psihodelična iskustva ponekad kažu da se čini kao da su ti filteri uklonjeni i da sve informacije prođu odjednom. I to je neka vrsta senzornog preopterećenja. Pretpostavljamo da, kada ovako gledamo fraktale, razlog što imaju sličan učinak je to što su toliko komplikovani da naš mozak ne zna kako da ih pojednostavi. Tako filteri ne rade i sve informacije prolaze direktno. Stvara ogromno čulno iskustvo. Postoje neke zanimljive implikacije ovoga. Nedavno su postojale neke preliminarne studije koje, izgleda, pokazuju da kontrolirane doze hemikalija poput psilocibina zapravo mogu imati vrlo mjerljiv pozitivan učinak na neke pacijente koji pate od PTSP-a ili depresije. Ako ove fraktalne slike aktiviraju neke od istih područja mozga, moguće je da imaju neke od istih korisnih učinaka.

Slika 5: Digitalni fraktali

Zanimljivo je kako mozak čovjeka percipira te slike: Kada gledate nešto ili nekoga, ili lice, naprimjer, ne percipirate svjesno sve do posljednjeg detalja odjednom, svaku poru, svaku trepavicu. Vaš mozak

Ako su pluća, hromatin i cirkulatorni sistem fraktali, da li je onda i mozak fraktal? Jedan način da razmislimo o ovom pitanju jeste kroz objektiv umjetne inteligencije i mašinskog učenja, jer su to jedni od najboljih instrumenata koje imamo koji mogu simulirati ono što se dešava unutar našeg mozga. Neke od najuspješnijih od ovih dubokih neuronskih mreža rade tako što prerađuju informaciju ponovno i ponovno, periodično, šaljući originalnu informaciju kako bi se proces nastavio. I to možda zvuči poznato, zbog toga što je slično principu na koji Mandelbrotov skup funkcionira. I to nas dovodi do zaključka da nije bitno da li je mozak fraktal ili ne, jer nas dovodi do nečega mnogo snažnijeg: to je motor za generiranje fraktalnih nivoa složenosti. Može biti da mozak nije fraktal, ali um jeste. Možda zato ove fraktalne slike tako duboko odjekuju s nama. Kada gledamo u njih, na neki način, vidimo odraz samih nas. To nam govori da ove slike možda imaju jednu veliku praktičnu korist, a to je dodatni uvid u misterije ljudske percepcije i savjesti. Fraktali nas imaju mnogo čemu naučiti. Oni su konstantna inspiracija za nauku i matematiku. Oni nas podsjećaju da, kada gledamo u nešto strašno komplikovano, ključ za razumijevanje možda ispadne nešto iznenađujuće jednostavno.